中考数学-二次函数的实际应用-典型例题分类
2024中考数学专题 二次函数的应用
二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．题型一利润问题..................................................................................................................................1题型二几何问题................................................................................................................................14题型三构造函数解决实际问题.. (21)题型一利润问题1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．2105607350y x x =--+ B ．2105607350y x x =-++ C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-2．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．(2)若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？3．某运动器材批发市场销售一种篮球，每个篮球进价为50元，规定每个篮球的售价不低于进价．经市场调查，每月的销售量y(个)与每个篮球的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x606264y500480460销售量(1)求y与x之间的函数关系式；(不需求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种篮球销售中获利8000元，又想尽量多给客户实惠，应如何给这种篮球定价？(3)物价部门规定，该篮球的每个利润不允许高于进货价的50%，设销售这种篮球每月的总利润为w(元)，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？4．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？5．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不高于35元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？6．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？7．某公司去年推出一种节能产品，售价(y 元/个)与月销量(x 个)的函数关系如下表，成本为20(元/个)，同时每月还需支出固定广告费47500元.售价y （元/个）119118117116115…月销量x （个）100200300400500…(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，写出y 与x 之间的函数关系式；(2)若出售这种节能产品的月利润为(w 元)，请用含x 的代数式表示月利润w ，并求出当月销售量为5000个时的月利润；(3)该公司去年每个月都销售了5000个这种节能产品．从今年一月份开始，因物价上涨，广告费每月上涨了2500元，产品成本增加了m %，因此售价上调0.6%m 元，由此月销量减少0.4%m ．结果今年一月份的月利润比去年每个月的月利润减少了3500元．求m 698.3≈768.7≈27616.6≈）8．某公司购进一批受环境影响较大的商品，该商品需要在特定的环境中才能保存．已知该商品成本y （元/件）与保存的时间第x （天）之间的关系满足2217y x x =++，该商品售价p （元/件）与保存时间第x （天）之间满足一次函数关系，其对应数据如下表所示．x （天） (1)2…p （元/件）…97105…(1)求商品的售价p （元/件）与保存时间第x （天）之间的函数解析式；(2)求保存第几天时，该天此商品不赚也不亏；(3)请你帮助该公司确定在哪一天卖出时，该天每件商品能获得最大利润，并求此时每件商品的售价是多少？9．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进,A B 两种类型的头盔，已知购进3个A 类头盔和4个B 类头盔共需288元；购进6个A 类头盔和2个B 类头盔共需306元．(1),A B 两类头盔每个的进价各是多少元？(2)在销售中，该商场发现A 类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A 类头盔每个x 元（50100x ≤≤），y 表示该商家每月销售A 类头盔的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．10．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件．(1)则y与x的函数关系式为：______，自变量x的取值范围是：______；(2)每件商品的售价定为多少元时（x为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？a a>元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利(3)若在销售过程中每一件商品都有()0润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围：______．11．跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？12．我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n （株）与第x 天（x 为整数）满足关系式：50n x =-+，销售单价m （元/株）与x 之间的函数关系为1201202420102130x x m x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩（）（）(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y （元）关于第x （天）的函数关系式．(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?13．某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产x 台电子产品的成本y （元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本（单位：元）与x 成正比例，人工成本（单位：元）与x 的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：x （单位：台）2040y （单位：元）21042216(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若某月平均每台电子产品的成本26元，求这个月共生产电子产品多少台？(3)若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x 的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q （单位：元），且有Q mx n =+（m 、n 均为常数），已知当2000x =台时，Q 为35元，且此时销售利润W （单位：元）有最大值，求m 、n 的值（提示：销售利润＝销售收入－成本费用）14．某文具店某种型号的计算器每个进价14元，售价22元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10个以上的，每多买一个，所买的全部计算器每个就降价0.1元，例如：某人买18个计算器，于是每个降价()0.118100.8⨯-=（元），因此所买的18个计算器都按每个21.2元的价格购买，但是每个计算器的最低售价为18元．(1)一次至少购买___________个计算器，才能以最低售价购买(2)写出该文具店一次销售()10x x >个时，所获利润y （元）与x （个）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当1050x <≤时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？15．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植．现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型的农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．河南某地某种粮大户，去年．．种植优质小麦360亩，平均每亩收益440元．他计划今年．．多承租一些土地，预计原来种植的360亩小麦，每亩收益不变．新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．(1)该大户今年．．新承租多少亩土地，才能使总收益为182400元？(2)该大户今年．．应新承租多少亩土地，可以使总收益最大，最大收益是多少？16．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．17．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．18．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数．．；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；a>给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元()0于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．19．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=()()1000002010080002050tt t⎧≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）20．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天12345销售价格p （元/只）23456销量q（只）7075808590物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．题型二几何问题1．如图，四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，点E ，点F 分别为边AD ，CD 中点，点O 为正方形的中心，连接,OE OF ，点P 从点E 出发沿E O F --运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 运动，两点运动速度均为1cm/s ，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为s t ，连接,BP PQ ，BPQ V 的面积为2cm S ，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，ABC 是等边三角形，6cm AB ＝，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，同时点N 从点C 出发沿射线CA 方向以2cm/s 的速度匀速运动，当点M 停止运动时，点N 也随之停止．过点M 作//MP CA 交AB 于点P ，连接MN ，NP ，作MNP △关于直线MP 对称的MN P '，设运动时间为ts ，MN P '与BMP 重叠部分的面积为2cm S ，则能表示S 与t 之间函数关系的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，45A ∠=︒，90C ∠=︒，4cm AD =，3cm CD =．动点M ，N 同时从点A 出发，点M 2cm /s 的速度沿AB 向终点B 运动，点N 以2cm /s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点N 的运动时间为s t ，AMN 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图1，在四边形ABCD 中，,90,45BC AD D A ∠=︒∠=︒∥，动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 2cm /s 的速度沿AB 向点B 运动（运动到B 点即停止），点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD DC →向终点C 运动，设点Q 的运动时间为(s)x ，APQ △的面积为()2cmy ，若y 与x 之间的函数关系的图像如图2所示，当7(s)2x =时，则y =____________2cm ．5．【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长4m AD =，宽1m =AB 的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m 的矩形水池EFGH （如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD 的边AD 加长长度DM 为()()m 0x x >，加长后水池1的总面积为()21my ，则1y 关于x 的函数解析式为：()140y x x =+>；设水池2的边EF 的长为()()m 06x x <<，面积为()22m y ，则2y 关于x 的函数解析式为：()22606y x x x =-+<<，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随EF 长度的增加而减小，则EF 长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________2m ；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的()m x 值是_________；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，()m x 的取值范围是_________；(4)在14x <<范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x 的值；(5)假设水池ABCD 的边AD 的长度为()m b ，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积()23m y 关于()()m 0x x >的函数解析式为：()30y x b x =+>．若水池3与水池2的面积相等时，()m x 有唯一值，求b 的值．6．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．7．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为362m，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？8．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1mAE 的水池且需保证总种植面积为232m，试分别确定CG、DG的长；(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？9．如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P 的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234PP P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P右侧）．10．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？题型三构造函数解决实际问题1．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A ．3B ．2C ．13D ．7米2．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为()A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-3．竖直上抛物体离地面的高度()h m 与运动时间()t s 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0h m 是物体抛出时离地面的高度，()0/v m s 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20/m s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A ．23.5m B ．22.5m C ．21.5m D ．20.5m4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ；那么当水位下降1m 后，水面的宽度为_________m.6．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．7．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间的函数关系是2520h t t =-+，当飞行时间t 为___________s 时，小球达到最高点．8．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．9．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．10．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为2112y x bx c =-++，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．11．如图，水池中心点O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m 时，水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时，水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时，水柱落点距O 点4m ．12．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是________米．13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y=________．。
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-几何问题
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-几何问题一、综合题1．社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示.已知52m AD =，28m AB =，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为2640m .（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，求停车场的月租金收入最多为多少元？2．如图，有长为30m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）如果围成花圃的面积为263m ，那么AB 应确定多长？3．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象经过点A （-1，0）和点D （5，0）.（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；（3）点B是该抛物线与y轴的交点，求四边形ABCD的面积.4．如图，抛物线顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.5．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米，苗圃园的面积为y平方米.（1）求y关于x的函数表达式.（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？6．如图，将直角三角形截出一个矩形PMCN，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点P，M，N分别在AB，AC，BC上，设CN＝x．（1）试用含x的代数式表示PN，并写出x的范围;（2）设矩形PMCN的面积为y，当x为何值时，y取得的最大值是多少?7．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB 边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．（1）若矩形场地面积为160平方米，求矩形场地的长和宽．（2）矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．8．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中y m．的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为()2（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（12m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否符合题意．9．如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH AB交AD于点G，交BC于点H，设CH＝x，BH＝8－2x，CF＝x+2，DF＝3x－3．（1）x的取值范围是；（2）矩形BCFE的周长等于；（3）若矩形ABCD的面积为42，x的值为；（4）求矩形OFCH的面积S的取值范围．10．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m 的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）如图1，怎么才能围成一个面积为2432m的矩形花圃；（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为m x，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．11．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝12S4（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计）．（1）若AE＝x，用含有x的式子表示BE的长；（2）求矩形ABCD的面积y关于x的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE的长．12．矩形管在我们日常生活中应用广泛，石油、天然气的运输，制造建筑结构网架，制造公路桥梁等领域均有应用．如图，若矩形管ABCD的两边长20,6AB cm AD cm==，（1）若点PQ分别从A B、同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x 秒，PBQ 的面积为()2y cm ．求PBQ 面积的最大值；（2）若点P 在边AB 上，从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上，从BC 中点出发，沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动，当点P 运动到AB 中点时，点Q 开始向上运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 运动时间为t 秒，PBQ 的面积为2mcm ．求m 与t 的函数关系式．13．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m ，直角三角形较短直角边长n ，且n ＝m ﹣2，大正方形的面积为S.（1）求S 关于m 的函数关系式；（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m 的值.14．如图（1）问题提出如图1，在ABCD 中，45A ∠=︒，8AB =，6AD =，E 是AD 的中点，点F 在DC 上且5DF =求四边形ABFE 的面积.（结果保留根号）（2）问题解决某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE 按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE 内挖一个四边形人工湖OPMN ，使点O 、P 、M 、N 分别在边BC 、CD 、AE 、AB 上，且满足22BO AN CP ==，AM OC =.已知五边形ABCDE 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，800m AB =，1200m BC =，600m CD =，900m AE =.满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN ？若存在，求四边形OPMN 面积的最小值及这时点N 到点A 的距离；若不存在，请说明理由.15．如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN 和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD ，已知墙长a 米，AD≤MN ，矩形隔离区的一边靠墙，另三边一共用了200米长的隔离带．（1）a=30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）若a=150．求矩形隔离区ABCD 面积的最大值．16．如图，抛物线28y ax bx =++(0)a ≠经过(2,0)A -，(4,0)C 两点，点B 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t ，过点P 作PM BD ⊥，交BC 于点M ，以PM 为正方形的一边，向上作正方形PMNQ ，边QN 交BC 于点R ，延长NM 交AC 于点E .①当t 为何值时，点N 落在抛物线上；②在点P 运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ 为平行四边形？若存在，求出此时刻的t 值；若不存在，请说明理由.17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线3y x =-经过B ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点C 作直线CD y ⊥轴交抛物线于另一点D ，点P 是直线CD 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PE 交CD 于点F ，交BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN AC ⊥于点N ，设点P 的横坐标为t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PC ，过点B 作BQ PC ⊥于点Q （点Q 在线段PC 上），BQ 交CD 于点T ，连接OQ 交CD 于点S ，当ST TD =时，求线段MN 的长.18．如图，抛物线2y x bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，P 为y 轴上的动点，连接AP ，以AP 为对角线作正方形AMPN.（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN 与△AOP 面积之比为5∶2时，求点P 的坐标；（3）当正方形AMPN 有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P 的坐标.19．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点.（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P P 的对应点为E ，点C 的对应点为F.当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标.20．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：设通道的宽为x 米，根据题意得：()()522282640x x --=，解得：34x =（舍去）或6x =，答：通道的宽为6米；（2）解：设月租金上涨a 元，停车场的月租金收入为y 元，根据题意得：()200505a y a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，整理，得()2125101255y a =--+，所以，当25a =时，y 有最大值为10125；答：每停车场的月租金收入最多为10125元.【解析】【分析】（1）设通道的宽为x 米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．（2）设车位的月租金上涨a 元，则租出的车位数量是（50-5a）个，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式求解即可．2．【答案】（1）解：根据题意，得()303S x x =-，即所求的函数关系式为2330S x x =-+．∵03039x <-≤，∴710x ≤<，即S 与x 的函数关系式为S=-3x 2+30x(7≤x ＜10)；（2）解：当263m S =时，233063x x -+=，解得17x =，23x =（不合题意，舍去）．∴当7m AB =时，围成花圃的面积为263m ．【解析】【分析】（1）先求出()303S x x =-，再求出710x ≤<，最后作答即可；（2）先求出233063x x -+=，再求解即可。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数的应用背景1.二次函数在实际问题中的重要性2.常见实际问题与二次函数的关系二、二次函数典型例题解析1.例题一：抛物线与直角三角形的面积问题2.例题二：抛物线与最值问题3.例题三：抛物线与交点问题4.例题四：抛物线与对称性问题三、解决二次函数实际问题的方法与技巧1.利用二次函数的基本性质2.代数法与几何法的结合3.合理运用已知条件四、总结1.二次函数与实际问题的紧密联系2.解决二次函数实际问题的策略与方法正文：二次函数在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解许多现实中的现象，还能为解决实际问题提供有力的工具。
本文将通过解析几道典型的二次函数实际问题例题，来探讨如何巧妙地运用二次函数来解决实际问题。
首先来看一道抛物线与直角三角形的面积问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与x 轴相交于A、B 两点，且AB = 4，点C 到AB 的距离为h。
求抛物线与三角形ABC 的面积。
解析：通过将抛物线与x 轴相交的点A、B 坐标代入解析式，可以求得a、b、c 的值，进一步计算出顶点坐标。
由于已知AB = 4，可以根据顶点到AB 的距离公式求得h，最后利用三角形面积公式计算出结果。
接下来是抛物线与最值问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 在x = 1 处取得最小值，求a、b、c 的值。
解析：根据抛物线的性质，可以知道当a > 0 时，抛物线开口向上，此时可以通过配方法将解析式转化为顶点式，从而求得最小值点的坐标。
当a < 0 时，抛物线开口向下，此时可以通过配方和换元法求得最值。
再来一道抛物线与交点问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与直线y = mx + n 相交于不同的两点，求a、b、c、m、n 的关系。
解析：将直线方程代入抛物线方程，消去y 得到一个关于x 的二次方程，通过求解该方程可以得到交点的横坐标，再代入直线方程求得纵坐标，从而得到交点坐标。
(完整word版)中考数学 二次函数的实际应用-典型例题分类
二次函数与实际问题1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等）类型一：最大面积问题例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？类型二：利润问题例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）所获利润可以表示为__________________；（4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？300y (件)变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额 总成本）为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？类型三:实际抛物线问题例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-抛球问题
2023年中考数学高频考点训练——二次函数的实际运用-抛球问题一、综合题1．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：2012h v t gt =-（h 是物体离起点的高度，0v 是初速度，g 是重力系数，取210m/s ，t 是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s 的初速度把球向上拋出．（1）球抛出后经多少秒回到起点？（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m ？（3）球离起点的高度能达到6m 吗？请说明理由．2．一名高尔夫球手某次击出的球的高度()h m 和经过的水平距离()d m 满足下面的关系式：20.01h d d =-．（1）当球经过的水平距离为50m 时，球的高度是多少？（2）当球第一次落到地面时，经过的水平距离是多少？（3）设当球经过的水平距离分别为20m 和80m 时，球的高度分别为1h 和2h ，比较1h 和2h 的大小．3．如图，将小球从地面击出，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2205h t t =-．（1）小球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？（2）直接写出小球从飞出到落地需要的时间；（3）小球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？4．如图1，排球场长为18m ，宽为9m ，网高为2.24m ．队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88m ．即BA ＝2.88m ．这时水平距离OB ＝7m ，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）5．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约53米，铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4米处（即4OC=）达到最高点，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题．（1）求铅球所经过路线的函数表达式．（2）铅球的落地点离运动员有多远?6．如图，运动员小成推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约53m（即53OA=）.铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即4OC=）达到最高点，最高点高为3m（即3CD=）.已知铅球经过的路线是抛物线.（1）求该抛物线的函数解析式；（2）请算出小成的成绩为多少米（即OB长）.7．在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面20m9，与篮圈中心的水平距离为7m，球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）此时球能否准确投中？（3）此时，对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？8．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：s/m…912151821…h/m… 4.2 4.85 4.8 4.2…（1）根据表中数据预测足球落地时，s=m；（2）求h关于s的函数解析式；（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功.已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m.①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度.9．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．10．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h(m)和经过的水平距离d(m)可用公式h ＝－0.01d2＋d来估计．（1）当球的水平距离达到50m时．球上升的高度是多少？（2）当球的高度第一次达到16m时．球的水平距离是多少？11．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长．12．（1）解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5；（2）在体质检测时，初三某男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣112x2+x+2，求铅球行进的最大高度是多少？13．如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数12y x=刻画.若小球到达的最高的点坐标为(48)，，解答下列问题：（1）求抛物线的表达式：（2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为3.5，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；（3）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度.14．任意球是足球比赛的主要得分手段之一．在某次足球比赛中，小明站在点O处罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-12)2+h．小明罚任意球时防守队员站在小明正前方9m处组成人墙，防守队员的身高为2.1m，对手球门与小明的水平距离为18m，已知足球球门的高是2.43m．（假定甲．（1）当h=3时，求y与x的关系式．（2）当h=3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由．（3）若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，直接写h的取值范围．15．乒乓球台的横截面如图所示，桌面长274cmAB=，位于球桌中线的球网高15.25cmMN=，以BA的延长线上距A点23cm的O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系．从O点发出的球经过点75(50)4C，，且路径是抛物线的一部分，在距O点水平距离为100cm的地方，球达到最高点．（1）求抛物线的解析式；（2）此球是否可以击中球台且不触网？请说明理由．16．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度1y （米）与小钢球运动时间x （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度2y （米）与它的运动时间x （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出1y 与x 之间的函数关系式；（2）求出2y 与x 之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？17．如图①，小明和小亮分别站在平地上的C D 、两地先后竖直向上抛小球A B 、（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面.A B 、两球到地面的距离1(m)y 和2(m)y 与小球A 离开小明手掌后运动的时间(s)x 之间的函数图象分别是图②中的抛物线12C C 、.已知抛物线1C 经过点(02)P ，，顶点是(17)Q ，，抛物线2C 经过(12)M ，和(25)N ，两点，两抛物线的开口大小相同.（1）分别求出12y y 、与x 之间的函数表达式.（2）在小球B 离开小亮手掌到小球A 落到地面的过程中.①当x 的值为▲时，两小球到地面的距离相等；②当x 为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？18．在高尔夫球训练中，运动员在距球洞10m 处击球，其飞行路线满足抛物线2155by x x =-+，其图象如图所示，其中球飞行高度为()y m ，球飞行的水平距离为()x m ，球落地时距球洞的水平距离为2m .（1）求b 的值；（2）若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式；（3）若球洞4m 处有一横放的 1.2m 高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线2155by x x =-+，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求b 的取值范围.19．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图1所示建立直角坐标系)，抛物线顶点为点B。
完整二次函数的实际应用题
完整二次函数的实际应用题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的实际应用价值。
完整二次函数是指二次函数的导数为零的函数，其图像是一个开口向上或向下的抛物线。
本文将通过几个实际题例，来探讨完整二次函数的应用。
例一：火箭发射假设一个火箭发射到离地面 h 米的高度时，其速度为 v 米/秒。
已知此火箭发射的过程可以用一个完整二次函数来描述，其中 h 是时间 t 的函数。
试找到这个函数表示的抛物线的顶点、开口方向和最大高度。
解：由于抛物线的顶点在 t = -b/2a 处，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数。
而开口方向则取决于二次项系数的正负。
假设这个函数为 h(t) = at^2 + bt + c。
要找到顶点，即求解 t = -b/2a。
根据解析几何的知识，顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 -(b^2 - 4ac)/4a。
因此，顶点的坐标为 (-b/2a, -(b^2 - 4ac)/4a)。
根据问题描述，火箭发射的过程中速度为 v 米/秒，即 h'(t) = v。
由于 h(t) = at^2 + bt + c，我们可以求导，得到 h'(t) = 2at + b。
将 h'(t) = v 代入，得到 2at + b = v。
通过这个方程求解 t 的值，就可以得到对应的时间。
最后，要求出抛物线的开口方向，只需判断 a 的正负即可。
如果 a > 0，则抛物线开口向上；如果 a < 0，则抛物线开口向下。
例二：炮弹的弹道现有一艘炮艇，需要向距离 x 米的目标射击，并且保证炮弹击中的高度为 y 米。
已知炮艇大炮的射击速度为 v 米/秒，角度为α 弧度。
试找到一个二次函数，可以描述炮弹的弹道轨迹。
解：炮弹的弹道轨迹可以用一个二次函数来描述，其中 x 是时间 t 的函数。
假设这个函数为 x(t) = a t^2 + b t + c。
根据物理学原理，炮弹的水平速度始终保持不变，即 dx(t)/dt =v*cos(α)。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：1.二次函数基础知识回顾2.二次函数在实际问题中的应用3.典型例题解析4.结论与建议正文：一、二次函数基础知识回顾二次函数是数学中的一种重要函数类型，其一般形式为y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为常数，且a ≠ 0）。
在初中和高中数学课程中，二次函数占有重要地位，与实际问题的结合尤为紧密。
二、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中的应用广泛，如几何图形、物理运动、经济学等。
以房间定价问题为例，设房间定价为x元，宾馆利润为y，则y = (x - 20)[50 - (x - 180)/10]（1/10）（x - 20）（680 - x）。
当(x - 20)(680 - x) = 660时，即x = 350时，宾馆利润最大。
三、典型例题解析1.面积问题：已知长为x，宽为（40-2x）/2，求面积最大值。
根据抛物线面积表达式，开口向下，当x = 10时，有最大面积为100cm。
2.最值问题：已知二次函数y = 5000(1/x)^2，求销售量最大值。
根据题意，第二年的销售量比第一年多销售x，第三年比第二年多销售x，于是得出y= 5000(1/x)^2。
通过求导可知，当x = 1时，销售量最大。
四、结论与建议二次函数在实际问题中的应用广泛，掌握其基本知识和解题方法至关重要。
在学习过程中，要关注开口向上向下、最值问题等关键点，同时熟练掌握多种解题方法。
在实际应用中，要善于将二次函数模型与实际问题相结合，灵活运用知识解决实际问题。
以上就是关于二次函数与实际问题的典型例题解析，希望对大家的学习有所帮助。
1 用二次函数解实际应用的四种常见类型
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y关于t的函数解析
式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出
最小值．
过点P作PM⊥BC于点M，则易知
BM＝
1 2
BP＝
1 2
(3－t)cm.
∴PM＝
BP 2－BM 2＝ 3 (3－t )cm. 2
∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ
＝ 1×3× 3
3
16
题型 2 实际中的决策问题
6．(中考•资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两 种产品共20台，空调的采购单价y1(元)与采购数 量x1(台)满足y1＝－20x1＋1 500(0＜x1≤20，x1为 整数)；冰箱的采购单价y2(元)与采购数量x2(台)满 足y2＝－10x2＋1 300(0＜x2≤20，x2为整数)．
(1)当球上升的最大高度为3.2米 时，求排球飞行的高度y(单 位：米)与水平距离x(单位： 米)的函数关系式(不要求写 自变量x的取值范围)．
解：根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，
∴设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－7)2＋3.2，
将点C(0，1.8)的坐标代入，得49a＋3.2＝1.8，
当50≤x≤90时，w＝(90－30)(－2x＋200)＝－120x＋12 000.
综上所述，每天的销售利润w与时间x的函数解析式是
w＝
－2x2＋180x＋2 00（0 1 x＜50，且x为整数）, －120x＋12 00（0 50 x 90，且x为整数）
(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？ 并求出最大利润．
∴
b＝40， 50k＋b＝90，
解得
k＝1， b＝40，
中考数学题型7 二次函数的实际应用
类型 2 抛物线形问题
【思路分析】 (1)易知点A为抛物线y= (x-5)2+6与y轴的交点,令x=0可得到点A的纵 坐标,即得到OA的长.(2)利用二次函数与方 程的关系求出点D的横坐标,从而求出OD的长 ,再根据对称性求CD的长.(3)对于y= (x5)2+6,求出当x=10时的函数值,再与EF的长 进行比较可得结论.
【思路分析】 (1)由四块矩形花圃的面积相等,可得ME=BE, MG=GN,进而得到AM=2ME=2BE,等量代换即可得证;(2)由(1)及 题意得2AB+GH+3BC=60,用含x的式子表示出AB,进而表示出矩 形区域ABCD的面积y,再根据二次函数的性质求解即可.
类型 3 面积问题
类型 4 其他问题
类型 1 利润最值问题
【思路分析】 (1)结合图象利用待定系数法求出函数关系式,进而得到自变量 的取值范围.(2)设每天销售获得的利润为w元,根据“总利润=每千克的利润×销 售量”列出w关于x的解析式,配方成顶点式后再利用二次函数的性质求出最大 值.(3)求出当每天销售获得的利润最大时的15天的总销售量,可得在保质期内能 销售完这批草莓,可得如何定价,根据定价可得最大利润.
类型 1 利润最值问题
【自主解答】
解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 将(10,200),(15,150)分别代入,得 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+300. 由-10x+300≥0得x≤30,∴x的取值范围为10≤x≤30. (2)设每天销售获得的利润为w元, 则w=(x-10)y=(x-10)(-10x+300)=-10(x-20)2+1 000, ∵10≤x≤30,-10<0, ∴当x=20时,w取得最大值,最大值为1 000.
中考数学-二次函数在实际生活中的应用
(3)由(2)可知m＝12，m＋1＝13， 设第13天提价a元，由题意，得 w13＝(6＋a－p)(30x＋120)＝510(a＋1.5)， ∴510(a＋1.5)－768≥48，解得a＝0.1. 答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．
解：(2)由题意，得y＝x(－50x＋1 400)－4 800＝－50x2＋1 400x－4 800＝－50(x－14)2＋5 000， 即在0≤x≤20范围内，当x＝14时， y有最大值5 000， ∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，日收益的最大值是5 000元； (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，则y＝0， 即－50(x－14)2＋5 000＝0， 解得x1＝24，x2＝4. ∵x＝24不满足0≤x≤20，不合题意，舍去， ∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．
－20x＋1 500≥1 200， 解得 11≤x≤15，因为 x 为整数，所以 x 可取的值为 11，12， 13，14，15，所以该商家共有 5 种进货方案；
(2)设总利润为w(元)，则 w＝(1 760－y1)x1＋(1 700－y2)x2 ＝1 760x－(－20x＋1 500)x＋1 700(20－x)－[－10(20－x)＋1 300](20－x) ＝1 760x－(－20x＋1 500)x＋1 700(20－x)－(10x＋1 100)(20－x) ＝30x2－540x＋12 000 ＝30(x－9)2＋9 570， 当x＞9时，w随着x的增大而增大，因为11≤x≤15，所以当x＝15时，w最大值＝30×(15－9)2＋9 570＝10 650(元)． 所以采购空调数量15台时，获得的总利润最大，最大利润值为 10 650元．
①0≤x≤5时，w＝(6－4.1)×54x＝102.6x，当x＝5时，w最大 ＝513(元)； ②5＜x≤9时，w＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x＋228， ∵x是整数， ∴当x＝9时，w最大＝741(元)； ③9＜x≤15时，w＝(6－0.1x－3.2)×(30x＋120)＝－3x2＋72x＋336， ∵a＝－3＜0， ∴当x＝－＝12时，w最大＝768(元)； 综上，当x＝12时，w有最大值，最大值为768元；
全国181套中考数学试题分类汇编23二次函数的应用(实际问题)
23：二次函数的应用（实际问题）一、选择题1.（山东济南3分）竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h ＝a t 2＋b t ，其图象如图所示．若小球在发射后第2s 与第6s 时 的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第A ．3sB ．3.5sC ．4.2sD ．6.5s 【答案】C 。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】∵小球在发射后第2s 与第6s 时的高度相等，∴小球在发射后第4s 时的高度最高。
∴看所给时刻中小球的高度最高的只要看那个时刻离4s 最近，而4.2s 离4s 最近，故4.2s 是所给时刻中小球的高度最高的。
故选C 。
2．（河北省3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t ﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是A 、1米B 、5米C 、6米D 、7米【答案】C 。
【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。
【分析】∵高度h 和飞行时间t 满足函数关系式：h=﹣5（t ﹣1）2+6，∴当t=1时，小球距离地面高度最大，h=6米。
故选C 。
3.（广西梧州3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼 杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛 物线y=－14x 2+bx+c 的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（A ）y=－14x 2+34x+1 （B ）y=－14x 2+34x －1 （C ）y=－14x 2－34x+1 （D ）y=－14x 2－34x －1 【答案】A 。
【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。
【分析】由已知知，点A 和B 的坐标分别为（4，0），（0，1）。
根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系将它们分别代入抛物线y=－14x 2+bx+c 可求出b ＝34，c ＝1。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题【实用版】目录1.二次函数的定义和性质2.实际问题中的二次函数应用3.典型例题解析正文二次函数是一种重要的数学函数形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过对二次函数的学习和理解，我们可以更好地解决实际问题，从而提高我们的数学应用能力。
下面，我们将通过一些典型例题，来深入了解二次函数与实际问题的关系。
首先，我们来了解一下二次函数的定义和性质。
二次函数是指形如y=ax+bx+c（a≠0）的函数，其中 a、b、c 是常数，x 是自变量，y 是因变量。
二次函数的性质主要体现在它的图像、顶点、对称轴和开口方向等方面。
具体来说，二次函数的图像可以是向上开口的抛物线，也可以是向下开口的抛物线；它的顶点是抛物线的最高点或最低点，对称轴是抛物线的轴线，开口方向由二次项系数 a 的正负决定。
在了解了二次函数的基本概念后，我们再来看看二次函数在实际问题中的应用。
实际问题中，很多问题都可以用二次函数来描述和解决，比如物体的自由落体运动、抛物线的轨迹问题、人口增长问题等。
这些问题的解决过程，实际上就是对二次函数进行分析和求解的过程。
接下来，我们来解析一些典型的例题，以帮助大家更好地理解和掌握二次函数与实际问题的关系。
例题 1：某商场在进行促销活动，活动期间，每件商品的价格为原价的 80% 加上 10 元。
假设原价为 x 元，求活动期间购买该商品需要支付的金额。
解：设原价为 x 元，活动期间价格为 y 元。
根据题意，可得y=0.8x+10。
这是一个二次函数的形式，其中 a=0.8，b=0，c=10。
通过求解该二次函数，我们可以得到活动期间购买该商品需要支付的金额。
例题 2：一个物体从高度 h 处自由落下，经过 t 秒后，物体离地面的高度为 h"。
已知物体下落的速度是初速度的两倍，求物体下落的高度。
解：设物体下落的高度为 s，初速度为 v，则根据自由落体运动公式，可得 s=vt+0.5gt。
中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。
解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围。
2.几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论。
3.构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题。
练习题1、（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，∵S△ABC＝•AC•BH，∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为×4×4＝8；解法二：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，∴S＝•BC•AD＝•2x•y＝xy，∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，∴16﹣2xy≥0，∴xy≤8，∴当且仅当x＝y＝2时，菜园最大面积＝8米2；方案3：半圆的半径＝米，∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；故选：C ． 2、（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm ，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym ，y 与x 的函数关系式为y ＝2213212++−x x （0≤x ≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．【解答】解：y ＝x 2+x +2＝﹣（x ﹣8）2+4，∵﹣＜0， ∴当x ＝8时，y 有最大值，最大值为4，∴当她与跳台边缘的水平距离为8m 时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．3、（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y ＝﹣121x 2+32x +35，则铅球推出的水平距离OA 的长是 m ．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA 的长就是抛物线与x 轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y ＝0求出相应的x 的值，即可得到OA 的长．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+x +，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．4、（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．5、（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．6、（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．7、（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．8、（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．9、（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．10、（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O 点3m．那么喷头高m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．。
中考复习专题------实际问题与二次函数
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利 润为225元。
国家基础教育课程改革青海省潢中县实验区2004年升中试题
已知二次函数 y=0.5x² +bx+c 的图象经过点A(c，-2)， 求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x＝3。 题目中的黑色部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次 函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象。 若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的黑色部分添加一个适 当的条件，把原题补充完整。
确定自变量的取值范围； （4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方
求出二次函数的最大值或最小值；
（5）检验结果的合理性、拓展等。
例3.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球 出手时离地面高 20 米，与篮圈中心的水平 距离为8米，当球出手后水平距离为4米时 到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为 抛物线，篮圈中心距离地面3米。 问此球能否投中？
●课后练习
1.小明家用长为8米的铝合金
条制成如图所示形状的矩形窗框,
小明爸爸想使窗户透光面积最大, 应怎样设计窗户的长和宽?
设变量,建立函数关 系,并求函数最大值.
8 3x 2
x
2.如图,某小区要在一块空地上修建如图所示形状 的花坛,并分别在两个区域内种上不同的花,已知四 边形ACDE和CBFG都是正方形,AB=2,设BC=x (1)AC=______ (2)设花坛总面积为s,求s与x函数关系式;
Q
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式； (2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB的延长线上时
中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
9．张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形 ．
(2)求出篮球在该运动员出手时的高度．
13．“活力海洋之都，精彩宜人之城”，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市．为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售．已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)如图 ，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个大小一样的正方形孔的排气装置 ， （ ，G，M，N在线段 上，L，R在抛物线上），若要保证两个正方形装置的间距 ，求正方形排气装置的边长 的长．（结果保留根号）
6．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（ ，且x为整数）元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
中考数学考点16二次函数实际应用总复习(解析版)
二次函数实际应用【命题趋势】在中考中.二次函数的实际应用是中考必考考点.常以解答题形式考查.往往会结合方程（组）与一次函数考查。
【中考考查重点】一、二次函数的实际应用-运动类型二、二次函数的实际应用-经济类型三、二次函数的实际应用-面积类型四、二次函数的实际应用-拱桥类型考点一：运动类型考向1 落地模型1.（2021秋•松江区期末）一位运动员投掷铅球.如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+.那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．【答案】3【解答】解：由题意可得：y＝﹣＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3.故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．考向2 最值模型2.（2021秋•信阳期中）烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮.这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t．若这种礼炮在升空到最高点时引爆.则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆.∴t＝﹣＝﹣＝6.∴从点火升空到引爆需要的时间为6s.故选：D．3.（2021秋•越秀区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2.则飞机停下前最后10秒滑行的距离是米．【答案】15【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600.﹣＜0.抛物线开口向下.∴当t＝20时.s有最大值.此时s＝600.∴飞机从落地到停下来共需20秒.飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝585（米）.∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣585＝15（米）.故答案为：15．考点二：经济类型4．（2021秋•克东县期末）某水果商场经销一种高档水果.原价每千克50元.连续两次降价后每千克32元.若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率．（2）若每千克盈利10元.每天可售出500千克.经市场调查发现.在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施.若每千克涨价1元.日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元.且要尽快减少库存.那么每千克应涨价多少元？（3）若使商场每天的盈利达到最大值.则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？【答案】（1）20% （2）涨价5元（3）涨价7.5元.6125元【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a.根据题意.得：50（1﹣a）2＝32.解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2.答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元.由题意.得：（10+x）（500﹣20x）＝6000.整理.得x2﹣15x+50＝0.解得：x1＝5.x2＝10.因为要尽快减少库存.所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元.那么每千克应涨价5元；（3）设商场每天的盈利为y元.由（2）可知：y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000.∵﹣20＜0.∴当x＝﹣＝7.5时.y取最大值.∴当x＝7.5时.y最大值＝（10+7.5）×（500﹣20×7.5）＝6125（元）.答：应涨价7.5元.每天的盈利达到最大值.为6125元．5．（2021秋•郧西县期末）根据对某市相关的市场物价调研.预计进入夏季后的某一段时间.某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示.乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．（1）分别求出y1.y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨.设乙种蔬菜的进货量为t吨．①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大.最大利润是多少元？②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元.则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？【答案】（1）y1＝0.6x .y2＝﹣0.2x2+2.2x（2）2≤t≤6【解答】解：（1）由题意得：5k＝3.解得k＝0.6.∴y1＝0.6x；由.解得：.∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2.当t＝4时.W有最大值9.2.答：甲种蔬菜进货量为6吨.乙种蔬菜进货量为4吨时.获得的销售利润之和最大.最大利润是9200元；②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2.∴t1＝2.t2＝6.∵a＝﹣2＜0.∴当2≤t≤6时.W≥8.4.答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元.则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．考点三：面积类型6．（2021秋•西湖区校级期中）在校园嘉年华中.九年级同学将对一块长20m.宽10m的场地进行布置.设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形）.空白区域为活动区.且4个出口宽度相同.其宽度不小于4m.不大于8m．设出口长均为x（m）.活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时.活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2.绿化区布置成本为8元/m2.布置场地的预算不超过1850元.当x为整数时.请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．【答案】（1）y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）（2）x取8m时.最大面积是176m2（3）x＝5时.活动区面积最大.此时的布置成本为1850元【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）＝200﹣200+30x﹣x2＝﹣x2+30x.∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225.∵﹣1＜0.∵当x＜15时.y随x的增大而增大.∵4≤x≤8.∴当x＝8时.y有最大值.最大值为176.∴当x取8m时.活动区面积最大.最大面积是176m2；（3）设布置场地所用费用为w元.则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x＝﹣2x2+60x+1600.令w＝1850.﹣2x2+60x+1600＝1850.解得：x＝25或x＝5.∵4≤x≤8.∴4≤x≤5.∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x.﹣1＜0.对称轴为直线x＝15.∴当x＝5时.活动区面积最大.此时的布置成本为1850元．考点三：拱桥类型7．（2021秋•建华区期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥.水面在l时.拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3米.水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系.那么抛物线的解析式是．【答案】【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0）.由图象可知该图象经过（﹣2.﹣3）点.故﹣3＝4a.a＝﹣.故y＝﹣x2.故答案为．8．（2021秋•绿园区期末）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形.建立如图所示的平面直角坐标系.其函数关系为.当水面的宽度AB为16米时.水面离桥拱顶的高度OC为m．【答案】4【解答】解：∵水面的宽度AB为16米∴B的横坐标为8.把x＝8代入y＝﹣x2.得y＝﹣4.∴B（8.﹣4）.∴OC＝4m．水面离桥拱顶的高度OC为4m．故答案为：4．9．（2021秋•营口期末）如图①.桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分.在某一时刻.桥拱内的水面宽OA＝8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系.求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来.当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时.桥下水位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾.他的头顶是否会触碰到桥拱.请说明理由（假设船底与水面齐平）．【答案】（1）y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）（2）不会碰到头【解答】解：（1）如图②.由题意得：水面宽OA是8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m.结合函数图象可知.顶点B（4.4）.点O（0.0）.设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4.将点O（0.0）代入函数表达式.解得：a＝﹣.∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4.即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不会碰到头.理由如下：∵小船距O点0.4m.小船宽1.2m.工人直立在小船中间.由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1.∴将＝1代入y＝﹣x2+2x.解得：y＝＝1.75∵1.75m＞1.68m.∴此时工人不会碰到头．1．（2021秋•房山区期末）从地面竖直向上抛出一小球.小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间是s时.小球最高；小球运动中的最大高度是m．【答案】3.45．【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45.∵﹣5＜0.0≤t≤6.∴当t＝3时.h有最大值.最大值为45．故答案为：3.45．2．（2021秋•龙凤区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣0.5t2.飞机着陆后滑行m才能停下来．【答案】200【解答】解：s＝20t﹣0.5t2＝﹣0.5（t﹣20）2+200当t＝20时.s有最大值为200．即飞机着陆后滑行200m才能停下来．故答案为200．3．（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大.精度最高的望远镜．根据有关资料显示.该望远镜的轴截面呈抛物线状.口径AB 为500米.最低点P到口径面AB的距离是100米.若按如图（2）所示建立平面直角坐标系.则抛物线的解析式是．【答案】y＝x2﹣100【解答】解：由题意可得：A（﹣250.0）.P（0.﹣100）.设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100.则0＝62500a﹣100.解得：a＝.故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．故答案为：y＝x2﹣100．4．（2021秋•和平区期末）如图.小明父亲想用长为100m的栅栏.再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m.设矩形ABCD的边AB＝xm.面积为Sm2．（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为.并直接写出x的取值范围是；（2）求当x为多少m时.面积S为1050m2；（3）当AB.BC分别为多少米时.羊圈的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）S＝﹣2x2+100x.30≤x＜50 （2）x为35m时.面积S为1050m2（3）AB＝30m.BC＝40m时.面积S有最大值为1200m2【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm.则BC＝（100﹣2x）m.∴S＝x（100﹣2x）＝﹣2x2+100x.∵0＜100﹣2x≤40.∴30≤x＜50.∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+100x.自变量x的取值范围是30≤x＜50.故答案安为：S＝﹣2x2+100x.30≤x＜50；（2）令S＝1050.则﹣2x2+100x＝1050.解得：x1＝15.x2＝35.∵30≤x＜50.∴x＝35.∴当x为35m时.面积S为1050m2；（3）∵S＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）＝﹣2（x﹣25）2+1250.∵﹣2＜0.∴当x＞25时.S随着x的增大而减小.∵30≤x＜50.∴当x＝30时.S有最大值为1200.∴当AB＝30m.BC＝40m时.面积S有最大值为1200m2．5．（2021秋•龙江县校级期末）某超市销售一种商品.每件成本为50元.销售人员经调查发现.销售单价为100元时.每月的销售量为50件.而销售单价每降低2元.则每月可多售出10件.且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元.并使顾客获得更多的实惠.销售单价应定为多少元？（3）为了每月所获利润最大.该商品销售单价应定为多少元？【答案】(1) y＝﹣5x+550 （2）70元（3）80元【解答】解：（1）依题意得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550.∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）依题意得：y（x﹣50）＝4000.即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000.解得：x1＝70.x2＝90.∵70＜90.∴当该商品每月销售利润为4000.为使顾客获得更多实惠.销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w元.依题意得w＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500.∵﹣5＜0.此图象开口向下.∴当x＝80时.w有最大值为4500元.∴为了每月所获利润最大.该商品销售单价应定为80元．6．（2021秋•宽城区期末）某商场以每件20元的价格购进一种商品.经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系.其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）求w与x之间的函数关系式．（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价.又不高于36元.当每件商品的售价定为多少元时.每天销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣2x+120 （2）w＝﹣2x2+160x﹣2400（3）售价定为36元时.每天销售利润最大.最大利润是768元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）.由所给函数图象可知：.解得.故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120.∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400.即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；（3）w＝﹣2x2+160x﹣2400＝﹣2（x﹣40）2+800.∵﹣2＜0.20≤x≤36＜40.∴当x＝36时.w取得最大值.w最大＝﹣2×（36﹣40）2+800＝768．答：当每件商品的售价定为36元时.每天销售利润最大.最大利润是768元．1．（2020•长沙）“闻起来臭.吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小.但制作流程却比较复杂.其中在进行加工煎炸臭豆腐时.我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下.“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0.a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据.可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟【答案】C【解答】解：将图象中的三个点（3.0.8）、（4.0.9）、（5.0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c 中..解得.所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9.由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t＝﹣＝﹣＝3.75.则当t＝3.75分钟时.可以得到最佳时间．故选：C．2．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时.他将足球从地面向上踢出.足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t.则足球距地面的最大高度是m．【答案】7.2【解答】解：∵h＝﹣5t2+12t.a＝﹣5.b＝12.c＝0.∴足球距地面的最大高度是：＝7.2m.故答案为：7.2．3．（2020•日照）如图.某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD.为美化环境.用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆.篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等.求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下.设BC的长度为xm.矩形区域ABCD的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式.并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）AE＝3BE（2）（0＜x＜）【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等.∴ME＝BE.AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等.即S矩形AMND＝2S矩形MEFN.∴AM＝2ME.∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m.∴2AB+GH+3BC＝100.即.∴．设BC的长度为xm.矩形区域ABCD的面积为ym2.则.∵.∴BE＝10﹣x＞0.解得x＜.∴（0＜x＜）．4．（2020•呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具.若按每件50元销售.一个月可售出500件.销售价每涨1元.月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x ≥50）.月销量为y件.月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下.使月销售利润达到8000元.销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）y= ﹣10x2+1400x﹣40000 （2）8元（3）70元时会获得最大利润9000【解答】解：（1）由题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x.w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000.解得：x1＝60.x2＝80.当x＝60时.成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求.舍去.当x＝80时.成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求.∴销售价应定为每件80元；（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000.又∵﹣10＜0．当x＝70时.w取最大值9000.故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．5．（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①.甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分.在某一时刻.桥拱内的水面宽OA＝8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系.求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来.当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时.桥下水位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾.他的头顶是否会触碰到桥拱.请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③.桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）.该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度.平移后的函数图象在8≤x≤9时.y的值随x值的增大而减小.结合函数图象.求m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）（2）工人不会碰到头（3）5≤m≤8【解答】解：（1）如图②.由题意得：水面宽OA是8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m.结合函数图象可知.顶点B（4.4）.点O（0.0）.设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4.将点O（0.0）代入函数表达式.解得：a＝﹣.∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4.即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不会碰到头.理由如下：∵打捞船距O点0.4m.打捞船宽1.2m.工人直立在打捞船中间.由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1.∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x.解得：y＝＝1.75.∵1.75m＞1.68m.∴此时工人不会碰到头；（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．如图所示.新函数图象的对称轴也是直线x＝4.此时.当0≤x≤4或x≥8时.y的值随x值的增大而减小.将新函数图象向右平移m个单位长度.可得平移后的函数图象.如图所示.∵平移不改变图形形状和大小.∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m.∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时.y的值随x值的增大而减小.∴当8≤x≤9时.y的值随x值的增大而减小.结合函数图象.得m的取值范围是：①m≤8且4+m≥9.得5≤m≤8.②8+m≤8.得m≤0.由题意知m＞0.∴m≤0不符合题意.舍去.综上所述.m的取值范围是5≤m≤8．1．（2021•晋中模拟）在中考体育训练期间.小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析.发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+.由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米B．8米C．10米D．2米【答案】B【解答】解：当y＝0时.即y＝﹣x2+x+＝0.解得：x1＝﹣2（舍去）.x2＝8.所以小宇此次实心球训练的成绩为8米.故选：B．2．（2021•温州模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮.这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆.则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆.∴t＝﹣＝＝6（s）.故选：D．3．（2021秋•岳池县期末）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形.其示意图如图所示.其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时.水面宽度AB为m．【答案】20【解答】解：由题意得.﹣4＝﹣x2.解得x＝±10.即点A的坐标为（﹣10.﹣4）.点B的坐标为（10.﹣4）.这时水面宽度AB为20m.故答案为：20．4．（2021秋•朝阳区期末）一名运动员在平地上推铅球.铅球出手时离地面的高度为米.出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为.当铅球离地面的高度最大时.与出手点水平距离为5米.则该运动员推铅球的成绩为米．【答案】12【解答】解：设铅球出手点为点A.根据题意建立平面直角坐标系.如图：∵当铅球离地面的高度最大时.与出手点水平距离为5米.∴抛物线的对称轴为直线x＝5.∴﹣＝﹣＝＝5.则b＝.又∵抛物线经过（0.）.∴c＝.∴y＝﹣x2+x+.当y＝0时.﹣x2+x+＝0.整理得：x2﹣10x﹣24＝0.解得：x1＝﹣2（舍去）.x2＝12.故答案安为：12．5．（2021•连云港模拟）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t.汽车从刹车到停下来所用时间是秒．【答案】【解答】解：∵s＝﹣3t2+8t.＝﹣3（t﹣）2+.∴当t＝秒时.s取得最大值.即汽车停下来．故答案为：．6．（2021•金堂县模拟）如图.有长为24m的篱笆.一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.并且预留两个各1m的门.设花圃的宽AB为xm.面积为Sm2．（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；（2）若4＜x＜7.则S的最大值是多少？请说明理由．【答案】（1）S＝﹣3x2+26x（5≤x＜）（2）55m2【解答】解：（1）由题可知.花圃的宽AB为x米.则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米.则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x.∵BC＝26﹣3x≤11.3x＜24+2.∴5≤x.∴S＝﹣3x2+26x（5≤x＜）；（2））解不等式组.解得：5≤x＜7.∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x﹣）2+.∵﹣3＜0.∴x＞时.S随x的增大而减小.∴x＝5时.S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．7．（2021•盐城二模）疫情期间.某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”.其进价、售价和每日销量如表所示：进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型400600200B型8001200400根据市场行情.该销售商对A型手写板降价销售.同时对B型手写板提高售价.此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个.B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变.设其中A型手写板每天多销售x个.每天获得的总利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式.并直接写出x的取值范围；（2）要使每天的利润不低于212000元.求出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B型手写板.就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生.若当30≤x≤40时.每天的最大利润为203400元.求a的值．【答案】（1）y＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）（2）20≤x≤40 （3）a＝35【解答】解：（1）由题意得.y＝（600﹣400﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）.即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）；（2）∵y＝﹣10x2+800x+200000＝﹣10（x﹣40）2+216000.∴当y＝212000时.﹣10（x﹣40）2+216000＝212000.解得：x1＝20.x2＝60.要使y≥212000.则20≤x≤60.∵0≤x≤40.∴20≤x≤40.即x的取值范围是：20≤x≤40；（3）设捐款后每天的利润为w元.则w＝﹣10x2+800x+200000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（800+a）x+200000﹣400a.对称轴为.∵0＜a≤100.∴.∵抛物线开口向下.当30≤x≤40时.w随x的增大而增大.∴当x＝40时.w最大.∴﹣10×402+40（800+a）+200000﹣400a＝203400.解得.a＝35．8．（2021•即墨区一模）即墨古城某城门横断面分为两部分.上半部分为抛物线形状.下半部分为正方形（OMNE为正方形）.已知城门宽度为4米.最高处离地面6米.如图1所示.现以O点为原点.OM所在的直线为x轴.OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．（1）求出上半部分抛物线的函数表达式.并写出其自变量的取值范围；（2）有一辆宽3米.高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城.请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛.需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD.该“装饰门”关于抛物线对称轴对称.如图2所示.其中AB.AD.CD为三根承重钢支架.A、D在抛物线上.B.C 在地面上.已知钢支架每米50元.问搭建这样一个矩形“装饰门”.仅钢支架一项.最多需要花费多少元？【答案】（1）（0≤x≤4）（2）消防车能正常进入（3）650元【解答】解：（1）由题意知.抛物线的顶点为（2.6）.∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6.又∵抛物线经过点E（0.4）.∴4＝4a+6.∴a＝.∴抛物线的表达式为.即（0≤x≤4）；（2）由题意知.当消防车走最中间时.进入的可能性最大.即当x＝时.＝4.875＞4.5.∴消防车能正常进入；（3）设B点的横坐标为m.AB+AD+CD的长度为L.由题意知BC＝4﹣2m.即AD＝4﹣2m.CD＝AB＝.∴L＝2×（）+（4﹣2m）＝﹣m2+2m+12.∵0≤x≤4.当m＝＝1时.L最大.L最大＝﹣12+2×1+12＝13.∴费用为13×50＝650（元）.答：仅钢支架一项.最多需要花费650元．9．（2021•路南区一模）某园林专业户计划投资种植树木及花卉.根据市场调查与预测.图1是种植树木的利润y与投资量x成正比例关系.图2是种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系．（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别根据投资种植树木及花卉的图象l1、l2.求利润y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户共投入10万元资金种树木和花卉.其中投入x（x＞0）万元种植花卉.那么他至少获得多少利润？（3）在（2）的基础上要保证获利在20万元以上.该园林专业户应怎样投资？【答案】（1）y＝x2（x≥0）（2）18万元（3）该园林专业户应投资花卉种植超过4万元【解答】解：（1）设l1：y＝kx.∵函数y＝kx的图象过（1.2）.∴2＝k⋅1.k＝2.故l1中y与x的函数关系式是y＝2x（x≥0）.∵该抛物线的顶点是原点.∴设l2：y＝ax2.由图2.函数y＝ax2的图象过（2.2）.∴2＝a⋅22.解得：a＝.故l2中y与x的函数关系式是：y＝x2（x≥0）；（2）因为投入x万元（0＜x≤10）种植花卉.则投入（10﹣x）万元种植树木..∵a＝＞0.0＜x≤10.∴当x＝2时.w的最小值是18.他至少获得18万元的利润．（3）根据题意.当w＝20时..解得：x＝0（不合题意舍）.x＝4.∴至少获得20万元利润.则x＝4.∵在2≤x≤10的范图内w随x的增大而增大.∴w＞20.只需要x＞4.所以保证获利在20万元以上.该园林专业户应投资花卉种植超过4万元．。
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二 次 函 数 与 实 际 问 题
1、理论应用 （基本性质的考查：解析式、图象、性质等）
2、实际应用 （拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等） 类型一：最大面积问题
例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y (㎡)与路宽x (m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？
变式练习1：如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行
的边的长x (m)之间的函数关系式？当x 为多长时，花园面积最大？
类型二：利润问题
例二：某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
设销售单价为x 元，(0＜x ≤13.5)元，那么 （1） 销售量可以表示为____________________； （2） 销售额可以表示为____________________； （3） 所获利润可以表示为__________________；
（4） 当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________
变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
300
y (件)
变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y （万元）与销售时间x （月）之间的关系（即前x 个月的利润之和y 与x 之间的关系）．
（1）根据图上信息，求累积利润y （万元）与销售时间x （月）的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？ （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额 总成本）为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？
类型三:实际抛物线问题
例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式； （2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？并说明理由。
变式练习3：如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽64米，水位上升3米就达到警戒水位线CD ，这时水面宽34米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
变式练习4：如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。
（精确到0.1米）
变式练习5、在平面直角坐标系中，抛物线经过A （-1，0）、B （0，3）两点，与x 轴
交于另一点C ，顶点为D ．
（1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标；
（2）经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；
（3）如图9（2）P （2，3）是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标．
例2图
题图
第3题图
变式：6如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y （m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
课后练习：
一，利润问题：
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
二，面积问题：
2，如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(第5题
)
3. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的示意图放在平面直角坐标系中， 如图该抛物线的解析式为 。
4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系为y ＝－1
12
(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m .
5、如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．
6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
（1） 求这条抛物线所对应的函数关系式； （2） 如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离 水面的高是多少？。