高中数学坐标系与参数方程 综合练习3 新课标 人教版 选修4-4(A)
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高中课标课程选修4-4《坐标系与参数方程》教学参考一 《坐标系与参数方程》概观
比如“声响定位”，教材创设的情景是要学生确定 声响的位置，学生在思考如何解决这个情景问题时， 发 现要确定一 个点的位置， 必须借助于 数量关系， 此 时教师可引 导学生进一步 思考要用什 么数量关系 来 表示它？要 怎样找到数量 关系？最后 让学生体会 用坐标法解决问题的过程.
又如“参数方程的引入”，教材创设了飞机向灾区 投 放物资的情 景，教师应引 导学生思考 ；如果建立 了适当的直角坐标系，物资离开飞机后的空中位置， 可 以用坐标系 的坐标来表示 ，而表示物 资位置的坐 标，可以用物质离开飞机的时间来确定. 于是学生在 这 样一个问题情 景中，感受 到物资在某 一时刻的位 置 可以用函数来 刻画它，从 而在意识上 产生引入参 数方程的必要性.
坐 标系是坐标 法思想得 以实现的平 台，是解析 几 何的基 础. 参数方 程是以 参变量 为中介来 表示曲 线 上点的坐标 的方程，是曲 线在同一坐 标系下的又 一种表示形式. 2.坐标系与参数方程的作 用
通 过极坐标系 、柱坐标 系、球坐标 系等不同的 坐 标系的学习 ，可以丰富对 坐标系的认 识，体会不 同 坐标系在刻 画几何图形或 描述自然现 象的特点， 从 而可以根据 不同几何图形 的特点选择 适当坐标系 使建立的方程更加简单，研究更方便. 通过参数方程 的 学习，可以发 现某些曲线 用参数方程 表示比用普 通 方程表示更方 便，而且有 助于进一步 体会解决问 题中数学方法的灵活多变. 3.教材地位分析
近十年来 ，本专题的 教学内容在 中学数学课 程 中经历了三 个不同时期． 一是以一章 的形式出现 在 解析几何中；二是在“两省一市”(山西、江西、天津) 的教科书里 面把它分解到 各个章节中 ；三是在课 标 课程中，又 重新把它集中 为一个专题 即《坐标系 与 参数方程》．本专题是以《平面解析几何初步》、《平 面向量》、《三角函数》 等模块的知识 为基础，是 平 面解析几何 初步、平面向 量、三角函 数等内容的 综 合应用和进一步深化. 4.本专题 知识网络图
(完整版)选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案
x t 3,1、已知在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为_ （t为参数），在极坐标系（与y v3t直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4 cos 3 0.①求直线I普通方程和曲线C的直角坐标方程；②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的取值范围.x = 2cos 0 , 一2、已知曲线C的参数方程是（0为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴y = 3sin 0 ,为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p = 2,正方形ABCD勺顶点都在C2上，且AnB C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2 ,—）.3（I ）求点A B C、D的直角坐标；（n ）设P为C上任意一点，求|PA2+ |PB2+ |PC2+ |PD2的取值范围.. . 2 2 . - 2 23、在直角坐标系xOy中，圆C ：x + y = 4,圆C2：(x—2) + y = 4.(I )在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程, 并求出圆C，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(n)求圆C与C2的公共弦的参数方程.4、在直角坐标系xOy中，直线I的方程为x —y + 4 = 0，曲线C的参数方程为x= ：：：］3cos a ,(a为参数).y= sin a(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以xn轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4 ,―)，判断点P与直线I的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值.X = 2C0S a ,5、在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为( a 为参数).M 是C i 上的y = 2+ 2sin a .动点，P 点满足0F= 20M P 点的轨迹为曲线 C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 交点为A ,与C 2的异于极点的交点为 B,求|AE |.x = cos e6、已知P 为半圆C:( e 为参数，o w e wn )上的点，点 A 的坐标为(1,0) , Oy = sin en 为坐标原点，点 M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为—.(1) 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标;(2) 求直线AM 的参数方程.ne =g 与C 的异于极点的n n .* j 3 7、在极坐标系中，已知圆C经过点P .2，~4，圆心为直线P sin 9—3 =一与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.8、在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线I上两点M, N的极坐标分别为(2,0), 穿,-2，圆C的参数方程为x= 2+ 2cos 9 ,厂(9为参数).y=—3+ 2sin 9(1) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2) 判断直线l与圆C的位置关系.1、【答案】①直线I 的普通方程为：,3x y 3、、3 0. n n n n nn_nnA (2cos —, 2sin —), B (2cos(-3 + R , 2sin( — + —)) , q2cos( — +n ), 2sin( — +n 3 n n 3 nn )) , D (2cos( — + 〒),2sin( — + 亍)),即 A (1 , 3) , B ( — 3 , 1), Q — 1, — 3) , D ( 3 , — 1). (n )设 P (2cos 0 , 3sin 0 ),令 S =|PA 2+ |PB 2+ |PC 2+ |PD 2 ,则2 2S = 16cos 0 + 36sin 0 + 162=32 + 20sin 0 .因为0W sin 20W 1,所以S 的取值范围是[32 , 52].3、解：(I )圆C 的极坐标方程为p = 2 , 圆G 的极坐标方程p = 4cos 0 .2 解卩,得卩=2, 0=±石,p _ 4cos 03从而p_占.n(1)把极坐标系的点P (4 ,-)化为直角坐标，得 R0,4),满足直线l 的方程x — y + 4_ 0,所以点P 在直线l 上. 故可设点Q 的坐标为曲线C 的直角坐标方程为：x 2y 2②曲线C 的标准方程为(x 2)2 y 2•••圆心C(2,0)到直线I 的距离为：d所以点P 到直线I 的距离的取值范围是2、解：(I )由已知可得2 24x 3 0【或(x 2)2 y 21]1,圆心C(2,0)，半径为1；|2、一 3 0 3.3| 5,32 2故圆C 与圆C 2交点的坐标为(2 ,,(2,—勺.注：极坐标系下点的表示不唯一.x _ p cos 0 ,得圆 y _ p sin 0 (n )法一：由故圆C 与G 的公共弦的参数方程为x_ t 1,-3w t w 3.x _ 1(或参数方程写成 ， —..3 < y w 3)法二：将x = 1代入 cos 0得 p sin 0p cos 0 = 1,于是圆 C 与G 的公共弦的参数方程为x _ 1 y _ tan 0 '4、因为点P 的直角坐标(0,4)⑵因为点Q 在曲线C 上,(.3cos a , sin a ),C 与C 2交点的直角坐标分别为从而点Q 到直线I 的距离=；'2cos( a+ -Q )+ 2 2nl由此得，当cos( a + —) =— 1时，d 取得最小值，且最小值为：2.x y5、⑴设Rx , y )，则由条件知 M ^ 2 .由于M 点在C 上，x=2cos a , 2X = 4cos a ,所以即yy = 4+ 4sin a .2= 2+ 2sin a ,X = 4cos a ,从而C 2的参数方程为(a 为参数)y = 4 + 4sin a .(2)曲线C 的极坐标方程为 p = 4sin 0，曲线C 2的极坐标方程为 p = 8sin 0 .n n射线0 =三与C 的交点A 的极径为 p 1= 4sin —,3 3nn射线0 = y 与G 的交点B 的极径为p 2= 8sin —. 所以 | AB = | p 2— p 1| = 2 '3.nn6、 (1)由已知，M 点的极角为y ，且M 点的极径等于 J ,n n故点M 的极坐标为 ~~ .⑵M 点的直角坐标为n ,二空,A (1,0),故直线AM 的参数方程为6 6nx=1 + 6 — 1t ，(t 为参数).| 3cos a — sina + 4|2cos7t6所以圆C 的圆心坐标为(1,0) 因为圆C经过点P .'2, n,所以圆C的半径PC= 2+ 12—2X 1 x J2cos■—= 1,¥ 4于是圆C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为p = 2cos e .0, ¥8、解：(1)由题意知，M N 的平面直角坐标分别为所以直线l 的平面直角坐标方程为 3x + 3y — 2 3= 0.又圆C 的圆心坐标为(2 , — ,；3)，半径r = 2, 圆心到直线I 的距离d =， ： — ■' =-<r ,故直线l 与圆C 相交.yJ 3 + 9 2又P 为线段MN 勺中点，从而点 P 的平面直角坐标为1,，故直线OP 的平面直角坐标方程为 ⑵因为直线l 上两点M N 的平面直角坐标分别为 (2,0)(2,0)。
2020年高考数学 选修4-4：坐标系与参数方程 解答题专练(含答案)
2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(答案解析)
一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。
高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。
(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线l 的极坐标方程为：ρ=√2sin(θ−π4)，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．（I ）求点P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．1、【详解】 （1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-==所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r =2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x 2+(y −2)2=4所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=√2sin(θ−π4)所以ρ√2sin (θ−π4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =√12+12=4√2，P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和， 所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2． 法二：d =√12+12=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π4)+4|当a =74π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ（θ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =4−√22ty =4+√22t （t ∈R ，t 为参数）. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线C 1：cos 2θ=x 2，sin 2θ=y 23，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 23=1．对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)。
选修4-4数学坐标系与参数方程
选修4-4数学坐标系与参数方程一、基础知识与考点梳理坐标系是解决几何问题的工具之一，包括平面直角坐标系和极坐标系。
参数方程是通过参数的变化来描述图形的方程，常用于描述曲线的运动或变化。
考点：1. 平面直角坐标系：了解坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的坐标表示方法以及表示直线和曲线的方程的求解方法。
2. 极坐标系：了解极坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的极坐标表示方法以及表示曲线的方程的求解方法。
3. 参数方程：了解参数方程的定义和解题步骤，熟练掌握参数方程求交点和极值点的方法。
二、典型例题解析例1、已知函数y=x²-2x+3，求其图像与x轴、y轴、直线x=1、y=3所围成的面积。
【解析】：1. 求该函数的根，即当y=0时x满足的条件：x=1±√2。
2. 绘制函数图像。
由于该函数为二次函数，故开口向上，图像开口向上，存在顶点，而顶点的横坐标为x=-b/2a，即x=1。
当x=0时，y=3，即函数在y轴上截距为3，因此y轴上的一点为(0，3)。
3. 按要求计算所求面积=△x=1△x=-∫1√2(y-3)dx+∫√2^3(y-x²+2x)dx=2-2√2/3例2、考虑曲线x=2cost+cos2t，y=2sint-sin2t的形状和特征，求其极坐标方程，指出极点和极轴，找出曲线上各点的对称点。
【解析】：1. 观察曲线方程，发现x的系数为2，y的系数为-1。
而2cos2t+1=2cos²t-2sin²t+1，故有x=4cos²t-1-y。
2. 代入x²+y²=r²，消去t，即得其极坐标方程r=4cos2θ-3。
3. 极点为(θ=r=0)，为对称中心，且曲线轨迹在极轴之上。
4. 若要求曲线上一点的对称点，可先求该点的极坐标系(r,θ)，则其对称点的极坐标系为(r,-θ)，再用x=rcosθ,y=rsinθ回代直角坐标系。
新课标人教A版选修4-4坐标系与参数方程名校精选综合练习(一)
新课标统考区2013届名校精选分类汇编：坐标系与参数方程（一）一、填空题1 ．（河南省郑州市盛同学校2013届高三4月模拟）已知圆C 的参数方程为2x y qq ìï=ïíï=+ïîcos sin q (为参数),以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为21r q r q +=cos sin , 则直线被圆所截得的弦长是________.二、解答题2 ．（山西省忻州市2013届高三第一次联考）(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知两点O (0,0),B (22,π4).[来源：全,品…中&高*考+网](Ⅰ)求以OB 为直径的圆C 的极坐标方程,然后化成直角坐标方程;(Ⅱ)以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为,12,x t y t ⎧⎨⎩＝＝＋(t 为参数).若直线l 与圆C 相交于M,N 两点,圆C 的圆心为C ,求∆MNC 的面积.3 ．（山西省太原市2013届高三下学期第一次模拟）在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C p a a θθ=>过点P(-2,-4)的直线2,2:(4x l t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)与曲线 C 相交于点M,N 两点.(I)求曲线C 和直线l 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|l,| MN|,|PN |成等比数列,求实数a 的值4 ．（山西省太原市2013届高三调研）已知曲线C:y 2= 4x,直线l 过点P(-1,-2),倾斜角为30o,直线l 与曲线C相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求直线l 的参数方程; (Ⅱ)求|PA |·|PB|的值.5 ．（山西省2013届高三3月月考）在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (0>>b a ,ϕ为参数),,曲线2C 是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线1C 上的点(I)求曲线1C ,2C 的方程; (II)若点.6 ．（山西省山大附中2013届高三1月月考）在直角坐标系xOy 中,作倾斜角为α的直线l 与曲线1:22=+y x C 相交于不同的两点N M ,. (1) 写出直线l 的参数方程; (2) .7 ．（山西省2013届高三第三次四校联考）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)试分别将曲线1C 的极坐标方程θθρcos sin -=和曲线2C 的参数方程sin cos sin cos x t ty t t =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)化为直角坐标方程和普通方程;(2)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线1C 和曲线2C 上爬行,求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁为点).8 ．（山西省2013届高三高考真题演练考试（一）数学（文）试题）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为’(θ为参数),曲线C 2的极坐标方程为(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程,将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程; ⑵试问曲线C 1,C2是 否 相 交 ? 若 相 交, 请 求 出 公 共 弦 的 长 ,若 不 相 交 ,请 说 明 理 由.9 ．（山西省2013届）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=,2cos 3,sin 32ααy x (其中α为参数,R ∈α).在极坐标系(以坐标原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,曲线2C 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ.(1)把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程; (2)若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为23,求曲线2C 的直角坐标方程.10．（河南省2012-2013高三下学期第二次联考）选修4-4:坐标系与参数方程已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ=2cosθ和ρ=2a sin(aθ是非零常数).(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求a的值.11．（河南省郑州一中2013届高三第七次调考）直线l:4()12x a tty t⎧⎨⎩＝＋为参数＝－－,圆C:ρθ极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同).(Ⅰ)求圆心C到直线l的距离;(Ⅱ)若直线l被圆C求a的值.12．（河南省郑州四中2013届高三第六次调考）已知曲线C(1)将曲线C的极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;(2)若点(,)P x y在曲线C上,恒成立的实数a的取值范围.。
新人教A版选修4-4《抛物线的参数方程》习题及答案
高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程．►预习思考抛物线y 2＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴 预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数)一层练习1．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．1．(1，0)2．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 2.B3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 23.A4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________． 4. 25．连接原点O 和抛物线x 2＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．5．解析：设抛物线x 2＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)．∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2)．设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.消去参数t ，得y 0＝14x 20，即点P 的轨迹方程是x 2＝4y ，表示的曲线为抛物线．二层练习6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)表示的曲线为( )6．C7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且t 1＋t 2＝0，则|AB |为 ( )A ．|2p (t 1－t 2)|B ．2p (t 1－t 2)C ．2p (t 21＋t 22) D ．2p (t 1－t 2)27.A 8．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．8.ρcos 2θ－sin θ＝09．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．10．16三层练习11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．12．解析：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1、t 2为方程2pxt2＋2pty －x 2－y 2＝0的两根．∴t 1t 2＝－x 2＋y 22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0.∴另一交点Q 的轨迹是以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆．13．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB (如下图)．(1)设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标； (2)求弦AB 中点M 的轨迹过程．13．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得x A ＝2p k 2，y A ＝2pk.以－1k代替上式中的k ，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px ， 得x B ＝2pk 2，y B ＝－2pk .∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，B (2pk 2，－2pk )．(2)设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2，y ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k ，消去参数k ，得y 2＝px －2p 2，此即为点M 轨迹的普通方程． 14．已知方程y 2－2x －6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0. (1)证明：不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆；(2)求抛物线在直线x ＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ值． 14．(1)证明：将原方法配方得(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，曲线为抛物线，顶点为(4cos θ，3sin θ)，设顶点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，消去θ得x 216＋y 29＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．(2)解析：将x ＝14代入已知方程，得y 2－6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ－19＝0，得y＝3sin θ±28－8cos θ.因为－8≤8cos θ≤8，所以20≤28－8cos θ≤36.设抛物线在直线x ＝14上截得的弦长为l ，则l ＝|y 1－y 2|＝228－8cos θ，所以45≤l ≤12.当cosθ＝1时，即θ＝2k π(k ∈Z)，l min ＝45；当cos θ＝－1，即θ＝(2k ＋1)π(k ∈Z)时，l max ＝12.1．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程． 2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应．【习题2.2】1．解析：因为2a ＝15565，2b ＝15443，所以a ＝7782.5，b ＝7721.5.所求的椭圆参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7782.5cos φ，y ＝7721.5sin φ(φ为参数)．2．证明：设M (a cos φ，b sin φ)，P (x P ，0)，Q (x Q ，0)．因为P ，Q 分别为B 1M ，B 2M 与x 轴的交点，所以kB 1P ＝kB 1M ，kB 2Q ＝kB 2M .由斜率公式并计算得x P ＝a cos φ1＋sin φ，x Q ＝a cos φ1－sin φ，所以|OP |·|OQ |＝|x P |·|x Q |＝|x P ·x Q |＝a 2(定值)．3．证明：设等轴双曲线的普通方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a tan φ(φ为参数)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos φ，a tan φ是双曲线上任意一点，则点M 到两渐近线y ＝x 及y ＝－x 的距离之积是⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos φ－a tan φ12＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos φ＋a tan φ12＋12＝|a2cos 2 φ－a 2tan φ|2＝a 22(常数)．4．证明：设点A ，B 的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，则点C 的坐标为(2pt 22，－2pt 2)．直线AB 的方程为y －2pt 1＝1t 1＋t 2(x －2pt 21)，所以点D 的坐标为(－2pt 1t 2，0)．直线AC 的方程为y －2pt 1＝1t 1－t 2(x －2pt 21)，所以E 的坐标为(2pt 1t 2，0)．因为DE 的中点为原点O (0，0)，所以抛物线的顶点O 平分线段DE .5．解析：直线OA 的方程为y ＝kx ，直线OB 的方程为y ＝－1k x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px得点B 的坐标是(2pk 2，－2pk )．设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝2pk2＋2pk 22＝p k 2＋pk 2，y ＝2pk －2pk2＝pk－pk ，所以线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk2＋pk 2，y ＝p k －pk(k 为参数)．。
(完整版)坐标系与参数方程典型例题(含高考题----答案详细)
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） ABC ．1D ．23．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．26．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( )A ．15B ．710C ．75D ．577．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．已知直线l 的参数方程为3332112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．33(,)-9．已知直线3:2x tl y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+10．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-11．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°12．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．2二、填空题13．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．17．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线1,:2x C y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则PQ 的取值范围是______． 18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.19．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________20．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小.则这个点的坐标为________三、解答题21．已知直线1l 过点()1,3M ，倾斜角是3π，直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=. （1）写出直线1l 的参数方程；（2）直线1l 与直线2l 的交点为N ，求MN .22．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，0)m >．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=，l 被C（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P的坐标为(m ，求||||PA PB +的值．25．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C '的极坐标方程；（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求22|OA OB +的最小值．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,5E c ⎛- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.2．B解析：B 【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l的距离为d ==42sin πθ⎛⎫-+ ⎪=， 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.5．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，， 化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()22C r -，，圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．7．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，） ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．8．C解析：C 【解析】分析：将直线l 的参数方程化为普通方程，与圆方程联立，由韦达定理结合中点坐标公式可得结果.详解：直线112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即x =-， 代入圆2216x y +=化简可得y y -+=2680，126y y ∴+=，即AB 的中点的纵坐标为3，AB ∴的中点的横坐标为=故AB的中点的坐标为()，故选C.点睛：本题主要考查参数方程化为普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.9．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.10．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()22x t t y 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(3160,16,t t t t -+==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．11．B解析：B 【解析】 由题设可知02cos70sin 20tan 201sin 70cos 20y k x -====-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。
高中数学 第二讲 参数方程测评习题(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题
第二讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线l 的参数方程为{x =2017+3t ,y =2016-t (t 为参数),则直线l 的斜率等于()A.3B.-3C.1D.-13l 的斜率k=-13=-13.2.直线3x-4y-9=0与圆:{x =2cosθ,y =2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心(0,0),半径为2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=95<2,故直线与圆相交但直线不过圆心.3.参数方程为{x =t +1t ,y =2(t 为参数)表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线2表示一条平行于x 轴的直线,而由x=t+1t知x ≥2或x ≤-2,所以参数方程表示的曲线是两条射线.4.已知椭圆的参数方程为{x =2cost ,y =4sint(t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t=π3,点O 为原点,则直线OM的斜率为() A.√3 B.-√33C.2√3D.-2√3t=π3时,x=1,y=2√3,则M (1,2√3),所以直线OM 的斜率k=2√3. 5.已知圆的渐开线{x =r (cosφ+φsinφ),y =r (sinφ-φcosφ)(φ为参数)上一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为()A.πB.3πC.4πD.9π(3,0)代入参数方程得{3=r (cosφ+φsinφ), ①0=r (sinφ-φcosφ),②由②得φ=tan φ,即φ=0.再代入①得r=3,即基圆的半径为3,故其面积为9π.6.已知直线l 的参数方程为{x =a +t ,y =b +t (t 为参数),l 上的点P 1对应的参数是t 1,则点P 1与点P (a ,b )之间的距离是() A.|t 1| B.2|t 1| C.√2|t 1|D.√22|t 1|P 1的坐标为(a+t 1,b+t 1),则点P 1与点P 之间的距离为√t 12+t 12=√2|t 1|.7.直线{x =1+12t ,y =-3√3+√32t(t 为参数)和圆x 2+y 2=16相交于A ,B 两点,则线段AB 中点的坐标为() A.(3,-3) B.(3,-√3) C.(√3,-3)D.(-√3,3)(1+12t)2+(-3√3+√32t)2=16,得t 2-8t+12=0.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8,t 1+t 22=4.所以线段AB 的中点的坐标满足{x =1+12×4,y =-3√3+√32×4, 即{x =3,y =-√3.故所求的中点坐标为(3,-√3).8.已知经过曲线{x =3cosθ,y =4sinθ(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P 与原点O 的直线PO ,若它的倾斜角为π4,则点P 的极坐标为() A.(3,π4) B.(3√22,π4) C.(-125,π4)D.(12√25,π4)将曲线化成普通方程为x 29+y 216=1(y ≥0),将其与直线PO :y=x 联立可得点P 的坐标为(125,125).利用直角坐标与极坐标的互化公式可得点P 的极坐标为(12√25,π4).9.与普通方程x 2+y-1=0等价的参数方程是() A.{x =sint ,y =cos 2t (t 为参数) B.{x =tanφ,y =1-tan 2φ(φ为参数) C.{x =√1-t ,y =t (t 为参数) D.{x =cosθ,y =sin 2θ(θ为参数)A 中,由于普通方程x 2+y-1=0中x 可以取得一切实数,但A 中x 大于等于-1,小于等于1,故错误;选项B 中,结合正切函数的图象可知,满足题意;选项C 中,由偶次根式的定义可知,x 不可能取得一切实数,故错误;选项D 中,结合余弦函数的有界性可知x 不能取得一切实数,错误.故选B .10.已知直线l :{x =√3t ,y =2-t (t 为参数)和抛物线C :y 2=2x ,l 与C 分别交于点P 1,P 2,则点A (0,2)到P 1,P 2两点的距离之和是() A.4+√3 B.2(2+√3) C.4(2+√3)D.8+√3{x =-√32t ',y =2+12t '(t'为参数,t'=-2t ),将其代入y 2=2x ,得t'2+4(2+√3)t'+16=0. 设t'1,t'2分别为方程的根,则t'1+t'2=-4(2+√3),t'1t'2=16>0,由此可知t'1,t'2均小于零,则|AP 1|+|AP 2|=|t'1|+|t'2|=|t'1+t'2|=4(2+√3).11.若曲线C 的参数方程为{x =2+3cosθ,y =-1+3sinθ(θ为参数),直线l 的方程为x-3y+2=0,则曲线C 上到直线l的距离为7√1010的点的个数为() A.1B.2C.3D.4C 的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=√10=7√1010,且3-7√1010<7√1010, 故过圆心且与l 平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.12.导学号73574066过抛物线{x =2t 2,y =√3t (t 为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为() A.π3 B.π3或2π3 C.π6D.π6或5π6y 2=32x ,它的焦点坐标为(38,0).设弦所在直线的方程为y=k (x -38),由{y 2=32x ,y =k (x -38)消去y ,得64k 2x 2-48(k 2+2)x+9k 2=0.设弦的两个端点的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(34·k 2+2k 2)2-916=√1+k2,解得k=±√3.故倾斜角为π3或2π3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l 1:{x =2s +1,y =s (s 为参数)和直线l 2:{x =at ,y =2t -1(t 为参数)平行,则常数a 的值为.1的普通方程为x=2y+1,l 2的普通方程为x=a ·y+12,即x=a2y+a2,因为l 1∥l 2,所以2=a2,故a=4.14.设P (x ,y )是圆C :(x-2)2+y 2=4上的动点,记以射线Ox 为始边、以射线OP 为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆C 的参数方程为.C 的圆心坐标为(2,0),半径为2,如图,由圆的性质知以射线Cx 为始边、以射线CP 为终边的最小正角为2θ,所以圆C 的参数方程为{x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数).x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数)15.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线{x =t 2,y =t 3(t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB|=.ρcos θ=4化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的参数方程消参得x 3=y 2,所以y 2=43=64, 即y=±8.所以|AB|=|8-(-8)|=16.16.若直线{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数)与圆{x =4+2cosα,y =2sinα(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.y=x ·tan α,圆(x-4)2+y 2=4,如图所示,sin α=24=12,则α=π6或α=5π6.5π6三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: (1){x =7cosφ,y =4sinφ(φ为参数);(2){x =1-5t ,y =7t (t 为参数).因为{x =7cosφ,y =4sinφ,所以{x7=cosφ,y4=sinφ.两边平方相加,得x 249+y 216=cos 2φ+sin 2φ=1,故所求的普通方程为x 249+y 216=1,它表示焦点在x 轴上,且长轴长为14,短轴长为8,中心在原点的椭圆. (2)因为{x =1-5t ,y =7t ,所以将t=y 7代入x=1-5t ,得x=1-5·y7,即7x+5y-7=0.故所求的普通方程为7x+5y-7=0, 它表示过(0,75)和(1,0)的一条直线.18.(本小题满分12分)已知直线l 1的方程为{x =1+t ,y =-5+√3t (t 为参数),直线l 2的方程为x-y-2√3=0.求直线l 1和直线l 2的交点P 的坐标及点P 与点Q (2√3,-5)间的距离.{x =1+t ,y =-5+√3t代入x-y-2√3=0,得t=2√3,∴点P 的坐标为(1+2√3,1).又点Q 为(2√3,-5),∴|PQ|=√12+62=√37.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =1+3cost ,y =-2+3sint (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为√2ρsin (θ-π4)=m (m ∈R ).(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.消去参数t ,得圆C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由√2ρsin (θ-π4)=m , 得ρsin θ-ρcos θ-m=0.所以直线l 的直角坐标方程为x-y+m=0. (2)依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2, 即2=2,解得m=-3±2√2.20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).(1)以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程; (2)若A (-2,0),B (0,2),圆C 上任意一点M (x ,y ),求△ABM 面积的最大值.因为圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数),所以其普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简得ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.故圆C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(2)由题意知直线AB 的方程为x-y+2=0,点M (x ,y )到直线AB :x-y+2=0的距离d=√2,△ABM 的面积S=12×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=|2√2sin (π4-θ)+9|.所以△ABM 面积的最大值为9+2√2. 21.导学号73574067(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t ≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值.曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0或{x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A 的极坐标为(2sin α,α),点B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,且最大值为4. 22.导学号73574068(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφ,y =3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3). (1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值X 围.由已知可得A ,B ,C ,D 的直角坐标分别为A (2cos π3,2sin π3),B (2cos (π3+π2),2sin (π3+π2)), C (2cos (π3+π),2sin (π3+π)),D (2cos (π3+3π2),2sin (π3+3π2)),即A (1,√3),B (-√3,1),C (-1,-√3),D (√3,-1).(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值X 围是[32,52].。
【必做练习】高中数学第19课极坐标与参数方程综合训练2学案新人教A版选修4_4
第19课极坐标与参数方程（综合训练2）
一、学习要求
1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。
3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；
4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。
二、问题探究
■合作探究
例1．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离。
解：椭圆的参数方程为（为参数）；
设点（），则点到直线的距离为：
，其中，。
当即时，取最小值。
此时，
，，
∴当点位于时，点到直线的距离最小，最小距离为。
三、问题过关
1.在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求
的最大值。
解：∵椭圆的参数方程为（为参数）；
∴设（），则
，
当，即时，取得最大值2.
2. 在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离最小，并求出最小距离。
解：椭圆的参数方程为（为参数）；
设椭圆上动点（），则点到直线的距离为：
当，即时，取最小值。
此时，
，，
∴椭圆上点到直线的距离最小，最小距离为。
广东省肇庆市高中数学第20课极坐标与参数方程(综合训练3)学案新人教A版选修4-4(new)
第20课极坐标与参数方程（综合训练3）一、学习要求1.掌握极坐标与直角坐标互化公式,并能熟练地进行坐标互化;2。
能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。
3。
掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题.二、问题探究■合作探究例1．在极坐标系中，圆与圆：关于直线（）对称.（1）求圆的极坐标方程；（2）为圆上任意一点，求（其中为极点）的取值范围.解:（1）圆:的直角坐标方程为：.直线（）的直角坐标方程为：，圆心关于直线的对称点坐标为，∴圆的圆心坐标为，∴圆的直角坐标方程：.把方程化为极坐标议程是,∴所求的圆的极坐标方程为：.(2)圆的参数方程为:(为参数)，设圆上任意一点,则，，∴，∵，∴，∴的取值范围是.三、问题过关1.在直角坐标系中，曲线：(为参数).（1）写出曲线的直角坐标方程，并说明它表示什么曲线;(2)若是曲线上任意一点，求的取值范围。
解：（1）由，得,即,∴∴曲线的直角坐标方程是。
它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆。
(2)∵点是曲线上任意一点,故设。
∴，∵，∴，∴的取值范围是.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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坐标系与参数方程 综合练习3
一、选择题
1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）
A ．1
21
2x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩
B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t
t y t
=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）
A ．21(0,)(,0)52、
B ．11(0,)(,0)52
、
C ．(0,4)(8,0)-、
D ．5
(0,)(8,0)9
、
3．直线12()2x t
t y t
=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）
A ．
125 B 1255C ．9559105
4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数上，
则PF 等于（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）
A ．cos 2ρθ=
B ．sin 2ρθ=
C ．4sin()3πρθ=+
D ．4sin()3π
ρθ=-
二、填空题
1．已知曲线2
2()2x pt t p y pt
⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，
120t t +=且，那么MN =_______________。
2．直线22()32x t
t y t
⎧=--⎪⎨
=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -2的点的坐标是_______。
3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为_______________。
4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y α
α=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________。
三、解答题
1．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 2
1()sin 2
t t
t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：
（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；
2．过点10
2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ⋅的值及相应的α的值。
参考答案 一、选择题
1．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制
2．B 当0x =时，25t =
，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1
(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1
(,0)2
3．B 15125
2155
x t x t y t y t ⎧
=+⎪=+⎧⎪
⇒⎨⎨
=+⎩⎪=+⎪⎩
，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
2212121281612()4()555t t t t t t -=+-=-+=1212
555
t t -=4．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4 5．D cos 20,cos 20,4
k π
ρθθθπ===±
，为两条相交直线
6．A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题
1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。
即x 轴，121222MN p t t p t =-=
2．(3,4)-,或(1,2)- 222212
(2)(2)(2),,22
t t t t +===±
3．5 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθ
θθ=+⎧⎨=-⎩得2225x y +=
4．22 圆心分别为1(,0)2和1(0,)2
5．
6
π
，或56π 直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时，
易知倾斜角为6
π
，或56π
三、解答题
1．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且；
当0t ≠时，cos ,sin 11()()2
2
t t t t x y e e e e θθ--=
=
+-
而22
1x y +=，即
2
2
22111()()4
4t
t t t x y e e e e --+
=+-
（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1
()2
t t x e e -=±+，即1,0x y ≥=且；
当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1
()2
t t y e e -=±-，即0x =；
当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t
t t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin t t x y e x y
e θθ
θθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得222222(
)()cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ
-⋅=+- 即
22
221cos sin x y θθ
-=。
2．解：设直线为10
cos ()sin x t t y t αα⎧=
+⎪⎨⎪=⎩
为参数，代入曲线并整理得 223
(1sin )(10)02
t t αα+++
= 则122321sin PM PN t t α⋅==+ 所以当2sin 1α=时，即2
π
α=，PM PN ⋅的最小值为
34，此时2
πα=。