有限变形弹塑性理论及一致性算法
弹塑性有限元法
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必 须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性 有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问 题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系 不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷 载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹 性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同 状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于 非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行 分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用 在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
弹塑性详解
弹塑性的未来发展
智能材料
未来弹塑性材料将与智能传感器和控制系统集成,实现自主监测和自适应调节,提高结构系统的稳定性和可靠性。
高性能应用
在航空航天、汽车制造、能源等领域,弹塑性材料将发挥更大作用,提高关键部件的抗冲击和耐疲劳能力。
仿生设计
从生物体的运动机理中吸取灵感,开发出更高效、协调的弹塑性机构,应用于机器人、生化假肢等领域。
制造工艺控制
弹塑性理论在冲压、挤压、锻造等成形加工中发挥重要作用,可预测工件变形、确定最佳工艺参数,提高产品质量。
生物医学应用
医疗器械和义肢设计需要利用弹塑性分析,确保其能适应人体组织的变形特性,提高舒适度和功能性。
弹塑性的重要性
1
提高结构安全性
弹塑性能够增强材料和结构在外力作用下的变形能力,有效降低意外事故发生的风险,提高结构的安全可靠性。
弹塑性的影响因素
应力-应变关系
材料的弹塑性行为主要取决于其应力-应变曲线的形状,包括弹性模量、屈服强度和最大强度等关键参数。
材料成分与微观结构
材料的化学成分、晶粒大小、相组成等微观结构特征直接影响其宏观力学性能和弹塑性行为。
应力状态与几何形状
零件或结构的受力状态和几何形状会导致局部应力集中,从而影响弹塑性响应和失效模式。
工程应用
20世纪中后期,弹塑性理论和方法广泛应用于工程实践,在航空、汽车、建筑等领域发挥了重要作用。
现代进展
当前,随着计算机技术的发展,弹塑性分析方法不断创新,在复杂结构设计、材料选择和工艺优化中展现强大的潜力。
弹塑性的基本原理
数学描述
弹塑性通过应变-应力关系的数学模型来描述材料在力学作用下的变形行为。这些模型结合了材料的弹性特性和塑性特性。
弹塑性力学与有限元-应变分析
如果各点的位移完全相同，物体发 生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
z
x
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I
3
x
y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
yz
zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
岩土工程中的弹塑性理论与分析技术
岩土工程中的弹塑性理论与分析技术岩土工程中的弹塑性理论与分析技术是研究岩土材料在受力作用下的弹性和塑性变形特性的理论和方法。
这些理论和技术在岩土工程设计、施工和监测中具有重要的应用价值。
本文将从弹塑性理论的基本概念、应用范围以及分析技术的具体方法等方面进行阐述。
弹塑性理论是研究岩土材料在受力作用下的弹性和塑性变形特性的理论。
弹性是指岩土材料在受力作用下能够恢复原状的能力，而塑性是指岩土材料在受力作用下会发生不可逆的变形。
弹塑性理论的基本假设是岩土材料在受力作用下是具有弹塑性的，并且可以通过一定的数学模型来描述其力学行为。
岩土工程中的弹塑性理论主要包括弹性理论、弹塑性理论和塑性理论。
弹性理论是最基本的弹塑性理论，它假设岩土材料在受力作用下只发生弹性变形，而不发生塑性变形。
弹塑性理论则是在弹性理论的基础上引入了塑性变形的概念，它假设岩土材料在受力作用下既可以发生弹性变形，也可以发生塑性变形。
塑性理论则是假设岩土材料在受力作用下只发生塑性变形，而不发生弹性变形。
在岩土工程中，弹塑性理论的应用范围非常广泛。
首先，弹塑性理论可以用于岩土工程设计中的荷载和变形计算。
通过建立合适的弹塑性模型，可以对岩土体在受力作用下的变形和破坏进行合理预测，从而指导工程设计和施工。
其次，弹塑性理论可以用于岩土体力学性质的试验研究。
通过对岩土体在不同应力状态下的弹塑性行为进行试验研究，可以获取岩土材料的力学参数，为岩土工程的设计和施工提供可靠的依据。
此外，弹塑性理论还可以用于岩土体的动力响应分析、岩土体的稳定性分析等方面。
在岩土工程中，弹塑性分析技术是基于弹塑性理论的具体计算方法。
弹塑性分析技术主要包括弹塑性有限元分析、弹塑性强度折减法、弹塑性反分析等方法。
弹塑性有限元分析是一种基于有限元法的弹塑性分析方法，通过建立合适的有限元模型和弹塑性本构关系，可以对岩土体在受力作用下的变形和破坏进行数值模拟。
弹塑性强度折减法是一种基于强度折减原理的弹塑性分析方法，通过将岩土体的强度参数按照一定的折减系数进行计算，可以对岩土体在受力作用下的变形和破坏进行估计。
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
用于模拟流体流动和传热问题 ，如流体机械、航空航天和化 工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设 备性能，如电机、变压器和天 线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制 问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原 理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体， 每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应， 确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维 护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收 敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性 有限元法在各个工程领域中得到了广 泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构 的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安 全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构 在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能 和安全性。
弹塑性本构关系简介
2） 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1）虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，
B c
为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1
弹塑性力学与有限元-材料非线性问题和几何非线性问题
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (i) Prager运动硬化法则 规定加载曲面中心的移动是在表征现时应力状态的应力点的法线方向。
Prager运动法则一般说只能应用于九维应力空间。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
(3)按单元内各个积分点计算D的预测值
1)计算屈服函数值
，然后区分三种情况
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 弹塑性状态的决定和本构关系的积分 (i)
(ii) 若
，则该积分点为由弹性
进入塑性的过渡情况，计算比例因子m。
（iii）若
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 二． 应力的度量 在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡方 程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单元 体定义应力张量－－欧拉应力张量，tτij
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
岩土工程中的弹塑性理论与分析技术
岩土工程中的弹塑性理论与分析技术岩土工程是研究土体和岩石力学行为以及相关工程问题的学科。
在岩土工程中，土体和岩石常常会受到外力的作用，从而产生弹性变形和塑性变形。
弹性变形是指在加载或卸载外力后，土体和岩石能够恢复到原始形状的能力。
而塑性变形是指土体和岩石在加载或卸载外力后，无法完全恢复原始形状的能力。
为了研究土体和岩石在弹性和塑性阶段的力学特性，人们提出了弹塑性理论与分析技术。
弹塑性理论与分析技术是将弹性理论与塑性理论相结合，用于描述土体和岩石在受力过程中的力学行为。
弹塑性理论首先研究土体和岩石的弹性行为。
弹性是指土体和岩石在外力作用下，能够恢复到原始形状的能力。
弹性理论利用应力和应变的关系来描述土体和岩石的弹性行为。
常见的弹性理论有胡克定律、泊松比理论等。
这些理论可以用来计算土体和岩石的弹性应力、应变和变形。
然而，在实际的工程中，土体和岩石常常会出现塑性变形。
塑性变形是指土体和岩石在加载或卸载外力后，无法完全恢复原始形状的能力。
塑性行为涉及到土体和岩石内部颗粒的移动和变形，因此塑性变形的研究要比弹性变形复杂得多。
弹塑性理论与分析技术的目的就是要研究土体和岩石的弹塑性行为，并提供相应的分析方法。
弹塑性理论与分析技术的主要内容包括：1. 弹性塑性模型：弹塑性模型是描述土体和岩石在加载或卸载过程中的应力和应变关系的数学模型。
常见的模型有Cam-Clay模型、Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型等。
这些模型可以用来计算土体和岩石的应力应变状态，从而得到土体和岩石的强度参数和变形特性。
2.弹塑性本构关系：弹塑性本构关系是描述土体和岩石在受力过程中力学行为的数学方程。
本构关系可以用来计算土体和岩石的应力、应变和变形。
常见的本构关系有弹性本构关系、弹塑性本构关系等。
这些本构关系可以用来计算土体和岩石的弹性和塑性变形。
3.弹塑性分析方法：弹塑性分析方法可以用来计算土体和岩石的应力、应变和变形。
第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法讲解
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史。 后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
F
ห้องสมุดไป่ตู้ nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom
s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E
x1 x x 2 , xn
F(x)=0
f1 (x) f ( x) F ( x) 2 , f n ( x)
0 0 0 0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样 存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
Lagrange型有限变形弹塑性本构理论
・ >
>
而弹性区 由 参 数 ) * 和 / 决 定。 由于假设弹性响应的形式为
> + # （ ) & ) - ）2 #（ ， 因此， 可假设存在一个标量函数 # （) & ( )* ）
其中 ! 是塑性乘子， 不失一般性假设 ! 1 , 。 在此仅考虑 率 无 关弹塑性物质， 即变 形 的 速 率 不 影 响 弹 塑 性 物 质 的 响 应。 因 此， 不考虑粘性效应。 由屈服函数的 定 义 可 知， 弹塑性物质在 发生塑性流动时必须满足一致性条件
弹塑性物质发生塑性变形的条件是 （ . )， )- ， / ） ! ,/ 且/ （ " , "" ）
3 )） " ! ! #（ 这说明在此弹性区内 .# 3 .)
> >
此时， 塑性流动规律是 )- ! ! （ )， ) +* ）
・ ・ ・ > >
（ " , "0 ） （ " , "1 ）
# !
/ ! ! / （ )， ) +* ）
!" 3456789) 假设及正交流动法则
通常， 弹塑性物质被要求满足 3456789) 公设： 对任意可能 的应变循环 ! ， 在此路径上做的应力功非负， 即
+" +, ・
（", $变张量， # 为弹塑性物质的弹性响应泛 在此， 函。 根据上述假设， 背应力 # ( 也完全由当前的变 形 ) （即 + 时 而且 刻的塑性应变 ) - ）和塑性变形历史 ) +* 决定， #( ! # （ )- ， ) +* ）
/E 、 G1?825 和 H36315 证明， 如果采用变形率张量的和分解， 根 据自洽判 据 （ 53=< $ IE25:5C32I6 I1:C31:E2 ） 和屈服面不动判据 （ 6:3=9:20 $ 5C/C:E2/1:C6 I1:C31:E2 ） ， 那 么， 使 用 J:1I88E<< 应 力 张 量的客观率和 K?=31 型 背 应 力 张 量 的 客 观 率 相 同 且 唯 一， 是 欧拉型对数 应 变 张 量 的 同 旋 率 （ IE $ 1EC/C:E2/= 1/C3 ） ， 有关内 容详见他们的研究工作。
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹性本构关系：弹性本构关系是描述材料的弹性行为的数学模型。
常见的弹性本构模型包括线性弹性模型和非线性弹性模型。
线性弹性模型假设应力与应变之间的关系是线性的，而非线性弹性模型则考虑了应力与应变之间的非线性关系，如Hooke定律和多项式模型等。
塑性本构关系：塑性本构关系是描述材料的塑性行为的数学模型。
常见的塑性本构模型有单一的本构模型和多线性本构模型。
单一本构模型假设应力与应变之间的关系是单调递增的函数，而多线性本构模型则将塑性行为分段描述，适用于复杂的应力和应变关系。
一般在工程中，弹性本构关系常与塑性本构关系相结合，用于模拟材料在加载过程中的弹性和塑性变形。
有限元方法：有限元方法是一种将连续介质离散成有限个子域，并建立一个代表离散网格的有限元模型进行求解的方法。
在弹塑性有限元方法中，将结构或材料划分成无限形状的有限个单元，每个单元都有一组本征坐标。
然后根据问题的对称性和几何形状，选择适当的数学模型，建立方程组。
模拟方法：在弹塑性有限元法中，首先要确定问题的边界条件，包括力、位移或边界反应。
然后，应用合适的数值方法，如有限差分法或有限元法，对弹塑性问题进行离散求解。
通常采用迭代法进行求解，不断更新单元应力和应变，直到达到一定的收敛准则。
在实际应用中，弹塑性有限元法可以用于模拟多种材料和结构的力学行为，如金属、混凝土、岩土、复合材料等。
通过合理选择材料模型和有限元网格，可以准确地模拟材料的应力、应变分布以及变形情况。
总之，弹塑性有限元法是一种基于有限元法的理论框架，用于模拟材料和结构在加载过程中的弹性和塑性行为。
它包括弹性本构关系、塑性本构关系、有限元方法和模拟方法等几个方面，可以应用于各种材料和结构的力学分析和设计中。
弹塑性理论基本知识
主应力空间中任意一点的主应力矢量为 P 1e1 2e2 3e3 , 把 P 分解为球张量和偏张量两部份： P S Q ~
~ ~ ~
P(e1 e2 e3 ) 由Q ~ ~ ~ ~ 知表征应力球张量的单位矢量n 与三个主应力坐标轴的夹角相等， n 1 (e1 e2 e3 )，
2. 应力变换公式 nm lni lmj ij 取任意一个斜面，设其外法线上的单位矢量为ni， 它的三个分量是方向余弦，即：
ni cos(n, ei ) lni (i 1,2,3)
2 2 3 n n n 且有 1 2 3 1
2
ni mi
1
3
设该斜面上的应力矢量为 Pi ，斜面的面积为△S，△S 在X1OX2内投影为△S3，在X1OX3内投影为△S2，在X2OX3内 X 0 得到: 投影为△S1。由四面体的平衡条件 X 0
I 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) I 3 1 2 3
因为主应力和坐标系的选择无关（即用主平面上的主应 力描述一点的应力状态不随坐标系而变化），因此 在坐标变换时也保持不变，故称 I1, I 2 , I3 分别为应力张 量的第一、第二、第三不变量
x y
2
sin 2 xy
3.主应力和主应力张量不变量 主应力： 主平面（剪应力为零的平面）上的正应力。 设任一主平面的外法线方向为ni（i=1，2，3）
由 Pj n i ij n j n i ij (ij ij )n i 0
( 11 )n1 21n2 31n3 0 12 n1 ( 22 )n2 32 n3 0 n n ( )n 0 23 2 33 3 13 1
弹塑性力学与有限元-若干应用实际考虑和线性代数方程组的解法
１.０
１.０
１.０
显然，当采用减缩积分时，当网格加密增加单元数，可以提高计算精
度, 较好地克服了剪力自锁．
《弹塑性力学与有限元》
若干应用实际考虑和线性代数方程组的解法 等参单元计算中数值积分阶次的选择
➢ 数值积分与矩阵奇异性 采用线性减缩积分却引出了另外的问题，即所谓奇异能量模式（ hourglassing－沙漏现象）而导致非正常变形出现．考察一小块矩形材 料受纯弯曲，用线性减缩积分
网格划分：M1至M5，三角形单元数是矩形单元数的2倍;网格M5， T3、Q4的自由度为16，T6的自由度为42，Q8的自由度为36。
《弹塑性力学与有限元》
若干应用实际考虑和线性代数方程组的解法
建立有限元计算模型应遵循的一般原则
➢ 单元类型和形状的选择
此悬臂梁在端部的垂直位移需要考虑横 向剪切的影响，可按弹性力学解出：
v
PL3 3EI
6PL 5GA4源自0.034.03单元（T：三角形Q：矩形） NDL单元自由度数
模型
积分点数
T3（CST）
6
位移模型
1
重点和应掌握的内容
➢ 建立有限元计算模型应遵循的一般原则 ➢ 采用基于最小位能原理的位移元进行有限元分析所得应力结果
的性质及其近似性的表现和常用的几种改善应力结果的方法 ➢ Wilson非协调元的特点和分片试验的意义及实施方法 ➢ 子结构方法的特点、使用条件和实施步骤 ➢ 有限元建模中有效利用结构对称性和周期性的方法 ➢ 高斯消去法和三角分解法的原理和算法步骤 ➢ 几种常见迭代解法的原理和计算步骤,以及它们的各自特点
建立有限元计算模型应遵循的一般原则
单元形状： 三角形单元比较适合不规则形状 四边形比较适合规则性状
三维弹塑性问题的比例边界有限元法
04
比例边界有限元法的实现 过程
网格划分与节点生成
网格划分
将三维空间离散化为有限个小的单元，每个单元由节点连接。
节点生成
根据几何形状和边界条件，在关键区域布置节点，确保计算的精确性。
比例边界条件的处理
边界条件转换
将比例边界条件转换为等效的节点力约束。
节点力平衡
确保所有节点力在平衡状态下，以实现真实比例边界条件的模拟。
材料属性
根据实际问题，设置材料属性，如弹性模量、泊松比、密度等 。
力学行为
考虑弹性和塑性行为，建立相应的本构关系和屈服条件。
边界条件与载荷施加
边界条件
根据实际问题，施加相应的边界条件，如固定边界的位移约束、滑动边界的 摩擦力约束等。
载荷施加
根据实际问题，施加相应的外部载荷，如重力、压力、扭矩等。同时考虑惯 性效应，如质量、阻尼等。
三维弹塑性问题的有限元 建模
有限元模型的建立
几何模型
根据实际物理模型，建立相应 的几何模型，包括三维实体、
表面等。
网格划分
根据模型复杂程度和计算精度要 求，选择合适的网格类型和密度 进行划分。
边界定义
根据实际问题，定义模型的边界条 件，如固定边界、滑动边界等。
单元选择与属性设置
单元类型
根据实际问题，选择合适的有限元单元类型，如四面体单元、 六面体单元等。
三维弹塑性问题的比例边界 有限元法
2023-11-06
目 录
• 引言 • 三维弹塑性理论基础 • 三维弹塑性问题的有限元建模 • 比例边界有限元法的实现过程 • 三维弹塑性问题的算例分析 • 结论与展望 • 参考文献
01
引言
研究背景与意义
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例一、本文概述结构静力弹塑性分析是一种重要的工程分析方法，用于评估结构在静力作用下的弹塑性行为。
该方法结合了弹性力学、塑性力学和有限元分析技术，能够有效地预测结构在静力加载过程中的变形、应力分布以及破坏模式。
本文将对结构静力弹塑性分析的基本原理进行详细介绍，并通过计算实例来展示其在实际工程中的应用。
通过本文的阅读，读者可以深入了解结构静力弹塑性分析的基本概念、分析流程和方法，掌握其在工程实践中的应用技巧，为解决实际工程问题提供有力支持。
二、弹塑性理论基础弹塑性分析是结构力学的一个重要分支，它主要关注材料在受力过程中同时发生弹性变形和塑性变形的情况。
在弹塑性分析中，材料的应力-应变关系不再是线性的，而是呈现出非线性特性。
当材料受到的应力超过其弹性极限时，材料将发生塑性变形，这种变形在卸载后不能完全恢复，从而导致结构的永久变形。
弹塑性分析的理论基础主要包括塑性力学、塑性理论和弹塑性本构关系。
塑性力学主要研究塑性变形的产生、发展和终止的规律，它涉及到塑性流动、塑性硬化和塑性屈服等概念。
塑性理论则通过引入屈服函数、硬化法则和流动法则等，描述了材料在塑性变形过程中的应力-应变关系。
弹塑性本构关系则综合考虑了材料的弹性和塑性变形行为，建立了应力、应变和应变率之间的关系。
在结构静力弹塑性分析中，通常需要先确定材料的弹塑性本构模型，然后结合结构的边界条件和受力情况，建立结构的弹塑性平衡方程。
通过求解这个平衡方程，可以得到结构在静力作用下的弹塑性变形和应力分布。
弹塑性分析在结构工程中有着广泛的应用，特别是在评估结构的承载能力、变形性能和抗震性能等方面。
通过弹塑性分析，可以更加准确地预测结构在极端荷载作用下的响应，为结构设计和加固提供科学依据。
以上即为弹塑性理论基础的主要内容，它为我们提供了分析结构在弹塑性阶段行为的理论框架和工具。
在接下来的计算实例中，我们将具体展示如何应用这些理论和方法进行结构静力弹塑性分析。
弹塑性力学与有限元
x yx zx X 0 x y z
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
平衡微分方程
x xy xz 2u X 0( 2 ) x y z t yx y yz 2v Y 0( 2 ) x y z t zx zy z 2w Z 0( 2 ) x y z t
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
根据泰勒级数展开式，可得：
f 1 ( x , y , z ) 1 2 f 1 ( x, y , z ) 2 u1 f 1 ( x , y , z ) dx dx 2 x 2! x
略去高阶项后得到：
u u1 u dx x
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
xy
yz
zx
u v y x
v w z y u w z x
说明：剪应变的正负号
ij 0(i, j x, y , z )表示夹角变小 ij 0(i, j x, y , z )表示夹角变大
应变分析
应变—位移关系
位移—由于外部因素如载荷或温度
变化,物体内部各点空间位置发生的
变化 ；
如果各点的位移完全相同，物体发
生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
硬化法则
• 塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈 服函数（又称加载函数或加载曲面） – 各向同性硬化 – 运动硬化 – 混合硬化
第二十九页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方向均匀地向外扩张，其 形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。
• 非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过程中 应力和变形的演变历史。）
– 每个增量步采用Newton-Raphson迭代法
第六页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性方程的迭代求解方法
f (x) 0
直接迭代法 x g(x) xk1 g(xk )
Newton-Raphson迭代
• 分类：
–不依赖时间的弹、塑性问题
• 非线性弹性——橡胶 • 弹塑性——冲压成形
–依赖于时间的粘（弹、塑）性问题
• 蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化 • 松弛——变形不变，应力随时间衰减
第十四页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性弹性材料行为
橡胶应力应变关系曲线
第八章 几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例
第一页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.1 非线性问题及分类
• 在分析线性弹性问题时，假定：
– 应力应变线性关系
– 结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）
– 加载时边界条件的性质不变
Kq P
如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题
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本 文将 与对数 应变 在能 量上成 共轭 的应力记 为如 Ｆ 式 形
ｎ ＝ ∑ ｎ Ｎ ｇ Ｎ ｕ ｝ ３
由文献 ［］ ３ 可知 ， 其分量 表示 如下
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第 １ 期
刘学军等 ： 自 限变形弹颦性 论硬 一 致性算 法
＝
ｄａ ｆ ｉｇ
．
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，
Ｕ ）其中 ， ， ． 叫做主伸长， 它们是 的特征值． 足对数应变公式 仃 ＿ Ｆ Ｊ
１ 引言
对于 一般 的弹塑性 金属材料 ， 当进 入 塑性变 形 后 ， 其塑 性 变形 部 分具 有体 积 不 变性 ， 在 小 变形理论 中表示 为应 变张量 的第 一 不变 量 ， ＝０ 对 于 有 限变 形 所 常用 的 Ｇｅｎ１ｇ ｌｅ ． ． ｒｅ一ｚｒ３ ； ａｇ 膻 变 ， ，＝０与体 积不变 不等价 ． 其 凼此 ， 应Ｉ 时将 有 大 困难 而对 数廊 变 止好 满 足其 第 在 ｝ ｛ ＿ ｛ 不 变量 ，＝０与体 积不 变假设等 价 战我 们借 鉴小 变形甥性 理论 ， 对数 麻 变 引入 副有 限 ． 将 变形 弹塑－ 中 ， 性之 最终 形成 一套有 限变形 弹塑性理 论 ． 外 ， 此 还住文 『 ，］｝ 出的小变 形 弹 １２ Ｌ提 ＿ ｌ 性 ＿ 致性算 法 基础之 ［， －对此 理论 加 以改造 发展 ， 之成 功地廊 用于 有 变形 弹塑性 使 计
摘
要
通过对对数应变的引用 ， 成功地将 小变形蝉 塑件 理论移植 到有限 变形之 巾，Ｂ Ｉ 成
ｒ一套完整 的有 限变形弹塑性 理 沦， 进一步发展 ｒ 有一 阶精度 的一敛性 弹塑性 算法 最后 ， 具 给 出儿个算侧 以汪明此理论的正确性 硬算法 的有效‘ 肚． 关键词 有 限Ｊ ， Ｌ自限变形 ， 弹塑性 ， 敛 算法 一・
ＡＴＭＣＡＩ １ＡＩＣ Ｃ 固 Ｎ ＡＯＤＳＩ Ａ Ｅ体力学学报 Ａ Ｈ ２ ２ ｈ
有 限变 形 弹塑 性 理 论及 一致性 算 法
刘学军 李明瑞 黄 文彬
中 用收 太 东 区 － 用 学 研 ， 窀 ， 京 ．００ ３ 应 北 １０８ ）
＝
１而此 时 ， 数 应变张量 的第 对
不 变量
， ＝ Ｅ ＝ Ｅｌ ｅ ＋ ￡ ＝ Ｉ（ ’ ｌ ｌ＋ ｎ Ｄ ）＋ Ｊ（ ）＋ ｌ（ １ １ ｎ ｎ￡
：
Ｉ（ ｌ Ｕ ）＝ Ｉ（ ）＝ ｉ（ ）＝０ ｎ Ｕ × × ｎＪ ｎ】
此， 有限变形下对数应变的第一不变量 ， 依『是变形体体积变化的度量 ． 似， 口 类 亦可｛ 剥
．
通过将 对数应 变 的变形 与变积 的成 功分解 ， 我 们 能够将 内能分 解 成 为 变形 能 与变积 使 能之 和 ． 由此可 见 ， 通过 引 ＡＴＩ数 应 变 ， ￣ 我们 可 以将 小 变形 塑性 理论 中 相应部 分 引人柏 限 变形 塑性理论 而无 须改 动 ． 是 ． 但 小变 形 中的弹 靼性应 变分解 假 设 ｅ ＋ｅ ＝ｓ 将小 再成 立
转 变 为
ｓ ＝ｉ（ ｎ Ｕ）＝ Ｑ。 ｉｇ Ｉ（ １ ，Ｉ（ ， ｎ ） Ｑ ＝ Ｑ ｄａ（ １ｅ ， Ｑ ｄａ （ｎ Ｕ ） ｎ Ｕ ） Ｉ（ ） ｉ ￡ ．！ Ｅ ） ｇ
这时变形体体积变化量 Ｊ Ｆｌ ， ｌ ． ： 金属在塑性状态时． ＝ｌ ＝ｌ ， ：Ｕ ＊ ＊Ｕ ． Ｊ 体积不变 ， Ｊ 则
２ ２ 共轭 应力 的引入 ．
与对数应变相共轭的应力在文献［］ ３ 中已有很好地阐述 ， 本文只将结果列 出来 ． 首先设 ．Ｈ 分别为 ｙ的特征值 与特征向量， Ａ Ｎ． 别 为 Ｕ 的 特 征 值 与 持 矾 向 、． 没 分 量， 则 ． ＝ ． ＝Ａ 、 ． ．
．
，
定 义 ： 为 Ｃｕｈ 应 力张量 ， ａｃｙ ｆ＝如 为 Ｋｒｈｏ 应 力张量 ，１ 馏 为旋 转 ＫＨ ｈｆ应 ｉ ｈｆ ｃ ｌ 了＝ ｉ ｎ ｈ ｌ 力张量 ， Ｋｍｈｏ 应 力张量 、 将 ｉ ｈｆ 旋转 Ｋｒｈｏ 应 力 张量用 分量表 示法 表示 为 ｉ ｈｆ ｅ
李明瑞黄文彬摘要通过对对数应变的引用成功地将小变形弹塑性理论移植到有限变形之中形成了一套完整的有限变形弹塑性理论进一步发展了具有一阶精度的一致性弹塑性算法最后给出几个算例以证明此理论的正确性及算法的有效性关键词有限元有限变形弹塑性一致性算法
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靛拳 背
巾此 ， 变形体 的变形 梯度 张量定 义为 Ｆ ＝３ １Ｘ， 分量形式 为 ＝ｒ ， ．对 此帐 作极 ｘ３ 其 ． ７
分解可得
Ｆ ＝ Ｕ ＝ ＶＲ
其 中 ， 为单 位正 交张量 ， 代表 变形梯 度 张量 Ｆ 的刚体 转动部 分 ， Ｖ为对 称 正定 张龄 ， Ｕ、 代 表 Ｆ 的纯变形 部分 ， Ｉ可分 别称 为 伸 长张量 和左 伸长张 量 ． ｕ、， 由此 ， 数应 变定 义为 ｓ＝ｈ（ ． 对 ａ 将 分 解 为 Ｕ＝Ｑ’ 其 中 Ｑ 是 甲他』 的 ， Ｄ Ｑ， 交 Ｄ
算中．
２ 应 变 及 其相 应 共 轭 应 力 的选 择
２ １ 对数 应变 的引入 ．
首先 １ 人变 形梯度 张量 Ｆ．
设 是变形 体某 点在初 始构形 的位置 向量 ， 是 陔点在 当前构 形 的似 ¨量 口 Ｊ
＝ Ｘ（ ）
』 分量 形式 为
：
（． ）
数应变 的偏量
＝ ￡ ｄ （ ¨） ＝ ∈ 一 口 ￡ ／ ３ ，一 （／ ） ｌ（ Ｕ １ １３ ｎ １ ）＝ ￡ 一ｄ Ｉｔ Ｕ Ｉ ｊ ． ｌ ． ｎ
于是 ， 埘数 应变张 量偏 量为 ｓ ＝ｉ Ｕ ｆ ）用来 度量 变形体除 体积 变化 外的 变形部 分 ｎ ／Ｕ （ ．