2019-2020学年第一学期福州市高二期末质检数学试题电子
福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)word
2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12iz i+=，则z =( )A. 5B. 3C.D. 22.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A. 0R α∃∈，0tan 1α< B. 0R α∃∈，0tan 1α≤ C. R α∀∈，tan 1α<D. R α∀∈，tan 1α≤3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数()sin 2xf x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x -B.2cos 2sin 2x x xx +C. 22cos 2sin 2x x x x- D. 22cos 2sin 2x x x x+ 6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A. 30/km hB. /hC. /hD. 60/km h7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( )A.)1,0B.)1,0C.)1,0D. ()4,08.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(3,13--⋃二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A. 是团员，且体育成绩达标 B. 是团员，且体育成绩不达标 C. 不是团员，且体育成绩达标D. 不是团员，且体育成绩不达标10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u rD. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12.已知椭圆C ：22142x y +=左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线()xf x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且122PF PF =，则M 的离心率为______.16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈. (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点)2,0A ，()0,1B .(1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积. 19.已知函数()321323mx mx x f x =--+3x =处有极小值.(1)求实数m 的值；(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值.20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =.(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：11ln 0x e x x -+>.2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12iz i+=，则z =( ) A. 5 B. 3C.5 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的性质求解即可.【详解】因为12i z i+=,故121i z i +===故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的运算,属于基础题. 2.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A. 0R α∃∈，0tan 1α< B. 0R α∃∈，0tan 1α≤ C. R α∀∈，tan 1α< D. R α∀∈，tan 1α≤【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定直接判断即可.【详解】命题“0R α∃∈,0tan 1α>”的否定是“R α∀∈,tan 1α≤”. 故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线公式直接得到答案.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±.故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】实数a ＞1，b ＞1，由不等式性质知a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12，即可判断出结论. 【详解】实数a ＞1，b ＞1⇒a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12. ∴a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.已知函数()sin 2xf x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x -B.2cos 2sin 2x x xx +C. 22cos 2sin 2x x x x- D. 22cos 2sin 2x x x x+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的求导法则求解即可. 【详解】因为()sin 2x f x x =,故()()22sin 2'sin 2'2cos 2sin 2'x x x x x x x f x x x -⋅-==.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的分式运算,属于基础题.6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A. 30/km hB. /hC. /hD. 60/km h【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出总费用与航速的关系,再求导分析函数的单调性与最值求解即可.【详解】由题, 100km 的航程需要100x 小时,故总的费用31100()540100f x x x x⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭.即254000()100f x x x =++.故()32222700054000'()2x f x x x x-=-=. 令'()0f x =有30x =.故当030x <<时'()0f x <,()f x 单调递减,当30x >时'()0f x >,()f x 单调递增. 使得航行的总费用最少,航速应为30/km h 故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际问题中最值问题,需要根据题意列出关于航速的函数解析式,再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( ) A.)1,0B.)1,0C.)1,0D. ()4,0【答案】C 【解析】 【分析】求得,,A B F 的坐标表达式,再根据0AB BF ⋅=u u u r u u u r求解即可.【详解】由题,()2,0A -,()0,B b , )F.因为0AB BF ⋅=u u u r u u u r,故())2,0b b ⋅-=.即()()2224244220b b b b =⇒+=⇒-=.故22b =.1==.故F 的坐标为)1,0.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线中的顶点、虚轴顶点与焦点的坐标关系与向量数量积的运用,需要根据题意求得对应的坐标,利用数量积公式求解.属于中档题.8.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(3,13--⋃【答案】B 【解析】 【分析】分()2,1x ∈--与()1,2x ∈-两种情况,根据导数与单调性的关系观察求解即可. 【详解】当()2,1x ∈--时,若()'01f x x >+则()'0f x <,此时函数单调递减,故()2,1x ∈--. 当()1,2x ∈-时,若()'01f x x >+则()'0f x >,此时函数单调递增,故()1,1x ∈-. 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与分段求解不等式的方法,属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A. 是团员，且体育成绩达标 B. 是团员，且体育成绩不达标 C. 不是团员，且体育成绩达标 D. 不是团员，且体育成绩不达标【答案】AC【解析】 【分析】根据题意逐个选项判定即可.【详解】对A, 是团员,且体育成绩达标同时满足①②,满足资格. 对B , 是团员,且体育成绩不达标不满足②,不满足资格.对C, 不是团员,且体育成绩达标,故可能为班干部且体育成绩达标.满足资格. 对D, 不是团员,且体育成绩不达标一定不满足②,不满足资格. 故选：AC【点睛】本题主要考查了实际问题中的逻辑推理的运用,属于基础题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u rD. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等【答案】AC 【解析】 【分析】对A,根据11//A C EF 判定即可.对B,建立空间直角坐标系证明1B D 与平面CEF 中的CF 不垂直即可. 对C, 建立空间直角坐标系计算即可.对D,判断点D 与点1B 的中点是否在平面CEF 上即可.【详解】对A,因为E ,F 分别是11A D 和11C D 的中点故11//EF A C ,故11//A C 平面CEF 成立.对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体1111ABCD A B C D -边长为2则()12,2,2B D =---u u u u r，()0,1,2FC =-u u u r .故101430B D FC ⋅=-+=≠u u u u r u u u r .故1,B D FC u u u u r u u u r不互相垂直.又CF 属于平面CEF .故1B D ⊥平面CEF 不成立.对C,同B 空间直角坐标系有()1,2,2CE =-u u u r ,112DA DD DC +-u u ur u u u r u u u r()()()()12,0,00,0,20,2,01,2,22=+-=-.故112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r 成立.对D, 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等则点D 与点1B 中点O 在平面CEF 上.连接,AC AE 易得平面CEF 即平面CAEF .又点D 与点1B 中点O 在11A ACC 上,故点O 不在平面CEF 上.故D 不成立.故选：AC【点睛】本题主要考查了空间中的线面关系和利用空间直角坐标系判定垂直的方法与空间向量的运算等.属于中档题.11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( )A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 对B,求导后利用恒成立问题分析即可.对C,根据单调性分析即可.对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可.【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.对B, ()2'cos 3f x x x a =+-,因为()f x 是增函数故2cos 30x x a +-≥恒成立.即2cos 3a x x ≤+恒成立.令2()cos 3g x x x =+,则'()6sin g x x x =-, 因为''()6cos 0g x x =->,故'()6sin g x x x =-单调递增,又'(0)0g =,故当0x <时)'(0g x <,当0x >时'()0g x >.故2()cos 3g x x x =+最小值为(0)1g =.故1a ≤.故B 正确.对C,当3a =-时由B 选项知,()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时()3sin 3f x x x x =+-,()2'cos 33f x x x =+-,令2cos 330x x +-=则有2cos 33x x =-.作出2cos ,33y x y x ==-的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数()f x 恰有两个极值点.故D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与极值点等问题,属于中档题.12.已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒【答案】ABC 【解析】 【分析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可.【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B ,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,2OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确.对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C 正确. 对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-. 又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线()xf x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】1y = 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为()xf x e x =-,故()'1x f x e =-,故()0'010f e =-=,又()0001f e =-=,故()xf x e x=-在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. 故答案为：1y =【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题,属于基础题.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.【答案】32【解析】 【分析】根据面的法向量与平行于面的向量垂直求解即可.【详解】由题, ()()1,2,12,,12210n a λλ⋅=-⋅-=-+-=r r ,解得32λ=.故答案为：32【点睛】本题主要考查了法向量的性质应用,属于基础题.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且12PF =，则M 的离心率为______.【答案】21- 【解析】 【分析】根据抛物线与椭圆的定义转化边角关系求解即可.【详解】由抛物线的定义可知,准线为过左焦点且垂直与x 轴的直线.作1PQ F Q ⊥,则2PF PQ =, 又122PF PF =,故222211122QF PF PQ PF PF PF PQ =-=-==.故1PFQ V 为等腰直角三角形.故14PF Q π∠=,又1122PFQ PF F π∠+∠=,故124PF F π∠=.又122PF PF =,同理可得122F F PF =.故12PF F △也为等腰直角三角形.故椭圆离心率为1212221221F F c e a PF PF ====-++.21-【点睛】本题主要考查了根据抛物线与椭圆的定义与三角形中的关系求解椭圆离心率的问题,属于中档题. 16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.【答案】 (1). 2 (2). 25【解析】 【分析】(1)根据PC DE ⊥与鳖臑的性质证明DE ⊥平面PAC 再求解即可.(2)根据(1)中的计算可知PC 垂直于D 所在的平面,再得出PC 垂直于E 在平面内的轨迹再计算长度即可. 【详解】(1)当E 在AC 上时,因为PA ⊥平面ABC ,故PA DE ⊥,又PC DE ⊥,故DE ⊥平面PAC . 故DE AC ⊥.又90ACB ∠=︒,D 为AB 中点,故//DE BC 所以E 为AC 中点. 故122AE AC ==. (2)取AC 中点F 则由(1)有DF ⊥平面PAC ,故PC DF ⊥,又PC DE ⊥, 设平面DEF PC G ⋂=则有PC ⊥平面DGF .故点E 的轨迹为FG .又此时2CF =,1tan 2PA PCA AC ∠==,故22sin 512PCA ∠==+.所以25sin 55FG CF PCA =⋅∠==.故答案为：(1). 2 (2).25【点睛】本题主要考查了根据线面垂直与线面垂直的性质求解立体几何中的轨迹问题,需要根据垂直关系求解对应的线段长度.属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈. (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 【答案】(1)2；(2)(),2-∞-. 【解析】 【分析】(1)利用复数的乘法化简z 再根据纯虚数的定义计算即可.(2)求得()()22z m m i =-++,再根据复数的象限求得实部与虚部的范围即可. 【详解】(1)()()()()2122z mi i m m i =--=--+,由2020m m -=⎧⎨+≠⎩,得2m =.(2)由(1)知,()()22z m m i =-++, 因为复数z 在复平面上对应的点在第四象限, 所以2020m m ->⎧⎨+<⎩,解得2m <-,所以m 的取值范围为(),2-∞-.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与基本概念和几何意义.属于基础题.18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点)A ，()0,1B .(1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.【答案】(1)2212x y +=；(2)23.【分析】(1)根据椭圆的基本量求解即可.(2)联立直线与椭圆的方程,求出交点的纵坐标,再根据OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+求解即可. 【详解】(1)依题意,A ,B 分别为椭圆E 的右顶点、上顶点,E 的焦点在x 轴上.设E 的方程为()222210x y a b a b+=>>,则a =1b =,所以E 的方程为2212x y +=.(2)设()11,P x y ,()22,Q x y ,不妨设12y y >, 依题意,直线l 的方程为1y x =-.由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩,得23210y y +-=, 解得113y =,21y =-, 记点()1,0为F ,则OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+1212OF y y =- 14123=⨯⨯ 23=. 所以OPQ ∆的面积为23. 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及直线与椭圆联立求三角形面积的问题,属于中档题. 19.已知函数()321323mx mx x f x =--+在3x =处有极小值. (1)求实数m 的值；(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值. 【答案】(1)1；(2)()f x 的最小值为703-，最大值为113. 【解析】(1)求导后根据()'30f =求解再检验所得的值是否满足题意即可.(2) 由(1)得()2'23f x x x =--,再求得极值点列表分析函数单调性再求最值即可.【详解】(1)依题意,()223'f mx x x m =--,因为()f x 在3x =处有极小值, 所以()'3330f m =-=, 解得1m =.经检验,1m =符合题意,故m 的值为1.(2)由(1)得()2'23f x x x =--,令()'0f x =,得3x =或1x =-.当x 变化时,()'f x ,()f x 的变化情况如下表：x-4()4,1---1()1,3-3()3,44()'f x+0 -0 +()f x703-Z113]-7Z143-由上表可知,()f x 的最小值为703-； ()f x 的最大值为113. 【点睛】本题主要考查了根据函数的极值点求解参数以及求导分析函数的单调性的问题,属于中档题. 20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =.(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)36. 【解析】 【分析】(1) 过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,连接BE .再分别证明PE EB ⊥与PE EA ⊥即可.(2) 分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,再根据空间向量求解线面所成的角即可.【详解】(1)证明：过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,则1EF AB ==,12CD E DE CF F==-=, 连接BE ,依题意,AED ∆为等腰直角三角形,故1AE DE ==,又AE DE ⊥,故AE AB ⊥,所以222EB EA AB =+=,在四棱锥P ABCE -中,因为3PB =,1PE DE ==,所以222PE EB PB +=,故PE EB ⊥, 因为PE EA ⊥,EA EB E =I ,且,EA EB ⊂平面ABCE ,所以PE ⊥平面ABCE .(2)由(1)知,PE ⊥平面ABCE ,所以PE EA ⊥,PE EC ⊥,又AE EC ⊥,所以EA ,EC ,EP 两两垂直.以E 为原点,分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则各点坐标为：()0,0,0E ,()0,0,1P ,()1,0,0A ,()1,1,0B ,()0,2,0C , ()1,0,1PA =-u u u r ,()0,2,1=-u u u r PC ,()1,1,0BC =-uu u r,设平面PBC法向量为(),,n x y z =r,则00n PC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v,故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩, 取1y =,故()1,1,2n =r.所以3626cos ,PA n PA n PA n⋅=⨯==-u u u r ru u u r r u u u r r . 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ,则3sin cos ,6PA n θ==u u u r r .【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与建立空间直角坐标系求解线面角的问题,属于中档题.21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0.【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可.【详解】(1)连接MF ,则MD MF =, 则根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线.则点M 的轨迹的方程为24y x =.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=, 216160m ∆=+>,124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y m y y ++===-, 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y y B -==-==.圆的半径为2r =. 所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+.展开可得()22144x y my -++=,令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-.所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,P x y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=,所以()224224416160k k k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y k x x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即()22212112121210x y x y y y x y y x x x x +-+-+=, 即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-.所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A ,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题.22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：11ln 0x e x x -+>. 【答案】(1)当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)求导后分0a >与0a <两种情况分析导数的正负从而求得原函数的单调性即可.(2)根据(1)中的结论,求得()f x 最小值从而得出当0x >时,1ln x x e -≤,再构造函数式证明11ln 0x e x x -+>.或构造()1ln x g x e x x -=+,求导后根据隐零点的方法证明.【详解】(1)依题意,()f x 的定义域为()0,∞+,()()'ln 1f x a x =+, 当10x e<<时,ln 10x +<；当1x e >时,ln 10x +>. ①当0a >时,若10x e <<,则()'0f x <；若1x e >,则()'0f x >. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ②当0a <时,若10x e <<,则()'0f x >；若1x e >,则()'0f x <. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上,当0a >时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)法一：由(1)知,当1a =-时,()ln f x x x =-,在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 1111ln f x e e e e f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭, 故当0x >时,1ln x x e -≤. 又当0x >时,1011x ee e -->=, 所以当0x >时,11ln x e ex x ->≥-,故1ln 0x e x x -+>,所以11ln 0x e x x -+>. (2)法二：令()1ln x g x ex x -=+,则()1'ln 1x g x e x -=++, 令()1ln 1x h x e x -=++,则()h x 为增函数,且21121210c h e e -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭,111110e h e e -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭, 所以()h x 有唯一的零点0x ,0211,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以当00x x <<时,()'0g x <,()g x 为减函数；当0x x >时,()g x 为增函数.所以()()01000ln x e g x g x x x -=+≥.由(1)知,当1a =时,()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,故 ()01e f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即001ln x x e >-, 所以()()()0010111110x x g x e e e e ee ->-=->-=, 所以1ln 0x e x x -+>,故11ln 0x e x x -+>. 【点睛】本题主要考查了分类讨论求解函数的单调性问题以及利用导数求解函数单调性与最值从而证明不等式的问题.属于难题.。
福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题
2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z i +=，则z =( ) A. 5 B. 3 C. D. 22.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( )A. 0R α∃∈，0tan 1α<B. 0R α∃∈，0tan 1α≤C. R α∀∈，tan 1α<D. R α∀∈，tan 1α≤3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( ) A. 14y x =± B. 12y x =± C. 2y x =± D. 4y x =± 4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数()sin 2x f x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x- B.2cos 2sin 2x x x x + C. 22cos 2sin 2x x x x - D. 22cos 2sin 2x x x x + 6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A. 30/km hB./h C. /h D. 60/km h7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( )A. )1,0B. )1,0C. )1,0D. ()4,08.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(1-⋃ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( )A. 是团员，且体育成绩达标B. 是团员，且体育成绩不达标C. 不是团员，且体育成绩达标D. 不是团员，且体育成绩不达标10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( )A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r D. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等 11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( )A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12.已知椭圆C ：22142x y +=左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒ 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.曲线()x f x e x =-在点()()0,0f 处切线方程为______.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r 为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且12PF =，则M 的离心率为______.16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈.(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围.18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过点)A，()0,1B . (1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.19.已知函数()321323mx mx x f x =--+3x =处有极小值.(1)求实数m 的值； 的(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值.20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得PB(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：11ln 0x e x x -+>.。
福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末质量抽测数学试题(pdf版)
的是
A．四边形 AF1BF2 为平行四边形
B． F1PF2 ＜90
C．直线 BE 的斜率为 1 k 2
D． PAB ＞90
第Ⅱ卷
注意事项：
用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13. 曲线 f x ex x 在点 0, f 0 处的切线方程为
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知函数 f x sin 2x ，则 f x
x A． x cos 2x sin 2x
x2 C． 2x cos 2x sin 2x
x2
B． x cos 2x sin 2x x2
D．
2x
cos
2x x2
sin
2x
高二数学试题（第1页 共4页）
为
．
16. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑
P ABC 中， PA 平 面 ABC ， ACB 90 ， AC 4, P PA 2 ，D 为 AB 中点，E 为 △PAC 内的动点（含边界），
且 PC DE ．①当 E 在 AC 上时，AE
；②点 E
垂线与线段 DF 的垂直平分线交于点 M ，记 M 的轨迹为 C ．
（1）求 C 的方程；
（2）若过 F 的直线与曲线 C 交于 P,Q 两点，直线 OP,OQ 与直线 x 1分别交于 A , B
两点，试判断以 AB 为直径的圆是否经过定点?若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 22. （本小题满分 12 分）
C． 5
D．2
B． 0 R , tan0 ≤1 D． R, tan ≤1
福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科) (含解析)
2019-2020学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆=1的焦距为2，则m的值是（）A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或52．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β3．已知实数m是2，8的等比中项，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．f（x）=cosx﹣sinx在下列哪个区间上是单调递减的（）A．B．[﹣π，0] C．[0，π] D．5．已知函数f（x）=x+e x，g（x）=x+lnx，h（x）=lnx﹣1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从大到小的顺序为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．167．对任意的实数a、b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x ≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）C．y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数D．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为28．直线y=2x+m和圆x2+y2=1交于点A，B，以x轴的正方向为始边，OA为终边（O是坐标原点）的角为α，OB为终边的角为β，若|AB|=，那么sin（α﹣β）的值是（）A．B．C．D．9．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn﹣1=n，则S2015的值为（）A．2015 B．2013 C．1008 D．100710．若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣6，2] B．（﹣6，2）C．[﹣3，1] D．（﹣3，1）11．设P是椭圆+=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，1212．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k= ．14．以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是．15．曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是．16．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知函数f （x ）=|x ﹣1|，g （x ）=﹣x 2+6x ﹣5． （1）若g （x ）≥f （x ），求实数x 的取值范围；（2）求g （x ）﹣f （x ）的最大值．18．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，向量=，=，已知与共线． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=2，，且△ABC 的面积小于3，求角B 的取值范围．19．已知四棱锥P ﹣ABCD 中PA ⊥平面ABCD ，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（1）求证：MQ ∥平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小；（3）求点A 到平面MCN 的距离．20．已知正项等比数列{a n }（n ∈N *），首项a 1=3，前n 项和为S n ，且S 3+a 3、S 5+a 5、S 4+a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{nS n }的前n 项和T n ．21．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2，其中x ∈R ，a 为参数（1）记函数g （x ）=f′（x ）+lnx ，讨论函数g （x ）的单调性；（2）若曲线y=f （x ）与x 轴正半轴有交点且交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证：对于任意的正实数x ，都有f （x ）≥g （x ）．22．如图，已知直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于M ，N 两点，点D 的坐标为，OD ⊥MN 交MN 于点D ，OM ⊥ON ，抛物线的焦点为F ．（1）求p 的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线C ，过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 相交于点A ，B ，l 2与曲线C 相交于点D ，E ，求•的最小值．2019-2020学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆=1的焦距为2，则m的值是（）A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或5【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．【解答】解：由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m=1，解得m=3．则m的值是：3或5．故选：D．2．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由线面平行的判定方法，我们可以判断A的真假；根据直线与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断B的真假；根据线面垂直的判定定理，我们可以判断C的真假；根据空间平面与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断D的真假．进而得到答案．【解答】解：A中，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，故A错误；B中，若l上有两个点到α的距离相等，则l与α平行或相交，故B错误；C中，若l⊥α，l∥β，则存在直线a⊂β，使a∥l，则a⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故C正确；D中，若α⊥β，α⊥γ，则γ与β可能平行也可能相交，故D错误；故选C3．已知实数m是2，8的等比中项，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【分析】根据实数m为2和8的等比中项，由等比数列的性质得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把m的值代入双曲线方程后，找出双曲线的a与b的值，根据双曲线的简单性质求出c的值，然后根据离心率的公式即可求出原双曲线的离心率．【解答】解：由实数m是2，8的等比中项，得到m2=2×8=16，解得：m=4或m=﹣4（不合题意，舍去），则双曲线方程中的a=1，b=2，则c==，所以双曲线的离心率e==．故选：A4．f（x）=cosx﹣sinx在下列哪个区间上是单调递减的（）A．B．[﹣π，0] C．[0，π] D．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=cos（x+），解2kπ≤x+≤2kπ+π可得函数的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cosx﹣sinx=（cosx﹣sinx）=cos（x+），由2kπ≤x+≤2kπ+π可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函数的单调递减区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，当k=0时，函数的一个单调递减区间为[﹣，]，而选项D[0，]⊊[﹣，]，故选：D．5．已知函数f（x）=x+e x，g（x）=x+lnx，h（x）=lnx﹣1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从大到小的顺序为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b【考点】函数零点的判定定理．【分析】由零点的判定定理对a，b所在的区间判定，由方程h（c）=lnc﹣1=0解出c，从而解得．【解答】解：∵f（﹣1）=﹣1+＜0，f（0）=1＞0，∴a∈（﹣1，0）；∵g（）=﹣1＜0，g（1）=1＞0，∴b∈（，1）；∵h（c）=lnc﹣1=0，c=e；∴c＞b＞a；故选：A．6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．16【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B7．对任意的实数a、b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x ≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）C．y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数D．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2【考点】函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的判断．【分析】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．【解答】解：∵f （x ）*g （x ）=max{f （x ），g （x ）}，∴f （x ）*g （x ）=max{f （x ），g （x ）}的定义域为R ，f （x ）*g （x ）=max{f （x ），g （x ）}，画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F （x ）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A 不正确y=F （x ）有极大值F （﹣1）且有极小值F （0）；故B 正确y=F （x ）在（﹣3，0）上不为单调函数；故C 不正确y=F （x ）的没有最小值和最大值，故D 不正确故选B ．8．直线y=2x+m 和圆x 2+y 2=1交于点A ，B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若|AB|=，那么sin （α﹣β）的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】由题意根据，OA=OB=1，可得∠AOB=，从而求得sin （α﹣β）=sin （±）的值． 【解答】解：直线y=2x+m 和圆x 2+y 2=1交于点A ，B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若，∵OA=OB=1，∴∠AOB=，那么sin （α﹣β）=sin （±）=±， 故选：D ．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，当n ≥2时，a n +2S n ﹣1=n ，则S 2015的值为（ ）A ．2015B ．2013C ．1008D ．1007【考点】数列递推式．【分析】根据a n +2S n ﹣1=n 得到递推关系a n+1+a n =1，n ≥2，从而得到当n 是奇数时，a n =1，n 是偶数时，a n =0，即可得到结论．【解答】解：∵当n ≥2时，a n +2S n ﹣1=n ，∴a n+1+2S n =n+1，两式相减得：a n+1+2S n ﹣（a n +2S n ﹣1）=n+1﹣n ，即a n+1+a n =1，n ≥2，当n=2时，a 2+2a 1=2，解得a 2=2﹣2a 1=0，满足a n+1+a n =1，则当n 是奇数时，a n =1，当n 是偶数时，a n =0，则S 2015=1008，故选：C10．若x ，y 满足约束条件，目标函数z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣6，2]B ．（﹣6，2）C ．[﹣3，1]D ．（﹣3，1）【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可．【解答】解：作出可行域如图所示，将z=ax+2y 化成y=﹣+，当﹣1＜﹣＜3时，y=﹣x+仅在点（1，0）处取得最小值，即目标函数z=ax+2y 仅在点A （1，0）处取得最小值，解得﹣6＜a ＜2．故选：B11．设P是椭圆+=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】圆外一点P到圆上所有点中距离最大值为|PC|+r，最小值为|PC|﹣r，其中C为圆心，r为半径，故只要连结椭圆上的点P与两圆心M，N，直线PM，PN与两圆各交于两处取得最值，最大值为|PM|+|PN|+两圆半径之和，最小值为|PM|+|PN|﹣两圆半径之和．【解答】解：∵两圆圆心F1（﹣4，0），F2（4，0）恰好是椭圆+=1的焦点，∴|PF1|+|PF2|=10，两圆半径相等，都是1，即r=1，∴（|PM|+|PN|）min =|PF1|+|PF2|﹣2r=10﹣2=8．（|PM|+|PN|）max =|PF1|+|PF2|+2r=10+2=12．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k= 1 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a 与b 的值，然后根据a 2=b 2+c 2，表示出c ，并根据焦点坐标求出c 的值，两者相等即可列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值． 【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x 2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y 轴上， 则c==2，解得k=1．故答案为：1．14．以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵树依次为9，9，11，11，乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，由此利用列举法能求出这两名同学的植树总棵数为19的概率．【解答】解：记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵树依次为9，9，11，11， 乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵树依次为9，8，9，10， 分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个， 它们是（A 1，B 1）（A 1，B 2）（A 1，B 3）（A 1，B 4）（A 2，B 1）（A 2，B 2）（A 2，B 3） （A 2，B 4）（A 3，B 1）（A 3，B 2）（A 3，B 3）（A 3，B 4）（A 4，B 1）（A 4，B 2）（A 4，B 3）（A 4，B 4）． 设选出的两名同学的植树总棵数为19为事件C ， 则C 中的结果有4个，它们是（A 1，B 4）（A 2，B 4）（A 3，B 2）（A 4，B 2）， 故所求概率为．故答案为：．15．曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线围成的封闭图形的面积是﹣．【考点】正弦函数的图象．【分析】先确定积分区间，再确定被积函数，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=围成的封闭图形的面积． 【解答】解：令sinx=（0≤x ≤π），则x ∈[，]，∴曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线y=围成的封闭图形的面积是（sinx﹣）=（﹣cosx﹣）=（﹣cos﹣）﹣（﹣cos﹣）=﹣．故答案：．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴=∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2A B•ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=设△ABC外接圆的半径为R，则，∴R=1∴外接球的半径为=∴球的表面积等于4π×=8π故答案为：8π三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）去掉f（x）的绝对值，由g（x）≥f（x），求出x的取值范围；（2）由（1）知g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，求出即可．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x+5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．18．设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量=，=，已知与共线．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，，且△ABC的面积小于3，求角B的取值范围．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用向量平行，得到关于A的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简，求出角A的大小；（Ⅱ）通过a=2，，且△ABC的面积小于3，得到B的余弦值的范围，然后求角B的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为∥，则，即、所以，即，即、A是锐角，则，所以、（Ⅱ）因为a=2，，则====、由已知，，即、因为B是锐角，所以，即，C是锐角，所以B＞，故角B的取值范围是（，）19．已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：MQ∥平面PCB；（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；（3）求点A到平面MCN的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】此类题一般有两种解法，一种是利用空间向量方法来证明，一种是用立体几何中线面位置关系进行证明，本题提供两种解法向量法：对于（1）求证：MQ∥平面PCB，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行对于（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；对于（3）求点A到平面MCN的距离，求出平面上任一点与A连线所对应的向量，求这个向量在该平面的法向量上的投影即可，此法求点到面的距离甚为巧妙．几何法：（1）求证MQ∥平面PCB，用线面平行的判定定理证明即可；（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，先在图形中作出二面角的平面角，再证明其是二面角的平面角，然后根据题设中的条件求出平面角的三角函数值，一般要在一个三角形中求解函数值．（3）求点A到平面MCN的距离，须先作出点A在面上的垂线段，然后在三角形中求出此线段的长度即可．【解答】解：法一向量法：以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O﹣xyz，由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，可得：，∴，设平面的PBC的法向量为，则有：令z=1，则，∴，又MQ⊄平面PCB，∴MQ∥平面PCB；（2）设平面的MCN的法向量为，又则有：令z=1，则，又为平面ABCD的法向量，∴，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为，（3）∵，∴所求的距离；法二，几何法：（1）取AP的中点E，连接ED，则ED∥CN，依题有Q为EP的中点，所以MQ∥ED，所以MQ ∥CN，又MQ⊄平面PCB，CN⊊平面PCB，∴MQ∥平面PCB（2）易证：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，过E做EF⊥MN，垂足为F，连接QF，则由三垂线定理可知QF⊥MN，由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角，，所以：，所以：；（3）因为EP的中点为Q，且平面MCN与PA交于点Q，所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍，由（2）知：MN ⊥平面QEF ，则平面MCNQ ⊥平面QEF 且交线为QF ，作EH ⊥QF ，垂足为H ，则EH ⊥平面MCNQ ，故EH 即为点E 到平面MCN 的距离．．20．已知正项等比数列{a n }（n ∈N *），首项a 1=3，前n 项和为S n ，且S 3+a 3、S 5+a 5、S 4+a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{nS n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的前n 项和． 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和的意义即可得出； （2）利用等差数列和等比数列的前n 项和公式、“错位相减法”即可得出． 【解答】解：（1）设正项等比数列{a n }（n ∈N *），又a 1=3，∴，∵S 3+a 3、S 5+a 5、S 4+a 4成等差数列， ∴2（S 5+a 5）=（S 3+a 3）+（S 4+a 4），即2（a 1+a 2+a 3+a 4+2a 5）=（a 1+a 2+2a 3）+（a 1+a 2+a 3+2a 4）， 化简得4a 5=a 3， ∴，化为4q 2=1，解得，∵{a n }（n ∈N *）是单调数列，∴，．（2）由（1）知，，，设，则，两式相减得，∴．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2，其中x∈R，a为参数（1）记函数g（x）=f′（x）+lnx，讨论函数g（x）的单调性；（2）若曲线y=f（x）与x轴正半轴有交点且交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≥g（x）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（2）求出f（x）点P处的切线方程y=g（x），令h（x）=f（x）﹣g（x），根据函数的单调性求出h（x）≥0即可．【解答】解：（1）函数g（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）=3x2﹣2ax，g（x）=（3x2﹣2ax）+lnx，g′（x）=x+﹣≥2﹣，当a≤6时，则，所以g'（x）≥0，所以函数g（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．当a＞6时，令，则，可知函数g（x）在上单调递增，在单调递减，在上单调递增．证明：（2）令f （x ）=0，则x=0或x=a 若曲线y=f （x ）与x 轴正半轴有交点， 则a ＞0且交点坐标为P （a ，0），又f'（x ）=3x 2﹣2ax ，则f'（a ）=a 2，所以曲线在点P 处的切线方程为y=a 2（x ﹣a ），即g （x ）=a 2x ﹣a 3， 令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣ax 2﹣a 2x+a 3， 在区间（a ，+∞）上单调递减， 所以当x=a 时，h （x ）有最小值， 所以h （x ）≥0， 则f （x ）≥g （x ）．22．如图，已知直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于M ，N 两点，点D 的坐标为，OD ⊥MN 交MN 于点D ，OM ⊥ON ，抛物线的焦点为F ． （1）求p 的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线C ，过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 相交于点A ，B ，l 2与曲线C 相交于点D ，E ，求•的最小值．【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）由OM ⊥ON ，得x 1x 2+y 1y 2=0，由与y 2=2px 消去x ，得，利用韦达定理，即可求p 的值；（2）设出直线l 1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l 2的方程与抛物线的交点坐标，代入•，利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值． 【解答】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OM ⊥ON ，得x 1x 2+y 1y 2=0 由已知得直线MN 的方程是即，则有，即①由与y 2=2px 消去x ，得②所以③把③代入①得，解得p=2当p=2时方程②成为，显然此方程有实数根所以p=2；（2）由（1）知抛物线方程为y2=4x由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k（x﹣1）．得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x 1+x2=2+，x1x2=1．∵l1⊥l2，∴l2的斜率为﹣．设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．•=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1=1+（2+）+1+1+（2+4k2）+1=8+4（k2+）≥8+4×2=16．当且仅当k2=，即k=±1时，取最小值16．2016年8月4日。
福建省福州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
福建省福州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()xe f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．已知4cos()cos sin()sin 5αββαββ+++=，α是第四象限角，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．7-B ．17-C ．17D ．73．已知,若.则实数的值为( )A ．-2B ．2C ．0D ．14．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．25．若()()20nax a +≠的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a 的取值范围为（ ） A ．()[],02,3-∞UB ．()11,0,32⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦UC ．[]2,3D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．从图示中的长方形区域内任取一点M ，则点M 取自图中阴影部分的概率为( )A ．34B ．33C ．13D ．257．设函数()44xf x =-，则函数4x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,4]-∞C ．01]（，D ．04]（， 8．水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度h 与时间t 的函数关系图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设函数0.5()2log xf x x =-，满足()()()0(0)f a f b f c a b c <<<<，若函数()f x 存在零点0x ，则下列一定错误的是( ) A ．()0,x a c ∈B ．()0,x a b ∈C ．()0,x b c ∈D ．()0,x a ∈+∞10．已知集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则M N =I （ ） A ．(2,3]B ．(1,2)C ．(1,3]D ．[2,3]11．5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是（ ） A ．45C B ．45AC ．45D ．5412．已知直线00x x at y y bt ，=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上两点,A B 对应的参数值分别是12,t t ，则||=AB （ ）A ．12t t +B ．12t t -C ．2212a b t t +⋅-D ．1222t t a b-+二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且1CD =，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面α，若四面体ABCD 绕AB 所在直线旋转.且始终在平面α的上方，则它在平面α内影子面积的最小值为________.14．设定义在R 上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(－x －2)＋f(x)＝0；③当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x ＋1).则f(20185)＋lg14＝________. 15．在区间[35，-]上随机取一个实数x ，则事件“11()42x ≤≤”发生的概率为____．16．选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--， （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集； （Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域； (2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围．18．2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9:11．（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附:参考公式()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：19．（6分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球，两个“2”号球，三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球，五个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元，“2”号球奖20元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（1）经统计，顾客消费额X 服从正态分布()150,625N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X （单位：元）在区间(]100,150内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）附：若()~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=. （2）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列. （3）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法， 方法一：三次A 箱内摸奖机会； 方法二：一次B 箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.20．（6分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元千克）满足关系式()21074a y x x =+--，其中47x <<，a 为常数，已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品110千克. （1）求a 的值：（2）若该商品的成本为4元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 21．（6分）（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；（2）若关于x 的不等式221x x m --≥在x ∈R 时恒成立，求实数m 的取值范围．22．（8分）已知n的展开式中，前三项系数成等差数列. （1）求含2x 项的系数； （2）将二项式n的展开式中所项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率． 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】由()()1221f x f x x x <变形可得()()1122x fx x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x ∈+∞Q()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.则()20xg x e ax '=-≥恒成立.2xe a x∴≤.令()x e m x x =,则2(1)()xx e m x x-'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.min 2()(1),2ea m x m e a ∴≤==∴≤故选:D. 【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难. 2．A 【解析】 【分析】通过和差公式变形，然后可直接得到答案. 【详解】根据题意()()4cos cos sin sin cos 5αββαββα+++==，α是第四象限角，故 3tan 4α=-，而tan 1tan()741tan πααα--==-+，故答案为A. 【点睛】本题主要考查和差公式的运用，难度不大. 3．C 【解析】 【分析】由函数，将x ＝1，代入，构造关于a 的方程，解得答案．【详解】 ∵函数，∴f （﹣1）＝ ，∴f[f （﹣1）]1，解得：a ＝0， 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 5．C 【解析】 【分析】计算9n =，计算()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()66379C 2T ax =，根据系数的大小关系得到5454549954563699C 2C 2C 2C 2a a a a ⎧≥⎨≥⎩，解得答案. 【详解】2512n =，9n =，()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()66379C 2T ax =，Q 第6项的系数最大，5454549954563699C 2C 2,C 2C 2,a a a a ⎧≥∴⎨≥⎩，则23a ≤≤. 故选：C . 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6．C 【解析】 【分析】先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案． 【详解】图中阴影部分的面积为1231003|1x dx x ==⎰，长方形区域的面积为1×3＝3， 因此，点M 取自图中阴影部分的概率为13． 故选C ． 【点睛】本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得f （x ）的定义域，再由4x在f （x ）的定义域内求解x 的范围得答案． 【详解】由2﹣2x ≥0，可得x≤1．由14x≤，得x≤2． ∴函数f （4x）的定义域为（﹣∞，2]．故选：B ． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题． 8．C 【解析】分析：根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图像分析判别可得结论.详解：A 、B 选项中：函数图象是单调递增的，与与题干不符，故排除；C 、当注水开始时，函数图象往下凸，可得出下方圆台容器下粗上细，符合题意．；D 、当注水时间从0到t 时，函数图象往上凸，可得出下方圆台容器下细上粗，与题干不符，故排除． 故选C .点睛：本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h 和时间t 之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想． 9．C 【解析】分析：先根据()()()0f a f b f c <确定()()()f a f b f c ，，符号取法，再根据零点存在定理确定0x 与a b c ，，可能关系.详解：()0.52log xf x x =-单调递增，因为()()()0f a f b f c <，所以()()()000f a f b f c ，，<<<或()()()000f a f b f c >，，,根据零点存在定理得()0,x a c ∈或()0,x a b ∈或()0,x a ∈+∞,()0,x b c 因此选C.点睛：确定零点往往需将零点存在定理与函数单调性结合起来应用，一个说明至少有一个，一个说明至多有一个，两者结合就能确定零点的个数. 10．A 【解析】 【分析】直接求交集得到答案. 【详解】集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则(2,3]M N =I . 故选：A . 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题. 11．D 【解析】 【分析】根据乘法原理得到答案. 【详解】5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是5444444⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题. 12．C【解析】试题分析：依题意，{{x xx x atty y bty y==+⇒==+=+，由直线参数方程几何意义得1212AB m m t=-=-，选C．考点：直线参数方程几何意义二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．6【解析】【分析】在四面体中找出与AB垂直的面，在旋转的过程中CD在面α内的射影始终与AB垂直求解.【详解】ABD∆和ABC∆都是等边三角形，取AB中点M，易证MD AB⊥，MC AB⊥，即AB⊥平面CDM，所以AB CD⊥.设CD在平面α内的投影为C D''，则在四面体ABCD绕着AB旋转时，恒有C D AB''⊥.因为AB∥平面α，所以AB在平面α内的投影为2A B AB''==.因此，四面体ABCD在平面α内的投影四边形A B C D''''的面积12S A B C D C D''''''=⋅=要使射影面积最小，即需C D''最短；在DMC∆中，MC MD==1CD=，且DC边上的高为2MN=，利用等面积法求得，边MC上的高DH=，且DH MN<，所以旋转时，射影C D''的长的最小值是C D''=.所以min6S=本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题.14．1.【解析】分析：由①②知函数f(x)是周期为2的奇函数，由此即可求出答案.详解：由①②知函数f(x)是周期为2的奇函数，于是f()＝f＝f＝－f，又当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，∴f()＝－f＝－lg＝lg，故f()＋lg14＝lg＋lg14＝lg10＝1.故答案为：1.点睛：本题考查函数周期性的使用，函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．15．1 4【解析】【详解】由1142x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，得﹣2≤x≤0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“1142x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭”发生的概率．∵1142x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，∴﹣2≤x≤0，∵在区间[﹣3，5]上随机取一个实数x，∴由几何概型概率计算公式得：事件“1142x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭”发生的概率为p=0+25+3=14．故答案为：14．【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．16．（1）263x x x⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t≤≤.【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤. 试题解析：（I ）()4,1{3,124,2x x f x x x x x --<-=-≤<+≥，当1x <-，42x -->，6x <-，6x ∴<- 当12x -≤<，32x >，23x >，223x ∴<<当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ∴≥ 综上所述263x xx ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或. （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述322t ≤≤. 考点：不等式选讲．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17． (1)1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π；(2),2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1) 当1a =时，()sin cos f x x x x =--，求导()104f x x ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭π，可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可求出()f x 的值域；(2)根据已知可得sin cos a x x x ≥-，对x 分类讨论：当0x =时，不等式恒成立；当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x ，只需max ()a h x ≥即可，求导可得2sin 1cos ()sin x x x h x x +-'=，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>，即可得()0h x '>，从而可得()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，从而可得2a π≥．【详解】(1)当1a =时，()sin cos f x x x x =--，所以()1cos sin 104f x x x x ⎛⎫'=-+=+-≥ ⎪⎝⎭π 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，最小值为(0)1f =-，最大值为122⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ππ， 所以()f x 的值域为1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π． (2)由()0f x ≤，得sin cos a x x x ≥-， ①当0x =时，不等式恒成立，此时a R ∈； ②当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x，则22(1sin )sin (cos )cos sin 1cos ()sin sin '+--+-==x x x x x x x xh x x x， 令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>， 所以()g x 在[0,]2π上单调递增，所以()(0)1g x g >=，所以()0h x '>，所以()h x 在[0,]2π上单调递增，所以()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，所以2a π≥ 综上可得实数a 的取值范围,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，同时考查恒成立及分类讨论的思想，属于中档题． 18． (1) 有99%的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关(2) () 1.E X = 【解析】试题分析：(1)依题意完成22⨯列联表，计算2K ，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样法，得出随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出X 的分布列，计算出数学期望值. 试题解析：(1)依题意可知,抽取的“青少年”共有91004520⨯=人,“中老年”共有1004555-=人. 完成的2×2列联表如：则()()()()()()22210030352015=9.091d 55505545n ad bc K a b c d a c b ⨯⨯-⨯-=≈++++⨯⨯⨯因为2( 6.635)0.01P K >=，9.091 6.635>，所以有99%的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关 (2)根据题意知,选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问,X 的取值可以为0,1,2,3,则()363920508421C P X C ====,()326639451518428C C P X C ====,()21363918328414C C P X C ====,()33391384C P X C ===.所以X 的分布列为数学期望()0123 1.8484848484E X =⨯+⨯+⨯+⨯== 19． (1) 中奖的人数约为286人. (2)分布列见解析.(3) 这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大. 【解析】分析：（1）依题意得150μ=，2625σ=，得25σ=，消费额X 在区间(]100,150内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约()10002P X μσμ⨯-<≤，可得其中中奖的人数；（2）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数服ξ从二项分布()3,0.6B ，()330.60.4kk k P k C ξ-==，()0,1,2,3k =，从而可得分布列；（3）利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望值即可得出结论. 详解：（1）依题意得150μ=，2625σ=，得25σ=，消费额X 在区间(]100,150内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6 人数约()0.95451000210004772P X μσμ⨯-<≤=⨯≈人 其中中奖的人数约为4770.6286⨯=人（2）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数服ξ从二项分布()3,0.6B ，()330.60.4kkkP k C ξ-==，()0,1,2,3k =故的分布列为（3）A 箱摸一次所得奖金的期望为500.1200.250.310.5⨯+⨯+⨯=B 箱摸一次所得奖金的期望为500.5200.535⨯+⨯=方法一所得奖金的期望值为310.531.5⨯=， 方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； ③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 20． (1) 200a = (2) 当5x =元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润240P = 【解析】 【分析】（1）销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品110千克代入函数解得200a =. （2）求出利润的表达式，求导，根据单调性计算函数的最值. 【详解】解：（1）当6x =元/千克时，101102ay =+=解得200a = （2）设商场每日销售该商品的利润为P ，则()()()242001047P x y x x =-=+--，47x <<因为()()()21047104P x x x ''=--++()()()273057x x x '⎡⎤-=--⎣⎦当()4,5x ∈时，0P '>，P 单调递增，当()5,7x ∈时，0P '<，P 单调递减 所以当5x =元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润240P =【点睛】本题考查了函数的应用，求函数的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21．（1）{|23}x x -<<；（2）2m ≤- 【解析】分析：（1）分类讨论，转化为三个不等式组，即可求解不等式的解集；（2）由题意，令2()|21|f x x x =--，则不等式恒成立，即为min ()m f x ≤，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．详解：（1）原不等式化为： ①1125x x x <-⎧⎨---+<⎩ 或②12125x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或 ③2125x x x >⎧⎨++-<⎩．解得21x -<<-或12x -≤≤或23x <<． ∴ 原不等式的解集为{|23}x x -<<（2）令()221f x x x =--，则只须()min m f x ≤即可．①当12x ≥时，()()222110f x x x x =-+=-≥（1x =时取等）； ②当12x <时，()()2221122f x x x x =+-=+-≥-（1x =-时取等）．∴ 2m ≤-．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的求解及其应用，其中合理分类讨论，转化为等价不等式组进行求解是解答绝对值问题的关键，着重考查了推理与运算能力． 22．（1）7；（2）512. 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出前三项的系数的表达式，利用这三个系数成等差数列并结合组合数公式求出n 的值，再利用二项式展开式通项可求出2x 项的系数；（2）利用二项展开式通项求出展开式中有理项的项数为3，总共是9项，利用排列思想得出公共有99A 种排法，然后利用插空法求出有理项不相邻的排法种数，最后利用古典概型概率公式可计算出所求事件的概率． 【详解】（1）∵前三项系数1、112n C 、214n C 成等差数列． 12112C 1C 24nn ∴⋅=+，即2980n n -+=．∴8n =或1n = (舍去）∴展开式中通项公式28431812r rr rr rr nT C C x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭T，0.1r=，，1．令2423r-=，得3r=，∴含x2项的系数为338172C⎛⎫=⎪⎝⎭；（2）当243r-为整数时，0,3,6r=．∴展开式共有9项，共有99A种排法．其中有理项有3项，有理项互不相邻有6367A A种排法，∴有理项互不相邻的概率为636799512A APA==【点睛】本题考查二项式定理指定项的系数，考查排列组合以及古典概型的概率计算，在处理排列组合的问题中，要根据问题类型选择合适的方法求解，同时注意合理使用分类计数原理和分步计数原理，考查逻辑推理与计算能力，属于中等题．。
2019-2020学年福建省福州市高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数12iz i +=，则||(z = )AB ．3C ．1D ．2i -2．（5分）命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A ．0R α∃∈，0tan 1α< B ．0R α∃∈，0tan 1α C ．R α∀∈，tan 1α<D ．R α∀∈，tan 1α3．（5分）双曲线2214y x -=的渐近线方程是( )A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±4．（5分）实数1a >，1b >是2a b +>的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数sin 2()xf x x=，则()(f x '= ) A ．2cos2sin 2x x xx -B ．2cos2sin 2x x xx +C ．22cos2sin 2x x xx- D ．22cos2sin 2x x xx+ 6．（5分）一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．/hC ．/hD ．60/km h7．（5分）已知双曲线222:14x y E b-=的左顶点为A ，右焦点为F ．若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF =，则F 的坐标为( )A ．1,0)B ．1,0)C ．1,0)D ．(4,0)8．（5分）已知定义在区间(2,2)-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()f x '是()f x 的导函数，则不等式()01f x x '>+的解集为( )A ．(2,1)-B ．(2-，1)(1--⋃，1)C ．(1,2)D ．(3,1)(0,3)--二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： ①团员或班干部；②体育成绩达标．若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//AC 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112CE DA DD DC =+- D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等11．（5分）已知函数3()sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1aC ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12．（5分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12kD ．90PAB ∠>︒三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）曲线()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程为 ．14．（5分）已知(1,2,1)n =-为平面α的一个法向量，(2,,1)a λ=-为直线l 的方向向量．若//l α，则λ= ．15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2N y px =的焦点为2F ．若P 为M 与N 的一个公共点，且12||2||PF PF =，则M 的离心率为 ． 16．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥．①当E 在AC 上时，AE = ；②点E 的轨迹的长度为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数(2)(1)()z mi i m R =--∈． （1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围．18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点(2,0)A ，(0,1)B ． （1）求E 的方程；（2）过点(1,0)作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积．19．已知函数321()323f x mx mx x =--+在3x =处有极小值．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 在[4-，4]上的最大值和最小值．20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =．（1）求证：PE ⊥平面ABCE ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．21．在直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，D 为直线:1l x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 22．已知函数()(0)f x axlnx a =≠． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：110x lnxx e-+>．2019-2020学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数12iz i +=，则||(z = )A B ．3C ．1D ．2i -【解答】解：212(12)()2i i i z i i i ++-===--，||z ∴=．故选：A ．2．（5分）命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A ．0R α∃∈，0tan 1α< B ．0R α∃∈，0tan 1α C ．R α∀∈，tan 1α<D ．R α∀∈，tan 1α【解答】解：特称命题的否定为全称命题，故命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是R α∀∈，tan 1α，故选：D ．3．（5分）双曲线2214y x -=的渐近线方程是( )A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±【解答】解：由双曲线22221(,0)x y a b a b -=>，可得渐近线方程by x a =±，双曲线2214y x -=的1a =，2b =，可得渐近线方程为2y x =±． 故选：D ．4．（5分）实数1a >，1b >是2a b +>的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数1a >，12b a b >⇒+>；反之不成立，例如2a =，12b =． 1a ∴>，1b >是2a b +>的充分不必要条件． 故选：A ．5．（5分）已知函数sin 2()xf x x=，则()(f x '= ) A ．2cos2sin 2x x xx - B ．2cos2sin 2x x xx + C ．22cos2sin 2x x xx -D ．22cos2sin 2x x xx +【解答】解：根据题意，sin 2()xf x x=， 则22(sin 2)sin 2()2cos2sin 2()x x x x x x xf x x x '-'-'==； 故选：C ．6．（5分）一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．/hC ．/hD ．60/km h【解答】解：一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，航行的总费用：3210012700027000()(540)100100F x x x x x x x=++=+++， 因为2232700027000270002700010031002800x x x x x x++++=． 当且仅当227000x x=即30/x km h =时，总费用最低． 故选：A ．7．（5分）已知双曲线222:14x y E b-=的左顶点为A ，右焦点为F ．若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF =，则F 的坐标为( )A ．1,0)B ．1,0)C ．1,0)D ．(4,0)【解答】解：双曲线222:14x y E b-=的左顶点为(,0)A a -，右焦点为(,0)F c ，点(0,)B b ，且0AB BF =，(a ∴，)(b c ，)0b -=，c =即20ac b -=，即22c a ac =+，可得：2240c c --=，51c =+， 得F 的坐标为(51+，0)， 故选：C ．8．（5分）已知定义在区间(2,2)-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()f x '是()f x 的导函数，则不等式()01f x x '>+的解集为( )A ．(2,1)-B ．(2-，1)(1--⋃，1)C ．(1,2)D ．(3,1)(0,3)--【解答】解：结合导数与单调性关系可知，21x -<<-，12x <<时，函数单调递减，此时()0f x '<，当11x -<<时，函数单调递增，此时()0f x '>， 由不等式()01f x x '>+可得，(1)()0x f x +'>， 解可得，11x -<<或21x -<<-， 故不等式的解集(2-，1)(1--⋃，1)． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： ①团员或班干部；②体育成绩达标．若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标【解答】解：由题意可得，同时满足以下两个条件，即这两个条件缺一不可，故是团员，且体育成绩达标，或不是团员，且体育成绩达标 故选：AC ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//AC 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112CE DA DD DC =+- D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等 【解答】解：如图所示，对于A ，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，11//EF AC ∴，EF ⊂平面CEF ，且11AC ⊂/平面CEF ，11//AC ∴平面CEF ，即A 正确；对于B ，若1B D ⊥平面CEF ，1B D ⊥平面11ACC A ，∴平面//CEF 平面11ACC A ，而平面CEF ⋂平面11ACC A C =，1B D ∴不可能与平面CEF 垂直，即B 错误； 对于C ，11111122DA DD DC DA CD D E CD CE +-=+=+=，即C 正确；对于D ，设点1B 和点D 到平面CEF 的距离分别为1h ，2h ，正方体的棱长为1， 则1111138B CEF AEFC B EF V h S V -∆-===； 211312D CEF CEFE CDF V h S V -∆-===； 12h h ∴≠，即D 错误；故选：AC ．11．（5分）已知函数3()sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1aC ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点 【解答】解：因为3()sin f x x x ax =+-，则33()sin()()()sin ()f x x x a x x x ax f x -=-+---=--+=-，A 正确； 若()f x 为增函数，则2()cos 30f x x x a '=+-恒成立， 故2cos 3a x x +恒成立，令2()cos 3g x x x =+，则可得()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞单()x 调递减，故当0x =时，()g x 取得最小值(0)1g =， 所以()1min a g x =，B 正确；当3a =-时，3()sin 3f x x x x =++为奇函数，且(0)0f =，当0x >时，2()cos 330f x x x '=++>恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据奇函数的对称性可知函数在(,0)-∞单调递增，故()f x 在R 上单调递增，(0)0f =，即只有一个零点，C 错误；3a =时，3()sin 3f x x x x =+-为奇函数，故先考虑0x >时，函数极值存在情况， 则2()cos 33f x x x '=+-，因为()6sin f x x x ''=-单调递增，则()(0)0f x f ''''>=， 故()f x '单调递增，且(0)20f '=-<，f '（1）cos10=>， 故存在0(0,1)x ∈使得0()0f x '=，因此，当00x x <<，()0f x '<，函数单调递减，当0x x >时，()0f x '>，函数单调递增， 故0x x =为函数在0x >时的唯一的极小值，根据奇函数的对称性可知，当0x <时，存在极大值，故D 正确． 故选：ABD ．12．（5分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12kD ．90PAB ∠>︒【解答】解：直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，由椭圆的对称性可得O 为AB 的中点，又O 为12F F 的中点，可得四边形12AF BF 为平行四边形，故A 正确；由椭圆方程可得2a =，b c ==以12F F 为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P 在圆外，可得1290F PF ∠<︒， 故B 正确；由y kx =与椭圆方程2224x y +=联立，可得A ，，(B ，， 即有E 0)，12BE k k =，故C 正确；设直线BE 的方程为1(2y k x =，联立椭圆方程2224x y +=，可得222222(1)40212k k x k ++-=+， 由2P x ，解得2P x =，即有2P ，3，可得(AB =，2AP =，，即有22222216160(12)(2)(12)(2)k k AB AP k k k k =-+=++++，可得AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）曲线()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程为 1y = ． 【解答】解：()1x f x e '=-， 则(0)0k f ='=，(0)1f =，故()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程1y =． 故答案为：1y =．14．（5分）已知(1,2,1)n =-为平面α的一个法向量，(2,,1)a λ=-为直线l 的方向向量．若//l α，则λ=32． 【解答】解：//l α，∴2210n a λ=-+-=， 可得32λ=． 故答案为：32． 15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2N y px =的焦点为2F ．若P 为M 与N 的一个公共点，且12||2|PF PF =，则M 的离心率为 21 ．【解答】解：如图，由12||||2PF PF a +=，12||2||PF PF =， 解得1||22(21)PF a =-，2||2(21)PF a =-，椭圆右焦点为抛物线焦点，P 为M 与N 的一个公共点， 212111||||2cos cos ||||2PF PG PF F F PG PF PF ∴∠=∠===， 在△12PF F 中，由余弦定理可得：2222224(21)8(21)4222(21)22a a c a c -=-+-⨯-⨯⨯， 整理得：2[(21)]0a c --=，即21ce a==-． 故答案为：21-．16．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥．①当E 在AC 上时，AE = 2 ；②点E 的轨迹的长度为 ．【解答】解：如图，取AC 中点E ，连接DE ，则//DE BC ，90ACB ∠=︒，DE AC ∴⊥，由PA ⊥平面ABC ，得平面PAC ⊥平面ABC ，而平面PAC ⋂平面ABC AC =，DE ∴⊥平面PAC ，则DE PC ⊥，此时122AE AC ==； 过E 作EG PC ⊥，垂足为G ，则PC ⊥平面DEG ，即E 在线段EG 上运动时，PC DE ⊥， ∴点E 的轨迹为线段EG ．则22225sin 22524PAEG EC PCA PC=∠===+． 故答案为：2；255．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数(2)(1)()z mi i m R =--∈． （1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）(2)(1)(2)(2)z mi i m m i =--=--+， z 是纯虚数，∴2020m m -=⎧⎨+≠⎩，得2m =；（2）由（1）知，(2)(2)z m m i =-++， 复数z 在复平面上对应的点在第四象限， ∴2020m m ->⎧⎨+<⎩，解得2m <-，m ∴的取值范围为(,2)-∞-．18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点(2,0)A ，(0,1)B ． （1）求E 的方程；（2）过点(1,0)作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积．【解答】解：（1）依题意，A ，B 分别为椭圆E 1>，可得E 的焦点在x 轴上．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则a =1b =，所以E 的方程为2212x y +=．（2）方法一、设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，不妨设12y y >， 依题意，直线l 的方程为1y x =-． 由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩，得23210y y +-=， 解得113y =，21y =-， 记点(1,0)F ，则121142||||12233OPQ OFP OFQ S S S OF y y ∆∆∆=+=-=⨯⨯=． 所以OPQ ∆的面积为23． （2）方法二、设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，不妨设12x x <， 依题意，直线l 的方程为1y x =-． 由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩，得2340x x -=， 解得10x =，243x =，所以124||||0|3PQ x x -=-原点O 到直线l 的距离d ==，所以112||223OPQ S PQ d ∆===． 所以OPQ ∆的面积为23．19．已知函数321()323f x mx mx x =--+在3x =处有极小值．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 在[4-，4]上的最大值和最小值． 【解答】解：（1）依题意，2()23f x mx mx '=--，因为()f x 在3x =处有极小值， 所以f '（3）330m =-=， 解得1m =．经检验，1m =符合题意，故m 的值为1．（2）由（1）得2()23f x x x '=--，令()0f x '=，得3x =或1x =-． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x4-(4,1)-- 1-(1,3)- 3 (3,4) 4 ()f x '+-+()f x703-1137-143-由上表可知，()f x 的最小值为703-；()f x 的最大值为113． 20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =．（1）求证：PE ⊥平面ABCE ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：过点B 作BF CD ⊥，垂足为F ， 则1EF AB ==，12CD EFDE CF -===， 连接BE ，依题意，AED ∆为等腰直角三角形， 故1AE DE ==，又AE DE ⊥，故AE AB ⊥，所以222EB EA AB =+ 在四棱锥P ABCE -中，因为3PB =1PE DE ==， 所以222PE EB PB +=，故PE EB ⊥， 因为PE EA ⊥，EAEB E =，且EA ，EB ⊂平面ABCE ，所以PE ⊥平面ABCE ．（2）解：由（1）知，PE ⊥平面ABCE ，所以PE EA ⊥，PE EC ⊥，又AE EC ⊥， 所以EA ，EC ，EP 两两垂直．以E 为原点，分别以EA ，EC ，EP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为：(0E ，0，0)，(0P ，0，1)，(1A ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，2，0)， (1,0,1)PA =-，(0,2,1)PC =-，(1,1,0)BC =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PC n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1y =，故(1,1,2)n =．所以||3cos ,6||||PA n PA n PA n <>==．设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则3sin |cos ,|6PA n θ=〈〉=．21．在直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，D 为直线:1l x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）连接MF ，则||||MD MF =， 则根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线． 则点M 的轨迹的方程为24y x =．（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=， △216160m =+>， 124y y m +=，124y y =-，直线OP 的方程为1114y y x x x y ==， 同理：直线OQ 的方程为24y x y =， 令1x =得，14(1,)A y ，24(1,)B y ， 设AB 中点T 的坐标为(T x ，)T y ，则1T x =，121212442()22T y y y y y m y y ++===-，所以(1,2)T m -．2112124||44||||||y y AB y y y y -=-===．圆的半径为r =．所以AB 为直径的圆的方程为222(1)(2)44x y m m -++=+． 展开可得22(1)44x y my -++=， 22(1)44x y my -++=，令0y =，可得2(1)4x -=，解得3x =或1x =-． 所以以AB 为直径的圆经过定点(1,0)-和(3,0)．22．已知函数()(0)f x axlnx a =≠． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：110x lnx x e -+>． 【解答】解：法一：（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，()(1)f x a lnx '=+，当10x e <<时，10lnx +<；当1x e>时，10lnx +>．①当0a >时，若10x e <<，则()0f x '<；若1x e >，则()0f x '>．所以()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增．②当0a <时，若10x e <<，则()0f x '>；若1x e >，则()0f x '<．所以()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．综上，当0a >时，()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．（2）由（1）知，当1a =-时，()f x xlnx =-在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减，所以1111()()max f x f ln e e e e ==-=，故当0x >时，1xlnxe-． 又当0x >时，1011x e e e-->=， 所以当0x >时，11x e xlnx e->-，故10x e xlnx -+>， 所以110x lnxx e-+>． 解法二：（2）令1()x g x e xlnx -=+，则1()1x g x e lnx -'=++，令1()1x h x e lnx -=++，则()h x 为增函数，且21121()210c h e e -=-+<，111()110c h e e-=-+>，所以()h x 有唯一的零点0x ，0211(,)x e e∈，所以当00x x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当0x x >时，()g x 为增函数． 所以01000()()x g x g x e x lnx -=+．由（1）知，当1a =时，()f x xlnx =在1(0,)e 上为减函数，在1(,)e +∞上为增函数，故01()()f x f e >，即001x lnx e>-，所以0010111()(1)(1)0x x g x e e e e e e ->-=->-=，所以10x e xlnx -+>，故110x lnxx e -+>．。
福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题Word版含解析
福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如果，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.2.“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.抛物线y2= 2x的准线方程是（）A. y=B. y=－C. x=D. x=－4.空间四边形 OABC中，=( )A. B. C. D.5.命题“a ,b 都是偶数，则 a 与 b 的和是偶数”的逆否命题是（）A. a 与 b 的和是偶数，则 a, b 都是偶数B. a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 都不是偶数C. a, b 不都是偶数，则 a 与 b 的和不是偶数D. a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 不都是偶数6.等差数列的前项和为，且，则公差等于（）A. B. C. D.7.双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.8.如图，在四面体ABCD中,,点M在AB上，且，点N是CD的中点,则 =（）A. B.C. D.9.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A. B. C. D.10.已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时,点Q的坐标是（）。
A. B. C. D.11.如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是A. B. C. D.12.过抛物线的焦F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M,N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线 PQ,垂足为Q，则的最大值为（ )A. 1B.C.D.二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.命题“”的否定为___________.14.已知，则函数的取值范围是______________．15.已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F,则该双曲线的离心率________.16.方程表示曲线，给出以下命题：①曲线不可能为圆；②若，则曲线为椭圆；③若曲线为双曲线，则或；④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则.其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题在区间上是减函数；命题q:不等式无解。
福建省福州市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测理科数学试卷
准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分. 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数()1i 1i2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =A BC ．52D 2. 已知集合{}|02A x x x =≤或≥，{}2|20B x x x =--≤，则A ．AB Ü B ．B A ÜC ．A B =∅D ．A B =R3. 执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =A ．6B ．5C ．4D ．34. 已知向量(2,),(,2)λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)-a a b ”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5. 若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =A ．32-B ．2-C ．1D ．326. 若实数,a b 满足201,a b a ＜＜＜＜且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为 A ．m p n ＞＞B ．p n m ＞＞C ．n p m ＞＞D ．p m n ＞＞7. 若2cos21sin2x x =+，则tan x =A ．1-B ．13C ．1-或13D ．1-或13或38. 若,x y 满足约束条件31,933,x y x y --⎧⎨-+⎩≤≤≤≤则z x y =+的最小值为A ．1B ．3-C ．5-D ．6-9. 把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则A ．()2g x x =B ．()32g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C ．()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭ D ．()1328g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 10. 已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接BE FB EF ,,，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥；②EF 与CH 所成角为60︒；③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是 A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④11. 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF 夹角的取值范围为,32π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，则E 的离心率取值范围是A ．B ．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,912. 已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=A ．B CD ．绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 函数,0,()e 1,0,xx x f x x ⎧=⎨-⎩＜≥则()(2)1f f +-= ． 14. 设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为 ． 15. 已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S = ． 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）在ABC △中，1,AC BC = （1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC △的面积．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足12211+=+++n nn b a c a c a c ,求数列{}n c 的前2020项的和．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30︒．20.（本小题满分12分）已知圆22:43x y O +=，椭圆2222:1x y C a b +=（0a b ＞＞）的短轴长等于圆O倍，C ． （1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,A B 两点，且与圆O 相切，证明：AOB △为直角三角形． 21.（本小题满分12分）已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当12a =时，证明：()0f x …； （2）若()f x 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,12x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(， l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB+的值．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数1()212f x x x =-++的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若,,a b c 为正实数，且a b c m ++=，证明：22213a b c ++≥．2019－2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末联考数学(文)试题Word版含解析
福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末联考数学（文）试题（考试时间：120 分钟总分：150 分）第Ⅰ卷（选择题 60 分）一.选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如果，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.2.“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.抛物线y2= 2x的准线方程是（）A. y=B. y=－C. x=D. x=－4.若函数，则等于（）A. -2B. -1C. 1D. 05.命题“a ,b 都是偶数，则 a 与 b 的和是偶数”的逆否命题是（）A. a 与 b 的和是偶数，则 a, b 都是偶数B. a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 都不是偶数C. a, b 不都是偶数，则 a 与 b 的和不是偶数D. a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 不都是偶数6.等差数列的前项和为，且，则公差等于（）A. B. C. D.7.双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.8.函数的单调递减区间为 ( )A. B. (1，＋∞) C. (0，1) D. （0，＋∞）9.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A. B. C. D.10.若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象最有可能的是（）A. B. C. D.11.当时，方程表示的曲线是（）A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在x轴上的双曲线D. 焦点在y轴上的双曲线12.已知是椭圆的左焦点， A为右顶点， P是椭圆上的一点，轴，若，则该椭圆的离心率是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷 (共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)13.命题“”的否定为___________.14.已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，则的最小值为__________．15.曲线在点（e，f（e））处的切线方程为______________16.已知，则函数的取值范围是______________．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题在区间上是减函数；命题q:不等式无解。
精品解析：福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 错误；
，根据单调性知 ， 正确；
， ，故方程 有实数解， 正确；
，易知当 时成立，当 时， ，设 ，
则 ，故函数在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，且 .
画出函数图象，如图所示：当 时有ห้องสมุดไป่ตู้个交点.
综上所述：存在实数 ，使得方程 有 个实数解， 正确；
16.设过原点的直线与双曲线 ： 交于 两个不同点， 为 的一个焦点，若 ， ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形，计算得到
，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形.
，则 ， ，
， ，故 .
【详解】 ， ，取 得到 .
故函数在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增.
对比图象知： 满足条件.
故选： .
【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
7.若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数 ，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到 ，得到答案.
C.当 ， 时，方程不成立，错误；
D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；
故选： .
【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.
10.（多选题）如图，在长方体 中， ， ， ，以直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则（）
福建省福州市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测理科数学试卷
A． B．
C． D．
2.已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
3.执行如图所示的程序框图，若输入的 分别为 ,则输出的n
A．6B．5
C．4D．3
4.已知向量 ,则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
5.若 ,则 =
A． B． C．1D．32
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.（本小题满分12分）
在 中， ．
（1）若 ，求 ；
（2） 为 边上一点，且 ，求 的面积．
18.（本小题满分12分）
已知函数 的最小值为 ．
（1）求 的值；
（2）若 为正实数，且 ，证明： ．
C． D．
10.已知四边形 为正方形， 平面 ，四边形 与四边形 也都为正方形，连接 ，点 为 的中点，有下述四个结论：
① ；② 与 所成角为 ；
③ 平面 ；④ 与平面 所成角为 ．
其中所有正确结曲线 （ ）的左、右焦点分别为 ，若 上点 满足 ，且向量 夹角的取值范围为 ，则 的离心率取值范围是
准考证号姓名.
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测
数学（理科）试题
（完卷时间120分钟；满分150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2019-2020学年福建省福州市数学高二下期末质量检测试题含解析
2019-2020学年福建省福州市数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若集合()()(){}10x f x x π=∈，中含有4个元素，则实数ω的取值范围是 A ．7562⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．31926⎛⎤⎥⎝⎦，C ．72526⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．19962⎛⎤⎥⎝⎦， 2． “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ） 2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯3．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则mn mk n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C4．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1105．设有下面四个命题1:p 若1x >，则0.30.3x >；2:p 若()~4,0.3X B ，则()0.84D X =； 3:p 若ln 1x x +>，则1x >；4:p 若()2~3,X N σ，则()()25P X P X <>>.其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 （ ） A ．12p p B ．1221(1)(1)p p p p -+- C ．121p p -D ．121(1)(1)p p ---8．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）附表：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 9．已知ξ服从正态分布()21,N σ，a∈R，则“P（ξ＞a ）=0.5”是“关于x 的二项式321()ax x +的展开式的常数项为3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件10．函数21()log f x x x=-的一个零点落在下列哪个区间（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）11．设非零向量a r ，b r ，c r 满足a b c ==r r r ，a b c +=r r r ，则a r 与b r的夹角θ为（ ）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒12．已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．方程241414x x C C -=的解为__________．14．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132xx x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）15．已知,a b ∈R ，且()22120a a i a bi +++++=，则a bi +=____．16．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=， 33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆22221:C x y a b +=+为椭圆C 的“伴随圆”.已知点()2,1A 是椭圆22:4G x y m +=上的点（1）若过点()0,10P 的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l 被椭圆G 的伴随圆1G 所截得的弦长： （2）,B C 是椭圆G 上的两点，设12,k k 是直线,AB AC 的斜率，且满足1241k k ⋅=-，试问：直线,B C 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。
福建省福州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
D．考虑特殊情况： ，由此判断是否大小，故错误；
B．当 时， ，所以 ，所以此时 成立，故错误；
C．根据复数乘法的运算法则可知： 或 ，故正确；
D．当 时， ，此时 且 ，故错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若 ，则有 .
所以正确命题的个数为2,
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.
2．若函数 ，对任意实数 都有 ，则实数 的值为（ ）
A． 和 B． 和 C． D．
【答案】A
【解析】
由 得函数一条对称轴为 ,因此 ,由 得 ,选A.
点睛：求函数解析式 方法：
(1) .
(2)由函数的周期 求
【详解】
由程序框图，可知若a>b，则将b的值赋给a，a表示a，b中的小数；再判断a与c的大小，若a>c，则将c的值赋给a，则a表示a，c中的小数，结果输出a，即a是a，b，c中的最小数．
【点睛】
本题考查程序框图的应用，解题的关键是在解题的过程中模拟程序框图的运行过程，属于基础题.
10．设抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
5． 等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为 ，故选A．
考点：定积分的运算．
6．由曲线 ， ， ， 围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为 ，满足 ， ， 的点 组成的图形绕y轴旋一周所得旋转体的体积为 ，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
2019-2020年福建省福州市高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)
福建省福州市高二数学上学期期末考试试题 理（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1、已知复数3i1iz +=-，其中为i 虚数单位，则复数的共轭复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、双曲线221102x y -=的焦距为 （ ）A ．B ．C ．D ．3、若抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线022=--y x 上，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．2=x B ．4=x C ．2-=x D ．4-=y4、条件p ：,2>x 3>y ，条件q ：5>+y x ，6>xy ，则条件p 是条件q 的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．即不充分也不必要条件 D ．充要条件5、在等差数列{}n a 中，24=a ，且651021=+++a a a ，则公差d 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．26、已知R m ∈，若复数i m m m m z )152()65(22--+++= 为纯虚数，则m 为（ ） A ．3- B ．3-2或- C ．2- D ．5 7、下列命题错误．．的是： （ ） A ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实 数根，则0≤m ”；B ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；C ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件； D ．若q p ∨为真命题，则q p ,至少有一个为真命题。
8、设椭圆的标准方程为22135x y k k+=--，其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（ ） A ．54<<k B ．53<<k C ．3>k D ．43<<k 9、ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形10、过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ）A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C ．3410x y -+=D ．4310x y --=11、如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）A ．220n +B ．20n +C ．210n +D ．10n +12、斜率为2的直线l 过双曲线12222=-by a x (0,0>>b a )的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．e >5B ．1<e <3C ．1<e <5D ．e <2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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43
A． 4x 3y 7 0
B
． 3x 4 y 7 0
C ． 3x 4y 1 0
D
． 4x 3y 1 0
11、如果 P1 ， P2 ，…， Pn 是抛物线 C ： y2 4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1 ， x2 ，…， xn ， F 是
抛物线 C 的焦点，若 x1 x2
xn 10 ，则 P1F P2 F
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ） l 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求
AB .
22、（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为
A ，左焦点为 F1 2，0 ，点 B 2, 2 在椭圆 C
上，直线 y kx k 0 与椭圆 C 交于 E ， F 两点，直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点 M ， N ．
2 x0 ．……………………… 10 分 y0
2
则以 MN 为直径的圆的方程为 x2 y
2x0
y0
16 ． y0 2
即 x2 y2 + 2 2x0 y y0
4 ．………………………………………………………
令 y 0 ，得 x2 4 ，即 x 2 或 x 2 ．
11 分
故以 MN 为直径的圆经过两定点 P1 2,0 ， P2 2,0 ．……………………… 12 分
离的最小值为 __________________
16、已知
F 是椭圆
x2 C:
y2
20 4
为 _________________
1的右焦点， P 是 C 上一点， A
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2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数i i z 21+=
，则=||z A.5 B.3 C.5 D.2
2.命题“R a ∈∃0，1tan 0＞a ”的否定是
A.R a ∈∃0，1
tan 0＜a B.R a ∈∃0，1tan 0≤a C.R a ∈∀，1tan ＜a D.R a ∈∀，1tan ≤a 3.双曲线14
2
2=-y x 的渐近线方程为A.x y 4±= B.x y 2±= C.x y 21±= D.x y 4
1±=4.“a ＞1”且“b ＞1”是“a +b ＞2”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件5.已知函数x
x x f 2sin )(=，则=)('x f A.22sin 2cos x x x x - B.22sin 2cos x x x x + C.22sin 2cos 2x x
x x - D.2
2sin 2cos 2x x
x x +6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：km /h ）的关系是x x y +=3100
1.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为
A.30km /h
B.3032km /h
C.334km /h
D.60km /h
7.已知双曲线E ：14222=-b
y x 的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0=⋅BF AB ，则F 的坐标为
A.（15-，0）
B.（13+，0）
C.（15+，0）
D.（4，0）
8.已知定义在(﹣2，2)区间上的函数)(x f y =的图象如图所示，若函数)('x f 是)(x f 的导函数，则不等式的01
)('＞+x x f 解集为A.（﹣2，1） B.（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）
C.（1，2）
D.（3-，﹣1）∪（0，3）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：
①团员或班干部；②体育成绩达标
若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为
A.是团员，且体育成绩达标
B.是团员，且体育成绩不达标
C.不是团员，且体育成绩达标
D.不是团员，且体育成绩不达标
10.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是
A.A 1C 1∥平面CEF
B.B 1D ⊥平面CEF
C.DC DD DA CE -+=12
1 D.点D 与点B 1到平面CEF 的距离相等11.已知函数ax x x x f -+=3sin )(，则下列结论正确的是
A.)(x f 是奇函数
B.若)(x f 是增函数，则a ≤1
C.当a ＝﹣3时，函数)(x f 恰有两个零点
D.当a ＝3时，函数)(x f 恰有两个极值点
12.已知椭圆C ：12
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2=+y x 的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，直线y =kx (k ≠0)与C 交于A ，B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是
A.四边形AF 1BF 2为平行四边形
B.∠F 1PF 2＜90°
C.直线BE 的斜率为k 2
1 D.∠P AB ＞90°三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.
13.曲线x e x f x -=)(在点（0，f (0)）处的切线方程为.
14.已知n ＝(1，2，﹣1)为平面α的一个法向量，a ＝(﹣2，λ，1)为直线l 的方向向量.若l ∥α，则λ＝
.15.已知椭圆M ：)0(12222＞＞b a b
y a x =+的左左、右焦点分别为F 1，F 2，抛物线N ：px y 22=的焦点为F 2.若P 为M 与N 的一个公共点，且||2||21PF PF =，则M 的离心率为.
16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，AC =4，PA =2，D 为AB 中点，E 为△PAC 内的动
点（含边界），且PC ⊥DE .①当E 在AC 上时，AE =
；②点E 的轨迹的长度为.（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知复数)1)(2(i mi z --=(m ∈R)
（1）若z 是纯虚数，求m 的值；
（2）若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点A (2，0)，B(0，1).
（1）求E 的方程；
（2）过点(1，0)作倾斜角为45°的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求△OPQ 的面积.
19.（本小题满分12分）已知函数233
1)(23+--=x mx x x f 在3=x 处有极小值.（1）求实数m 的值；
（2）求)(x f 在[﹣4，4]上的最大值和最小值.
20.（本小题满分12分）
如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =1，CD =3，∠ADC =45°，AE 为梯形ABCD 的高，将△ADE 沿AE 折到△PAE 的位置，使得PB =3.
（1）求证：PE ⊥平面ABCE ；
（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，点F (1，0)，D 为直线l ：x =﹣1上的动点，过D 作l 的直线.该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .
（1）求C 的方程；
（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线x =1分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数x ax x f ln )(=)0(≠a .
（1）讨论)(x f 的单调性；
（2）证明：0ln 11-+x e x x .。