南京市2013高一上数学期末

A H C H C A ( n 1) a ，由 m b AH ， AB 共线得 m n 1 ，
2
则 m
1 6 ,n ． 7 7
20．已知函数 f ( x) x2 4 k x 2 ． ⑴若函数 y f ( x) 为偶函数，求 k 的值； ⑵求函数 y f ( x) 在区间 [0, 4] 上的最大值； ⑶若函数 y f ( x) 有且仅有一个零点，求实数 k 的取值范围． ⑴ k 0 ；⑵ k 6 时，最大值为 12 2k ； k 6 时，最大值为 0 ；⑶ (, 4] ；
17 ) 4
．

2 2
3 的定义域是 x 2
3．函数 f ( x) lg x
(0, 2) (2, )
．
4．已知角 的终边经过点 P(－3，4)，则 sin －2cos 的值是 _____．
2
5．计算： 2lg5 lg 4 ．
2
6 ． 已 知 向 量 a ， b 满 足 ： a 1 ， b 2 ， a (a b) 2 ， 则 a 与 b 的 夹 角．是
y 1 O x
13．定义
a b sin( x ) m ad bc ．已知函数 f ( x) , x [ , ] ，若 f ( x) 的最 6 c d 2 2 1 2
．
大值与最小值的和为 3 ，则实数 m 的值是
3 1；
f ( x) 2sin( x
2 m
6
) m ， x [
江苏省南京市 2012-2013 学年度第一学期期末调研试卷
高一数学
2013.01
一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分．请把答案填写在答卷纸相应位置 上． ．．．．．．． 1．已知集合 A {0, 2} ， B {1, 2,3} ，则 A
B
．
{2}
2．计算： sin(
sin( 2 ) cos 1 ； 2
⑵ tan(
) tan 3 ．
17．经市场调查，某农产品在过去 20 天的日销售量和价格均为销售时间 t （天）的函 数，且日销售量近似地满足 f (t ) 2t 70(1 t 20, t N) ，前 10 天价格近似地满足
3 ， m
, ] ， f x min 3 m ， f x max 2 m ， 2 2
3 m
3 1．
14．已知函数 f ( x) a( x a)( x 2a 1) ， g ( x) 2x 4 满足条件，对任意 x R ， “ f ( x) 0 ”与“ g ( x) 0 ”中至少有一个成立，则实数 a 的取值范围 是 ．
19．如图，在△ ABC 中，已知 CA 2 ， CB 3 ， ACB 60 ， CH 为 AB 边上的高． ⑴求 AB BC ； ⑵设 CH mCB nCA ，其中 m, n R ，求 m ， n 的值．
B
H C
⑴ 6 ；⑵ m
1 6 ,n ； 7 7
A
⑴设 CA a ， CB b ，得 AB CB CA a b ， BC b ， 因此 AB BC a b b 6 ； ⑵ CH na mb ，由 CH AB 得 6m n 0 ，
2，
sin cos sin 2cos
22 x , x 2 12．已知函数 f ( x) ，若关于 x 的方程 f ( x) k 有两个不同的实 sin( x) , 2 x 2 4
数根，则实数 k 的取值范围是
．
(0,1) ；
画出函数图像，可知 0 k 1 ．
(a,0) 在 (2,0) 的左侧即可，所以 a 2 ，解得 a 2 ；
综上， 2 a 0 ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 58 分．请在答卷纸指定区域内 作答，解答时应写出文字 ．．．．．．．． 说明、证明过程或演算步骤．
15．设 x, y R ，向量 a ( x, 2) ， b (4, y) ， c (1, 2) ，且 a c ， b ∥ c ． ⑴求 x ， y 的值； ⑵求 a b 的值． ⑴ x 4 ， y 8 ；⑵ 10 ；
1 t 10(1 t 10, t N) ，后 10 天价格近似地满足 g (t ) 15(11 t 20, t N) ． 2 ⑴写出该农产品的日销售额 S 关于时间 t 的函数关系； ⑵求日销售 S 的最大值． g (t )
t 2 15t 700(1 t 10, t N) ⑴S ；⑵ 756 ； 30t 1050(11 t 20, t N)
)． 3 ⑴求 f ( x) 的最小值及 f ( x) 取到最小值时自变量 x 的集合；
⑵指出函数 y f ( x) 的图象可以由 y sin x 的图象经过哪些变化得到； ⑶当 x [0, m] 时，函数 y f ( x) 的值域为 [ 3, 2] ，求实数 m 的取值范围．
5 5 , k Z ；⑵详见解析；⑶ [ , ] ； ⑴ 2 ， x | x k 12 6 12
3
2
．
；
a a b 2 ，因此 a b 1 ， cos
a b a b

1 1 ，则 ． 1 2 2 3
7．已知 a log3 2 ， b log4 5 ， c log3 0.3 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 （用“ ”连接） ．
c a b；
x
9．已知向量 e1 和 e2 为两个不共线的向量，a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c ＝e1＋2e2， 以 a，b 为基底表示 c ，则 c ＝ ________．
5 1 c a b； 3 3
10．给出下列四个函数：① y tan x ；② y x3 ；③ y x2 1 ；④ y sin x ． 其中既是奇函数，又在区间 (0,1) 上为单调递减的函数是 (写出所有满足条件的函数的序号) ②④； ．
16．已知 2sin 2 5cos( ) 4 ．求下列各式的值： ⑴ sin( 2 ⑵ tan( ⑴
)；
)．
1 ；⑵ 3 ； 2
1 ⑴ 2sin 2 5cos( ) 4 ， 2 2cos2 +5cos 4 ，解得 cos ， cos 2 （舍） ， 2
根据对数的单调性得 0 a 1 ， b 1 ， c 0 ，所以 c a b ．
8．函数 y A sin( x )( A 0, 0,
y
2
) 的图像如右图所示，则该函数的解析式为
．
y 2sin 2 x ； 6
y
2 2π 3 π O 12 -2
⑴根据偶函数得 f ( x) f ( x) ，即 x2 4 k x 2 ( x)2 4 k x 2 ， 化简得 k ( x 2 x 2 ) 0 ，所以 k 0 ； ⑵当 0 x 2 时，f ( x) x2 kx 4 2k ， 最大值在端点取到， 且 f (0) 2k 4 ，f (2) 0 ； 当 2 x 4 时， f ( x) x2 kx 4 2k ，最大值仍然在端点取到，且 f (2) 0 ，
⑴ f x min 2 ， 2 x ⑵向右平移
3
2k

2
， x | x k , x Z ； 12
1 ，纵坐标变为 2 倍； 2
3
个单位，横坐标变为原来的
或者横坐标变为原来的 ⑶ 2x
1 ，向右平移 个单位，纵坐标变为 2 倍； 2 6
4 5 5 , 2m ，值域为 [ 3, 2] ， 2m [ , ] ，所以 m [ , ] ． 3 3 3 3 2 3 12 6
1 t 10(1 t 10, t N) ⑴ f (t ) 2t 70(1 t 20, t N) ， g (t ) 2 ， 15(11 t 20, t N)
t 2 15t 700(1 t 10, t N) 所以 S f (t ) g (t ) ； 30t 1050(11 t 20, t N )
x 2 是其中一个解，所以当 x 2 和 x 2 时方程无解：
若 x 2 ，原方程变形成 ( x 2)( x 2) k ( x 2) ，所以 x k 2 ， 要使其在 (2, ) 上无解，所以 k 2 2 ，解得 k 4 ； 若 x 2 ，原方程变形成 ( x 2)( x 2) k (2 x) ，所以 x k 2 ， 要使其在 (, 2) 上无解，所以 k 2 2 ，解得 k 4 ； 综上， k 4 ．
⑵当 1 t 10 时， S 为二次函数，因为 t N ，所以在 t 7 或 8 时， S 取到最大值，最 大值为 756 ； 当 11 t 20 时， S 是单调减的，所以在 t 11 时 S 取到最大值，最大值为 720 ； 综上， S 的最大值为 756 ．
18．已知函数 f ( x) 2sin(2 x
的值
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin

1 sin 1 sin cos 2 1 sin 1 sin
2
2
，因为
为第三象限角，所以

1 sin sin 1 ， 1 sin cos
tan 1 1 tan 2 4

1 2 ，可以得到 tan cos
(2,0) ；
当 x 2 时， 2x 4 ，此时 g ( x) 0 ，所以当 x 2 时， f ( x) 0 ； 因此，函数 f ( x) 在 [2, ) 上恒小于 0 ； 所以函数 f ( x) 开口向下，即 a 0 ， 同时函数 f ( x) 和 x 轴的两个交点为 (a,0) 和 (2a 1,0) ， 因为 a 0 ，所以 a 2a 1 ，所以 (a,0) 在 (2a 1,0) 的右边，所以只要让右边的交点