2015年北京市海淀区九年级第一学期期中数学试题
北京市海淀区 九年级数学上册 期中试题含答案【精品】
初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程3610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的大小为 A ．35° B ．55° C ．65°D ．70°4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D 5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是ABC Dlllll二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的 表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点． 若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________．12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别 为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若 点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的 坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2，BD =CD ，则BC 的长为________．16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分） 17．解方程：2430x x -+=．18．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 是线段BC 上的点，CD =2，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．求CE 的长．19．已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求()()()2322m m m -++-的值．20．如图，在⊙O 中，»»AB CD =．求证：∠B =∠C ．EB D CA21．如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG =2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．E23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”． 以21039x x +=为例，花拉子米的几何解法如下： 如图，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补 成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()2________39x +=+，从而得到此方程的正根是________．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A绕点P 旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与合）；再将点B 绕点O 逆时针旋转90°得到点C ． （1）直接写出点B 和点C 的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．25．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作O于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB =6，求四边形CAOD 的面积．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：244y x x =-+和直线l ：2(0)y kx k k =->．（1）抛物线C 的顶点D 的坐标为________； （2）请判断点D 是否在直线l 上，并说明理由；55 5x x xx 5（3）记函数2442,22x x x y kx k x ⎧-+≤=⎨->⎩，，的图象为G ，点(0,)M t ，过点M 垂直于y 轴的直线与图象G 交于点11()P x y ，，22()Q x y ，．当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，结合图象，求k 的取值范围．27．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≤，则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >，则称2d 为点P 的“引力值”．特别地，若点P 在坐标轴上，则点P 的“引力值”为0．例如，点P （2-，3）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，因为23<，所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A （1，4-）的“引力值”为________； ②若点B （a ，3）的“引力值”为2，则a 的值为________；（2）若点C 在直线24y x =-+上，且点C 的“引力值”为2，求点C 的坐标；（3）已知点M 是以D （3，4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M 的“引力值”d 的取值范围是．28．在Rt △ABC 中，斜边AC 的中点M 关于BC 的对称点为点O ，将△ABC 绕点O 顺时针旋转至△DCE ，连接BD ，BE ，如图所示．（1）在①∠BOE ，②∠ACD ，③∠COE 中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A =α，求∠BEC 的大小（用含α的式子表示）；（3）点N 是BD 的中点，连接MN ，用等式表示线段MN 与BE 之间的数量关系，并证明．初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案2017．11一、选择题（本题共24分，每小题3分）9．（1，2-） 10．答案不唯一，例如2y x = 11．110° 12．2ED NMB CA13．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线．（注：写出前两个即可给3分，写出前两个中的一个得2分，其余正确的理由得1分） 三、解答题（本题共72分） 17．解法一：解：2441x x -+=，()221x -=，………………2分21x -=±，11x =，23x =．………………4分解法二：解：()()130x x --=，………………2分 10x -=或30x -=，11x =，23x =．………………4分 18．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°. ∴∠1+∠3=60°.………………1分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴AD =AE ，∠DAE =60°. ∴∠2+∠3=60°.………………2分 ∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.∴CE =1．………………5分321EDCBA19．解：∵m 是方程2310x x -+=的一个根，∴2310m m -+=.………………2分 ∴231m m -=-.∴原式22694m m m =-++-………………4分()2235m m =-+3=．………………5分20．方法1：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴∠AOB =∠COD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴在△AOB 中，1902B AOB ∠=︒-∠，在△COD 中，1902C COD ∠=︒-∠.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分方法2：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴AB =CD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分21．解：（1）22416y x x =-++（或()()442y x x =-+）………………3分（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2241616x x -++=. 解得：12x =，20x =（不合题意，舍去）.………………5分 答：此时BE 的长为2米. 22．解：（1）∵方程()222110xm x m +-+-=有两个不相等的实数根，∴()()224141880m m m ∆=---=-+>，∴1m <．………………2分（2）存在实数m 使得120x x =.120x x =，即是说0是原方程的一个根，则210m -=.………………3分解得：1m =-或1m =.………………4分当1m =时，方程为20x =，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去． ∴1m =-．………………5分23．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()25 x +………………1分39 25 =+………………3分从而得到此方程的正根是 3 ．………………5分24．（1）点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分 （2）方法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 因为它经过A （1，0），B （3，0），C （0，3），则0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩………………4分 解得1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩………………6分∴ 经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法2：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），故可设其表达式为(1)(3)(0)y a x x a =--≠. ………………4分因为点C （0，3）在抛物线上，所以()()01033a --=，得1a =.………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法3：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），则其对称轴为2x =. 设抛物线的表达式为()22y a x k =-+.………………4分将A （1，0），C （0，3）代入，得0,4 3.a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ， ∴CE =BE .………………1分 ∵CD ∥AB ，∴∠DCE =∠B .………………2分 在△DCE 与△OBE 中,,.DCE B CE BE CED BEO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DCE ≌△OBE （ASA ）. ∴DE =OE .∴E 为OD 的中点．………………4分（2）解： 连接OC .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°. ∵OD ⊥BC ，∴∠CED =90°=∠ACB . ∴AC ∥OD .………………5分 ∵CD ∥AB ，∴四边形CAOD 是平行四边形. ∵E 是OD 的中点，CE ⊥OD ， ∴OC =CD . ∵OC =OD ， ∴OC =OD =CD . ∴△OCD 是等边三角形. ∴∠D =60°.………………6分 ∴∠DCE =90°-∠D =30°. ∴在Rt △CDE 中，CD =2DE . ∵BC =6， ∴CE =BE =3.AAB∵22224CE DE CD DE +==，∴DE CD =.∴OD CD ==∴CAOD S OD CE =⋅=四边形………………7分26．（1）（2，0）；………………2分 （2）点D 在直线l 上，理由如下： 直线l 的表达式为2(0)y kx k k =->，∵当2x =时，220y k k =-=，………………3分 ∴点D （2，0）在直线l 上．………………4分 注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P 在点Q 左侧.由题意知：要使得124x x =+成立，即是要求点P 与点Q 关于直线2x =对称.又因为函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称， 所以当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，即要求点Q在244(2,13)y x x x y =-+><<的图象上.………………6分根据图象，临界位置为射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与1y =的交点(3,1)A 处，以及射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与3y =的交点(23)B 处.此时1k =以及k =k的取值范围是1k <<………………8分27．（1）①1，②2±；………………2分 注：错一个得1分.（2）解：设点C 的坐标为（x ，y ）.由于点C 的“引力值”为2，则2x =或2y =，即2x =±，或2y =±. 当2x =时，240y x =-+=，此时点C 的“引力值”为0，舍去； 当2x =-时，248y x =-+=，此时C 点坐标为（-2，8）；当2y =时，242x -+=，解得1x =，此时点C 的“引力值”为1，舍去； 当2y =-时，242x -+=-，3x =，此时C 点坐标为（3，-2）； 综上所述，点C 的坐标为（2-，8）或（3，2-）.………………5分 注：得出一个正确答案得2分.（3）1d≤≤.………………8分注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM，OB，OC，OE.∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，∴MA=MB=MC=12 AC.………………2分∴∠A=∠ABM.∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC=∠BMC=2α.………………3分∵OC=OB=OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上.∴12BEC BOCα∠=∠=.………………4分（3）12MN BE=，证明如下：连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD. ∵∠A=α，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.∵∠BEC=α，∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α.∵MB=MC，∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.OMNABDCEBD∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE.………………6分∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，DF.∴MN=12BE.………………8分∴MN =12注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.。
2015-2016学年北京市海淀区九年级(上)期中数学复习试卷(二次函数)-含详细解析
2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（二次函数）副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共10小题，共30.0分）1.将抛物线y=3x2向上平移1个单位得到的抛物线是______ ．2.将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为______．3.若二次函数y=x2-5x+m的图象与x轴只有一个交点，则m= ______ ；当x= ______ 时，y有最______ 值是______ ；当0＜x＜1时，y随x的增大而______ ，y的取值范围是______ ．4.若二次函数y=mx2-（2m+2）x-1+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______ ．5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a ______ 0，b______ 0，c ______ 0，△ ______ 0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则：（1）对称轴方程______ ；（2）a-b+c ______ 0，4a+2b+c ______ 0；（用“＜”，“=”或“＞”号连接）（3）当x ______ 时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为______ ；（5）由图象回答：当y＞0时，x的取值范围______ ；当y=0时，x= ______ ；当y＜0时，x的取值范围______ ．7.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1 ______y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）8.已知抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（-4，y1）、（-2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是______ ．9.抛物线y=（x-h）2-k的顶点坐标为（-3，1），则h-k= ______ ．10.请写出与抛物线y=x2形状相同，且经过（0，-5）点的二次函数的解析式______ ．二、解答题（本大题共4小题，共32.0分）11.二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（2，-9），且当x=-1时，y=0.（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．12.已知函数y1=ax2+bx+c，它的顶点坐标为（-3，-2），y1与y2=2x+m交于点（1，6），求y1、y2的函数解析式．13.2x…-1-120121322523…y…-2-141742741-14-2…（）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；（2）作直线y2=-x+3，则当y2在y1的图象下方时，x的取值范围是______ ．14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12x2-x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C 与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】y =3x 2+1【解析】解：将抛物线y=3x 2向上平移1个单位得到的抛物线是y=3x 2+1． 故答案是：y=3x 2+1．根据“左加右减，上加下减”的规律解答．主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 2.【答案】y =（x +2）2-3【解析】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故答案为y=（x+2）2-3．先得到抛物线y=x 2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3.【答案】254；52；小；0；减小；y ≥0【解析】解：∵二次函数y=x 2-5x+m 的图象与x 轴只有一个交点， ∴（-5）2-4m=0， ∴m=，当x=时，二次函数有最小值为0，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，y的取值范围是y≥0，故答案为；；小；0；减小；y≥0．首先根据二次函数y=x2-5x+m的图象与x轴只有一个交点，求出m的值，根据二次函数的性质进行填空即可．本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，解题的关键是求出m的值，此题难度不大．4.【答案】m＞-1且m≠03【解析】解：∵原函数是二次函数，∴m≠0．∵二次函数y=mx2-（2m+2）x-1+m的图象与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，△=[-（2m+2）]2-4m（-1+m）＞0，解得m>-，∴m的取值范围是：m＞-且m≠0．故答案是：m＞-且m≠0．根据二次函数y=mx2-（2m+2）x-1+m的图象与x轴有两个交点，可得△=[-（2m+2）]2-4m（-1+m）＞0且m≠0．本题考查了抛物线与x轴的交点：当△=b2-4ac＞0时图象与x轴有两个交点；当△=b2-4ac=0时图象与x轴有一个交点；当△=b2-4ac＜0时图象与x轴没有交点．5.【答案】＞；＜；＞；=【解析】解：由开口方向可知：a＞0，由对称轴可知：-＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y的正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴△=0，故答案为：a＞0，b＜0，c＜0，△=0．根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴交点的位置，与x轴交点的个数即可判断．本题考查二次函数的图象与性质，只要根据图象的位置，即可判断a、b、c和△与0的大小关系．6.【答案】x=-1；＜；＞；＜-1；x1=-3，x2=1；x＜-3或x＞1；-3或1；-3＜x＜1【解析】解：（1）抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0），所以抛物线的对称轴为直线x=-1；（2）∵x=-1，y＜0，∴a-b+c＜0；∵x=2，y＞0，∴4a+2b+c＞0；（3）当x＜-1时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为x1=-3，x2=1；（5）当y＞0时，x的取值范围为x＜-3或x＞1；当y=0时，x=-3或1；当y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．故答案为x=-1；＜，＞；＜-1；x1=-3，x2=1；x＜-3或x＞1；-3或1；-3＜x＜1．（1）利用抛物线与x轴的交点为对称点可得到抛物线的对称轴；（2）观察函数图象，利用x=-1，y＜0和x=2，y＞0求解；（3）根据二次函数的性质求解；（4）根据抛物线与x轴的交点问题求解；（5）观察图象，写出抛物线在x轴上方或与抛物线与x轴的交点或抛物线在x 轴下方所对应的自变量的取值范围或取值．本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数（△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点）．也考查了观察函数图象的能力．7.【答案】＞【解析】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，∴2＜-x1＜4，∴y1＞y2．根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；8.【答案】y2＜y3＜y1【解析】解：∵抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（-4，y1）、（-2，y2），（1，y3），∴y1=16a-8a+m=8a+m，y2=4a-4a+m=m，y3=a+2a+m=3a+m，∵a＞0，∴m＜3a+m＜8a+m，即y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3，再比例其大小即可．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 9.【答案】-2【解析】解：∵抛物线y=（x-h ）2-k 的顶点坐标为（-3，1）， ∴h=-3，-k=1，解得h=-3，k=-1， ∴h-k=-3-（-1）=-2， 故答案为：-2．由二次函数的顶点式可求得h 和k 的值，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握封开次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，其顶点坐标为（h ，k ）． 10.【答案】y =x 2-5或y =-x 2-5【解析】解：设所求的二次函数的解析式为：y=ax 2+bx+c ， ∵与物线y=x 2形状相同， ∴|a|=1，a=±1， 且经过（0，-5）， 所以c=-5，∴所求的二次函数的解析式为：y=x 2-5或y=-x 2-5．先从已知入手：由与抛物线y=x 2形状相同则|a|相同，且经过（0，-5）点，即把（0，-5）代入得c=-5，写出二次函数的解析式．本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解答时注意抛物线形状相同时要分两种情况：①开口向下，②开口向上；即|a|=1． 11.【答案】解：（1）将（2，-9）、（-1，0）代入y =x 2+bx +c ，得{4+2b +c =−91−b +c =0，解得{b =−4c =−5， ∴所求二次函数的解析式是y =x 2-4x -5； （2）y =x 2-4x -5=（x -2）2-9， ∴顶点坐标是（2，-9）． 【解析】（1）将（2，-9）、（-1，0）代入y=x 2+bx+c ，利用待定系数法即可确定二次函数的解析式；（2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标．本题考查用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．12.【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式y=a（x+3）2-2，∵抛物线经过点（1，6），∴6=a（1+3）2-2，解得a=1，2∴抛物线的解析式为y1=1（x+3）2-2．2把（1，6）代入y2=2x+m得6=2×1+m，解得m=4，∴y2的函数解析式为y2=2x+4．【解析】根据已知设出抛物线的解析式y=a（x+3）2-2，把（1，6）代入即可求得a的值，即可求得y1的函数解析式；把（1，6）代入y2=2x+m即可求得m的值，即可求得y2的函数解析式．本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和直线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．13.【答案】x＜1或x＞2【解析】解：（1）由表可知当x=1时，y有最大值，∴二次函数图象开口向下，其顶点坐标为（1，2）；（2）∵抛物线顶点坐标为（1，2），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2，∵当x=0时，y=1，∴1=a+2，解得a=-1，∴抛物线解析式为y1=-（x-1）2+2=-x2+2x+1，联立两函数解析式可得，解得或，两函数图象如图所示：当y2在y1的图象下方时，结合图象x＜1或x＞2，故答案为：x＜1或x＞2．（1）由题目所给表格可观察得出答案；（2）可先求得二次函数解析式，联立两函数解析式可求得两函数图象的交点坐标，可画出两函数图象，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质和图象，掌握二次函数的性质是解题的关键，注意数形结合．14.【答案】解：（1）∵抛物线y=12x2−x+2与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）．∵y=12x2−x+2=12(x−1)2+32，∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点B的坐标为（1，32）．又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为y=kx+b．∵直线BC经过点B（1，32）和点C（2，2），∴{k+b=3 22k+b=2解得{k=12 b=1.∴直线BC的解析式为：y=12x+1；（2）∵抛物线y=12x2-x+2中，当x=4时，y=6，∴点D的坐标为（4，6）．∵直线y=12x+1中，当x=0时，y=1．当x=4时，y=3，∴如图，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．【解析】（1）欲求直线BC的解析式，需要求得点B、C的坐标，由抛物线解析式求得点A、B的坐标，然后根据点的对称性得到点C的坐标；然后由待定系数法来求直线方程；（2）根据抛物线解析式y=-x+2易求D（4，6），由直线y=x+1易求点（0，1），点F（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．。
北京海淀2015初三期中试题答案
海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题 号1 2 3 45 6 7 8 9 10 答 案D A A ABBCDBC二、填空题（本题共18分，每小题3分）题 号11 12 13 14 15 16 答 案,21=x 22-=x21y x =+（答案不唯一）<1300.6120，150三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：2320.x x -+=……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵PA ,PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥PA ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB Pº．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==．…………………………2分 在Rt △OAM 中，∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明：22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ，∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m.…………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25．解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º． 在Rt △ACB 中，∵2=AB ，2AC =，∴2BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分 ∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒．∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º． ∴CAD ∠为15º或105º．…………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ）， ∴5n =．……………………………………………2分 ∵抛物线21y xbx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b ∴3221--=x x y ．……………………………………………4分 （2）12-.……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r.在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=．∵1,5,BP CP ==∴222(5)(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分 ②2143． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分（2）如图所示：……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29.解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分 ∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒. ∴AMN QMP ∠=∠.∴△MAN ≌△MQP . .………………………………5分 ∴MAN MQP ∠=∠. ∵AEM QEF ∠=∠， ∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴60α=︒. .…………………………………………….6分 （3）（32，12）或（32-，12-）. ………………………8分xyF EPQAO MN。
北京市海淀区2015届九年级上期中考试数学试题及答案(WORD版)
O DCB A 北京市海淀区2015届九年级上期中考试数学试题及答案（WORD 版）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列图形是中心对称图形的是（ ）A B C D2．将抛物线2y x =向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A.21y x =+ B.21y x =- C.()21y x =+D.()21y x =-3.袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球.下面说法正确的是（ ） A.这个球一定是黑球 B.这个球一定是白球C.“摸出黑球”的可能性大D.“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大4.用配方法解方程2230x x --=时，配方后得到的方程为（ ）A.2(1)=4x - B.2(1)4x -=- C.2(1)=4x + D.2(1)=4x +- 5．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，O 的半径为2，则AB 的长为（ ）A.5πB.25πC.35πD.45π6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，59ABD ∠=︒，则C ∠等于（ ）A.29︒B.31︒C.59︒D.62︒7．已知二次函数24y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两个实数根是（ ）B AEDO CEDCBAA.121,1x x ==-B.121,2x x =-=C.121,0x x =-=D.121,3x x ==8．如图，C 是半圆O 的直径AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），过C 作AB 的垂线交半圆于点D ，以点D ，C ，O 为顶点作矩形DCOE ． 若AB =10，设AC =x ，矩形DCOE 的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，连接AB .60APB ∠=︒，5AB =，则PA 的长是 ．10．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为_________．11．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象经过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若1 42x -<<-，202x <<，则1y 2y .（用“<”，“=”或“>”号连接）12．如图，正方形ABCD 中，点G 为对角线AC 上一点，AG=AB ． ∠CAE =15°且AE=AC ，连接GE ．将线段AE 绕点A 逆时针旋转得到 线段AF ，使DF=GE ，则∠CAF 的度数为____________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解方程：2310x x +-=．14．如图，∠DAB =∠EAC ，AB =AD ，AC =AE ．求证：BC =DE ．EGDCA BEDCBO A OBA POD CBA15．已知二次函数的图象经过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求此二次函数的解析式．16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =130°，求∠OAC 的度数．17．若1x =是关于x 的一元二次方程22420x mx m -+=的根，求代数式()2213+m -的值．18.列方程解应用题：某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天； （2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20．已知关于x 的方程2(3)30ax a x +--=(0)a ≠. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a 的值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，点G 在直径DF 的延长线上，∠D =∠G =30．（1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若CD =6，求GF 的长．FG D CE O A B空气质量指数22．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：123,,x x x ，称为数列123,,x x x ．计算1x ，122x x +，1233x x x ++，将这三个数的最小值称为数列123,,x x x 的价值．例如，对于数列2，1-，3，因为22=，2(1)122=+-，2(1)3433+-+=，所以数列2，1-，3的价值为12． 小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列1-，2，3的价值为12；数列3，1-，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，1-，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12． 根据以上材料，回答下列问题：（1）数列4-，3-，2的价值为______；（2）将“4-，3-，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为______ ，取得价值最小值的数列为___________（写出一个即可）； （3）将2，9-，a (1)a >这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a 的值为__________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）当15ABC S △=时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C 的直线l :y kx b =+(0)k <与抛物线的另一个交点为D . 该抛物线在直线l 上方的部分与线段CD 组成一个新函数的图象. 请结合图象回答：若新函数的最小值大于8-，求k 的取值范围．xy 123456–1–2–3–4–5–612345678910–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10O24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0120)α<<得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b 在第一象限．以P 为圆心的圆经过原点，与y 轴的另一个交点为A ．点Q 是线段OA 上的点（不与O ，A 重合），过点Q 作PQ 的垂线交⊙P 于点(,)B m n ，其中0≥m ．xPAy OxPAy O（1）若5b =，则点A 坐标是________________； （2）在（1）的条件下，若OQ =8，求线段BQ 的长；（3）若点P 在函数2y x =(0)x >的图象上，且△BQP 是等腰三角形. ①直接写出实数a 的取值范围：__________________； ②在12，64，10这三个数中，线段PQ 的长度可以为 ，并求出此时点B 的坐标．备用图海淀区九年级第一学期期中练习2014.11数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案BACADBDA二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 5 ； 10． 4 ； 11． > ； 12． 30°或60°．（注：每个答案2分）三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13.（本小题满分5分）解：∵131a ,b ,c ===-， …………………………………………………………………1分∴2341(1)=13>0∆=-⨯⨯-． … ……………………………………………………2分∴2431322b b ac x a -±--±==．∴1231331322x ,x -+--==． ……………………………………………………5分 14．（本小题满分5分）证明：∵∠DAB =∠EAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC+∠BAE ．∴∠DAE =∠BAC ． ………………………………………………………………1分 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△BAC ≌△DAE ． ………………………………………………………………4分 ∴BC =DE ． ………………………………………………………………………5分 15.（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为()225y a x =-+ (0)a ≠．……………………………1分∵二次函数的图象经过点(0,1)．∴()21025a =-+．………………………………………………………………2分 ∴1a =-． …………………………………………………………………………4分 ∴二次函数的解析式为241y x x =-++．………………………………………5分16. （本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC +∠ABC =180°． …………………………………………………………1分 ∵∠ABC =130°，∴∠ADC =180°-∠ABC =50°． …………………………………………………2分∴∠AOC =2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分 ∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA ． ……………………………………………………………4分∴∠OAC =1(180)402AOC -∠=． ……………………………………………… 5分17. （本小题满分5分）解：依题意,得 21420m m -+=. ……………………………………………………2分∴2241m m -=-． ………………………………………………………………3分 ∴()()2222132213245154+=m m m m m --++=-+=-+=． …………5分18. （本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ．…………………………………………………… ……1分 由题意，得()24501288x -=． ……………………………………………… ………2分解方程得 115x =，295x =． ………………………………………………… ……3分经检验，915x =>不合题意，舍去；15x = 符合题意． ……………… …………4分答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. （本小题满分5分）解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的 日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分 由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分所以，P （到达当天空气质量优良）93155==． …………………… ………5分20. （本小题满分5分） 解：（1）∵0a ≠，∴原方程为一元二次方程．∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯- ………………………………………………1分()23a =+．∵()230≥a +．∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分 （2）解原方程，得 11x =-，23x a=. ……………………………………………3分 ∵此方程有两个负整数根，且a 为整数，∴1a =-或3-． …………………………………………………………………4分 ∵12x x ≠，∴3a ≠-．∴1a =-． ………………………………………………………………………5分 21. （本小题满分5分） （1）证明:连接OC ．∵OC=OD ，∠D =30°， ∴∠OCD =∠D = 30°．…………………………………1分 ∵∠G =30°，∴∠DCG =180°-∠D -∠G =120°． ∴∠GCO =∠DCG -∠OCD =90°． ∴OC ⊥CG ．又∵OC 是⊙O 的半径．∴CG 是⊙O 的切线．……………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴132CE CD ==. ………………………………………………………3分∵在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，∠OC E =30°，∴12OE OC =，222OC OE CE =+．设OE x =，则2OC x =.∴()22223x x =+.解得3x =（舍负值）．∴23OC =． ………………………………………………………………4分∴23OF =．在△OCG 中，∵∠OCG =90°，∠G =30°， ∴243OG OC ==．∴23GF GO OF =-=． ……………………………………………………5分22. （本小题满分5分）答：（1）53． …………………………………………………………………………………1分（2）12， ………………………………………………………………………………2分 3,2,4--或2,3,4--．（写出一个即可）…………………………………………3分 （3）11或4．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. （本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令0y =，即 2(1)0x m x m ---=．解得 11x =-，2x m =． …………………………………………………1分 又∵ 点A 在点B 左侧，且0m >，∴ 点A 的坐标为(1,0)-． …………………………………………………2分（2）由（1）可知点B 的坐标为(0)m ，．∵抛物线与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0,)m -． ……………………………………………………3分 ∵0m >，∴1AB m =+，OC m =． ∵15△ABC S =，∴1(1)152m m +=． ∴6m =-或5m =．∵0m >， ∴5m =．∴抛物线的表达式为245y x x =--． ………………………4分（3）由（2）可知点C 的坐标为(0,5)-．xy 123456–1–2–3–4–5–612345678910–1–2–3–4–5–6–7–8OABCD∵直线l ：y kx b =+(0)k <经过点C ，∴5b =-. ………………………………………5分 ∴直线l 的解析式为5y kx =-(0)k <． ∵2245(2)9y x x x =--=--，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为9-，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8-． 令8y =-，即2458x x --=-．解得 11x =（不合题意，舍去），23x =． ∴抛物线经过点(3,8)-．当直线5y kx =-(0)k <经过点(3,8)-时，可求得1k =-．…………………6分 由图象可知，当10k -<<时新函数的最小值大于8-． ………………………7分24．（本小题满分7分） 解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分②不改变，∠BDC 的度数为30．方法一：由题意知，AB=AC=AD ．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．…………………………2分 ∴∠BDC=12∠BAC =30．……………………………………………………3分 方法二：由题意知，AB=AC=AD ． ∵AC =AD ，∠CAD =α， ∴1801=9022ADC C αα-==-∠∠．…………………………………2分 ∵AB=AD ，∠BAD =60α+，∴()18060120160222ADB B ααα-+-====-∠∠． ∴11(90)(60)3022BDC ADC ADB αα=-=---=∠∠∠．…………3分（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ．∴90AMC ∠=． 在△AEB 与△AMC 中，AEB AMC B ACD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△AEB ≌△AMC ． ………………………………………………………4分 ∴AE AM =，BAE CAM ∠=∠．∴60EAM EAC CAM EAC BAE BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=．∴△AEM 是等边三角形．∴EM AM AE ==． …………………………………………………………5分 ∵AC AD =，AM CD ⊥ ， ∴CM DM =． 又90DEC ∠=，∴EM CM DM ==．∴AM CM DM ==． …………………………………………………………6分 ∴点A 、C 、D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上．∴90CAD α=∠=． …………………………………………………………7分 25. （本小题满分8分） 解： （1）（0，10）． …………………………………………………………………1分（2）连接BP 、OP ，作PH ⊥OA 于点H ．∵5,b =PH ⊥OA ， ∴152OH AH OA ===．∵OQ =8，∴3QH OQ OH =-=．在Rt △QHP 中，22229PQ QH PH PH =+=+．在Rt PHO △中，2222225PO OH PH PH BP =+=+=．在Rt △BQP 中，22222(25)(9)16BQ BP PQ PH PH =-=+-+=． ∴4BQ =．……………………………………………………………………3分（3）①1≥a ．……………………………………………………………………………4分②10． ……………………………………………………………………………5分 解：∵△BQP 是等腰直角三角形，10PQ =，HQ PBA O xyMDCAB E∴半径25BP =． 又∵2(,)P a a ，∴2242(25)OP a a =+=． 即42200a a +-=．解得2a =±．∵0a >，∴2a =． ……………………………………………………………………………6分 ∴(2,4)P ．如图，作BM y ⊥轴于点M ，则△QBM ≌△PQH ． ∴2MQ PH ==，226MB QH PQ PH ==-=．∴1(6,66)B +． …………………………………7分若点Q 在OH 上，由对称性可得2(6,26)B -． ……………………………8分综上，当10PQ =时，B 点坐标为(6,66)+或(6,26)-．M HQ P BA O xy。
北京海淀初三期中数学(含解析)
2015北京海淀初三上期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）．A ．2，1，3B ．2，1，3-C ．2，1-，3D ．2，1-，3-2．下列图形是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）．A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定5．将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）．A ．22y x =+B ．22y x =-C ．()22y x =+D ．()22y x =-6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为（ ）．A ．9πB ．6πC ．3πD ．π7．用配方法解方程243x x +=，下列配方正确的是（ ）．A ．2(2)1x -=B ．2(2)7x -=C ．2(2)7x +=D ．2(2)1x +=8．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项中不正确．．．的是（ ）． A ．0a < B ．0c > C ．012ba<-< D ．0a b c ++<9．如图，ABC △内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若33DBC ∠=︒，则A ∠等于（ ）．A ．33︒B ．57︒C ．67︒D ．66︒10．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：/x 分L 2.66 3.23 3.46 L /y 米L69.1669.6268.46L下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）． A ．7分B ．6.5分C ．6分D ．5.5分二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．方程(1)(2)0x x --=的解为__________．12．请写出一个开口向上且经过(0,1)的抛物线的解析式__________．13．若二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、，则a __________b （填“<”或“=”或“>”）．14．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，100AOC ∠=︒，则ABC ∠=__________︒．15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x 为_______米（2取1.4）．16．如图，O 是边长为1的等边ABC △的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α（0180α︒<<︒），得到AB '、BC '、CA '，连接A B ''、B C ''、A C ''、OA '、OB '． （1）A OB ''∠=__________︒．（2）当α=__________︒时，A B C '''△的周长最大．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：232x x =-．(3,)B b18．若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．19．已知点(3,0)在抛物线23(3)y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴．20．如图，AC 是⊙O 的直径，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，25BAC ∠=︒．求P ∠的度数．21．已知1x =是方程2250x ax a -+=的一个根，求代数式23157a a --的值．22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m ，水面宽AB 为1.6m ．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m ，求水面下降的高度．23．已知关于x 的方程23(3)0(0)x a x a a ---=>． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根大于2，求a 的取值范围．24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，那么它的下部应设计为多高（5取2.2）．25．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，2AB =，2AC =，1AD =，求CAD ∠的度数．26．抛物线21y x bx c =++与直线22y x m =-+相交于(2,)A n -、(2,3)B -两点．（1）求这条抛物线的解析式．（2）若41≤≤x -，则21y y -的最小值为________．27．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD AB ⊥于点D ．P 为AB 延长线上一点，2PCD BAC ∠=∠．（1）求证：CP 为⊙O 的切线． （2）1BP =，5CP =． ①求⊙O 的半径；②若M 为AC 上一动点，则OM DM +的最小值为__________．28．探究活动：利用函数(1)(2)y x x =--的图象（如图1）和性质，探究函数(1)(2)y x x =--的图象与性质． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数(1)(2)y x x =--的自变量x 的取值范围是___________；（2）如图2，他列表描点画出了函数(1)(2)y x x =--图象的一部分，请补全函数图象；图1 图2解决问题：设方程1(1)(2)04x x x b ----=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <．若12b <<，则1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为__________（用“<”连接）．29．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60︒得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60︒得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）点M的横坐标为12，点N与点O重合，则α=________︒．（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为_________．图1 图2 备用图2015北京海淀初三上期中数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DAAABBCDBC二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号 11 12 1314 15 16 答案11x =，22x =21y x =+ （答案不唯一）<1300.6120，150三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：2320x x -+=，(1)(2)0x x --=．∴10x -=或20x -=． ∴11x =，22x =．18．解：∵抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，∴0∆=， 即940a -=． ∴94a =．19．解：∵点(3,0)在抛物线23(3)y x k x k =-++-上，∴20333(3)k k =-⨯++-， ∴9k =．∴抛物线的解析式为23129y x x =-+-． ∴对称轴为2x =．20．解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA PB =． ∴PAB PBA ∠=∠． ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA PA ⊥． ∴90PAC ∠=︒． ∵25BAC ∠=︒， ∴65PAB ∠=︒．∴180250P PAB ∠=︒-∠=︒．21．解：∵1x =是方程2250x ax a -+=的一个根，∴2150a a -+=，∴原式23(5)7a a =--10=-．22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA ，OC ，过点O 作ON CD ⊥于N ，交AB 于M ．∴90ONC ∠=︒． ∵∥AB CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=︒． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =，∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==． 在Rt OAM △中，∵1OA =，∴220.6OM OA AM =-=． 同理可得0.8ON =． ∴0.2MN ON OM =-=． 答：水面下降了0.2米．23．（1）证明：22(3)43()(3)a a a ∆=--⨯⨯-=+．∵0a >， ∴2(3)0a +>． 即0∆>．∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解方程，得11x =-，23a x = ∵方程有一个根大于2， ∴23a>． ∴6a >．24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有::2AC BC BC =，即22BC AC =． 设BC 为m x ．依题意，得22(2)x x =-．解得115x =-+，215x =--（不符合题意，舍去）． 51 1.2-≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．25．解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒． 在Rt ACB △中， ∵2AB =，2AC =， ∴2BC =．∵1OA OD AD ===， ∴60BAD ∠=︒．∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=︒．当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒． ∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=︒． ∴CAD ∠为15︒或105︒．26．解：（1）∵直线22y x m =-+经过点(2,3)B -，∴322m -=-⨯+． ∴1m =．∵直线22y x m =-+经过点(2,)A n -， ∴5n =．∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ， ∴542342b cb c =-+⎧⎨-=++⎩，∴解得23b c =-⎧⎨=-⎩．∴2123y x x =--． （2）12-．27．（1）证明：连接OC ．∵2PCD BAC ∠=∠，2POC BAC ∠=∠， ∴POC PCD ∠=∠． ∵CD AB ⊥于点D ， ∴90ODC ∠=︒． ∴90POC OCD ∠+∠=︒． ∴90PCD OCD ∠+∠=︒． ∴90OCP ∠=︒． ∴半径OC CP ⊥． ∴CP 为⊙O 的切线． （2）①设⊙O 的半径为r ． 在Rt OCP △中，222OC CP OP +=． ∵1BP =，5CP =， ∴222(5)(1)r r +=+． 解得2r =． ∴⊙O 的半径为2．②2143． 过点O 作AC 的对称点E ，连结CE 、CO 、CD ，线段ED 与线段AC 交于M 点，由轴对称可知，CO CE =，OCA ECA ∠=∠，在Rt OCP △中，2OC =，3OP =，5CP =， 253OC PC CD OP ⋅==． 在Rt ECD △中，由勾股定理可得， 222225214()233DE CD CE =+=+=． 即OM DM +的最小值为2143．28．解：（1）1x ≤或2x ≥．（2）如图所示：1342x x x x <<<．29．解：（1）60．（2）．连接MQ ，MP ．记MQ ，PQ 分别交x 轴于E ，F ．∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴MAQ △和MNP △均为等边三角形．∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NM ∠=∠=︒． ∴AMN QMP ∠=∠． ∴MAN △≌MQP △． ∴MAN MQP ∠=∠． ∵AEM QEF ∠=∠， ∴60QFE AMQ ∠=∠=︒． ∴60α=︒． （3）31(,)22或31(,)22--． 连结OK ，过M 作ME x ⊥轴于E ，由（2）可知，α始终等于60︒，直线PQ 与x 轴交于H ，以AH 为边向下构建等边AHG △， xyF EPQAO MN在MAH △和QAG △中，AM AQ MAH QAG AH AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴MAH △≌QAG △（SAS ），∴60AHM AGQ ∠=∠=︒．∵PQ 与⊙O 相切，∴OK PQ ⊥，1OK =．在Rt OKH △中，60OHK ∠=︒， ∴233OH =． 设EH x =，则3ME x =，233OE x =-， 在Rt OME △中，由勾股定理可知，22223()(3)13x x -+=， 解得36x =． ∴32OE =，12ME =， 即31(,)22M ． 同理31(,)22M --． ∴当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为31(,)22或31(,)22--．2015北京海淀初三上期中数学试卷部分答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【答案】D【解析】一元二次方程2230x x --=的二次项系数是2、一次项系数1-、常数项分别是3-．2．【答案】A【解析】依据中心对称图形的定义可知，只有图形A 是中心对称图形．3．【答案】A【解析】二次函数2(+1)2y x =--的最大值是为2-．4．【答案】A【解析】已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，OP R <，则点P 在⊙O 内．5．【答案】B【解析】将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为22y x =-．6．【答案】B【解析】已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为260π66π360S ⨯==．7．【答案】C【解析】用配方法解方程243x x +=，24434x x ++=+，2(2)7x +=．8．【答案】D【解析】依题可知，0a <，0b >，0c >，012b a<-<，0a b c ++>．9．【答案】B【解析】连结DC ，∵BD 是⊙O 的直径，∴90BCD ∠=︒．∵33DBC ∠=︒，∴9057A BDC DBC ∠=∠=︒-∠=︒．10．【答案】C【解析】依表格可知，二次函数的对称轴接近3，所以摩天轮转一圈最接近的时间为6分钟．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【答案】11x =，22x =【解析】方程(1)(2)0x x --=的解为11x =，22x =．12．【答案】21y x =+（答案不唯一）【解析】开口向上且经过(0,1)的抛物线的解析式21y x =+（答案不唯一），0a >，1c =即可．13．【答案】<【解析】若二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、，开口向上，对称轴为y 轴，点B 离对称轴更远，则a b <．14．【答案】130(3,)B b【解析】∵100AOC ∠=︒，∴»AC 所对的圆周角为50︒， ∴130ABC ∠=︒．15．【答案】0.6【解析】依题可知，正方形的对角线即为圆桌的直径4， ∴正方形的边长为22，圆心到正方形的边心距为2， 即220.6x =-≈．16．【答案】120，150【解析】（1）连接OA 、OB 、OC 、OC '． 依题可知，AB AB '=BC BC '==CA CA '==， BAB CBC ACA α'''∠===．∵O 是等边ABC △的中心，∴OA OB OC ==，30OAB OBC OCA ∠=∠=∠=︒， 120AOB BOC AOC ∠=∠=∠=︒，OAB '△≌OBC '△≌OCA '△，∴AOB COA ''∠=∠，∴120A OB AOC ''∠=∠=︒．（2）OAB '△≌OBC '△≌OCA '△，∴OA OB OC '''==，120A OB A OC B OC ''''''∠=∠=∠=︒， ∴A B C '''△为等边三角形．A B C '''△周长最大，OB '要最大，当且仅当O 、A 、B '三点共线时，OB '最大， 180OAB BAB '∠+∠=︒，即150α=︒．OB '最大值为313OA AB OA AB '+=+=+，A B C '''△的周长最大值为33+．。
北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷
北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（3分）一元二次方程3x2﹣x﹣2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣1，﹣2B．3，1，﹣2C．3，﹣1，2D．3，1，2 2．（3分）里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也出现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）用配方法解方程x2+6x+2=0，配方正确的是（）A．（x+3）2=9B．（x﹣3）2=9C．（x+3）2=6D．（x+3）2=7 4．（3分）如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．80°5．（3分）将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位6．（3分）在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（）A．点A在圆外B．点A在圆内C．点A在圆上D．无法确定7．（3分）若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．4π8．（3分）已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a=0的根，则a的值为（）A．﹣4B．4C．2D．9．（3分）给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（）A．x1=4，x2=﹣4B．x1=2，x2=﹣2C．x1=x2=0D．x1=2，x2=﹣210．（3分）太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：米）与时刻t（单位：时）的关系满足函数关系l=at2+bt+c （a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）A．12.75B．13C．13.33D．13.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）方程x2﹣x=0的解是．12．（3分）请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式．13．（3分）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图（填“甲”、“乙”或“丙”），你的根据是．14．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是．15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，半径OB的长为3，则AB的长为．16．（3分）CPI指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情况．CPI的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的影响．根据北京市2015年与2016年CPI涨跌率的统计图中的信息，请判断2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是月；请根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是，你的预估理由是．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：x2+4x=6．18．（5分）求抛物线y=x2﹣2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．19．（5分）如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D=35°，求∠OAC的度数．20．（5分）已知：m2+2m﹣3=0．求证：关于x的方程x2﹣2mx﹣2m=0有两个不相等的实数根．21．（5分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD 绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．22．（5分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB=AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．23．（5分）如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A，B 两点的距离为18米，求这种装置能够喷灌的草坪面积．24．（5分）表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1﹣0123…y…m﹣1﹣2﹣12…（1）二次函数图象的开口向，顶点坐标是，m的值为；（2）当x＞0时，y的取值范围是；（3）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是．25．（5分）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM=4，BE=6，求AE的长．26．（5分）小华在研究函数y1=x与y2=2x图象关系时发现：如图所示，当x=1时，y1=1，y2=2；当x=2时，y1=2，y2=4；…；当x=a时，y1=a，y2=2a．他得出如果将函数y1=x图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数y2=2x的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：（1）如果函数y=3x图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为；（2）①将函数y=x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数y=4x2的图象；②将函数y=x2图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数表达式为．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n﹣1的对称轴为x=2．（1）m的值为；（2）若抛物线与y轴正半轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；（3）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个交点，求n的取值范围．28．（7分）在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC 平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补全图形；②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：29．（8分）点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d（P，∠AOB）．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d（P，∠AOB）=0．在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）．（1）如图1，若M（0，2），N（﹣1，0），则d（M，∠AOB）=，d（N，∠AOB）=；（2）在正方形OABC中，点B（4，4）．①如图2，若点P在直线y=3x+4上，且d（P，∠AOB）=2，求点P的坐标；②如图3，若点P在抛物线y=x2﹣4上，满足d（P，∠AOB）=2的点P有个，请你画出示意图，并标出点P．北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．A；2．C；3．D；4．B；5．C；6．A；7．B；8．B；9．B；10．C；二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．0或1；12．y=（x﹣3）2（答案不唯一）；13．乙；90°圆周角所对的弦是直径；14．﹣1；15．3；16．8；先减后增；2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，所以预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增；三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．上；（1，﹣2）；2；y≥﹣2；n＞﹣3；25．；26．y=9x；4；y=x2；27．﹣4；28．EB=EF；α+β=180°或°；29．1；1；4；。
北京市海淀区初三数学第一学期期中试题及答案初中数学
北京市海淀区初三数学第一学期期中试题及答案初中数学海淀区九年级第一学期期中练习数学试卷答宴及谗分捻考16医号9 10 11 12•'•斗=4內=-2・ .................. ................................ 5分x-l»±3.A x} «4.r;■・2・................. ….................................. 5分14.计％彳34（护*声・1卜（一2）°.tt： ®St-2v3-3+^3-l^l ............................................ ........................2 •=373-4-1,15.计算2 (272-3)(72 + 1). 解：原式=4 42的一 3运一31-72.16.解法r 违按OC.OZXA ZJCO = 90°. Z/DO = 90°「・•\ m } +2m-5 = 0.•*• rn‘+・5/w ・9-刃（亦十2加-5）-9V AO&^B 的I ［径，C. £）两点在上.4 RtA ACO 和 RtA /DO 中.促OB 的宣径• C\ D 两点在O B 匕Z^CC? = 90% "DO 二AC. AD 3分4分AD^S.解法二连接OC.OD2分••• AC^ADr4分I 4C-5. A 4D = 5.AC^ AD.\OC^OD. imo ・ 0••• RtA ACO 4 RU ADO.7.風 I 刖她方程，+ 2上一5M 0的一个根.$分2 •18・解! （I ） •即为所球.（不写结论的不扣分） 3C.......................................................... 3分（2） 2鬲・ .............................. 3分 四.解备题（本題共20分.毎小題5分） 19・解：设这种药品平均每次降价的百分率足工 依题意.得200(1-x)2 =不合注意■舍去〉. 解鸭勺亦2卫 卒 这种药品号均毎伙降价的百分20%・ .............20・解，如田•当弦CQ 与半径。
北京海淀区初三上学期数学期中考试试卷(附答案)
(1) y 与 x 之间的函数关系式为
（不需写自变量的取值范围）；
(2) 根据改造方案，改造后的矩形苗圃 AEF G 的面积与原正方形苗圃 ABCD 的面积相
等，请问此时 BE 的长为多少米?
21. 关于 x 的一元二次方程 x2 + 2 (m − 1) x + m2 − 1 = 0 有两个不相等的实数根 x = x1，x = x2． (1) 求实数 m 的取值范围；
=
2
(m2
−
) 3m
+
5
= 3.
19. ∵ 在 ⊙O 中，AB = CD， ∴ ∠AOB = ∠COD． ∵ OA = OB，OC = OD， ∴ 在 △AOB 中，∠B = 90◦ − 1 ∠AOB， 2 在 △COD 中，∠C = 90◦ − 1 ∠COD． 2 ∴ ∠B = ∠C．
20. (1) y = −2x2 + 4x + 16（或 y = (4 − x) (4 + 2x)） (2) 由题意，原正方形苗圃的面积为 16 平方米， 得 −2x2 + 4x + 16 = 16.
x2 + 10x = 39 为例，花拉子米的几何解法如下：
如图，在边长为 x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为 x 和 5 的矩形，再补上一个边长为 5 的小正方形，
最终把图形补成一个大正方形．
通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为 (x + )2 = 39 + ，从而得到此方程的正
∠ADE 的大小为
．
12. 抛物线 y = x2 − x − 1 与 x 轴的公共点的个数是
．
13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，点 B 的坐标分别为 (0, 2)，(−1, 0)，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转，若点 A 的对应点 A′ 的坐标为 (2, 0)，则点 B 的对应点 B′ 的坐标为 ．
2015-2016学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷-含详细解析
2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程2x2-x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 2，1，3B. 2，1，C. 2，，3D. 2，，2.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.二次函数y=-（x+1）2-2的最大值是（）A. B. C. 1 D. 24.已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 不能确定5.将抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A. B. C. D.6.已知扇形的半径为6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（）A. B. C. D.7.用配方法解方程x2+4x=3，下列配方正确的是（）A. B. C. D.8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A.B.C.D.9.如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC=33°，则∠A等于（）A.B.C.D.10.小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A. 7分B. 分C. 6分D. 分二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程x2-4=0的解是______．12.请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式______．13.若二次函数y=2x2-5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a______b（填“＜”或“=”或“＞”）．14.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=________°．15.用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为______米（取1.4）．16.如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到AB′、BC′、CA′，连接A′B′、B′C′、A′C′、OA′、OB′．（1）∠A′OB′=______°；（2）当α=______°时，△A′B′C′的周长最大．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC=25°．求∠P的度数．四、解答题（本大题共12小题，共67.0分）18.解方程：x2=3x-2．19.若抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值．20.已知点（3，0）在抛物线y=-3x2+（k+3）x-k上，求此抛物线的对称轴．21.已知x=1是方程x2-5ax+a2=0的一个根，求代数式3a2-15a-7的值．22.一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．23.已知关于x的方程3x2-（a-3）x-a=0（a＞0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．24.在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？（取2.2）25.已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度数．26.抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=-2x+m相交于A（-2，n）、B（2，-3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若-4≤x≤1，则y2-y1的最小值为______．27.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P为AB延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．（1）求证：CP为⊙O的切线；（2）BP=1，CP=．①求⊙O的半径；②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为______．28.探究活动：利用函数y=（x-1）（x-2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是______；（2）如图2，他列表描点画出了函数y=图象的一部分，请补全函数图象；解决问题：设方程-x-b=0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2-3x+2=x+B的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜，则x1、x2、x3、x4的大小关系为______（用“＜”连接）．29.在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则α=______°；（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为______．答案和解析1.【答案】D【解析】解：一元二次方程2x2-x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-1，-3，故选：D．找出方程的二次项系数，一次项系数，常数项即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】A【解析】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则只有选项A 是中心对称图形．故选：A．根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3.【答案】A【解析】【解答】∵y=-（x+1）2-2，∴此函数的顶点坐标是（-1，-2），即当x=-1函数有最大值-2故选：A．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（-1，-2），也就是当x=-1，函数有最大值-2．本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．4.【答案】A【解析】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：A．点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为y=x2-2．故选：B．根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6.【答案】B【解析】解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为60°，∴S==6π．故选：B．已知了扇形的圆心角和半径长，可直接根据扇形的面积公式求解．本题考查了扇形面积的计算．此题属于基础题，只要熟记扇形面积公式即可解题．7.【答案】C【解析】解：x2+4x+4=7，（x+2）2=7．故选：C．把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．8.【答案】D【解析】解：A、抛物线的开口向下，∴a＜0，故正确；B、抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故正确；C、抛物线的对称轴在y轴的右边，在直线x=1的左边，∴，故正确；D、从图象可以看出，当x=1时，对应的函数值在x轴的上方，∴a+b+c＞0，故错误．故选D．由抛物线的开口方向判定a的取值范围，由抛物线于y轴的交点判定c的取值范围，根据对称轴的位置即可判定的取值范围，由抛物线中，x=1时的函数值即可判定a+b+c的取值范围．本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点等与二次函数的系数之间的关系是解决此类问题的关键．9.【答案】B【解析】解：连结CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，而∠DBC=33°，∴∠D=90°-33°=57°，∴∠A=∠D=57°．故选B．连结CD，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠BCD=90°，则利用互余可计算出∠D=57°，然后根据圆周角定理即可得到∠A的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10.【答案】C【解析】解：最值在自变量大于2.945小于3.06之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选C．由题意，最值在自变量大于2.945小于3.06之间，由此不难找到答案．此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．11.【答案】±2【解析】解：x2-4=0，移项得：x2=4，两边直接开平方得：x=±2，故答案为：±2．首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．12.【答案】y=x2+x+1（答案不唯一）【解析】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y=x2+x+1等，答案不唯一．故本题答案为：y=x2+x+1等．开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，1），说明常数项c=1．13.【答案】＜【解析】解：y=2x2-5的对称轴为x=0，开口方向向上，顶点为（0，-5）．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小，2比3距离近，所以a＜b．故答案为＜．根据二次函数图象的增减性即可解答．本题主要考查二次函数的性质．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y 值越小．14.【答案】130【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∠D为弧AC所对的圆周角，∵∠D=∠AOC，而∠AOC=100°，∴∠D=50°，∴∠ABC=180°-50°=130°．故答案为130°．先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．15.【答案】0.6【解析】解：平面图如图所示：连接OA，作OM⊥AB，垂足为N，交⊙O于M，则MN=x，OM=AM=OA=×2=，∴x=OM-ON=2-≈0.6（米）．故答案为：0.6米．画出平面图，连接OA，作OM⊥AB，垂足为N，交⊙O于M，由正方形的性质得出MN=x，ON=AN=OA=，得出x=OM-ON，即可得出结果．本题考查了正多边形和圆的位置关系、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，画出图形，由正方形的性质求出ON是解决问题的关键．16.【答案】120；150【解析】解：（1）∠A′OB′==120°，故答案是：120；（2）△A'B'C'是等边三角形，△A′B′C′的周长最大，则边长最大，则OB'最大，当O，A，B'三点在一条直线上时，B'在OA的延长线上，OB'最大．∠BAO=∠BAC=30°，则a=180°-30°=150°．故答案是：150．（1）△A'B'C'是等边三角形，根据中心角的定义求解；（2）当O，A，B'三点在一条直线上时，B'在OA的延长线上时，OB'最大，A′B′C′边长最大，则△A′B′C′的周长最大．本题考查了三角形的旋转，正确理解△A′B′C′的周长最大的条件是关键．17.【答案】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵PA为切线，∴CA⊥PA．∴∠CAP=90°，∵∠BAC=25°，∴∠PAB=90°-∠BAC=65°，∴∠P=180°-2∠PAB=50°．【解析】先根据切线长定理得到PA=PB，则利用等腰三角形的性质得∠PAB=∠PBA，再根据切线的性质得∠CAP=90°，于是利用互余计算出∠PAB=65°，然后根据三角形内角和定理计算∠P的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理．18.【答案】解：x2-3x+2=0，（x-2）（x-1）=0，x-2=0或x-1=0，所以x1=2，x2=1．【解析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．19.【答案】解：∵抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，∴△=0，即9-4a=0．解得：a=．抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，则△=0．本题主要考查的是抛物线与x轴交点，根据题意得到△=0是解题的关键．20.【答案】解：把（3，0）代入y=-3x2+（k+3）x-k得，0=-27+（k+3）×3-k，解得，k=9，∴抛物线为y=-3x2+12x-9，∴对称轴为直线x=-=-=2，即直线x=2．【解析】把（3，0）代入y=-3x2+（k+3）x-k，求得k的值，然后根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟记对称轴公式是解题的关键．21.【答案】解：∵x=1是方程x2-5ax+a2=0的一个根，∴1-5a+a2=0．∴a2-5a=-1，∴3a2-15a-7=3（a2-5a）-7=3×（-1）-7=-10，即3a2-15a-7=-10．【解析】把x=1代入已知方程求得a2-5a=-1，然后整体代入所求的代数式中进行求解．此题主要考查的是一元二次方程解的定义，注意整体代入思想在代数求值中的应用．22.【答案】解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．∴∠ONC=90°．∵AB∥CD，∴∠OMA=∠ONC=90°．∵AB=1.6，CD=1.2，∴AM=AB=0.8，CN=CD=0.6，在Rt△OAM中，∵OA=1，∴OM==0.6．同理可得ON=0.8，∴MN=ON-OM=0.2（米）．答：水面下降了0.2米．连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．先根据垂径定理求得AM、CN，然后根据勾股定理求出OM、ON的长，即可得出结论．本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．23.【答案】（1）证明：△=（a-3）2-4×3×（-a）=（a+3）2．∵a＞0，∴（a+3）2＞0．即△＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）解：3x2-（a-3）x-a=0，（3x-a）（x+1）=0，解得x1=-1，x2=．∵方程有一个根大于2，∴＞2．∴a＞6．【解析】（1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；（2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程的方法．24.【答案】解：设下部应设计为x米，则上部的长度为（2-x）米，根据题意得，=，整理得，x2+2x-4=0，解得，x1=-1+，x2=-1-（舍去），所以，雕像的下部应设计为（-1+）≈1.2米．【解析】设下部应设计为x米，表示出上部长为（2-x）米，然后根据“上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比”列出方程求解即可．本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．25.【答案】解：分两种情况考虑：①如图（1），连接OC、OD，在⊙O中，AB=2，∴OA=OC=OD=AB=1，∵12+12=（）2，即OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，又∵AD=1，∴OA=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠CAD=∠OAD-∠OAC=15°；②如图（2），连接OC，OD，在⊙O中，AB=2，∴OA=OC=OD=AB=1，∵12+12=（）2，即OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，∵AD=1，∴OA=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠CAD=∠OAD+∠CAO=105°，综上，∠CAD等于105°或15°．【解析】分两种情况考虑：①如图（1），连接OC、OD，在⊙O中，AB=2，得到半径为1，再利用勾股定理的逆定理得到三角形AOC为等腰直角三角形，再由AD=OA=OC得到三角形AOD为等边三角形，由∠OAD-∠OAC即可求出∠CAD的度数；②如图（2），连接OC，OD，同理由∠OAD+∠OAC即可求出∠CAD的度数．此题考查了垂径定理，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．26.【答案】-12【解析】解：（1）∵直线y2=-2x+m经过点B（2，-3），∴-3=-2×2+m．∴m=1．∵直线y2=-2x+m经过点A（-2，n），∴n=4+1=5；2∴∴．∴y1=x2-2x-3．（2）y2-y1=-2x+1-（x2-2x-3）=-x2+4，∴y2-y1的最大值是4，代入x=-4得y2-y1=-12，代入x=1得y2-y1=3，∴若-4≤x≤1，y2-y1的最小值为-12．故答案为-12．（1）把B的坐标代入直线y2=-2x+m求得m的值，然后代入A（-2，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）求得y2-y1=-x2+4，然后代入x=-4和x=1，求得函数值，即可求得最小值．本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．27.【答案】【解析】（1）证明：连接OC，如图1，∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，∴∠POC=∠PCD，∵CD⊥AB于点D，∴∠ODC=90°．∴∠POC+∠OCD=90°．∴∠PCD+∠OCD=90°．∴∠OCP=90°．∴半径OC⊥CP．∴CP为⊙O的切线．（2）解：①设⊙O的半径为r．在Rt△OCP中，OC2+CP2=OP2，∵BP=1，CP=．222解得r=2．∴⊙O的半径为2．②∵∠OCP=∠ODC=90°，∠COD=∠POC，∴△COP∽△DOC，∴=，即=，∴CD=，如图2，作点O点关于AC的对称点E，连接AE，EC，此时OM+DM=ED，∵AC垂直平分OE，∴AE=AO，∴∠OAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA，∴AE∥OC，∵OA=AE=OC=2，∴四边形AOCE是菱形，∴EC=2，∠ECD=90°，在RT△ECD中，EC=2，CD=，∴ED==．∵OM+DM的最小值为．故答案为．（1）连接OC，根据已知证得∠POC=∠PCD，由∠POC+∠OCD=90°．证得∠PCD+∠OCD=90°，即∠OCP=90°，即可证得CP为⊙O的切线；（2）①设⊙O的半径为r．在Rt△OCP中，利用勾股定理即可求得；②先证得△COP∽△DOC，根据相似三角形对应边成比例求得CD的长，作点O点关于AC的对称点E，连接ED，交AC于M，此时OM+DM=ED的最小，连接AE，EC，证得四边形AOCE是菱形，进而证得EC=2，∠ECD=90°，然后根据勾股定理即可求得ED，即OM+DM的最小值．本题考查了切线的判定定理，轴对称的性质，菱形的判定和性质，勾股定理28.【答案】x≤1或x≥2；x1＜x3＜x4＜x2【解析】解：（1）∵（x-1）（x-2）≥0，∴x≤1或x≥2；（2）根据自变量x的取值范围可知，当x≥2时也有对应的函数图象，补全后的函数图象如下图所示：（3）方程-x-b=0等价于方程=x+b，方程的两根x1、x2相当于函数y=与函数y=x+b图象的两个交点的横坐标，方程x2-3x+2=x+b的两根为x3、x4，相当于函数y=x2-3x+2=（x-1）（x-2）与函数y=x+b图象的两个交点的横坐标，又∵1＜b＜，所以，在同一平面直角从标系中，画出函数图象，如图所示：（1）根据二次根式的性质，列出不等式，解之即可；（2）由于x≤1或x≥2，所以函数图象应该是两条分支，根据对称性，补全另一分支即可；（3）将方程的根转化为两函数图象交点的横坐标，作出函数图象，一目了然．本题主要考查了函数自变量的取值范围、函数图象的画法、函数图象的交点问题，题目新颖，但难度不大．第（3）问体现了化归与转化的数学思想，将方程与函数巧妙地结合在一起，方程的根转化为函数图象交点的横坐标，利用数形结合，将看似抽像的问题变得形像化了，从而使问题解决起来变得容易．29.【答案】60；（，）或（-，-）【解析】解：（1）如图1，∵∠MOP=60°，∴∠MAP=30°．∵∠MAQ=60°，∴∠QAP=30°．∵AP是⊙O的直径，∴∠AQP=90°，∴∠APQ=60°，即α=60°．故答案为60；（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2．由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60°，∴∠AMN=∠QMP．在△AMN和△QMP中，，∴△AMN≌△QMP，∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ，∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，∴∠AFQ=∠AMQ=60°，∴α的度数为60°；（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，∴A、M、F、Q四点共圆，∴∠AFM=∠AQM=60°．∴在Rt△MHF中，tan∠HFM==．在Rt△OGF中，sin∠OFG==，∵OG=1，∴OF=．设HF=x，则MH=x，OH=-x．在Rt△OHM中，由勾股定理可得：（-x）2+（x）2=12，解得x1=x2=，∴OH=-=，MH=，∴点M的坐标为（，）或（-，-）．故答案为（，）或（-，-）．（1）如图1，根据圆周角定理可求出∠MAP、∠AQP，再根据∠MAQ可依次求出∠PAQ，∠APQ；（2）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，如图2，由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形，由此可证到△AMN≌△QMP，则有∠MAN=∠MQP．根据三角形外角的性质可得到∠MAN+∠AMQ=∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，从而可得到∠AFQ=∠AMQ=60°（即α=60°）；（3）连接MQ，交x轴于E，连接PQ，交x轴于F，连接PM，MF，OM，过点M 作MH⊥x轴于H，设PQ与⊙O相切于点G，连接OG，如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°，由此可得A、M、F、Q四点共圆，根据圆周角定理可得∠AFM=∠AQM=60°．在Rt△OGF中运用三角函数可求得OF=，在Rt△MHF中运用三角函数可得=．设HF=x，则MH=x，OH=-x．在Rt△OHM中运用勾股定理可求出x，从而可得OH，MH，就可得到点M的坐标．本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、四点共圆的判定、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，在△OMF中求出OF及∠OFM是解决第（3）小题的关键．。
2015-2016学年北京市海淀区2016届九年级上学期期中考试数学试题(WORD版含答案)(2)解
海淀区九年级第一学期期末数学练习2016.1姓名:、选择题（本题共 30分，每小题3 分）若点A （a , b ）在双曲线y = 3上，则代数式ab-4的值为（x&如图，AB 是O O 的直径，C 、D 是圆上的两点•若BC=8, COSD = 23则AB 的长为（）( )2A . y =2(x +1 )+32B . y =2(x +1 )-32C . y =2(x_1 )-3 2D . y =2(x_1 )+3已知点(X 1,y 1 )、( X 2, y 2 )、1（x 3,y 3）在双曲线y 上，当 捲：：：0 ：：： x^冷时，、y 3的大小关系是（）A . y1 ：： y ■■■ yaB y^::y y C . y3 ：： y^::y D . y^：：抛物线y 二2x 2向左平移 为 7.y 1、y 21个单位，再向下平移 3个单位，则平移后的抛物线的解析式1.在厶 ABC 中，Z C= 90° BC=3, AB= 5，贝U si nA 的值是( 如图，△ ABC 内接于O O ,若/AOB =100°,则Z ACB 的度数是 3.A . 40 °B . 50 °C. 60 °D. 802抛物线y =（x -2） 1的顶点坐标是（A . (一2, -1)B . (-2, 1)C . (2, -1)D . (2, 1)4. A .—1B . —C . -1如图，在’Q ABCD 中，E 是AB 的中点, EC 交BD 于点F ,则△ BEF 与△ DCF 的面积比为 （ 4 A .91 B.91 C .—4D .A . 8j3B .16 C .24、、5 D . 123359 .在平面直角坐标系xOy 中，A 为双曲线6y =-6上一点，点B 的坐标为（4, 0） •若△ AOBx的面积为6,则点A 的坐标为 ( )3、A . ( -4 ,-)B (4, 一上)22C . ( -2 , 3)或 (2,-3 )D .(-3 , 2)或(3, -2 )210.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y = x bx c 与x 轴只有一个交点 M ，与平行于x 轴的直线I 交于A 、 11•请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式 12.已知关于x 的方程x 2 -6x m =0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ________13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC 与厶A'B'C'顶点的横、 纵坐标都是整数.若厶ABC 与厶A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标是•14. 正比例函数y 二k j x 与反比例函数y =电的图象交于A 、B 两点，若 点A 的坐标是（1,x2）,则点B 的坐标是 _____________ .B 两点.若AB=3 , 则点M 到直线 I 的距离为（ )5 9C . 27A . -D.—244、填空题（本题共 18分，每小题3分）If第13题15.古算趣题：笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足•借问竿长多少数，谁人算出我佩服.”若设竿长为x尺，则可列方程为________________________ .16.正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上.BE(1)如图，若tan B = 2，则竺的值为；BC(2 )将厶ABC绕点D旋转得到厶A'B'C ',连接BB'、CC'.若CC =- 2,BB' 5则tanB的值为______________ .三、解答题(本题共72分，第17〜26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分)17•计算：2sin 30 3tan 60"「cos 45 .18.解方程：x2• 2x -5 =0.19.如图，D 是AC 上一点，DE // AB，/ B=Z DAE .求证：△ ABC s^ DAE .2 220•已知m是方程x x -^0的一个根，求代数式（m • 1）2• （m • 1）（m-1）的值.21.已知二次函数y = X2• bx • 8的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2,0）,求点B的坐标.22•如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成•设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米•（1）y与x之间的函数关系式为___________________ （不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积.23.如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 , D 为AC 上一点，DE 丄AB 于点E, AC=12 , BC=5 .(1 )求cos/ADE 的值；(2 )当DE =DC时，求AD的长.CE24 •如图，在平面直角坐标系mxOy中，双曲线y 与直线y = kx - 2交于点A ( 3,1 )•x(1)求直线和双曲线的解析式；(2) 直线y =kx _2与x轴交于点B,点P是双曲线y = m上一点，过点P作直线PC// x轴，交y轴于点C,x交直线y =kx _2于点D .若DC=2OB，直接写出点P的坐标为25•如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角:-=45 J =50 . AB为10米•已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度.(参考数据：sin50 取0.8, cos50 取0.6, tan50 取 1.2)26•如图，△ ABC内接于。
北京市海淀区九年级上学期期中考试数学试题(扫描版)
海淀区九年级第一学期期中练习2014.11数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．5 ； 10． 4 ；11． > ； 12． 30°或60°．（注：每个答案2分）三、解答题（本题共30分,每小题5分）13.（本小题满分5分）解：∵， …………………………………………………………………1分∴2341(1)=13>0∆=-⨯⨯-． … ……………………………………………………2分∴x == ∴12x ==． ……………………………………………………5分 14．（本小题满分5分）证明：∵∠DAB =∠EAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC+∠BAE ．∴∠DAE =∠BAC ． ………………………………………………………………1分在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△BAC ≌△DAE ． ………………………………………………………………4分∴BC =DE ． ………………………………………………………………………5分15.（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为．……………………………1分∵二次函数的图象经过点．∴．………………………………………………………………2分∴． …………………………………………………………………………4分∴二次函数的解析式为．………………………………………5分16. （本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC +∠ABC =180°． …………………………………………………………1分∵∠ABC =130°，∴∠ADC =180°∠ABC =50°． …………………………………………………2分 ∴∠AOC =2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分 ∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA ． ……………………………………………………………4分∴∠OAC =1(180)402AOC -∠=． ……………………………………………… 5分 17. （本小题满分5分）解：依题意,得. ……………………………………………………2分∴． ………………………………………………………………3分∴()()2222132213245154+=m m m m m --++=-+=-+=． …………5分18. （本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ．…………………………………………………… ……1分 由题意，得． ……………………………………………… ………2分解方程得 ，． ………………………………………………… ……3分经检验，不合题意，舍去； 符合题意． ……………… …………4分答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. （本小题满分5分）解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分 由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分 所以，P （到达当天空气质量优良）． …………………… ………5分20. （本小题满分5分）解：（1）∵，∴原方程为一元二次方程．∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯- ………………………………………………1分．∵．∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分（2）解原方程，得，. ……………………………………………3分∵此方程有两个负整数根，且为整数，∴或． …………………………………………………………………4分∵，∴．∴． ………………………………………………………………………5分21. （本小题满分5分）（1）证明:连接OC ．∵OC=OD ，∠D =30°，∴∠OCD =∠D =30°．…………………………………1分∵∠G =30°，∴∠DCG =180°∠D ∠G =120°．∴∠GCO =∠DCG -∠OCD =90°．∴OC ⊥CG ．又∵OC 是⊙O 的半径．∴CG 是⊙O 的切线．……………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴. ………………………………………………………3分∵在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，∠OC E =30°，∴，．设，则.∴.解得（舍负值）．∴． ………………………………………………………………4分∴．在△OCG 中，∵∠OCG =90°，∠G =30°，∴．∴． ……………………………………………………5分22. （本小题满分5分）答：（1）． …………………………………………………………………………………1分（2）， ………………………………………………………………………………2分或．（写出一个即可）…………………………………………3分（3）或．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. （本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令，即．解得，． …………………………………………………1分 又∵ 点A 在点B 左侧，且，∴ 点A 的坐标为． …………………………………………………2分 （2）由（1）可知点B 的坐标为．∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为． ……………………………………………………3分 ∵， ∴，． ∵， ∴．∴或． ∵， ∴． ∴抛物线的表达式为． ………………………4分（3）由（2）可知点C 的坐标为．∵直线l ：经过点C ，∴. ………………………………………5分∴直线l 的解析式为．∵2245(2)9y x x x =--=--， ∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于．令，即．解得（不合题意，舍去），．∴抛物线经过点．当直线经过点时，可求得．…………………6分由图象可知，当时新函数的最小值大于． ………………………7分24．（本小题满分7分）解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分②不改变，∠BDC 的度数为．方法一：由题意知，AB=AC=AD ．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．…………………………2分 ∴∠BDC=∠BAC =．……………………………………………………3分方法二：由题意知，AB=AC=AD ．∵AC =AD ，∠CAD =， ∴1801=9022ADC C αα-==-∠∠．…………………………………2分 ∵AB=AD ，∠BAD =，∴()18060120160222ADB B ααα-+-====-∠∠． ∴11(90)(60)3022BDC ADC ADB αα=-=---=∠∠∠．…………3分 （2）过点A 作AMCD 于点M ，连接EM ．∴．在△AEB 与△AMC 中，BAMCACDAC=∠∠，，，∴△≌△．∴，．∴60EAM EAC CAM EAC BAE BAC∠=∠+∠=∠+∠=∠=．∴△是等边三角形．∴．…………………………………………………………5分∵，，∴．又，∴．∴．…………………………………………………………6分∴点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．∴．…………………………………………………………7分25. （本小题满分8分）解：（1）（0，10）．…………………………………………………………………1分（2）连接BP、OP，作PH⊥OA于点H．∵PH⊥OA，∴152OH AH OA===．∵OQ=8，∴．在Rt中，22229PQ QH PH PH=+=+．在Rt中，2222225PO OH PH PH BP=+=+=．在Rt中，22222(25)(9)16BQ BP PQ PH PH=-=+-+=．∴．……………………………………………………………………3分（3）①．……………………………………………………………………………4分②．……………………………………………………………………………5分解：∵是等腰直角三角形，，∴半径．又∵，∴2242OP a a=+=．即．解得．∵∴．……………………………………………………………………………6分∴．如图，作轴于点，则≌．∴，===MB QH∴．…………………………………7分若点在上，由对称性可得．……………………………8分综上，当时，点坐标为或．。
海淀区2015届九年级数学上学期期中试题有答案
海淀区九年级第一学期期中练习2014.11数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9． 5 ；10． 4 ；11． >；12． 30°或60°．（注：每个答案2分）三、解答题（本题共30分,每小题5分）13.（本小题满分5分）解：∵131a ,b ,c ===-， …………………………………………………………………1分∴2341(1)=13>0∆=-⨯⨯-． … ……………………………………………………2分∴x = ∴12x =． ……………………………………………………5分 14．（本小题满分5分）证明：∵∠DAB =∠EAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC+∠BAE ．∴∠DAE =∠BAC ． ………………………………………………………………1分在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△BAC ≌△DAE ． ………………………………………………………………4分∴BC =DE ． ………………………………………………………………………5分15.（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为()225y a x =-+ (0)a ≠．……………………………1分∵二次函数的图象经过点(0,1)．∴()21025a =-+．………………………………………………………………2分 ∴1a =-． …………………………………………………………………………4分 ∴二次函数的解析式为241y x x =-++．………………………………………5分16. （本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC +∠ABC =180°． …………………………………………………………1分 ∵∠ABC =130°，∴∠ADC =180°-∠ABC =50°． …………………………………………………2分∴∠AOC =2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分 ∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA ． ……………………………………………………………4分∴∠OAC =1(180)402AOC -∠=． ……………………………………………… 5分 17. （本小题满分5分）解：依题意,得 21420m m -+=. ……………………………………………………2分∴2241m m -=-． ………………………………………………………………3分 ∴()()2222132213245154+=m m m m m --++=-+=-+=． …………5分18. （本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ．…………………………………………………… ……1分 由题意，得()24501288x -=． ……………………………………………… ………2分 解方程得 115x =，295x =． ………………………………………………… ……3分 经检验，915x =>不合题意，舍去；15x = 符合题意． ……………… …………4分 答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. （本小题满分5分）解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分 由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分所以，P （到达当天空气质量优良）93155==． …………………… ………5分20. （本小题满分5分）解：（1）∵0a ≠，∴原方程为一元二次方程． ∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯- ………………………………………………1分 ()23a =+．∵()230≥a +．∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分（2）解原方程，得 11x =-，23x a=. ……………………………………………3分 ∵此方程有两个负整数根，且a 为整数，∴1a =-或3-． …………………………………………………………………4分 ∵12x x ≠，∴3a ≠-．∴1a =-． ………………………………………………………………………5分21. （本小题满分5分）（1）证明:连接OC ．∵OC=OD ，∠D =30°，∴∠OCD =∠D = 30°．…………………………………1分∵∠G =30°，∴∠DCG =180°-∠D -∠G =120°．∴∠GCO =∠DCG -∠OCD =90°．∴OC ⊥CG ．又∵OC 是⊙O 的半径．∴CG 是⊙O 的切线．……………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴132CE CD ==. ………………………………………………………3分 ∵在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，∠OC E =30°，∴12OE OC =，222OC OE CE =+． 设OE x =，则2OC x =.∴()22223x x =+. 解得3x =（舍负值）．∴23OC =． ………………………………………………………………4分∴OF =在△OCG 中，∵∠OCG =90°，∠G =30°，∴2OG OC ==∴GF GO OF =-= ……………………………………………………5分22. （本小题满分5分）答：（1）53． …………………………………………………………………………………1分（2）12， ………………………………………………………………………………2分3,2,4--或2,3,4--．（写出一个即可）…………………………………………3分（3）11或4．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. （本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令0y =，即 2(1)0x m x m ---=．解得 11x =-，2x m =． …………………………………………………1分 又∵ 点A 在点B 左侧，且0m >，∴ 点A 的坐标为(1,0)-． …………………………………………………2分（2）由（1）可知点B 的坐标为(0)m ，．∵抛物线与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0,)m -． ……………………………………………………3分 ∵0m >，∴1AB m =+，OC m =． ∵15△ABC S =， ∴1(1)152m m +=． ∴6m =-或5m =． ∵0m >， ∴5m =．∴抛物线的表达式为245y x x =--． ………………………4分（3）由（2）可知点C 的坐标为(0,5)-．∵直线l ：y kx b =+(0)k <经过点C ，∴5b =-. ………………………………………5分 ∴直线l 的解析式为5y kx =-(0)k <． ∵2245(2)9y x x x =--=--，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为9-，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8-． 令8y =-，即2458x x --=-．解得 11x =（不合题意，舍去），23x =． ∴抛物线经过点(3,8)-．当直线5y kx =-(0)k <经过点(3,8)-时，可求得1k =-．…………………6分 由图象可知，当10k -<<时新函数的最小值大于8-． ………………………7分24．（本小题满分7分）解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分②不改变，∠BDC 的度数为30．方法一：由题意知，AB=AC=AD ．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．…………………………2分 ∴∠BDC=12∠BAC =30．……………………………………………………3分 方法二：由题意知，AB=AC=AD ． ∵AC =AD ，∠CAD =α， ∴1801=9022ADC C αα-==-∠∠．…………………………………2分 ∵AB=AD ，∠BAD =60α+，∴()18060120160222ADB B ααα-+-====-∠∠． ∴11(90)(60)3022BDC ADC ADB αα=-=---=∠∠∠．…………3分（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ．∴90AMC ∠=． 在△AEB 与△AMC 中，AEB AMC B ACD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△AEB ≌△AMC ． ………………………………………………………4分∴AE AM =，BAE CAM ∠=∠．∴60EAM EAC CAM EAC BAE BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=．∴△AEM 是等边三角形．∴EM AM AE ==． …………………………………………………………5分 ∵AC AD =，AM CD ⊥ ， ∴CM DM =． 又90DEC ∠=，∴EM CM DM ==．∴AM CM DM ==． …………………………………………………………6分 ∴点A 、C 、D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上．∴90CAD α=∠=． …………………………………………………………7分 25. （本小题满分8分）解： （1）（0，10）． …………………………………………………………………1分（2）连接BP 、OP ，作PH ⊥OA 于点H ．∵5,b =PH ⊥OA ， ∴152OH AH OA ===．∵OQ =8，∴3QH OQ OH =-=．在Rt △QHP 中，22229PQ QH PH PH =+=+．在Rt PHO △中，2222225PO OH PH PH BP =+=+=．在Rt △BQP 中，22222(25)(9)16BQ BP PQ PH PH =-=+-+=． ∴4BQ =．……………………………………………………………………3分（3）①1≥a ．……………………………………………………………………………4分……………………………………………………………………………5分 解：∵△BQP是等腰直角三角形，PQ =∴半径BP = 又∵2(,)P a a ，∴2242OP a a =+=．即42200a a +-=．解得2a =±．∵0a >，∴2a =． ……………………………………………………………………………6分 ∴(2,4)P ．如图，作BM y ⊥轴于点M ，则△QBM ≌△PQH ． ∴2MQ PH ==，MB QH ===∴1B +． …………………………………7分若点Q 在OH上，由对称性可得2B ． ……………………………8分综上，当PQ =B点坐标为+或2．。
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三、解答题（共 6 道小题，第 13 题 4 分，第 14～18 题各 5 分，共 29 分） 13．解方程： x 2 3x 1 0 ．
14．如图 DAB EAC ， AB AD ， AC AE ． 求证： BC DE ．
15．已知二次函数的图象经过点 (0 , 1) ，且顶点坐标为 (2 , 5) ，求次二次函数的解析式．
2 11．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y x 的图象经过点 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) 两点，若 4 x1 2 ，
0 x2 2 ，则 y1 __________ y2 （用“ ” ， “ ”或“ ”号连接） ．
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12．如图，正方形 ABCD 中，点 G 为对角线 AC 上一点， AG AB ， CAE 15 ， AE AC ，连接 GE ， 将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转得到线段 AF ，使 DF GE ，则 CAF 的度数为__________．
4．用配方的方法解方程 x 2 2 x 3 0 时，配方后得到的方程为（
2 A． ( x 1) 4 2 B． ( x 1) 4 2 C． ( x 1) 4
） ．
2 D． ( x 1) 4
5．如图，⊙ O 为正五边形 ABCDE 的外接圆，⊙ O 的半径为 2 ，则 » AB 的长为（ A． B． C． D．
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五、解答题（共 3 道小题，第 23 题 7 分，第 24、25 题各 8 分，共 23 分）
2 23．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x (m 1) x m(m 0) 与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左
侧）与 y 轴交于点 C ． （ 1 ）求点 A 的坐标． （ 2 ）当 S△ ABC 15 时，求该抛物线的表达式； （ 3 ）在（ 2 ）的条件下，经过点 C 的直线 l : y kx b (k 0) 与抛物线的另一个交点为 D ，该抛物线在 直线 l 上方的部分与线段 CD 组成一个新函数的图像，请结合图象回答：若新函数的最小值大于
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四、解答题（共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 19．下图是某市某月 1 日至 15 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于 100 表示空气质量优良，空气 质量指数大于 200 表示空气重度污染．
（ 1 ）由图可知，该月 1 日至 15 日中空气重度污染的有__________天； （ 2 ）小丁随机选择该月 1 日至 15 日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．
x 2 4 x m 0 的两个实数根是（
A． x1 1 ， x2 1 C． x1 1 ， x2 0
） ． B． x1 1 ， x2 2 D． x1 1 ， x2 3
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8．已知：如图， C 是半圆 O 的直径 AB 上的一个动点（不与 A 、 B 重合） ，过 C 作 AB 的垂线交半圆于点 D 以点 D ， C ， O 为顶点作矩形 DCOE ，若 AB 10 ，设 AC x ，矩形 DCOE 的面积为 y ，则下列图象中 能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） ．
25．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P (a , b) 在第一象限，以 P 为圆心的圆经过原点，与 y 轴的另一个 交点为 A ．点 Q 是线段 OA 上的点（不与 O ， A 重合）过点 Q 作 PQ 的垂线交⊙ P 于点 B (m , n) ，其中
m≥0 ．
（ 1 ）若 b 5 ，则点 A 坐标是__________； （ 2 ）在（ 1 ）的条件下，若 OQ 8 ，求线段 BQ 的长；
2
C． y ( x 1)
2
3．袋子中装有 4 个黑球， 2 个白球，这些球的形状，大小，质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，再 看不到球的情况下，随机从袋子中摸出 1 个球．下面说法正确的是（ A．这个球一定是黑球 B．这个球一定是白球 C． “摸出黑球”的可能性大 D． “摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大 ） ．
2 （ 3 ）若点 P 在函数 y x ( x 0) 的图象上，且 △BQP 是等腰三角形，
①直接写出实数 a 的取值范围：____________________． ②在
1 6 ， ， 10 这三个数中，线段 PQ 的长度可以为__________，并求出此时点 B 的坐标． 2 4
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1 ；数列 3 ， 1 ， 2 的价值为 1 …．经过研究，小丁发现，对于“ 2 ， 1 ， 2 1 ． 2
3 ”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为
根据以上材料，回答下列问题： （ 1 ）数列 4 ， 3 ， 2 的价值为__________； （ 2 ）将 4 ， 3 ， 2 这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 __________，取得价值最小值的数列为__________（写出一个即可） ． （ 3 ）将 2 ， 9 ， a （ a 1 ）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的价值 的最小值为 1 ，则 a 的值为__________．
D G 30 ．
（ 1 ）求证： CG 是⊙ O 的切线； （ 2 ）若 CD 6 ，求 GF 的长．
22．阅读下面材料： 小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数： x1 ， x2 ， x3 ，称为数列 x1 ， x2 ， x3 ， 计算 x1 ，
x1 x2 2
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．如图， PA ， PB 分别与⊙ O 相切于点 A ， B ，连接 AB ， APB 60 ， AB 5 ，则 PA 的长是 __________．
10．若关于 x 为一元二次方程 x 2 4 x k 0 有两个不相等的实数根，则 k 的值为__________．
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16．如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， ABC 130 ，求 OAC 的度数．
2 17．若 x 1 是关于 x 一元二次方程 x 2 4mx 2m 2 0 的根，求代数式 2(m 1) 3 的值．
18．列方程解应用题： 某工厂废气排放量为 450 万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到 288 万 立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．
，
x1 x2 x3 3 2
，将这三个数的最小值称为数列 x1 ， x2 ， 2 ，
2 (1)
2 (1) 3 4 1 1 ，所以数列 2 ， 1 ， 3 的价值为 ． ， 2 2 3 3
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相对应的价值． 如：数列 1 ， 2 ， 3 的价值为
8 ，求 k 的取值范围．
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24．将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60 得到线段 AC ，继续旋转 (0 120) 得到线段 AD ，连接 CD ． （ 1 ）连接 BD ， ①如图 1 ，若 80 ，则 BDC 的度数为__________； ②在第二次旋转过程中，请探究 BDC 的大小是否改变，若不变，求出 BDC 的度数；若改变， 请说明理由； （ 2 ）如图 2 ，以 AB 为斜边作直角三角形 ABE ，使得 B ACD ，连接 CE ， BE ，若 CED 90 ， 求 的值．
） ．
π 5 2π 5 3π 5 4π 5
6．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦， ABD 59 ，则 C 等于（ A． 29 B． 31
） ．
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C． 59 D． 62
2 7．已知二次函数 y x 4 x m （ m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为 (1 , 0) ，则关于 x 的一元二次方程
2 20．已知关于 x 的方程 ax (a 3) x 3 0 (a 0) ．
（ 1 ）求证：方程总有两个实数根； （ 2 ）若方程有两个不相等的负整数根，求整数 a 的值．
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21．已知，如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是弦， CD AB 于点 E ，点 G 在直径 DF 的延长线上，
2014 北京海淀初三上期末数学试卷
一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 1．下列图形是中心对称图形的是（ ） ．
A．
B．
C．
D．
2．将抛物线 y x 向上平移 1 个单位，得到抛物线的解析式为（
2 2 A． y x 1 2 B． y x 1
） ． D． y ( x 1)