专训4 应用三角函数解实际问题的是四种常见问题
高考数学中如何运用三角函数解决实际问题
高考数学中如何运用三角函数解决实际问题在高考数学中，三角函数是一个重要的知识点，不仅在理论上有着丰富的内涵，更在解决实际问题方面发挥着关键作用。
那么，如何巧妙地运用三角函数来解决实际问题呢？首先，我们要明确三角函数的基本概念和公式。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
它们之间存在着一系列的关系式，比如正弦平方加余弦平方等于 1，正切等于正弦除以余弦等等。
这些基本的公式和概念是我们解决问题的基石。
在实际问题中，常见的与三角函数相关的情境有测量物体的高度、计算角度、求解距离等。
例如，在测量建筑物高度的问题中，我们可以通过测量观察者与建筑物底部的水平距离，以及观察者观测建筑物顶部的仰角，利用正切函数来计算建筑物的高度。
假设观察者与建筑物底部的水平距离为 x 米，观测到的仰角为θ ，那么建筑物的高度 h 就可以表示为 h ＝x × tanθ 。
再比如，在航海问题中，常常需要根据已知的角度和距离来确定船只的位置或者航行方向。
假设一艘船从 A 点出发，航行方向与正北方向的夹角为α ，航行距离为 d ，那么船最终到达的位置坐标可以通过三角函数来计算。
为了更好地运用三角函数解决实际问题，我们还需要具备良好的图形构建能力。
很多实际问题可以通过画出示意图来帮助我们理解和分析。
例如，在求解山坡倾斜角度的问题中，我们可以画出山坡的截面图，标记出相关的长度和角度，然后利用三角函数来求解。
同时，要注意单位的换算和数据的准确性。
在实际问题中，所给的数据可能会涉及不同的单位，我们需要将其统一，以保证计算的准确性。
另外，多做练习题也是提高运用三角函数解决实际问题能力的重要途径。
通过大量的练习，我们可以熟悉各种类型的实际问题，掌握解题的思路和方法，提高解题的速度和准确性。
在高考中，运用三角函数解决实际问题的题目往往会设置一些陷阱。
比如，角度的范围限制、数据的干扰等。
因此，在解题过程中，我们要仔细审题，分析题目中的条件和要求，避免掉入陷阱。
三角函数解题中的几类常见错误
三角函数解题中的几类常见错误黑龙江省大庆实验中学 杜 山 侯典峰（163311）三角函数这一章公式较多，变量之间的制约关系相对复杂，对思维的全面性以及深刻性要求较高，解题过程中容易出现一系列的错误，本文仅对几类常见错误进行剖析，权当抛砖引玉。
一．忽视定义域的影响而致错例1． 求函数cot cos ()1sin x x f x x +=+的最小正周期 错解：化简得cot (1sin )()cot 1sin x x f x x x +==+，所以f(x)最小正周期为π上面的解法其实是错误的，错误的原因在于，忽视了函数的定义域，事实上 cotx 由有意义，知,x k k Z π≠∈ 由31sin 0,2,2x x k k Z ππ+≠≠+∈知 当2,2x k k Z ππ=+∈时，32,2x k k Z πππ+=+∈ 故()f x π+无意义，所以()f x 的最小正周期不是π，而是2π二．忽视变量之间的隐含关系而致错例2． 已知,,αβθ均为锐角，且sin sin sin ,cos cos cos αθββθα+=+= 求αβ-错解：由已知条件得sin sin sin cos cos cos αβθαβθ-=--=两式平方，两端同时相加得1cos()2αβ-= 由0,022ππαβ<<<< 得22ππαβ-<-< 故33ππαβαβ-=-=-或此种解法的错误在于：没有注意到条件中隐含的关系，从而产生了增解由sin sin sin αθβ+=得sin sin sin sin ,(0,)2αβθβπαβ=-<∈因所以αβ<，故02παβ-<-< 所以3παβ-=-三．忽视运算的等价性而致错例3．已知sin ,tan αβαβ==，,0,22ππαβπαβ-<<<<求,.误解：sin tan 3cot ααβ=得cos 3αβ= ①又sin αβ= ②①，②两式两端平方后相加得2222cos sin 1,sin 32βββ+==±解得因为0βπ<<，所以2sin ,233ππβββ===于是或，代入①得44= -ππαα=及 故有2,,3434ππππαβαβ====-或本解法的错误在于：没有注意到作商时，分母不为0的要求，从而导致丢解而当tan 0,cot 0αβ==时，0,2παβ==也满足题设要求 四．忽视变量的实际意义而致错例4．在△ABC 中，如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=，求角C 的大小 误解：由已知得2(4sin 2cos )1A B += ①2(2sin 4cos )B A += ② 两式两端分别相加得1sin()2A B += 5,66A +B =ππ所以或于是566C ππ=或上述解法的错误在于：没有注意到变量在实际问题中的范围而产生了增解实际上，由4sin 2cos 12cos 14sin 1A B B A +==-<可得 故1cos ,2<B <B π<而0，于是3B π>，再由A+B+C=π得23C π<，所以角C 只能是6π五．忽视方程对变量范围的约束而致错例5．已知tan ,tan αβ是方程240x ++=的两个根且,(,)22ππαβ∈-，求αβ+错解：由题设知tan tan tan tan 4αβαβ+=-=得tan tan tan()1tan tan 14αβαβαβ+-+===--由,(,)22ππαβ∈-知(,)αβππ+∈- 所以233- ππαβ+=或以上解法错误在于：没有通过韦达定理进一步缩小变量范围而产生了增解由知tan tan 4αβ=知tan tan αβ与同号，再由tan tan αβ+=-知tan ,tan αβ同为负值，所以(,0),(,0)22ππαβ∈-∈-(,0)αβπ+∈-，故23παβ+=-六．函数性质的理解不当而致错例6．判断函数1sin cos ()1cos sin x xf x x x +-=++的奇偶性 错解：(1cos )sin ()(1cos )sin x x f x x x -+=++ =222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos 222sin (sin cos )222cos (cos sin )222tan 2xx x xx x xx x xx x x+++=+= 所以()f x 为奇函数这个解法的错因是对奇偶性定义理解的不当，忽视变量的任意性由1cos sin 0x x ++≠，易得22,2x k x k k Z ππππ≠-≠-∈且，函数()f x 的定义域为{2,2,}2x x k x k k Z ππππ≠-≠-∈且，不关于原点对称∴f(x)既非奇函数也非偶函数 以上所列的几类错误，笔者在多年教学多次遇到，而且会有很多学生在这些问题上重复犯错，如何培养学生良好的思维品质，如何让学生学会批判，是一个值得深思的问题。
沪科版九上数学第23章解直角三角形训练：利用锐角三角函数模型解决实际问题的四种类型习题课件
解：过点 C，D 分别作 CE⊥PB，DF⊥PB，垂足分别为点 E，F， 如图，则有 AB＝CE＝DF，EF＝CD＝42 m.
在 Rt△ PCE 中，PE＝CE×tan32.3°≈0.63CE， 在 Rt△ PDF 中，PF＝DF×tan55.7°≈1.47CE. ∵PF＝PE＋EF， ∴1.47CE≈0.63CE＋42，∴AB＝CE≈50 m.
5．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从 M 到 N 的走向为南 偏东 30°.在 M 的南偏东 60°方向上有一点 A，以 A 为圆心，500 m 为 半径的圆形区域为居民区，取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方向为南 偏东 75°，已知 MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水 路线是否会穿过居民区？（参考数据： 3≈1.73）
2．[中考·合肥瑶海区三模]停车难已成为城市病之一，主要表 现在居住区停车位不足、停车资源结构性失衡、中心城区 供需差距大等等.如图是的车与墙平行停放的平面示 意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知 小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时， 车门是否会碰到墙？请说明理由. （参考数据：sin40°≈0.64， cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
第23章 解直角三角形
利用锐角三角函数模型解决实际问题四种类型
提示：点击 进入习题
1 450 m 2 不会
方法技能专题练（六） 训练3
5 不会 6 25.98米
3 (1)不穿过；(2)25天
7 12.16米
4 20 2海里
答案显示
1．[中考·南通]如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山 的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取∠ABD＝120°，BD＝520 m， ∠D＝30°，那么另一边开挖点 E 离 D 多远正好使 A，C，E 三点在一直 线上.（ 3取 1.732，结果取整数） 解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠E＝90°. 在 Rt△ BDE 中，cosD＝DBDE， ∴DE＝BD·cos30°＝520× 23＝260 3≈450(m)． 答：点 E 离 D 450 m 时正好使 A，C，E 三点在一直线上．
初三专训三：应用三角函数解实际问题的四种常见问题及答案
专训三：应用三角函数解实际问题的四种常见问题定位问题1．(2014·贺州)如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1海里)(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan 48°≈1.111)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)测距问题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)测高问题4．(2015·盐城)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．(3取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还可以晒到太阳？请说明理由．专训三1．解：(1)过C 作AB 的垂线，垂足为D ， 根据题意可得：∠ACD ＝42°，∠BCD ＝55°. 设CD ＝x 海里，在Rt △ACD 中，tan 42°＝ADCD，则AD ＝x·tan 42°海里，在Rt △BCD 中，tan 55°＝BDCD，则BD ＝x·tan 55°海里．∵AB ＝80海里， ∴AD ＋BD ＝80海里， ∴x·tan 42°＋x·tan 55°＝80， 解得x ≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离约是34.4海里；(2)在Rt △BCD 中，cos 55°＝CD BC， ∴BC ＝CDcos 55°≈60(海里)， 答：海轮在B 处时与灯塔C 的距离约是60海里．2．解：在Rt △ABE 中，∠BEA ＝90°，∠BAE ＝45°，BE ＝20米，∴AE ＝20米．在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，∠F ＝30°，BE ＝20米，∴EF ＝BE tan 30°＝2033＝203(米)． ∴AF ＝EF －AE ＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．答：AF 的长度约是15米． 3．解：分两种情况：(1)如图(1)，在Rt △BDC 中，CD ＝30千米，BC ＝60千米．sin B ＝CD BC ＝12，∴∠B ＝30°.∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°.∴在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°， ∴DP ＝CD tan ∠CPD ＝30tan 60°＝103(千米)．在Rt △ADC 中，∵∠A ＝ 45°， ∴AD ＝DC ＝30千米．∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)千米．(第3题)(2)如图(2)，同法可求得DP ＝103千米，AD ＝30千米．∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)千米．故交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)千米． 点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P 点位置分两种情况讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．(第4题)4．解：(1)当α＝60°时，在Rt △ABE 中， ∵tan 60°＝BA AE ＝BA 10，∴BA ＝10 tan 60°＝103≈10×1.73＝17.3(米)． 即楼房的高度约为17.3米．(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：如图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为点F ，与MC 的交点为点H.∵∠BFA ＝45°，∴tan 45°＝BAAF＝1. 此时的影长AF ＝BA ≈17.3米，所以CF ＝AF －AC ≈17.3－17.2＝0.1(米)，∴CH ＝CF ＝0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC 这个侧面上．∴小猫仍能晒到太阳．。
三角函数的应用问题
三角函数的应用问题三角函数是数学中一个重要的概念，它在不同领域都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数在几何、物理和工程中的常见应用问题，并分析其解决方法。
一、几何中的三角函数应用1. 直角三角形的求解在直角三角形中，我们可以利用正弦、余弦和正切函数来求解其边长和角度。
通过给定的两个边长或一个边长和一个角度，可以利用三角函数的关系式计算出其他未知量。
2. 三角形的面积对于已知三角形的两个边和夹角的情况，可以利用正弦函数来计算三角形的面积。
公式为：面积 = 0.5 * 边1 * 边2 * sin(夹角)。
3. 三角形的高度当已知三角形的两个边和夹角时，可以利用正弦函数计算三角形的高度。
公式为：高度 = 边 * sin(夹角)。
二、物理中的三角函数应用1. 投射运动在物理学中，我们经常遇到抛体运动问题。
通过使用正弦函数可以计算物体的竖直方向的速度和加速度，而余弦函数则可计算水平方向的速度和加速度。
2. 音波在声学中，我们用正弦函数描述声音的强度和频率。
声音是通过波来传播的，而波的形式可以用正弦函数表示。
3. 震动在机械振动中，我们可以利用正弦和余弦函数来描述物体的位移、速度和加速度。
三、工程中的三角函数应用1. 测量工程测量中常使用三角函数来测量建筑物或地形的高度。
通过测量不同位置的角度和水平距离，可以利用正切函数计算出高度。
2. 电路在电路设计中，我们可以利用正弦函数来描述交流电的电压和电流。
交流电的实际波形可以用正弦函数来近似表示。
3. 建筑设计在建筑设计中，我们需要计算斜面的角度和高度。
三角函数的应用可以帮助我们准确计算建筑物的尺寸和角度。
在以上领域中，我们可以看到三角函数在解决各种应用问题中发挥了重要的作用。
通过合理应用三角函数的公式和性质，我们能够有效地解决实际问题，提高计算的准确性和效率。
四、结论三角函数作为数学中的重要概念，在几何、物理和工程等领域中具有广泛的应用。
通过运用三角函数的公式和性质，我们可以解决直角三角形的求解、面积计算、物体投射运动、测量建筑高度等问题。
如何在高考数学中用三角函数的多种角度来解决问题
如何在高考数学中用三角函数的多种角度来解决问题高考数学中，三角函数是一个重要的章节，它在解决数学问题中有着举足轻重的作用。
三角函数不仅可以用于解决直角三角形的问题，还可以用于解决各种不同的三角形问题。
在考场上，如果考生能够熟练地运用三角函数的多种角度来解题，将能事半功倍。
接下来，本文将从多个角度解析如何在高考数学中运用三角函数来解决问题。
一、利用三角函数的基本关系解题在数学中，三角函数之间有许多基本的关系，例如正弦函数与余弦函数、正切函数与余切函数之间的关系。
利用这些基本关系，可以简化问题，使其更易于解决。
例如，当已知一个直角三角形的正弦函数值时，我们可以通过正弦函数与余弦函数的关系来求出其余弦函数值，从而得到三角形的斜边长度。
同样的道理，当已知一个三角形的正切函数值时，我们可以通过正切函数与余切函数的关系来求出其余切函数值。
二、利用三角函数的图像解题三角函数的图像有着清晰的特征，根据图像可以判断函数的正负以及函数的最值。
这些信息对解题非常有用。
例如，当需要求解一个三角函数的最值时，可以通过观察其图像来解决。
对于正弦函数，其最值分别为正一和负一，在图像上对应着两个顶点。
因此，对于一个周期内的正弦函数，其最值可以通过观察顶点来判断；对于一般的三角函数，可以通过变形使其成为正弦函数、余弦函数或正切函数来得到其最值。
三、利用三角函数的性质解题三角函数有着许多独特的性质，例如周期性、奇偶性、单调性等，这些性质对于解题有着很大的帮助。
例如，当需要求解一个三角函数的零点时，可以根据其周期性来缩小求解范围；当需要求解一个三角函数的极值时，可以根据其单调性来判断极值的位置。
此外，奇偶性也是一个重要的性质，在通过性质来解题时，我们可以将函数进行化简，从而更容易得到问题的答案。
四、利用三角函数的三角恒等式解题三角函数有着许多重要的三角恒等式，这些恒等式在解题过程中经常发挥着重要的作用。
例如，三角函数与三角函数的和差公式、倍角公式、半角公式等。
三角函数的应用高考数学中的常见困惑
三角函数的应用高考数学中的常见困惑高中数学中，三角函数是一个非常重要的内容，也是高考数学中的常见考点。
然而，许多学生在学习和应用三角函数的过程中会遇到一些困惑和问题。
本文将就三角函数的应用在高考数学中常见的困惑进行探讨，并给出解决方法。
一、如何正确理解三角函数的定义与性质在学习三角函数时，最基本的就是掌握三角函数的定义及其性质。
然而，许多学生仅仅是机械记忆了三角函数的定义，而没有真正理解其背后的几何意义。
这导致了在实际应用中容易混淆各个三角函数之间的关系，从而影响问题的解答。
解决这一问题的方法是，通过几何图形来理解三角函数的定义与性质。
例如，可以以单位圆为基础，通过正弦、余弦和正切在圆上的几何意义进行解释，帮助学生理解并记忆三角函数的定义与性质。
此外，利用数学软件或动画演示工具，展示不同角度下三角函数值的变化规律，也能帮助学生更好地掌握三角函数的特点。
二、如何准确运用角度变换公式在高考数学中，经常会出现需要将角度从一种形式转化为另一种形式的情况，例如将弧度制转换为度数制，或者将角度变换为三角函数值。
然而，许多学生在运用角度变换公式时容易混淆，导致答案错误。
要解决这个问题，首先需要掌握常用的角度变换公式，并加强练习以掌握其运用技巧。
同时，要注意在运用角度变换公式时保持计算的准确性，特别是在计算弧度制和度数制之间的转换时，要注意换算系数的正确运用。
三、如何合理运用三角函数解决实际问题三角函数在实际问题中的应用非常广泛，无论是几何问题还是物理问题，都离不开对角度与距离关系的探究。
然而，很多学生在应用三角函数解决实际问题时会出现思路混乱、公式应用错误等问题，导致答案不准确。
要解决这个问题，首先需要对常见的三角函数应用问题进行分类和总结，理清解题思路。
其次，对于不同类型的问题，要熟悉运用具体的三角函数公式，灵活应用各种三角函数的性质，从而准确解答问题。
最后，多做一些实际问题的练习，通过实践来提高应用三角函数解决问题的能力。
三角函数的应用中考数学中的常见问题解决方法
三角函数的应用中考数学中的常见问题解决方法三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，尤其在中考数学中经常出现。
然而，由于其复杂性，学生们常常遇到一些问题。
本文将介绍一些常见的问题以及相应的解决方法，以帮助学生更好地应对三角函数的应用。
问题一：如何准确计算三角函数的值？解决方法：为了准确计算三角函数的值，学生需要熟悉常见角度的正弦、余弦和正切值，并掌握使用计算器的技巧。
同时，学生还应了解特殊角度的三角函数值，如30°、45°和60°等，因为它们在问题求解中经常出现。
问题二：如何确定一个三角形的边长或角度？解决方法：在解决三角形的边长或角度问题时，可以运用正弦定理、余弦定理和正切定理。
正弦定理可以帮助我们求解三角形的边长，而余弦定理则常用于解决三角形的角度问题。
正切定理适用于特殊情况，如等腰三角形。
问题三：如何应用三角函数解决实际问题？解决方法：实际问题中经常涉及到三角函数的应用，比如测量高楼的高度、计算物体的飞行距离等。
解决这类问题时，我们可以通过建立适当的图形模型，使用三角函数来表达出已知和未知量之间的关系。
在这个过程中，学生需要善于抽象问题，将其转化为数学模型。
问题四：如何解决解三角函数方程的问题？解决方法：解三角函数方程需要运用三角恒等式和解方程的技巧。
首先，学生需要了解常用的三角恒等式，并熟练掌握其证明和应用。
其次，学生需要将方程化简为三角恒等式的形式，并找到方程的解。
最后，学生还需检验解是否满足原方程。
问题五：如何使用三角函数图像解决问题？解决方法：三角函数的图像通常是一种周期性的波动曲线，通过观察图像，可以获得有关函数性质的信息。
学生可以利用图像分析函数的周期、幅值、最大值、最小值等特征属性，并将其应用于问题求解。
同时，学生还需注意辨别不同类型的三角函数图像，并了解其基本特点。
问题六：如何解决三角函数的复合问题？解决方法：三角函数的复合问题意味着需要嵌套运用多个三角函数公式进行计算。
阶段应用专训 应用三角函数解实际中的四种常见问题
阶段应用专训 3．(2019·怀化)如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽
度，小明在南岸 B 处测得对岸 A 处一棵柳树位于北偏东 60° 方向，他以每秒 1.5 米的速度沿着河岸向东步行 40 秒后到达 C 处，此时测得柳树位于北偏东 30°方向，试计算此段河面 的宽度．
阶段应用专训 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. 由题意可知 BC＝1.5×40＝60，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝30°. ∴∠ABC＝∠BAC.∴AC＝BC＝60. 在 Rt△ACD 中，AD＝AC·sin60°＝60× 23＝30 3(米)． 答：此段河面的宽度为 30 3米．
(2)如图②，为了提高水坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背
水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得 AE＝2DF，EF⊥BF，
求 DF 的长．
(参考数据：sin
37°≈35，cos
37°≈45，tAB，
垂足为 H，则 FH＝DM≈6.
设 DF＝y，则 AE＝2y，
解：由题意得∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20. ∴AB＝2BC＝40 海里． 答：渔船 B 航行的距离是 40 海里．
阶段应用专训 (2)此时，在 D 处巡逻的中国渔政船同时发现了两艘渔船，其中
B 渔船在点 D 的南偏西 60°方向，A 渔船在点 D 的西南方向， 我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域，请分别求出中 国渔政船到这两艘外国渔船的距离(结果保留根号)． 解：如图，过点 B 作 BE⊥AE 于点 E，过点 D 作 DH⊥AE 于点 H，延长 CB 交 DH 于点 G，则四 边形 AEBC 和四边形 BEHG 是矩形．
阶段应用专训
设 AM＝x，则 DM＝2x. 又四边形 DMNC 是矩形，
新北师大版九年级数学下册阶段方法技巧专训：专训4 应用三角函数解实际问题的是四种常见问题 (共11张PPT)
解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°， BE＝20m，∴AE＝20m． 在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20m， ∴EF＝ BE = 20 = 20 3 (m)． tan 30° 3 3 ∴AF＝EF－AE＝20 3 －20≈20×1.732－20 ＝14.64≈15(m)． ∴AF的长度约是15m．
类型 3 测距问题
3．【2017·呼和浩特】如图，地面上小山的两侧有A，B 两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小 山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟 40 m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气 球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据 求A，B两地的距离AB长．(结 果用含非特殊角的三角函数和 根式表示即可)
类型 1 定位问题
1. 某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游 轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得 望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向 行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的 北偏东60°方向，求此时游轮与 望海楼之间的距离BC.
( 3 取1.73，结果保留整数)
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M.
由题意得，AC＝40×10＝400(m)．
在Rt△ACM中，∵∠A＝30°， ∴CM＝ 1 AC＝200 m，
2
AM＝
3 2
AC＝200
3 m.
在Rt△BCM中，∠CBM＝70°，∴∠BCM＝20°.
∴BM＝CM·tan 20°.∴AB＝AM－BM＝200 3－
解：根据题意可知AB＝300 m.
如答图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
在Rt△ADB中，因为∠BAD＝30°，
利用三角函数解决实际问题
利用三角函数解决实际问题三角函数是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将介绍如何利用三角函数解决实际问题，并展示其解决问题的应用。
一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是以角度作为自变量，并返回一个比值作为函数值。
其中，正弦函数表示一个角的对边与斜边之比，记作sinθ；余弦函数表示一个角的邻边与斜边之比，记作cosθ；正切函数表示一个角的对边与邻边之比，记作tanθ。
这些三角函数在解决实际问题中有很多应用。
二、利用三角函数解决几何问题在解决几何问题中，三角函数可以帮助我们求解未知角度或边长。
例如，已知一个三角形的两个边长及夹角，可以利用正弦定理和余弦定理来求解第三边的长度。
正弦定理表达式为a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示对应的内角。
余弦定理表达式为c² = a² + b² - 2abcosC。
通过这些定理，我们可以利用三角函数求解复杂的几何问题。
三、利用三角函数解决物理问题三角函数在物理学中也有广泛的应用。
以振动问题为例，当一物体做简谐振动时，它的位移可以用正弦函数或余弦函数表示。
根据振动的周期和振幅，我们可以利用三角函数来求解物体在某一时刻的位移，以及振动的频率和周期。
此外，在光学中，三角函数也可以用于描述光的干涉和衍射现象，帮助我们解释和预测光的行为。
四、利用三角函数解决工程问题在工程领域，三角函数常常被用来解决测量和定位问题。
例如，利用三角函数可以计算两个物体之间的距离和高度差。
三角函数还可以被应用于电力工程中的电路分析，通过正弦函数描述交流电的变化规律。
此外，利用三角函数的周期性特点，我们可以进行信号处理和数字通信中的频谱分析和调制解调。
五、利用三角函数解决导航问题导航是三角函数应用的一个典型领域。
在航海和航空中，利用三角函数可以测量和计算船舶或飞机的航向、速度和位置。
三角函数的应用与实际问题解决
三角函数的应用与实际问题解决随着数学的发展与应用领域的不断拓展，三角函数作为数学中的一门重要分支，被广泛运用于实际问题的解决过程中。
三角函数包括三角比值、三角方程以及三角恒等式等概念，它们的应用范围涵盖了物理、工程、天文、地质等多个领域。
本文将介绍三角函数的应用场景，并探讨其在实际问题解决中的具体应用。
一、三角函数在物理学中的应用1. 物体运动的描述三角函数常用于描述物体在运动过程中的位置、速度和加速度变化。
比如，在描述物体做匀速圆周运动时，使用正弦函数和余弦函数可以描述物体在不同时间点的位置和速度。
根据该函数，可以计算物体在不同时刻的位移、速度以及加速度等参数，实现对物体运动的准确描述与分析。
2. 波动现象的研究在物理学中，三角函数常用于描述波动现象，如声波、光波、水波等。
根据波动的特性，可以使用正弦函数和余弦函数来表示波动的振幅、频率、相位差等。
三角函数的应用在声学、光学和电磁学等领域中十分重要，可以描述声音的音调、光的颜色以及电磁波的频率等。
二、三角函数在工程学中的应用1. 结构力学的分析在工程领域中，结构力学是一个重要的研究方向。
通过使用三角函数，可以描述和计算各种结构在受力下的应变和变形情况。
三角函数的应用可以帮助工程师预测和分析建筑物、桥梁、机器设备等的性能和结构强度，确保工程的安全性和稳定性。
2. 土木工程的测量与设计三角函数在土木工程领域中被广泛应用于测量和设计工作中。
例如，通过测量角度和距离，可以使用正切函数来计算物体的高度、斜率以及距离等参数。
在建筑设计中，三角函数的应用可以帮助设计师确定土地的坡度、深度和安全距离，对设计过程起到决策性的作用。
三、三角函数在天文学中的应用1. 星体的运动轨迹分析三角函数在天文学中的应用非常广泛，可以用来描述和预测星体的运动轨迹。
根据三角函数的定义，可以计算天体在不同时间点的位置、速度和轨迹。
通过观测和分析这些数据，天文学家可以了解星体的运动规律，研究宇宙的演化和形态变化等问题，对天体物理学、星系结构以及宇宙学的研究具有重要意义。
三角函数的解法与实际问题应用
三角函数的解法与实际问题应用三角函数是数学中重要的内容之一，它与几何、物理、工程等领域紧密相关。
在本文中，我们将探讨三角函数的解法以及其在实际问题中的应用。
一、三角函数的解法三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的解法常常涉及到角度的计算和求解。
1. 正弦函数的解法正弦函数的解法主要涉及到角度的计算和三角恒等式的应用。
例如，当已知一个三角函数值时，通过查表或使用计算器可以得到对应的角度值。
解题时，可以利用三角恒等式，将较复杂的正弦函数转化为基本的三角函数形式，从而简化计算过程。
此外，还可以利用图形解析法，通过画图的方式直观地理解和解释正弦函数的性质和解法。
2. 余弦函数的解法余弦函数的解法与正弦函数类似，同样涉及到角度的计算和三角恒等式的应用。
可以通过查表或使用计算器得到某个余弦函数值对应的角度值。
在解题过程中，可以利用三角恒等式将复杂的余弦函数转化为基本的三角函数形式。
同时，图形解析法也可以帮助我们更好地理解和解决余弦函数相关的问题。
3. 正切函数的解法正切函数的解法也离不开角度的计算和三角恒等式的应用。
我们可以通过查表或使用计算器得到某个正切函数值对应的角度值。
在解题过程中，我们可以将复杂的正切函数转化为三角函数的形式，将问题转化为求解三角函数的值。
此外，对于一些特殊的角度，我们可以直接利用正切函数的性质来求解。
二、三角函数在实际问题中的应用三角函数在实际问题中的应用非常广泛，特别是在几何、物理和工程等领域。
1. 几何应用在几何学中，三角函数被广泛应用于解决各种与角度和长度相关的问题。
例如，在三角形中，可以利用正弦定理和余弦定理求解边长和角度的未知量。
此外，在三角形或圆形的问题中，利用三角函数可以计算各种重要的几何概念，如面积、周长、角度等。
2. 物理应用三角函数在物理学中也有很多应用。
例如，在力学中，可以利用正弦函数和余弦函数解决物体在斜面上的运动问题。
在波动学中，三角函数可以描述周期性现象，如声波、光波等。
三角函数模型教案中的常见错误及纠正方法
三角函数模型教案中的常见错误及纠正方法。
1.对于角度和弧度的混淆三角函数最常见的错误之一是混淆角度和弧度。
在三角函数模型教学中，角度和弧度是两个非常重要的概念。
角度是用度数表示的，是一个反映一个角所占单位面积的度量。
而弧度是用弧长表示的，是一个反映一个角所占整个圆的度量。
对于很多学生来说，角度和弧度的概念容易混淆。
混淆角度和弧度的结果是计算出的三角函数值不正确，这会导致学生的学习效果受到严重的影响。
纠正方法：在教学过程中需要强调角度和弧度的定义，以及两者之间的转换关系。
教师应该给学生讲解从角度到弧度转化的方法，例如将度数除以 180 然后乘上π即可将角度转化为弧度。
此外，在讲解范围时，教师应该使用清晰的语言和口语，避免产生混淆。
2.对于三角函数概念的理解不充分另一个常见的错误是对于三角函数的概念不充分理解。
在初学三角函数模型的时候，不少学生只是死记硬背三角函数的定义和公式，但对于其意义和用法并不充分理解。
这种情况容易导致学生只是知道技能，而无法在实际问题解决中利用好这些技能。
而三角函数模型的教学又是非常基础的，所以这种错误是非常严重的。
纠正方法：教师可以通过实例解决这个问题。
让学生用三角函数的定义和公式来思考各种实际问题，例如一个三角形的边长和角度，让学生自己思考计算方法，这样学生就能更好的理解三角函数意义和用法。
3.对于三角函数图形的理解不正确三角函数的图形体现了三角函数的基本性质和规律。
因此，理解三角函数图形的形状和变化规律对于学生掌握三角函数模型至关重要。
但是，由于图像理解是学生数学学习中的难点，所以学生容易忽略三角函数图形的基本信息，从而导致错误。
纠正方法：在教学中，可以通过实例来让学生学习一个三角函数的图形变化规律。
通过对于不同形状的函数进行对比，让学生发现规律，从而加深学习效果。
4.对于计算过程的不小心、粗心大意因为计算过程的粗心大意，许多学生的答案并不正确。
计算过程的错误很微小可被小看，但它极易导致答案错误。
数学利用三角函数解决实际问题
数学利用三角函数解决实际问题数学作为一门基础学科，不仅仅存在于课本和考试中，更广泛地应用于实际问题的解决中。
在实际生活中，我们经常会遇到需要通过数学方法解决的问题。
本文就将探讨数学中的一种重要工具——三角函数，以及如何用它来解决实际问题。
一、三角函数的基本概念和性质在开始之前，我们先来回顾一下三角函数的基本概念和性质。
三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别由一个角的两条直角边的比值定义。
正弦函数（sine）用$sin\theta$表示，表示一个角的对边与斜边的比值，即$\frac{a}{c}$。
余弦函数（cosine）用$cos\theta$表示，表示一个角的邻边与斜边的比值，即$\frac{b}{c}$。
正切函数（tangent）用$tan\theta$表示，表示一个角的对边与邻边的比值，即$\frac{a}{b}$。
其中，$a$为一个角的对边，$b$为邻边，$c$为斜边。
二、三角函数的应用1. 测量高度：三角函数可以用来测量高度，尤其是在没有直接测量工具的情况下。
通过测量一个角的仰角和距离，利用三角函数可以计算出物体的高度。
例如，我们想要测量一棵高树的高度，可以站在树的一侧，然后用测量仪器测量我们与树的连线与水平线的夹角$\theta$和我们与树之间的距离$d$。
接着，利用三角函数的关系，可以通过计算$tan\theta=\frac{h}{d}$来得到树的高度$h$。
2. 导航定位：三角函数在导航和定位中起着重要的作用。
例如，利用三角函数可以计算两个位置之间的距离和方向，帮助我们确定最短路径以及正确的导航方向。
通过使用三角函数的关系，可以通过已知的两个位置的经纬度来计算它们之间的距离。
同时，可以利用三角函数计算出目标位置相对当前位置的方位角，从而指导我们前往目标位置。
3. 机械运动：三角函数在物理学和工程学中的应用也十分广泛。
例如，在机械运动中，使用正弦函数来描述物体的周期性变化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新
的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 .(结果精 确到1米，参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732)
解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°， BE＝20米，∴AE＝20米．
在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20米，
在Rt△ABC中，∠ABC+ 4 3(2 x + 4) = = = ∴BC＝ (米 )， cos 30° 3 3 3 2 ∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝ 2 BF＝ 2 x米，DC＝4米，
2 (2 x + 4) 根据勾股定理的：2x2＝ ＋16， 3
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训4
应用三角函数解实际
问题的四种常见问题
在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学
会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某
些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、 角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线， 构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直 角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方 向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其 解题思路，把握解题关键．
解：(1)在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°， 1 ∠DEC＝90°，∴DE＝ DC＝2(米)． 2
(2)如图，过点D做DF⊥AB，交AB于点F，
则∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠DBF＝45°，即△BFD为等腰直角三角形.
设BF＝DF＝x米，∵四边形DEAF为矩形， ∴AF＝DE＝2米，即AB＝(x＋2)米，
保留整数)
解： 根据题意可知AB＝300 m.
如图所示，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D. 在Rt△ADB中，因为∠BAD＝30°，
1 1 所以BD＝ AB＝ ×300＝150(m)． 2 2 BD 在Rt△CDB中，因为sin∠DCB＝ ， BC
BD 150 300 = = 所以BC＝ ≈173(m)． sin 邪 DCB sin 60 3
解得：x＝4＋4 3 或x＝4－4 3 (舍去)， 则大楼AB的高度为(6＋4 3 )米.
类型
4
测高问题
4．【2016· 海南】如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD， CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处 测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼 顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.
(1)求坡角CD的高度DE；
(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)
山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟 40 m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气
球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据
求A，B两地的距离AB长．(结果用 含非特殊角的三角函数和根式表示
即可)
如图，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M. 解： 由题意得，AC＝40×10＝400(m)．
BE 20 = = 20 3 (米)． tan 30° 3 3 ∴AF＝EF－AE＝20 3 －20≈20×1.732－20＝14.64
∴EF＝ ≈15(米)． 即AF的长度约是15米．
类型
3
测距问题
3．【2017· 呼和浩特】如图，地面上小山的两侧有A，B
两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小
答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173 m.
本题也可过C作CD⊥AB于D，由已知得BC＝
1 AC，则AD＝ AB＝150 m，所以在Rt△ACD 2 AD 150 = 中，AC＝ ≈173(m)． cos 30° 3 2 所以BC＝AC≈173 m.
类型
2
坡坝问题
2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE ＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的
在Rt△ACM中，∵∠A＝30°， 1 ∴CM＝ AC＝200 m， 2 3 AM＝ AC＝200 3 m. 2
在Rt△BCM中，∠CBM＝70°，∴∠BCM＝20°.
∴BM＝CM· tan 20°.∴AB＝AM－BM＝200 3 －
200tan 20°＝200( 3 －tan 20°)m， 因此A，B两地的距离AB长为200( 3 －tan 20°)m.
类型
1
定位问题
1．【中考· 天津】某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美 景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m， 在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮 沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海 楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼 之间的距离BC.( 3 取1.73，结果