2019-2020海淀区初三期中考试试卷及答案

初三第一学期期中学业水平调研数学2019．11一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图案中，是中心对称图形的是AB C D2.抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标为A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(2,1)3.体育课上，小悦在点O 处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M ，N ，P ，Q 四个点处，则表示他最好成绩的点是A ．M B ．N C ．P D ．Q4．将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为A ．223y x =+B ．223y x =-C ．()223y x =+D ．()223y x =-5．已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1m ，若水面高0.2m.则排水管道截面的水面宽度为A.0.6mB.0.8mC.1.2mD.1.6m6．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，25ADB ∠=︒.则AOC ∠的度数为A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒7.下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；图2所示是一个正三角形内接于圆；图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.图1图2图3图4这四个图案中，阴影部分的面积不小于．．．该图案外圈大圆面积一半的是A.图1和图3B.图2和图3C.图2和图4D.图1和图48．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++与x 轴交于A ,B 两点.若顶点C 到x轴的距离为8，则线段AB 的长度为A ．2B ．C，每小题2分点(3,2)P -绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为．10．写出一个对称轴是y 轴的抛物线的解析式：．若50P ∠=︒，则BAC ∠=°.12.若二次函数2(1)3y x =-+的图象上有两点(0,),(5,)A a B b ,则a b .（填“>”，“=”或“<”）13.如图,边长为2的正方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转90°，则点A 运动的路径长为_______.14.在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =10.若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长为________.15.如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B (1,0),C (1,1),D (0,1).若抛物线2()y x h =-与正方形OBCD 的边共有3个公共点，则h 的取值范围是___________.16.如图，在ABC △中，（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ；（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ；（4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P .根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，① 2BC NC =；②2AB AM =；③点O 是ABC △的外心；④点P 是ABC △的内心.所有正确结论的序号是.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为1x =，(2,3)M -是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．18.如图，等腰三角形ABC 中，BA =BC ，∠ABC =α.作AD ⊥BC 于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角α后得到线段BE ，连接CE .求证：BE ⊥CE .9．请完成下面题目的证明．如图，已知AB 与⊙O 相切于点A ，点C ，D 在⊙O 上．求证：∠CAB =∠D ．证明：连接AO 并延长，交⊙O 于点E ．∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠EAB =90°．∴∠EAC +∠CAB =90°．∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ECA =90°（）.（填推理的依据）∴∠E +∠EAC =90°．∴∠E =．∵ AC AC =,∴∠E =∠D （）.（填推理的依据）∴∠CAB =∠D ．20.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心.100m AB =,C 是 AB 上一点，OC AB ⊥，垂足为D ，=10m CD ，求这段弯路的半径．21.已知二次函数21y x mx m =-+-的图象与x 轴只有一个公共点.求该二次函数当03x ≤≤时，y 的最大值为，最小值为.22.如图，已知等边三角形ABC ，O 为△ABC 内一点，连接OA ，OB ，OC ，将△BAO 绕点B 旋转至△BCM .（1）依题意补全图形；（2）若OA= ，OB= ，OC=1，求∠OCM的度数.23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED=EA.（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若23ED=，∠A=30°，求⊙O的半径.24.悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁.其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道.图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引.他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD,两个索塔均与桥面垂直.主桥AC的长为600m，引桥CE的长为124m.缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.图225.探究函数2y x x=-的图象与性质．图1小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是x 与y 的几组对应值．请直接写出：m =，n =；（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2<x 3.请直接写出x 1+x 2+x 3的取值范围.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c=++与直线1y x =+交于A ,B 两点，其中点A 在x 轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2）①若点B 在第一象限，且AB =，求抛物线的解析式；②若AB ≥b 的取值范围.27．如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，4560ACB ︒<∠<︒，将点C 关于直线AB 对称得到点D ，作射线BD与CA的延长线交于点E，在CB的延长线上取点F，使得BF=DE，连接AF.（1）依题意补全图形；（2）求证：AF=AE；（3）作BA的延长线与FD的延长线交于点P，写出一个∠ACB的值，使得AP=AF成立，并证明.备用图28.在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段为(4,0)，在点P1(0,1)-，P2(5,1)，P3(2,2)中，线段OM的直角点是；（2）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1,4)，(1,6)=-+．y x-，直线l的解析式为7①如图2，C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；②如图3，P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点.若⊙O的半径为r，且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围．初三第一学期期中学业水平调研数学答案及评分参考一、选择题题号12345678答案DBCBCCAD二、填空题9．(3,2)-10．2y x =11．2512．<1314.15．01h <<16.①③④注：（1）第10题答案不唯一，符合题意的均给满分；（2）第16题答案不全且不含②的给1分.三、解答题17．解：因为2y x bx c =++的对称轴为1x =，所以12b-=．………………………………………………………………………1分得2b =-．………………………………………………………………………2分又因为()23M -，是抛物线上一点，所以()23222c -=+-⨯+．得3c =-．………………………………………………………………………4分所以抛物线的解析式为223y x x =--．…………………………………………………5分18．证明：∵线段BD 绕点B 顺时针旋转角α得到线段BE ，∴,.BD BE DBE α=∠=……………………………………………………………………………1分∵,ABC α∠=∴.ABC DBE ∠=∠……………………………………………………………………………2分∵,AD BC ⊥∴90.ADB ∠=︒在△ABD 与△CBE 中，,,,AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………………………………………3分∴△ABD ≌△CBE .……………………………………………………………………………4分∴90.ADB CEB ∠=∠=︒∴.BE CE ⊥…………………………………………………………………………………5分19．解：直径所对的圆周角是90︒.………………………………………………………………………2分CAB ∠.………………………………………………………………………3分同弧所对的圆周角相等.………………………………………………………………………5分20．解：设这段弯路的半径为r m,……………………………………………………………1分因为OC ⊥AB 于D ,AB =100（m ）,所以BD =DA =AB =50（m ）.…………………………………………………………………2分所以CD =10（m ）,得10OD r =-（m ）.因为Rt △BOD 中，根据勾股定理有222BO BD DO =+.………………………………………………………………………3分即22250(10)r r =+-.………………………………………………………………………4分解得r =130（m ）.因此这段弯路的半径为130m.…………………………………………………………………5分21.解：（1）由题意二次函数图象与x 轴只有一个公共点.可令210x mx m -+-=,则有0∆=.………………………………………………………………………1分即24(1)0m m --=.得2m =.………………………………………………………………………2分所以该二次函数的解析式为221y x x =-+.……………………………………………3分（2）y 的最大值为4，最小值为0.……………………………………………………………5分22．解：（1）依题意补全图形，如图所示：…………………………………………………………………………………………………2分（2）连接OM ，∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABC =60°.∵△BAO 旋转得到△BCM ，OA OB ,∴MC =OA MB=OB ∠OBM =∠ABC =60°.………………………………………3分∴△OBM 为等边三角形.∴OM=OB …………………………………………………………………4分在△OMC 中，OC=1，.∵2221+=,∴OC 2+MC 2=OM 2.∴∠OCM =90°.…………………………………………………………………………………………………5分23．（1）证明：连接OD .∵ED =EA,∴∠A =∠ADE .…………………………………………………………………………………1分∵OB=OD,∴∠OBD =∠BDO .∵∠ACB =90°,∴∠A +∠ABC =90°.∴∠ADE +∠BDO =90°.…………………………………………………………………2分∴∠ODE=90°.∴DE 是⊙O 的切线.………………………………………………………………………3分（2）解：∵∠ACB =90°,BC 为直径,∴AC 是⊙O 的切线.∵DE 是⊙O 的切线,∴ED=EC .………………………………………………………………………4分∵ED=,∴ED=EC=EA=.∴AC =.………………………………………………………………………5分∵Rt △ABC 中∠A =30°,∴BC=4.∴⊙O 的半径为2.………………………………………………………………………6分24.解：如图所示建立平面直角坐标系.依题意可知3,13,100,600,124,,,MN PQ MP AC CE AB DC BA AC DC AC ======⊥⊥,,MN AC PQ AC ⊥⊥.由抛物线的对称性可知，13002MC AC ==.则可得点坐标：(0,0),(0,3),(100,13)M N Q .…………………………………………………………………………………1分设抛物线的表达式为23y ax =+.…………………………………………………2分因为抛物线经过点Q ，所以将点Q 的坐标带入得2131003a =+.解得11000a =.…………………………………………………………………3分得抛物线的表达式为2131000y x =+.…………………………………………………4分当300x =时，得213003931000y =⨯+=.……………………………………………5分因为DC AC ⊥,所以90DCE ∠=︒.所以531155DE ====⨯=.答：索塔顶端D 与锚点E 的距离为155米.……………………………………………6分25．解：（1）m =1，n =0；……………………………………………………………………………2分（2）如图：…………………………………………………………………………………………………4分（3）12343x x x <++<+……………………………………………………………6分26．解：（1）由题意直线y =x +1与x 轴交于点A 可得点A 坐标为(-1,0)……………………………………………………………1分又因抛物线y =x 2+bx +c 经过点A所以将点A 坐标(-1,0)代入抛物线解析式可得1-b +c =0，即c =b -1.……………………………………………………………2分（2）①设y =x +1与y 轴交于点C ，可得A (-1,0)，C (0,1).可知OA =OC =1.又因∠AOC =90º,所以∠OAC =45º.如图，已知AB ，过B 作BD ⊥x 轴于点D ,易知∠ADB =90º.又因∠BAD =45º，AB ，所以AD =BD =3.所以点B 的坐标为(2,3).……………………………………………………………3分将点B 的坐标(2,3)代入抛物线y =x 2+bx +c 的解析式可得2b +c =-1.并与（1）中得到的c =b -1联立方程组可得：21,1.b c c b +=-⎧⎨=-⎩解得0,1.b c =⎧⎨=-⎩得抛物线的解析式为21y x =-.……………………………………………………………4分②0b ≤或6b ≥.………………………………………………………………………6分27．（1）如图所示……………………………………………………………………………1分（2）证明：∵点C 与点D 关于直线AB 对称，∴DB =BC ，∠ABD =∠ABC .………………………………………………………2分∴DE +BD =BF +BC .∴BE =CF .∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C .∴∠ABD =∠C .∴△ABE ≌△ACF （SAS ）.∴AE =AF .…………………………………………………………………4分（3）∠ACB =54°.…………………………………………………………………5分证明：如图，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =54°.∴∠BAC =180°-∠ABC -∠C =72°.∵点C 与点D 关于直线AB 对称，∴∠DAB =∠BAC =72°，∠ADB =∠C =54°，AD =AB =AC .∴∠DAE =180°-∠DAB -∠BAC =36°，∴∠E =∠ADB -∠DAE =18°.∵由（2）得，△ABF ≌△ADE （或者△ACF ≌△ABE ），∴∠AFB =∠E =18°.∴∠BAF =∠ABC -∠AFB =36°=12∠BAD .∵AB =AD ，∴AF 垂直平分BD .∴FB =FD .∴∠AFD =∠AFB =18°，∴∠P =∠BAF -∠AFD =18°=∠AFD ，∵由（2）得AE =AF ，∴AP =AE .…………………………………………………………………7分28．解：（1）是线段OM 的直角点为P 1,P 3；………………………………………………………2分（2）①当∠BAC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）.∵点A 的坐标为(1,4)，点C 在直线7y x =-+上,∴b=4，7b a =-+，解得a=3.∴点C 的坐标为(3,4).………………………………………………………3分当∠ABC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）.∵点B 的坐标为(1,6)-，点C 在直线7y x =-+上,∴b=6-，7b a =-+，解得a=13.∴点C 的坐标为(13,6)-.………………………………………………………4分当∠ACB =90°时如图，设点C 的坐标为（a ,b ）.取AB 的中点M ，作CM ⊥AB 于点H ，连接CM .∵点C 在直线7y x =-+上，∴得7b a =-+.（*）∵点A ，B 的坐标分别为(1,4)，(1,6)-,∴点M 的坐标为(1,1)-，CM =5，1,1CH a HM b =-=+.∴由勾股定理得方程222(1)(1)5a b -++=.（**）由（*），（**）得43a b =⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=⎩，故C 的坐标为(4,3)或(5,2).综上，点C 的坐标为(3,4)或(13,6)-或(4,3)或(5,2).……………………………5分②直接写出r 的取值范围是：222r <<.………………………………………7分注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.。