八年级数学下册专题复习思想方法专题矩形中的折叠问题练习课件(新版)沪科版
八年级数学下册思想方法专题矩形中的折叠问题新版华东师大版
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点C′,D′处,C′E交AF于点G,若∠CEF＝70°,则∠GFD′＝________．第1题图第2题图2．如图,数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD,使AD和BC重合,得到折痕EF,把纸片展平；(2)再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长【方法17】3．(黔南州期末)如图,把一张矩形的纸沿对角线BD折叠,若AD＝8,CE＝3,则DE＝________．第3题图第4题图4．如图,矩形ABCD中,AB＝5,BC＝4,将矩形折叠,使得点B落在线段CD上的点F处,则线段BE的长为________．5．(威海中考)如图,在矩形ABCD中,AB＝4,BC＝6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为________．第5题图第6题图◆类型三折叠中求面积6．(桂林灌阳县期中)如图,在矩形ABCD中,BC＝8,CD＝6,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C′处,BC交AD于点E,则△BDE的面积为( )A.754B.214C．21 D．247．如图,有一块矩形纸片ABCD,AB＝8,AD＝6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△ADE沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为( )A.12B.98C．2 D．48．★(福州中考)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM 对折,得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长(提示：在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)；(2)连接BN,当DM＝1时,求△ABN的面积．参考答案与解析1．40° 2.B 3.54．2.5 解析：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝∠D＝90°.∵将矩形折叠,使得点B落在线段CD 上的点F 处,∴AF ＝AB ＝5,AD ＝BC ＝4,EF ＝BF .在Rt△ADF 中,由勾股定理,得DF ＝AF 2－AD 2＝3.在矩形ABCD 中,∵DC ＝AB ＝5,∴CF ＝DC －DF ＝2.设EC ＝x ,则EF ＝BE ＝4－x .在Rt△CEF 中,CE 2＋CF 2＝EF 2,即x 2＋22＝(4－x )2,解得x ＝1.5.∴BE ＝4－1.5＝2.5.5.185解析：连接BF 交AE 于H ,由折叠可知,AB ＝AF ,∠BAE ＝∠FAE ,∴AH ⊥BF ,BH ＝FH .∵BC ＝6,点E 为BC 的中点,∴EC ＝BE ＝3.又∵AB ＝4,∴AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∴BH ＝125,则BF ＝245.∵FE ＝BE ＝EC ,∴∠EBF ＝∠EFB ,∠EFC ＝∠ECF ,∴∠BFC ＝∠BFE ＋∠CFE ＝12×180°＝90°.∴CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝185. 6．A 7.C8．解：(1)由折叠得∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ,∠MAN ＝∠NAB ,∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形,∴∠DAB ＝90°,∴∠DAM ＝13∠DAB ＝30°,∴DM ＝12AM .设DM ＝x ,则AM ＝2x ,在Rt△ADM 中,AD 2＋DM 2＝AM 2,即32＋x 2＝(2x )2,解得x ＝3,∴DM ＝ 3.(2)如图,延长MN 交AB 的延长线于点Q ,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB ∥DC ,∴∠DMA ＝∠MAQ ,由折叠得∠DMA ＝∠AMQ ,AN ＝AD ＝3,MN ＝MD ＝1,∴∠MAQ ＝∠AMQ ,∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ,则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝∠D ＝90°,∴∠ANQ ＝90°.在Rt△ANQ 中,由勾股定理得AQ 2＝AN 2＋NQ 2,∴(x ＋1)2＝32＋x 2,解得x ＝4,∴NQ ＝4,AQ ＝5.∵△ANB 与△ANQ 在AB 边上的高相等,AB ＝4,AQ ＝5,∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12AN ·NQ ＝45×12×3×4＝245.。
八年级数学下册《矩形折叠》问题专题讲解
八年级数学下册《矩形折叠》问题专题例1如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC 边上的点F处，已知AB=6，BC=10，则CE的长为多少？分析：根据折叠可知：△ADE≌△AFE⇒AD=AF=BC=10,DE=EF.在Rt△ABF中，AB=6，AF=10,根据勾股定理，得BF==8,所以CF=10-8=2.设CE的长为x,则DE=EF=6-x.在Rt△CEF中，CF=2,CE=x,EF=6-x,根据勾股定理列出方程，即可求出x的长.例2如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,若AB=3,AD=4,你能求折痕EF的长吗？分析：连接AC交EF与点O，由翻折可得到FE垂直平分AC，那么AF=FC，易证△AEO≌△CFO.那么求出OF长，乘2后就是EF长，利用直角三角形ABF求解即可．专题小练一．选择题1．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（）A．6 B．5C．4 D．32．如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD 边上，将△BCP沿BP折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4，则线段AB的长是（）3．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）4．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E为AD 上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（）5．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（）二．填空题（共4小题）6．如图，四边形ABCD是矩形纸片，将△BCD沿BD 折叠，得到△BED，BE交AD于点F，AB＝3．AF：FD＝1：2，则AF＝．7．如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为．8．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D 落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF 与BC相交于点G，则△GCF的周长为．9．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．三．解答题10．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE 沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．。
矩形的折叠问题(专题)
→ Bx
D
，故OE= 。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， C ∠C=90º ，沿着B点的一条直线BE折 叠这个三角形，使C点与AB边上的 一点D重合。当∠A满足什么条件时， 点D恰好是AB的中点？写出一个你 B 认为适当的条件，并利用此条件证 明D为AB中点。 条件：∠A=30º
E D A
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ， 在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º， ∴ BC= ∴ BD =
答案：矩形的长为10，宽为8。
D F E A
C
B
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△AMN的面积SΔ AMN。 (2)Δ AMN沿MN折叠，设点A关于Δ AMN对称的点为A¹ ， Δ A¹ MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多 少？
矩形的折叠问题
（复习课）
练习1 如图，有一块直角三角形纸片，两 直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿 直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 重合，求CD
A E C B D
如图，折叠矩形的一边AD，点D 落在BC边上点F处，已知AB=8， BC=10，求EC的长 D A
E B F C
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、 C分别落在AB上的D¹ 、C¹ 处， 折痕为EF。若CD=3，EF=4， 则AD¹ +BC¹ = 。
2023中考数学专题复习-矩形折叠问题(课件)
课外作业
1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，现
将A、C重合，再将纸片折叠压平，
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明；
（2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由；
（3）求AE的长.
G
（4）试确定重叠部分△AEF的面积.
A
FD
B E
C
2.(连云港中考)在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线 BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD 上的点N处，折痕DF交BC于点F.
“折边”直角三角形
方程思想
勾股定理
拓展应用
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点
处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于
y
AD
B
E
O
x C
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原 点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取一点E，将△EOC沿 EC折叠，使O落在AB边上的D点，求E点的坐标.
数等于_5__6_°．
观察再思考
【问题2 】如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角线 BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
D
6
4x
6
B 8-x
xC
结论：求线段长时，找到相应的“折边”直角三角形， 用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题.
(一)折叠后求角度
1．如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，得到△BC′D，
C′D 与 AB 交于点 E.若∠1＝35°，则∠2 的度数为
( A)
A．20°
沪科版八年级数学下册复习-思想方法专题：矩形中的折叠问题
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一 矩形折叠问题中求角的度数1．如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在点D′处．若∠CED′＝60°，则∠BAD′的大小是( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°第1题图 第2题图2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使顶点B 落在边AD 上的点E 处，折痕FG 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接BE.若∠AEF ＝20°，则∠FGB 的度数为( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°◆类型二 矩形折叠问题中求长度3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点O.若AO ＝5cm ，则AB 的长为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图 第4题图4．(2017·芜湖市期中)将矩形纸片ABCD 按如图折叠，得到菱形AECF.若AB ＝3，则BC 的长为( )A ．2B ．1C . 3D . 55．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点F 处，则DE 的长是【方法18①】( )A ．3B .245C ．5D .8916第5题图 第6题图6．(2017·芜湖繁昌县期中)将矩形纸片ABCD 按如图折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，BE ＝1.折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则EC 的长为( ) A . 3 B ．2 C ．3 D ．2 37．★(2017·安庆潜山县期末)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．第7题图第8题图◆类型三矩形折叠问题中求面积8．(2017·阜阳市期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则△AEF的面积是()A．8 B．10 C．12 D．149．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．参考答案与解析1．A 2.C 3.C4．C解析：∵四边形AECF为菱形，∴AE＝CE，∠FCO＝∠ECO.由折叠可得∠ECO ＝∠ECB.又∵∠FCO＋∠ECO＋∠ECB＝90°，∴∠FCO＝∠ECO＝∠ECB＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴CE＝2BE，∴AE＝2BE.∵AB＝AE＋BE＝3，∴BE＝1，CE ＝AE＝2，∴BC＝CE2－BE2＝ 3.故选C.5．C解析：四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝BC2＋CD2＝10.由折叠可得BF＝AB＝6，EF＝AE，∠BFE＝∠A＝90°，∴∠DFE＝90°.设DE＝x，则EF＝AE＝8－x.在Rt△DEF中，DE2＝EF2＋DF2，即x2＝(8－x)2＋(10－6)2，解得x＝5.即DE＝5.故选C.6．B解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°.∵∠BAE＝30°，BE＝1，∴AE＝2BE＝2×1＝2，∠AEB＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，∠EAC1＝∠BAD－∠BAE＝90°－30°＝60°.由折叠可得∠AEB 1＝∠AEB ＝60°.∴∠AC 1E ＝180°－∠EAC 1－∠AEB 1＝60°，∴△AEC 1是等边三角形，∴EC 1＝AE ＝2.由折叠可得EC ＝EC 1＝2.故选B.7. 185解析：如图，连接BF 交AE 于点H .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3.由折叠可得BF ⊥AE ，BH ＝12BF .∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，∴BF ＝2BH ＝245.由折叠可得FE ＝BE ，∴FE ＝BE ＝CE ，∴∠EBF ＝∠BFE ，∠ECF ＝∠EFC .又∵∠EBF ＋∠BFE ＋∠EFC ＋∠ECF ＝180°，∴∠BFE ＋∠EFC ＝90°，即∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.8．B 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，AD ＝BC ＝8，CD ＝AB ＝4.由折叠可得AG ＝CD ＝4，∠G ＝∠D ＝90°，DF ＝GF .设AF ＝x ，则GF ＝DF ＝8－x .在Rt △AGF 中，AF 2－GF 2＝AG 2，即x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5，即AF ＝5.∴S △AEF ＝12AF ·AB ＝12×5×4＝10.故选B.9．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.由折叠可得∠F ＝∠B ，AF ＝AB ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝8.由折叠可得CF ＝BC ＝8.由(1)可知△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .设EF ＝DE ＝x ，则CE ＝8－x .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∴DE ＝3，∴AE ＝AD －DE ＝5，∴S 阴影＝12AE ·CD ＝12×5×4＝10.。
八年级数学下册 19.3.1 矩形课件(2) (新版)沪科版
营中热身
矩形具有而一般(yībān)平行四
边形不 具有的性质是 ( ）
C
A.对角(duì
Bji.ǎ对o边)相相等等
C(x.i对ā角ng线dě相n等g)
D.对角线互相平分
第十六页，共21页。
营中寻宝
D
C
O
• 四边形ABCD是矩形(jǔxíng)
• 1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，A
∵四(边sh形ùAxBuCéD) 是矩形 语言
∴AC = BD
B
C
第九页，共21页。
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一 个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点 处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
A
D
O
B 公平(gōng píng),因为
C
OA=O第C十页，=共2O1页。B=OD
再探新知
B
10
5
• 则AC＝_______ ㎝ OB=_______ ㎝
28
• 2的.若周已长知＝A_C__＝_418c0m㎝，BC=6㎝，则矩形(jǔxíng)
4
• 矩形(jǔxíng)的面积＝_______ ㎝2
• 若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm
•
AB= _____cm 第十七页，共21页。
小试牛刀 (xiǎo shì niú dāo)
如图，在矩形ABCD中，找出相 等(xiāngděng)的线段与相等
A (xiāngděnDg)的角。
B
O
C
想一想：上图中有几个(jǐ ɡè)直角三角形，它们 全等吗？图中有个等腰三解形，有几对全等的等
腰三角形？
第十四页，共21页。
八年级数学下册 专题 四边形 矩形中的折叠问题课件 (新版)华东师大版
典例精讲
类型二：求长度
33
在矩形纸片ABCD中，AB= ,BC=6，沿EF折叠矩后，使 点C点落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交 于点H，∠BPE=30°. （1）BE的长为_______，QF的长为________； （2）四边形PEFH的面积为__________
典例精讲
解 ： （ 1 ） 设 B E = x ， 在 R t △ P B E 中 ， ∠ B P E = 3 0 ， PE=2x， PB=3x， 由 题 意 得 E C = E P = 2 x ，
B E + E C = B C ， 3 x = 6 ， x = 2 ， 即 B E = 2 ， E C = 3 ， P B = 23 ， P A = 3 ， 在 R t△ A P H 中 ， ∠ A P H = 6 0 ，
A H = 3 ， P H = 2 3 ， H Q = P Q - Ｐ Ｈ = 3 ， 在 R t△ H Q F 中 ， ∠ Q H F = 3 0 ，来自设出未知数求出结论
根据勾股定理列出方程并求出解
典例精讲 类型一：求角度
如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D 点落在BC边上的F点处，如果 ∠BAF=60°，求∠AED的度数.
典例精讲
解：矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，
∴又∵∠BDAAFE=6120°，D∠AFBAD=90°，
∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=30°， ∴∠DAE=15°， 又∠ADE=90°，∴∠AED=90°-∠DAE=75° 。
课堂小结
初中数学知识点精讲课程解题步骤归纳由折叠得出相等的边角根据勾股定理列出方程并求出解设出未知数求出结论类型一
八年级数学下册 专题 四边形 矩 形中的折叠问题课件 （新版）