浙教九上第四章《相似三角形》练习
浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 单元练习(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC = cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有 ．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。
浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案【参考答案】
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，DE与的边AB,AC分别相交于D,E两点，且DE BC．若AD：BD=3：1, DE=6，则BC等于（）A.8B.C.D.22、如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则等于( )A. B. C. D.3、有一块多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm，经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（）A.100m 2B.270m 2C.2 700m 2D.90 000m 24、已知= ，则的值为（）A. B. C. D.25、一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为（）A.24cmB.21cmC.13cmD.9cm6、在比例尺为1：5000的地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为（）A.125米B.1250米C.12500米D.125000米7、两个多边形相似的条件是（）A.对应角相等B.对应边成比例C.对应角相等或对应边成比例 D.对应角相等且对应边成比例8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，垂足为G，延长GB至点E，使得，连接OE交BC于点F.若，，则BF的长为（）A. B.1 C. D.29、若△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为（）A.2：3B.4：9C.3：2D. ：10、如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（）A.1：2B.1：3C.2：3D.2：5．11、如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A.1: 4B.1:5C.1:6D.1: 712、如图，在平行四边形中，E是AB延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对13、关于直角三角形，下列说法正确的是（）A.所有的直角三角形一定相似B.如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5C.如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解D.如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定14、下列各组中的四条线段成比例的是（）A.1 cm、2 cm、20 cm、30 cmB.1 cm、2 cm、3 cm、4 cmC.4 cm、2 cm、1 cm、3 cmD.5 cm、10 cm、10 cm、20 cm15、如图△ABC中，点G是重心，连结BG并延长BG交AC于D，若点G到AB的距离为2，则点D到AB的距离是（）A.2.5B.3C.3.6D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD= AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为________．17、如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△ 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），（6，2）．若△ABC的面积为m，则△ 的面积（用含m的代数式表示）是________ 18、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E为AD上一点，将△BAE绕点B顺时针旋转得到△BA′E′，当点A′，E′分别落在BD，CD上时，则DE的长为________．19、如图，等边△ABC的边长为5，D在BC延长线上，CD=3，点E在线段AD 上，且AE=AB，连接BE交AC于F，则CF的长为________。
九年级数学上册第四章《相似三角形》练习题-浙教版(含答案)
九年级数学上册第四章《相似三角形》练习题-浙教版（含答案）一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.如图，ABC △与DEF △位似，点O 为位似中心，相似比为2:3.若ABC △的周长为4，则DEF △的周长是( ) A.4B.6C.9D.162.若ABC ∆∽DEF ∆，6BC =，4EF =，则ACDF=( ) A.49B.94C.23D.323．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ） A ．16 B ．8C ．2D ．14．设32yx =，则y x y x 523+-的值为（ ）A ．113B ．199 C ．193 D ．167 5.如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE BF =．将AEH △，CFG △分别沿边EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时，则EB AE 为（ ） A ．53B ．2C ．25D ．356.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点（位于AB 下方），CD 交AB 于点E ，若∠BDC ＝45°，BC ＝62 ，CE ＝2DE ，则CE 的长为（ ） A ．22B ．24C ．53D ．547.如图平行四边形ABCD 中，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使4:3:=AE AD ，连结EF 交DC 于点G ，则=∆∆CPG DEG S S :（ ） A ．2∶3B ．4∶9C ．9∶4D ．3∶28.如图，在四边形ABCD 中，以AB 为直径的O 恰好经过点C ，AC ，DO 交于点E ，已知AC 平分BAD ∠，90ADC ∠=︒，:25CD BC =:CE AE 的值为（ ）A ．2:5B ．4:5C ．5:22D ．5:89.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若AE ＝2BE ，则BHCG的值为（ ） A ．23 B ．2C ．7103 D ．553 10.将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ，其中90A ∠=︒，9AB =，7BC =，6CD =，2AD =，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( ) A.252B.454C.10D.354二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为()12,12A ，()4,16B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的21后得到线段CD ，则端点D 的坐标为12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥BC ，且AE ：EB ＝2：3，CD ＝15，则FC ＝ 13．如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有______________14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，平移的距离为_____________ 15．如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B 停止，动点E 从点C 出发到点A 停止，点D 运动的速度为1cm/s ，点E 运动的速度为2cm/s ，如果两点同时开始运动，那么以点A ，D ，E 为顶点的三角形与ABC 相似时的运动时间为_______________16.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在边AD 上，BEF △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF ，BF 分别交CD 于点M ，N ，过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点G .连接DF ，请完成下列问题：（1）FDG ∠=_______°；（2）若1DE =，22DF =，则MN =________.三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题6分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，∠AED ＝∠B ，△ABC 用平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ．（1）求证：△AED ∽△ABC ．（2）设23AD AC，求AG AF的值．18.（本题8分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ．（1）求DN ：BN 的值；（2）若△OCN 的面积为2，求四边形AONM 的面积．19（本题8分）如图，在ABC △中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，14DE BC =.（1）若8AB =，求线段AD 的长.（2）若ADE △的面积为1，求平行四边形BFED 的面积.20.（本题10分）如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线AG 交⊙O 于点G ，交BC 边于点F ，连接BG ．（1）求证：△ABG ∽△AFC ．（2）已知AB ＝a ，AC ＝AF ＝b ，求线段FG 的长（用含a ，b的代数式表示）．（3）已知点E 在线段AF 上（不与点A ，点F 重合），点D 在线段AE 上（不与点A ，点E 重合），∠ABD ＝∠CBE ，求证：BG 2＝GE •GD ．21.（本题10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AC 上一点，射线BE 与CD 的延长线交于点P ，与边AD 交于点F ，连接FC ．（1）若∠ABF ＝∠ACF ，求证：CE 2＝EF •EP ； （2）若点D 是CP 中点，BE ＝32，求EF 的长．22（本题12分）．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm /s ，点Q 运动的速度是2cm /s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR ∥BA 交AC 于点R ，连接PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ．23（本题12分）如图，已知抛物线24y ax ax =-交x 轴于点A ，与直线12y x =交于点B （非原点），过点B 作BC ∥x 轴交抛物线于点C ，6BC =．（1）求a 的值．（2）若P 是线段BC 上一点，过点P 作x 轴的垂线分别交直线OB 与抛物线于E ，F ．求线段EF 的最大值．（3）若P 是射线BC 上一点，作点F 关于直线BC 的对称点G ，连结PG ，BG ．是否存在BPG ∆与PBE ∆相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点G 的坐标．参考答案一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.答案：B解析：由两个位似图形的周长比等于位似比可知，23ABC DEF C C =△△， 334622DEF ABC C C ∴==⨯=△△.故选B.2.答案：D解析：~ABC DEF △△， BC ACEF DF∴=， 6BC =，4EF =，6342AC DF ∴==. 故选择：D3.答案：B解析：设另一个三角形的周长为x ，则 4：x ＝41， 解得：x ＝8．故另一个三角形的周长为8， 故选：B ．4.答案：C 解析：∵32y x = ∴y x 32=，∴19331953425322323523==+-=+⨯-⨯=+-y y y y y y y y yy y x y x ． 故选：C ．5.答案：D解析：设重叠的菱形边长为x ，BE =BF =y ，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME 、四边形BENF 是菱形， ∴AE =EM ，EN =BE =y ，EM =x +y ，∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116，且两个菱形相似， ∴AB =4MN =4x ， ∴AE =AB -BE =4x -y ， ∴4x -y =x +y ， 解得：x =23y ，∴AE =53y ，∴5533yAE EB y ==， ∴35BE AE =， 故选：D ．6.答案：D解析：连接CO ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，连接AD ，∵∠BDC ＝45°， ∴∠CAO ＝∠CDB ＝45°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°， ∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°， ∵BC ＝62， ∴AB ＝ 2BC ＝12， ∵OA ＝OB ， ∴CO ⊥AB ，∴∠COA ＝∠DGE ＝90°， ∵∠DEG ＝∠CEO ， ∴△DGE ∽△COE ， ∴CDDGOE GE CE DE ===21， ∵CE ＝2DE ，设GE ＝x ，则OE ＝2x ，DG ＝3， ∴AG ＝6﹣3x ，BG ＝6＋3x ， ∵∠ADB ＝∠AGD ＝90°， ∠DAG ＝∠BAD ， ∴△AGD ∽△ADB ， ∴DG 2＝AG •BG ，∴9＝（6﹣3x ）（6＋3x ）， ∵x ＞0， ∴x ＝3， ∴OE ＝23 ，在Rt △OCE 中，由勾股定理得：CE ＝34361222=+=+OC OE ，故答案为：D ．7.答案：B解析：∵4:3:=AE AD ∴设x AE x AD 4,3==， ∴x x x AD AE DE =-=-=34， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴x AD BC BC AD 3,//==，∵点F 是BC 的中点，xBC CF 2321==∴BC AD //FCG EDG CFG DEG ∠=∠∠=∠∴,∴△DEG ∽△CFG,942322=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆x x CF DE S S CFGDEG故答案为：B ．8.答案：D解析：如图所示，连接OC ∵AB 是圆的直径， ∴∠ACB =∠ADC =90°， ∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC =∠CAB ，∠DAB =2∠CAB ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴5CD AC ADBC AB AC==， ∴25AC AB =， ∴225BC AB AC AB =-=，455AD AC AB == ∴255CD AB ==，又∵∠BOC =2∠CAB ， ∴∠BOC =∠DAB ， ∴AD ∥OC ， ∴△OCE ∽△DAE ，∴152485AB CE OC AE DA AB ===，故选D ．9.答案：C解析：如图，过点G 作GT ⊥CF 交CF 的延长线于T ，设BH 交CF 于M ，AE 交DF 于N ．设BE ＝AN ＝CM ＝DF ＝a ，则AE ＝BM ＝CF ＝DN ＝2a ， ∴EN ＝EM ＝MF ＝FN ＝a ， ∵四边形ENFM 是正方形，∴∠EFH ＝∠TFG ＝45°，∠NFE ＝∠DFG ＝45°， ∵GT ⊥TF ，DF ⊥DG ，∴∠TGF ＝∠TFG ＝∠DFG ＝∠DGF ＝45°， ∴TG ＝FT ＝DF ＝DG ＝a ， ∴CT ＝3a ，CG ＝()a a a 10322=+，∵MH ∥TG ， ∴△CMH ∽△CTG ， ∴CM ：CT ＝MH ：TG ＝1：3， ∴MH ＝a 31， ∴BH ＝a a a 37312=+， ∴71033710==a a BH CG ，故选：C ．10.答案：A 解析：如图1所示，由已知可得，~DFE ECB △△， 则DF FE DEEC CB EB==， 设DF x =，CE y =， 则9672x yy x+==+， 解得274214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2145644DE CD CE ∴=+=+=，故选项B 不符合题意； 2735244EB DF AD =+=+=，故选项D 不符合题意； 如图2所示，由已知可得，DCF FEB △△， 则DC CF DF FE EB FB==， 设FC m =，FD n =， 则6927m nn m ==++， 解得810m n =⎧⎨=⎩，10FD ∴=，故选项C 不符合题意； 8614BF FC BC =+=+=，如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7； 故选A.二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.答案：（8，2）解析：∵线段AB 端点B 的坐标分别为B （16，4），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的21后得到线段CD ， ∴端点D 的横坐标和纵坐标都变为B 点的一半，∴端点D 的坐标为：（8，2）．故答案是：（8，2）．12.答案：9解析：∵AD ∥BC ∥EF ，AE ：EB ＝2：3，∴32==EB AE FC DF ， ∴35=FC DC ， ∵CD ＝15，∴FC ＝9．故答案为：9．13.答案：三条解析：过点M 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，∵截得的三角形与△ABC 相似，∴过点M 作AB 的垂线，或作AC 的垂线，或作BC 的垂线，所得三角形满足题意∴过点M 作直线l 共有三条．15.答案：4解：如图，设正方形D ′C ′O ′E ′是正方形OCDE 沿x 轴向右平移后的正方形，∵顶点A ，B 的坐标分别为（-2，6）和（7，0），∴AC =6，OC =2，OB =7，∴BC =9，∵四边形OCDE 是正方形，∴DE =OC =OE =2，∴O ′E ′=O ′C ′=2，∵E ′O ′⊥BC ，∴∠BO ′E ′=∠BCA =90°，∴E ′O ′∥AC ，∴△BO ′E ′∽△BCA ， ∴E O BO AC BC ='''， ∴269BO '=， ∴BO ′=3，∴OO ′=7-3=4，15.答案：3s 或4.8s ．解析：设以点A ，D ，E 为顶点的三角形与ABC 相似时的运动时间为s t ， 根据题意得：cm AD t = ，2cm CE t = ，则()122cm AE t =- ，当ADE ABC ，即AD AE AB AC = 时， ∴122612t t -=，解得：3t = ； 当ADE ACB ，即AD AE AC AB = 时， ∴122126t t -=，解得： 4.8t = ， 综上所述，以点A ，D ，E 为顶点的三角形与ABC 相似时的运动时间为3s 或4.8s ．16.答案：045 1526 解析：（1）90A BEF G ∠=∠=∠=︒，BE EF =，易证ABE GEF ≅△△，EG AB AD ∴==，GF AE =，DG AE GF ∴==，DFG ∴△是等腰直角三角形，45FDG ∴∠=︒.（2）由（1）可知DFG △是等腰直角三角形.又22DF =，2DG GF ∴==，123CD BC AB EG ED DG ∴====+=+=.如图，分别延长GF ，BC ，两线交于点H ，则//CD GH ，3GH CD ==，2CH DG ==，EDM EGF ∴△△，BNC BFH △△，MD ED GF EG ∴=，NC BC FH BH=， 即123MD =，33232NC =-+， 23MD ∴=，35NC =， 232633515MN CD MD NC ∴=--=--=.三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.解析：（1）∵∠AED ＝∠B ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△AED ∽△ABC ；（2）∵△AED ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠ACB ，∵AF 平分∠BAC ，∴∠DAG ＝∠CAF ，∴△ADG ∽△ACF ， ∴2=3AG AD AF AC =．18.解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴∠MDN ＝∠CBN ，又∵∠BNC ＝∠DNM ，∴△MND ∽△CNB ，∴BNDN BC DM =， ∵M 为AD 的中点， ∴BC AD DM 2121==， ∴DN ：BN ＝1：2；（2）连接OM ，∵△MND ∽△CNB ，DN ：BN ＝1：2；∴MN ：CN ＝1：2，∴MC ：CN ＝3：2，∴S △OCM ：S △OCN ＝3：2，∵S △OCN ＝2，∴S △OCM ＝3，∴S △ACM ＝2S △OCM ＝6，∴S 四边形AONM ＝S △ACM ﹣S △OCN ＝6﹣2＝4．19.解析：（1）由题意，得//DE BC ，所以ADE ABC ∽△△， 所以14AD DE AB BC ==. 因为8AB =，所以2AD =.（2）设ABC △的面积为S ，ADE △的面积为1S ，CEF △的面积为2S . 因为14AD AB =, 所以21116S AD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 因为11S =,所以16S =.因为34CE CA =, 所以同理可得29S =，所以平行四边形BFED 的面积126S S S =--=.20.解析：（1）证明：∵AG 平分∠BAC ，∴∠BAG ＝∠FAC ，又∵∠G ＝∠C ，∴△ABG ∽△AFC ；（2）由（1）知，△ABG ∽△AFC ，∴ACAG AF AB =， ∵AC ＝AF ＝b ，∴AB ＝AG ＝a ，∴FG ＝AG ﹣AF ＝a ﹣b ；（3）∵∠CAG ＝∠CBG ，∠BAG ＝∠CAG ，∴∠BAG ＝∠CBG ，∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠BDG ＝∠BAG +∠ABD ＝∠CBG +∠CBE ＝∠EBG ，又∵∠DGB ＝∠BGE ，∴△DGB ∽△BGE ， ∴GE BG BG GD =， ∴GD GE BG ⨯=2．21.解析：（1）∵平行四边形ABCD ，射线BE 与CD 的延长线交于点P ， ∴AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠P ，∵∠ABF ＝∠ACF ，∴∠ACF ＝∠P ，∵∠CEF ＝∠PEC ，∴△CEF ∽△PEC ，∴CEEF PE CE =， 即CE 2＝EF •PE ；（2））∵平行四边形ABCD ，射线BE 与CD 的延长线交于点P ， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠ABF ＝∠P ，∵∠AEB ＝∠CEP ，∴△BEA ∽△PEC ，∴CPAB PE BE =， ∵点D 是CP 的中点， ∴CP ＝2CD ＝2AB ，点F 是BP 的中点，∴2132=PE解得：34=PE ，∴PF ＝21BP ＝21（BE +PE ）＝33 ∴EF ＝PE ﹣PF ＝322.解析：（1）△BPQ 是等边三角形当t ＝2时AP ＝2×1＝2，BQ ＝2×2＝4∴BP ＝AB ﹣AP ＝6﹣2＝4∴BQ ＝BP又∵∠B ＝60°∴△BPQ 是等边三角形；（2）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E在Rt △BEQ 中，∠BQE ＝90°﹣∠B ＝30°，QB ＝2t ， ∴BE ＝t ，QE ＝3t 由AP ＝t ，得PB ＝6﹣t∴S △BPQ ＝21×BP ×QE ＝21（6﹣t ）×3t ＝t t 33232+- ∴t t s 33232+-=； （3）∵QR ∥BA∴∠QRC ＝∠A ＝60°，∠RQC ＝∠B ＝60°∴△QRC 是等边三角形∴QR ＝RC ＝QC ＝6﹣2t∵BE ＝BQ •cos60°＝21×2t ＝t ∴EP ＝AB ﹣AP ﹣BE ＝6﹣t ﹣t ＝6﹣2t∴EP ∥QR ，EP ＝QR∴四边形EPRQ 是平行四边形∴PR ＝EQ ＝3t又∵∠PEQ ＝90°，∴∠APR ＝∠PRQ ＝90°∵△APR ∽△PRQ ， ∴AP PR PR QR =， ∴t t tt 3326=- 解得t ＝56 ∴当t ＝56时，△APR ∽△PRQ ．23.解析：（1）抛物线24y ax ax =-，令120,0,4y x x === ， 抛物线对称轴为422a x a-=-= ， ∵B 点在抛物线上，且BC =6，∴B 点横坐标为6252+= ， ∵B 点在直线12y x =上， ∴代入B 点横坐标求得52y =，即55,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 将55,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入24y ax ax =-，得：525202a a =-，解得12a = ； （2）由（1）知12a =，所以抛物线为2122y x x =- ， ∵P 是线段BC 上一点，PF x ⊥轴，∴E 、F 的横坐标15x -≤≤ ， 设EF 的最大值为M ，E 、F 横坐标相同，则22111522222M x x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，为开口向下的抛物线，有最大值，2215404252214842ac b M a ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-⨯，∴EF 的最大值为258； （3）存在， 如图：EF 交x 轴于点M∵//BC x 轴，∴OEM BEP ， ∵BEP GBP ， ∴OEM GBP ， ∴OM EM GP BP= ， ∵P 在射线BC 上且可形成△GPB ，55,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设P 点横坐标为x ，∴P 点横坐标5x < ,∴5PB x =- ，G 点、E 点、F 点横坐标都为x ， ∵E 在直线12y x =上， ∴1,2OM x EM x == ， ∵G 为点F 关于直线BC 的对称点，且F 在抛物线2122y x x =-上， ∴21,22F x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即2122MF x x =- ， ∴215222PF x x =-+ ， ∴215222PG x x =-+ ， ∴OM EM GP BP ==212155222x x xx x =--+ 解得：123,5x x == ，∵5x <，∴取3x = ， ∴2152422PG x x =-+= ， ∴G 点纵坐标为513422+= ，∴133,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
浙教版九年级数学上册 第四章《相似三角形》基础训练卷(含答案)
第四章《相似三角形》基础测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各组线段的长度成比例的为（）A. 2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cmB. 2.5 cm ，3.5 cm ，4.5 cm ，6.5 cmC. 1.1 cm ，2.2 cm ，4.4 cm ，8.8 cmD. 1 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cm2. 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为（ ）A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：13. 如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的长为12m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）A. AB =24mB. MN ∥ABC. △CMN ∽△CABD. CM ：MA =1：24.已知,则的值为 ( )0432≠==c b a cb a +A. B. C.2 D.5445215．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是（）A.ΔABC 放大后角是原来的2倍B.ΔABC 放大后周长是原来的2倍C.ΔABC 放大后面积是原来的2倍D.以上的命题都不对3. 已知线段=9cm , =4cm , 是, 的比例中项，则等于（ ）a b x a b x A. 6cm B. －6cm C. ±6cm D. cm 8147. 下列叙述正确的是（ ）A. 任意两个等腰三角形相似;B. 任意两个等腰直角三角形相似C. 两个全等三角形不相似;D. 两个相似三角形的相似比不可能等于18．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是 （ ）A ．B ．C ．D ．9.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于（ ）A ． 3：2B ．3：1C ．1：1D ．1：2第9题 第10题10．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有()A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个二、填空题（每题4分，共24分）11.已知，则=_________26y x y x :12.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则S △ADE ：S △ABC = ．第12题 第13题 第14题13.如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB =12m ，则旗杆AB 的高为 m ．14.如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件 ，使△ABC ∽△ACD ．（只填一个即可）15.如图，AC ⊥CD ，垂足为点C ，BD ⊥CD ，垂足为点D ，AB 与CD 交于点O ．若AC =1，BD =2，CD =4，则AB = ．16.△ABC 中，D 、E 分别是边AB 与AC 的中点，BC =4，下面四个结论：①DE =2；②△ADE ∽△ABC ；③△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1：4；④△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为 1：4；其中正确的有 ．（只填序号）三、简答题（共66分）17、（本题6分）已知a =3 cm ，b =6 cm ，求a ，b ，(a +b )的第四比例项.18、（本题8分）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D =90°，AB=DE =3，AC =2DF =4．判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？E F19、（本题8分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．20、（本题10分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？21．（本题10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.22、（本题12分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．23、（本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题题号12345678910答案C C D B B A B B D A二、填空题三、简答题17、解：设a 、b 、(a +b )的第四比例项为x ，则有，x ba b a +=∴，x 963=x =18.18、解：(1) 不相似．在中，，；∵Rt BAC △90A ∠=°34AB AC ==，在中，，，Rt EDF △90D ∠=°32DE DF ==，．．与不相似．12ABACDE DF ==∴，AB ACDE DF ≠∴Rt BAC ∴△Rt EDF △20、解：由题意得，∠BAD =∠BCE ，∵∠ABD =∠CBE =90°，∴△BAD ∽△BCE ，∴=，即=解得BD=13.6米．答：河宽BD是13.6米．21、（1）证明： A与C关于直线MN对称∴AC⊥MN∴∠COM=90°在矩形ABCD中，∠B=90°∴∠COM=∠B又 ∠ACB=∠ACB∴△COM∽△CBA（2） 在Rt△CBA中，AB=6，BC=8∴AC=10∴OC=5△COM∽△CBA∴OC OM=BC AB∴OM=15423、解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC•AC=AB•CD．∴CD===4.8．∴线段CD的长为4.8．（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．由题可知DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．∴．∴．∴PH=﹣t．∴S△CPQ=CQ•PH=t（﹣t）=﹣t2+t．②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．∵S△ABC=×6×8=24，且S△CPQ：S△ABC=9：100，∴（﹣t2+t）：24=9：100．整理得：5t2﹣24t+27=0．即（5t﹣9）（t﹣3）=0．解得：t=或t=3．∵0≤t≤4.8，∴当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．。
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形 单元测试(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．已知c 是a 和b 的比例中项，a =2，b =18，则c =（ ）A ．±6B ．6C ．4D ．±32．如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（）A ．AD DB =AEECB ．DE BC =AEEC C ．AB AD =AC AED ．DB EC =ABAC3．如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（ ）A ．5：7B ．7：5C ．25：49D ．49：254．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AE =9，AC =6，BD =4，则BF 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为（ ）A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．7．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）．A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（ ）A．m=5B．m=45C．m=35D．m=109．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，BDCD =73，则ADAC的值为（ ）A．12B．33C．13D．3210．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件： ，使△AOB ∽△COD ．12．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝ ．13．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图， EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 P 处与地面 BE 的距离为1.6米，车头 FACD 近似看成一个矩形，且满足 3FD =2FA ，若盲区 EB 的长度是6米，则车宽 FA 的长度为 米．16．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF=x，EF=y．（1）当BE⊥AC，x=9，y=3时，AD的长是 ；（2）当BD=BF，2x=7y时，△DEF与△ABD的面积之比是 ．三、解答题17．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，ADBD =32，求DEBC的值．18．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．19．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？（结果保留小数点后两位）参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.23620．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；S△ABE，求BE的长．（2）若S△DFA=1321．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=3，AD=2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）设EF=x(0<x<2)，矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．22．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．（1）若AM=4，EB=EM=3，求BM．（2）若AB=6，BC=8，①求AM:ME．②若BM=7，求BE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F，设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为S(c m2)，试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，当S五边形OECQF：S△ACD=9：16时.直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】AB∥CD（答案不唯一）12．【答案】6．13．【答案】1:3000014．【答案】9415．【答案】12716．【答案】5；1417．【答案】3518．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA（2）解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴ABBD=BCAB，∴63=2+x6，解得，x＝9；即CD＝719．【答案】1.24米．20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA=13S△ABE，∴(AEAD )2=S△ABES△DFA=3，∴AEAD=3或AEAD=−3（负数不符合题意，舍去），∴AE=3AD=43，∴BE=AE2−AB2=(43)2−62=12=23，∴BE的长为23．21．【答案】（1）解：设AD，EH交于点M，∵矩形EFGH，∴EH∥BC，AM⊥EH，∴△ABC∼△AEH，∴EHBC=AMAD∵EF=DM=x，AD=2∴AM=2−x∴EH3=2−x2∴EH=32(2−x)∴y=2(EH+EF)=2(3−32x+x)=−x+6(0<x<2)∴y关于x的函数解析式为∴y=−x+6(0<x<2)（2）解：当EFGH为正方形时，∴EF=EH，由（1）得：EF =x ，EH =32(2−x)，∵EF =EH ，∴x =3(2−x)2，∴x =65，即EF =65．正方形EFGH 的面积=65×65=3625.22．【答案】（1）245（2）①43，②17423．【答案】（1）解：在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，∴AC =10，①当AP =PO =t ，如图1，过P 作PM ⊥AO 于点M ，∴AM =12AO =52，∵∠PMA =∠ADC =90°，∠PAM =∠CAD ，∴△APM∽△ACD ，∴AP AC =AM AD，∴AP =t =258，②当AP =AO =t =5，∴当t 为258或5时，△AOP 是等腰三角形；（2）解：如图2，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH =12CD =12AB =3cm ，由矩形的性质可知∠PDO =∠EBO ，DO =BO ，又得∠DOP =∠BOE ，∴△DOP≌BOE(ASA)，∴BE =PD =8−t ，则S △BOE =12BE ⋅OH =12×3(8−t)=12−32t.∵FQ//AC ，∴△DFQ∽△DOC ，相似比为DQ DC =t6，∴S △DFQ S △DOC =t 236，∵S △DOC =14S 矩形ABCD =14×6×8=12c m 2，∴S △DFQ =12×t 236=t 23，∴S 五边形OECQF =S △DBC −S △BOE −S △DFQ =12×6×8−(12−32t)−t 23=−13t 2+32t +12；∴S 与t 的函数关系式为S =−13t 2+32t +12；（3）t =3或32。
浙教版九年级数学上册第四章：相似三角形基本模型练习题(含答案)
相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，结论：AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DEAC AB BC== 图③双A 字型，结论：DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）IH G FED CB AGFEDC BAEDCB A ED C BA图① 图② 图③ 图④8字型图①8字型，结论：AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF=，图④A 8字型，结论：111AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△EFD C BA F ED C BAOD C BAODC BAGFED CB A图① 图② 图③ 图④ 图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DC B AE DC BAEDCBAC60°F E DCB AFED CB A图① 图② 图③ 图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BDAC CD= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅D C BD BCAEDB AD B A梅涅劳斯型常用辅助线G FEDCBAGFEDCBA G E DC B ADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABC ACDBC AHS BCS CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．图3：“燕尾”型CDEB A考点一：相似三角形【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【答案】∵AD AC AE AB ⋅=⋅ ∴AD ABAE AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE ∆∽BAC ∆∴ADE B ∠=∠ 【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【答案】∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠ ∴ABD ∆∽CBE ∆∴BE BCBD AB=∵EBD CBA ∠=∠ ∴BED ∆∽BCA ∆∴11322DEDE AC AC===⇒== 【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB =________．PCBA【解析】120APB BPC ∠=∠=︒，60BAP ABP ABC ABP CBP ∠=︒-∠=∠-∠=∠，故ABP BCP △∽△，2PB PA PC =⋅．【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【答案】45︒ 【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=︒，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，问题的关键是证明BCG FDB △∽△．考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA MPED C BA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴CM PC BD PB =， ∵CM AB ∥，∴CEM AED ∆∆∽， ∴CM AD CE AE =， ∵BD CE =， ∴CM CM CE BD =， ∴PC AD PB AE=， ∴AD BP AE CP ⋅=⋅【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE= PEDCBA4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BD CP CM =， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BD CP CE= 【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证：3EF DE =.F NMED CBAK HF N MG ED CBA【答案】过M ，N 分别作AC 的平行线交AB 于H ，G 两点，NH 交AM 于K ，∵BM MN NC ==， ∴BG GH HA ==，易知12HK GM =，12GM HN =，∴14HK HN =，即13HK KN =，又∵DF HN ∥， ∴13DE HK EF KN ==，即3EF DE =. 考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。
浙教新版九年级上册《4.3 相似三角形》2024年同步练习卷(2)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.3相似三角形》2024年同步练习卷（2）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知∽，相似比为2，则下列说法正确的是()A.是的2倍B.是的2倍C.AB是DE的2倍D.DE是AB的2倍2.下列说法正确的是()A.所有的等腰三角形都相似B.所有的等边三角形都相似C.所有的直角三角形都相似D.两相似三角形必是全等三角形3.如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是方格纸中的格点，为使∽，则点M应是F、G、H、K四点中的()A.FB.GC.HD.K4.已知∽，∽，下列关于和关系的结论正确的是()A.全等B.周长相等C.面积相等D.相似二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
5.如图，已知∽，相似比为2：3，则BC：DE的值为______.6.如图，AB，CD相交于O点，∽，OC：：3，，则BD的长为______.7.如图，∽，则图中的DE的对应边是______，的对应角是______.8.一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则它的最小边长为______9.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，与都是格点三角形顶点在网格交点处，并且∽，则与的相似比是______.三、解答题：本题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题8分如图，O是内任意一点，，，，那么与相似吗？说明理由.11.本小题8分如图，D，E分别是AB，AC上的点，已知∽，，，，求AE的长．12.本小题8分如图，已知∽，，，垂足分别为E，写出这两个相似三角形对应边的比例式.若，，，求BC的长.13.本小题8分如图，中，D是AB上的一点，∽，且AD：：4，，求，的度数；若，求AB的长.14.本小题8分如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，，，若使与相似，求AE的长.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∽，相似比为2，，AB是DE的2倍，选项A、B、D说法错误，不符合题意；选项C说法正确，符合题意；故选：根据相似三角形的对应角相等、对应边的比等于相似比判断即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边的比等于相似比是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：所有的等腰三角形不一定相似，只有顶角相等的等腰三角形都相似，所以A选项不符合题意；B.所有的等边三角形都相似，所以B选项符合题意；C.所有的直角三角形不一定相似，只有有一锐角相等的直角三角形相似，所以B选项不符合题意；D.全等三角形必相似，但两相似三角形不一定全等，所以D选项不符合题意．故选：利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法对A进行判断；利用等边三角形的性质和相似三角形的判定方法对A进行判断；利用直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据相似三角形的性质全等三角形的判定方法对D进行判断．本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和相似三角形的性质．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定．由图形可知的边，，，当∽时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是【解答】解：根据题意，当DE：：AC时，∽，，，应是H故选：4.【答案】D【解析】解：∽，，，∽，，，，，∽，故选：先利用相似三角形的性质得到，；，，则，，于是可判断∽，从而可对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．5.【答案】3：2【解析】解：∽，且相似比为2：3，：：2，故答案为3：由于∽，且已知了它们的相似比，因此两三角形的对应边的比等于相似比．由此可求出BC、DE的比例关系．本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6.【答案】4【解析】解：：：3，：：2，∽，，即，解得：，故答案为：根据OC：：3，求得OC：：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．7.【答案】【解析】解：∽，与是对应角，DE与DG是对应边．故答案为：DG，根据相似三角形的对应角相等以及对应角的定义，可以确定的对应角；根据∽，结合字母所在的对应位置，可以得到DE的对应边．本题主要考查相似三角形的对应边与对应角的定义，可以结合定义进行解答．8.【答案】5【解析】解：两三角形相似，三边比：5：6，另一三角形三边比：5：6，设此三角形各边为2x，5x，6x，，解得，根据相似三角形的性质，一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的各边之比也是2：5：6，设和它相似的另一个三角形的各边为2x，5x，6x，得到关于x的方程，解即可．本题考查相似三角形的对应边的比相等．9.【答案】【解析】解：由图可知，，与的相似比是：先利用勾股定理求出AC，那么AC：即是相似比．本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形边长的比等于相似比．解答此题的关键是找出相似三角形的对应边．10.【答案】解：∽理由：，∽，同理可得，，，∽【解析】先根据得出∽，故，同理可得，，由此可得出结论．本题考查的是三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．11.【答案】解：∽，，，，，即，解得【解析】直接根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．12.【答案】解：；，，，，解得：，【解析】根据∽对应边成比例，直接写出即可；根据∽对应边成比例求出AB，再由勾股定理求出BC即可．本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理，根据相似三角形的对应边成比例列出是解决此题的关键．13.【答案】解：∽，，；而，，，，；又∽，，，即AB的长为【解析】直接利用相似三角形的对应角相等这一性质即可解决问题．直接利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求解即可．本题主要考查了相似三角形的性质及其应用问题；解题的关键是找准相似三角形的对应角和对应边，准确列出比例式．14.【答案】解：①若对应时，，即，解得；②当对应时，，即，解得所以AE的长为2或【解析】由于与相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边成比例．。
浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形 含答案
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（）A. B. C. D.2、图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点MB.点NC.点OD.点P3、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH 与AC交于G，则GH=（）A. cmB. cmC. cmD. cm4、如果线段a、b、c、d满足ad=bc，则下列各式中不成立的是（）A. B. C. D.5、下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A.∠ C=∠ F= ，∠ A= ，∠ D=B.∠ C=∠ F= ， AB=10，BC=6， DE=15， EF=9C.∠ C=∠ F= ，D.∠ B=∠ E= ，6、如图，能使△ACD∽△BCA全等的条件是（）A. B.AC 2=CD CB C. D.CD 2=AD BD7、“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（）A.左上B.左下C.右上D.右下8、如图，在中，，，，以为直径作圆与斜边交于点，则的长为（）A. B. C. D.9、已知，则下列各式不成立的是（）A. B. C. D.10、如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A.4：9B.2：5C.2：3D. ：11、已知线段b是线段a、c的比例中项，a=3，c=2，那么b的长度等于( )A.±B.6C.D.12、下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（）A.1、2、2、3B.1、2、3、4C.1、2、2、4D.3、5、9、1313、若，则下列各式不成立的是（）A. =B. =C. =D. =14、如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后向下平移2个单位，则A点的对应点的坐标为( )A. B. C. D.15、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①=；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若=，则S△ABC =9S△BDF，其中正确的结论序号是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知点G为△ABc的重心，过点G作DE∥BC。
浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形 含答案
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE与△ABC相似的是( )A.DE∥BCB.∠ADE=∠ACBC.D.2、如图，甲、乙两盏路灯杆相距20米，一天晚上，当小明从灯甲底部向灯乙底部直行16米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部．已知小明的身高为1.6米，那么路灯甲的高为（）A.7米B.8米C.9米D.10米3、如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（）A. B. C. D.4、如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF= AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A. B. C. D.15、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A.1：4B.2：1C.1：2D.4：16、如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合．设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为A. B. C. D.7、在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，= ，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（）A. =B. =C. =D. =8、如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于( )A. B. C. D.9、如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A.4B.C.3D.210、如图所示，在△ABC中，DE∥BC ，若AD=1，DB=2，则的值为（）A. B. C. D.11、如图，直线，直线分别和直线交于点，和直线交于点，若，则线段的长为（）A.2B.3C.4 D.612、如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（）A.1B.4C.8D.1613、如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若，则=（）A. B. C. D.14、如图，直线∥ ∥ ，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，与相交于点，则下列式子错误的是( )．A. B. C. D.15、如图所示，图中共有相似三角形（）A.2对B.3对C.4对D.5对二、填空题(共10题，共计30分)16、在阳光下，高为6m的旗杆在地面上的影长为4m，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为36m，则这座建筑物的高度为________m．17、已知△ABC，D、E分别在AC、BC边上，且DE∥AB，CD＝2，DA＝3，△CDE面积是4，则△ABC的面积是________18、如图，直线，直线m，n分别与a，b，c相交于点A，B，C，D，E，F，若，，，则________．19、如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为________.20、如图，△ABO与△A′B′O′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ________ ．21、如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为________．22、如图，在矩形ABCD的边AB上有一点E，且，DA边上有一点F，且EF＝18，将矩形沿EF对折，A落在边BC上的点G，则AB＝________.23、如图，已知点A，B分别是反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO，则k的值为________．24、如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0），B（0，3），如果点C在x 轴上（C与A不重合），当点C的坐标为________时，△BOC与△AOB相似．25、如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC 交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知≠0，求代数式·(a+2b)的值。
浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.1：2B.1：3C.1：4D.1：162、如图，在中，点D为边上的一点，且，交于D，过点D作交于点E，若，则的面积为（）A. B.4 C. D.33、一个矩形的长为a ，宽为b（a＞b），如果把这个矩形截去一个最大的正方形后余下的矩形与原矩形相似，则a ， b应满足的关系式为（）.A. a2+ ab-b 2=0B. a2+ ab+b 2=0C. a2- ab-b 2=0D. a2-ab+b 2=04、若＝（a≠0，b≠0），则＝（）A. B. C. D.5、如图，ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（）A.2∶1B.1∶2C.2∶3D.3∶26、若非零实数x ， y满足，则等于（）A.3：4B.4：3C.2：3D.3：27、在△ABC中，D是AB上的一点，在AC上取一点E，要使△ADE与△ABC相似，则满足这样条件的E点共有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个8、已知3x=4y（x≠4），则下列各式不成立的是（）A. =B. =C. =D. =9、如图，中，，于点，若，则（）A. B. C. D.10、如图，AB∥CD∥EF，则等于180°的式子是（）A.∠1+∠2+∠3B.∠1+∠2﹣∠3C.∠1﹣∠2+∠3D.∠2+∠3﹣∠111、在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是AB长的（）A.3倍B.C.D.不知AB的长度，无法判断12、如图，l1∥l2∥l3， BC=1，= ，则AB长为（）A.4B.2C.D.13、在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）A.一定相似B.当E是AC中点时相似C.不一定相似D.无法判断14、如图，△ABC中，DE BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC交于N、M，则下列式子中错误的是（）A. B. C. D.15、已知4x﹣5y=0，则=（）A. B. C.- D.-二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是________．17、如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，AD=1，BD=3，则AC=________ 。
(黄金题型)浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点M 为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN=90°，则cos∠DMN为（）A. B. C. D.2、如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上，GB=GE，若BE+CG=10，，则AF的长为（）A.1B.C.D.23、下列命题是真命题的是（）A.相等的角是对顶角B.两直线被第三条直线所截，内错角相等 C.若m 2=n 2,则m=n D.所有的等边三角形都相似4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，F是BA延长线上一点, FD⊥BC于D,交AC 于点E，则图中相似三角形共有几对（）A.6对B.5对C.4对D.3对5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（）A. B.2 C. D.26、已知△ABC∽△A1B1C1，且AB=3， AC=5，A1C1=15，则A1B1=( )A.9B.1C.6D.37、如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB=1，CD=3，则EF的长是( )A. B. C. D.8、如果△ABC∽△DEF，且对应边的AB与DE的长分别为2、3，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A.4：9B.2：3C.3：2D.9：49、如图，三角形ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 上的一点，且DE 平行于BC ，S △ADE ＝S 四边形DECB ， 则△ABC 与△ADE 相似比的值为（ ）A.2B.4C.D.10、如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P 应在( )A.P 1处B.P 2处C.P 3处D.P 4处11、如图，△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，已知点A （2，2）、B （3，1）、D （5，2），则点A 的对应点C 的坐标是（ ）A.（2，3）B.（2，4）C.（3，3）D.（3，4）12、若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC 与△A′B′C′的相似比为1：2，则△ABC 与△A′B′C′的面积比是（ ）A.1：1B.1：2C.1：3D.1：413、如图，△ABC中，AB=4，BC=6．点D，点E分别是边AB，BC上的两个动点，若按照下列条件将△ABC沿DE剪开，剪下的△BDE与原三角形不相似的是（）A.∠BDE=∠CB.DE∥ACC.AD=3，BE=2D.AD=1，CE=414、有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A. B. C. D.15、下列说法正确的是（）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的直角三角形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.有一个角相等的两个等腰三角形都相似二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=4，则GH 的长为________．17、一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为________．18、三角形的中位线把三角形分成的两部分的面积之比是________ .19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m=________ （用含n的代数式表示m）．20、在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是________km.21、如图，正方形ABCD中， E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD，若，则EF的长等于________.22、如图，点B，D在∠A的一条边上，点C，E在∠A的另一条边上，且DE∥BC，请你写出图中能够成立的一组比例式________．23、如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是10米，已知网高是0.9米，要使球恰好能打过网，且落在离网5米的位置，则拍击球的高度h为________米．24、如图，已知，第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第四象限内的点B在反比例函数y＝的图象上．且OA⊥OB，∠OAB＝60°，则k的值为________．25、如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA＝20cm，AA′═50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长比是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知，求的值．27、如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．28、如图,四边形EFGH是△ABC的内接矩形,EF∶EH=5∶9,若BC=36,高AD=12,求矩形EFGH的周长。
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九上第四章《相似三角形》§4.1比例线段（一）1．已知x:3=2:4，则x=_______ 2．若2723=+y y x ，则yx=_______ 3．已经5y-4x=0，则（x+y ）:（x-y ）=_______ 4.已知532zy x ==，x+y+z=15，求2x-3y+z 值. 5.思考下面的问题，并寻找规律.？，））（（）（fd b ec a f ed c b a ）（d b ca ，d cb a ）（律聪明的你发现了什么规两题的结论已知的值求已知的值求已知213,3231++++===++==6．xz y x C y z x B z y x y A z y x -+=+=++===,,,572设已知试判断A ，B ，C 的大小 答案： 1．3：2 2．4 3. 9 4.05.(1) 3 (2) 3 (3)略6.A<B<C§4.1比例线段（二）1．如果两地相距2500KM ，那么1：100 000 000的地图上，这两地之间的图上距离是_______cm2.如图，AC=1cm ，CD=2cm ，DB=4cm ，请写出关于图中线段的一个比例式：_______3.在一张声调建设规划图上，量得该市东西方向长240cm ，而该市东西方向的实际长度是18KM ，求这张规划图的比例尺4.在下列给出的各组长度的线段中，不成比例的是（ ）A.3cm ，5cm ，9cm ，15cmB.0.8cm ，1.6cm ，2.8cm ，5.6cmC.12cm ，24cm ，36cm ，48D.50cm ，10cm ，8cm ，16cm 5.如图，尽可能多地找出成比例的线段，并写出比例式6.如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且ACADAB AE =，AE=2AD ，CE=AD=2，求AB 的长. 答案： 1．2.5 2．DBCD CDAC =3.1：75004. C5.有4对6.12§4.1比例线段（三）1．①若a 是3和6的比例中项，则a=_______，②已知线段a=4，b=9,则线段a ，b 的比例中项是_______ 2．已知线段AB=10，P 为线段AB 的黄金分割点，且AP 大于PB ，则线段AP 的长是_______3．如图，点C 在AB 上，且AB=8，AC=454-，试通过计算说明点C 是线段AB 的黄金分割点.4.如图，在△ABC 中，∠ACB=Rt∠，∠A=60度，CD⊥AB 于点D （1）求BC 与AB 的比； （2）求证B2C=BD·BA .5.已知线段AB 如图，作线段AB 的黄金分割点（只要求作出图形，并保留作图痕迹）6.如图，点C ，D 在线段AB 上，已知AB=6cm ，AC=1cm （1）若线段AC ，CD ，DB ，AB 成比例，求CD 的长； （2）若DB 是AC ，AD 的比例中项，求CD 的长.答案：1．①23± ② 6 2．555-3.215-=AB AC4.（1）23（2）略 5.略6.（1）2或3 （2）3§4.2相似三角形1．若两个△的相似比为1，则这两个三角形_______2．△ABC 的各边长之比为3：5：6，与其相似的△DEF 的最长边为24cm ，那么△DEF 的最短边长为________cm 3.如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE=∠C，则AD 的对应边是_______，AE 的对应边是_______，BC 的对应边_______.4.下列命题错误的是（ ）A.所有等边△都相似B.两个全等△的相似比是1C.所有的等腰△都相似D.所有的等腰直角△都相似5.在如图8×8的方格纸中画两个相似的格点三角形（除相似比为1之外）6.在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3，D 为AC 上一点，E 为AB 上一点，且AD=2，满足△ADE 和△ABC 相似，求出所有满足条件的AE 的长. 答案： 1．全等 2．12 3.AC AB DE 4.C 5.略 6.5825或§4.3两个三角形相似的判定（一）1．如图，在△ABC 中，DE//BC ，且DE=2，BC=5，则AD:AB=_______，EC:AE=_______2．如图，AB//CD ，AE=2，AD=6，AB=3，则CD=_______3.如图，DE//BC ，BD=DE=4cm ，BC=6cm 求AD 的长.4.已知，如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，∠FEC=90°. （1）求证：△AEF∽△BCE； （2）求出它们的相似比.5.已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E 在AC 上，且∠AED=∠ADE。
求证：（1）△ABD∽△ADE；（2）AD 是AB ，AE 的比例中项.6.如图，AD 和BC 相交于点E ，AC//BD//EF ，EF 交AB 于点F ，设AC=p ，BD=q ，FE=r ，AF=m ，FB=n.（1）用m ，n 表示p r ；（2）用m ，n 表示q r ；（3）试说明rq p 111=+成立的理由. 答案： 1．2352， 2．6 3.84.（1）略（2）1：25.（1）略（2）略6.（1）n m n +（2）nm m+（3）略§4.3两个三角形相似的判定（二）1．下面条件中，可以判定△ABC∽A’B”C’的是（ ）A.’且B B ,''''∠=∠=C A AC B A ABB.’,''''C C C A ACB A AB ∠=∠=且 C.’’’’’’C B BCC A AC B A AB == D.∠A=∠B’，∠B=∠C 2．如图21==CE AE BD AD ，则BC DE=_______3.在△ABC 和△A'B'C'中，若AB=7，BC=5，CA=3，A'B'=37，B'C'=1，C'A'=35则（ ）A.∠A=∠A'B.∠A=∠B'C.∠A=∠C'D.不能确定4.在△ABC 中，E 是AB 上的一点，AE=2，BE=3，AC=4，在AC 上取一点F ，使△AEF 与△ABC 相似，则AF 为（ ）A.58 B.25C.2558或D.5258或5.已知：如图，P 为△ABC 内任意一点，D ，E ，F 分别为PA ，PB ，PC 的中点，求证：△DEF∽△ABC6.在直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，CD=3，AD=8，AB=4，点E 为AD 上一点，且满足△CDE 与△ABE 相似，请求出满足条件的所有AE 的长，并画出相应示意图. 答案： 1． C 2．313. B4.C5.略6.2 , 6 ,724 §4.4相似三角形的性质及其应用（一）1．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，2），B （0，-4），C （-2，-4）， △ABC 被x 轴截成两部分，那么所得两部分的面积之比是（ ） A.3 B.2 C.8 D.92．在比例尺为1：500的军事地图上，周长为30cm 的三角形区域的实际周长为______ 3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点若S △DOE =12cm 2，则S △AOB =________cm 24.如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC 上，DE//BC ，EF//AB ，32EC AE ，S △ABC =S ，求S □BFED .FDBCA E5.如图，AH 是△ABC 的高，矩形EDGF 的一边DG 在BC 上，顶点E ，F 分别在AB ，AC 上，且ED:EF=2:3.若BC=12，AH=8，求矩形EDGF的各边长.6.如图，要判断△ABC 的面积是△DBC 的面积的几倍，用一把刻度尺，需测量哪些数据？至少要测量几次？请说明理由.答案： 1．C 2．150 3.48 4.25125.ED=4，EF=66.至少一次§4.4相似三角形的性质及其应用（二）1．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就撬动。
现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上撬起10cm，已知杠杆的动力臂AC与与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端下压（）A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm2．小明身高为1.5m，他的影长为2m，同一时刻古塔的影长为24m，则古塔高为______m 3．如图，圆桌正上方的一灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若类泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为______m2（结果保留π）4．如图，在4×4方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC=________度，BC=__________（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论5.如图是某地下停车库的建筑设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，请你根据图中的信息计算这个地下停车库应该限高几米（精确到0.1m）6.某工厂有一批形状、大小相同的直角三角形余料片，如图1∠C=90度，AB=50cm，BC=40cm，在社会实践中，工厂请同学们设计一种方案：要求在这批余料上截出面积最大的正方形。
小明的设计方案如图2所示，小坤的设计方案如图3所示，你认为谁的方案更符合要求？请说明你的理由。
答案：1．D2．183.0.812②相似4.①135 , 25.2.26.略§4.5相似多边形1．下面四组图形中，必定相似的是（ ）A.各有一个角是30度的等腰三角形B.两个正方形C.各有一个角为40度的两个等腰梯形D.各有一个角为120度的两个平等四边形。
2．如图，长方形ABCD 和长方形EFGH 的对角线AC ，EG 在同一条直线上，且AD//EH ，AB//EF ，斜线部分是这两个长方形的公共部分，且斜线部分的面积是长方形ABCD 面积的一半。
若AD=EH=8cm ，AB=EF=6cm 则AE 的长是（ ）A.cm 310 B.cm )2510(- C.cm )2510(- D.cm )2210(-3.在一张比例尺为1：5000的地图上有一块周长为8cm 的多边形地块，那么这个多边形的实际周长为 m ，另有一块多边形地块的面积为32m 2 那么它的实际面积为 m 24.两个相似多边形的一组对应边分别是3cm 和4.5cm 如果这两个多边形的面积之和为130m 2 那么较小多边形的面积是 cm 2.5.如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A.2 cm 2B.4 cm 2C.8 cm 2D.16 cm 26.如图矩形ABCD 沿EF 对折后，矩形FCDE 相似于矩形ABCD ，已经AB=4，求：（1）AD 的长（2）这两个相似矩形的相似比k的值。