空间直角坐标系试题(含答案)

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高中数学必修二同步练习专题4.3 空间直角坐标系(解析版)

一、选择题1．在空间直角坐标系中，M（–2，1，0）关于原点的对称点M′的坐标是A．（2，–1，0）B．（–2，–1，0）C．（2，1，0）D．（0，–2，1）【答案】A【解析】∵点M′与点M（–2，1，0）关于原点对称，∴M′（2，–1，0）．故选A．2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则OB等于A．13B．14C．23D．13【答案】A3．点B30，0）是点A（m，2，5）在x轴上的射影，则点A到原点的距离为A．2B．2C．3D．5【答案】A【解析】点B30，0）是点A（m，2，5）在x轴上的射影，可得m3A到原点的距离222++2．故选A．(3)254．在空间直角坐标系中，点A（5，4，3），则A关于平面yOz的对称点坐标为A．（5，4，–3）B．（5，–4，–3）C．（–5，–4，–3）D．（–5，4，3）【答案】D【解析】根据关于坐标平面yOz 的对称点的坐标的特点，可得点A （5，4，3），关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为（–5，4，3）．故选D ．5．空间中两点A （1，–1，2）、B （–1，1，22+2）之间的距离是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵A （1，–1，2）、B （–1，1，22+2），∴A 、B 两点之间的距离d =222(11)(11)(2222)++--+--=4，故选B ．6．在空间直角坐标系中，P （2，3，4）、Q （–2，–3，–4）两点的位置关系是A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对【答案】C7．点P （1，1，1）关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是A ．（1，1，–1）B ．（–1，–1，–1）C ．（–1，–1，1）D ．（1，–1，1）【答案】B【解析】∵点P （1，1，1）关于xOy 平面的对称点为P 1，∴P 1（1，1，–1），∴点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是（–1，–1，–1）．故选B ．8．已知点A （2，–1，–3），点A 关于x 轴的对称点为B ，则|AB |的值为A ．4B ．6C 14D ．10【答案】D【解析】点A （2，–1，–3）关于平面x 轴的对称点的坐标（2，1，3），由空间两点的距离公式可知：AB ()()()222221133-++++10，故选D ．9．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （1，2，3）关于x 轴对称的点N 的坐标是A．N（–1，2，3）B．N（1，–2，3）C．N（1，2，–3）D．N（1，–2，–3）【答案】D【解析】∵点M（1，2，3），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点M（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，–2，–3），故选D．10．空间点M（1，2，3）关于点N（4，6，7）的对称点P是A．（7，10，11）B．（–2，–1，0）C．579222⎛⎫⎪⎝⎭，，D．（7，8，9）【答案】A11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，–4，0），点M是A，B的中点，则点M的坐标是A．（1，–1，0）B．（1，–2，1）C．（2，–4，2）D．（1，–4，1）【答案】B【解析】∵点M是A，B的中点，∴M110420222+-+⎛⎫⎪⎝⎭，，，即M（1，–2，1）．故选B．二、填空题12．空间中，点（2，0，1）位于___________平面上（填“xOy”“yOz”或“xOz”）【答案】xOz【解析】空间中，点（2，0，1）位于xOz平面上．故答案为：xOz．13．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则对角线AC1的长为___________．29【解析】∵在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，D （0，0，0），A （4，0，0），B （4，2，0），A 1（4，0，3），∴C 1（0，2，3），∴对角线AC 1的长为|AC 1|=222(04)2329-++=．故答案为：29．14．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为（1，2，3），过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为___________．【答案】（1，2，0）【解析】空间直角坐标系中，点P （1，2，3），过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则点Q 的坐标为（1，2，0），如图所示．故答案为：（1，2，0）．15．若A （1，3，–2）、B （–2，3，2），则A 、B 两点间的距离为___________．【答案】5【解析】由题意，A 、B 两点间的距离为222(12)(33)(22)++-+--=5．故答案为：5． 16．已知A （1，a ，–5），B （2a ，–7，–2）（a ∈R ），则|AB |的最小值为___________．【答案】3617．点A （–1，3，5）关于点B （2，–3，1）的对称点的坐标为___________．【答案】（5，–9，–3）【解析】设点A（–1，3，5）关于点B（2，–3，1）的对称点的坐标为（a，b，c），则12 2332512abc-+⎧=⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得a=5，b=–9，c=–3，∴点A（–1，3，5）关于点B（2，–3，1）的对称点的坐标为（5，–9，–3）．故答案为：（5，–9，–3）．三、解答题18．若点P（–4，–2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是A和B．求线段AB的长．19．在Z轴上求一点M，使点M到点A（1，0，2）与点B（1，–3，1）的距离相等．【解析】设M（0，0，z），∵Z轴上一点M到点A（1，0，2）与B（1，–3，1）的距离相等，∴()222221021(03)(1)z z++-=+++-，解得z=–3，∴M的坐标为（0，0，–3）．20．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2，（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求A1C的长度．【解析】（1）∵正方体的棱长为2，∴A （0，0，2），B （0，2，2），C （2，2，2），D （2，0，2）， A 1（0，0，0），B 1（0，2，0），C 1（2，2，0），D 1（2，0，0）．（2）由（1）可知，A 1（0，0，0），C （2，2，2），A 1C 的长度|A 1C |=222222++=23．21．求证：以A （4，1，9），B （10，–1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．。

高一数学空间直角坐标系试题答案及解析

高一数学空间直角坐标系试题答案及解析1.已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）【答案】A【解析】根据在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于x轴对称的点的坐标．解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选A．点评：本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．2.求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．【答案】见解析【解析】先利用空间两点的距离公式分别求出AB，AC，BC的长，然后利用勾股定理进行判定是否为直角三角形，以及长度是否有相等，从而判定是否是等腰直角三角形．证明：，，，∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d（A，C）．∴△ABC为等腰直角三角形．点评：本题主要考查了两点的距离公式和勾股定理的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．3.如图，长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，A'C'于B'D'相交于点P．分别写出C，B'，P的坐标．【答案】C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．【解析】别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3和长方体在坐标系中的位置，写出B′点的顶点坐标是（3，4，3）和C的坐标，根据中点的坐标公式写出中点P的坐标．解：分别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，则C点的坐标为（0，4，0），D′点的坐标为（0，0，3），B'点的坐标为（3，4，3），由中点坐标公式得：P的坐标为．故答案为：C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．点评：本题考查空间中点的坐标，考查在坐标系中表示出要用的点的坐标，考查中点坐标公式，是一个基础题，这种题目是以后利用空间向量解决立体几何的主要工具．4.在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过点P作平面xOy的垂线PQ，则P，Q两个点的横标和纵标相同，只有竖标不同，在xoy平面上的点的竖标为0，写出要求点的坐标．解：空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则P，Q两个点的横标和纵标相同，只有竖标不同，在xoy平面上的点的竖标为0，∴Q（1，，0）故选D．点评：不同考查空间中点的坐标，是一个基础题，这种题目一般不会单独出现，它只是立体几何与空间向量中所出现的题目的一个小部分．5.坐标原点到下列各点的距离最小的是（）A．（1，1，1）B．（1，2，2）C．（2，﹣3，5）D．（3，0，4）【答案】A【解析】利用两点间的距离分别求得原点到四个选项中点的距离，得出答案．解：到A项点的距离为=，到B项点的距离为=3到C项点的距离为=到D项点的距离为=5故选A点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．属基础题．6.点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（）A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一卦限内【答案】C【解析】从选项中可以看出，此题是考查空间坐标系下坐标平面上点的特征，此点的纵坐标为0，故此点是直角坐标系中xOz平面上的点．解：∵点（2，0，3）的纵坐标为0∴此点是xOz平面上的点故应选C点评：空间直角坐标系下，xOy平面上的点的竖坐标为0，xOz平面上的点的纵坐标为0，yOz平面上的点的横坐标为0，本题考查是空间直角坐标系中点的坐标中三个分量与在坐标系中的位置的对应关系．7.已知点A（1，2，1），B（﹣1，3，4），D（1，1，1），若=2，则||的值是．【答案】．【解析】设出P点的坐标，根据所给的=2和A、B两点的坐标求出P点的坐标，写出向量的坐标，利用求模的公式得到结果．解：设P（x，y，z），∴=（x﹣1，y﹣2，z﹣1）．=（﹣1﹣x，3﹣y，4﹣z）由=2得点P坐标为P（﹣，，3），又D（1，1，1），∴||=．点评：认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．空间向量在立体几何中作用不可估量．8.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点P1的坐标特点为，在Oy轴上的点P2的坐标特点为，在Oz轴上的点P3的坐标特点为，在xOy平面上的点P4的坐标特点为，在yOz平面上的点P5的坐标特点为，在xOz平面上的点P6的坐标特点为．【答案】（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．【解析】考查空间坐标系中坐标轴与坐标平面上点的坐标的结构，Ox轴上的点只有横坐标不为0；Oy轴上的点只有纵坐标不为0；Oz轴上的点只有竖坐标不为0；在xOy平面上的点竖坐标一定为0；yOz平面上的点横坐标一定为0；xOz平面上的点纵坐标一定为0；解：由空间坐标系的定义知；Ox轴上的点P1的坐标特点为（x，0，0），在Oy轴上的点P2的坐标特点为（0，y，0），在Oz轴上的点P3的坐标特点为（0，0，z），在xOy平面上的点P4的坐标特点为（x，y，0），在yOz平面上的点P5的坐标特点为（0，y，z），在xOz平面上的点P6的坐标特点为（x，0，z）．故答案应依次为（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．点评：考查空间坐标系的定义，训练对空间坐标系中坐标轴上的点的坐标结构与坐标平面上的点的坐标结构．9.已知空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A，B，C三点共线，则p= ，q= ．【答案】3；2【解析】根据所给的三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据三个点共线，得到两个向量之间的共线关系，得到两个向量之间的关系，即一个向量的坐标等于实数倍的另一个向量的坐标，写出关系式，得到结果．解：∵A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），∴=（1，﹣1，3），=（p﹣1，﹣2，q+4）∵A，B，C三点共线，∴∴（1，﹣1，3）=λ（p﹣1，﹣2，q+4），∴1=λ（p﹣1）﹣1=﹣2λ，3=λ（q+4），∴，p=3，q=2，故答案为：3；2点评：本题考查向量共线，考查三点共线与两个向量共线的关系，考查向量的坐标之间的运算，是一个基础题．10.求到两定点A（2，3，0），B（5，1，0）距离相等的点的坐标（x，y，z）满足的条件．【答案】6x﹣4y﹣13=0即为所求点所满足的条件．【解析】直接利用空间坐标系中两点间的距离公式得关于x，y的方程式，化简即可得所求的点的坐标（x，y，z）满足的条件．解：设P（x，y，z）为满足条件的任一点，则由题意，得，．∵|PA|=|PB|，平方后化简得：6x﹣4y﹣13=0．∴6x﹣4y﹣13=0即为所求点所满足的条件．点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．11.如图，长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，A'C'于B'D'相交于点P．分别写出C，B'，P的坐标．【答案】C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．【解析】别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3和长方体在坐标系中的位置，写出B′点的顶点坐标是（3，4，3）和C的坐标，根据中点的坐标公式写出中点P的坐标．解：分别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，则C点的坐标为（0，4，0），D′点的坐标为（0，0，3），B'点的坐标为（3，4，3），由中点坐标公式得：P的坐标为．故答案为：C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．点评：本题考查空间中点的坐标，考查在坐标系中表示出要用的点的坐标，考查中点坐标公式，是一个基础题，这种题目是以后利用空间向量解决立体几何的主要工具．12.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M；使M到点N（6，5，1）的距离最小．【答案】点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．【解析】先设点M（x，1﹣x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．解：设点M（x，1﹣x，0）则=∴当x=1时，．∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．点评：本题主要考查了空间两点的距离公式，以及二次函数研究最值问题，同时考查了计算能力，属于基础题．13.试解释方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36的几何意义．【答案】在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．【解析】题中式子可化为：，只要利用两点间的距离公式看看它所表示的几何意义即可得出答案．解：在空间直角坐标系中，方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36即：方程表示：动点P（x，y）到定点（12，﹣3，5）的距离等于定长6，所以该方程几何意义是：在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．点评：本题主要考查了球的性质和数形结合的数学思想，是一道好题．14.已知点P的坐标为（3，4，5），试在空间直角坐标系中作出点P．【答案】见解析【解析】找出P点在横轴和纵轴上的投影，以这两个投影为邻边的矩形的一个顶点是点P在xOy坐标平面上的射影，过这个射影对应的点作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到要求的点．解：由P（3，4，5）可知点P在Ox轴上的射影为A（3，0，0），在Oy轴上射影为B（0，4，0），以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影C（3，4，0）．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P．点评：本题考查空间直角坐标系，考查空间中点的坐标，是一个基础题，解题的关键是能够想象出空间图形，是一个送分题目．15.设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A.10B.C.D.38【答案】A【解析】点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，写出点B的坐标，根据这条线段与z轴平行，得到A、B两点距离．解：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，∴B（2，﹣3，﹣5）∴AB的长度是5﹣（﹣5）=10，故选A．点评：本题看出空间中点的坐标和两点之间的距离，本题解题的关键是根据关于坐标平面对称的点的特点，写出坐标，本题是一个基础题．16.点P（x，y，z）满足=2，则点P在（）A．以点（1，1，﹣1）为圆心，以2为半径的圆上B．以点（1，1，﹣1）为中心，以2为棱长的正方体上C．以点（1，1，﹣1）为球心，以2为半径的球面上D．无法确定【答案】C【解析】通过表达式的几何意义，判断点P的集合特征即可得到选项．解：式子=2的几何意义是动点P（x，y，z）到定点（1，1，﹣1）的距离为2的点的集合．故选C．点评：本题考查空间两点间距离公式的应用，空间轨迹方程的求法．17.点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= ．【答案】2【解析】由题意求出P关于坐标平面xOz的对称点为P2的坐标，即可求出|P1P2|．解：∵点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，所以P1（﹣1，2，﹣3），P关于坐标平面xOz的对称点为P2，所以P2（1，﹣2，3），∴|P1P2 |==2．故答案为：2点评：本题是基础题，考查空间点关于点、平面的对称点的求法，两点的距离的求法，考查计算能力．18.已知x，y，z满足（x﹣3）2+（y﹣4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是．【答案】27﹣10．【解析】利用球心与坐标原点的距离减去半径即可求出表达式的最小值．解：由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|﹣=﹣=5，所以|OP|2=27﹣10．故答案为：27﹣10．点评：本题考查空间中两点间的距离公式的应用，考查计算能力．19.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．【答案】A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），E（，﹣，1），F（）．【解析】由题意直接写出B的坐标，利用对称性以及中点坐标公式分别求出A、B、C、D、E、F 的坐标．解：如图所示，B点的坐标为（1，1，0），因为A点关于x轴对称，得A（1，﹣1，0），C点与B点关于y轴对称，得C（﹣1，1，0），D与C关于x轴对称，的D（﹣1，﹣1，0），又P（0，0，2），E为AP的中点，F为PB的中点，由中点坐标公式可得E（，﹣，1），F（）．点评：本题考查空间点的坐标的求法，中点坐标公式的应用，对称知识的应用，考查计算能力．20.已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点．（1）求点P的坐标满足的条件；（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．【答案】（1）x+y+z=3．（2）【解析】（1）通过平面α过点A且与直线OA垂直，利用勾股定理即可求点P的坐标满足的条件；（2）求出平面α与坐标轴的交点坐标，即可利用棱锥的体积公式求出所求几何体体积．解：（1）因为OA⊥α，所以OA⊥AP，由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3．（2）设平面α与x轴、y轴、z轴的点分别为M、N、H，则M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．所以|MN|=|NH|=|MH|=3，所以等边三角形MNH的面积为：=．又|OA|=，故三棱锥0﹣MNH的体积为：=．点评：本题考查空间想象能力，计算能力，转化思想，空间两点距离公式的应用．。

【高二数学试题精选】空间直角坐标系的建立达标练习(附答案)

空间直角坐标系的建立达标练习（附答案）
5 c 堂达标效果检测
1点 (0，-2，0)所在的位置是( )
A在x平面上B在x轴上
c在轴上D在z平面上
【解析】选c因为x=0，z=0，所以点在轴上
2在空间直角坐标系中，点P(2，3，4)与Q (2，3，-4)两点的位置关系是( )
A关于x轴对称B关于x平面对称
c关于坐标原点对称D以上都不对
【解析】选B由于横坐标和纵坐标不变，竖坐标互为相反数，故关于x平面对称
3点P(-1，2，5)关于原点的对称点是__________
【解析】P关于原点对称的点的坐标设为P′(x，，z)，
则x=-(-1)=1，=-2，z=-5，
所以对称点坐标为(1，-2，-5)
答案(1，-2，-5)
4已知A(-1，2，3)，B(5，-6，7)，则线段AB的中点D的坐标为____________
【解析】设线段AB的中点为D(x0，0，z0)，
则x0= =2，0= =-2，z0= =5，
所以D的坐标为(2，-2，5)
答案(2，-2，5)
5如图，在长方体ABc􀆼D′A′B′c′中，A=1，c=3，D′=2，点E在线段A的延长线上，且E= ，写出B′，c，E点的坐标
【解析】点c在轴上，横、竖坐标均为0，且c=3，故点c的坐标为(0，3，0)因为B′B垂直于x平面，垂足为B，所以点B′与B。

空间直角坐标系练习题含详细答案

A 、（ -3， -1， 4） B、（ -3， -1， -4） C、（ 3， 1， 4）
D、（ 3， -1， -4）
4、点（ 1，1， 1）关于 z 轴的对称点为（ A ）
A 、（ -1， -1， 1） B、（ 1， -1， -1）
C、（ -1， 1， -1）
D、（ -1， -1， -1）
5、点（ 2，3， 4）关于 xoz 平面的对称点为（ C ）
2、解由题意得 B(0，－ 2,0)， C(0,2,0) ，设 D(0， y， z)，则在 Rt△ BDC 中，∠ DCB ＝ 30°，
∴ BD＝ 2，CD ＝ 2 3， z＝ 3， y＝－ 1．
∴ D(0，－ 1， 3)．又∵ A( 3， 1， 0)， 22
∴ |AD |＝
3、已知空间三点的坐标为 A(1,5,-2) 、 B （2， 4， 1）、 C（ p， 3， q+2），若 A 、 B、 C 三点共线，则 p =_________ ，q=__________ ．
4、已知点 A(-2, 3, 4), 在 y 轴上求一点 B , 使|AB|=7 , 则点 B 的坐标为 ________________ ．
A 、（ 2， 3， -4）
B、（ -2， 3，4）
6、点 P(2,0,3) 在空间直角坐标系中的位置是在
C、（ 2，-3， 4） (C)
D、（ -2， -3， 4）
A ． y 轴上
B． xOy 平面上
C． xOz 平面上
D． x 轴上
7、以正方体 ABCD — A 1B 1C1D1 的棱 AB 、 AD 、 AA 1 所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标
1、如图，在长方体 OABC－ D′A′B′C′中， |OA|＝ 1， |OC|＝ 3， |OD ′＝｜2，点 E 在线段 AO 的延长线上，且 |OE|＝ 1，写出 B′， C， E 的坐标．

【高二数学试题精选】空间直角坐标系的建立课时作业(有答案)

空间直角坐标系的建立课时作业（有答案）
5 c 时提升作业(二十六)
空间直角坐标系的建立
空间直角坐标系中点的坐标
一、选择题(每小题4分，共12分)
1(1，0)在空间直角坐标系中的位置是( )
A在z轴上B在x平面上
c在xz平面上D在z平面上
【解析】选B因为点(-2，-1，0)的z坐标为0，所以点(-2，-1，0)在x平面上
2(3，7)关于xz平面的对称点坐标为(4，3，7)
答案(4，3，7)
【变式训练】(4，6)关于轴的对称点P′的坐标为(-2，-4，-6) 答案(-2，-4，-6)
5(3)的对称点的坐标是__________
【解析】设(x0，0，z0)，
则1= ，所以x0=5，
2= ，0=2，
-3= ，z0=-7，
所以(5，2，-7)
答案(5，2，-7)
三、解答题(B-c或A-B-B1或A-D-c或A-D-D1或A-A1-B1或A-A1-D1任一条路线爬行，其终点为点c或B1或D1点c在轴上，且Dc=1，则其纵坐标为1，横坐标与竖坐标均为0，所以点c的坐标是(0，1，0)；点B1在x平面上的投影是点B，点B的坐标是(1，1，0)，且|B1B|=1，则B1的竖坐标为1，所以点B1的坐标是(1，1，1)；仿照点c的求法，可知点D1的坐标是(0，0，1)。

空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案

空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-一．空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．[例2] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。

2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。

3. 在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2＝PA2－OA2＝2a2－2a2＝2a.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2 a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋02，2a＋02，0＋2a2)，即M(0，22a，22a)．[例3] 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A1B1C1各顶点的坐标．[正解] 取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连线OA ，OO 1，根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且 |OA |＝32×2＝3，以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，A 1(3，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．(2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2⇔e 2＝λe 1⇔a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1． (2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2⇔e 1·e 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0． (3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1⇔e 1·n 1＝0⇔a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0．(4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1⇔e 1＝k n 1⇔a 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2⇔n 1＝k n 2⇔x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|.(2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. ②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]． ②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．题型1 空间向量的基本运算[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：∵A (－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →， ∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2.题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM∥平面BDE ；(2) AM⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N ，连结NE.则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.∴ NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE∥AM.∵ NE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF→＝(0，2，1)，∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F ，∴ AM ⊥平面BDF. 题型3 空间的角的计算例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角F-OD-E 的正弦值．解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴ F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2，2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角F-OD-E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77.∴ sin β＝427. （翻折问题）例4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．(1) 求证： DC⊥平面ABC ； (2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．解：(1) ∵ 平面ABD⊥平面BDC ，又∵ AB⊥BD，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB⊥DC，又∵ ∠C＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ABC 平面ABC ，DC 平面ABC ，故DC⊥平面ABC.(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，0，BF →＝(a ，0，a)．设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF →|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝24.(3) 由(2)知 FE⊥平面ABC, 又∵ BE平面ABC ，AE平面ABC ，∴ FE⊥BE，FE⊥AE ，∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝72a ， ∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE ＝－17，即所求二面角B －EF －A 的余弦为－17.课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 2. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB.(1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 求二面角DA 1CE 的正弦值． (1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF 平面A1CD ，BC 1平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2) 由AC ＝CB ＝22AB 得AC⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为63. 3. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.(1) 求PA 的长；(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD，故AC⊥BD.以O 为坐标原点，OB →、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin π3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．因为PA⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF⊥PB，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA→|＝2 3.(2) 由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B-AF-D 的正弦值为378.4. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ；(2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO＝45°，SO ＝(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．(1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)．因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，则⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝55. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55. 5. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF∥平面AD 1E.(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED1→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，AE →＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， AC →＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0⎩⎨⎧－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0⎩⎨⎧－c ＋d ＝0，d ＋1＝0⎩⎨⎧c ＝－1，d ＝－1，∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n |m |·|n |＝－2＋1＋16×3＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点，∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG. 又D1E 、D 1A 平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ， ∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.∵GF 、GB 平面BGF ，∴平面BGF∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF∥平面AD 1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD 1E ，亦可)6. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝是BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0).设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535. (2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝＝(0，3，2)．设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.7. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255.解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP →＝(2λ，4－2λ，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0.⎩⎨⎧λx＋2y －λy＋z ＝0，2y ＝0.⎩⎨⎧z ＝－λx，y ＝0.故n 1＝(1，0，－λ)，而平面ABA1的法向量是n2＝(1，0，0)，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1，3，2)．近六年高考题1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE；(3)求二面角A-BE-D的大小．【答案】设AC与BD交与点G。

空间直角坐标系试题（含答案）4

空间直⾓坐标系试题（含答案）41.在空间直⾓坐标系中,有( )坐标轴A:⼀个B:两个C:三个D:四个2.在空间直⾓坐标系中,有( )张坐标平⾯. A:⼀个B:两个C:三个D:四个3.坐标平⾯将空间分成( )个空间区域-卦限A: 两个B:四个C:六个D:⼋个。

.4.点(3,4,1)到点(0,0,1)的距离是( )A:0;B:1;C:3;D:5.5.点(3,4,1)到Z轴的距离是( ) A:0;B:1;C:3;D:5.6 点(3,4,1)到Y轴的距离是7.起点为(1,2,3)终点为(4,7,8)的有向线段表⽰的向量其坐标表⽰为( ).{}{}-----.:3,5,5 ,:(3,5,5),:3,5,5,:(3,5,5).A B C D8.原点到平⾯3x+4y+5z+5=0的距离( ). A:0;B:1;C:5;D:29.点(1,2,3)与(5,4,3)连线中点的坐标是( )A(3,2,3);B:(1,3,3);C: (1,2,3) ;D:(3,3,3).10.向量{}-与向量( )垂直{}{}{}{}A:3,1,5,B: 1,1,5,C:1,2,3,D:2,1,5.1,2,1A.11. 向量{}-与向量( )平⾏1,2,1{}{}{}{}A:3,1,5,B:1,2,1,C --B-C12. 平⾯3x+4y+5z+6=0的法向量是A:{}4,5,6.3,4,5; B:{}3,5,6;D: {}3,4,6;C: {}13.过点(1,2,3)和点(4,3,8)的直线⽅程是( )A:123315x y z ---==;B:123123x y z ---==; C:123438x y z ---==;D:3(X-1)+(Y-2)+5(Z-3)=0 14.过原点垂直于{}1,2,3的平⾯⽅程: A:1 23x y z ==; B:321x y z==; C:3X+2Y+Z=0; D:X+2Y+3Z=0.15. 过原点平⾏于{}1,2,3的直线⽅程: A:123x y z ==; B:321x y z==; C:3X+2Y+Z=0; D:X+2Y+3Z=0.参考答案 CCDDD.BADDA.CAADA。

《空间直角坐标系》典型例题解析

空间直角坐标系》典型例题解析例1：在空间直角坐标系中，作出点M（6，－2,4）。

点拨点M的位置可按如下步骤作出：先在x 轴上作出横坐标是6 的点M 1，再将M 1沿与y 轴平行的方向向左移动2 个单位得到点M 2，然后将M2沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位即得点M。

解答M点的位置如图所示总结对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力。

变式题演练在空间直角坐标系中，作出下列各点：A（-2,3 ，3）；B（3，-4,2）；C（4,0 ，-3）。

答案：略例2：已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

点拨先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。

解答正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为 2 23 。

以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直A（2，-2,0）、B（2,2 ，角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为C（-2,2 ，0）、D（-2，-2,0）、P（0,0 ，2 23 ）。

总结在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标变式题演练在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=12，AD=8，AA1=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

答案：以A为原点，射线AB、AD、AA1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A（0,0 ，0）、B（12,0 ，0）、C（12,8 ，0）、D（0,8 ，0）、A1（0,0 ，5）、B1（12,0 ，5）、C1（12,8 ，5）、D1（0,8 ，5）。

例3：在空间直角坐标系中，求出经过A（2,3 ，1）且平行于坐标平面yOz的平面的方程。

空间直角坐标系试题(含答案)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列4条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ）其中正确的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．02．若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．3．已知A （1，2，3），B （3，3，m ），C （0，－1，0），D （2，―1，―1），则（）A ．||AB >||CD B ．||AB <||CDC ．||AB ≤||CDD ．||AB ≥||CD4．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则||CM （）A ．4B ．532C ．2D ．25．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =1，CD =2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为（）ABC ．2D 6．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（）A ．14B ．13C ．32D ．117．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为（）A ．（27，4，－1）B ．（2，3，1）C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3）8．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（）A ．22b a +B ．cC ．cD ．b a +9．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是（）A ．21，4B ．1，8C ．21-，－4 D ．－1，－810．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（） A ．26B ．3C ．23D ．36第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．如右图，棱长为3a 正方体OABC －''''D A B C ，点M 在|''|B C 上，且|'|C M =2|'|MB ，以O 为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M 的坐标为．12．如右图，为一个正方体截下的一角P －ABC ， ||PA a =，||PB b =，||PC c =，建立如图坐标系，求△ABC 的重心G 的坐标 _ _．13．若O （0，0，0），P （x ，y ，z ），且||1OP =，则2221x y z ++=表示的图形是 _ _．14．已知点A （－3，1，4），则点A 关于原点的对称点 B 的坐标为；AB 的长为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，长方体''''ABCD A B C D -中，||3AD =，||5AB =，|'|3AA =，设E 为'DB 的中点，F 为'BC 的中点，在给定的空间直角坐标系D －xyz 下，试写出A ，B ，C ，D ，'A ，'B ，'C ，'D ，E ，F 各点的坐标．16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．17．（12分）如图，已知矩形ABCD中，||3AD=，||4AB=．将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD．现以D为原点，DB作为y 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．18．（12分）已知)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ，)4,1,6(-C ，求证其为直角三角形．19．（14分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．20．（14分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足||||？MA MB（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．参考答案一、CADCB BDCCA二、11．（2a ，3a ，3a ）； 12．G （3,3,3b c a ）； 13．以原点O 为球心，以1为半径的球面；14．（3，－1，－4）；三、15．解：设原点为O ，因为A ，B ，C ，D 这4个点都在坐标平面 xOy 内，它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用||3AD =，||5AB =写出，所以 A （3，0，0），B （3，5，0），C （0，5，0），D （0，0，0）；因为平面''''A B C D 与坐标平面xOy 平行，且|'|3AA =，所以A '，B '，'C ，D '的竖坐标都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A ，B ，C ，D 的相同，所以'A （3，0，3），'B （3，5，3），'C （0，5，3），'D （0，0，3）；由于E 分别是'DB 中点，所以它在坐标平面xOy 上的射影为DB的中点，从而E 的横坐标和纵坐标分别是'B 的12，同理E 的竖坐标也是'B 的竖坐标的12，所以E （353,,222）；由F 为'BC 中点可知，F 在坐标平面xOy 的射影为BC 中点，横坐标和纵坐标分别为32和5，同理点F 在z 轴上的投影是AA '中点，故其竖坐标为32，所以F （32，5，32）．16．解: 由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D －xyz ．因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行，从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b ，由H 为DP 中点，得H （0，0，b ）E 在底面面上的投影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以E （a ，0，b ），同理G （0，a ，b ）；F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E横坐标相同都是a ，与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故F （a ，a ，b ）．17．解：由于面BCD ⊥面ABD ，从面BCD 引棱DB 的垂线CF 即为面ABD 的垂线，同理可得AE 即为面BCD 的垂线，故只需求得DF DE CF AE ,,,的长度即可。

高考数学第一章空间向量与立体几何3-1空间直角坐标系练习含解析新人教A版选择性必修第一册

空间直角坐标系学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．知识点一空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．思考空间直角坐标系有什么作用？答案可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化．知识点二空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底 {i ，j ，k }下与向量 OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．思考空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？答案 x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x ，0,0)．y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y ，0)． z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z )．知识点三空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )．思考空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？答案点A 在空间直角坐标系中的坐标为(x ，y ，z )，那么向量 OA →的坐标也为(x ，y ，z )．1．空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( × ) 2．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a ，0，c )的形式．( √ ) 3．关于坐标平面yOz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．( √ )一、求空间点的坐标例1 (1)画一个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若以A 为坐标原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A ，C 的坐标分别为________________； ②棱C 1C 中点的坐标为________；③正方形AA 1B 1B 对角线的交点的坐标为________．答案 ①(0,0,0)，(1,1,0) ②⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12(2)已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解 ∵正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为223.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223)．答案不唯一．反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点的坐标(x ，y ，z )．跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．解建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.因为CG ＝14CD ，G ，C 均在y 轴上，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG ，可得DK ＝78，HK ＝12，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.(答案不唯一) 二、空间点的对称问题例2 在空间直角坐标系中，已知点P (－2,1,4)． (1)求点P 关于x 轴对称的点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面对称的点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)对称的点的坐标．解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴，z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 1(－2，－1，－4)．(2)由点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴，y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3的坐标为(6，－3，－12)．反思感悟空间点对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．跟踪训练2 已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．答案 (2，－3,1)解析点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3,1)．三、空间向量的坐标例3 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量AB →，AC 1—→，BC 1—→的坐标．解建立如图所示的空间直角坐标系，设14AB →＝i ，14AC →＝j ，14AA 1→＝k ，AB →＝4i ＋0j ＋0k ＝(4,0,0)，AC 1—→＝AA 1—→＋AC →＝0i ＋4j ＋4k ＝(0,4,4)， ∴BC 1—→＝BC →＋CC 1—→ ＝BA →＋AC →＋CC 1—→ ＝－4i ＋4j ＋4k ＝(－4,4,4)．反思感悟向量坐标的求法(1)点A 的坐标和向量 OA →的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．跟踪训练3 已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，设点A ，B 在yOz 平面上的射影分别为A 1，B 1 ，则向量A 1B 1—→的坐标为__________．答案 (0，－1,10)解析点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为 A 1 (0,5，－7), B 1 (0,4,3)， ∴向量A 1B 1—→的坐标为(0，－1,10)．1．点P (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．y 轴上 B ．xOy 面上 C ．xOz 面上 D ．yOz 面上答案 C2．在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( ) A ．(－1,3，－5) B ．(1,3,5) C ．(1，－3,5) D ．(－1，－3,5) 答案 B3．在空间直角坐标系中，点P (－1，－2，－3)到平面yOz 的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D.14 答案 A4．点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为______；点P 关于z 轴的对称点P 2的坐标为________．答案 (1,1，－1) (－1，－1,1)解析点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为(1,1，－1)，点P 关于z 轴的对称点P 2的坐标为(－1，－1,1)．5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则向量AC 1—→的坐标为________．答案 (－4,2,3)解析 AC 1—→＝AD →＋DC 1—→＝AD →＋DC →＋CC 1—→＝－4i ＋2j ＋3k ＝(－4,2,3)．1．知识清单：(1)空间直角坐标系的概念． (2)点的坐标． (3)向量的坐标．2．方法归纳：数形结合、类比联想．3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同．1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)答案 C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A．在x轴上B．在xOy平面内C．在yOz平面内D．在xOz平面内答案 C解析∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案 C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案 B解析由于垂足在平面yOz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1 答案 C解析 BE →＝BB 1—→＋B 1E —→＝k －14j ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，1.6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 0解析点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1， ∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.7．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________．答案 (4,0，－1)解析设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．8．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为________．答案 (5,4,1)解析设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)．9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．解正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，且E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，∴正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标为E ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，H ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，I ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ，0，J ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2.10.如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP ＝2，连接AP ，BP ，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，⎩⎨⎧⎭⎬⎫OM →，ON →，12OP →为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E ，F 分别为PA ，PB 的中点，求点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解由题意知，点B 的坐标为(1,1,0)．由点A 与点B 关于x 轴对称，得A (1，－1,0)，由点C 与点B 关于y 轴对称，得C (－1,1,0)，由点D 与点C 关于x 轴对称，得D (－1，－1,0)．又P (0,0,2)，E 为AP 的中点，F 为PB 的中点，所以由中点坐标公式可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.11．已知空间中点A (1,3,5)，点A 与点B 关于x 轴对称，则向量点B 的坐标为________．答案 (1，－3，－5)12．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．答案 (2,0,3)解析由题意，知点M 1的坐标为(－2,0, －3)，所以点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．13．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________．答案 (－1，－2，－1)解析因为D (2，－2,0)，C ′(0，－2,2)，所以线段DC ′的中点M 的坐标为(1，－2,1)，所以点M 关于y 轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．14.如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3 解析由题意知A (a ，0,0)，B (0，b ，0)，C (0,0，c )．由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3.15．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________；在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为________．答案 (1,1,1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1 解析由题意知p ＝2a ＋b －c ，则向量p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1,1,1)．设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，又∵p ＝2a ＋b －c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，z ＝－1，解得x ＝32，y ＝12，z ＝－1，∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1. 16．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt△BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD →|＝1，|CD →|＝3， ∴|DE →|＝|CD →|sin 30°＝32，|OE →|＝|OB →|－|BE →|＝|OB →|－|BD →|cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.。

【高中数学】新人教A版高二1.3.1 空间直角坐标系(练习题)

新人教A版高二1.3.1 空间直角坐标系(2016)1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,−2,3)，B(3,2,−5)，则线段AB的中点坐标为（）A.(−1,−2,4)B.(−2,0,1)C.(2,0,−2)D.(2,0,−1)2.如图所示，正方体ABCO−A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（）A.(1，0，0)B.(1，0，1)C.(1，1，1)D.(1，1，0)3.在空间直角坐标系中，点P(1,5,6)关于Oxy平面的对称点Q的坐标是（）A.(1，−5，6)B.(1，5，−6)C.(−1，−5，6)D.(−1，5，−6)4.若点P(−4，−2，3)关于坐标平面xOy及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为（）A.7B.−7C.−1D.15.在空间直角坐标系中，已知点P(−2,1,3)，过点P作Oxz平面的垂线PQ，垂足为Q，则点Q的坐标为（）A.(0,1,0)B.(0,1,3)C.(−2,0,3)D.(−2,1,0)6.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，P在线段BD′上，且BP=13BD′，则P点的坐标为（）A.(13,13,13) B.(23,23,23) C.(13,23,13) D.(23,23,13)7.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E在棱A1B1上，且B1E=14A1B1，则BE→等于（）A.(0,14,−1) B.(−14,0,1) C.(0,−14,1) D.(14，0，−1)8.设y∈R，则点P(1,y,2)的集合为（）A.垂直于Oxz平面的一条直线B.平行于Oxz平面的一条直线C.垂直于y轴的一个平面D.平行于y轴的一个平面9.点P(2,−1,8)在坐标平面Oxz内的射影的坐标为.10.若点A(2,−3,−5)关于原点对称的点为B(a,b,c)，则a+b+c=.11.在如图所示的棱长为3a的正方体OABC−O′A′B′C′中，点M在B′C′上，且C′M=2MB′，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为.12.已知点A(−4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于Oxz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，则线段AA3的中点M的坐标为.13.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，N为棱CC1的中点，以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求ND→的坐标.14.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2,OP=2，连接AP,BP,CP,DP,M,N分别是AB,BC的中点.以O为原点，以OM→,ON→,OP→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求点P，A,B,C,D的坐标.15.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a+b，a−b，c}是空间的另一个基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a+b，a−b，c}下的坐标为（）A.(4,0,3)B.(1,2,3)C.(3,1,3)D.(2,1,3)16.如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，OE//AD，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标.参考答案1.【答案】:D【解析】:根据中点坐标公式得所求中点坐标为(2,0,−1).故选 D.2.【答案】:C【解析】:解：根据题意，可得∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，∴点B1在x轴上的射影点为A（1，0，0），可得B1的横坐标为1；点B1在y轴上的射影点为C（0，1，0），可得B1的纵坐标为1；点B1在z轴上的射影点为D1（0，0，1），可得B1的竖坐标为1．由此可得点B1的坐标是（1，1，1）．故选：C．由正方体的棱长为1，结合题中的坐标系求出点B1在x轴、y轴、z轴上射影点的坐标，即可得到点B1的坐标．本题给出坐标系和正方体的棱长，求定点B1的坐标．着重考查了空间坐标系的定义和正方体的性质等知识，属于基础题．3.【答案】:B【解析】:在空间直角坐标系中，点P(1，5，6)关于Oxy平面的对称点Q的坐标是(1，5，−6).故选B.4.【答案】:D【解析】:∵点P(−4，−2，3)关于坐标平面xOy的对称点为(−4，−2，−3)，点P(−4，−2，3)关于y轴的对称点的坐标为(4,−2,−3),∴c=−3，e=4，∴c+e=1，故选D.5.【答案】:C【解析】:因为过点P作Oxz平面的垂线PQ，垂足为Q，所以可得P,Q两点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标不同，又在Oxz平面中所有点的纵坐标都是0，P(−2,1,3)，所以Q(−2,0,3).故选 C.6.【答案】:D【解析】:连接BD，易知点P在xDy平面内的射影在BD上，∵BP=13BD′，∴P x=P y=23，P z=13，故P(23,23,13).7.【答案】:C【解析】:由题意知，{DA →，DC →，DD 1→}为空间的一个单位正交基底，且BE →=BB 1→+B 1E →=BB 1→+14B 1A 1→=−14DC →+DD 1→，故BE → =(0,−14,1).故选C.8.【答案】:A【解析】:点P(1,y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P(1,y,2)的集合为垂直于Oxz 平面的一条直线，故选A.9.【答案】:(2,0,8)【解析】:设所求的点为Q(x,y,z)，则P,Q 两点的横坐标和竖坐标相同，且点Q 的纵坐标为0，即x =2,y =0,z =8，所以点Q 的坐标为(2,0,8).10.【答案】:6【解析】:由题意知B(−2，3，5)，故a +b +c =−2+3+5=6.11.【答案】:(2a,3a,3a)【解析】:∵C ′M =2MB ′，∴C ′M =23B ′C ′=2a ， ∴点M 的坐标为(2a,3a,3a).12.【答案】:(−4,0,0)【解析】:由题意知A 1(4,−2,−3)，则A 1关于Oxz 平面的对称点A 2的坐标为(4,2,−3)，则A 2关于z 轴的对称点A 3的坐标为(−4,−2,−3).易得M(−4,0,0).13(1)【答案】由题意知，A(0,0,0).由于点B 在x 轴的正半轴上，且AB =4，所以B(4,0,0). 同理可得D(0,3,0)，A 1(0,0,5).由于点C 在坐标平面Oxy 内，且BC ⊥AB ，CD ⊥AD ，所以C(4,3,0). 同理可得B 1(4,0,5)，D 1(0,3,5).与点C 的坐标相比，点C 1的坐标只有竖坐标与点C 不同，且CC 1=AA 1=5，所以C 1(4,3,5).(2)【答案】由题意知14A ，→13A ，→15AA 1→为单位正交基底， ND →=NC →+CD →=−AB →−12AA 1→=−4×14AB →−52×15AA 1→，所以ND →=(−4,0，−52).14.【答案】:由题意知，点P 的坐标为(0，0，2)，点B 的坐标为(1,1,0). 由点A 与点B 关于x 轴对称，得A(1,−1,0)，由点C 与点B 关于y 轴对称，得C(−1,1,0)，由点D 与点C 关于x 轴对称，得D(−1,−1,0).15.【答案】:C【解析】:设向量p 在基底{a +b ，a −b ，c}下的坐标为(x ，y ，z)，则4a +2b +3c=(x +y)a +(x −y)b +zc ，p =4a +2b +3c=x(a +b)+y(a −b)+zc ，整理得∴{x +y =4,x −y =2,z =3,解得{x =3，y =1，z =3，∴向量p 在基底{a +b ，a −b ，c}下的坐标是(3，1，3).故选C.16.【答案】:因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE//AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直.因为AB =AC =6，BC 是⊙O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形，则AF ⊥BC ，AF =BC =6√2. 以O 为原点，O ，→O ，→OE →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，E ，F 各个点的坐标分别为A(0，−3√2，0)， B(3√2，0,0)，C(−3√2，0,0)，D(0，−3√2，8)，E(0,0,8)，F(0,3√2，0).。

空间直角坐标系习题(含答案)

②若最小，求的方程.
22．在平面直角坐标系中，已知的顶点 .
（1）若为的直角顶点，且顶点在轴上，求边所在直线方程；
（2）若等腰的底边为，且为直线上一点，求点的坐标.
23．求函数的最小值．
24．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中
（1）求的长；
【详解】
设z轴上任意一点Q的坐标为，
由空间中两点间的距离公式可得：，
当时取得最小值.
故选C.
【点睛】
本题考查空间中两点间的距离，掌握空间内两点间的距离公式，会根据解析式求最值，注意计算的准确性.
3．C
【解析】
【分析】
先根据线面平行的性质和中位线定理说明M为EF的中点，再根据中点坐标公式求M的坐标。
设F(0，0，z)．
∵AEC1F为平行四边形， ∴由AEC1F为平行四边形，
∴由 = 得，(-2，0，z)=(-2，0，2)，
∴z=2．∴F(0，0，2)．∴ =(-2，-4，2，于是| |=2 ，即BF的长为2 ；
(2)设为平面AEC1F的法向量，显然不垂直于平面ADF，故可设 =(x，y，1)．
故答案为
12．168
【解析】
【分析】
由题意，设，得，根据坐标对应相等，列出方程组，求得的值，得到向量的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】
由题意，，设，
又，，
所以
即，
解得，
则 .
故 .
【点睛】
本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的坐标表示与向量共线的运算，以及向量的夹角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

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空间直角坐标系
一、选择题
1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为（）
A ．(-1,2,3)
B ．(1,-2,-3)
C ．(-1, -2, 3)
D ．(-1 ,2, -3)
2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为（）
A ．(-3,4,5)
B ．(-3,- 4,5)
C ．(3,-4,-5)
D ．(-3,4,-5)
3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为（）
A ．6
B ．6
C ．3
D ．2
4．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P /的坐标为（）
A ．(-1, 0, 2)
B ．(-1,0, 2)
C ．(1 , 0 ,2)
D ．(-2,0,1)
5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（）
A ．( 4, 2, 2)
B ．(2, -1, 2)
C ．(2, 1 , 1)
D ． 4, -1, 2)
6．若向量a 在y 轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量a 平行的坐标平面是（）
A ． xOy 平面
B ． xOz 平面
C ．yOz 平面
D ．以上都有可能
7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（）
A ．关于x 轴对称
B ．关于xOy 平面对称
C ．关于坐标原点对称
D ．以上都不对
8．已知点A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B 的坐标是(2 , t, t), 则A 与B 两点间距离的最小值为（）
A ．55
B ．555
C ．553
D ． 5
11 9．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（）
A ．14
B ．13
C ．32
D ．11
10．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为（）
A ．（
2
7，4，－1） B ．（2，3，1） C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3）
11．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（） A ．22b a + B ．c C ．c D ．b a + 12．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是（）
A ．21，4
B ．1，8
C ．2
1-，－4 D ．－1，－8 13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）
A ．26
B ．3
C ．23
D ．3
6 二、填空题
14．在空间直角坐标系中, 点P 的坐标为(1, 3,2),过点P 作yOz 平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________．
15．已知A(x, 5-x, 2x-1)、B （1，x+2，2-x ），当|AB|取最小值时x 的值为_______________．
16．已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B （2，4，1）、C （p ，3，q+2），若A 、B 、C 三点共线，则p =_________，q=__________．
17．已知点A(-2, 3, 4), 在y 轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B 的坐标为________________．
三、解答题
18．求下列两点间的距离:
(1)A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1);
(2)C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3).
19．已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC是直角三角形.
20．求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件:
(1)A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ;
(2)A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2).
21．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．
答案：
1.B;
2.A;
3.A;
4.B;
5.C;
6.B;
7.B;
8.C;
9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14. (0, 3,2); 15. 7
8; 16. 3 , 2; 17. (0, )0,293±; 18. 解: (1)|AB|=;1)10()11()11(222=-+-+- (2)|CD|=222)35()21()03(-+++--=.22
19. 证明: ,||||||,14||,75||,89||222AB BC AC BC AC AB =+∴===
ABC ∆∴为直角三角形.
20. 解: (1)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则
222222)1()2()3()1()0()1(-+++-=-+-+-z y x z y x , 化简得4x-4y-3=0即为所求.
(2)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则222222)2()0()1()2()2()3(++-+-=-+-++z y x z y x , 化简得2x-y-2z+3=0即为所求.
21. 解: 由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D －xyz ．
因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行，从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b ，
由H 为DP 中点，得H （0，0，b ）
E 在底面面上的投影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以E （a ，0，b ），同理G （0，a ，b ）；
F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和
G ，故F 与E 横坐标相同都是a ，与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故F （a ，a ，b ）．。

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