【名师一号】2015年高中物理 第十一章 机械振动 第四节 单摆课件 新人教版选修3-4

巩固练习3
如图所示，摆长为l的单摆安置在倾角为α的
光滑斜面上，设重力加速度为g，这个单摆的振动周期T等于 多少？
解析 此单摆的回复力为mgsinα，沿切线上的重力，故 等效重力加速度g′＝gsinα，由T＝2π l . gsinα
答案 2π l gsinα
l g′
，得T＝2π
四、用“单摆测重力加速度”实验的相关问题 【例4】 (1)物理课外小组研究“用单摆测重力加速度”
三、用单摆测定重力加速度 1．仪器和器材：摆球1个(穿有中心孔)、秒表、物理支 架、米尺或 钢卷尺、游标卡尺、细线等．
2．实验步骤 (1)做单摆：把摆球用细线悬挂在物理支架上，摆长最好 能有1 m左右，这样可使测量结果准确些．
(2)测摆长：测量方法同实验“探究单摆周期与摆长的关 系”． (3)测周期：测量方法同实验“探究单摆周期与摆长的关 系”． (4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次， 测出相应的摆长l和周期T. 3．数据处理 (1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式 中求出g值，最后求出g的平均值．
【例3】
如图所示，AB为半径R＝1
m的一段竖直面内
的光滑圆槽，AB两点在同一水平面上，且AB的弧长为5 cm， 将小球乙由圆弧最低点O′上方某处释放，小球甲同时由A释 放，若两小球在圆弧最低点O′相碰，小球乙下落时距O′的 高度h满足什么条件？
【解析】 2h g
小球乙做自由落体运动到O′时的时间t＝
2 2 ×1.02 T2 l 0 有l0＝ 2 ＝ m≈0.993 m. T 2.0272
其摆长要缩短Δl＝l－l0≈0.027 m.
【答案】 (1)9.79 m/s2
(2)摆长要缩短，缩短0.027 m
巩固练习2
一个单摆的摆长为l
，在其悬点O的正下方
0.19l处有钉子P(如图)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角 α<10° ，放手使其摆动，求出单摆的振动周期．(当地重力加速 度为g)
T2/s2 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84
以摆长(l)为横坐标、周期(T)的平方为纵坐标，作出了T2 －l图象，请你替他在虚线框中作出T2－l图象，利用此图象求 出的重力加速度为____________．
【解析】
本题考查了重力加速度的计算式，以及用图象
法处理实验数据的能力． (1)本实验是利用单摆的周期T＝2π l 4π2l g 得g＝ T2 .即只要
x 2．单摆做简谐运动的推证：在偏角很小时，sinθ≈ l ，又 mg 回复力F＝mgsinθ，所以单摆的回复力为F＝－ l x(式中x表示 摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复 力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆 做简谐运动． 二、对单摆的周期公式的理解及简单应用
由于小球甲在光滑弧槽上受力情况与单摆情况完全相同， 其等效摆l为R＝1 m，远大于弧长 AB ＝5 cm，所以小球甲沿 圆槽做简谐运动，由释放到O′的时间t′＝ 2n＋1 ·2π 4 R g 其中(n＝0,1,2,3，„) T 4 (2n＋1)＝
两球相碰在O′点有t＝t′ 2h 2n＋1 2π g＝ 4 · R g
其周期T＝2π
4π2l 由此可得g＝ 2 . T t 60.8 T＝n＝ s＝2.027 s 30
2 4π2l 4×3.14 ×1.02 g＝ 2 ＝ m/s2＝9.79 m/s2. 2 T 2.027
(2)秒摆的周期T0为2 s，设其摆长为l0，由于同一地点重力 T l 加速度是不变的，由周期公式得 ＝ T0 l0
实验，他们依照教材实验直接测量的物理量应为：________、 ________、__________，其公式为__________． (2)他们测出不同的摆长l所对应的周期T，在进行数据处理 时：①如果甲同学以摆长l为横坐标、周期T的平方为纵坐标
作出了T2－l图象，若他测得的图象的斜率为k，则测得的重力 加速度g＝________.若甲同学测摆长时，忘记测摆球的半径， 则他用图象法求得的重力加速度__________(选填“偏小”、 “偏大”或“准确”)．②乙同学根据公式，T＝2π l g 得 g＝
【答案】
(1)摆线长 l0
摆球直径 d
n 次全振动的时间 t d 4π2l0＋ n2 2 g＝ t2 4π2 (2)① k 准确 ②偏小 9.86 m/s2
(3)T2－l 图象见解析
解析 简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在 正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零．摆球 的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等于重力沿圆弧切 线方向的分力)提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力， 摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为 零，所以合外力不为零，(摆球到最高点时，向心力为零，回 复力最大，合外力也不为零)．
T，就可以求出当地的重力加速度.
知识图解
教材拓展提升
欲穷千里目 更上一层楼
一、对单摆的回复力及运动特征的理解
1．单摆的回复力 (1)单摆受力：如图所示，受细线拉力和重力作用． (2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力． (3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ提 供了使摆球振动的回复力．
答案 C
二、单摆周期公式的应用 【例2】 0.10 一单摆，其摆长l＝1.02 m，摆球的质量m＝
kg，已知单摆做简谐运动，单摆摆动30次用的时间t＝
60.8 s．试求： (1)当地的重力加速度． (2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多 少？
【解析】
(1)当单摆做简谐运动时， l g
设计如下所示实验表格
(2)图象法：由T＝2π
2 l 4π 2 2 得 T ＝ l ，作出 T —l图象，即 g g
2 4π 以T2为纵轴，以l为横轴．其斜率k＝ g ，由图象的斜率即可
求出重力加速度为g.
典例分析
举一反三 触类旁通
一、单摆的回复力 【例1】 关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球受到回复力的方向总是指向平衡位置 B．摆球受到的回复力是它的合力 C．摆球经过平衡位置时，所受合力为零 D．摆角很小时，摆球受合力的大小跟摆球对平衡位置的 位移大小成正比
1 2 解得h＝ π R(2n＋1)2 8 π2 ＝ (2n＋1)2 n＝0,1,2,3，„ 8
π2 h＝ (2n＋1)2 n＝0,1,2,3，„ 8
【答案】
名师点拨
尽管小球甲和圆槽构成的装置与单摆有较大差
异，但它们受力情况相同，所以可将其等效为单摆，找出等效 摆长，有些问题还要找出等效重力加速度，依据单摆周期公式 进行求解计算．
4π2l ，并计算加速度，若乙同学测摆长时，也忘记了测摆球的 T2 半径，则他测得的重力加速度________(选填“偏小”、“偏 大”或“准确”)．
(3)甲同学测量5种不同摆长下单摆的振动周期，记录结果 如下表所示： l/m T/s 0.52 1.79 1.90 2.00 2.20
(3)线长度要求：球的直径与线的长度相比可以忽略． (4)受力要求：忽略摆动过程中所受阻力作用． 实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大、体积小的 球和尽量细的弹性小的线． 二、单摆的回复力 1．回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．
2．回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与 它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即 F＝ mg － l x. 3．运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图 象遵循正弦函数规律． 三、单摆的周期 1．探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响
变，所以加速度的测量值不变．
②若根据公式T＝2π
l 4π2l g 得g＝ T2 ，并计算加速度，如果
4π2l－d/2 忘记d，测量公式写为g＝ ，显然测量值偏小． T2 (3)建立如图坐标系，并标出适当的尺度，依据数学描点 法画出T2－l图象如图所示，则图象的斜率大约为k≈4.0.依据 4π2 图象求出重力加速度为g＝ k ≈9.86 m/s2.
测出摆长l和周期T就能求出当地的重力加速度g，而l＝l0＋ d/2，T＝t/n.显然，本实验直接测量的物理量应为：摆线长l0、 摆球直径d、完成全振动的次数n以及完成n次全振动所用的时 4π2l0＋d/2n2 间t.其公式为g＝ . t2
(2)①若依据测量数据，作出T2－l图象，其斜率为k＝
2 2 2 4π l 4π 4π T2/l，而g＝ 2 ，故有g＝ k .图象函数式应为T2＝ g l，如果 T 2 4π 忘记d，那么函数式写为T2＝ g · (l－d/2)，显然图象的斜率不
第四节
单摆
课标解读
明确要求 把握方向 学业有成
1．理解单摆模型，知道单摆做简谐运动的条件． 2．知道单摆做简谐运动的回复力来源． 3．掌握单摆的周期、公式，理解影响单摆周期的因素．
教材知识梳理
感受自主学习 收获成果
一、单摆 1．组成 (1)长细线，(2)小球． 2．理想化要求 (1)细线形变要求：细线的伸缩可以忽略． (2)质量要求：线细质量与小球质量相比可以忽略．
【解析】
单摆的运动轨迹是圆弧，半径(悬线)方向的合
力在运动过程中充当向心力，不能为零．本题主要考查单摆受 力和回复力，根据回复力的定义，A选项正确，其他选项不正 确．
【答案】
A
巩固练习1
下列关于单摆的说法，正确的是(
)
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移 为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为 －A B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力 C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力 D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
解析
释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒知
B和A等高，此时摆线偏角β<α<10° ，则摆球始终做简谐运 动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单 摆的半周期的和，则 1 1 T＝ T1＋ T2＝π 2 2