高二数学选修1-1第三章导数综合练习(1)
高中数学(选修1-1)单元测试-第三章导数及其应用(一)
称点 ( x0, f ( x0)) 为函数 y f (x) 的“拐点”。现已知 f ( x) x3 3x2 2x 2 , 请解答
下列问题 :
（ 1）求函数 f (x) 的“拐点” A 的坐标 ;
（ 2）求证 f ( x) 的图象关于“拐点” A 对称 ; 并写出对于任意的三次函数都成立的有关
“拐点”的一个结论（此结论不要求证明） .
。
13. 设 P 为曲线 C： y x2 2x 3 上的点， 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围
为 0， ，则点 P 横坐标的取值范围为
- 1，-1
.
4
2
14．设函数 f ( x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数， 则曲线 y f (x) 在 x 5
处
的切线的斜率为
0
15. 已知直线 x+2y－ 4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点， O 是坐标原点， P
f (x) ， ) 上是增函数 . x1 0, x2 0 时，
y
y
y
y
y
O
xO
xO
x
O
xO
x
A
B
8、对于 R 上可导的任意函数
（C ） A、f （0）＋ f （ 2） 2f （ 1） C、f （0）＋ f （ 2） f ' (1) 0 若满足（ x－ 1） f （ x）>0，则必有
B
、f （0）＋ f （ 2） 2f （ 1）
16、[解析 ]（1） f ( x) 3x2 6x 2， f ( x) 6x 6.令 f ( x) 6x 6 0 得 x 1 ， f (1) 13 3 2 2 2 . 拐点 A(1, 2)
（ 2 ）设 P( x0 , y0) 是 y f (x) 图象上任意一点，则
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+3．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．324．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10-B ．10C ．4D 5．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim 12x f f x x→-+=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-6．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞D ．[4, 8]8．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．129．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点 10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．17．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______ 18．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________．19．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___． 20．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 三、解答题21．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 22．已知函数1()ln f x x x b x=++的图像与直线2y =相切. （1）求b 的值；（2）当1[,]x e e∈时，()f x ax ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．求下列函数的导函数（1）y = x 4－3x 2－5x ＋6 （2）21y x x=+ （3）y = x 2cos x （4）y ＝tan x 25．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 26．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解 【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11a e-=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题考查函数方程的交点问题，主要考查学生的数形结合能力，属于中档题2．D解析：D由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥= 当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由导数的几何意义0(1)(1)li )m'(1x f x f xk f →+-==，结合题设0(1)(1)lim12x f f x x →-+=，找到倍数关系，即得解. 【详解】由导数的几何意义，可知：0(1)(1)(1)(1)lim2lim 21212'()x x f x f k f f xf x x →→+--+=-=-⋅==-=故选：D 【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】 由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．8．A解析：A 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．1π- D ．1π+ 3．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅-⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10-B ．10 C ．4 D ．4 4．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ） A ．20152016 B ．20162017 C ．20172018 D ．201820195．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．320x y --=B ．350x y --=C ．20x y ++=D ．10x y ++= 7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( )A ．[2, )+∞B ．[2, 4]C ．[4, )+∞D ．[4, 8]8．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ） A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=9．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x =B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+ 10．函数()2x a f x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D ．()1- 11．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.14．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________． 15．在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2ln y x x=-在1x =处切线的斜率，且10,2a b ==，则sin B =__________．16．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________．17．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.18．已知函数()()f x xg x =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，则曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程是_________.19．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.20．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程.22．已知曲线()3:C f x x x =-. (1)求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程.23．已知函数()()f ln x x a x a R =-∈.（1）当2a =时,求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）设函数()()1a h x f x x+=+,求函数()h x 的单调区间. 24．已知函数1()ln f x a x b x =++，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x =+. （Ⅰ）求实数a 和b .（Ⅱ）求()f x 的最小值.25．设函数()b f x ax x=-，若曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为5x-4y-4=0．（Ⅰ）求f （x ）的解析式； （Ⅱ）求证：在曲线y=f （x ）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x 所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．26．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。
高二数学选修11第三章导数综合练习(1)
高二数学选修1-1第三章导数综合练习(1)一、选择题1. 已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 xf x f x 2)1()1(lim 0-+→=( ) A ．2 B ．1 C ． 21 D ．41 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且f ′(1)=2,则a 的值为A.1B.2C.－1D.03. 已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ）A ．(x-1)3+3(x-1)B ．2(x-1)2C ．2(x-1)D ．x-14. 曲线3x 2－y ＋6=0在x =－61处的切线的倾斜角是 A.4πB.－4π C.43π D.－43π 5. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是A.0B.1C.3D.66. 若函数y=x ·2x 且y ’=0，则x 的值为 （ ）A ．-2ln 1B ．2ln 1 C ．-ln 2 D ．ln 2 7．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．（49,23）D ．（49,23-） 8．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x9.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0的坐标是A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(1,4)10.一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 11.函数 的导数是 A ． B ． C ． D ．12．函数 A ．4x +3 B ．4x -1 C ．4x -5 D ．4x -313．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线A ．不存在B ．存在，有且仅有一条C ．存在，有且恰有两条D ．存在，但条数不确定14．下列命题正确的是（ ）（A ）(lgx )’=1x （B ）(lgx )’=ln10x（C ）(3x )’=3x （D ）(3x )’=3x ·ln3 15．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim 2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是 （A ）2 （B ）－1 （C ）21 （D ）－2 16．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（ ）x x y 12-=x x 12-x x 12+221x x -221x x -=-=-)(',2)1(2x f x x x f 则（A ）f ’(x 0)>0 （B ）f ’(x 0)<0 （C ）f ’(x 0)=0 （D ）f ’(x 0)不存在二、填空题17．函数y =sin x cos x 的导数为 .18曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是_____________________。
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-1练测 第3章导数及其应用 本章练测
第3章 导数及其应用（苏教版选修1-1） 建议用时实际用时 满分 实际得分 120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数()2π2)(x x f =的导数是 . 2．函数x x x f -⋅=e )(的单调递增区间是 .3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a = .4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则,,a b c 的关系式为 .5．曲线y =－2－4x +2在点（1，－3）处的切线方程是 . 6．函数y =x +2cos x 在[0,]上取得最大值时，x 的值为 .7．函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于 .8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.9．函数f (x )的定义域为开区间（a ,b ），导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极值点的个数是 .10．已知sin (ππ)1cos x y x x=∈-+，，，当2y '=时， x = .11．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 12.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式恒成立. 若，，，则a 、b 、c 的大小关系 是 .13. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，且g (－3)＝0，则不等式的解集是 . 14.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为 . 二、解答题（共90分）15．（14分）求下列函数的导数：(1)y =5－4；(2)y =3+x cos x ；(3)y =tan x ；(4)y =x ；(5)y =lg x －.16．（14分）已知c bx ax x f ++=24)( 的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-.（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间.17．（14分）已知函数cbx x ax x f -+=44ln )(在处取得极值，其中cb a ,,为常数.（1）试确定b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意x，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.18．（16分）已知函数2()ln (0).f x x ax x a =-->（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为-2，求a 的值以及切线方程；（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.19．（16分）已知函数f (x )=a ln x ++1． （1）当a =－时，求f (x )在区间上的最值；（2）讨论函数f (x )的单调性.20．（16分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1e x x ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．第3章 导数及其应用 答题纸（苏教版选修1-1）得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12． 13． 14．二、解答题15.16．17.18.19.20.第3章 导数及其应用 参考答案（苏教版选修1-1）一、填空题1．x x f 2π8)(=' 解析：∵()∴==,π4π2)(222x x x f =⋅='x x f 2π42)(x 2π8.2．解析：∵ ()e ex x x f x x -=⋅=∴，21e e ()e x xx x f x ⋅-⋅'=（）0,1x >∴<. ∴ 函数xx x f -⋅=e)(的单调递增区间是.3.41 解析：设切点为),(00y x P .因为2ax y =，所以y ′=2ax . 由题意知解得41=a ． 4．23b ac ≤ 解析：由题意知'2()320f x ax bx c =++≥恒成立，已知则，即5．5x +y －2=0 解析：∵y ′=3－4x －4，∴曲线在点（1，－3）处的切线斜率k =y ′=－5，∴切线方程为y +3=－5(x －1)，即5x +y －2=0. 6．解析：y ′=1－2sin x ，令1－2sin x =0，得sin x =.∵x ∈[0,]，∴x =.当x ∈[0,)时，y ′＞0；当x ∈[,]时，y ′≤0，∴f (). 7．1 解析：，由，得的两个解，则＝1.8．2 cm,1 cm, cm 解析：设长方体的宽为x cm ，则长为2x cm ，高为181293(3)(c m)0422x h x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭＜＜. 故长方体的体积为223393()2(3)(96(cm )(0).22V x x x x x x =-=-）＜＜ 从而).1(181818)(2x x x x x V -=-='令0)(='x V ，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，0)(>'x V ；当1＜x ＜32时，0)(<'x V ， 故在x =1处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值. 从而体积最大时长方体的长为2 cm ，宽为1 cm ，高为32cm. 9． 3 解析：根据导函数图象，导数值异号的分界点有3个，故原函数有3个极值点. 10．解析：11．122n n S +=- 解析：()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为，令x =0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以21n na n =+， 则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--. 12. 解析：设g(x)＝xf(x)，由y ＝f(x)为R 上的奇函数，可知g(x)为R 上的偶函数．而g ′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf ′(x).由已知得，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x)>0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增. 由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为＝g(－2)＝g(2)，且，故.13.(－∞，－3)∪(0，3) 解析：因为，则在x ＜0时递增.又因为分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以为奇函数，关于原点对称，所以在x ＞0时也是增函数．因为所以当时，可转化为，即；当时，可转化为，即.14.f(－a 2)f(－1) 解析：由题意可得.由＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73. 当时，为增函数；当时，为减函数；当x ＞时，为增函数.所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值. 又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤ f(－1)．二、解答题 15．解：(1)y ′=－12.(2)y ′=(3+x cos x )′=6x +cos x －x sin x .(3)y ′=()′==.(4)y ′ln x .(5)y ′=+.16．解：（1）因为c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，所以1c =. ①'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+=. ②由题意得切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-，得. ③联立①②③得所以（2）令得当x 变化时，x 0－ 0 ＋ 0 － 0 ＋由上表可知，函数的单调递增区间为17．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．又对()f x 求导得3431()4ln 4f x ax x ax bx x'=+⋅+3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（2）由（1）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值， 要使2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥． 即2230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，解得32c ≥或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，. 18. 解：(1)由题设，f '(1)＝－2a ＝－2，所以a ＝1，此时f(1)＝0，切线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0． (2)，令＝1－8a ．当a ≥18时，≤0，f '(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当0＜a ＜ 18时，＞0，方程＋1＝0有两个不相等的正根，不妨设，则当时，f '(x)＜0，当时，f '(x)＞0，这时f(x)不是单调函数．综上，a 的取值范围是[ 18，＋)． 19．解:（1）当a =－时，f (x )=－ln x ++1，∴ f ′(x )=+=．∵ f (x )的定义域为(0,+∞)，∴ 由f ′(x )=0,得x =1．∴ f (x )在区间上的最值只可能为f (1)，或f (e)，而f (1)，+，f (e)=+，∴ =f (e)=+,=f (1)=．（2）f ′(x )=，x ∈(0,+∞)．①当a +1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )<0,∴ f (x )在(0,+∞)上单调递减； ②当a ≥0时，f ′(x )>0,∴ f (x )在(0,+∞)上单调递增；③当－1<a <0时，由f ′(x )>0,得>,∴ x >或x <－（舍去）,∴ f (x )在上单调递增，在上单调递减.综上，当a ≥0时，f (x )在(0,+∞)上单调递增；当－1<a <0时，f (x )在上单调递增，在上单调递减；当a ≤－1时，f (x )在(0,+∞)上单调递减.20．解：（1）方法1：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，∴ ()2212a h x x x'=-+． ∵1x =是函数()hx 的极值点，∴ ()10h '=，即230a -=．∵ 0a >，∴ 3a =经检验当3a =1x =是函数()h x 的极值点，∴ 3a =方法2：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，，∴ ()2212a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵ △2180a =+>，∴ ()0h x '=的两个实根为1x =（舍去），2x =，当x 变化时，()hx ，()h x '的变化情况如下表：依题意，114-+=，即23a =，∵ 0a >，∴ a = （2）对任意的[]12,1e x x ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1e x x ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦． 当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴ 函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数． ∴ ()()maxe e 1g x g ==+⎡⎤⎣⎦．∵ ()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,e x ∈，0a >．①01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴ 函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴ ()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥e 1+，得a 又01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴ 函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]e a ，上是增函数．∴ ()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由2a ≥e 1+，得a ≥e 12+.又1≤a ≤e ，∴e 12+≤a ≤e ．③当e a >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴ 函数()2a f x x x =+在[]1e ，上是减函数．∴ ()()2min e e e a f x f ==+⎡⎤⎣⎦.由2e ea +≥e 1+，得a ≥，又e a >，∴ e a >．综上所述，a 的取值范围为e 1,2+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
高中数学选修1-1(人教版 练习)：第三章 导数及其应用含答案
第三章 学业质量标准检测 时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为导学号 03624941( A )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[解析] y ＝sin x ，y ′＝cos x ，∴k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，k 1>k 2.2．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为导学号 03624942( B )A ．4B ．－4C ．1D ．－1[解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4.3．函数y ＝x 2cos x 的导数为导学号 03624943( A ) A ．y ′＝2xcos x －x 2sin x B ．y ′＝2xcos x ＋x 2sin x C ．y ′＝x 2cosx －2xsin xD ．y ′＝xcosx －x 2sin x [解析] y ′＝(x 2cos x)′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x)′＝2xcos x －x 2sin x. 4．函数y ＝12x －x 3的单调递增区间为导学号 03624944( C )A．(0，＋∞) B．(－∞，－2)C．(－2,2) D．(2，＋∞)[解析] y′＝12－3x2＝3(4－x2)＝3(2＋x)(2－x)，令y′>0，得－2<x<2，故选C．5．(2016·福建宁德市高二检测)曲线f(x)＝ln xx在x＝e处的切线方程为导学号 03624945( A )A．y＝1eB．y＝eC．y＝x D．y＝x－e＋1 e[解析] f′(x)＝1－ln xx2，∴f′(e)＝1－ln ee2＝0，∴曲线在x＝e处的切线的斜率k＝0.又切点坐标为(e，1e)，∴切线方程为y＝1e.6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝导学号 03624946( D )A．2 B．3C．4 D．5[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＝5.7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是导学号 03624947( C )A．m<0 B．m<1C．m≤0 D．m≤1[解析] f ′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；当m≠0时，由题意得m<0，综上可知m≤0.8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为导学号 03624948( C )A．20 B．9C．－2 D．2[解析] 由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C．9．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是导学号 03624949( B )A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x[解析] 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，∵函数图象过原点，∴d＝0.f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，。
数学选修1-1 第三章__导数及其应用 练习
3.1 导数的定义基础训练(1)：1. 在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（ ）Ａ．0>∆x Ｂ．0<∆x Ｃ．0=∆x Ｄ．0≠∆x 2. 一质点的运动方程是，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应得平均速度为：（ ） Ａ．63+∆t Ｂ．63+∆-t Ｃ．63-∆t Ｄ．63-∆-t3．在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为（ ）A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x ∆1－2 C.Δx +2 D.2+Δx －x∆1 4.一物体位移s 和时间t 的关系是s=2t-32t ,则物体的初速度是5．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 巩固训练(1)：1．若质点M 按规律3s t =运动，则3t =秒时的瞬时速度为（ ）A ．2 B ．9 C ．27 D ．812．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3 C －2 D t 23-3．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A ()x x f ∆+0B ()x x f ∆+0C ()x x f ∆⋅0D ()()00x f x x f -∆+ 4．物体的运动方程是=s t t 1642+-，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A ．=t 1 B ．=t 2 C ．=t 3 D ． =t 45．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ） A ．3米/秒 B ．2米/秒 C ．1米/秒 D ．4米/秒6．在曲线223x y =的图象上取一点（1,23）及附近一点⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+y x 23,1，则x y ∆∆为（ ） A x x ∆++∆1323 B x x ∆--∆1323 C 323+∆x D x x ∆-+∆1323 7．物体的运动规律是)(t s s =，物体在[]t t t ∆+,时间内的平均速度是（ ）Ａ．t t s t s v ∆∆=∆∆=)( Ｂ．t t s t t s v ∆-∆+=)()(Ｃ．t t s v )(= Ｄ．当0→∆t 时，0)()(→∆-∆+=tt s t t s v8.将边长为8的正方形的边长增加∆a,则面积的增量∆S 为（ ）A ．16∆a 2 B.64 C.2a +8 D.16∆a+∆a 29．已知一物体的运动方程是=s 7562+-t t ，则其在=t ________时刻的速度为7。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-12．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ） A ．164-B ．149-C ．164D ．1493．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e4．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+5．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．(](),11,-∞-+∞6．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 7．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A B C ．D ．8．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．40x y -=D ．40x y +=9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－111．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--12．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定二、填空题13．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．14．在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2ln y x x=-在1x =处切线的斜率，且2a b ==，则sin B =__________．15．已知函数()f x 的导函数为(x)f '，若32()(1)2f x x f x '=+-，则(1)f '的值为___. 16．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．17．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于____． 18．已知函数f(x)＝e x －mx ＋1的图像是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是_________.19．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______．20．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21．定义在实数集上的函数2()f x x x =+，31()23g x x x m =-+．（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()()f x g x ≥对任意的[]4,4x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围． 22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围． 23．设函数321()(1)41()3f x ax a x x a =-+++∈R ． （Ⅰ）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．24．设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.25．已知函数()sin cos f x x x =-， （1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若()2()f x f x '=，其中()f x '是()f x 的导函数,求221sin cos sin 2xx x+-值． 26．已知函数()()ln f x x a x =-()a R ∈．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】∵函数()xxf x e ae -=-∴()x x f x e ae -'=+ ∵()'f x 是奇函数∴(0)0f '=，即10a +=. ∴1a =- 故选D.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数必要不充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式.2．C解析：C 【分析】根据题意依次计算得()717xf x x=+，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=， 所以()11x f x x =+，()212x f x x =+，()313x f x x =+，…，()717x f x x=+， 所以()()72117f x x '=+，所以()()721116417f '==+． 故()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为164. 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.3．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=，则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.5．A解析：A 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴2112x a x +=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．6．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.7．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.8．A解析：A 【分析】根据奇函数的定义先求得1a =-的值，再利用导数的几何意义求得切线方程. 【详解】因为函数()xxf x e a e -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x -=-对一切x ∈R 恒成立，所以x x x x e a e e a e --+⋅=--⋅对一切x ∈R 恒成立， 所以()()10xxe a e-++=对一切x ∈R 恒成立，所以10a +=，解得1a =-，所以()xxf x e e -=-，所以()'xxf x e e -=+.因为曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0， 所以令()0xxf x e e-=-=，解得0x =.所以曲线()y f x =的这条切线的切点的坐标为()0,0， 切线的斜率为()'0002fe e -=+=.故曲线()y f x =的这条切线方程为()020y x -=-，即20x y -=. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意涉及切线问题时，要先明确切点坐标.9．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x =-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.10．C解析：C 【分析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-. 11．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12．C解析：C 【分析】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，由图可知，当直线(0)y kx k =>与 函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点，根据导数的几何意义即可得到cos k α=-，以及sin k αα=-，得tan αα=，化简B ，即可得出答案． 【详解】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，如图所示：当直线(0)y kx k =>与函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点． 所以，cos k α=-，sin k αα=-即得tan αα=，222222sin 111tan sin cos 1cos sin 22tan 2sin cos sin 22cos B ααααααααααααα++++=====，故A B =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，以及导数几何意义的应用，意在考查学生运用数形结合思想的能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=， 所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【解析】∵∴则∵为三角形内角∴由正弦定理得：得故答案为解析：35【解析】 ∵2ln y x x =-，∴22122x y x x x='+=+ ，则1tan |3x A k y ='===，∵A 为三角形内角，tan 0A >，∴02A π<<，sin A =，2sin B =，得3sin 5B =，故答案为35.15．【解析】【分析】求函数的导函数令即可求出的值【详解】因为令则所以【点睛】本题主要考查了函数的导数及导函数求值属于中档题 解析：3-【分析】求函数的导函数，令1x =即可求出()1f '的值. 【详解】因为 2()32(1)f x x f x ''=+令1x =则(1)32(1)f f ''=+ 所以(1)3f '=- 【点睛】本题主要考查了函数的导数，及导函数求值，属于中档题.16．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析：1-【解析】 【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a， 又21cosxy sin x--='，所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.17．18【分析】计算导函数结合题意建立方程计算ab 即可【详解】计算导函数得到结合代入建立等式得到解得故【点睛】本道题考查了导函数计算方法关键抓住导函数的计算建立方程计算参数即可难度中等解析：18 【分析】计算导函数，结合题意，建立方程，计算a,b ，即可．计算导函数得到()3'42f x x ax b =+-，结合()()'013,'127f f =--=-，代入，建立等式，得到134227b a b -=-⎧⎨---=-⎩，解得135b a =⎧⎨=⎩，故18a b +=【点睛】本道题考查了导函数计算方法，关键抓住导函数的计算，建立方程，计算参数，即可，难度中等．18．【分析】先求存在与直线垂直的切线即切线斜率为根据切线的斜率求再取的子集即可【详解】若曲线上存在与直线垂直的切线则对任意的使故所求的取值范围是【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜解析：1(,]e-∞ 【分析】先求存在与直线y ex ＝垂直的切线,即切线斜率为－，根据切线的斜率求m ,再取m 的子集即可. 【详解】()e x f x m '＝－，若曲线C 上存在与直线y ex ＝垂直的切线，则对任意的x ，使e x m －＝－ 1e ，e x m ＝＋ 1e ＞ 1e ，故所求m 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜率的关系.求解中运用了正难则反的补集思想，这是本题解题的突破口.19．【分析】先求与直线平行且与相切的切线切点再根据点到直线距离公式求结果【详解】由题意的最小值为与直线平行且与相切的切线切点到直线的距离设切点为因为单调递增因此的最小值为故答案为：【点睛】本题考查导数几【分析】先求与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】由题意，PQ 的最小值为与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点到直线1y x =+的距离，设切点为00(,)x y因为()22000221ln 1ln 1ln 1ln x x f x x x y x x x x --'=∴=∴+==+单调递增，01x ∴=因此PQln1|11|-+=【点睛】本题考查导数几何意义、点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.20．【分析】根据题意可判断利用函数的导数转化求解的最大值从而求出的取值范围【详解】由题意当时函数且的图象与一次函数的图象没有交点设当时指数函数且的图象与一次函数的图象恰好有两个不同的交点则设且与相切于则 解析：1(1,)ee【分析】根据题意可判断1a >，利用函数的导数，转化求解a 的最大值，从而求出a 的取值范围. 【详解】由题意，当0x ≤时，函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点，设当0x >时，指数函数(0x y a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则1a >， 设(0xy aa =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ，则m a m =，ln x y a a '=，所以，ln 1m a a =，解得m e =，此时1e a e =.即(0x y a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）310x y --=；（2）53m ≤-． 【解析】试题分析：（1）由2()f x x x =+⇒'()21f x x =+，(1)2f =⇒'(1)3f =⇒310x y --=；（2）化简321()33h x x x m x =-+-，原命题等价于max ()0h x ≤，再利用导数工具可max 5()03h x m =+≤⇒53m ≤-． 试题（1）∵2()f x x x =+，∴'()21f x x =+，(1)2f =，∴'(1)3f =，∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=． （2）令323211()()()2333h x g x f x x x m x x x x m x =-=-+--=-+-， ∴2'()23h x x x =--，当41x -<<-时，'()0h x >；当13x时，'()0h x <；当34x <<时，'()0h x >，要使()()f x g x ≥恒成立，即max ()0h x ≤， 由上知()h x 的最大值在1x =-或4x =取得，而5(1)3h m -=+，20(4)3h m =-， ∵52033m m +>-，∴503m +≤，即53m ≤-．考点：1、导数的几何意义；2、直线方程；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 22．（1）a ＝1；（2）a ≤3 【分析】（1）出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a ；（2）运用导数判断()f x 在[0,2]，在[2,3]的单调性，求出最值，由题意得，()()12max min 2f x f x +≤得到不等式，解出即可. 【详解】（1）2()36f x x x '=-，(1)3f '∴=-，又(1)2f a =-，∴切点坐标(1,2)a -， 又∵切线经过点(0,2)， ∴由两点的斜率公式，得431a -=-， 解得1a =；（2）2()363(2)f x x x x x '=-=-，当[0,2]x ∈时，()0,()f x f x '≤单调递减； 当[2,3]x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增，1[0,2]x ∈，()1f x ∴的最大值为(0)f a =，又2[2,3]x ∈，()2f x ∴的最小值为(2)4f a =-，对任意1[0,2]x ∈，都存在2[2,3]x ∈使得()()122f x f x +≤，()()12max min 2f x f x +≤，即有42a a +-≤， 解得3a ≤． 【点睛】本题主要考查的是导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题. 23．（Ⅰ）30x y +-=；（Ⅱ）讨论见解析 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求解即可；（Ⅱ）分类讨论参数a 的范围，利用导数证明单调性即可. 【详解】解：（Ⅰ）当3a =时，32()441f x x x x =-++所以2()384f x x x '=-+．所以(1)2,(1)1f f '==-．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=． （Ⅱ）因为321()(1)413f x ax a x x =-+++， 所以2()2(1)4(2)(2)f x ax a x ax x '=-++=--．（1）当0a =时，因为()2(2)f x x '=--由()0f x '>得2x <， 由()0f x '<得2x >，所以()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减． （2）当0a ≠时，令()0f x '=，得1222,x x a==． ① 当0a <时， 由()0f x '>，得22x a<<； 由()0f x '<，得2x a<或2x >． 所以()f x 在区间2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在区间2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递减．②当01a <<时，由()0f x '>得2x <或2x a>； 由()0f x '<得22x a<<． 所以()f x 在区间(,2)-∞和2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增，在区间22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减． ③当1a =时，因为2()(2)0f x x '=- 所以()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增．④当1a >时，由()0f x '>得2x a<或2x >； 由()0f x '<得22x a<<． 所以()f x 在区间2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递增，在区间2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减． 综上可知，当0a =时，()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减； 当0a <时，()f x 在区间2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在区间2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递减；当01a <<时，()f x 在区间(,2)-∞和2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减；当1a =时，()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增； 当1a >时，()f x 在区间2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞内单调递增，在区间2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用利用导数证明含参函数的单调性，属于中档题. 24．(1) (1)y e =- (2) (),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【分析】（1）先求出函数的导函数()()()21110x e x f x x x x⋅-'=-+>，再求出切线的斜率(1)f '，再由直线的点斜式方程求解即可；（2）函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点等价于方程0x e ax -=在()0,1内存在唯一解，再构造函数()(),0,1xe g x x x =∈，求其值域，则可得a 的范围，再利用导数确定0x x =是极大值点或者极小值点.【详解】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x=-+，()()()21110x e x f x x x x ⋅-'=-+>，所求切线的斜率()01f '=，又(1)1f e =-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：(1)y e =-.（2）()()()()221111xx x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭， 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()210x x e ax f x x --'==在()0,1存在唯一变号零点，即方程0xe ax -=在()0,1内存在唯一解，即e xy x=与y a=在()0,1范围内有唯一交点，设函数()(),0,1x e g x x x =∈，则()()210x x e g x x-'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为0x ，当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0xe ax ->，则()()()210x x e ax f x x--'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0xeax -<，则()()()210x x e ax f x x--'=>，()f x 在()0,1x 为增函数，即0x x =为函数()f x 的极小值点，综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了利用导数求函数的单调区间及极值，重点考查了导数的应用，属中档题. 25．（1）12y x π-=-即12y x π=+-；（2）195-. 【分析】（1）先求导数，代入切点得到斜率，在计算切线方程.（2）根据条件先计算出tan 3x =，在利用齐次式上下同时除以2cos x 得到答案. 【详解】解：（1）12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭因为()cos sin f x x x =+' 切线斜率12k f π'⎛⎫== ⎪⎝⎭所以在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为：12y x π-=-即12y x π=+-（2）因为()cos sin f x x x =+'，()()2f x f x '= 所以()cos sin 2sin cos x x x x +=- 解得tan 3x =所以22222221sin 1sin 2sin cos cos sin2cos 2sin cos cos 2sin cos x x x x x x x x x x x x +++==--- 22tan 11912tan 5x x +==--【点睛】本题考查了切线的计算，三角恒等变化，利用齐次式上下同时除以2cos x 是解题的关键. 26．（1）切线方程为0y =（2）1a =（3）2e 0a --<< 【分析】（1）利用导数的几何意义得到切线斜率，利用点斜式可得切线方程； （2）对ln x 分类讨论，简化不等式，即可得到实数a 的值； （3）函数()f x 存在两个极值点等价于()ln 1af x x x-'=+存在两个不相等的零点．设()ln 1ag x x x=-+，研究函数的单调性与极值即可. 【详解】（1）因为()()ln f x x a x =- ()a R ∈，所以当1a =时，()()1ln f x x x =-， 则()1ln 1f x x x+'=-， 当1x =时，()()10,10f f '==， 所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =； （2）因为对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立， 所以当ln 0x =时，即1x =时，()0f x =，a R ∈； 当ln 0x >时，即1x >时，x a ≥恒成立，所以1a ≤； 当ln 0x ≤时，即1x <时，x a ≤恒成立，所以1a ≥， 综上可知，对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，1a =． （3）因为函数()f x 存在两个极值点， 所以()ln 1af x x x-'=+存在两个不相等的零点． 设()ln 1a g x x x =-+，则()221a x a g x x x x='+=+． 当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多一个零点．当0a <时，因为()0x a ∈-，时，()0g x '<，()g x 单调递减，()+x a ，∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以x a =-时，()()()min 2g x g a ln a =-=-+．因为()g x 存在两个不相等的零点，所以()20ln a -+<，解得2e 0a --<<． 因为2e 0a --<<，所以21e a a->>-． 因为211ln 10g a a a ⎛⎫⎛⎫-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()a -+∞，上存在一个零点． 因为2e 0a --<<，所以2a a <-．又因为()()2211ln 12ln 1g a a a a a=-+=-++-， 设t a =-，则2112ln 1(0)e y t t t =++<<，因为2210t y t-'=<， 所以2112ln 1(0)e y t t t =++<<单调递减，所以22212ln e 1e 30ey >++=->， 所以()221ln 10g aaa=-+>，所以在()0a ，-上存在一个零点． 综上可知：2e 0a --<<． 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．。
高二数学人教版选修1-1第三章导数测试题
数学选修1-1第三章导数及其应用测试题一、选择题1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α2．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 3．函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞ 4．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)-- 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0 7．函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 8．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-9．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；12．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；13．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_____，切线的方程为_______________； 14．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-1精练 第3章 导数及其应用 章末综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.如果质点按规律s (t )＝t 2－t (距离单位：m ，时间单位：s )运动，则质点在3 s 时的瞬时速度为________．解析：质点在3 s 时的瞬时速度即s ′(3)＝5 m/s. 答案：5 m/s2.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________．解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1；∴由f ′(x 0)＝2得ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e . 答案：e3.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不单调，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝2x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0得x ＝12.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1k －1≥0解得1≤k <32.答案：1≤k <324.函数f (x )＝(x －1)2(x －2)2的极大值是________． 解析：∵f (x )＝(x －1)2(x －2)2， ∴f ′(x )＝2(x －1)(2x －3)(x －2)；令f ′(x )＝0，得可能的极值点x 1＝1，x 2＝32，x 3＝2.列表如下：x (－∞，1)1 ⎝⎛⎭⎫1，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，2 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) ↘极小值↗极大值↘极小值↗∴f ⎝⎛⎭⎫32＝116是函数的极大值． 答案：1165.若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝________． 解析：依题意，设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2x 0kx 0－3＝2ln x 0，由此得2－3＝2ln x 0，∴x 0＝e －12.∴k ＝2x 0＝2e －12＝2e .答案：2e6.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，得函数f (x )有两个极值点，令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，得x 1＝1，x 2＝－1，所以函数f (x )的极小值为f (1)＝a －2，极大值为f (－1)＝a ＋2，结合图象，应该有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0a －2<0，∴－2<a <2.答案：(－2，2)7.已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝1x ·x －（ln a ＋ln x ）x 2＝1－（ln a ＋ln x ）x 2， 又∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立，故ln a 应大于等于φ(x )＝1－ln x 的最大值， ∵φ(x )max ＝1，故ln a ≥1， ∴a ≥e .答案：[e ，＋∞)8.函数f (x )的定义域R ，f (－1)＝2，对于任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________． 解析：设h (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则h ′(x )＝f ′(x )－2>0， 故h (x )在R 上为增函数，又∵h (－1)＝f (－1)－2＝0， ∴当x >－1时，h (x )>0，即f (x )>2x ＋4. 答案：(－1，＋∞)9.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，由已知，f ′(x )＝0应该有2个不等的实数根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3. 答案：a >6或a <－310.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为________． 解析：∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2.又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1. 答案：0<a <111.设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－2，2]时，f (x )－m <0恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝3x 2－x －2，由f ′(x )>0得3x 2－x －2>0，即x <－23或x >1；由f ′(x )<0得3x 2－x －2<0即－23<x <1，所以函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；函数的单调减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1； ∵f (x )<m 恒成立，∴m 大于f (x )的最大值；∵当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－23时，f (x )为增函数， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727； 当x ∈⎣⎡⎦⎤－23，1时，f (x )为减函数， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727； 当x ∈[1，2]时，f (x )为增函数，所以f (x )max ＝f (2)＝7；因为7>15727，∴f (x )在x ∈[－2，2]上的最大值为7；从而m >7.答案：m >712.方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是________．解析：设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，则f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，故函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数；而f (1)＝－6，f (3)＝－10；故函数f (x )的图象与x 轴有且只有1个交点，即方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是1个． 答案：113.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170P －P 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)． 解析：由题意知毛利润L (P )＝P ·Q －20Q ＝Q (P －20)＝(8300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150P 2＋11700P －166000， ∴L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11700.令L ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍)．因为在P ＝30附近的左侧L ′(P )>0，右侧L ′(P )<0，∴L (30)是极大值．根据实际意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润23000元． 答案：3014.一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元；火车行驶的其它费用为每小时200元，则火车行驶的速度为________(千米/小时)时，火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a 千米，且火车最高速度为每小时100千米)．解析：设火车速度为x 千米/小时，每小时消耗的煤的费用为p 元，依题意有p ＝kx 3(k 为比例系数)，由x ＝20时，p ＝40，解得k ＝1200，故总费用y ＝⎝⎛⎭⎫1200x 3＋200·a x ＝a ⎝⎛⎭⎫x 2200＋200x (0<x ≤100)，由于y ′＝a ⎝⎛⎭⎫x 100－200x 2，令y ′＝0，解得x ＝10320， 又当0<x <10320时，y ′<0；当10320<x ≤100时，y ′>0，∴当x ＝10320时，y 取最小值，即要使费用最省，火车速度应为10320千米/小时． 答案：10320二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)用导数定义求： (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数；(2)函数y ＝x 2＋ax ＋b (a 、b 为常数)的导数． 解：(1)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1，故Δx →0时，11＋Δx ＋1→12，∴当x ＝1时，y ′＝12.(2)Δy ＝[(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b ]－(x 2＋ax ＋b )＝2x ·Δx ＋(Δx )2＋a ·Δx ＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2， Δy Δx ＝（2x ＋a ）·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝(2x ＋a )＋Δx ， 故Δx →0时，ΔyΔx＝(2x ＋a ＋Δx )→2x ＋a ，∴y ′＝2x ＋a . 16.(本小题满分14分)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且与y ＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，(1)求a ，b ，c 的值； (2)求函数的递减区间．解：(1)函数的图象经过(0，0)点，∴c ＝0，又图象与x 轴相切于(0，0)点，y ′＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴0＝3×02＋2a ×0＋b ，得b ＝0， ∴y ＝x 3＋ax 2，y ′＝3x 2＋2ax ；令y ′＝0得：x ＝0或x ＝－23a ，结合f (x )图象知：－23a >0， 当0<x <－23a 时，y ′<0，当x >－23a 时，y ′>0；∴当x ＝－23a 时，函数有极小值－4；∴⎝⎛⎭⎫－23a 3＋a ⎝⎛⎭⎫－2a32＝－4，得a ＝－3. ∴a ＝－3，b ＝0，c ＝0.(2)由f ′(x )＝3x 2－6x <0，解得0<x <2； ∴递减区间是(0，2)． 17.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋4x 的极小值为－8，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(－2，0)，如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数y ＝f (x )－k 在区间[－3，2]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋4，且y ＝f ′(x )的图象过点(－2，0)，所以－2为3ax 2＋2bx ＋4＝0的根，代入得：3a －b ＋1＝0，①由图象可知，f (x )在x ＝－2时取得极小值， 即f (－2)＝－8，得b ＝2a .②由①②解得a ＝－1，b ＝－2，∴f (x )＝－x 3－2x 2＋4x .(2)由题意，方程f (x )＝k 在区间[－3，2]上有两个不等实根， 即方程－x 3－2x 2＋4x ＝k 在区间[－3，2]上有两个不等实根．f ′(x )＝－3x 2－4x ＋4，令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝23，可列表：x －3 (－3， －2) －2 (－2， 23) 23 ⎝⎛⎭⎫23，2 2 f ′(x ) －0 ＋ 0 － f (x ) －3↘极小值－8↗极大值4027↘－8由表可知，当k ＝－8或－3<k <4027时，方程－x 3－2x 2＋4x ＝k 在区间[－3，2]上有两个不等实根，即函数y ＝f (x )－k 在区间[－3，2]上有两个不同的零点．18.(本小题满分16分)烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A ，B 两座烟囱相距20 km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C ，使该点的烟尘浓度最低．解：不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8， 设AC ＝x (0<x <20)，则BC ＝20－x .依题意得点C 处的烟尘浓度y ＝k x 2＋8k（20－x ）2(k 为比例系数)．∴y ′＝－2k x 3＋16k（20－x ）3＝2k （9x 3－60x 2＋1200x －8000）x 3（20－x ）3.令y ′＝0，得(3x －20)·(3x 2＋400)＝0，又0<x <20，∴x ＝203.∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，203时，y ′<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫203，20时，y ′>0； ∴在区间(0，20)上，当x ＝203时，y 取最小值．故当点C 位于距A 点203 km 处时，该点的烟尘浓度最低．19.(本小题满分16分)如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 的中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)的一部分．新世纪公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN ，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积． 解：以M 为原点，AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则D (4，2)．设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由点D 在抛物线上，得22＝8p ，解得p ＝12.∴抛物线方程为y 2＝x (0≤x ≤4，y ≥0)． 设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点， 则PQ ＝2＋y ，PN ＝4－y 2， ∴矩形游乐园面积S ＝PQ ·PN ＝(2＋y )·(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . ∴S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0，解得y ＝23或y ＝－2(舍去)．∵当y ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，S ′>0，S 为增函数； 当y ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，S ′<0，S 为减函数．∴当y ＝23时，S 有极大值，此时PQ ＝2＋y ＝2＋23＝83，PN ＝4－y 2＝4－⎝⎛⎭⎫232＝329，S ＝83×329＝25627(km 2)． 又当y ＝0时，S ＝8；当y ＝2时，S ＝0.∴当y ＝23，x ＝49时，游乐园面积最大，最大面积为25627km 2.故当点P 到x 轴距离为23、到y 轴距离为49时，游乐园面积最大，最大面积为25627km 2.20.(本小题满分16分)设f (x )＝x 3－kx (k >0)．(1)若f ′(2)＝0，求f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若函数f (x )＝x 3－kx (k >0)在[1，＋∞)上是单调函数，(Ⅰ)求证：0<k ≤3；(Ⅱ)设x 0≥1，f (x 0)≥1，且满足f (f (x 0))＝x 0，求证：f (x 0)＝x 0. 解：(1)由f (x )＝x 3－kx 得f ′(x )＝3x 2－k ，∵f ′(2)＝0，∴3×22－k ＝0，即k ＝12； ∴f (x )＝x 3－12x ，故f (2)＝23－12×2＝－16，∴f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －f (2)＝f ′(2)·(x －2)，即为y ＋16＝0.(2)证明：(Ⅰ)∵f ′(x )＝3x 2－k ，又f (x )＝x 3－kx 在[1，＋∞)是单调函数；所以：①若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0恒成立，即恒有3x 2≥k ，而x ∈[1，＋∞)，∴k ≤3，又k >0，∴0<k ≤3；②若f (x )在[1，＋∞)上是减函数，则f ′(x )≤0恒成立，即恒有3x 2≤k ，而x ∈[1，＋∞)， ∴这样的k 不存在； 综上，得0<k ≤3.(Ⅱ)设f (x 0)＝m ，则由f (f (x 0))＝x 0得f (m )＝x 0；又f (x )＝x 3－kx (k >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 30－kx 0＝m m 3－km ＝x 0，两式相减得(x 30－m 3)－k (x 0－m )＝m －x 0， 即(x 0－m )(x 20＋m 2＋x 0m ＋1－k )＝0. ∵x 0≥1，f (x 0)≥1即m ≥1，∴x 20＋m 2＋x 0m ＋1－k ≥4－k ，而0<k ≤3， ∴x 20＋m 2＋x 0m ＋1－k ≥1>0，从而只有x 0－m ＝0，即m ＝x 0，∴f (x 0)＝x 0.。
导数综合练习(一)
【课题】导数综合练习（一）一、前置作业1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值为_________最小值为_________2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内,)(x f 为增函数()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞ 内)(x f 为增函数3．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象最有可能的是 （ ）()A ()B ()C ()D 4、将边长为1m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记梯形的面积梯形的周长）2(=S ，则S 的最小值是__________________ 5．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．（1）二．例题分析：例1．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．例3．若函数c x bx ax x f +-+=3)(23为奇函数，且在)1,(--∞上单调递增，在)1,1(-上单调递减。
(选修1-1)第三章 导数及其应用综合训练(含答案
（数学选修1-1）第三章 导数及其应用综合训练姓名：___________ 学号：____________ 班次：____________ 成绩：__________一、选择题1．函数有（ ） ()323922y x x x x =---<<A ．极大值，极小值527-B ．极大值，极小值511-C ．极大值，无极小值5D ．极小值，无极大值27-2．若，则（ ） '0()3f x =-000()(3)lim h f x h f x h h→+--=A ．B ． 3-6-C ．D ．9-12-3．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为3()2f x x x =+-0p 41y x =-0p （ ）A ．B ． (1,0)(2,8)C ．和D ．和(1,0)(1,4)--(2,8)(1,4)--4．与是定义在R 上的两个可导函数，若,满足,则()f x ()g x ()f x ()g x ''()()f x g x =与满足（ ）()f x ()g x A ． B ．为常数函数()f x =()g x ()f x -()g x C ． D ．为常数函数()f x =()0g x =()f x +()g x 5．函数单调递增区间是（ ） xx y 142+=A ．B ．C ．D ． ),0(+∞)1,(-∞),21(+∞),1(+∞6．函数的最大值为（ ） xx y ln =A ． B ． C ． D ． 1-e e 2e 310二、填空题1．函数在区间上的最大值是 。
2cos y x x =+[0,2π2．函数的图像在处的切线在x 轴上的截距为________________。
3()45f x x x =++1x =3．函数的单调增区间为，单调减区间为___________________。
32x x y -=4．若在增函数，则的关系式为32()(0)f x ax bx cx d a =+++>R ,,a b c 是 。
高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测卷含解析
选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．5米/秒C ．6米/秒D ．4米/秒2．若二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且它的导数y ＝f ′(x )的图像是经过第一、二、三象限的一条直线，则y ＝f (x )的图像顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°4．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D ．－12或－325．已知物体的运动方程是S (t )＝t 2＋1t(t 的单位：s ，S 的单位：m)．则物体在时刻t ＝2时的速度v与加速度a 分别为( )A.154 m/s 94 m/s 2B.152 m/s 92m/s 2 C.92 m/s 154 m/s 2 D.94 m/s 154m/s 2 6．若函数y ＝f (x )在x 0处可导，则f ′(x )＝0是f (x )在x 0处取得极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数f (x )在其定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像为( )8．定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x <f (x )，且f (2)＝0，则f xx>0的解集为( ) A ．(0,2) B ．(0,2)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．∅9．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．310．已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1<x 2C ．x 1＋x 2>0D ．x 1＋x 2<011．曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°12．若a ，b 在区间[0, 3]上取值，则函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( ) A.12 B.33C.36D ．1－36第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0点处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0点处的切线互相平行，则x 0的值为________．14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 15．若f ′(x )＝3x 2－6x ，且f (0)＝4，则不等式f (x )>0的解集是________．16．已知函数f (x )＝3x ＋a x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]的最值．18．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f (x )在区间(－∞，＋∞)的极小值．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋a －22x 2－2ax －3，g (a )＝16a 3＋5a －7.(1)a ＝1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上不单调，且x ∈[－2,0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3是否恒成立，并说明理由．选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题参考答案【第4题解析】f (x )＝－(x ＋1)2＋4. f (x )的开口向下，对称轴为x ＝－1，当x ＝－1，f (－1)＝4>154，∴a >－1. ∴f (x )在[a,2]是减函数．∴f (a )＝154，解得a ＝－12，或a ＝－32(舍去)．故选C.【第5题解析】S ′(t )＝2t －1t 2 ∴v ＝S ′(2)＝2×2－14＝154. 令g (t )＝S ′(t )＝2t －1t2，∴g ′(t )＝2＋2t－3，∴a ＝g ′(2)＝94. 故选A .【第6题解析】f ′(x )＝0不一定能推出f (x )在x 0处取得极值，f (x )在x 0处取得极值一定能推出f ′(x )＝0，故选B.【第7题解析】由于函数先减后增再减，所以导函数的图像是先负后正再负，故选D. 【第8题解析】[f x x ]′＝f ′ x ·x －f x x 2<0，∴f x x 为减函数，∵f (2)＝0，∴f 22＝0.∴f xx>0的解为0<x <2，故选A. 【第9题解析】f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题可知f ′(1a)＝3a (1a)2＋2b 1a＋c ＝0，∴3a＋2b a＋c ＝0，∴ac ＋2b ＝－3，故选A.【第10解析】易知函数f (x )为奇函数，又f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )为增函数，由f (x 1)＋f (x 2)>0⇒f (x 1)>－f (x 2)⇒f (x 1)>f (－x 2)⇒x 1>－x 2⇒x 1＋x 2>0. 故选C.【第11题解析】设B (x 0，x 30)，由于y ′＝3x 2，故切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，令y ＝0得点A (2x 03，0)，由|OA |＝|AB |，得(2x 03)2＝(x 0－2x 03)2＋(x 30－0)2，当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 40＝13，故x 20＝33，直线l 的斜率为3x 20＝3，故直线l 的倾斜角为60°. 故选C.【第12题解析】易得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋a ，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的充要条件是a ≠0，且其导函数的判别式大于0，即a ≠0，且4b 2－12a 2>0，又a ，b 在区间[0，3]上取值，则a >0，b >3a ，点(a ，b )满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为32，故所求的概率是36. 故选C.【第16题解析】由题可知，函数f (x )＝3x ＋ax ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f ′(x )＝3 x ＋2 － 3x ＋a x ＋2 2＝6－ax ＋2 2在(－2，＋∞)上小于零，解得a >6.故填(6，＋∞).【第17题答案】f (x )的最小值为－12，最大值为2.【第17题解析】f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3>0， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )min ＝－12；x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2. 【第18题答案】a ≥13.【第18题解析】由f (x )在R 上为增函数知f ′(x )≥0，从而将问题转化为一元二次不等式问题求解．f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.∵f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0. 即3ax 2－2x ＋1≥0在R 上恒成立．即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，∴a ≥13.∴a ≥13.(2)由(1)得f (x )＝13x 3－4x ＋4又当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.【第20题答案】单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.【第20题解析】解 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2，2π)，单调递减区间是(π，2)，极小值为f (2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.(2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2，或x ＝－a . ∵函数f (x )在区间[－2,0]上不单调， ∴－a ∈(－2,0)，即0<a <2. 又∵在(－2，－a )上，f ′(x )>0， 在(－a,0)上，f ′(x )<0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f ∴f (x )在[－2,0]上的最大值为f (－a )．∴当x ∈[－2,0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，等价于f (－a )<g (a )． ∴－13a 3＋a －22×a 2＋2a 2－3<g (a )．∴16a 3＋a 2－3<16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4<0，解得1<a <4. 综上所述，a 的取值范围是(1,2)．【第22题答案】（1）当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )；（2）当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3恒成立．【第22题解析】解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由题意得f ′(x )＝x －ax(x >0)，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax＝x －a x ＋ax.∴当0<x <a 时，f ′(x )<0， 当x >a 时，f ′(x )>0.∴当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．。
高中数学人教B版高二数学选修1-1检测 第三章《导数及其应用》综合检测
综合检测(三)第三章导数及其应用(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设质点M按规律s＝3t2＋5作直线运动，则质点M()A．在t＝1时的瞬时速度为11B．在t＝2时的瞬时速度为12C．在t＝3时的瞬时速度为13D．在t＝4时的瞬时速度为17【解析】瞬时速度v＝s′＝6t，当t＝2时，s′(2)＝12.【答案】 B2．(2013·临沂高二检测)已知p：函数y＝f(x)的导函数是常函数；q：函数y ＝f(x)是一次函数，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】p q，因为当f(x)是常函数时，其导函数也为常函数；q⇒p，故p是q的必要不充分条件．【答案】 B3．函数y＝x2cos x的导数为()A．y′＝2x cos x－x2sin x B．y′＝2x cos x＋x2sin xC．y′＝x2cos x－2x sin x D．y′＝x cos x－x2sin x【解析】f′(x)＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x.【答案】 A4．函数y＝3x－x3的单调递增区间是()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)【解析】 y ′＝3－3x 2，令y ′＞0得x ∈(－1,1)． 【答案】 C5．(2013·济宁高二检测)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,0)D ．(－1,0)【解析】 f ′(x )＝4x 3－1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 30－1＝3. ∴x 0＝1，y 0＝f (1)＝1－1＝0，∴点P 的坐标为(1,0)． 【答案】 C6．(2013·烟台高二检测)三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m ＜0B ．m ＜1C ．m ≤0D ．m ≤1【解析】 f ′(x )＝3mx 2－1，由题意f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝12m ≤0，∴m ＜0. 【答案】 A7．已知函数f (x )在定义域R 上是增函数，且f (x )＜0，则g (x )＝x 2f (x )的单调情况一定是( )A ．在(－∞，0)上递增B ．在(－∞，0)上递减C ．在R 上递减D ．在R 上递增【解析】 g ′(x )＝2x ·f (x )＋x 2f ′(x )， 由于f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )＞0， 又f (x )＜0，∴当x ＜0时，g ′(x )＞0. ∴g (x )在(－∞，0)上递增．【答案】 A8．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数D ．是减函数【解析】 f ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x 2，方程f ′(x )＝0在x ＜0内有解，当x ＝－22时，f ′(x )＝0，当x ＜－22时，f ′(x )＞0；当－22＜x ＜0时，f ′(x )＜0.故f (x )在x ＝－22时有极大值，也是最大值．【答案】 A9．(2013·天津高二检测)下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导数f ′(x )的图象，则f (－1)的值为( )(1) (2) (3)图1A.13 B ．－13 C.73D ．－13或53【解析】 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，其图象开口向上，故不是图(1)，在图(2)中，a ＝0，f ′(x )＝x 2－1，但已知a ≠0，故f ′(x )的图象应为图(3)，∴f ′(0)＝0，∴a ＝±1，又其对称轴在y 轴右侧，故a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，∴f (－1)＝－13.【答案】 B10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元【解析】设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8 300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.令L′(P)＝0，解得P＝30或－130(舍)．此时L(30)＝23 000，因为在P＝30附近的左侧L′(P)＞0，右侧L′(P)＜0.所以L(30)是极大值也是最大值．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．函数f(x)＝e x·cos x，x∈[0,2π]，若f′(x)＝0，则x＝________.【解析】f′(x)＝e x(－sin x)＋e x cos x＝e x(cos x－sin x)，令f′(x)＝0得cos x－sin x＝0，∴cos x＝sin x.∴x＝π4或5 4π.【答案】π4或54π12．若函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x－5，则f′(2)＝________. 【解析】∵f′(x)＝3x2－2f′(1)x＋2，∴f′(1)＝3－2f′(1)＋2，∴f′(1)＝5 3.因此f′(2)＝12－4f′(1)＋2＝223.【答案】22 313．函数f(x)＝x＋2cos x在区间[0，12]上的最大值是________．【解析】由f(x)＝x＋2cos x，得f′(x)＝1－2sin x，当0≤x≤12时，0≤sin x＜12，∴f′(x)＞0.∴f (x )在[0，12]上是增函数，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的最大值f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋2cos 12.【答案】 12＋2cos 1214．(2013·济南高二检测)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时不等式f (x )＋xf ′(x )＜0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f (log 319)，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 构造函数g (x )＝xf (x )，则g (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上递减，a ＝g (30.3)，b ＝g (log π3)，c ＝g (log 319)＝g (log 39)，∵log 39＞30.3＞log π3＞0，∴c ＜a ＜b . 【答案】 c ＜a ＜b三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足：①在x ＝1时有极值；②图象过点(0，－3)，且在该点处的切线与2x ＋y ＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x ＋1)的单调递增区间． 【解】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 则f ′(x )＝2ax ＋b . 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(0)＝－2，f (0)＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，b ＝－2，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.所以f (x )＝x 2－2x －3.(2)g (x )＝f (x ＋1)＝(x ＋1)2－2(x ＋1)－3＝x 2－4. 令g ′(x )＝2x ＞0，得x ＞0.故g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．16．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b ln x 在x ＝1和x ＝2时取极值．(1)求a ，b 的值；(2)求在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值．【解】 (1)f ′(x )＝2ax ＋2＋bx ，∴f ′(1)＝f ′(2)＝0.即⎩⎨⎧2a ＋b ＋2＝0，4a ＋2＋b2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝－43.(2)由(1)知，f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x ，∵f (x )在x ＝1和x ＝2时取极值，x ＝12是区间一个端点， 且f (2)＝83－43ln 2，f (1)＝53， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－112＋1－43ln 12＝1112＋43ln 2， ∴函数f (x )的最小值f (x )min ＝f (1)＝53，最大值f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1112＋43ln 2.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋2x 2＋x －4，g (x )＝ax 2＋x －8. (1)求函数f (x )的极值；(2)若对任意x ∈[0，＋∞)都有f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝－13.∵当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数； 当x ∈(－1，－13)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ∈(－13，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数． ∴当x ＝－1时，f (x )取得极大值－4， 当x ＝－13时，f (x )取得极小值－11227.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝x 3＋(2－a )x 2＋4， ∵F (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴[F (x )]min ≥0，x ∈[0，＋∞)． 若2－a ≥0，显然[F (x )]min ＝F (0)＝4＞0；若2－a ＜0，F ′(x )＝3x 2＋(4－2a )x ， 令F ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a －43. 当0＜x ＜2a －43时，F ′(x )＜0； 当x ＞2a －43时，F ′(x )＞0，∴当x ∈(0，＋∞)时，[F (x )]min ＝F (2a －43)≥0，即 (2a －43)3＋(2－a )(2a －43)2＋4≥0.解不等式得a≤5，∴2＜a≤5.当x＝0时，F(x)＝4满足题意．综上所述，a的取值范围为(－∞，5]．18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．【解】(1)由已知，当a＝2时，f(x)＝2x＋ln x，f′(x)＝2＋1x(x＞0)，f′(1)＝2＋1＝3.故曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率为3.(2)f′(x)＝a＋1x＝ax＋1x(x＞0)．①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，f′(x)＞0，所以，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－1a.在区间(0，－1a)上，f′(x)＞0，在区间(－1a，＋∞)上f′(x)＜0，所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，－1a)，单调递减区间为(－1a，＋∞)．综上所述，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(0，－1a)，单调递减区间为(－1a，＋∞)．(3)由已知，转化为f(x)max＜g(x)max＝g(0)＝2，由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f(e3)＝a e3＋3＞2，故不符合题意)当a＜0时，f(x)在(0，－1a)上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，f(－1a)＝－1＋ln(1－a)＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－1e3.综上，a的取值范围是(－∞，－1e3)．。
高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试[1]
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第三章《导数及其应用》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(='2．函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x gx -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ） 21<b 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3 B ．52 C ．2 D ．329．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<<（C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<<（D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿． 13．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．17．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求(Ⅰ)求点A B 、的坐标； (Ⅱ)求动点Q 的轨迹方程. 18. 已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.19．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。
(典型题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( ) A ．(0,1) B ．(0,0) C ．(1,1)D ．(－2，－1)2．已知函数()2ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ） A ．320x y --= B ．320x y +-= C ．320x y -+=D ．320x y ++=3．设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++（t 的单位:s ,v 的单位:/m s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+5．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ） A ．()()()π2f f e f << B ．()()()2πf f e f '''<< C ．()()()()1212f f f f <-'<' D ．()()()()2211f f f f ''<-<6．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞ 7．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．201820198．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A．[1B．C．(0,3- D．(0,39．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -= B ．20x y +=C ．40x y -=D ．40x y +=10．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-311．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞12．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定二、填空题13．设函数()()1xf x ex =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是__________．14．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.15．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________.16．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．17．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.18．已知函数2()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 19．函数的图象在点处的切线方程为______．20．函数1y x =-在1-22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是____________________ 三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程. 22．已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++∈. （1）若0a =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当0a >时，讨论函数()()211ln 2f x ax a x x =-++的单调区间. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．已知曲线3()f x x ax b =++在点(2,6)P -处的切线方程是13320x y --=. （1）求a ，b 的值；（2）如果曲线()y f x =的某一切线与直线l ：134=-+y x 垂直，求切点坐标与切线的方程.25．求下列函数的导函数（1）y = x 4－3x 2－5x ＋6 （2）21y x x=+ （3）y = x 2cos x （4）y ＝tan x 26．已知函数()(1)(1)x x f x x e a e =+--.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为1，求实数a 的值； （2）当(0,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．2．A解析：A 【分析】求出导数，求得切线的斜率，切点坐标，由斜截式方程，即可得到切线的方程. 【详解】()2ln f x x x =+，1()2(0)f x x x x'∴=+>(1)3f '∴=，又(1)1f =，∴函数()f x 在1x =处的切线方程13(1)y x -=-，即320x y --=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线的方程，正确求导是解题的关键，属于基础题．3．D解析：D 【分析】求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项． 【详解】因为()4cos f x x x =--，所以()3'sin 4f x x x =-，所以()3sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．4．C解析：C 【详解】 试题分析：令得，故44203()725ln(1)425ln 52t s v t dt t t ⎡⎤==-++=+⎢⎥⎣⎦⎰，故选C考点：定积分的几何意义5．D解析：D 【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.6．B解析：B 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴2111+2122222x x x a x x x+==≥⨯=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．7．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．8．D解析：D 【分析】要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：依题意，画出21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f x g x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率． 设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得01x =01x =要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x gx 的图象恰有三个交点， 结合图象可知03k <<- 所以实数k 的取值范围为(0,3， 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.9．A解析：A 【分析】根据奇函数的定义先求得1a =-的值，再利用导数的几何意义求得切线方程. 【详解】因为函数()xxf x e a e -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x -=-对一切x ∈R 恒成立，所以x x x x e a e e a e --+⋅=--⋅对一切x ∈R 恒成立， 所以()()10xxe a e-++=对一切x ∈R 恒成立，所以10a +=，解得1a =-，所以()xxf x e e -=-，所以()'xxf x e e -=+.因为曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0， 所以令()0xxf x e e-=-=，解得0x =.所以曲线()y f x =的这条切线的切点的坐标为()0,0， 切线的斜率为()'0002fe e -=+=.故曲线()y f x =的这条切线方程为()020y x -=-，即20x y -=. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意涉及切线问题时，要先明确切点坐标.10．B解析：B 【分析】 求得曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得ab的值.【详解】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.11．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e'-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．12．C解析：C 【分析】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，由图可知，当直线(0)y kx k =>与 函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点，根据导数的几何意义即可得到cos k α=-，以及sin k αα=-，得tan αα=，化简B ，即可得出答案． 【详解】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，如图所示：当直线(0)y kx k =>与函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点． 所以，cos k α=-，sin k αα=-即得tan αα=，222222sin 111tan sin cos 1cos sin 22tan 2sin cos sin 22cos B ααααααααααααα++++=====，故A B =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，以及导数几何意义的应用，意在考查学生运用数形结合思想的能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率将切点代入切线方程可得的值即可得有两个不等实根转化为与图象有两个不同的交点数形结合即可求解【详解】由可得在点处的切线斜率为所以将点代入可得所以方程即有两个不 解析：()0,1【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率()0a k f '==，将切点()01，代入切线方程可得b的值，即可得21xm -=有两个不等实根，转化为21xy =-与y m =图象有两个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】 由()()1xf x ex =+可得()()()12x x x e x e x x e f =++=+'，在点()01，处的切线斜率为()0022k f e '===，所以2a =， 将点()01，代入y ax b =+可得1b =，所以方程xa b m -=即21xm -=有两个不等实根， 等价于21x y =-与y m =图象有两个不同的交点，作21xy =-的图象如图所示：由图知：若21xy =-与y m =图象有两个不同的交点则01m <<吗，故答案为：()0,1 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】设切点为坐标为由导数几何意义求出切线方程由切线过原点得从而得切线方程【详解】设切点为由得时又所以切线方程为而切线过原点所以解得代入后得切线方程为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几 解析：y ex =【分析】设切点为坐标为00(,)P x y ，由导数几何意义求出切线方程，由切线过原点得0x ，从而得切线方程． 【详解】设切点为00(,)P x y ，由x y e =得e xy '=，0x x =时，0x y e '=，又0x y e =，所以切线方程为00()-=-x x y e e x x ，而切线过原点，所以000()x x ee x -=⨯-，解得01x =．代入后得切线方程为y ex =．故答案为：y ex =． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，在求函数图象的切线时要注意是求在某点处的切线不是求过某点的切线，如果求()y f x =在点00(,())x f x 处的切线，则只要求得()'f x 后可得切线方程000()()()y f x f x x x '-=-，若是求()y f x =过00(,)P x y 的切线方程，则设切点为11(,)Q x y ，由切点求出切线方程111()()()y f x f x x x '-=-，代入00(,)x y ，求出1x 后得切线方程．15．【分析】求出函数的导函数及再求出可得到ab 的方程解出可得到答案【详解】得①又由切点在即②由①②得所以则故答案为：-11【点睛】本题考查导数的几何意义求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差 解析：11-【分析】求出函数()f x 的导函数及(1)f '，再求出(1)f 可得到a 、b 的方程，解出可得到答案. 【详解】2()321f x ax bx '=++，(1)3211k f a b ∴==++='，得320a b +=①又(1)1f a b =++，由切点)1,1(a b ++在1y x =+，即111a b ++=+②，由①②得32b a =⎧⎨=-⎩，所以2()661f x x x '=-++，则(1)66111f '-=--+=-.故答案为：-11. 【点睛】本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.16．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如解析：(1,0) 【分析】先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .【详解】 解:曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,函数4y x x =-的导数为341y x '=-, 设()00,P x y ,30413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,(1,0)P ∴【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.17．③【分析】先根据平均变化率的定义求得再分别计算各选项对应的平均变化率即可求解【详解】根据平均变化率的计算公式可得所以在附近取则平均变化率的公式为则要比较平均变化率的大小只需比较的大小下面逐项判定：①解析：③ 【分析】先根据平均变化率的定义，求得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解． 【详解】根据平均变化率的计算公式，可得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， 所以在1x =附近取0.3x ∆=，则平均变化率的公式为(1.3)(1)0.3y f f x ∆-=∆， 则要比较平均变化率的大小，只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小，下面逐项判定：①中，函数y x =，则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=； ②中，函数2yx ，则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=；③中，函数3y x =，则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=； ④中，函数1y x=中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈， 所以，平均变化率最大的是③． 【点睛】本题主要考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．【分析】设切点坐标为利用导数求出曲线在切点的切线方程将原点代入切线方程求出的值于此可得出所求的切线方程【详解】设切点坐标为则曲线在点处的切线方程为由于该直线过原点则得因此则过原点且与曲线相切的直线方 解析：2 -0e x y =【分析】 设切点坐标为()2,tt e，利用导数求出曲线()y f x =在切点()2,tt e 的切线方程，将原点代入切线方程，求出t 的值，于此可得出所求的切线方程． 【详解】设切点坐标为()2,tt e，()2x f x e =，()22x f x e '∴=，()22tf t e'=，则曲线()y f x =在点()2,t t e 处的切线方程为()222t ty e e x t -=-，由于该直线过原点，则222t t e te -=-，得12t =， 因此，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为2y ex =，故答案为20ex y -=．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是： （1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标； （3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．19．x-y-1=0【解析】【分析】求得f(x)的导数可得切线的斜率和切点坐标由点斜式方程可得所求切线方程【详解】函数f(x)=lnxx 的导数为f(x)=1-lnxx2可得f(x)在x=1处的切线斜率为k 解析：【解析】 【分析】 求得的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线方程．【详解】 函数的导数为， 可得在处的切线斜率为，，即，可得切线方程为，即， 故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．要求函数在某点处的切线方程，则先对函数求导，求得函数的导函数，将切点的横坐标代入原函数求得切点的坐标，将切点的横坐标代入导函数得到切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简为一般式，求得切线的方程.20．【解析】【分析】首先利用求导公式对函数求导将代入导函数解析式求得导函数在处的函数值根据导数的几何意义可知导数即为切线的斜率根据点斜式方程写出切线的方程化简求得结果【详解】由得所以所以切线的斜率为4根 解析：44y x =-【解析】 【分析】首先利用求导公式对函数求导，将12x =代入导函数解析式，求得导函数在12x =处的函数值，根据导数的几何意义，可知导数即为切线的斜率，根据点斜式方程，写出切线的方程，化简求得结果. 【详解】 由1y x=-得21'y x =，所以12'|4x y ==，所以切线的斜率为4，根据点斜式可知所求的切线方程为1(2)4()2y x --=-，化简得44y x =-， 故答案为44y x =-. 【点睛】该题考查的是导数的几何意义，首先要求出函数的导数，涉及到的知识点有函数的求导公式，直线方程的点斜式，熟练掌握基础知识是解题的关键.三、解答题21．y ex e =-. 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】()(1)x f x x e =-，(1)0f ∴= ()x f x xe '=，(1)e f .()f x ∴在1x =处的切线方程为：0e(1)yx ，即y ex e =-【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题. 22．（1）10y +=；（2）见解析. 【分析】（1）根据题意，由0a =即可得函数的解析式，进而求出函数的导数，据此计算可得()1f 与()1f '的值，由导数的几何意义分析可得切线的方程，变形即可得答案；（2）根据题意，求出函数的导数，对a 的值进行分情况讨论，分析函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】（1）若0a =，()ln f x x x =-，导函数为()11f x x'=-，则()11f =-，()10f '=. 则所求切线方程为()101y x +=⨯-，即10y +=； （2）当0a >时，()()()()1111ax x f x ax a x x--'=-++=， 令()0f x '=，可得1x a=或1x =. ①当101a<<时，即当1a >. 令()0f x '>，可得10x a<<或1x >；令()0f x '<，可得11x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭；②当11a=时，即当1a =时，对任意的()0,x ∈+∞，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； ③当11a>时，即当01a <<时. 令()0f x '>，可得01x <<或1x a>；令()0f x '<，可得11x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，当1a >时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当1a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当01a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性以及计算切线的方程，注意函数的定义域以及对a 的范围进行讨论．23．（1）220x y +-=；（2）(),1-∞. 【分析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1），由点斜式可求切线方程；（2）g （x ）=f （x ）+x 2﹣a ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数g （x ）的单调性，求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可． 【详解】解：（1）当1a =时, ()10f =,()()()44ln 24f x x x x =+'--,()'12,f =- 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()21,y x =-- 即220x y +-=.（2）设()()()[)22224ln ,1,,g x f x x a x ax x x a x =+-=-+-∈+∞则()()()()()44ln 2424ln 1,1,g x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥' 当1a ≤时, ()g x 在[)1,+∞上单调递增,所以,对任意1x ≥,有()()110g x g a ≥=->,所以 1.a <当1a >时, ()g x 在[)1,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增,所以()()()2min 12ln g x g a a a a ==--,由条件知, ()212ln 0a a a -->, 即()12ln 10.a a -->设()()12ln 1,1,h a a a a =-->则()12ln 0,1,h a a a =-'-所以()h a 在()1,+∞上单调递减,又()10h =, 所以()()10h a h <=与条件矛盾.综上可知,实数a 的取值范围为(),1.-∞【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．24．（1）1,16-；（2）()(1,14)1,18，---,418y x =-或414y x =-. 【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-，解方程可得,a b 的值；（2）设切点的坐标为()00,x y ，由两直线垂直的条件，斜率之积为1-，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程. 试题（1）∵()3f x x ax b =++的导数()2'3f x x a =+，由题意可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-， 解得1a =，16b =-. （2）∵切线与直线134y x =-+垂直， ∴切线的斜率4k =.设切点的坐标为()00,x y ，则()200'314f x x =+=，∴01x =±.由()316f x x x =+-，可得0111614y =+-=-，或0111618y =---=-.则切线方程为()4114y x =--或()4118y x =+-. 即418y x =-或414y x =-. 25．见解析. 【分析】（1）利用幂函数的求导公式，根据导数运算的加法法则求解即可； （2）利用幂函数的求导公式，根据导数运算的加法法则求解即可； （3）利用余弦函数的求导公式，根据导数运算的乘法法则求解即可；（4）利用正弦、余弦的求导公式，根据导数运算的除法法则求解即可. 【详解】解:（1）由y = x 4－3x 2－5x ＋6，则'3465y x x =--；（2）由21y x x=+，则'432211x y x x =-=-； （3）由y = x 2cos x ，则'22sin y xcosx x x =-；（4）由y ＝tan x sin cos x x =，则22'22cos sin 1cos cos x x y x x+==. 【点睛】本题考查了幂函数的求导公式，正弦、余弦函数的求导公式，重点考查了导数运算的乘法、除法法则，属基础题. 26．（1）2a =（2）2a ≤ 【解析】 【分析】(1)求出()1x x xf x xe e ae '=++-，令x=1,即可解出实数a 的值；（2）()0,x ∈+∞时，()0f x >恒成立转化为求函数()f x 最小值大于零即可. 【详解】（1）()1x x xf x xe e ae '=++-，因为()111f e e ae =++-='，所以2a =；（2）()1xxxf x e xe ae =++-'，设()1xxxg x e xe ae =++-，设()()()12xxxxg x e x e ae x a e =++-=+-'，设()2h x x a =+-，注意到()00f =，()()002f g a ='=-，（ⅰ）当2a ≤时，()20h x x a =+->在()0,+∞上恒成立， 所以()0g x '>在()0,+∞上恒成立，所以()g x 在()0,+∞上是增函数， 所以()()020g x g a >=-≥，所以()0f x '>在()0,+∞上恒成立， 所以()f x 在()0,+∞上是增函数，所以()()00f x f >=在()0,+∞上恒成立，符合题意；（ⅱ）当2a >时，()020h a =-<，()20h a =>，所以()00,x a ∃∈，使得()00h x =，当()00,x x ∈时，()0h x <，所以()0g x '<，所以()g x 在()00,x 上是减函数， 所以()f x '在()00,x 上是减函数，所以()()020f x f a <=-'<'，所以()f x 在()00,x 上是减函数，所以()()00f x f <=，不符合题意； 综上所述：2a ≤. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。
高二数学第三章导数的运算单元测试新人教版选修1-1
导数的概念与运算
第二课时
考纲要求：
会用基本初等函数的求导公式，函数和，差，积，商的求导法则求与幂函数，指数函数，对数函数，正余弦函数有关的函数的导数. 难点疑点：
1. 基本初等函数的求导公式的识记及应用
2. 函数和差积商的求导法则
教学过程：
题型一：导数的运算
1. 求下列函数的导数
（1）2cos 2sin x x x y -= （2）1
1+-=
x x y
（3）)3)(2)(1(+++=x x x y （4）x e y x ln =
2.（1）函数x x x f ln sin )(+=的导数=)(,x f ＿
（2）函数x x y ln =
的导数=)(,x f ＿
（3）已知)1(2)(,2xf x x f +=，则)0(,f =＿
4.（南通09年第一次调研）已知曲线C ：2sin )(++=x e x x f 在0=x 处 的切线方程为＿
题型二:综合应用
1. （2010江苏名校名师预测卷一.20）设函数x x e e x f --=)(.
（1） 函数)(x f 有几个零点？为什么？
（2） 若直线l 与曲线)(x f 相切，其斜率为1-+e e ，求直线l 在y 轴上的
截距；
（3） 若0≥∀x ，不等式ax x f ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围.
课时总结：（学生）
我们复习了哪些知识？你能掌握多少？。
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高二数学选修1-1第三章导数综合练习(1)
一、选择题
1. 已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 x
f x f x 2)1()1(lim 0-+→=( ) A ．2 B ．1 C ．
21 D ．41 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且f ′(1)=2,则a 的值为
B.2
C.－1
3. 已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ）
A ．(x-1)3+3(x-1)
B ．2(x-1)2
C ．2(x-1)
D ．x-1
4. 曲线3x 2－y ＋6=0在x =－
61处的切线的倾斜角是 A.4π B.－4
π C.43π D.－43π 5. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是
6. 若函数y=x ·2x 且y ’=0，则x 的值为 （ ）
A ．-2ln 1
B ．2
ln 1 C ．-ln 2 D ．ln 2 7．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为
A ．（3，9）
B ．（－3，9）
C ．（49,23）
D ．（49,23-
） 8．函数)0,4(2cos π
在点x y =处的切线方程是
A ．024=++πy x
B ．024=+-πy x
C ．024=--πy x
D ．024=-+πy x
9.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0的坐标是
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(-1,0)
D.(1,4)
10.一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=
41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 末 末 与8s 末 ,4s,8s 末 11.函数 的导数是
A ．
B ．
C ．
D ． x x y 12-=
x x 12-x x 12+221x x -2
2
1x x -
12．函数
A ．4x +3
B ．4x -1
C ．4x -5
D ．4x -3
13．曲线y =x 3
的切线中斜率等于1的直线
A ．不存在
B ．存在，有且仅有一条
C ．存在，有且恰有两条
D ．存在，但条数不确定
14．下列命题正确的是（ ） （A ）(lgx )’=
1x （B ）(lgx )’=ln10x
（C ）(3x )’=3x （D ）(3x )’=3x ·ln3 15．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim 2x f f x x →--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是
（A ）2 （B ）－1 （C ）2
1 （D ）－
2 16．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（ ）
（A ）f ’(x 0)>0 （B ）f ’(x 0)<0 （C ）f ’(x 0)=0 （D ）f ’(x 0)不存在
二、填空题
17．函数y =sin x cos x 的导数为 .
18曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是_____________________。
19.设函数f (x )=2x 3＋ax 2＋x , f ′(1)=9,则a =______.
20.物体的运动方程是s =－3
1t 3＋2t 2－5,则物体在t =3时的瞬时速度为______. 21．如果曲线03223x x x y x y =-=+=在与处的切线互相垂直，则x 0的值为 .
三、解答题
22．求函数的导数： y = (x + 1)(x + 2 )(x + 3)
23. 已知抛物线 y =x 2
-4与直线y = x + 2，求：（1）两曲线的交点； （2）抛物线在交点处的切线方程。
=-=-)(',2)1(2x f x x x f 则
24 确定抛物线y=x2＋bx＋c中的常数b和c,使得抛物线和直线y=2x在x=2处相切.。