等腰三角形复习训练
等腰三角形的性质练习(含答案)
等腰三角形的性质练习(含答案)等腰三角形的性质1.选择题：1) 等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）A。
底角大于相邻外角 B。
底角小于相邻外角C。
底角大于或等于相邻外角 D。
底角小于或等于相邻外角2) 等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A。
40°，40° B。
100°，20°C。
50°，50° D。
40°，40°或100°，20°3) 等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A。
50°，50°，80° B。
80°，80°，20°C。
100°，100°，20° D。
50°，50°，80°或80°，80°，20°4) 如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A。
45° B。
40° C。
55° D。
50°5) 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A。
顶角 B。
顶角的一半C。
顶角的2倍 D。
底角的一半6) 已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A。
30° B。
45° C。
36° D。
72°2.填空题：1) 如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠A=∠C；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=BC，BD⊥AC．2) 若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为70°．3) 已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为20°．4) 在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是45°，则△ABC的面积为1/2 cm²．5) 如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=30°．3.等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．设两个内角的度数为4x和x，则三角形的第三个角的度数为180°-5x．因为三角形内角和为180°，所以4x+4x+180°-5x=180°，解得x=36°，因此两个内角的度数分别为144°和36°，第三个角的度数为100°．4.如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC以a和c为两边，这样的三角形能作无数个．5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．连接AD和AC，因为AD=BD，AB=AC，所以△ABD≌△ACD，故∠ABD=∠ACD．又因为AB=CD，所以△ABC为等腰三角形，所以∠BAC=180°-∠ABC=180°-2∠ABD=80°．6.如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．1) AF与CD不垂直．因为∠ABC=∠AED，所以△ABC≌△AED，故AB=AE，又因为BC=ED，所以AC=AD，所以AF垂直于BC的中点，而CD的中点是F，所以AF与CD不垂直．二、拓展延伸训练右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D。
2022年中考数学总复习：等腰三角形,等边三角形
2022年中考数学总复习训练：等腰三角形，等边三角形一、选择题1. 已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是（）A．a2 B．a2 C．a2D．a22. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是( )A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，53. 具备下列条件的三角形为等腰三角形的是链接听P27例1归纳总结( )A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°4. 如图，△ABC与△关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是( )(A)△是等腰三角形． (B)MN垂直平分．（C）△ABC与△面积相等．（D）直线AB、的交点不一定在MN上．5. 以下叙述中不正确的是( )．A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；C．等腰三角形一定是锐角三角形；D．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．6. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长是( )A.12B.13C.14D.157. 如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )A. AE ＝ECB. AE ＝BEC. ∠EBC ＝∠BACD. ∠EBC ＝∠ABE8. 如图，把一长方形纸片ABCD 沿EG 折叠后，点A 、B 分别落在A ′、B ′的位置上，EA ′与BC 相交于点F ，已知∠1=130°，则∠2的度数是（ ）A.40°B.50°C.65°D.80°9. 下列条件不能得到等边三角形的是( )A ．有两个内角是60°的三角形B ．有一个角是60°的等腰三角形C ．腰和底相等的等腰三角形D ．有两个角相等的等腰三角形10. 如图，等边三角形ABC 中，D 为BC 的中点，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，若△CDE 的面积等于1，则△ABC 的面积等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．1211. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan ∠ACB ＝y ，则( )A. x －y 2＝3 B. 2x －y 2＝9C. 3x －y 2＝15D. 4x －y 2＝2112. 如图， △ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=; ②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≥S ⊿ACE ; ③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题13. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，DA ⊥BA 于A ，BC ＝4.2 cm ，则AD ＝__________. CD BC M E C A14. 若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 .15. 已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 .16. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝，则这个三角形的底边长为 ㎝．17. △ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为___三角形.18. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是( )．A ．6B ．7C ．8D ．919. 在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE+DF= .20. 如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点， 于点．若，则_____________．三、解答题21. 如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，AF 与DE 交于点O.(1)求证：AB ＝DC ；(2)试判断△OEF 的形状，并说明理由．ABC △D BC DE AB ⊥E DF AC ⊥F 4BC =BE CF +=22. 如图，等腰直角△ABC 中，CA=CB ，点E 为△ABC 外一点，CE=CA ，且CD 平分∠ACB 交AE 于D ，且∠CDE=60°．求证：△CBE 为等边三角形．23. 如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，∠BAC 的平分线分别交BC ，CD 于点E ，F.求证：△CEF 是等腰三角形．24. 已知：如图，△ABD 为等边三角形，△ACB 为等腰三角形且∠ACB ＝90°，DE ⊥AC 交AC 延长线于E ，求证：DE ＝CE.25. 如图1，在ABC 中，90,1A AB AC ∠=︒==，点D ，E 分别在边,AB AC 上，且1AD AE ==，连接DE ．现将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为()0360αα︒︒<<，如图2，连接,,CE BD CD ．（1）当0180α︒<<︒时，求证：CE BD =；（2）如图3，当90α=︒时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ；（3）在旋转过程中，求BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．26. （1）如图14-63，下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1,2,3,…，设边长为n 的等边三角形由s 个小等边三角形组成，按此规律推断s 与n 有怎样的关系；（2）现有一个等角六边形ABCDEF （六个内角都相等的六边形，如图14-64），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长；（3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这种小等边三角形的个数.27. (1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边BC,CD 上,AE,BF 交于点O,∠AOF ＝90°,求证：BE ＝CF.(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E,H,F,G 分别在边AB,BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点O,∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.图1 图2(3) 已知点E,H,F,G 分别在矩形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 上，EF,GH 交于点O,∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).图3 图428. 在△ＡＢＣ中，AC=BC，，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．。
人教版初中数学八年级上册《等腰三角形》复习试题(配套练习附答案)
【答案】44°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC，再根据两直线平行，内错角相等解答．
详解】∵AB=AC，∠ABC=68°，
∴∠BAC=180°﹣2×68°=44°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=44°．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图像．
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-- x＋8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求AB的长和点C的坐标；
(2)求直线CD的表达式．
23.如图是平面直角坐标系及其中的一条直线,该直线还经过点C（3,﹣10）．
13.已知y+1与2﹣x成正比，且当x=﹣1时，y=5，则y与x的函数关系是____________．
14.已知直线y=kx+b经过点（2，3），则4k+2b﹣7=_____．
15.已知点M（1，a）和点N（﹣2，b）是一次函数y=﹣3x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是_____．
16.已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为______．
故选C
考点：等腰三角形三线合一
2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°ห้องสมุดไป่ตู้则∠C的度数为（ ）
A.35°B.40°C.45°D.50°
【答案】A
【解析】
∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.
∵AD=DC，
初中数学综合复习等腰三角形(含等边三角形)部分4
初中数学综合复习等腰三角形（含等边三角形）部分4一、选择题1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°．则∠A等于（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C2.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是A、85°B、80°C、75°D、70°【答案】A3.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是( )A．(12)n·75°B．(12)n－1·65°C．(12)n－1·75°D．(12)n·85°【答案】C4.如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB＝BC＝5．若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在方程式y＝﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？()A1A2A3A4CBDEF…第11题图第10题图AB CDEA ．2B ．3C ．4D ．5分析：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ．由AB ＝BC ，△ABC ≌△DEF ，就可以得出△AKC ≌△CHA ≌△DPF ，就可以得出结论．解：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ． ∴∠DPF ＝∠AKC ＝∠CHA ＝90°． ∵AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠BCA ． 在△AKC 和△CHA 中。
中考数学复习专项之等腰三角形(含答案)
等腰三角形一、选择题1、（2022年聊城莘县模拟）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为( ).A ．B ．C ．D ．1答案：B2、(2022年惠州市惠城区模拟)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A.16 B.18 C. 20 D. 16或20 答案：C3、(2022浙江永嘉一模)10．如图，在△ABC 中，AB =BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于点D ，F ，下列结论： ①∠CDF =α；②A 1E =CF ；③DF =FC ；④BE =BF ． 其中正确的有（ ▲ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【答案】C4、（2022重庆一中一模）11．如图，在等腰ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ,D 是AC 上一点．若51tan =∠DBA ，那么AD 的长为 A ． 2 B ．3 C ．2 D ． 1 【答案】A5. （2022江西饶鹰中考模拟）如图,将矩形ABCD 对折，得折痕PQ ，再沿MN 翻折，使点C 恰好落在折痕PQ 上的点C ′处，点D 落在D ′处，其中M 是BC 的中点.连接AC ′，BC ′，则图中共有等腰三角形的个数是( ) A .1 B.2（第1 题图）FED C 1C BAA 1第2题图A BD′ P CD M NE C′Q F第6题CA PBDC.3D.4 答案：C6、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为其底角平分线的交点，将△BCP 沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA=DP ，则∠A 的度数为( ).A.20°B.30°C.32°D.36°D7、 (2022年江苏无锡崇安一模）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ， 使△AMN 的周长最小，则△AMN 的最小周长为…（ ▲ ） A ．2 6 B ．27 C ．4 2D ．5答案：B二、填空题1、（2022年安徽模拟二）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 ．第1题图答案：42．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，ABC ∆为等边三角形，AQ =PQ ，PR =PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①AP 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④BRP ∆≌△QSP ．3、(2022年安徽省模拟六)如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G .下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =1200；③⊿ADF 是正三角形；④12FG AF =.其中正确的结论是 （填所有正确答案的序号）． 答案：①②④4、(2022年福州市初中毕业班质量检查)如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是____ . 1.57．(2022年江苏无锡崇安一模）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ .第1题第3题图 ABCDEF第4题图答案：47.（2022浙江东阳吴宇模拟题）如图，C 、D 、B 的坐标分别为（1, 0）（9, 0）（10, 0），点P （t ，0）是CD 上一个动点，在x 轴上方作等边△OPE 和△BPF ，连EF ，G 为EF 的中点。
等腰三角形经典试题综合训练(含解析)
等腰三角形经典试题综合训练（含解析）一．选择题（共18小题）1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为（）A．0＜a≤5 B．5≤a≤10 C．0＜a＜10 D．0＜a＜53．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°4．等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角为50°，那么这个三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．140°D．40°或140°5．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°7．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE8．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC 于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．4 C．8 D．不确定9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①AD⊥BC；②AE=AF；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C 的距离相等．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点，则∠DGE 的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个13．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°14．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点D在BC上，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．1215．如图，△ABC中，∠ABC=63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB=AD=DE=EC，则∠C 的度数是（）A．21°B．19°C．18°D．17°16．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A．B．C．D．17．如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，则这样的钢条至多需要（）A．5根B．6根C．7根D．8根18．如图，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF的值为（）A．3 B．4 C．D．二．填空题（共8小题）19．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=度．20．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=度．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b 的代数式表示△ABC的周长为．22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=度．23．如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=°．24．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是．25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．26．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．三．解答题（共9小题）27．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．28．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE=OF．29．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBE=∠BAD；（2）当△ABC满足什么条件时，AE=CE．直接写出条件．30．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．31．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．32．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．33．如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．34．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PE∥AB 交BC于点D，交AC于点F．（1）若点P在BC上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF AB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点P在△ABC内（如图二）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出你的猜想，不需要证明．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？等腰三角形综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．2．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为（）A．0＜a≤5 B．5≤a≤10 C．0＜a＜10 D．0＜a＜5【分析】由已知条件腰长是5，底边长为a，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．【解答】解：根据三边关系可知：5﹣5＜a＜5+5，即0＜a＜10．故选C．3．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角=（180°﹣80°）=50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°．故选C．4．等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角为50°，那么这个三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．140°D．40°或140°【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠A=90°﹣50°=40°；如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠BAC=50°+90°=140°，综上所述，顶角等于40°或140°．故答案为：40°或140°．5．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】认真阅读每一问题给出的已知条件，根据等腰三角形的概念、性质判断正误．【解答】解：①等腰三角形的两腰相等，正确；②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．故选D．6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选B．7．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选C．8．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC 于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．4 C．8 D．不确定【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，然后求出∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，根据等角对等边可得BM=ME，CN=NE，然后求出△AMN的周长=AB+AC．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，∴∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，∴BM=ME，CN=NE，∴△AMN的周长=AM+ME+AN+NE=AB+AC，∵AB=AC=4，∴△AMN的周长=4+4=8．故选C．9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①AD⊥BC；②AE=AF；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C 的距离相等．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先根据角平分线的性质可得AD上任意一点到AB，AC的距离相等，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据全等三角形的性质得到AE=AF，根据线段垂直平分线的性质得到AD上任意一点到点B，点C的距离相等．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，AD上任意一点到AB，AC的距离相等，故①③正确；∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△AFD中，∴Rt△ADE≌Rt△AFD，∴AE=AF；故②正确；∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BD，∴AD上任意一点到点B，点C的距离相等，故④正确；故选D．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点，则∠DGE 的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】首先连接DE，DF，由AB=AC，可得∠B=∠C，又由BE=CD，BD=CF，利用SAS可判定△BDE≌△CFD，即可得DE=DF，然后由三线合一的性质，证得DG⊥EF，继而求得答案．【解答】解：连接DE，DF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴DE=DF，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，即∠DGE=90°．故选C．11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2=4，故选：D．12．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个【分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可对称结论．【解答】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个，故选D13．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．14．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点D在BC上，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．12【分析】因为AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，由DE∥AB，可证△CDE为等腰三角形，同理△BDF也为等腰三角形，根据腰长相等，将线段长转化，求周长．【解答】解：∵AB=AC=15，∴∠B=∠C，由DF∥AC，得∠FDB=∠C=∠B，∴FD=FB，同理，得DE=EC．∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE=AF+FB+AE+EC=AB+AC=8+8=16．故四边形AFDE的周长是16．故选C．15．如图，△ABC中，∠ABC=63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB=AD=DE=EC，则∠C 的度数是（）A．21°B．19°C．18°D．17°【分析】设∠C=x．由DE=EC，根据等边对等角得出∠C=∠EDC=x，根据三角形外角的性质得出∠AED=∠C+∠EDC=2x．同理表示出∠ADB=∠ABC=3x，则3x=63°，求出x即可．【解答】解：设∠C=x．∵DE=EC，∴∠C=∠EDC=x，∴∠AED=∠C+∠EDC=2x．∵AD=DE，∴∠AED=∠DAE=2x，∴∠ADB=∠DAE+∠C=3x．∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABC=3x，∴3x=63°，∴x=21°．故选A．16．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠A n﹣1A n B n﹣1的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1==35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，∴∠A n﹣1A n B n﹣1=．故选：C．17．如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，则这样的钢条至多需要（）A．5根B．6根C．7根D．8根【分析】由于焊上的钢条长度相等，并且AP1=P1P2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数不大于90度即可求出最多能焊上的钢条数．【解答】解：如图：∵∠A=∠P1P2A=10°，∴∠P2P1P3=20°，∠P1P3P2=20°，∴∠P1P2P3=140°，∴∠P3P2P4=30°∴∠P3P4P2=30°∴∠P2P3P4=120°∴∠P4P3P5=40°∴∠P3P5P4=40°∴∠P3P4P5=100°∴∠P5P4P6=50°∴∠P4P6P5=50°∴∠P4P5P6=80°∴∠P6P5P7=60°，∴∠P6P7P5=60°，∴∠P5P6P7=60°，∴∠P8P6P7=70°，∴∠P6P8P7=70°，∴∠P6P7P8=40°，∴∠P8P7P9=80°，∴∠P7P9P8=80°，∴∠P9P8P7=20°，∴∠P9P8C=90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上8条．故选D．18．如图，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF的值为（）A．3 B．4 C．D．【分析】连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，根据勾股定理求出CE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，∵AC=BC=5，AB=8，∴AE=4，∴CE==3，∴S△ABC=AB•CE=×8×3=12．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴S△ABC=S△ACD+S△BDC=AC•DE+BC•DF=×5×（DE+DF）=12，∴DE+DF=．二．填空题（共8小题）19．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=75度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=30°，∴∠A=（180°﹣30°）=75°，故答案为：75．20．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=55度．【分析】首先求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠A，从而利用四边形内角和定理求出∠EDF．【解答】解：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E ∴∠C=180°﹣（∠CFD+∠FDC）=55°∵AB=AC ∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°根据四边形内角和为360°可得：∠EDF=360°﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55°∴∠EDF为55°．故填55．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b 的代数式表示△ABC的周长为2a+3b．【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b 故答案为：2a+3b．22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=36度．【分析】根据已知题目中所给的等量关系，用一个角分别表示出其他的角，利用三角形内角和等于180°，便可得出∠C的度数．【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C，又AB=BD，AD=DC，所以∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，由三角形内角和为180°可得，∠C+∠C+3∠C=180°，得∠C=36°．故填36．23．如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=80°．【分析】先利用SSS证明△ABD≌△EBD，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠BED．【解答】解：在△ABD与△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=80°．故答案为80．24．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是cm2．【分析】过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP=∠EBP，结合BP=BP 以及∠APB=∠EPB=90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP=EP，根据三角形的面积即可得出S=S EPC，再根据S△PBC=S△BPE+S EPC=S△ABC即可得出结论．△APC【解答】解：过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，如图所示．∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，∴∠ABP=∠EBP．在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC=S EPC，∴S△PBC=S△BPE+S EPC=S△ABC=cm2．故答案为：cm2．25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．【分析】由于没有说明哪一条边是腰，故需要分情况讨论．【解答】解：∵AC=6，BC=8，∴由勾股定理可知：AB=10，当点P在CB上运动时，由于∠ACP=90°，∴只能有AC=CP，如图1，∴CP=6，∴t==3，当点P在AB上运动时，①AC=AP时，如图2，∴AP=6，PB=AB﹣CP=10﹣6=4，∴t==6，②当AP=CP时，如图3，此时点P在线段AC的垂直平分线上，过点P作PD⊥AC于点D，∴CD=AC=3，PD是△ACB的中位线，∴PD=BC=4，∴由勾股定理可知：AP=5，∴PB=5，∴t==6.5；③AC=PC时，如图4，过点C作CF⊥AB于点F，∴cos∠A==，∴AF=3.6，∴AP=2AF=7.2，∴PB=10﹣7.2=2.8，∴t==5.4；综上所述，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．故答案为：3或6或6.5或5.4．26．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）27．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．【分析】已知AE平分∠BAC，ED∥AC，根据两直线平行同旁内角互补，可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度数．【解答】解：∵BE⊥AE∴∠AEB=90°∵AE平分∠BAC∴∠CAE=∠BAE=42°又∵ED∥AC∴∠AED=180°﹣∠CAE=180°﹣42°=138°∴∠BED=360°﹣∠AEB﹣∠AED=132°28．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE=OF．【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．【解答】证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF．29．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBE=∠BAD；（2）当△ABC满足什么条件时，AE=CE．直接写出条件．【分析】（1）根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．（2）根据等边三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．（2）当△ABC满足是等边三角形的条件时，AE=CE．30．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．【分析】（1）线段BC的中垂线可以直接作出的，不需要附带“过点A作”；（2）根据已知条件利用AAS可证△ABD≌△ACD，得出AB=AC．【解答】（1）解：作辅助线不能同时满足两个条件；（2）证明：作△ABC的角平分线AD．∴∠BAD=∠CAD，在△ABD与△ACD中，∵，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB=AC．31．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．【分析】首先过点D作DM∥AC交BC于M，易证得△DMF≌△ECF，继而证得DF=EF．【解答】证明：过点D作DM∥AC交BC于M，∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵BD=CE，∴MD=CE，在△DMF和△ECF中，，∴△DMF≌△ECF（AAS），∴DF=EF．32．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=25°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB=DC=2，即可求得答案．（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA=DE时，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA=ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．【解答】解：（1）∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠BDA=180°﹣40°﹣115°=25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2）当△ABD≌△DCE时．DC=AB，∵AB=2，∴DC=2，∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°﹣40°）=70°，∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°，∴∠BAD=100°﹣70°=30°；∴∠BDA=180°﹣30°﹣40°=110°；③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°﹣40°=60°，∴∠BDA=180°﹣60°﹣40°=80°；∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．33．如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．【分析】先根据AB=AC，∠A=108°，求得∠C=36°，再过点A作∠DAC=36°，则△ACD和△ABD均为等腰三角形．【解答】解：如图2所示，由AB=AC，∠A=108°，可知∠C=36°，过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC=36°，则△ABD中，∠BAD=72°，∠ADB=72°，△ACD中，∠DAC=∠C=36°，故△ACD和△ABD均为等腰三角形，故射线AD即为所求．34．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PE∥AB 交BC于点D，交AC于点F．（1）若点P在BC上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点P在△ABC内（如图二）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出你的猜想，不需要证明．【分析】（1）先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；（2）根据平行四边形的判定得出四边形AEPF为平行四边形，根据平行四边形的性质，平行线的性质即可得证．【解答】解：（1）答：PD+PE+PF=AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD=0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PF=AE，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠C，∴∠B=∠BPE，∴PE=BE，∴PE+PF=BE+AE=AB，∵PD=0，∴PD+PE+PF=AB；（2）当点P在△ABC内时，结论PD+PE+PF=AB仍然成立．证明：∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF为平行四边形，∴PE∥AF ∵PF∥AB，∴∠FDC=∠B，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDC=∠C，∴DF=CF，∴DF+PE=CF+AF，即DF+PE=AC，又∵DF=PD+PF，AC=AB，∴PD+PF+PE=AB，即上述结论成立．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 针对训练 (含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．82. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论不正确的是()A．∠B＝∠C B．BD＝CDC．AB＝2BD D．AD平分∠BAC4. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形5. 如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C B．AB－BD＝AC－CDC．AB＋BD＝AC＋CD D．AD＝BC6. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE ∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为()A．6 B．8 C．10 D．128. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．309. 如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D.若AC＝3，AB＝4，则DE的长为()A．6 B．7 C．8 D．910. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是()A. AC=AD+BDB. AC=AB+CDC. AC=AD+CDD. AC=AB+BD二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠BFD＝________°.13. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．14. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．15. 如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△P AC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．三、解答题16. 如图所示，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD 于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．17. 如图所示，点E在△ABC中AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC 于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.18. 如图①，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F.探究一：猜想图①中线段EF 与BE ，CF 间的数量关系，并证明． 探究二：设AB ＝8，AC ＝6，求△AEF 的周长．探究三：如图②，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BO 与△ABC 的外角平分线CO 交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F.猜想这时EF 与BE ，CF 间又是什么数量关系，并证明．19. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．20. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD⊥BC；(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练-答案一、选择题1. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于 6.2. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.3. 【答案】C4. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．5. 【答案】D[解析] 由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB＝AC.由等式的性质，根据AB－BD＝AC－CD，AB＋BD＝AC＋CD，又BD＝CD，均可得AB＝AC.选项D不能得到AB＝AC.6. 【答案】C【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC，BD＝CD，在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，由勾股定理得BD＝4，∴BC＝2BD＝8.7. 【答案】C[解析] ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.∵△AED的周长为16，∴AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝16.∵AD＝6，∴AB＝10.8. 【答案】B[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB ＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.9. 【答案】B[解析] 由题意得∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB.根据平行线的性质得∠DCB＝∠ADC，∠EBC＝∠AEB，所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB.所以AD＝AC，AB＝AE.所以DE＝AD＋AE＝AC＋AB＝3＋4＝7.10. 【答案】D二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B作BD⊥AC于点D.∵∠A＝30°，AB＝12，∴在Rt△ABD中，BD＝12AB＝12×12＝6.∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】7013. 【答案】30[解析] ∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC.∵∠OBM ＝∠OBC ， ∴∠MOB ＝∠OBM. ∴MO ＝MB.同理NO ＝NC.∴△AMN 的周长＝AM ＋MO ＋AN ＋NO ＝AM ＋MB ＋AN ＋NC ＝AB ＋AC ＝30.14. 【答案】85或14 [解析] ①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为180°－80°2＝50°， ∴特征值k ＝80°50°＝85.②当∠A 为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°， ∴特征值k ＝20°80°＝14. 综上所述，特征值k 为85或14.15. 【答案】105°或55°或70° [解析] (1)如图①，点P 在AB 上时，AP ＝AC ，顶角∠A ＝105°.(2)∵∠B ＝20°，∠BAC ＝105°， ∴∠ACB ＝180°－20°－105°＝55°.点P 在BC 上时，如图②，若AC ＝PC ，则顶角∠C ＝55°.如图③，若AC ＝AP ，则顶角∠CAP ＝180°－2∠C ＝180°－2×55°＝70°. 综上所述，顶角为105°或55°或70°.三、解答题16. 【答案】[解析] 由已知条件易知△ABE ≌△CAD ，从而BE ＝AD ，只需求PB 的长即可，由BQ ⊥AD 知，若在Rt △BPQ 中有∠PBQ ＝30°就可以求出BP 的长，于是求证∠BPQ ＝60°是解决问题的突破口． 解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝CA. 又AE ＝CD ，∴△ABE ≌△CAD. ∴∠ABE ＝∠CAD ，BE ＝AD.∴∠BPQ ＝∠BAP ＋∠ABE ＝∠BAP ＋∠CAD ＝∠BAC ＝60°. 又BQ ⊥AD ，∴∠PBQ ＝30°. ∴PB ＝2PQ ＝6.∴BE ＝PB ＋PE ＝7.∴AD ＝BE ＝7.17. 【答案】证明：如图所示，过点D 作DG ∥AC 交BC 于点G ，则∠GDF ＝∠E ，∠DGB ＝∠ACB. 在△DFG 和△EFC 中，⎩⎨⎧∠DFG ＝∠EFC ，DF ＝EF ，∠GDF ＝∠E ，∴△DFG ≌△EFC(ASA)．∴GD ＝CE.∵BD ＝CE ，∴BD ＝GD.∴∠B ＝∠DGB.∴∠B ＝∠ACB.∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．18. 【答案】解：探究一：猜想：EF ＝BE ＋CF.证明如下： ∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO ＝∠CBO. ∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠ABO ＝∠EOB.∴BE ＝OE.同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF.探究二：C △AEF ＝AE ＋EF ＋AF ＝AE ＋(OE ＋OF)＋AF ＝(AE ＋BE)＋(AF ＋CF)＝AB ＋AC ＝8＋6＝14. 探究三：猜想：EF ＝BE －CF.证明如下：∵BO 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠CBO.∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠EBO ＝∠EOB.∴BE ＝OE. 同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE －OF ＝BE －CF.19. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.20. 【答案】解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴点A 在BC 的垂直平分线上．∵DB ＝DC ，∴点D 在BC 的垂直平分线上． ∴直线AD 是BC 的垂直平分线．∴AD ⊥BC. (2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD. ∴∠BAD ＝∠EDA.∴DE ＝AE. (3)DE ＝AC ＋BE.理由：同(2)得∠BAD ＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.。
等腰三角形的复习[1]
![等腰三角形的复习[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/9fba17d376a20029bd642d39.png)
D
B
C
E
4、如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，请说明 如图，在等边△ABC中 AF=BD=CE， △DEF也是等边三角形的理由 DEF也是等边三角形的理由
解：∵△ABC是等边三角 ABC是等边三角 ∵CE=BD ∴CD=AE ∴AC=BC ∠A=∠C ∴BC－BC=AC－ ∴BC－BC=AC－CE
已知，如图，等边△ABC和等边 例3、 已知，如图，等边△ABC和等边 CDE中 求证： △CDE中。求证：BE=AD
分析： 分析：要证明的两条线段分布在 两个不同的三角形中， 两个不同的三角形中，考虑先 证线段所在的三角形全等， 证线段所在的三角形全等， 根据等边三角形的性质，易得 根据等边三角形的性质， AC=BC，CE=CD， AC=BC，CE=CD，
三个角都等于60 三个角都等于60°的三角形 60°
A
三条边都相等的三角形
C
有一个角等于60 有一个角等于60°的等腰 60° 三角形
例1、已知，如图，AB=AC，AD=AE， 已知，如图，AB=AC，AD=AE， 求证： 求证：BD=EC
方法一： 方法一：利用全等知识 方法二：利用“三线合一” 方法二：利用“三线合一”
6 9 6 ( ) 9 12
6
(
×
)
如图, ABC中 3、 如图, 在 △ ABC中, ∠ ABC=60º, 延长BC BC到 ∠ ACB=80º, 延长BC到E, 使 CE=AC, 反 向延长BC到 向延长BC到D, 使 BC
110º BD=AB, 则∠ DAE=_____.
A
400 600 800
A
B D F E C
例2、如图，等边△ABC中，∠B、∠C的平分 如图，等边△ABC中 线交于点O OE∥AB，OF∥AC， 线交于点O ，OE∥AB，OF∥AC，求图中等腰 三角形的个数。 三角形的个数。
等腰三角形复习练习
C
1、22221106532x y x y y x ÷⋅
2、m
n n n m m m n n m -+-+--2
2、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。
求先遣队和大队的速度各是多少？
3、（1）021211=-++-x x x x ； （2）3
423-=--x x x ；
4、如图所示，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE 试说明BD=CE 的理由。
E B C
2、已知如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上一点，过D 作DE ⊥BC 与E ，并与CA 的延长线相交于F ， 试说明AD=AF 的理由。
3．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于I ，过点I 作D E ∥BC ，分别交AB 、AC 于D 、E ，若BD=5cm ，CE=4cm ，则DE= 。
4、已知：点O 到△ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，且OB=OC ．
（1）如图1，若点O 在边BC 上，求证：AB=AC ；
（2）如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB=AC ；
（3）若点O 在△ABC 的外部，AB=AC 成立吗？请画图表示．
B A C
I D E。
九年级数学中考复习 等腰三角形中的分类讨论 专题提升训练
九年级数学中考复习《等腰三角形中的分类讨论》专题提升训练（附答案）一．选择题1．一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定2．一个等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角的度数为（）A．40°B．55°C．70°D．40°或70°3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y 轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个4．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（）个．A．6B．8C．10D．125．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（）A．22°50′B．67.5°C．22°50′或67°50′D．22.5°或67.5°6．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A．23B．19.5或23C．9或23D．9或19.5或23二．填空题7．已知（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长为．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，5）、（5，1），若点C在x轴上，且A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的C点共有个．9．如图，△ABC，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF为等腰三角形，则∠A的度数为．10．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成了12和18两部分，这个三角形的底边长为．11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝30cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动秒时，P A与△ABC的腰垂直．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝秒．13．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处，折痕为OE．在x轴正半轴上存在一点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形，则点P的坐标为．14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝7AD＝7，∠B＝45°，等腰直角三角形EMN中，含45°角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A，斜边EN 与CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF的长为．三．解答题15．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．16．如图矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．17．在△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交线段BC于点F．（1）如图1，当∠BAC＝90°，DE∥AC时．①AE和BC有怎样的位置关系，为什么？②若BF＝8，EF＝4，求线段AB的长．（2）如图2，若∠C＝3∠B，折叠后要使△DEF和△AFC，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时∠B的度数．18．如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B和点C，点A的坐标为（8，0），点P （x，y）是直线上第一象限内的一个动点．（1）求△OP A的面积S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当△OP A的面积为10时，求点P的坐标；（3）在直线BC上是否存在点M，使以O，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式．（2）E是线段BC上的动点．过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当EF的长度最大时，求E点坐标．（3）点P从点B出发沿BC以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时点Q从点O 出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，点Q到达终点B时，两点同时停止运动连接PQ，当△BPQ是等腰三角形时，请求出运动的时间．20．如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC 于点E，连接AD交BC于点F．（1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小；（2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值；（3）连接OF，⊙O的直径为4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的长．参考答案一．选择题1．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，∵2+2＝4＜5，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，故选：B．2．解：分两种情况：当等腰三角形的一个底角为70°时，另一个底角也是70°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×70°＝40°；当等腰三角形的顶角为70°时，∴等腰三角形的两个底角都＝×（180°﹣70°）＝55°；综上所述：等腰三角形的顶角的度数为40°或70°，故选：D．3．解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x 轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，因此共有8个符合条件的点．故选：D．4．解：如图：分三种情况：当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C2，当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C4，当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7，C8，综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，故选：B．5．解：分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝67.5°，∴这个等腰三角形的底角为67.5°；当等腰三角形是钝角三角形时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝135°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝22.5°，∴这个等腰三角形的底角为22.5°；综上所述：这个等腰三角形的底角为22.5°或67.5°，故选：D．6．解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，7，∴4x﹣3＝7，∴x＝2.5，∴3x﹣2＝5.5，∴等腰三角形的周长＝7+7+5.5＝19.5；②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，7，∴3x﹣2＝7，∴x＝3，∴4x﹣3＝9，∴等腰三角形的周长＝7+7+9＝23；③当7是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3，∴3x﹣2＝4x﹣3，∴x＝1，∴3x﹣2＝1，4x﹣3＝1，∵1+1＜7，∴不能构成三角形．则三角形的周长为19.5或23．故选：B．二．填空题7．解：∵（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，∴a＝4，b＝3，分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11；当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10；综上所述：等腰三角形的周长为11或10，故答案为：11或10．8．解：如图：分三种情况：当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交x轴于点C1，C2，当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交x轴于点C3，C4，当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交x轴于点C5，综上所述：若点C在x轴上，且A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的C 点共有5个，故答案为：5．9．解：当AE＝AF时，∠AFE＝∠AEF＝（180°﹣∠A），∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，∴∠AFD＝120°，∴（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝40°，当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，则180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝50°．当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意，综上所述，∠A＝40°或50°，故答案为：40°或50°．10．解：如图：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，∴AD＝DC＝AC，分两种情况：当时，解得：，∴这个三角形的底边长为14；当时，解得：，∴这个三角形的底边长为6；综上所述：这个三角形的底边长为14或6，故答案为：14或6．11．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，分两种情况：当P A⊥AC时，如图：∴∠CAP＝90°，∴CP＝2AP，∠BAP＝∠BAC﹣∠P AC＝30°，∴∠B＝∠BAP＝30°，∴BP＝AP，∴CP＝2BP，∵BC＝30cm，∴BP＝BC＝10（cm），∴t＝10÷2＝5，∴当P点移动5秒时，P A与△ABC的腰AC垂直；当AP⊥AB时，∴∠BAP＝90°，∴BP＝2AP，∠CAP＝∠BAC﹣∠P AB＝30°，∴∠C＝∠CAP＝30°，∴CP＝AP，∴BP＝2CP，∵BC＝30cm，∴BP＝BC＝20（cm），∴t＝20÷2＝10，∴当P点移动10秒时，P A与△ABC的腰AB垂直；综上所述：当P点移动5或10秒时，P A与△ABC的腰垂直，故答案为：5或10．12．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，由勾股定理得：BC＝＝＝6．当F A＝FB时，DF⊥AB，∴AD＝AB＝×10＝5，∴t＝；当AF＝AB＝10时，∠ACB＝90°，则BF＝2BC＝12，∴AB•DF＝BF•AC，即×10×DF＝×12×8，解得：DF＝，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴t＝÷2＝；当BF＝AB＝10时，∵BF＝10，BC＝6，∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4，由勾股定理得：AF＝＝＝4，∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝8，∴AD＝＝＝4，∴t＝4÷2＝2；综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为或或2．故答案为：或或2．13．解：由题意得，C（0，5），N（3，0），∴ON＝3，由折叠得，OG＝OC＝5，∵∠ONG＝90°，∴NG＝＝＝4，∴G（3，4），设P（x，0），当x＜0时，如图4，由OP＝OG＝5，得x＝﹣5，∴P（﹣5，0）；当x＞0时，如图5，PO＝PG＝x，则PN＝x﹣3，∵∠PNG＝90°，∴PG2＝PN2+GN2，∴x2＝（x﹣3）2+42，解得x＝，∴P（，0）；如图6，OP＝OG＝5，∴P（5，0）；如图7，PG＝OG，∵GN⊥PO，∴PN＝ON＝3，∴OP＝6，∴P（6，0）．综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．故答案为：（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．14．解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝7AD＝7，∴BM＝（BC﹣AD）＝（7﹣）＝3，∠C＝∠B＝45°，∵∠B＝45°，∴AB＝BM×＝6，①如图1，AE＝BE时，∵∠B＝45°，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝3，∴CE＝BC﹣BE＝7﹣3＝4，又∵∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF＝CE＝4；②如图2，AB＝BE时，∵∠B＝45°，∴∠AEB＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠CFE＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE，∵BC＝7，AB＝6，∴CF＝CE＝BC﹣BE＝7﹣6；③如图3，AB＝AE时，∠AEB＝∠B＝45°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝6，∴CE＝BC﹣BE＝7﹣6＝，∴CF＝CE＝×＝2；综上所述，CF的长为4或7﹣6或2．故答案为：4或7﹣6或2．三．解答题15．（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，所以此方程是有实根．（2）①若b＝c，则此方程有两个相等实根，此时k﹣2＝0，则k＝2，原方程为：x2﹣4x+4＝0，x1＝x2＝2，∴另外两边长为2和2，②若a＝c，则a＝1是方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的根，∴12﹣（k+2）+2k＝0，∴k＝1，原方程为x2﹣3x+2＝0，x1＝1，x2＝2，因为以1、1、2为边不能构成三角形．由①②得，三角形另外两边长2，2．16．解：设AP＝x，则PD＝4﹣x，∵PE⊥BP，∴翻折后，PE⊥BB’，∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，∴BP＝＝，①若B'P＝PD即BP＝PD，∴＝4﹣x，解得：x＝；②若B'P＝B'D，过B'作B'F⊥AD于F，则PF＝DF＝（4﹣x），又∵B'P＝BP，∠A＝∠B'FP＝90°，∠APB＝∠B'PF，∴△ABP≌△FB'P（AAS），∴AP＝PF，即x＝（4﹣x），解得：x＝；③若PD＝B'D，同②可得△ABP≌△FB'P，∴PF＝AP＝x，B'F＝AB＝2，∴FD＝4﹣2x，PD＝B'D＝4﹣x，在Rt△FB'D中，B'D2＝B'F2+FD2，即（4﹣x）2＝（4﹣2x）2+22，整理，得：3x2﹣8x+4＝0，解得：x＝2或x＝，综上所述，AP的长为或或或2．17．解：①AE垂直BC，理由如下：由折叠可知，∠B＝∠E，∵DE∥AC，∴∠E＝∠EAC，∵∠DFE＝∠AFC，∴∠EDF＝∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠E+∠EDF＝90°，∴∠DFE＝90°，∴AE⊥BC；②设BD＝x，则DF＝8﹣x，由折叠可知，DE＝BD＝x，在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2，∴x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴BD＝5，DF＝3，∵∠B＝∠E，∴tan∠E＝＝，∴AF＝6，在Rt△ABF中，AB＝＝10；（2）∵∠C＝3∠B，∴设∠B＝α，则∠C＝3α，由折叠可知，∠E＝∠B＝α，当∠DFE＝90°时，△DEF是直角三角形，则△AFC是等腰三角形，∴∠C＝45°，∴∠B＝15°；当∠FDE＝90°时，△DFE是直角三角形，则△ACF是等腰三角形，∴∠DFE＝90°﹣α，∴∠AFC＝90°﹣α，当AC＝FC时，2（90°﹣α）+3α＝180°，此时α＝0°，不符合题意，舍去；当AF＝AC时，3α＝90°﹣α，此时α＝22.5°，∴∠B＝22.5°；当AF＝FC时，3α+3α+90°﹣α＝180°，此时α＝18°，∴∠B＝18°；当∠E＝90°时，此时∠B＝90°，∠C＝270°，不成立；当∠C＝90°时，△ACF是直角三角形，此时△DEF不能是等腰三角形，否则AE与BC 边没有交点；当∠AFC＝90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠E＝45°，∴∠B＝45°，此时∠C＝135°，与题意不符合，不成立；当∠F AC＝90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠AFC＝90°﹣3α，∴∠DFE＝90°﹣3α，当DF＝EF时，α+α+90°﹣3α＝180°，此时α＝﹣90°，不成立；当DF＝DE时，90°﹣3α＝α，此时α＝22.5°，∴∠B＝22.5°；当DE＝EF时，90°﹣3α＝（180°﹣α），此时α＝0°，不成立；当DE＝EF时，∠C＝3α＝90时，α＝30°，此时△DEF是等腰三角形，△ACF是直角三角形；综上所述，∠B的值为15°、18°、22.5°、30°．18．解：（1）∵点P在直线y＝﹣x+10上，且点P在第一象限内，∴x＞0且y＞0，即﹣x+10＞0，解得，0＜x＜10，∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8，∴S＝•OA•y＝×8（﹣x+10），即S＝﹣4x+40，自变量的取值范围是：0＜x＜10；（2）当S＝10时，﹣4x+40＝10，解得x＝，把x＝代入y＝﹣x+10，得x＝，∴P（）；（3）存在，理由：令y＝0，则﹣x+10＝0，解得：x＝10，∴点B（10，0），点M在直线y＝﹣x+10上，设M（m，﹣m+10），点O（0，0），B（10，0），当OB＝OM时，102＝m2+（﹣m+10）2，解得：m1＝0，m2＝10（不合题意，舍去），∴M（0，10）；当OB＝BM时，102＝（10﹣m）2+（m﹣10）2，解得：，，∴M（10﹣5，5）或（10+5，﹣5）；当OM＝BM时，m2+（﹣m+10）2＝（10﹣m）2+（m﹣10）2，解得：m＝5，∴M（5，5）；综上所述，M（5，5）或（0，10）或（10﹣5，5）或（10+5，﹣5）．19．解：（1）把A（2，0），B（8，0）代入抛物线y＝ax2+bx+6，得：，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）设直线BC的函数表达式是y＝kx+6，∵直线BC过点B（8，0），∴0＝8k+6，解得，∴直线BC的函数表达式是．设点E的坐标是，∵EF⊥x轴，∴点F的坐标是，∴EF＝（﹣m+6）﹣（m+6）＝﹣3m＝﹣+6，∵﹣＜0，∴当m＝4时，EF取最大值6，此时E点坐标为（4，3）；（3）设运动的时间为t秒，则BP＝OQ＝t，∴BQ＝OB﹣OQ＝8﹣t．①当PQ＝PB时，过点P作PD⊥QB于D，如图，∵点C的坐标是（0，6），点B（8，0），∴OC＝6，OB＝8，∴CB＝＝10．∵PQ＝PB，PD⊥QB，∴BD＝BQ＝（8﹣t）．∵PD⊥OB，OC⊥OB，∴OC∥PD，∴，即，∴；②当QP＝QB时，过Q作QE⊥PB于E，如图，∵QP＝QB，QE⊥PB，∴BE＝BP＝t，∵∠EBQ＝∠OBC，∠BEQ＝∠BOC＝90°，∴△BEQ∽△BOC，∴，∴，∴；③当PB＝QB时，如图，则8﹣t＝t，解得：t＝4．综上所述，当t的值为4或或时，△PBQ为等腰三角形．20．解：（1）连接OC，如图，∵AD＝BC，∴，∴∠AOD＝∠BOC．∴∠AOC＝∠BOD．∵OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD．∵∠COD+∠BOD+∠AOC＝180°∴∠AOC＝60°．∴∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）连接AC，如图，∵OD⊥BC，∴E是BC中点，∵OA＝OB，∴OE∥AC，AC＝2OE，∵AF：DF＝3：2，∴AC：DE＝AF：DF＝3：2．设AC＝3x，则DE＝2x，∴OE＝x，∴OD＝OB＝x．∴sin∠ABC＝OE：OB＝；（3）①当DF＝OF时，如图，∵FE⊥DO，∴DE＝OE＝OD＝1，∴AC＝2OE＝2，BE＝＝．∴CE＝BE＝．∴BC＝2BE＝2．∵OD∥AC，∴CF：EF＝AC：DE＝AF：DF＝2：1．∴EF＝CE＝．∴DF＝＝，∴AF＝2DF＝．∴AD＝AF+DF＝2；②当DF＝OD＝2时，如图，设OE＝x，则DE＝2﹣x，AC＝2x，∵OD∥AC，∴DF：AF＝DE：AC，∴AF＝．∴AD＝．过点O作OH⊥AD于H，则AD＝2DH．在△DHO和△DEF中，，∴△DHO≌△DEF（AAS）．∴DH＝DE，∴AD＝2DE，∴．解得：或（舍去），∴AD＝2DE＝﹣1．综上所述，AD长或2．。
2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析
2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。
则A，B，C，D的面积的和等于 ()A、B、C、D、4、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A、B、C、3D、47、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为()A、B、C、D、8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ，若AD=6，则CD是（）A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④10、（xx•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（xx•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（xx•黔东南州）xx年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是________，对角线的长是________．14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于________.15、（xx•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．16、（xx•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．17、（xx•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B 的度数．19、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.21、（xx•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n 的值．22、（xx•贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．23、（xx•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）24、（xx•义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q 是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
中考数学专题复习等腰三角形练习(含答案)
中考数学专题复习等腰三角形练习一、选择题1. 如图所示，线段AC 的垂直平分线交线段AB 于点D ，∠A=50°，则∠BDC=( )A .50°B .100°C .120°D .130°2. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为( )A ．42°B ．69°C ．69°或84°D ．42°或69°3. 如图，等边三角形OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( )A .(1，1)B .(1，) 3C .(，1)D .()33，34.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°CEF5.如图，在△ABC 中，AB =BC ∠BAC =30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为( )A.B.9C.6D.6.如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠PAH 的度数（ ）A ．随着θ的增大而增大B ．随着θ的增大而减小C ．不变D ．随着θ的增大，先增大后减小7.如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知ABC ∆,40AC BC A =∠=︒的度数为BCG ∠A ．B ．C ．D ．40︒45︒50︒60︒8.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm 2的是（ ）A．B．C．D．二、填空题9. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a-b)2的值是 .10.等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．11.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC 是等边三角形，则∠B＝________°．12.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB 的中点．若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．ECB A13.若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为__________．72 14. 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分别连接AP ，BP ，CP ，若AP=6，BP=8，CP=10，则S △ABP +S △BPC = .15.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为 ．MDC BA 16.如图，在直角坐标系中，点A (1，1)，B (3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA ＝CB ，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为．三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.19.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．FDEC AB 20. （12分）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．【问题解决】如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE +CF ＝CD ；【类比探究】如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．21. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，AD 是BC 边上的高．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF 由BC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1 cm/s ，EF //BC ，并且EF 分别交AB 、AD 、AC 于点E ，Q ，F ，连接PQ .若设运动时间为t (s)(0＜t ＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D [解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.3. 【答案】B [解析]过点B作BH⊥AO于点H，∵△OAB是等边三角形，33∴OH=1，BH=，∴点B的坐标为(1，).4. 【答案】B【解析】可利用三角形的外角性质求∠FEC的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠EDC、∠B均与∠C相等．即：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝65°．∵DF∥AB，∴∠EDC＝∠B＝65°．∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°．5. 【答案】D【解析】∵分别以点A、C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°.∵AB=BC ，AD=CD ，连接BD 交AC 于点E ，∴BD 垂直平分AC ，∴∠AEB=90°.∵∠BAC=30°， AB= ∴，AE=，∴AC=3．32在R t △ADE 中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=，∴∴BD=32=∴四边形ABCD 的面积为：．3333221=⨯⨯6. 【答案】C【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，旋转的性质．由旋转得BC=BP=BA ，∴△BCP 和△ABP 均是等腰三角形.在△BCP 中，∠CBP=θ，BC=BP ，∴∠BPC=90°-θ.在△ABP 中，∠ABP=90°-θ，同理得∠12APB=45°+θ，∴∠APC=∠BPC +∠APB =135°，又∵∠AHC=90°，∴∠12PAH=45°，即其度数是个定值，不变．因此本题选C ．7. 【答案】C【解析】由作法得，∵，∴平分，，CG AB ⊥AB AC =CG ACB ∠A B ∠=∠∵，∴．故选C ．1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒1502BCG ACB ∠=∠=︒8. 【答案】最小的等腰直角三角形的面积42＝1（cm 2），平行四边形面=18×12×积为2cm 2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm 2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm 2，则A 、阴影部分的面积为2+2＝4（cm 2），不符合题意；B 、阴影部分的面积为1+2＝3（cm 2），不符合题意；C 、阴影部分的面积为4+2＝6（cm 2），不符合题意；D 、阴影部分的面积为4+1＝5（cm 2），符合题意．故选：D ．二、填空题9. 【答案】1 [解析]由勾股定理可得，a 2+b 2=13，直角三角形面积=(13-1)÷4=3，即ab=3，所以ab=6，所以(a -b )2=a 2+b 2-2ab=13-12=1. 1210. 【答案】10或11．【解析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．11. 【答案】30°【解析】本题考查了等边三角形和等腰三角形以及垂直平分线的性质．因为FE 垂直平分BC ，∴ FC ＝FB ∴∠B ＝∠BCF ∵△ACF 是等边三角形，∴∠AFC ＝60° ，∴ ∠B ＝30°12. 【答案】5【解析】∵AB ＝AC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝BC ＝6．在R t △ABD 中，由勾股定理，得AB ＝10．又∵E 12为AB 的中点，∴DE ＝AB ＝5．故答案为5．1213. 【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为，∴等腰三角形的顶角72︒，180727236=︒-︒-︒=︒故答案为：．36︒14. 【答案】16+24 [解析]将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°到△CBP'，连接3PP'，所以P'C=PA=6，BP=BP'，∠PBP'=60°，所以△BPP'是等边三角形，其边长BP 为8，所以PP'=8，S △BPP'=16，3因为PC=10，所以PP'2+P'C 2=PC 2，所以△PP'C 是直角三角形，S △PP'C =24，所以S △ABP +S △BPC =S △BPP'+S △PP'C =163+24.15. 【答案】－2【解析】延长AD 、BC 交于点P ， 作MH ⊥PB 于H .∵AB ∥CD ，∴＝，∠ABC ＝∠DCP ＝60°.∵AD ＝BC ＝CD ＝4，∴PD ＝PD AD PC BCPC ，∴△PDC 为等边三角形，∴PD ＝PC ＝CD ＝4，∠P ＝60°. 由∠AMD ＝90°，可知点M 在以AD 为直径的⊙E 上，且在四边形ABCD 内的一个动点，根据垂线段最短可知E 、M 、H 三点共线时MH 最小.在R t △PEH 中，EP ＝6，∠P＝60°，∴EH ＝EP ·sin 60°＝∴MH 的最小值＝EH －EM ＝2.16. 【答案】4＋25【解析】先求点C 的坐标，再利用最短路径知识确定D 点位置，最后求四边形ACBD 的最小周长即可．由点A 与点C 的纵坐标均为1，可知AC ∥x 轴，又点A ，B 是第一象限角平分线上的两点，∴∠BAC ＝45°，又∵CA ＝CB ，∴∠CBA ＝45°，∴AC ⊥BC ，∴C(3，1)，则AC ＝BC ＝2．如图，作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BE 交y 轴于点D ，此时AD ＋BD 的值最小，为线段BE 的长．由轴对称性可知AE=2，则EC=4．在R t △BCE 中，根据勾股定理，得BE ＝＝＝2．∴四边形ACBD 的最小周长为2＋2＋222EC BC +2242+5＝4＋2．55三、解答题17. 【答案】解:(1)(方法一):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°-∠B -∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°.1212(方法二):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°.∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.(2)证明:∵EF ∥AC ，∴∠CAF=∠F ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAF=∠BAF ，∴∠F=∠BAF ，∴AE=FE.18. 【答案】证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ＝90°，(3分)∵BE ⊥AC,∴∠CBE ＋∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠BAD.(5分)19. 【答案】解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，∴∠ABC ＝×(180°－40°)＝70°．12∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝×70°＝35°．12∵AF ⊥AB ，∴∠BAF ＝90°．∴∠AFE ＝∠BAF ＋∠ABD ＝90°＋35°＝125°．(2)∵BD 平分∠ABC ，BD ＝BD ，AD ＝CD ，∴△BDA ≌△BDC ．∴AB ＝BC ．又AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC ．∴△ABC 为等边三角形．∴∠ABC ＝60°，∠ABD ＝30°．∵AD ＝DC ＝2，∴AB ＝4．在R t △ABF 中，AF ＝AB ·tan 30°＝说明：此题中的条件AE ∥BC 是多余的．【解析】(1)由“等边对等角”求出∠ABC ，由角平分线的定义求出∠ABD ，∠AFE 是△ABF 的外角，因此∠AFE ＝∠BAF ＋∠ABD ；(2)由BD 既是△ABC 的角平分线又是中线可知AB ＝BC ，从而推出△ABC 是边长为2的等边三角形．在R t △ABF 中可解出AF ．20. 【答案】【问题解决】在CD 上截取CH ＝CE ，易证△CEH 是等边三角形，得出EH ＝EC ＝CH ，证明△DEH ≌△FEC （SAS ），得出DH ＝CF ，即可得出结论；【类比探究】过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，由平行线的性质易证∠GDC ＝∠DGC ＝60°，得出△GCD 为等边三角形，则DG ＝CD ＝CG ，证明△EGD ≌△FCD （SAS ），得出EG ＝FC ，即可得出FC ＝CD +CE ．【问题解决】证明：在CD 上截取CH ＝CE ，如图1所示：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ECH ＝60°，∴△CEH 是等边三角形，∴EH ＝EC ＝CH ，∠CEH ＝60°，∵△DEF 是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG ＝FC ，∴FC ＝EG ＝CG +CE ＝CD +CE ．21. 【答案】(1)如解图①，连接DF ，解图①∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3，在Rt △ABD 中AD ＝＝4，52－32∵EF //BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴＝，EF BC AQ AD ∴＝，∴EF ＝(4－t )，EF 64－t 432∵EF //BD ，∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形，∴(4－t )＝3，32∴t ＝2，∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；(2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，解图②∵PN //DC ，∴＝，PN DC AP AC ∴＝，PN 35－t 5∴PN ＝(5－t )，35∴y ＝DC ·AD －AQ ·PN 1212＝6－(4－t ) ·(5－t )1235＝6－(t 2－t ＋6)3102710＝－t 2＋t (0＜t ＜4)；3102710(3)存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .解图③∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝AP ＝(5－t )，1212由题意cos ∠CAD ＝＝，AD AC AN AQ∴＝，∴t ＝，12（5－t ）4－t 4573∴当t ＝s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．73∵sin ∠FPH ＝＝sin ∠CAD ＝，∵PA ＝5－＝，AF ＝AQ ÷＝，FH PF 357383452512∴PF ＝，∴FH ＝.712720∴点F 到直线PQ 的距离h ＝(cm)． 720。
等腰三角形复习
E B
∴∠ACB-∠ ACE= ∠ECD-∠ ACE ∴ ∠BCE= ∠ACD，
由“边角边”可证
总结：（图形运动变化）
• 图形变化后方法与思想 不变 • 万变不离其综
3.如图,在直线 l上找一点P,使△PAB是等腰 三角形,问这样的P点有几个?
B
l
A
反思感悟: 确定等腰三角形第三个顶点的位置 1.以AB为腰，分别以A、B为圆心，AB 长为半径画圆，第三个顶点P必在此圆上
(一)回顾知识要点
四大视角看图形
等腰三角形 边
两腰长相等（等角对等边） 两底角相等（等边对等角） 三线合一
B
D C A
角
内部
整体 轴对称图形（对称轴是直线）
记住四大 视角来看 我噢！
(一)回顾知识要点 基础题
1、等腰三角形的一边长为3厘米，另一边的长为 4厘米，则等腰三角形的周长是 10或11 厘米。 等腰三角形两腰长相等 2、等腰三角形有一个内角为100°，则其余的两个 40°，40° 角为 。 等腰三角形两底角相等 A 3、△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC， 4 若AB为5，BC为6，则AD=______。 等腰三角形的“三线合一”
证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB（在同一三角形中， 等边对等角） ∵ BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠BEC=∠CDB=90° ∴∠1+∠ACB=90° ∠2+∠ABC=90°（直角三角形两 个锐角互余） ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ∴BM=CM（在同一三角形中，等角 对等边） ∴ △BCM是等腰三角形
④
等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角是40°， 求等腰三角形的顶角的度数。
A D
七年级数学下册等腰三角形复习题
等腰三角形一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是（）.A. 18cmB. 21cmC. 18cm或21cmD. 无法确定2.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A. 15°或75°B. 140°C. 40°D. 140°或40°3.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm4.在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（）A. 4B. 3C. 2D. 15.已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（）A. 12cmB. 16cmC. 16cm或20cmD. 20cm6.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°7.已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A. 13B. 11或13C. 11D. 128.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A. 36°B. 60°C. 72°D. 108°9.如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）A. 90°B. 75°C. 70°D. 60°10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于（）A. 3B. 4C. 5D. 611.如图,∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于( )A. 6B. 5C. 4D. 312.如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为（）A. 44°B. 66°C. 96°D. 92°二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=______cm．14.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC= ______ ．15.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A=______度．16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=______ ．17.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝____．18.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D，若AB=10，则BD=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）20.如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC.求证：BE＝CF.21.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．22.如图，点、在线段上，，，，与交于点．求证：（）≌．（）试判断的形状．23.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE.24.如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°，求证：△ABC是等边三角形．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键，题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长=5+5+8=18cm；（2）当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长=5+8+8=21cm．因此这个等腰三角形的周长为18cm或21cm．故选C.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键在于分两种情况进行讨论，作出图形更形象直观.分两种情况进行讨论：当三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；当三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解. 【解答】解：如图1，三角形是锐角三角形时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠A=90°-50°=40°；如图2，三角形是钝角三角形时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠BAC=50°+90°=140°，综上所述，顶角等于40°或140°.故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出∠BCD=30°再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，从而求出AB即可．解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，又CD是高，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4cm，∵∠A=30°，∴AB=2BC=8cm，故选C．4.【答案】A【解析】解：∵∠ACB为直角，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，∵CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°-∠B=30°∴AB=2BC，BC=2BD，∴AB=4BD=4．故选：A．先根据∠ACB为直角，∠A=30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．此题主要考查学生对含30度角的直角三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用∠ACB为直角和CD⊥AB于D，求出∠DCB=90°-∠B=30°，以后的问题即可迎刃而解了．5.【答案】D【解析】解：当腰长为4cm时，4+4=8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；当腰长为8cm时，符合三边关系，其周长为8+8+4=20cm．故该三角形的周长为20cm．故选：D．题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故选：A．先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．【解析】解：∵x2-8x+15=0，∴（x-3）（x-5）=0，∴x-3=0或x-5=0，即x1=3，x2=5，∵一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴当底边长和腰长分别为3和5时，3+3＞5，∴△ABC的周长为：3+3+5=11；∴当底边长和腰长分别为5和3时，3+5＞5，∴△ABC的周长为：3+5+5=13；∴△ABC的周长为：11或13．故选：B．由一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案．此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．8.【答案】C【解析】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C．根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，∴∠BCA=∠A=15°，∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°．故选D．根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．10.【答案】A由∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，BD=AD=6，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角形性质的应用．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，∴CD=BD=6×=3．故选：A．11.【答案】C【解析】↵【分析】本题主要考查三角形的外角性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．过D作DG⊥AC于G，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEG=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG的长度是4，又DE∥AB，所以∠BAD=∠ADE，所以AD是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得DF=DG．【解答】解：如下图所示，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=15°+15°=30°，DE=AE=8，过D作DG⊥AC于G，则DG=DE=×8=4，∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∴∠BAD=∠CAD，∵DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF=DG=4．故选C.12.【答案】C本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=42°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=42°，∴∠P=180°-∠A-∠B=96°.故选C．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=BC=×6=3cm，在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD==4cm．故答案为4．14.【答案】12【解析】【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半等知识，正确把握等腰三角形的性质是解题关键．利用等腰三角形的性质得出∠B=30°，进而利用三角形的外角以及直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半得出答案．【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=30°，又∵AB⊥AD，∴∠ADB=60°，∴∠DAC=30°，∴AD=DC=4，∵AD=4，∠B=30°，∠BAD=90°，∴BD=8，∴BC=BD+DC=8+4=12．故答案为12．15.【答案】36【解析】解：设∠A=x∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x，∠BDC=2x∵BD=BC∴∠C=∠BDC=2x，∠DBC=x∵在BDC中x+2x+2x=180°∴x=36°∴∠A=36°．故填36．已知有许多线段相等，根据等边对等角及三角形外角的性质得到许多角相等，再利用三角形内角和列式求解即可．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；根据三角形的边的关系，转化为角之间的关系，从而利用方程求解是正确解答本题的关键．16.【答案】20°【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°．∵BD⊥AC于点D，∴∠CBD=90°-70°=20°．故答案为：20°．根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．17.【答案】2【解析】【分析】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．作PE⊥OB 于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OB于E，∵∠BOP=∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OA，∴∠BCP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2，故答案是2．18.【答案】2.5【解析】解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵AB=10，∴BC=AB=5，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴BD=BC=2.5．故答案为：2.5．先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键．19.【答案】解：∵△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD∴∠BAD=∠ADB=45°，∠DCA=∠CAD∴∠BDA=2∠CAD=45°∴∠CAD=22.5°【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质即可得到∠BDA与∠CAD的关系，从而不难求解．此题主要考查等腰三角形的性质及三角形的外角性质的综合运用．20.【答案】证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，故BE=CF.【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识．先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题，中考常考题型．21.【答案】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，又∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°；（2）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD=∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F=∠CAD，∴∠BAD=∠F，∴AE=FE．【解析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确识别图形是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠F=∠CAD，等量代换得到∠BAD=∠F，于是得到结论．22.【答案】（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）解：△OEF为等腰三角形理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴OE=OF，∴△OEF为等腰三角形.【解析】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE=CF得到BF=CE是证明三角形全等的关键.（1）根据BE=CF得到BF=CE，又AB=DC，∠B=∠C，所以△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，所以是等腰三角形.23.【答案】（1）解：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵∠C=36°，∴∠ABC=36°，∵BD=CD，AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-36°=54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE=∠ABC，∵EF∥BC，∴∠CBE=∠FEB,∴∠FBE=∠FEB，∴FB=FE．【解析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题．本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．∵∠BDE=30°，DE⊥AB，∴∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．【解析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，然后根据等角对等边得到AB=AC，再求得∠B=60°，即可解答．本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．。
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等腰三角形复习训练
【知识梳理】
1．等腰三角形的概念：
有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ． 2．等腰三角形性质定理：
(1)等腰三角形的两个 相等，也可以说成 ． (2) 三线合一：即 ． (3)等腰三角形是 图形．
3．等腰三角形的判定：
(1)有 相等的三角形是等腰三角形．
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．
【例题讲解】
例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
例2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．
例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ． 求证：∠C =∠D ．
例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ．
例5 有关等腰三角形的基本图形．
（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB 交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否正确？
（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ．
（3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．
总结：图3是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有帮助的．
有关的题组练习．
（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ． （2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？
（3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？
(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相应的线段和差关系如何?
推广①当过△ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d ）．
推广②当过△ABC 的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e ）．
（5）如图6，若BD ，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，作DF ∥AC 交BC 于F ．
求证：BC 的长等于△DEF 的周长．
【课后巩固】
1．在△ABC 中，AB =AC ，若∠B =56º，则∠C =__________． 2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为
_____________． 3． 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和（2x －6）cm ，且周长为17cm ，
则第三边的长为________．
4． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，若 ∠CAD =25°，则∠ABE = ，若BC =6，则CD = ．
5．△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =36°，D ．E 是BC 上的
点，∠BAD =∠DAE =∠EAC ，则图中等腰三角形有______个
6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD ．AE ，则∠DAE =_______．
E
D
C
B A
D
C
B
A
E
C
B
A
D
B
A
E D C
B A
8．如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ 周长是．
9．△ABC中，∠C=∠B，D．E分别是AB．AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=______
10．如图，∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根．
11．如图△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC的高，它们相交于H，且AE=BE．
求证：AH=2BD．
12．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠DAB=∠EAC=90°．
求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．13．如图，点D、E在ABC
∆的边BC上，AB AC
=，AD AE
=．
求证：BD CE
=
14．如图，AB AC
=，30
BAD
∠= ，且
AD AE
=．求EDC
∠的度数．
15.如图，ABC
∆中，90
ACB
∠= ，CD BA
⊥于D，AE平
分BAC
∠交CD于F，交BC于E，求证：CEF
∆是等腰三角形．
16．Rt ABC
∆中，AB AC
=，90
BAC
∠= ，O为AB中点，
若点M．N分别在线段AB．AC上移动，且在移动过程中保持
AN BM
=，试判断OMN
∆的形状，并证明你的结论．
17.已知：如图，△ABC中，D在AB上，E在AC延长线上，且BD＝
CE，DE交BC于M，MD＝ME，求证：△ABC是等腰三角形．
18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两
个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等
腰三角形各角度数．
P
Q
M N G
E
M
D
C
B
A。