空间直角坐标系练习题
6.空间直角坐标系
【基础训练】1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是()0,,0b ；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上点的坐标一定可以写成()0,,b c ；③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记为()0,0,c ；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上点的坐标可写为(),0,a c .其中正确叙述的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．点()2,0,3P 在空间直角坐标系中的位置是在 （ ） A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．x 轴上3．已知()()1,2,7,3,10,9A B ----，则以线段AB 中点关于原点对称的点的坐标是 （ ）A ．()4,8,2B ．()4,2,8C ．()4,2,1D ．()2,4,14．在空间直角坐标系中，点()3,4,5P 关于xOy 平面的对称点的坐标是 （ ）A ．()3,4,5-B ．()3,4,5--C ．()3,4,5-D ．()2,4,5---5．已知()()2,3,5,1,3,5A B -，则线段AB 的中点C 的坐标为_________________.6．空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分成_______个部分.7．动点()()2,,,P y z y z R ∈所形成的轨迹是________________________________.【综合提高】8．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是AB 的中点，F 是1BB 的中点，G 是1AB 的中点，试建立适当的坐标系，并确定,,E F G 三点的坐标.9．已知V —ABCD 是正四棱锥，O 为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立适当的平面直角坐标系，并确定各顶点的坐标.【探究创新】10．已知点()()2,0,2,5,2,0C D -，且C 、D 两点将线段AB 分成三等份，求A ，B 两点的坐标.。
高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用
高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项一、积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：OP＝x OM＋y OAOP＝x OA＋(1－x)OB－一、空间向量的简单应用1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是() A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是() A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0； ②若MB ＝x MA ＋y MB ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．5．013·大同月考)若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607D.657二、利用空间向量证明平行或垂直[例] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．方法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.1.2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．2.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.(1)求证：C1C⊥BD；(2)当CDCC1的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD请给出证明．3.如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E、F、G分别是线段P A、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|.3．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．1．(教材习题改编)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°3.在如图所示的正方体A 1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120C.120D.10104．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．5．(教材习题改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值________．（一）异面直线所成的角[例1] (2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35本例条件下，在线段OB 上，是否存在一点M ，使C 1M 与AB 1所成角的余弦为13若存在，求出M 点；不存在，说明理由．1．(2012·安徽模拟)如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1. .（二）直线与平面所成角[例2] (2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．2.(2012·宝鸡模拟)如图，已知P A⊥平面ABC，且P A＝2，等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E.(1)求证：PC⊥平面ADE；(2)求直线AB与平面ADE所成角的大小．（三）二面角[例3]在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；3．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．11A1如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.【课后练习题】1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________．2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．3.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．5．(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直说明理由．7．(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A⊥EF；(2)求二面角D－FG－E的余弦值．8．(2012·北京西城模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．9．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．10．(2012·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．11.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2. (1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．12．(2012·湖北模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.(1)若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；(2)设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．11。
1.3 空间直角坐标及空间向量运算的坐标表示坐标系(解析版)
1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系基础达标练1.已知a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则b 等于 ( ) A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) -3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2 D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x =0,y =-1,，∴x+y=-1. 3.若△ABC 中,∠C=90°,A (1,2,-3k ),B (-2,1,0),C (4,0,-2k ),则k 的值为( )A.√10B.-√10 √5 D.±√10⃗⃗ =(-6,1,2k ),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k ),则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k (-k )=-2k 2+20=0,∴k=±√10. a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则( ) A.x=12,y=-4 B .x=12,y=4 C.x=2,y=-14y=-1a +2b =(1+2x ,4,4-y ),2a -b =(2-x ,3,-2y -2),且(a +2b )∥(2a -b ),∴3(1+2x )=4(2-x ),且3(4-y )=4(-2y -2),解得x=12,y=-4.5.若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (1,-2,1),B (4,2,3),C (6,-1,4),则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B .直角三角形 C.钝角三角形⃗ =(3,4,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A 为锐角;由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C 为锐角;由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC>0,得B 为锐角.所以△ABC 为锐角三角形. 6.已知向量a =(1,2,3),b =(-2,-4,-6),|c |=√14,若(a +b )·c =7,则a 与c 的夹角为( ) A.π6B .π3C.2π3 D .5π6+b =(-1,-2,-3)=-a ,故(a +b )·c =-a ·c =7,得a ·c =-7,而|a |=√12+22+32=√14, 所以cos<a ,c >=a ·c|a ||c |=-12,又因为<a ,c >∈[0,π],所以<a ,c >=2π3.a =(1,2,3),b =(x ,x 2+y -2,y ),并且a ,b 同向,则x+y 的值为 .a ∥b , 所以x 1=x 2+y -22=y 3,即{y =3x ,①x 2+y -2=2x ,②把①代入②得x 2+x -2=0,即(x+2)(x -1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,y=-6; 当x=1时,y=3.则当{x =-2,y =-6时,b =(-2,-4,-6)=-2a ,向量a ,b 反向,不符合题意,故舍去. 当{x =1,y =3时,b =(1,2,3)=a , a 与b 同向,符合题意,此时x+y=4. 8.已知向量a =(5,3,1),b =-2,t ,-25,若a 与b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为 .答案-∞,-65∪-65,5215解析由已知得a ·b =5×(-2)+3t+1×-25=3t -525,因为a 与b 的夹角为钝角,所以a ·b <0,即3t -525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25,所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-52,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.9.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标.解析设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ), QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83.10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;<AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则1=(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2. (2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗+12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. (3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66.能力提升练1.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BPC.BC=√53 BC⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确; BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确; BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确; 假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确. 2.已知A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√66D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ+1×√2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .4AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0), AC⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)2×√42+(-3)2=-5√41, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-205√41=-4.4.已知点A ,B ,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P 的坐标为(x ,0,z ),若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P 点的坐标为 .-1,0,2)⃗⃗⃗ =(-x ,1,-z ), AB⃗ =(-1,-1,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1), ∴{x -1+z =0,-2x -z =0,∴{x =-1,z =2,∴P (-1,0,2).5.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .,12,0)CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a -2,b+1,c -2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0).6.如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,P A=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系,(1)求cos <AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面P AB 内找一点N ,使NE ⊥平面P AC ,求N 点的坐标.解析(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E0,12,1,从而AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2).则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =2√7=3√714. ∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面P AB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z ,由NE ⊥平面P AC 可得{NE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1. 7.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形的面积; a |=√3,且a 分别与AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1).素养培优练1.P 是平面ABC 外的点,四边形ABCD 是平行四边形,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1). (1)求证:P A ⊥平面ABCD ;(2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值; P -ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0, ∴APAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即P A ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A , ∴P A ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=48,又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P -ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).2.正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长;(2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >; (3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a , 则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a 2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2. (2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √63.(3)由AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0), λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.。
高中数学 必修二 同步练习 专题4.3 空间直角坐标系(解析版)
一、选择题1．在空间直角坐标系中，M（–2，1，0）关于原点的对称点M′的坐标是A．（2，–1，0）B．（–2，–1，0）C．（2，1，0）D．（0，–2，1）【答案】A【解析】∵点M′与点M（–2，1，0）关于原点对称，∴M′（2，–1，0）．故选A．2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则OB等于A．13B．14C．23D．13【答案】A3．点B30，0）是点A（m，2，5）在x轴上的射影，则点A到原点的距离为A．2B．2C．3D．5【答案】A【解析】点B30，0）是点A（m，2，5）在x轴上的射影，可得m3A到原点的距离222++2．故选A．(3)254．在空间直角坐标系中，点A（5，4，3），则A关于平面yOz的对称点坐标为A．（5，4，–3）B．（5，–4，–3）C．（–5，–4，–3）D．（–5，4，3）【答案】D【解析】根据关于坐标平面yOz 的对称点的坐标的特点，可得点A （5，4，3），关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为（–5，4，3）．故选D ．5．空间中两点A （1，–1，2）、B （–1，1，22+2）之间的距离是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵A （1，–1，2）、B （–1，1，22+2），∴A 、B 两点之间的距离d =222(11)(11)(2222)++--+--=4，故选B ．6．在空间直角坐标系中，P （2，3，4）、Q （–2，–3，–4）两点的位置关系是A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对【答案】C7．点P （1，1，1）关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是A ．（1，1，–1）B ．（–1，–1，–1）C ．（–1，–1，1）D ．（1，–1，1）【答案】B【解析】∵点P （1，1，1）关于xOy 平面的对称点为P 1，∴P 1（1，1，–1），∴点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是（–1，–1，–1）．故选B ．8．已知点A （2，–1，–3），点A 关于x 轴的对称点为B ，则|AB |的值为A ．4B ．6C 14D ．10【答案】D【解析】点A （2，–1，–3）关于平面x 轴的对称点的坐标（2，1，3），由空间两点的距离公式可知：AB ()()()222221133-++++10，故选D ．9．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （1，2，3）关于x 轴对称的点N 的坐标是A．N（–1，2，3）B．N（1，–2，3）C．N（1，2，–3）D．N（1，–2，–3）【答案】D【解析】∵点M（1，2，3），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点M（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，–2，–3），故选D．10．空间点M（1，2，3）关于点N（4，6，7）的对称点P是A．（7，10，11）B．（–2，–1，0）C．579222⎛⎫⎪⎝⎭，，D．（7，8，9）【答案】A11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，–4，0），点M是A，B的中点，则点M的坐标是A．（1，–1，0）B．（1，–2，1）C．（2，–4，2）D．（1，–4，1）【答案】B【解析】∵点M是A，B的中点，∴M110420222+-+⎛⎫⎪⎝⎭，，，即M（1，–2，1）．故选B．二、填空题12．空间中，点（2，0，1）位于___________平面上（填“xOy”“yOz”或“xOz”）【答案】xOz【解析】空间中，点（2，0，1）位于xOz平面上．故答案为：xOz．13．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则对角线AC1的长为___________．29【解析】∵在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，D （0，0，0），A （4，0，0），B （4，2，0），A 1（4，0，3），∴C 1（0，2，3），∴对角线AC 1的长为|AC 1|=222(04)2329-++=．故答案为：29．14．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为（1，2，3），过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为___________． 【答案】（1，2，0）【解析】空间直角坐标系中，点P （1，2，3），过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则点Q 的坐标为（1，2，0），如图所示．故答案为：（1，2，0）．15．若A （1，3，–2）、B （–2，3，2），则A 、B 两点间的距离为___________．【答案】5【解析】由题意，A 、B 两点间的距离为222(12)(33)(22)++-+--=5．故答案为：5． 16．已知A （1，a ，–5），B （2a ，–7，–2）（a ∈R ），则|AB |的最小值为___________．【答案】3617．点A （–1，3，5）关于点B （2，–3，1）的对称点的坐标为___________．【答案】（5，–9，–3）【解析】设点A（–1，3，5）关于点B（2，–3，1）的对称点的坐标为（a，b，c），则12 2332512abc-+⎧=⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得a=5，b=–9，c=–3，∴点A（–1，3，5）关于点B（2，–3，1）的对称点的坐标为（5，–9，–3）．故答案为：（5，–9，–3）．三、解答题18．若点P（–4，–2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是A和B．求线段AB的长．19．在Z轴上求一点M，使点M到点A（1，0，2）与点B（1，–3，1）的距离相等．【解析】设M（0，0，z），∵Z轴上一点M到点A（1，0，2）与B（1，–3，1）的距离相等，∴()222221021(03)(1)z z++-=+++-，解得z=–3，∴M的坐标为（0，0，–3）．20．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2，（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求A1C的长度．【解析】（1）∵正方体的棱长为2，∴A （0，0，2），B （0，2，2），C （2，2，2），D （2，0，2）， A 1（0，0，0），B 1（0，2，0），C 1（2，2，0），D 1（2，0，0）． （2）由（1）可知，A 1（0，0，0），C （2，2，2），A 1C 的长度|A 1C |=222222++=23．21．求证：以A （4，1，9），B （10，–1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．。
高一数学空间直角坐标系试题答案及解析
高一数学空间直角坐标系试题答案及解析1.已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4）B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，﹣4）【答案】A【解析】根据在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，写出点A关于x轴对称的点的坐标．解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点A（﹣3，1，﹣4），∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4），故选A．点评：本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．2.求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．【答案】见解析【解析】先利用空间两点的距离公式分别求出AB，AC，BC的长，然后利用勾股定理进行判定是否为直角三角形，以及长度是否有相等，从而判定是否是等腰直角三角形．证明：，，，∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d（A，C）．∴△ABC为等腰直角三角形．点评：本题主要考查了两点的距离公式和勾股定理的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．3.如图，长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，A'C'于B'D'相交于点P．分别写出C，B'，P的坐标．【答案】C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．【解析】别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3和长方体在坐标系中的位置，写出B′点的顶点坐标是（3，4，3）和C的坐标，根据中点的坐标公式写出中点P的坐标．解：分别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，则C点的坐标为（0，4，0），D′点的坐标为（0，0，3），B'点的坐标为（3，4，3），由中点坐标公式得：P的坐标为．故答案为：C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．点评：本题考查空间中点的坐标，考查在坐标系中表示出要用的点的坐标，考查中点坐标公式，是一个基础题，这种题目是以后利用空间向量解决立体几何的主要工具．4.在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过点P作平面xOy的垂线PQ，则P，Q两个点的横标和纵标相同，只有竖标不同，在xoy平面上的点的竖标为0，写出要求点的坐标．解：空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则P，Q两个点的横标和纵标相同，只有竖标不同，在xoy平面上的点的竖标为0，∴Q（1，，0）故选D．点评：不同考查空间中点的坐标，是一个基础题，这种题目一般不会单独出现，它只是立体几何与空间向量中所出现的题目的一个小部分．5.坐标原点到下列各点的距离最小的是（）A．（1，1，1）B．（1，2，2）C．（2，﹣3，5）D．（3，0，4）【答案】A【解析】利用两点间的距离分别求得原点到四个选项中点的距离，得出答案．解：到A项点的距离为=，到B项点的距离为=3到C项点的距离为=到D项点的距离为=5故选A点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．属基础题．6.点（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（）A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一卦限内【答案】C【解析】从选项中可以看出，此题是考查空间坐标系下坐标平面上点的特征，此点的纵坐标为0，故此点是直角坐标系中xOz平面上的点．解：∵点（2，0，3）的纵坐标为0∴此点是xOz平面上的点故应选C点评：空间直角坐标系下，xOy平面上的点的竖坐标为0，xOz平面上的点的纵坐标为0，yOz平面上的点的横坐标为0，本题考查是空间直角坐标系中点的坐标中三个分量与在坐标系中的位置的对应关系．7.已知点A（1，2，1），B（﹣1，3，4），D（1，1，1），若=2，则||的值是．【答案】．【解析】设出P点的坐标，根据所给的=2和A、B两点的坐标求出P点的坐标，写出向量的坐标，利用求模的公式得到结果．解：设P（x，y，z），∴=（x﹣1，y﹣2，z﹣1）．=（﹣1﹣x，3﹣y，4﹣z）由=2得点P坐标为P（﹣，，3），又D（1，1，1），∴||=．点评：认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．空间向量在立体几何中作用不可估量．8.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点P1的坐标特点为，在Oy轴上的点P2的坐标特点为，在Oz轴上的点P3的坐标特点为，在xOy平面上的点P4的坐标特点为，在yOz平面上的点P5的坐标特点为，在xOz平面上的点P6的坐标特点为．【答案】（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．【解析】考查空间坐标系中坐标轴与坐标平面上点的坐标的结构，Ox轴上的点只有横坐标不为0；Oy轴上的点只有纵坐标不为0；Oz轴上的点只有竖坐标不为0；在xOy平面上的点竖坐标一定为0；yOz平面上的点横坐标一定为0；xOz平面上的点纵坐标一定为0；解：由空间坐标系的定义知；Ox轴上的点P1的坐标特点为（x，0，0），在Oy轴上的点P2的坐标特点为（0，y，0），在Oz轴上的点P3的坐标特点为（0，0，z），在xOy平面上的点P4的坐标特点为（x，y，0），在yOz平面上的点P5的坐标特点为（0，y，z），在xOz平面上的点P6的坐标特点为（x，0，z）．故答案应依次为（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z），（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）．点评：考查空间坐标系的定义，训练对空间坐标系中坐标轴上的点的坐标结构与坐标平面上的点的坐标结构．9.已知空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A，B，C三点共线，则p= ，q= ．【答案】3；2【解析】根据所给的三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据三个点共线，得到两个向量之间的共线关系，得到两个向量之间的关系，即一个向量的坐标等于实数倍的另一个向量的坐标，写出关系式，得到结果．解：∵A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），∴=（1，﹣1，3），=（p﹣1，﹣2，q+4）∵A，B，C三点共线，∴∴（1，﹣1，3）=λ（p﹣1，﹣2，q+4），∴1=λ（p﹣1）﹣1=﹣2λ，3=λ（q+4），∴，p=3，q=2，故答案为：3；2点评：本题考查向量共线，考查三点共线与两个向量共线的关系，考查向量的坐标之间的运算，是一个基础题．10.求到两定点A（2，3，0），B（5，1，0）距离相等的点的坐标（x，y，z）满足的条件．【答案】6x﹣4y﹣13=0即为所求点所满足的条件．【解析】直接利用空间坐标系中两点间的距离公式得关于x，y的方程式，化简即可得所求的点的坐标（x，y，z）满足的条件．解：设P（x，y，z）为满足条件的任一点，则由题意，得，．∵|PA|=|PB|，平方后化简得：6x﹣4y﹣13=0．∴6x﹣4y﹣13=0即为所求点所满足的条件．点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．11.如图，长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，A'C'于B'D'相交于点P．分别写出C，B'，P的坐标．【答案】C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．【解析】别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3和长方体在坐标系中的位置，写出B′点的顶点坐标是（3，4，3）和C的坐标，根据中点的坐标公式写出中点P的坐标．解：分别以OA，OC，OD′作为空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，根据长方体OABC﹣D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=3，则C点的坐标为（0，4，0），D′点的坐标为（0，0，3），B'点的坐标为（3，4，3），由中点坐标公式得：P的坐标为．故答案为：C，B'，P各点的坐标分别是：（0，4，0），（3，4，3），．点评：本题考查空间中点的坐标，考查在坐标系中表示出要用的点的坐标，考查中点坐标公式，是一个基础题，这种题目是以后利用空间向量解决立体几何的主要工具．12.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M；使M到点N（6，5，1）的距离最小．【答案】点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．【解析】先设点M（x，1﹣x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．解：设点M（x，1﹣x，0）则=∴当x=1时，．∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．点评：本题主要考查了空间两点的距离公式，以及二次函数研究最值问题，同时考查了计算能力，属于基础题．13.试解释方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36的几何意义．【答案】在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．【解析】题中式子可化为：，只要利用两点间的距离公式看看它所表示的几何意义即可得出答案．解：在空间直角坐标系中，方程（x﹣12）2+（y+3）2+（z﹣5）2=36即：方程表示：动点P（x，y）到定点（12，﹣3，5）的距离等于定长6，所以该方程几何意义是：在空间中以点（12，﹣3，5）为球心，球半径长为6的球面．点评：本题主要考查了球的性质和数形结合的数学思想，是一道好题．14.已知点P的坐标为（3，4，5），试在空间直角坐标系中作出点P．【答案】见解析【解析】找出P点在横轴和纵轴上的投影，以这两个投影为邻边的矩形的一个顶点是点P在xOy坐标平面上的射影，过这个射影对应的点作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到要求的点．解：由P（3，4，5）可知点P在Ox轴上的射影为A（3，0，0），在Oy轴上射影为B（0，4，0），以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影C（3，4，0）．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P．点评：本题考查空间直角坐标系，考查空间中点的坐标，是一个基础题，解题的关键是能够想象出空间图形，是一个送分题目．15.设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A.10B.C.D.38【答案】A【解析】点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，写出点B的坐标，根据这条线段与z轴平行，得到A、B两点距离．解：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，∴B（2，﹣3，﹣5）∴AB的长度是5﹣（﹣5）=10，故选A．点评：本题看出空间中点的坐标和两点之间的距离，本题解题的关键是根据关于坐标平面对称的点的特点，写出坐标，本题是一个基础题．16.点P（x，y，z）满足=2，则点P在（）A．以点（1，1，﹣1）为圆心，以2为半径的圆上B．以点（1，1，﹣1）为中心，以2为棱长的正方体上C．以点（1，1，﹣1）为球心，以2为半径的球面上D．无法确定【答案】C【解析】通过表达式的几何意义，判断点P的集合特征即可得到选项．解：式子=2的几何意义是动点P（x，y，z）到定点（1，1，﹣1）的距离为2的点的集合．故选C．点评：本题考查空间两点间距离公式的应用，空间轨迹方程的求法．17.点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= ．【答案】2【解析】由题意求出P关于坐标平面xOz的对称点为P2的坐标，即可求出|P1P2|．解：∵点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，所以P1（﹣1，2，﹣3），P关于坐标平面xOz的对称点为P2，所以P2（1，﹣2，3），∴|P1P2 |==2．故答案为：2点评：本题是基础题，考查空间点关于点、平面的对称点的求法，两点的距离的求法，考查计算能力．18.已知x，y，z满足（x﹣3）2+（y﹣4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是．【答案】27﹣10．【解析】利用球心与坐标原点的距离减去半径即可求出表达式的最小值．解：由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|﹣=﹣=5，所以|OP|2=27﹣10．故答案为：27﹣10．点评：本题考查空间中两点间的距离公式的应用，考查计算能力．19.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．【答案】A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），E（，﹣，1），F（）．【解析】由题意直接写出B的坐标，利用对称性以及中点坐标公式分别求出A、B、C、D、E、F 的坐标．解：如图所示，B点的坐标为（1，1，0），因为A点关于x轴对称，得A（1，﹣1，0），C点与B点关于y轴对称，得C（﹣1，1，0），D与C关于x轴对称，的D（﹣1，﹣1，0），又P（0，0，2），E为AP的中点，F为PB的中点，由中点坐标公式可得E（，﹣，1），F（）．点评：本题考查空间点的坐标的求法，中点坐标公式的应用，对称知识的应用，考查计算能力．20.已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点．（1）求点P的坐标满足的条件；（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．【答案】（1）x+y+z=3．（2）【解析】（1）通过平面α过点A且与直线OA垂直，利用勾股定理即可求点P的坐标满足的条件；（2）求出平面α与坐标轴的交点坐标，即可利用棱锥的体积公式求出所求几何体体积．解：（1）因为OA⊥α，所以OA⊥AP，由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3．（2）设平面α与x轴、y轴、z轴的点分别为M、N、H，则M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．所以|MN|=|NH|=|MH|=3，所以等边三角形MNH的面积为：=．又|OA|=，故三棱锥0﹣MNH的体积为：=．点评：本题考查空间想象能力，计算能力，转化思想，空间两点距离公式的应用．。
空间直角坐标系习题 精品
1.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④2.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是( ) A ．30B ．45学网C ．60D ．903. 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A 3324R πB 338R πC 3524R πD 358R π4.如图，在半径为3的面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ︒∠==，球心O 到平面ABC的距离是322，则B C 、两点的球面距离是A.3πB.πC.43πD.2π 5.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥二、填空题;1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）1.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
空间直角坐标系(人教A版)
空间直角坐标系（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则点Q的坐标为( )A. B.C. D.2.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）与点B（-1，-1，-1）关于( )对称．A.x轴B.y轴C.z轴D.原点3.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则点E的坐标为( )A. B.C. D.4.设点P（a，b，c）关于原点的对称点为，则=( )A. B.C. D.5.设点P在x轴上，它到的距离为到点的距离的2倍，则点P的坐标为( )A.（0，1，0）或（0，0，1）B.（0，-1，0）或（0，0，1）C.（1，0，0）或（0，-1，0）D.（1，0，0）或（-1，0，0）6.已知A（x，5-x，2x-1），B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时，x的值为( )A.19B.C. D.7.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体，的中点E与AB的中点F的距离为( )A. B.C.aD.8.如图，△PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形，|AB|＝4，O是AB的中点，平面PAB⊥平面ABCD，以直线AB为x轴、以过点O且平行于AD的直线为y轴、以直线OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，E为线段PD的中点，则点E的坐标是( )A. B.C. D.9.点P（x，y，z）满足，则点P在( )A.以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B.以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C.以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D.无法确定10.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A. B.C. D.。
空间直角坐标系练习题含详细答案
A 、（ -3， -1， 4） B、（ -3， -1， -4） C、（ 3， 1， 4）
D、（ 3， -1， -4）
4、点（ 1，1， 1）关于 z 轴的对称点为（ A ）
A 、（ -1， -1， 1） B、（ 1， -1， -1）
C、（ -1， 1， -1）
D、（ -1， -1， -1）
5、点（ 2，3， 4）关于 xoz 平面的对称点为（ C ）
2、解 由题意得 B(0，－ 2,0)， C(0,2,0) ， 设 D(0， y， z)，则在 Rt△ BDC 中，∠ DCB ＝ 30°，
∴ BD＝ 2，CD ＝ 2 3， z＝ 3， y＝－ 1．
∴ D(0，－ 1， 3)．又∵ A( 3， 1， 0)， 22
∴ |AD |＝
3、已知空间三点的坐标为 A(1,5,-2) 、 B （2， 4， 1）、 C（ p， 3， q+2），若 A 、 B、 C 三点共 线，则 p =_________ ，q=__________ ．
4、已知点 A(-2, 3, 4), 在 y 轴上求一点 B , 使|AB|=7 , 则点 B 的坐标为 ________________ ．
A 、（ 2， 3， -4）
B、（ -2， 3，4）
6、点 P(2,0,3) 在空间直角坐标系中的位置是在
C、（ 2，-3， 4） (C)
D、（ -2， -3， 4）
A ． y 轴上
B． xOy 平面上
C． xOz 平面上
D． x 轴上
7、以正方体 ABCD — A 1B 1C1D1 的棱 AB 、 AD 、 AA 1 所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标
1、 如图，在长方体 OABC－ D′A′B′C′中， |OA|＝ 1， |OC|＝ 3， |OD ′＝｜2，点 E 在线段 AO 的延长线上，且 |OE|＝ 1，写出 B′， C， E 的坐标．
空间直角坐标系基础练习题
空间直角坐标系基础练习题本文档将为您提供一系列关于空间直角坐标系的基础练题，帮助您加深对该概念的理解和应用。
每道题目均包含问题和解答部分。
1. 问题一个物体在空间直角坐标系中的位置由三个坐标确定，分别为x、y和z坐标。
给定以下点和向量，请回答下列问题。
1.1 点A(3, 2, 5)和点B(-1, 4, 7)，求线段AB的长度。
1.2 向量v1(2, -3, 1)和向量v2(-5, 4, 0)，求向量v1与v2的点积。
1.3 向量v3(1, 2, 3)和向量v4(4, 5, 6)，求向量v3与v4的叉积。
2. 解答2.1 线段AB的长度可以通过计算两点之间的距离来求解。
利用以下公式计算距离：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)将点A(3, 2, 5)和点B(-1, 4, 7)的坐标代入公式，可得：d = sqrt((-1 - 3)^2 + (4 - 2)^2 + (7 - 5)^2)= sqrt((-4)^2 + 2^2 + 2^2)= sqrt(16 + 4 + 4)= sqrt(24)= 2*sqrt(6)所以，线段AB的长度为2*sqrt(6)。
2.2 两个向量的点积可以通过以下公式计算：v1 · v2 = v1x*v2x + v1y*v2y + v1z*v2z将向量v1(2, -3, 1)和向量v2(-5, 4, 0)的坐标代入公式，可得：v1 · v2 = 2*(-5) + (-3)*4 + 1*0= -10 - 12 + 0= -22所以，向量v1与v2的点积为-22。
2.3 两个向量的叉积可以通过以下公式计算：v3 × v4 = (v3y*v4z - v3z*v4y, v3z*v4x - v3x*v4z, v3x*v4y -v3y*v4x)将向量v3(1, 2, 3)和向量v4(4, 5, 6)的坐标代入公式，可得：v3 × v4 = (2*6 - 3*5, 3*4 - 1*6, 1*5 - 2*4)= (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8)= (-3, 6, -3)所以，向量v3与v4的叉积为(-3, 6, -3)。
2.3 空间直角坐标系典型习题
§2.3 空间直角坐标系典型习题 一、选择题 1．以棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（ ）A ．（0，0.5，0.5）B ．（0.5，0，0.5）C ．（0.5，0.5，0）D ．（0.5，0.5，0.5）2．设点B 是点A （2，-3，5）关于xOy 面的对称点，则A 、B 两点距离为（ ）A ．10B ．10C ．38D ．383．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为（ ）A ．a 2B ．a 22C ．aD ．a214．一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）A ．37B ．47C ．33D ．575．点P （x ，y ，z ）满足222)1()1()1(++-+-z y x =2，则点P 在（ ）A ．以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B ．以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定6．若A 、B 两点的坐标是A （3cosα，3sinα），B （2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ）A ．[0，5]B ．[1，5] C.（1，5） D ．[1，25]7．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是（ ） ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，﹣y ，z ）；②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，﹣y ，﹣z ）；③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．A．3B．2C．1D．08．设A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则AB中点M到C点的距离为（）A．B．C．D．9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）B A．B．C．D．10．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D 的坐标为（）A．（3.5，4，﹣1）B．（2，3，1）C．（﹣3，1，5）D．（5，13，﹣3）11．已知点A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么x，y的值分别是（）A．0.5，4 B．1，8 C．-0.5，﹣4 D．﹣1，﹣812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= ____14．已知三角形的三个顶点为A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为_____________15．已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是____________ 16. 已知点A（﹣3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为；AB的长为．三、解答题（共70分）17．如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．21．在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，﹣3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．参考答案：一、选择题1．以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）A．（0，0.5，0.5）B．（0.5，0，0.5）C．（0.5，0.5，0）D．（0.5，0.5，0.5）【解答】解：由题意如图，平面AA 1B 1B 对角线交点是横坐标为AB 的中点值，竖坐标为AA 1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（0.5，0，0.5）．故选B ．2．设点B 是点A （2，-3，5）关于xOy 面的对称点，则A 、B 两点距离为（ ）A ．10B ．10C ．38D ．38【解答】解：点B 是A （2，-3，5）关于xoy 平面对称的点，∴B 点的横标和纵标与A 点相同，竖标相反，∴B （2，-3，-5）∴AB 的长度是5-（-5）=10，故选A ．3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为（ ）A ．a 2B ．a 22C ．aD ．a21【解答】解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′， ∵A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），A′（a ，0，a ），A′C 的中点E 与AB 的中点F ，∴F （a ，2a ，0），E （2a ，2a ，2a ）， |EF|=222)0()2()(aa a a a a a -+-+-=22a ． 4．一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）A ．37B ．47C ．33D ．57【解答】解：点P （1，1，1）平面xoy 的对称点的M 坐标（1，1，-1），一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：222)16()13()13(++-+-=57．故选D ．5．点P （x ，y ，z ）满足222)1()1()1(++-+-z y x =2，则点P 在（ ） A ．以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B ．以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定【解答】解：式子222)1()1()1(++-+-z y x =2的几何意义是动点P （x ，y ，z ）到定点（1，1，-1）的距离为2的点的集合．故选C ．6．若A 、B 两点的坐标是A （3cosα，3sinα），B （2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ）A ．[0，5]B ．[1，5] C.（1，5） D ．[1，25]【解答】解：由题意可得|AB|=22)sin 2sin 3()cos 2cos 3(βαβα-+- =βαβαsin sin cos cos 1249+-+ =)cos(1213βα--．∵-1≤cos （α-β）≤1，∴1≤13-12cos （α-β）≤25，∴1≤)cos(1213βα--≤5，故选B ． 7．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是（ ）C ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，﹣y ，z ）；②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，﹣y ，﹣z ）；③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，﹣y ，z ）；④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（﹣x ，﹣y ，﹣z ）．A ． 3B ． 2C ． 1D ． 08．设A （3,3,1）、B （1,0,5）、C （0,1,0），则AB 中点M 到C 点的距离为（ ）CA ．B ．C ．D ．9．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正投影，则|OB|等于（ ）BA ．B ．C ．D ．10．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，﹣5，1），C （3，7，﹣5），则点D 的坐标为（ ）DA ． （3.5，4，﹣1）B ． （2，3，1）C ． （﹣3，1，5）D ． （5，13，﹣3）11．已知点A （1，﹣2，11），B （4，2，3），C （x ，y ，15）三点共线，那么x ，y 的值分别是（ ）CA ． 0.5，4B ． 1，8C ． -0.5，﹣4D ． ﹣1，﹣812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（ A ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共20分）13．点P （1，2，3）关于y 轴的对称点为P 1，P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，则|P 1P 2|= ____214【解答】解：∵点P （1，2，3）关于y 轴的对称点为P 1，所以P 1（-1，2，-3），P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，所以P 2（1，-2，3），∴|P 1P 2|=222)33()22()11(--+++--=214．故答案为：21414．已知三角形的三个顶点为A （2，-1，4），B （3，2，-6），C （5，0，2），则BC 边上的中线长为 _____________211【解答】解：∵B （3，2，-6），C （5，0，2），∴BC 边上的中点坐标是D （4，1，-2） ∴BC 边上的中线长为222)42()11()24(--+++-=22，故答案为：21115．已知x ，y ，z 满足（x-3）2+（y-4）2+z 2=2，那么x 2+y 2+z 2的最小值是 ____________27-102．【解答】解：由题意可得P （x ，y ，z ），在以M （3，4，0）为球心，2为半径的球面上， x 2+y 2+z 2表示原点与点P 的距离的平方，显然当O ，P ，M 共线且P 在O ，M 之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|-2=432+-2=52，所以|OP|2=27-102．故答案为：27-102．16. 已知点A （﹣3，1，4），则点A 关于原点的对称点B 的坐标为 ；AB 的长为 ．（3，-1，-4）2三、解答题（共70分）17．如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP 、BP 、CP 、DP ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，以O 为原点，射线OM 、ON 、OP 分别为Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若E 、F 分别为PA 、PB 的中点，求A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．解：【解答】解：如图所示，B 点的坐标为（1，1，0），因为A 点关于x 轴对称，得A （1，-1，0），C 点与B 点关于y 轴对称，得C （-1，1，0）， D 与C 关于x 轴对称，的D （-1，-1，0），又P （0，0，2），E 为AP 的中点，F 为PB 的中点，由中点坐标公式可得E （0.5，-0.5，1），F （0.5，0.5，1）．18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x 轴上求一点P ，使它与点P 0（4，1，2）的距离为30；（2）在xOy 平面内的直线x+y=1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．解：【解答】解：（1）设点P 的坐标是（x ，0，0），由题意|P0P|=30，即22221)4(++-x =30，∴（x-4）2=25．解得x=9或x=-1．∴点P 坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）．先设点M （x ，1-x ，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．（2）设点M （x ，1-x ，0）则|MN|=51)1(22+-x ∴当x=1时，|MN|min=51．∴点M 的坐标为（1，0，0）时到点N （6，5，1）的距离最小．19．已知空间直角坐标系O-xyz 中点A （1，1，1），平面α过点A 且与直线OA 垂直，动点P （x ，y ，z ）是平面α内的任一点．（1）求点P 的坐标满足的条件；（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．解：【解答】解：（1）因为OA ⊥α，所以OA ⊥AP ，由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=x 2+y 2+z 2，化简得：x+y+z=3．（2）设平面α与x 轴、y 轴、z 轴的点分别为M 、N 、H ，则M （3，0，0）、N （0，3，0）、H （0，0，3）．所以|MN|=|NH|=|MH|=32， 所以等边三角形MNH 的面积为：3/4×(32)2=93/2．又|OA|=3，故三棱锥0-MNH 的体积为：31×93/2×3=4.5．20．如图，已知正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，M 为BD′的中点，点N 在A′C′上，且 |A′N|=3|NC′|，试求MN 的长．【解答】解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），C'（0，a ，a ），D'（0，0，a ）．由于M 为BD'的中点，取A'C'中点O',所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a ，a ）．因为|A'N|=3|NC'|，所以N 为A'C'的四等分,从而N 为O'C'的中点，故N （4a ，43a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得|MN |＝222)2()432()42(a a a a a a -+-+-＝46a21．在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，﹣3），试问（1）在y 轴上是否存在点M ，满足|MA|=|MB|？（2）在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．【解答】解：（1）假设在y 轴上存在点M ，满足|MA|=|MB|．因M 在y 轴上，可设M （0，y ，0），由|MA|=|MB|，可得2222223113++=++y y 显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说y 轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|．（2）假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由（1）可知，y 轴上任一点都有|MA|=|MB|，所以只|MA|=|AB|就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA|=222)01()0()03(-+-+-y ＝210y +|AB |=222)13()00()31(-+-+-＝20于是210y +＝20，解得y ＝±10 故y 轴上存在点M 使△MAB 等边，M 坐标为（0，10，0），或（0，−10，0）．空间直角坐标系 优化训练1．已知点A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称点的坐标为( )A ．(－1，－2，－7)B ．(－1，－2,7)C ．(1，－2，－7)D ．(1,2，－7)2．点P (－2,0,3)位于( )A ．y 轴上B ．z 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内3．如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．5．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P (2,3,4)在x 轴上的射影的坐标为______，在平面xOy 上的射影的坐标为______，在yOz 平面上的射影的坐标为______．1．如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A ．(13，13，13)B ．(23，23，23) C ．(13，23，13) D ．(23，23，13) 2．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)，Q (－2,3，－4)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．关于y 轴对称3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限B ．一定在第Ⅷ卦限C ．可能在第Ⅰ卦限D ．可能在xOz 平面上 4. 在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,3,1)、B (4,1，－2)、C (6,3,7)，则△ABC 的重心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6，72，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8，143，4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76，1 6．设z 是任意实数，相应的点P (2,2，z )运动的轨迹是( )A ．一个平面B ．一条直线C ．一个圆D ．一个球7．在xOy 平面内有两点A (－2,4,0)，B (3,2,0)，则AB 的中点坐标是________．8．已知▱ABCD 的两个顶点A (2，－3，－5)，B (－1,3,2)以及它的对角线交点E (4，－1,7)，则顶点C 的坐标为________，D 的坐标为________．9．点P (a ，b ，c )关于原点的对称点P ′在x 轴上的投影A 的坐标为________．10．在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，且SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，E 为SD 的中点，建立适当的坐标系，求点S 、A 、B 、C 、D 、E 的坐标．11. 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO 的延长线上，且|OE |＝12，写出B ′，C ，E 的坐标．12. 如图，有一个棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，以点D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长度为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz .一只小蚂蚁从点A 出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．空间直角坐标系 优化训练1．已知点A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称点的坐标为( )A ．(－1，－2，－7)B ．(－1，－2,7)C ．(1，－2，－7)D ．(1,2，－7)答案：A2．点P (－2,0,3)位于( )A ．y 轴上B ．z 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内解析：选C.由点P 纵坐标为零知P (－2,0,3)，在xOz 平面内．3．如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C4．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．解析：设M 坐标为(x ，y ，z )，则有1＝x －32，2＝2＋y 2，－3＝1＋z 2，解得x ＝5，y ＝2，z ＝－7∴M (5,2，－7)．答案：(5,2，－7)5．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P (2,3,4)在x 轴上的射影的坐标为______，在平面xOy 上的射影的坐标为______，在yOz 平面上的射影的坐标为______．答案：(2,0,0) (2,3,0) (0,3,4)1．如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A ．(13，13，13)B ．(23，23，23) C ．(13，23，13) D ．(23，23，13) 解析：选D.连接BD ，点P 在xDy 平面的射影落在BD 上，∵|BP |＝13|BD ′|，∴Px ＝Py ＝23，Pz ＝13，故P (23，23，13)． 2．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)，Q (－2,3，－4)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．关于y 轴对称 解析：选D.由P 、Q 两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标分别互为相反数知P 、Q 关于y 轴对称．3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限B ．一定在第Ⅷ卦限C ．可能在第Ⅰ卦限D ．可能在xOz 平面上解析：选D.由x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0知，x >0，z <0，y ∈R ，故点M 可能在第Ⅴ、第Ⅷ卦限或在xOz 平面上．故选D.4. 在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)解析：选D.由P 、Q 两点的横坐标、纵坐标相等知．5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,3,1)、B (4,1，－2)、C (6,3,7)，则△ABC 的重心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6，72，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8，143，4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76，1 答案：B6．设z 是任意实数，相应的点P (2,2，z )运动的轨迹是( )A ．一个平面B ．一条直线C ．一个圆D ．一个球解析：选B.由P 的x 、y 坐标是定值，则过(2,2,0)作与xOy 平面垂直的直线，直线上任意一点都满足x ＝2，y ＝2，故P 的轨迹是一条直线．7．在xOy 平面内有两点A (－2,4,0)，B (3,2,0)，则AB 的中点坐标是________． 解析：设AB 中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝3－22＝12， y ＝4＋22＝3，z ＝0 ∴中点坐标为(12，3,0)． 答案：(12，3,0) 8．已知▱ABCD 的两个顶点A (2，－3，－5)，B (－1,3,2)以及它的对角线交点E (4，－1,7)，则顶点C 的坐标为________，D 的坐标为________．解析：E 为AC 、BD 的中点．答案：(6,1,19) (9，－5,12)9．点P (a ，b ，c )关于原点的对称点P ′在x 轴上的投影A 的坐标为________． 解析：由题意得P ′(－a ，－b ，－c )，∴P ′(－a ，－b ，－c )在x 轴上的投影A 坐标为(－a,0,0)．答案：(－a,0,0)10．在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，且SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，E 为SD 的中点，建立适当的坐标系，求点S 、A 、B 、C 、D 、E 的坐标．解：∵在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AS 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图所示空间直角坐标系，∵SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，∴A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (0，a,0)，S (0,0，a )，D (a 2，a 2，0)，连接AD ， ∵SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，∴SA ⊥平面ABC ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，则EF ⊥平面ABC .∵E 为SD 的中点，∴F 为AD 的中点，∴|EF |＝12|AS |，∴E (a 4，a 4，a 2)， 即点S (0,0，a )，A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (0，a,0)，D (a 2，a 2，0)，E (a 4，a 4，a2)． 11. 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO 的延长线上，且|OE |＝12，写出B ′，C ，E 的坐标．解：点C 在y 轴上，x 坐标，z 坐标均为0，且|OC |＝3，故点C 的坐标为(0,3,0)． 因为B ′B 垂直于xOy 平面，垂足为B ，所以点B ′与B 的x 坐标和y 坐标都相同，又|BB ′|＝|OD ′|＝2，且点B ′在xOy 平面的上方，所以点B ′的坐标为(1,3,2)．点E 在x 轴负半轴上，且|OE |＝12， 所以点E 的坐标为(－12，0,0)． 12. 如图，有一个棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，以点D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长度为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz .一只小蚂蚁从点A 出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．解：小蚂蚁沿着A －B －C 或A －B －B 1或A －D －C 或A －D －D 1或A －A 1－B 1或A －A 1－D 1任一条路线爬行，其终点为点C 或B 1或D 1.点C 在y 轴上，且DC ＝1，则其y 坐标为1，x 坐标与z 坐标均为0，所以点C 的坐标是(0,1,0)；同理可知D 1的坐标是(0,0,1)；点B 1在xOy 平面上的射影是B ，点B 在xOy 平面上的坐标是(1,1)，且|B 1B |＝1，则其z 坐标为1，所以点B 1的坐标是(1,1,1)．。
空间直角坐标系试题(含答案)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列4条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知A （1，2，3），B （3，3，m ），C （0，－1，0），D （2，―1，―1），则 （ ）A ．||AB >||CD B ．||AB <||CDC ．||AB ≤||CDD ．||AB ≥||CD4．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则||CM （ ）A ．4B ．532C ．2D ．25．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =1，CD =2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为（ ）ABC ．2D 6．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于 （ ）A ．14B ．13C ．32D ．117．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为（ ）A ．（27，4，－1）B ．（2，3，1）C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3）8．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（ ）A ．22b a +B ．cC ．cD ．b a +9．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是 （ ）A ．21，4B ．1，8C ．21-，－4 D ．－1，－810．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ） A ．26B ．3C ．23D ．36第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．如右图，棱长为3a 正方体OABC －''''D A B C ， 点M 在|''|B C 上，且|'|C M =2|'|MB ，以O 为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M 的坐标为 ．12．如右图，为一个正方体截下的一角P －ABC ， ||PA a =，||PB b =，||PC c =，建立如图坐标系，求△ABC 的重心G 的坐标 _ _．13．若O （0，0，0），P （x ，y ，z ），且||1OP =，则2221x y z ++=表示的图形是 _ _．14．已知点A （－3，1，4），则点A 关于原点的对称点 B 的坐标为 ；AB 的长为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，长方体''''ABCD A B C D -中，||3AD =，||5AB =，|'|3AA =，设E 为'DB 的中点，F 为'BC 的中点，在给定的空间直角坐标系D －xyz 下，试写出A ，B ，C ，D ，'A ，'B ，'C ，'D ，E ，F 各点的坐标．16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．17．（12分）如图，已知矩形ABCD中，||3AD=，||4AB=．将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD．现以D为原点，DB作为y 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．18．（12分）已知)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ，)4,1,6(-C ，求证其为直角三角形．19．（14分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．20．（14分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足||||？MA MB（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．参考答案一、CADCB BDCCA二、11．（2a ，3a ，3a ）； 12．G （3,3,3b c a ） ； 13．以原点O 为球心，以1为半径的球面；14．（3，－1，－4）； 三、15．解：设原点为O ，因为A ，B ，C ，D 这4个点都在坐标平面 xOy 内，它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用||3AD =，||5AB =写出，所以 A （3，0，0），B （3，5，0），C （0，5，0），D （0，0，0）；因为平面''''A B C D 与坐标平面xOy 平行，且|'|3AA =，所以A '，B '，'C ，D '的竖坐标都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A ，B ，C ，D 的相同，所以'A （3，0，3），'B （3，5，3），'C （0，5，3），'D （0，0，3）；由于E 分别是'DB 中点，所以它在坐标平面xOy 上的射影为DB的中点，从而E 的横坐标和纵坐标分别是'B 的12，同理E 的竖坐标也是'B 的竖坐标的12，所以E （353,,222）；由F 为'BC 中点可知，F 在坐标平面xOy 的射影为BC 中点，横坐标和纵坐标分别为32和5，同理点F 在z 轴上的投影是AA '中点，故其竖坐标为32，所以F （32，5，32）．16．解: 由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D －xyz ．因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行，从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b ， 由H 为DP 中点，得H （0，0，b ）E 在底面面上的投影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以E （a ，0，b ）， 同理G （0，a ，b ）；F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E横坐标相同都是a ，与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故F （a ，a ，b ）．17．解： 由于面BCD ⊥面ABD ，从面BCD 引棱DB 的垂线CF 即为面ABD 的垂线，同理可得AE 即为面BCD 的垂线，故只需求得DF DE CF AE ,,,的长度即可。
空间直角坐标系练习题含详细答案
空间直角坐标系（11月21日）一、选择题1、有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）；②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）；③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）；④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。
其中正确的个数是（C ）A、1B、2C、3D、42、已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（C ）A、（1，-3，-4）B、（-4，1，-3）C、（3，-1，4）D、（4，-1，3）3、已知点A（-3，1，-4），点A关于x轴的对称点的坐标为（A ）A、（-3，-1，4）B、（-3，-1，-4）C、（3，1，4）D、（3，-1，-4）4、点（1，1，1）关于z轴的对称点为（A ）A、（-1，-1，1）B、（1，-1，-1）C、（-1，1，-1）D、（-1，-1，-1）5、点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为（C ）A、（2，3，-4）B、（-2，3，4）C、（2，-3，4）D、（-2，-3，4）6、点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(C)A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．x轴上7、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（C ）A、（12，1，1）B、（1，12，1）C、（1，1，12）D、（12，12，1）8、点P(22，33，－66)到原点的距离是(B)A.306B．1 C.336 D.3569、点M(4，－3,5)到x轴的距离为(B)A．4 B.34 C．5 2 D.41 10、在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为(D)A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)11、点M(－2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(B)A．(－2,0,2) B．(－2,0,0)C．(0,1,2) D．(－2,1,0)12、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为(B)A．9 B.29C．5 D．2 6二、填空题1、在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, 32，),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________．2、已知A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为_______________．3、已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则p =_________，q=__________．4、已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________．小组： 组号： 姓名：__________一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）题号 123456789101112答案二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、______________2、____________3、________________4、______________ 三、解答题1、 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO的延长线上，且|OE |＝12，写出B ′，C ，E 的坐标．2、求证：以(419)A ---，，，(1016)B --，，，(243)C ---，，为顶点的三角形是等腰直角三角形．【选做题】1、已知点A (2,3,5)，B (－2,1，a )，则|AB |的最小值为( )A. 6 B ．2 5 C. 2 D ．2 2 2、如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．答案：二、填空：1. (0, ); 2. ; 3. 3 , 2; 4 (0,三、解答题：1、解：点C在y轴上，x坐标，z坐标均为0，且|OC|＝3，故点C的坐标为(0,3,0)．因为B′B垂直于xOy平面，垂足为B，所以点B′与B的x坐标和y坐标都相同，又|BB′|＝|OD′|＝2，且点B′在xOy平面的上方，所以点B′的坐标为(1,3,2)．点E在x轴负半轴上，且|OE|＝12，所以点E的坐标为(－12，0,0)．2、选做题：1、解析：选B.|AB|＝2＋22＋3－12＋5－a2＝20＋a－52，当且仅当a＝5时，|AB|min＝20＝2 5.2、解由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，∴BD＝2，CD＝23，z＝3，y＝－1．∴D(0，－1，3)．又∵A(32，12，0)，∴|AD|＝322＋12＋12＋32＝6．。
空间直角坐标系 习题(含答案)
22．在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 .
（1）若 为 的直角顶点，且顶点 在 轴上，求 边所在直线方程；
（2）若等腰 的底边为 ，且 为直线 上一点，求点 的坐标.
23．求函数 的最小值．
24．如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到的，其中
（1）求 的长；
【详解】
设z轴上任意一点Q的坐标为 ，
由空间中两点间的距离公式可得： ，
当 时取得最小值.
故选C.
【点睛】
本题考查空间中两点间的距离，掌握空间内两点间的距离公式，会根据解析式求最值，注意计算的准确性.
3．C
【解析】
【分析】
先根据线面平行的性质和中位线定理说明M为EF的中点，再根据中点坐标公式求M的坐标。
设F(0，0，z)．
∵AEC1F为平行四边形， ∴由AEC1F为平行四边形，
∴由 = 得，(-2，0，z)=(-2，0，2)，
∴z=2．∴F(0，0，2)．∴ =(-2，-4，2，于是| |=2 ，即BF的长为2 ；
(2)设 为平面AEC1F的法向量，显然 不垂直于平面ADF，故可设 =(x，y，1)．
故答案为
12．168
【解析】
【分析】
由题意，设 ，得 ，根据坐标对应相等，列出方程组，求得 的值，得到向量 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】
由题意， ，设 ，
又 ， ，
所以
即 ，
解得 ，
则 .
故 .
【点睛】
本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的坐标表示与向量共线的运算，以及向量的夹角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
空间直角坐标系例题
空间直角坐标系例题于是，小明拿出他的笔记本，画了个大大的坐标系，X轴、Y轴、Z轴都清晰可见。
看着这些线条，朋友们个个眉头紧皱，心里想着：“这是什么鬼？难道我们要在这儿打坐？”小明哈哈大笑：“别担心，咱们就把这当成一个大地图，找到每一个宝藏点就行了！”听了这话，大家的紧张情绪稍微缓解了些，心想，这地图总比坐着干等要好得多。
于是，他们决定从坐标(1, 2, 3)开始。
小明指着地图，兴奋地说：“我们先往右走一格，然后向上走两格，最后再往前走三格。
”小伙伴们点点头，心里琢磨着，跟着小明的指引走，感觉就像在玩寻宝游戏一样，心里那个期待啊，简直要飞起来了。
一路上，他们嬉闹着，偶尔还会有小鸟飞过，仿佛在为他们的探险加油。
可是，事情并没有那么简单。
小明带着大家走到(1, 2, 3)时，发现眼前是一片空荡荡的地方。
哦，真是个意外，大家都愣住了。
小明耸耸肩：“没关系，这只是第一步。
我们去(4, 5, 6)看看。
”话音刚落，大家又开始朝新的坐标点进发。
这时候，小王调皮地说：“要是每个坐标都有宝藏，那我就发达了！”这话让大家都笑了，气氛一下子轻松了许多。
他们按照小明的计划继续前进。
走到(4, 5, 6)时，竟然看到了一棵巨大的老树，树下还有个破旧的箱子。
大家的心都提到了嗓子眼，难道这就是传说中的宝藏？小明激动地跑过去，打开箱子，发现里面竟然是一堆旧玩具和几本发黄的书。
虽然不是金银财宝，但大家还是围着箱子，乐呵呵地翻看起来。
小李拿起一个破损的玩具车，感慨道：“这让我想起小时候的快乐啊！”过了一会儿，大家决定继续探险，目标是(7, 8, 9)。
在路上，小王突然冒出一句：“这就像是在解密，每一个坐标点都是一个谜。
”大家纷纷点头，确实是这样。
他们就这样快乐地在坐标系中穿梭，偶尔碰到小动物，偶尔发出欢笑，仿佛整个世界都在和他们一起玩耍。
终于，他们到达了最后一个坐标点，(7, 8, 9)。
在这里，竟然发现了一片美丽的花丛，五颜六色的花朵让人目不暇接。
高中数学《空间直角坐标系》课堂练习题
高中数学《空间直角坐标系》课堂练习题【小编寄语】查字典数学网小编给大伙儿整理了高中数学《空间直角坐标系》课堂练习题，期望能给大伙儿带来关心!当堂练习：1.在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为( )A.(-1,2,3)B.(1,-2,-3)C.(-1, -2, 3)D.(-1 ,2, -3)2.在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为( )A.(-3,4,5)B.(-3,- 4,5)C.(3,-4,-5)D.(-3,4,-5)3.在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为( )A.B.6C.D.24.点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P/的坐标为( )A.(-1, 0, 2)B.(-1,0, 2)C.(1 , 0 ,2)D.(-2,0,1)5.点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是( )A.( 4, 2, 2)B.(2, -1, 2)C.(2, 1 , 1)D. 4, -1, 2)6.若向量在y轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量平行的坐标平面是( )A. xOy平面B. xOz平面C.yOz平面D.以上都有可能7.在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对8.已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B两点间距离的最小值为( )A.C.D.9.点B是点A(1，2，3)在坐标平面内的射影，则OB等于( )A.B.C.D.10.已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C(3，7，-5)，则点D的坐标为( )A.(，4，-1) B.(2，3，1) C.(-3，1，5) D.(5，13，-3)11.点到坐标平面的距离是( )A.B.C.D.12.已知点三点共线，那么的值分别是( )A.，4 B.1，8 C.，-4 D.-1，-813.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离差不多上1，则该点到原点的距离是( )A.C.D.14.在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1,),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q的坐标是______________ __.15.已知A(x, 5-x, 2x-1)、B(1，x+2，2-x)，当|AB|取最小值时x的值为_______________.16.已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B(2，4，1)、C(p，3，q+2)，若A、B、C三点共线，则p =_________，q=__________.17.已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________.18.求下列两点间的距离:A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1);C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3).19.已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证:ABC是直角三角形.20.求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件:A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ;A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2).21.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱P D⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标.参考答案：经典例题：解：(1)假设在在y轴上存在点M，满足因M在y轴上，可设M(0，y，0)，由，可得明显，此式对任意恒成立.这确实是说y轴上所有点都满足关系(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形.由(1)可知，y轴上任一点都有，因此只要就能够使得△MAB是等边三角形.因为因此，解得故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为(0，，0)，或(0，，0).当堂练习：1.B;2.A;3.A;4.B;5.C;6.B;7.B;8.C;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13. A; 14. (0,); 15.; 16. 3 , 2; 17. (0,18. 解: (1)|AB|=(2)|CD|=19. 证明:为直角三角形.20. 解: (1)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则化简得4x-4y-3=0即为所求.(2)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则化简得2x-y-2z+3=0即为所求.21. 解: 由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，建立如图空间坐标系D-xyz.因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EF GH与底面ABCD平行，从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也确实是b，由H为DP中点，得H(0，0，b)E在底面面上的投影为AD中点，因此E的横坐标和纵坐标分别为a 和0，因此E(a，0，b)，同理G(0，a，b);唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
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空间直角坐标系练习一班级 姓名一、基础知识、1、将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成 ，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位 ，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的 ，2、坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x 轴上的点P 的坐标的特点：Ｐ（ , , ），纵坐标和竖坐标都为零．y 轴上的点的坐标的特点： Ｐ（ , , ），横坐标和竖坐标都为零．z 轴上的点的坐标的特点： Ｐ（ , , ），横坐标和纵坐标都为零．x Ｏy 坐标平面内的点的特点：Ｐ（ , , ），竖坐标为零．x Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（ , , ），纵坐标为零．y Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（ , , ），横坐标为零．3、已知空间两点Ａ（1x ，1y ， 1z ），Ｂ（2x ，2y 2z ），则AB 中点的坐标为（ , , ）.4、一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标：点P （x ，y ，ｚ）关于坐标原点的对称点为 1P （ , , ）；点P （x ，y ，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为2P （ , , ）；点P （x ，y ，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为3P （ , , ）；点P （x ，y ，ｚ）关于坐标竖轴（ｚ轴）的对称点为4P （ , , ）；点P （x ，y ，ｚ）关于ｘＯｙ坐标平面的对称点为 5P （ , , ）；点P （x ，y ，ｚ）关于ｙＯｚ坐标平面的对称点为 6P （ , , ）点P （x ，y ，ｚ）关于ｚＯｘ坐标平面的对称点为 7P （ , , ）．二、选择题1、有下列叙述：① 在空间直角坐标系中，在ox 轴上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；②在空间直角坐标系中，在yoz 平面上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；③在空间直角坐标系中，在oz 轴上的点的坐标可记作（0，0，c ）；④在空间直角坐标系中，在xoz 平面上的点的坐标是（a ，0，c ）。
其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、42、已知点A （-3，1，4），则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）A 、（1，-3，-4）B 、（-4，1，-3）C 、（3，-1，4）D 、（4，-1，3）3、已知点A （-3，1，-4），点A 关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A 、（-3，-1，4）B 、（-3，-1，-4）C 、（3，1，4）D 、（3，-1，-4）4、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ）A 、（2，3，-4）B 、（-2，3，4）C 、（2，-3，4）D 、（-2，-3，4）5、以正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标为（ ）A、（12，1，1） B、（1，12，1） C、（1，1，12） D、（12，12，1）6、点（1，1，1）关于z轴的对称点为（）A、（-1，-1，1）B、（1，-1，-1）C、（-1，1，-1）D、（-1，-1，-1）三、填空题7、点（2，3，4）关于yoz平面的对称点为------------------。
8、设z为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的集合图形为-----------------。
9、以棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B对角线交点的坐标为----------------。
10、P（x0，y0，z0）关于y轴的对称点为-------------------。
四、解答题11、在空间直角坐标系中，与x轴垂直的是坐标平面；与y轴垂直的是坐标平面；与z轴垂直的是坐标平面；12、在空间直角坐标系中，落在x轴上的点的坐标的特点是。
试写出三个点的坐标，，。
落在xoy坐标平面内的点的坐标特点是。
试写出三个点的坐标，，。
13、（1）写出点P（2，3，4）在三个坐标平面内的射影的坐标是。
（2）写出点P（2，3，4）在三条坐标轴上的射影的坐标是。
14、（1）写出点P（1，3，-5）关于原点成中心对称的点的坐标是。
（2）写出点P（1，3，-5）关于ox轴对称的点的坐标是。
15、如下图，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（2，12，0），点D在平面yoz上，且BDC=900， DCB=300，求点D的坐标。
答案：一、选择题1、C；2、C；3、A；4、C；5、C；6、A二、填空题7、（-2，3，4）8、过点（1，2，0）且平行于z轴的一条直线。
9、（12，0，12）10、（-x0，y0，-z0）三、解答题11、解：在空间直角坐标系中，yoz坐标平面与x轴垂直，xoz坐标平面与y轴垂直，xoy坐标平面与z轴垂直。
12、解：在空间直角坐标系中，落在x轴上的点的纵坐标和竖坐标都是0，即（x，y，0）的形式，如（2，0，0），（-3，0，0），（12，0，0）。
13、解：（1）点P（2，3，4）在xoy坐标平面内的射影为（2，3，0）；在yoz坐标平面内的射影为（0，3，4）；在xoz坐标平面内的射影为（2，0，4）（2）P（2，3，4）在x轴上的射影是（2，0，0）；在y轴上的射影是（0，3，0）；在z轴上的射影为（0，0，4）。
14、解：（1）点P（1，3，-5）关于原点成中心对称的点的坐标为（-1，-3，5）；（2）点P（1，3，-5）关于ox轴对称的点的坐标（1，-3，5）。
15、解：过D作DEBC，垂足为E，在R t BDC中， BDC=900， DCB=300，BC=2，得BD=1，∴DE=Cdsin300OE=OB-BE=OB-BDcos600=1-12=12∴D点坐标为（0，-12。
空间直角坐标系练习二班级姓名一、选择题1、在空间直角坐标系中，点A（1，2，-3）关于x轴的对称点为（）A、A（1，-2，-3）B、（1，-2，3）C、（1，2，3）D、（-1，2，-3）2、设yR，则点P（1，y，2）的集合为（）A、垂直于xoz平面的一条直线B、平行于xoz平面的一条直线C、垂直于y轴的一个平面D、平行于y轴的一个平面3、在空间直角坐标系中，方程x2-4（y-1）2=0表示的图形是（）A、两个点B、两条直线C、两个平面D、一条直线和一个平面4、在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于yoz平面的对称点的坐标为（）A、（-3，4，5）B、（-3，-4，5）C、（3，-4，-5）D、（-3，4，-5）5、在空间直角坐标系中，P（2，3，4）、Q（-2，-3，-4）两点的位置关系是（）A、关于x轴对称B、关于yoz平面对称C、关于坐标原点对称D、以上都不对6、点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是（）A、|a| C、|b| D、|c|∆是（）7、A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点，则ABCA、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、等腰三角形二、填空题8、在空间直角坐标系中，点P的坐标为（1，过点P作yoz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是--------------------。
9、若点A(2,1,4)与点P(x,y,z)的距离为5，则x,y,z满足的关系式是_______________.10、已知点A在x轴上，点B（1，2，0），且则点A的坐标是_________________.三、解答题11、在直角坐标系O—xyz中作出以下各点的P（1，1，1）、Q（-1，1，-1）。
12、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1之中点，且正方体棱长为1。
请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标。
13、求点A（1，2，-1）关于坐标平面xoy及x轴对称点的坐标。
14、四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=2，PC=1，E为AB的中点。
建立空间直角坐标系并写出P、A、B、C、E的坐标。
15、试写出三个点使得它们分别满足下列条件（答案不唯一）：（1） 三点连线平行于x 轴；（2） 三点所在平面平行于xoy 坐标平面；在空间任取两点，类比直线方程的两点式写出所在直线方程答案：一、选择题1、B ；2、A ；3、C ；4、A ；5、C ；6、D ；7、A二、填空题8、（09、222(2)(1)(4)25x y z -+-+-=10、(0,0,0)或（2，0，0）三、解答题11、解:在直角坐标系O —xyz 中，在坐标轴上分别作出点P x 、P y 、P z ，使它们在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别是1，1，1；再分别通过这些点作平面平行于平面yoz 、xoz 、xoy ，这三个平面的交点即为所求的点P 。
（图略）12、解：如右图，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D （0，0，0），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），D 1（0，0，1），E （0，0，12）， F （12，12，0），G （1，1，12） 13、解：过A 作AM ⊥xoy 交平面于M ，并延长到C ，使AM=CM ，则A 与C 关于坐标平面xoy 对称且C （1，2，1）。
过A 作 AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN=NB ，则A 与B 关于x 轴对称且B （1，-2，1）。
∴A （1，-2，1）关于坐标平面xoy 对称的点C （1，2，1）；A （1，-2，1）关于x 轴对称点B （1，-2，1）。
思维启示：（1）P （x ，y ，z ）关于坐标平面xoy 的对称点为P 1（x ，y ，-z ）；P （x ，y ，z ）关于坐标平面yoz 的对称点为P 2（-x ，y ，z ）；P （x ，y ，z ）关于坐标平面xoz 的对称点为P 3（x ，-y ，z ）；（2）P （x ，y ，z ）关于x 轴的对称点为P 4（x ，-y ，-z ）；P （x ，y ，z ）关于y 轴的对称点为P 5（-x ，y ，z ）；P （x ，y ，z ）关于z 轴的对称点为P 6（-x ，-y ，z ）。
14、解：如图，建立空间直角坐标系，则P （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C （0，0，1），E （1，1，0）。
15、解：（1）（1，2，3），（-2，1，3），（1，-1，3）（只要写出的三点的纵坐标和竖坐标相等即可）。
（2）（1，2，3），（-2，1，3），（1，-1，3）（只要写出的三点的竖坐标相等即可）。
（2）若两点坐标分别为（x 1，y 1，z 1）和 （x 2，y 2，z 2），则过这两点的直线方程为111212121x x y y z z x x y y z z ---==---（x 2 x 1且y 2 y 1且z 2 z 1）。