中考数学二次函数综合经典题及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且

()6,0A -，与y 轴交于点C ．

()1求抛物线的函数解析式； ()2求ABC 的面积；

()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使

APC 的面积最大？若能，请求出点

P 的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】()1 2

134

y x x =

+-；()212；()27334

APC x S =-当时，有最大值

，点P 的坐标是153,4P ⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭． 【解析】 【分析】

(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；

(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；

(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF

CPF

S S

+即可.

【详解】

()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++， ∵函数图象顶点为()2,4M --，

∴2(2)4y a x =+-， 又∵函数图象经过点()6,0A -， ∴20(62)4a =-+- 解得14

a =

， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =

+-，即21

34

y x x =+-；

()2∵点C 是函数2134

y x x =+-的图象与y 轴的交点，

∴点C 的坐标是()0,3-， 又当0y =时，有2

1304

y x x =

+-=， 解得16x =-，22x =， ∴点B 的坐标是()2,0， 则11

831222

ABC

S

AB OC =

⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．

设(),0E x ，则21,

34P x x x ⎛

⎫+- ⎪⎝⎭

，

设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴603k b b -+=⎧⎨

-=⎩

，

解得123

k b ⎧

=-⎪⎨⎪=-⎩，

∴直线AC 的解析式为1

32

y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫

=---+-=-- ⎪⎝⎭

， ∴11

22

APC

APF

CPF

S

S S

PF AE PF OE =+=

⋅+⋅ 222111339327

6(3)22424244

PF OA x x x x x ⎛⎫=

⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC

S

有最大值

27

4

，

此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

． 【点睛】

本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.

2．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .

（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11

(,)4C y ，23(,)4

D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.

【答案】（1）2

(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当1

02

b <<

时，12y y >；②当12b =

时，12y y =；③当14

25b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】

（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)

又∵(0,5)B 在抛物线上，∴2

5(0)41b b =--++，解得2b =

∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A

代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-

（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41

y x =+

上，

∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为

5y x =-+

解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45

215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴点421

(,

)55

E ，(0,1)

F ∵点M 在AOB ∆内，∴405

b <<

当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -

=-，∴12

b = 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上 综上：①当102b <<

时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当14

25

b <<时，12y y <.

【点睛】

本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.

3．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【解析】 【分析】

（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46