常外九年级数学自主学习材料一
2020-2021学年第一学期初三数学10月自主学习测评试卷
2020-2021学年第一学期10月自主学习测评试卷初三数学一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程中是一元二次方程的是（▲）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．x2＝12．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（▲）A．无实数根 B．有一个实根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根3．若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是（▲）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣24．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（▲）A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝105．沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（▲）A．20（1+2x）＝80 B．2×20（1+x）＝80C．20（1+x2）＝80 D．20（1+x）2＝806．平面内有两点P，O，的半径为5，若PO=4,则点P与的位置关系是（▲）A. 点P在外B. 点P在上C. 点P在内D. 无法判断7.若∠α为锐角，且tanα方程x2-2x-3=0的一个根，则sinα等于（▲）A. 1B.C.D.8．已知方程x2-3x+2=0的两根为1和2，则方程 (2x-1)2-3(2x-1)+2=0的两根为（▲）A. x1=1,x2= B. x1=1,x2=- C. x1=-1,x2= D. x1=-1,x2=-9．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠B＝118°，则∠D的度数为（▲）A．128° B．126° C．124° D．122°10．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，……，则第2019秒点P所在位置的坐标为（▲）A．（，）B．（﹣，）C．（0，﹣1）D．（，﹣）二．填空题（每题3分，共24分）11．x2＝1方程的解是▲.12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为▲.13．如图所示，三圆同心于O，AB＝4cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积▲cm2．14．一个等腰三角形的两条不相等的边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是▲.15．根据如表确定一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个解的范围是▲.．x 0 1 2 3 4 x2+2x﹣9 ﹣9 ﹣6 ﹣1 6 1516．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是▲度．17．如图，平面直角坐标系xoy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A、B，则△AOB的面积的最大值为▲.第13题第17题18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程ax2+bx+c＝0是“半根方程”，且点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为▲.三．解答题（共76分）19．解方程（本题12分）（1）x2﹣4x＝0；（2）2x（x﹣3）+x＝3；（3）．20.(本题4分) 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+45=0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2原方程可化为：________________________________.【续解】21. (本题6分) 已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2- mx + m2-14=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？22. (本题6分)某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？23. (本题6分) 如图，已知直线l与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y=kx(k≠0，x＞0)分别交于D、E两点，若点D坐标为(4，1)，点E的坐标为(1，4)．（1）分别求出直线l与双曲线的解析式；（2）若将直线l向下平移m(m＞0)个单位，当m何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？24．(本题6分)如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长．25．(本题8分)已知关于x的一元二次方程x2-(m+4)x+2m+4=0 （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若，为方程的两个根，且，判断动点P(m,n)所形成的数图象是否经过点A(-5,9)，并说明理由．26．(本题8分)阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．27. (本题10分)已知：的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD．(1)如图1，连接AD,求证： AM=DM.(2)如图2，若AB⊥CD,在弧BD上取一点E，使弧BE弧BC，AE交CD于点F，连AD、DE．判断∠AED与∠DFE是否相等，并说明理由．若DE=7, AM+MF=17,求△ADF的面积．图1 图228. (本题10分) 如图①,矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90∘,将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交边AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F. 当PN 旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止。
初三数学培优资料1
初三数学培优资料1(共44页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-初三数学培优资料第一讲：一元二次方程的根一、内容提要1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c的值确定的.求根公式是：x=a acb b24 2-±－. (b2－4ac≥0)2.根的判别式①实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是：b2－4ac≥0.②有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：b2－4ac是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根⇔p2－4q是整数的平方数.3.设x1, x2是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么①ax12+bx1+c=0 (a≠0，b2－4ac≥0)， ax22+bx2+c=0 (a≠0， b2－4ac≥0)；②x1=aacbb242-＋－，x2=aacbb242-－－(a≠0, b2－4ac≥0)；③韦达定理：x1+x2=ab－, x1x2=ac(a≠0, b2－4ac≥0).4.方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.特殊的例子有：C=0⇔x1=0 ， a+b+c=0⇔x1=1 ，a－b+c=0⇔x1=－1.二、例题例1.已知：a, b, c是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.例2.已知首项系数不相等的两个方程：（a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数)有一个公共根. 求a, b的值.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5.求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0.那么yx 11 ＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.）5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9.10.9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110.已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根. 求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤118. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解第二讲：未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要1、在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.2、解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等.二、例题解析：例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组： ①0211122=++--+-y x x x ； ②x 2+xy+y 2－3x －3y+3=0； ③⎩⎨⎧=-=++4222z xy z y x例2. 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.例3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？例4. 甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A 站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B站15公里.求A、B两站的距离.三、巩固练习：1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方元，厂方把这元又买了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7. 人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7. 求下列方程的实数解：①0-+xx+-y1=13122+② 5x 2+6xy+2y 2－14x －8y+10=0③ (x 2+1)(y 2+4)=8xy④ 052312=+-+-+y x y x8. 一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a 倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做，完成这件工程所需时间的b 倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120公里遇丙车，再行20公里遇丁车；乙车在离西站126公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离.10. 三辆车A ，B ，C 从甲到乙.B 比C 迟开5分钟，出发后20分钟追上C ；A 比B 迟开10分钟，出发后50分钟追上C.求A 出发后追上B 的时间.11. 学生若干人住宿，如果每间4人，有20人没房住；如果每间8人，则有一间不满也不空.求学生人数.12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。
数学初三自主招生试卷答案
一、选择题1. 下列选项中，不是实数的是（）A. -3B. √4C. 2πD. -π/2答案：D解析：实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数不能表示成分数。
A、B、C选项均为实数，而D选项为无理数。
2. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = x^2B. y = √xC. y = 1/xD. y = log2x答案：A解析：函数的定义域是指函数自变量x可以取的值的集合。
A选项中，x可以取任意实数；B选项中，x必须大于等于0；C选项中，x不能为0；D选项中，x必须大于0。
因此，只有A选项的定义域为全体实数。
3. 下列等式中，正确的是（）A. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a+b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a-b)^2 = a^2 + 2ab - b^2答案：B解析：利用平方公式，可得(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。
因此，B选项正确。
4. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 4 且 x > 2B. 2x > 4 或 x > 2C. 2x < 4 且 x < 2D. 2x < 4 或 x < 2答案：D解析：根据不等式的性质，A、B选项表示x大于2，C选项表示x小于2，而D选项表示x小于2。
因此，D选项正确。
二、填空题5. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
答案：1解析：将x=-1代入函数f(x)，得f(-1) = 2(-1) + 3 = 1。
6. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
答案：29解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
代入已知条件，得第10项的值为29。
7. 已知圆的半径为5，求圆的面积。
2020-2021常州外国语学校九年级数学上期中试题(及答案)
2020-2021常州外国语学校九年级数学上期中试题(及答案)一、选择题1．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ） A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=32．方程2(2)9x -=的解是（ ） A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=，3．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（﹣5，﹣3）B ．（﹣2，0）C ．（﹣1，﹣3）D ．（1，﹣3）4．如图，AD 、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动．设∠APB=y （单位：度），那么y 与点P 运动的时间x （单位：秒）的关系图是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D5．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按逆时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A 1、B 、C 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．1∶2B ．1∶2C ．3∶2D ．1∶39．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．49B ．13C ．29D ．1910．如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（﹣1，1）D ．（2，0）11．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．1612．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41B ．-35C ．39D ．45二、填空题13．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2. 14．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF交AD于点H，那么DH的长是______．15．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________16．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是3cm，则圆锥侧面积是_________.17．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是________cm．18．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．19．如图，O的半径为2，切线AB的长为23，点P是O上的动点，则AP的长的取值范围是_________．20．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．三、解答题21．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．22．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况：下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据：抛掷次数n1002003004005006007008009001000针尖不着地的频数m63120186252310360434488549610针尖不着地的频率mn0.630.600.630.600.620.610.61（1）填写表中的空格；（2）画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图；（3）根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖着地”的概率为．23．小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．（1）请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．（2）这个游戏公平吗？请说明理由．24．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩25．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法2．A解析：A【解析】【分析】此方程已经配方，根据解一元二次方程的步骤解方程即可.【详解】()229x-＝，故x－2＝3或x－2＝－3，解得：x1＝5，x2＝－1，故答案选A.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.3．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。
初三数学自主测试参考答案
数学自主测试（1） 参考答案1.A2..B3.A4.B5.C6.A7.D8.B9.C 10.C 11. 3x 2-5x-2=012. a=2 13.x 1=251+- ,x 2=251-- 14.y 2-y-2=0 15.6 16.8 17.3 18. 40% 19. (1)x 1=2 x 2=38 (2) x 1=-2 x 2=21 (3) x 1= —21 x 2=21 （4）无解 20．原式=（x+3）2+(y-2)2+2 ,它的值总是正数 21. x 1=5 x 2=-522. 解：设每个商品的定价是x 元，由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000， 整理，得x 2-110x+3000=0，解得x 1=50，x 2=60．当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去； 当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．23. 解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，此方程无正整数解，所以，三角点阵中前n 行的点数的和不可能是600；（2）由题意可得：依题意，得n （n+1）=600，整理得n 2+n-600=0，（n+25）（n-24）=0，∴n 1=-25，n 2=24，∵n 为正整数，∴n=24．故n 的值是24．数学自主测试（2）答案1. D2.C3.D4.B5.B6.B7.C8.D9. 2.4 10. 30度 11 . 6 12. 80013. 6 14,.3 15. 5 16. 1±326 17. 4818. 116度19. （1）略 （2）243-332π 20. (1)略 （2）2321. 6322. 略数学自主测试（3）答案1.D;2.C;3.B;4.D;5.C;6.B;7.A ;8.A;9.随机； 10.乙； 11.1.8； 12.1； 13.4； 14.9、9； 15.1811； 16。
九年级数学学生自主练习(一)
（第4题） E DC B A 九年级数学学生自主练习(一) 一，选择题：1．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长 （ ）A. 16B. 22C. 26D. 22或262. 已知：菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ∥DC 交BC 于点E ，AD=6cm ，则OE 的长为（ ）A ．6 cmB ．4 cmC ．3 cmD ．2 cm3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE ，EF ⊥AE ，则CF 等于（ ）A ．23B ．1C ．32D ．2 4.梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠ADC +∠BCD =90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3 ，且S 1 +S 3 =4S 2，则CD =（ ）A. 2.5ABB. 3ABC. 3.5ABD. 4AB5．如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A. 98B. 196C. 280D. 2846.如图，在平行四边形 ABCD 中(AB ≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO =BO ；②OE =OF ； ③△EAM ∽△EBN ；④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是（ ）A . ①②B . ②③C . ②④D .③④二．填空题7．等腰三角形的一个角为100°，那么它的一个底角为______．8.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有______个．9．若代数式x -11在实数范围内有意义,则x 的取值范围 。
10．若024=--+-+y x y x ，则=xy 。
11..若m m m 22=+，则m 的取值范围是 ；)1()1(22-<-x x x = 。
初三数学中考冲刺2016培优自助单
自助单（1）1.（2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【】A．B C．3 D．42. （2012浙江湖州4分）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若m47n25，则△ABC的边长是▲【答案】12。
【考点】一元二次方程的应用（几何问题），菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。
【分析】设正△ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为x2，2 AB C1S x x224∆=⋅⋅=。
∵所分成的都是正三角形，∴根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为2-，较短的对角线为1x1232--⎝⎭。
∴黑色菱形的面积=()2113x x1x22228⎛⎛⎫--=-⎪⎝⎭⎝⎭。
∴()()2223x2m4748=3n25x28--=-，整理得，11x2－144x＋144=0。
解得112x11=（不符合题意，舍去），x2=12。
所以，△ABC的边长是12。
3. （2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB 的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①AG FGAB FB=；②点F是GE的中点；③AF=3AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是▲ ．【答案】①③。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。
【分析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC。
又∵AG⊥AB，∴AG∥BC。
∴△AFG∽△CFB。
九年级数学寒假自主学习作业1
九年级数学寒假自主学习作业（一）班级 姓名 得分一、选择题1、等腰三角形中一个角为40°，则另两个角度数为（ ）A 、70°，70°B 、100°，40°C 、50°，50°D 、70°，70°或40°，100°2、式子x 21x -++有意义的条件是（ ）A 、2x 1≤≤B 、12-≤≤-xC 、2x 1≤≤-D 、1x -≤3、化简944的结果正确的是（ ） A 、322 B 、9102 C 、106 D 、31024、关于x 的方程0k 2x x 2=-+有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A 、21B 、21- C 、1 D 、1-5、一组数据的方差为2，若把这组数据中每个数据都乘以3，，则新数据方差为（ ）A 、2B 、6C 、12D 、186、两圆半径分别为4和6，圆心距为2，则两圆位置关系为（ ）A 、外离B 、相交C 、外切D 、内切7、顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，要使四边形EFGH 是菱形，应添加的条件是（ ）A 、AD ∥BCB 、AC= BDC 、AC ⊥BD D 、AD=AB8、如图BC 是⊙O 直径，AD 切⊙O 于A ，若∠C=40°，则∠DAC=（ ）A 、50°B 、40°C 、25°D 、20°第8题 第13题 第14题二、填空题9、方程048x x 2=+-的根为 。
10、一元二次方程()01a x x 1a 22=-++-一根为0，则a=11、若关于x 的一元二次方程013x mx 2=+-有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 。
12、用一个圆心角90°，半径为8㎝的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为13、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB= 4 ，则⊙O 半径为---------14、如图，AB 是⊙O 直径，∠D = 35°，则∠BOC= 度。
九年级数学假期自主学习作业45套题全
教师寄语同学们，在刚刚过去的时光里，你们欢乐过，你们苦恼过；你们成功过，你们也失败过；你们悲伤过，你们也微笑过；你们奋斗过，你们也感到疲惫过。
回忆过去，总结经验和教训，可以让我们成长；面向未来，不断地去学习可以让我们成熟!李大钊先生曾说过：人生最有趣味的事情，就是送旧迎新，因为人类最高的欲求，是在时时创造新的生活。
在辞旧迎新之际，数学老师向你们致以诚挚的祝福和殷切的希望。
人生就像一个等式。
它的左边是不思进取，它的右边就是一事无成。
它的左边是付出的艰辛，它的右边就是收获的快乐。
它的左边是少壮不努力，它的右边就是老大徒伤悲。
它的左边是锐意进取，它的右边就是学有所成。
数学是思维的体操，只有认真学习数学，并努力学好数学的人，才会使自己的思维更敏锐，更科学，更完美，才能使自己的思维品质更优秀。
要学好数学，必须做到三点：（一）要有一个好的学习态度，上课专心听讲，课后认真作业，多问多思，尽力解题; 在课堂上应做到：活泼而守纪律，天真而不幼稚，勇敢而不鲁莽，倔强而有原则，热情而不冲动，乐观而不盲目；（二）要有一个好的学习方法，如何听课？好的方法应该是：从老师讲课中学会分析问题的方法，掌握解决问题的数学思想的技能技巧，而不是仅仅能听懂，会做；（三）要有一个良好的学习习惯，课前预习，课后复习应是一个学生的最基本的学习习惯，更重要的，而必须形成的习惯应该是：课上适当做些笔记，听记结合，课后认真进行消化、归纳、整理，并对老师课上讲的每一个问题作些“再思考”，以达到举一反三，触类旁通之供销。
最后，老师真心地想勉励大家：也许我跑的并不是最快的，但我却是最坚持的一个；也许我跳得并不是最远的，但我是最用力起跳的那一个；也许我思维并不是最敏捷的，但我是最认真思考的一个；也许我的成绩没有排在前列，但我是最努力的一个；也许我不太会表达，但我是最真诚的；也许我才能不多，但我是最用心的；也许我不太惹人注意，但请相信我有我的精彩。
我相信，同学们只要有学好数学的信心，决心和恒心，努力做到以上三点。
2020-2021常州外国语学校九年级数学下期末试题(及答案)
1．已知反比例函数 y＝ 的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x 和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图是由 5 个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是( )
2 估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线 y kx 10 经过点 A(12, 0) 和 B(a, 5) ，双曲线 y m (x 0) 经过点 B．
x （1）求直线 y kx 10 和双曲线 y m 的函数表达式；
x
（2）点 C 从点 A 出发，沿过点 A 与 y 轴平行的直线向下运动，速度为每秒 1 个单位长 度，点 C 的运动时间为 t（0＜t＜12），连接 BC，作 BD⊥BC 交 x 轴于点 D，连接 CD， ①当点 C 在双曲线上时，求 t 的值； ②在 0＜t＜6 范围内，∠BCD 的大小如果发生变化，求 tan∠BCD 的变化范围；如果不发 生变化，求 tan∠BCD 的值；
a2
a
a a
a0
，正确理解该性质是解题的关键.
a0
8．D
解析：D
【解析】
根据函数的意义可知：对于自变量 x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故 D 正确．
故选 D．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
解关于
x
x
的不等式组
3
a
0
，结合解集为 x＞4，确定 a 的范围，再由分式方程
x 2 2(x 1)
第一象限的图象经过点 D，交 BC 于 E，若点 E 是 BC 的中点，则 OD 的长为_____．
九上数学自主学习资源参考答案
九上数学《自主学习资源》参考答案第一章 证明（二）1.你能证明它们吗（1）【基本链接】1.⑴底边上的中线、底边上的高线.⑵90°,20°; 2.⑴40°⑵90°; 【尝试应用】3.已知, 三线合一、等量代换; 4. 提示:先证△ABD ≌△ACE 即可; 【自主探索】5. 45°1.你能证明它们吗（2）【基本链接】1. ⑴ = ；⑵ 5；2.D ；【尝试应用】3. 是等腰三角形；证明：由矩形ABCD 可知AB ∥CD ，∠BAC=∠DCA ，又由折叠可知，∠EAC=∠BAC ，故∠DCA=∠EAC ，所以△FAC 是等腰三角形；4.假设两个底角大于或等于90°，则此三角形的三个内角和必大于180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立，所以结论正确；【自主探索】5.⑴可证明∠DBC=30°，∠DEC=30°，从而∠DBC=∠DEC=30°证得BD=ED ，⑵ ⑴中的结论仍成立. 1.你能证明它们吗（3）【基本链接】1. 60°，3；2. ⑴2，⑵9；【尝试应用】3.⑴BC=5，⑵75；4.BF 为8cm ，EF 为2cm ；【自主探索】5.43.2.直角三角形（1）【基本链接】1.B ；2.D ；3.C ；【尝试应用】4.⑴相等的角是同位角，假命题；⑵在一个三角形中，等边对等角，真命题；⑶如果a+b=0，那么a=b=0，假命题；⑷直角三角形的两个锐角互余，真命题.；5.先由勾股定理求AC=5，然后由AC 2+AD 2=52+122=144=122=CD 2推出∠DAC=90°；【自主探索】6.⑴ BC = 50cm ，B 1C 1=37.5cm ，⑵B 2C 2=16225cm ，B 9C 9=100×983⎪⎭⎫⎝⎛.2.直角三角形（2）【基本链接】1.C ；2.C ； 【尝试应用】3.先由“HL ”推出△ACB ≌△ADB ，可得∠CAB=∠DAB ，进而求得△ACE ≌△ADE ，可得CE=DE ；4.易证△ABE ≌△ACD （AAS ），从而Rt △AEO ≌Rt △ADO （HL ），则∠EAO=∠DAO 即可得证； 【自主探索】5.⑴易证Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ），则BF=DE ，然后证明△BFG ≌△DEG （AAS ），则EG=FG ，所以BD 平分EF ，⑵结论仍成立，证明可参考⑴。
自主与测评初中数学九年级上册
自主与测评初中数学九年级上册一、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=k(k≥0)，解为x=±√(k)。
例如方程x^2=9，解得x = 3或x=- 3。
- 配方法。
- 步骤：先将方程化为ax^2+bx = - c的形式，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2a))^2，再进行求解。
例如对于方程x^2+6x - 1 = 0，首先x^2+6x=1，然后x^2+6x + 9 = 1+9，即(x + 3)^2=10，解得x=-3±√(10)。
- 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
例如方程2x^2-3x - 2 = 0，其中a = 2，b=-3，c = - 2，Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=9 + 16 = 25，则x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x=-(1)/(2)。
- 因式分解法。
- 把方程化为一边是零，另一边是两个一次因式积的形式(ax + m)(bx +n)=0，则ax + m = 0或bx + n = 0。
例如方程x^2-3x+2 = 0，分解因式得(x - 1)(x -2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式。
- 在一元二次方程ax^2+b x + c = 0(a≠0)中，Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根。
A4纸打印材料2部初三数学自主学习材料
中考数学专题复习—1：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：1．如图，△ABO 的顶点A 和AB 边的中点C 都在双曲线y=（x ＞0）的一个分支上，点B 在x 轴上，CD⊥OB 于D ，若△AOC 的面积为3，则k=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.2.二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．3.已知一次函数的图象经过反比例函数xy 8−=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2.（1）求这个一次函数的解析式； （2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
【闯关夺冠】1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.2.二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.2．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（）A. -1B.C. 1D. 23.已知：反比例函数和一次函数图象的一个交点为（－3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定这两个函数的解析式。
4.如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．【自主作业】：中考数学专题复习—2：数学的转化思想转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。
常州外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
常州外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积．2．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB SS =，求直线CE 的解析式 （3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；（4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．3．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ． （1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-+与抛物线交于B ，D 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求m 的值和D 点坐标；（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标；（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．5．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．（1）当y 0＝﹣1时，求m 的值．（2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．6．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价1y （元/千克）关于时间t 的函数关系式分别为11602y t =-+（040t <≤，且t 为整数）； ()()21030,3033040,20t t t y t t ⎧<≤-+⎪=⎨<≤⎪⎩且为整数且为整数，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量m （千克）关于时间t 的函数关系如图2的点列所示．（1）求m 关于t 的函数关系式；（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求a 的最大值（精确到0.01元）．7．如图1 ，一次函数1y kx b =+(k,b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数2m y x =（m 为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N （4，n ）．(1)填空：①反比例函数的解析式是 ； ②根据图象写出12y y ＜时自变量x 的取值范围是 ；(2) 若将直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a 的值；(3) 如图2，函数2m y x=的图象（x ＞0）上有一个动点C ，若先将直线MN 平移使它过点C ，再绕点C 旋转得到直线PQ ，PQ 交轴于点A ，交轴点B ，若BC =2CA ， 求OA·OB 的值.8．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ．(1)求证：AH=BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；(3)若OG ⊥CG ，BG=32，求△OGC 的面积．9．定义：对于二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠，我们称函数221()1111()222ax bx c x m y ax bx c x m ⎧++-≥⎪=⎨---+<⎪⎩为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如：2y x 的m 分函数为221()11()2x x m y x x m ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩．设二次函数244y x mx m =-+的m 分函数的图象为G ．（1）直接写出图象G 对应的函数关系式．（2）当1m =时，求图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标．（3）当图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，求m 的取值范围．（4）当0m >，图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时，直接写出m 的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 经过点A （﹣2，0），与y 轴的正半轴交于点B ，且OA ＝2OB ．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）点C 在直线AB 上，且BC ＝AB ，点E 是y 轴上的动点，直线EC 交x 轴于点D ，设点E 的坐标为（0，m ）（m ＞2），求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若CE ：CD ＝1：2，点F 是直线AB 上的动点，在直线AC 上方的平面内是否存在一点G ，使以C ，G ，F ，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知四边形ABCD 是矩形．（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接DG ．①求证：DG CG =；②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．12．如图1，抛物线M 1：y ＝﹣x 2+4x 交x 正半轴于点A ，将抛物线M 1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M 2，M 1与M 2交于点B ，直线OB 交M 2于点C ． （1）求抛物线M 2的解析式；（2）点P 是抛物线M 1上AB 间的一点，作PQ ⊥x 轴交抛物线M 2于点Q ，连接CP ，CQ ．设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，使△CPQ 的面积最大，并求出最大值； （3）如图2，将直线OB 向下平移，交抛物线M 1于点E ，F ，交抛物线M 2于点G ，H ，则EG HF 的值是否为定值，证明你的结论．13．如图1，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC =，23BC =，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点,A C 在x 轴的负半轴上（点C 在点A 的右侧），顶点B 在第二象限，将ABC ∆沿AB 所在的直线翻折，点C 落在点D 位置（1）若点C 坐标为()1,0-时，求点D 的坐标；（2）若点B 和点D 在同一个反比例函数的图象上，求点C 坐标；（3）如图2，将四边形BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形1111B C A D ，过点1D 的反比例函数(0)k y k x=≠的图象与CB 的延长线交于点E ，则在平移过程中，是否存在这样的k ，使得以点1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点11,,D B E 在同一条直线上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由14．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC 是“近直角三角形”，∠B ＞90°，∠C ＝50°，则∠A ＝ 度；（2）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4．若BD 是∠ABC 的平分线， ①求证：△BDC 是“近直角三角形”；②在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得△BCE 也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为AC 边上一点，以BD 为直径的圆交BC 于点E ，连结AE 交BD 于点F ，若△BCD 为“近直角三角形”，且AB ＝5，AF ＝3，求tan ∠C 的值．15．如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式；（2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111AO C △，再将111AO C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系xoy 中，点A (-4,-2)，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .（1）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 经过点A ,B ，求此时抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C ，点D 是直线BC 上一动点（不与B ，C 重合），是否存在点D ，使△ABC 和以点A ,B ,D 构成的三角形相似？若存在，请求出此时D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 的顶点在直线y ＝x ＋2上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．18．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （3，0），B （0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方 向 以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时， 动点F 从A 点出发，沿着AB 方向以2个单位/ 秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．19．如图①，在矩形ABCD 中，3AB =cm ，AD AB >，点E 从点A 出发，沿射线AC 以a (cm/s)的速度匀速移动．连接DE ，过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ，作矩形DEFG ，连接CG ．设点E 移动的时间为t (s)，CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示．(1) a = ；(2)求矩形DEFG 面积的最小值；(3)当CDG ∆为等腰三角形时，求t 的值．20．如图，已知点A 、C 在双曲线()10m y m x =>上，点 B 、D 在双曲线()20n y n x=<上，AD// BC//y 轴.(I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；(II)若点A 、C 关于原点O 对称，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由；(III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD 的面积为492，求mn 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）243y xx =-+；（2）（94，﹣1516）或（154，3316）；（3）1. 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式以及与x 轴的交点坐标可得124x x +=，又x 2﹣x 1＝2，可求得x 1＝1，x 2＝3，由此可得A ，B 两点坐标.将A 点坐标代入抛物线解析式可求得m 的值，由此可得抛物线解析式；（2）作MN 垂直且平分线段AC ，交y 轴与点F ，连接FA.可得∠OFA=2∠OCA ，所以∠OFA=∠EAB ，在Rt △OFA 中表示∠OFA 的正切值，分点E 在x 轴下方和x 轴上方两种情况讨论，分别构造直角三角形表示∠EAB （∠E'AB ）的正切值.根据相等角的正切值相等列出方程解方程即可；（3）连接AD ，过P 作PS ⊥QD 于点S ，作PH ⊥x 轴于点H ，过B 作BI ∥QD ，交PS 于点I ，先证明M 的轨迹在x 轴上，当P 在B 点时，M 在A 点.点P 从点B 出发沿抛物线向上运动时，M 在A 处沿x 轴向左边运动．MD 扫过的面积即S △MAD ，求S △MAD 即可.【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴有两个交点A （x 1，0），B （x 2，0）∴抛物线对称轴直线x ＝122x x +＝42m m ＝2 ∴124x x +=又∵x 2﹣x 1＝2∴x1＝1，x2＝3则点A（1，0），B（3，0）把点A（1，0）代入y＝mx2﹣4mx+2m+1中得，m﹣4m+2m+1＝0解得，m＝1∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3（2）如图①作MN垂直且平分线段AC，交y轴与点F．连接FA，则∠OFA＝2∠OCA 由MN垂直平分AC得FC＝FA，设F（0，n），则OF＝n，OA＝1在Rt△OAF中，由勾股定理得，AF22OA OF+21n+∴FC21n+∴OC＝OF+FC＝21n+＝321n+＝3﹣n等式左右两边同时平方得，1+n2＝（3﹣n）2解得，n＝4 3∴F（0，43）∴tan∠OFA＝OAOF＝143＝34①当抛物线上的点E在x轴下方时，作EG⊥x轴于点G，并使得∠EAB＝∠OFA．设点E（m，m2﹣4m+3），其中1＜m＜3，则tan∠EAB＝EGAG＝2431m mm-+--＝34整理得，4m2﹣13m+9＝0解得，m1＝94，m2＝1（舍去）此时E点坐标为（94，﹣1516）；②当抛物线上的点E'在x轴上方时，作E'H⊥x轴于点H，并使得∠E'AB＝∠OFA．设点E'（m，m2﹣4m+3），其中m＞3，则tan∠E'AB＝E HAH'＝2431m mm-+-＝34整理得，4m2﹣19m+15＝0解得，m3＝154，m4＝1（舍去）此时E’点坐标为（154，3316）综上所述，满足题意的点E的坐标可以为（94，﹣1516）或（154，3316）（3）如图②，连接AD，过P作PS⊥QD于点S，作PH⊥x轴于点H，过B作BI∥QD，交PS于点I．设QD⊥x轴于点T，DP与x轴交于点R．∵在矩形PQMD中，MQ∥DP∴∠QMH＝∠MRD又∵在△MDR中，∠MDR＝90°∴∠DMR+∠DRM＝90°又∵∠QMD＝∠QMR+∠DMR＝90°，R在x轴上∴M恒在x轴上．又∵PQ∥MD∴∠PQS＝∠MDT．∴在△MTD 与△PSQ 中，PQS MDT QSP DTH PQ MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MTD ≌△PSQ （AAS ）∴MT ＝PS又∵PS ＝TH∴MT ＝TH又∵AT ＝TB∴MT ﹣AT ＝TH ﹣TB即MA ＝BH ．又∵P 点横坐标为5时，易得OH ＝5∴BH ＝OH ﹣OB ＝5﹣3＝2∴MA ＝2又∵当P 在B 点时依题意作矩形PQMD ，M 在A 点由点P 从点B 由出发沿抛物线向上运动，易得M 在A 处沿x 轴向左边运动．∴MD 扫过的面积即S △MAD∴S △MAD ＝12MA •TD ＝12×2×1＝1． 即线段DM 扫过的图形面积为1．【点睛】 本题考查二次函数综合题，勾股定理，解直角三角形，矩形的性质定理.（2）中能通过作MN 垂直且平分线段AC ，得出∠OFA=2∠OCA 是解题的关键；（3）中能推理出M 的运动轨迹是解决问题的关键.2．（1）2y x 2x 3=-++；（2）63y x =-+；（3）点P的坐标为(11),(1)-；（4）存在，点K 的坐标为(2,3)【解析】【分析】（1）由于点A 、B 为抛物线与x 轴的交点，可设两点式求解；也可将A 、B 、C 的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出:3:5AE EB =，求出AE,根据点A 坐标可解得点E 坐标,进而求得直线CE 的解析式；（3）分两种情况讨论①当四边形DCPQ 为平行四边形时；②当四边形DCQP 为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；（4）根据抛物线的对称性，AF=BF ，则HF+AF=HF+BF ，当H 、F 、B 共线时，HF+AF 值最小，求出此时点F 的坐标，设()00,K x y ，由勾股定理和抛物线方程得0174KF y =-，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174，则点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时，0174KS y =-,∴KF+KG=KS+KG,当S 、K 、G 共线且平行y 轴时，KF+KG 值最小，由点G 坐标解得0x ，代入抛物线方程中解得0y ，即为所求K 的坐标．【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．∴抛物线的解析式为()222323y x x x x =---=-++． 方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++，将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．（2）:3:5ACE CEB S S ∆∆=，132152AE CO EB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．3334882AE AB ∴==⨯=． 31122E x ∴=-+=． E ∴的坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又C 点的坐标为(0,3)．∴直线CE 的解析式为63y x =-+．（3）2223(1)4y x x x =-++=--+．∴顶点D 的坐标为(1,4)．①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．1x ∴=∴点P 的坐标为(11)-．②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．1x ∴=∴点P 的坐标为(1．∴综合得：点P 的坐标为(11),(1)-（4）∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点．∵点H 的坐标为450,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588y x =-+． 令1x =，则154y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．则由勾股定理可得：()222001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 又∵点K 在抛物线上，()20014y x ∴=--+()20014x y ∴-=-代入上式中， ()2220001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0174KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174． ∴点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则0174SK y =-．000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭（两处绝对值化简或者不化简者正确．）KF SK ∴=．KF KG SK KG ∴+=+当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．3．（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可； （3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+， 即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m ）， 当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得： 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ， 当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4； 当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m ++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．4．（1）21y=x +x+42﹣；（2）m=2，D(﹣1，52)；（3）P （52，278 ）或P(1，92)； （4）0＜t≤261200． 【解析】【分析】 (1)根据A ，C 两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B 点坐标，代入一次函数12y x m =-+,即可求出m 的值，联立二次函数与一次函数可求出D 点坐标．(3)设出P 点坐标，通过P 点坐标表示出N ，F 坐标，再分类讨论PN=2NF ，NF=2PN ，即可求出P 点(4)由A ，D 两点坐标求出AD 的函数关系式，因为以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，所以QQ '∥AD ，即可求出QQ '的函数关系式，设直线QQ '与抛物线交于第一象限P 点，所以当Q '与P 重合时，t 有最大值，利用中点坐标公式求出PQ 中点H 点坐标,进而求出MH 的函数关系式，令y=0求出函数与x 轴交点坐标，从而可求出t 的值,求出t 的取值范围．【详解】解：(1)∵A (2,0)-，(0,4)C把A,C 代入抛物线212y x bx c =-++， 得：142b+c=02c=4⎧⨯⎪⎨⎪⎩﹣－ 解得b=1c=4⎧⎨⎩∴21y=x +x+42﹣． （2）令y=0即21x +x+4=02﹣， 解得1x =2﹣，2x =4∴B （4,0）把B （4,0）代入12y x m =-+ 得1042m =-⨯+m=2 122y x =-+， ∴21y=x +x+42122y x ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩﹣ 得11x =15y =2⎧⎪⎨⎪⎩﹣ 或22x =4y =0⎧⎨⎩ ∴B(4,0),D(﹣1，52) ∴,m=2，D(﹣1，52)． （3）设P （a ，21a +a+42﹣），则F （a ，1a 22-+）， ∵DN ⊥PH ，∴N 点纵坐标等于D 点的纵坐标∴N(a ，52) FN=52－（1a 22-+）=11a 22+，PN=21a +a+42﹣－52=213a +a+22﹣， ∵N 是线段PF 的三等分点，∴①当FN=2PN 时，11a 22+=2（213a +a+22﹣）， 解得：a=52或a=﹣1（舍去）， ∴P （52，278）． ②当2FN=PN 时，2（11a 22+）=（213a +a+22﹣）， 得a=1或a=﹣1（舍去），∴P(1,92)，综上P 点坐标为P （52，278 ）或P(1,92)， (4)由（2）问得D(﹣1，52)，又A (2,0)-， 设AD ：y=kx+b ，5k+b=22k 0b ⎧⎪⎨⎪+=⎩﹣﹣ ， ∴5k=2b=5⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴AD ：y=52x+5， 又GM ⊥AD ，∴可设GM ： y=25﹣x+p ， 以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，∴QQ '∥AD ，可设QQ '：y=52x+q ，又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入QQ '， 得：52×45⎛⎫- ⎪⎝⎭+q=0， q=2， ∴QQ '：y=52x+2， 设直线QQ '与抛物线交于第一象限N 点,,所以当Q '与N 点重合时,t 有最大值， ∴25+221y=x +x+42y x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣ ， 解得：11x =19y =2⎧⎪⎨⎪⎩或22x =4y =8⎧⎨⎩﹣﹣ ， ∴N(1,92)又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设H 为N,Q 中点， 则H （110，94），又∵H在直线GM上，∴把H代入GM y=2 5﹣x+p ，得：921=+p 4510⨯﹣，P=229 100，∴y=2 5﹣x+229 100，令y=0得：0=2 5﹣x+229 100，∴x=229 40，即QM=22940+45=26140，∵M的速度为5，∴t=26140÷5=261200，∴0＜t≤261 200．【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．5．（151+或﹣1；（2）14；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞43或23≤m＜1【解析】【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝512+或512-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为512或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m ﹣2）2﹣2m （2m ﹣2）+m ＜0，解得m ＞43， 或﹣m≤2m ﹣2＜0， 解得23≤m ＜1（不合题意舍弃）， 当0＜m≤1时，如图5中，当点A 在直线x ＝﹣m 和y 轴之间时（可以在直线x ＝﹣m 上）时，满足条件．即或﹣m≤2m ﹣2＜0，解得23≤m ＜1， 综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6．(1)m=()()21200304603040t t t t +≤≤⎧⎪⎨+<≤⎪⎩, (2) t=40时w 最大=13200，(3)a 的最大值是85=2a ． 【解析】【分析】(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上代入解析式即可,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上 代入解析式即可，(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售额最大，利润就最大,设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，总价=销售单价×销售量m 即可列出,w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩与w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩两种总销售w=w 1+w 2，把w 函数配方讨论当030t ≤≤，第一段w 最大与3040t <≤，在第二段，w 最大经比较即可(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，Q≥3600,构造抛物线Q 在Q=3600直线上方有解即可，在-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴=2904-24b a a -=，只要对称轴介于30与40之间即可． 【详解】 (1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上,则11112030180b k b =⎧⎨+=⎩①②, 解得112120k b =⎧⎨=⎩, m=2t+120,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上, 则22224022030180k b k b +=⎧⎨+=⎩③④, 解得22460k b =⎧⎨=⎩, m=4t+60,m=()()21200304603040t t t t ⎧+≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩,(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售总值最大，利润就最大,设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，w 1=()()1-60212021-604602t t t t ⎧⎛⎫++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪⎝⎭⎩, 整理得w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩, w 2=()()1-302120320460t t t ⎧⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+⎩, 整理得w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩, 总销售w=w 1+w 2=22580108003-22904800t t t t ⎧-++⎪⎨⎪++⎩, 配方得w=()225-24117603145215312.52t t ⎧-+⎪⎪⎨⎛⎫⎪--+ ⎪⎪⎝⎭⎩, 当030t ≤≤，第一段w 最大=11760，而3040t <≤，145=2t >40,在第二段，w 随t 的增大而增大，t=40，w 最大=13200，经比较11760<13200，t=40时w 最大=13200，(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)， 后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，则Q-3600=-2t 2+(290-4a)t+1200-60a ，∵-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴为t=2904-24b a a -=只要3040t ≤≤, 290430404a -≤≤, 658522a ≤≤, a 的最大值是85=2a ．【点睛】本题考查分段函数的解析式的求法与利用，两图象结合并利用，求日销售最大利润，抛物线顶点式，分段比较，在最后又利用捐赠构造新函数，求对称轴，利用对称轴解决问题，此题难度较大，综合能力强，必须掌握好函数的各方面的知识．7．(1) ① y ＝4x .②014x x ＜＜或＞；(2) a ＝1或a ＝9.；(3) 18或2.. 【解析】整体分析：(1)由点A 的坐标求反比例函数的解析式，得到点B 的坐标；12y y ＜，即是一次函数的图象在反比例函数图象的下方时自变量的范围；(2)由点M ，N 的坐标求直线MN 的解析式，直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，即是方程kx+b-a=m x的判别式等于0；(3)设点C(a,b)，根据BC=2CA ，分三种情况讨论，利用△ACH∽△ABO，结合ab=4求解. 解：(1)k=1×4=4，所以y=44. ②当y=4时，x=414=，则B(4，1). 根据图象得：014x x ＜＜或＞.(2)点M(1，4)和点N(4，1)分别代入1y kx b =+得1-5y x =+直线AB 向下平移a 个单位长度后的解析式为y ＝－x ＋5－a ，把y ＝4x代入消去y ，整理，得x 2－(5－a )x ＋4＝0. ∵平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点，∴Δ＝(5－a )2－16＝0.解得a ＝1或a ＝9.(3)设点C(a,b)，则ab=4如图1，过C 点作CH ⊥OA 于点H .①当点B 在y 轴的负半轴时，如图1∵BC=2CA，∴AB=CA.∵∠AOB=∠AHC=90°，∠1=∠2，∴△ACH∽△ABO.∴OB=CH=b,OA=AH=0.5a∴122OA OB ab⋅==.②当点B在y轴的正半轴时，如图2，当点A在x轴的正半轴时，∵BC=2CA，∴.13 CA AB=∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO.∴13 CH AH CA OB OA AB===∴.OB=3b,OA=1.5a∴9182OA OB ab⋅==.如图3，当点A在x轴的负半轴时，BC=2CA不可能.综上所述，O A·O B的值为18或2.8．(1)见解析；(2)45°；(3)9.【解析】【分析】（1）利用正方形性质，证△ABH ≌△BCE.可得AH=BE .（2）证△AOH∽△BGH，OH AHGH BH=，OH GHAH BH=，再证△OHG∽△AHB.，得∠AGO=∠ABO=45°；（3）先证△ABG ∽△BFG.得AG BGBG GF=,所以，AG·GF=BG 2=（2=18. 再证△AGO ∽△CGF.得GO AGGF CG=,所以，GO·CG =AG·GF=18.所以，S△OGC =12 CG·GO.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB =45°∵AF⊥BE,∴∠BAG+∠ABG=∠CBE +∠ABG=90°.∴∠BAH=∠CBE.∴△ABH ≌△BCE.∴AH=BE .（2）∵∠AOH=∠BGH=90°, ∠AHO=∠BHG,∴△AOH∽△BGH∴OH AHGH BH=∴OH GHAH BH=∵∠OHG =∠AHB.∴△OHG∽△AHB.∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度数为定值（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,∴△ABG ∽△BFG.∴AG BG BG GF=,∴AG·GF=BG 2 =（2=18. ∵△AHB∽△OHG，∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.∵∠AOB=∠BGF=90°,∴∠AOG=∠GFC.∵∠AGO=45°,CG⊥GO,∴∠AGO=∠FGC=45°.∴△AGO ∽△CGF.∴GO AGGF CG=, ∴GO ·CG =AG ·GF =18. ∴S △OGC =12CG ·GO =9. 【点睛】此题为综合题，要熟练掌握正方形性质和相似三角形判定方法还有相似三角形的性质.9．（1）22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪=⎨-+-+<⎪⎩（2）图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）当13m <或12m =或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点（4）5363m +<<，1343m <<．【解析】 【分析】（1）根据分函数的定义直角写成关系式即可；（2）将m=1代入（1）所得的分函数可得2243(1)121(1)2x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，然后分11x -≤<和14x ≤≤两种情况分别求出最高点和最低点的坐标，最后比较最大值和最小值即可解答；（3）由于图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，则可令对应二元一次方程的根的判别式等于0，即可确定m 的取值；同时发现无论m 取何实数、该函数的图象与x 轴总有交点，再令x=m 代入原函数解析式，求出m 的值，据此求出m 的取值范围； （4）先令2441x mx m m -+-=或-m①，利用根的判别式小于零确定求出m 的取值范围，然后再令x=m 代入2441x mx m m -+-=或-m②，然后再令判别式小于零求出m 的取值范围，令x=m 代入212212x mx m m -+-+=或-m③，令判别式小于零求出m 的范围，然后取①②③两两的共同部分即为m 的取值范围． 【详解】（1）图象G 对应的函数关系式为22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪=⎨-+-+<⎪⎩（2）当1m =时，图象G 对应的函数关系式为2243(1)121(1)2x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩．。
常外九年级数学自主学习材料三
常外九年级数学自主学习材料三常外九年级数学自主学习材料三——图形变换学法指导：图形变换主要有“平移”、“翻折”、“旋转”，在解决与图形变换相关问题时，关键是抓住图形变化的特征：从点、线、角等几个角度考虑一、典例解析1、如图，在△ABO中，已知点A(3,3)、B（﹣1，﹣1）、O（0，0），正比例函数y=﹣某图象是直线l，直线AC∥某轴交直线l与点C．（1）C点的坐标为；（2）以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），使得点B落在直线l上的对应点为B′，点A的对应点为A′，得到△A′OB′．①∠α=；②画出△A′OB′．（3）写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标．考点：作图-旋转变换；一次函数的性质；相似三角形的判定与性质。
分析：（1）直线AC∥某轴交直线l于点C，可知A、C两点纵坐标相等，直线l解析式为y=﹣某，可知C点横、纵坐标互为相反数，可求C点坐标；（2）已知B（﹣1，﹣1）可知OB为第三象限角平分线，又直线l为二、四象限角平分线，故旋转角为90°，依题意画出△A′OB′即可；（3）根据A点坐标可知OA与某轴正半轴夹角为60°，可知∠AOB=165°，根据对应关系，则∠DOC=165°，故OD在第四象限，与某轴正半轴夹角为30°或与y轴负半轴夹角为30°，根据A、B、C三点坐标求OA、OB、OC，利用=求OD，再确定D点坐标．解答：解：（1）∵直线AC∥某轴交直线l于点C，∴C两点纵坐标为3，代入直线y=﹣某中，得C点横坐标为﹣3，∴C （﹣3，3）；（2）由B（﹣1，﹣1）可知，OB为第三象限角平分线，又直线l为二、四象限角平分线，∴旋转角为∠α=∠BOB′=90°，△A′OB′如图所示；（3）∵A点坐标可知OA与某轴正半轴夹角为60°，可知∠AOB=165°，根据对应关系，则∠DOC=165°，故OD在第四象限，与某轴正半轴夹角为30°或与y轴负半轴夹角为30°，根据A、B、C三点坐标，∴OA=23、OB=2、OC=323，ODOC，∴DOCOAO=233263，OAOBBO2∴D点的横坐标为：33，或纵坐标为：33，点坐标为（9，33），（33，﹣9）．2、如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中某轴上，折叠边AD，使点D落在某轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图（2），设抛物线y=a（某-m-6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．考点：矩形的性质、等腰三角形的判定，二次函数．分析：（1）抓住折叠前后图形全等，得到对应边相等、对应角相等．（2）由△OAF是等腰三角形，分三种情形讨论．（3）由待定系数法确定二次函数关系式，再由∠OAM=90°得到三角形相似．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝DC＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE，Rt△ABF中，BF＝AF2－AB2＝102－82＝6∴FC＝4设EF＝某，则EC＝8－某Rt△ECF中，42＋(8－某)2＝某2解得某＝5，∴CE＝8－某＝5∵B(m，0)∴E(m＋10，3)，F(m＋6，0)（2）分三种情形讨论：AO＝AF，∵AB⊥OF∴OB＝BF＝6，∴m＝6OF＝AF，则m＋6＝10解得m＝4，若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2＋AB2＝m2＋64，7∴(m＋6)2＝m2＋64解得m＝，3综合得m＝6或4或73．（3）由（1）知A(m，8)，E(m＋10，3)，a(m―m―6)2a＝14依题意a(m＋10―m―6)2＋h＝3得，h＝－1∴M(m＋6，－1)，设对称轴交AD于G，∴G(m＋6，8)∴AG＝6，GM＝8―(―1)＝9∵∠OAB＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠MAG＝90°，∴∠OAB＝∠MAG，又∠ABO＝∠MGA＝90°，∴△AOB∽△AMG，∴MGOB＝AGAB，即m9＝86，∴m＝12．二、试一试1．在平面直角坐标系某Oy中，已知点A（0，2），直线OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如图1），设点A关于直线OP的对称点为B．（1）写出点B的坐标；（2）过原点O的直线l从OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转．①如图1，当直线l顺时针旋转10°到l1的位置时，点A关于直线l1的对称点为C，则∠BOC的度数是，线段OC的长为；②如图2，当直线l顺时针旋转55°到l2的位置时，点A关于直线l2的对称点为D，则∠BOD的度数是；③直线l顺时针旋转n°（0＜n≤90），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为（用含n的代数式表示）．2．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'．(1)若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△AMA'的面积最大最大面积是多少并求出此时点M的坐标．附答案1．（1）解：如图A关于直线OP的对称点正好落在某轴上，∵根据轴对称性质∴得出OA=OB=2，∴B点的坐标是（2，0）；（2）解：①如图1，过A作AZ⊥直线l1于Z，延长AZ到C，使AZ=ZC，则C为A关于直线l1的对称点，∵根据轴对称性质得出OA=OC=2，∴∠AOZ=∠COZ=45°+10°=55°，∴∠BOC=55°+55°-90°=20°，故答案为：20°，2；②解：如图2，过A作AM⊥直线l2于M，延长AM到D，使AM=MD，则D为A关于直线l2的对称点，∵根据轴对称性质得出OA=OD，∴∠AOM=∠DOM=180°-（45°+55°）=80°，80°+80°-90°=70°，∴∠BOD=180°-70°=110°，故答案为：110°；（3）解：直线l顺时针旋转n°（0＜n≤90），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径为以O为圆心，以2为半径的弧BQ（Q为A关于旋转n°后直线l1的对称点），圆心角∠BOQ=2（45°+n°）-90°=2n°，由弧长公式得：2n2n，故答案为：n．18045452．解：(1)∵平行四边形A'B'OC'由平行四边形ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，点A'的坐标为(3，0)．所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)，A'(3，0)设抛物线的解析式为ya某2b某c(a0)，可得abc0c39a3bca0c23∴过点C，A，A'的抛物线的解析式为y某22某3．(2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。
九年级数学第十五周周末任务型自主学习单(提高班).doc
九年级数学第十五周周末任务型自主学习单20160611一、选择题1.若等腰三角形的顶角为40。
，则它的底角度数为( )A. 40。
B. 50°C・ 60° D. 70°2.如图，反比例函数y=± (xVO)的图象经过点A (- 1, 1),过点A作AB丄y轴，垂X足为B,在y轴的正半轴上収一点P (0, t),过点P作直线OA的垂线1,以直线1为对称轴，点B经轴对称变换得到的点豉在此反比例函数的图彖上，贝2Ijt的值是( )A.二、填空题3. __________________________________________ 已知x (x+3) =1,则代数式2X2+6X - 5的值为 ___________________________________________4.如图，在矩形ABCD屮，AB=Ji AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转ct度得矩形AB'CTT,点C落在AB的延长线上，则图中阴彩部分的面积是 ______ .5.如图，在平面直角处标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8, 4), 阴影三角形部分的而积从左向右依次记为Si、S2、S3 ............................... S n，则Sn的值为_____ .(用含n的代数式表示，n为正整数)v=x三、解答题6.如图，在菱形ABCD屮，对角线AC、BD相交于点0,过点0作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F,连接BE、DF.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若EF丄AB,垂足为M, tanZMBO =丄求EM： MF的值.27.-辆慢车・一•辆快年分别从甲、乙两地同吋出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车.设慢车行驶的时间为x小时, 两年Z间的距离为y T米，图中折线表示y与xZ间的函数图彖，诘根据图彖解决卜冽问题：(1)甲乙两地Z间的距离为______ 千米；(2)求快车和慢车的速度；(3)求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.8. 【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1,在AABC【变式探究】如图3,当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD - PE=CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】如图4,将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C 处, 点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG 丄BE 、PH 丄BC,垂足分别为G 、H,若AD=8, CF=3,求 PG+PH 的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点， ED 丄AD, EC 丄CB,垂足分别为 D 、C,且 AD ・CE=DE ・BC, AB=2V13dm, AD=3dm, BD=V37dm. M 、N 分别为AE 、BE 的中点，连接DM 、CN,求Z\DEM 与ACEN 的周 长之和.中，AB=AC,点P 为边BC D 、E,过点 C 作 CF±AB, 上的任一点，过点P 作PD 丄AB, PE 丄AC,垂足分别为 垂足为F.小军的证明思路是：【 以证得：PD+PE=CF. 小俊的证明思路是：如图2, 则 PD+PE=CF.如图2, 图②连接AP,由AABP 与AACP 面枳之和等于AABC 的面积可 过点P 作PG 丄CF,垂足为G,可以证得: PD=GF, PE=CG,求证：PD+PE=CF.9.如图①，在平面直角处标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0, - 1）,另一顶点B坐标为（-2, 0）,已知二次函数y=^x2+bx+c的图象2 经过B、C两点.现将一把直尺放置在直角绝标系小，使直尺的边ATT〃y轴且经过点B,直尺沿x轴正方向平移，当AQ，与y轴重合时运动停止.（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边ATT交边BC于点M,交抛物线于点N,求线段MN长度的最大值;（3）如图②，设点P为直尺的边AD上的任一点，连接PA、PB、PC, Q为BC的小点, 试探究：在肓尺平移的过程中，当PQ=2^|也寸，线段PA、PB、PCZ间的数量关系.请直接写出结论，并指岀相应的点P与抛物线的位置关系.（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C 在抛物线上，点D，在抛物线外.）。
常外九年级数学自主学习材料一
常外九年级数学自主学习材料一——数形结合学法指导：1.数形结合思想方法是一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现。
在数学问题中，数量关系与图形位置关系这两者之间有着紧密却又较隐含的相互关系。
解题时，往往需要揭示它们之间的内在联系，通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。
应用数形结合，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程。
2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构造方程(组),求得有关结论等. 用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等。
一、典例解析问题1：C 为BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD, 连接AC 、EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x .(1)用含x 的代数式表示AC+CE= . (2)当点C 满足时 时，AC+CE 的值最小；（3）根据（2）规律和结论，请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.分析：（1）由于△ABC 和△CDE 都是直角三角形，故AC ，CE 可由勾股定理求得；（2）若点C 不在AE 的连线上，根据两点之间线段最短知，AC+CE ＞AE ，故当A 、C 、E 三点共线时，AC+CE 的值最小； （3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B 作AB ⊥BD ，过点D 作ED ⊥BD ，使AB=2，ED=3，连接AE 交BD 于点C ，则AE 的长即为代数式9)12(422+-++x x 的最小值，然后构造矩形AFDB ，Rt △AFE ，利用矩形和直角三角形的性质可求得AE 的值． 解答：（1）125)8(22+++-x x ；（2）当A 、C 、E 三点共线时，AC+CE 的值最小；（3）如图所示，作BD=12，过点B 作AB ⊥BD ，过点D 作ED ⊥BD ，使AB=2，ED=3，连接AE 交BD 于点C ，AE 的长即为代数式9)12(422+-++x x 的最小值，过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ，则AB=DF=2，AF=BD=12，∴在Rt △AFE 中，由勾股定理得AF=1312522=+问题2：巳知二次函数y=a （x 2-6x+8）（a ＞0）的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位于边EF 的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标l 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．分析：（1）需先求出抛物线与x 轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO ，从而求出a ． （2）本题需先分两种情况进行讨论，当P 是EF 上任意一点时，可得PC ＞PB ，从而得出PB≠PA ，PB≠PC ，PB≠PD ，即可求出线段PA 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB ，再由PC=PD ，列出关于t 与a 的方程，从而得出a 的值，即可求出。
九年级数学自主训练(范围1.1-3.1)
九年级数学 自主训练一、填空题：1、┃π-14.3┃=_____________；若a 〉5，则2)5(-a ＝____________.2、当a __________时，42-a 无意义；22--x x有意义的条件是_____________. 3、已知一个样本1，2，3，x ，5，它的平均数是3，则这个样本的极差是___________；方差是____________.4、某校九年级上学期期末统一考试后，甲、乙两班的数学成绩（单位：分）的统计情况如下表所示：从各统计指标（平均分、中位数、众数、方差）综合来看，你认为______班的成绩较好。
5、计算2的结果等于 ．6、已知菱形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于点O ，添加条件______________或_____________可使菱形ABCD 成为正方形.7、菱形的对角线长分别是16cm 、12cm ，周长是 。
8、如图，E 为□ABCD 中AD 边上的一点，将△ABE 沿BE 折叠使得点A 刚好落在BC 边上的F 点处，若AB 为4，ED 为3，则□ABCD 的周长为_________.9、已知：如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°， 则∠BOE=_______°.第8题图 第9题图 第10题图10、如图，折叠直角梯形纸片的上底AD ，点D 落在底边BC 上点F 处，已知DC=8㎝，FC = 4㎝，则EC 长 ㎝.二、选择题:112()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．312、在下列各式的化简中，化简正确的有（ ）. ①3a ＝a a （a>0）；②5x x -x x ＝4x x (x>0)；③6a 2ba＝ab ab 23(a>ob>0) ；±A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个13、下列各式已经化为最简形式的是 ( ) AC14、已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a - ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -15、甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；(3)甲班成绩比乙班成绩波动大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常外九年级数学自主学习材料一——数形结合学法指导：1.数形结合思想方法是一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现。
在数学问题中，数量关系与图形位置关系这两者之间有着紧密却又较隐含的相互关系。
解题时，往往需要揭示它们之间的内在联系，通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。
应用数形结合，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程。
2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构造方程(组),求得有关结论等. 用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等。
一、典例解析问题1：C 为BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD, 连接AC 、EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x .(1)用含x 的代数式表示AC+CE= . (2)当点C 满足时 时，AC+CE 的值最小；（3）根据（2）规律和结论，请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.分析：（1）由于△ABC 和△CDE 都是直角三角形，故AC ，CE 可由勾股定理求得；（2）若点C 不在AE 的连线上，根据两点之间线段最短知，AC+CE ＞AE ，故当A 、C 、E 三点共线时，AC+CE 的值最小； （3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B 作AB ⊥BD ，过点D 作ED ⊥BD ，使AB=2，ED=3，连接AE 交BD 于点C ，则AE 的长即为代数式9)12(422+-++x x 的最小值，然后构造矩形AFDB ，Rt △AFE ，利用矩形和直角三角形的性质可求得AE 的值．解答：（1）125)8(22+++-x x ；（2）当A 、C 、E 三点共线时，AC+CE 的值最小；（3）如图所示，作BD=12，过点B 作AB ⊥BD ，过点D 作ED ⊥BD ，使AB=2，ED=3，连接AE 交BD 于点C ，AE 的长即为代数式9)12(422+-++x x 的最小值，过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ，则AB=DF=2，AF=BD=12，∴在Rt △AFE 中，由勾股定理得AF=1312522=+问题2：巳知二次函数y=a （x 2-6x+8）（a ＞0）的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位于边EF 的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标l 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．分析：（1）需先求出抛物线与x 轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO ，从而求出a ． （2）本题需先分两种情况进行讨论，当P 是EF 上任意一点时，可得PC ＞PB ，从而得出PB≠PA ，PB≠PC ，PB≠PD ，即可求出线段PA 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB ，再由PC=PD ，列出关于t 与a 的方程，从而得出a 的值，即可求出。
解答：（1）令y ＝0，由0)86(2=+-x x a 解得4,221==x x ；令x ＝0，解得y ＝8a ．∴点A 、B 、C 的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)， 该抛物线对称轴为直线x ＝3．∴OA ＝2．如图①，时抛物线与x 轴交点为M ，则AM ＝1．由题意得：2O A OA '==．∴2O A AM '=，∴∠O’AM ＝60°．∴OC AO =8a =．∴43=a ． （2）若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，结论同样成立．（Ⅰ）如图②，设点P 是边EF 上的任意一点 (不与点E 重合)，连接∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C 在y 轴上， ∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB ．又PD>PM>PB ，PA>PM>PB ，∴PB≠PA ，PB≠PC ，PB≠PD ．∴此时线段PA 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形． （Ⅱ）设P 是边FG 上的任意一点(不与点G 重合)，∵点F 的坐标是(4，3)，点G 的坐标是(5，3)．∴FB ＝3，GB = ∵PC≥4，∴PC>PB ．（3）存在一个正数a ，使得线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形． 如图③，∵点A 、B 时抛物线与x 轴交点，点P 在抛物线对称轴上， ∴PA ＝PB ．∴当PC ＝PD 时，线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形．∵点C 的坐标是(0，8a)，点D 的坐标是(3，－a)． 点P 的坐标是(3，t) ∴PC 2＝32＋(t －8a) 2，PD 2＝ (t ＋a) 2．整理得7a 2－2ta ＋1＝0 ∵t 是一个常数且t>3，∴Δ＝4t 2－28>0∴方程7a 2－2ta ＋1＝0有两个不相等的实数根7714284222-±=-±=t t t t a ． (图②)(图③)显然0772>-+=t t a ，满足题意．∴当t 是一个大于3的常数,存在一个正数0772>-+=t t a ，使得线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形．反思：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．二、试一试如图，已知O （0，0）、A （4，0）、B （4，3）．动点P 从O 点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB 的边0A 、AB 、B0作匀速运动；动直线l 从AB 位置出发，以每秒1个单位的速度向x 轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t 秒，当点P 运动到O 时，它们都停止运动．（1）当P 在线段OA 上运动时，求直线l 与以P 为圆心、1为半径的圆相交时t 的取值范围；（2）当P 在线段AB 上运动时，设直线l 分别与OA 、OB 交于C 、D ，试问：四边形CPBD 是否可能为菱形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l 的出发时间，使得四边形CPBD 是菱形．附：自主学习材料系列一（ 二次函数的应用）试一试答案解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1)∴⎩⎨⎧-==++1022c c b 解得： b =－21 c =－1 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y(2）设点D 的坐标为（m ，0） (0＜m ＜2）∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，OC DE AO AD = ∴122DE m =-∴DE =22m - ∴△CDE 的面积=21×22m -×m =242mm +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大∴点D 的坐标为（1，0） (3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0，则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1） 设直线BC 解析式为：y =kx ＋b ∴ ⎩⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1∴BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5∵点B(－1,0) 点C （0，－1）∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C 为顶点且PC=AC=5时，设P(k , －k －1) 过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5，设P(k , －k －1)，过点P 作PG ⊥x 轴于G AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2(2－k )2+(－k －1)2=5解得：k 1=1,k 2=0(舍)∴P 3(1, －2)③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1)，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，PL ⊥x 轴于点L ∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形， PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=2k∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中 (2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) 综上所述： 存在四个点： P 1（210，－1210-），P 2（-210，1210-）， P 3(1, －2)，P 4(25,－27)。