精选福建省福州市八县(市)2017-2018学年高二下学期期中联考试题数学(理)-附参考答案
福建省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷(三)
福建省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（三）（理科）（考试时间120分钟 满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．是z 的共轭复数，若z+=2，（z ﹣）i=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1+i B ．﹣1﹣i C ．﹣1+i D ．1﹣i2．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，+∞）B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）C ．（2，+∞）D ．（﹣1，0） 3．下列命题中正确的是（ ）A ．复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=dB ．任何复数都不能比较大小C ．若=，则z 1=z 2D ．若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2或z 1=4．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2） B ．[﹣2，+∞） C ．[﹣2，2] D ．[0，+∞）6．曲线y=e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ． e 2B ．2e 2C ．e 2D ． e 27．已知函数f （x ）=x 3﹣12x ，若f （x ）在区间（2m ，m+1）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤m ≤1B ．﹣1＜m ≤1C ．﹣1＜m ＜1D ．﹣1≤m ＜18．某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数为（ ）A ．y=x 3+6x 2+9xB ．y=x 3﹣6x 2﹣9xC ．y=x 3﹣6x 2+9xD ．y=x 3+6x 2﹣9x9．若x ，y 是正数，则+的最小值是（ ）A ．3B ．C ．4D ．10．复数z 满足方程|z+|=4，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ） A ．以（1，﹣1）为圆心，以4为半径的圆B ．以（1，﹣1）为圆心，以2为半径的圆C ．以（﹣1，1）为圆心，以4为半径的圆D ．以（﹣1，1）为圆心，以2为半径的圆11．已知函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 在区间[﹣1，2]上是减函数，那么b+c （ ）A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣12．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．14．已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N+，则f2015（x）的表达式为．15．定积分sintcostdt=．16．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．三、解答题：本大题共6小题，共74分。
2017-2018年福建省福州市八县一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年福建省福州市八县一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数3．（5分）y=log a（2x2﹣1）的导数是（）A．B．C．D．4．（5分）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．5．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（）A．2B．3C．4D．56．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）7．（5分）平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1B．2n C．D．n2+n+18．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2 9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f （x）﹣lnx]=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e（其中e为自然对数的底数）的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）11．（5分）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形12．（5分）已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tan x的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值eC．有最大值e D．有最大值e+1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）i是虚数单位，若复数（3﹣i）（m+i）是纯虚数，则实数m的值为．14．（5分）（3x2+k）dx=10，则k=．15．（5分）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=．16．（5分）若函数h（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x0，h （x0）），记函数h（x）的导函数为g（x），则有g′（x0）=0，设函数f（x）=x3﹣3x2+2，则f（）+f（）+…+f（）+f（）=．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）．18．（12分）已知函数f（x）lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．19．（12分）已知数列{a n}的通项公式a n=，数列{b n}的通项满足b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试证明：b n=．20．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（I）求g（x）的单调区间和最小值；（II）讨论g（x）与的大小关系；（III）求a的取值范围，使得对任意x＞0恒成立．21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省福州市八县一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数=故选：B．2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【考点】FC：反证法．【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：D．3．（5分）y=log a（2x2﹣1）的导数是（）A．B．C．D．【考点】63：导数的运算．【解答】解：∵y=log a（2x2﹣1），∴y′==，故选：A．4．（5分）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．【考点】69：定积分的应用．【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x ﹣）|=；故选：C．5．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（）A．2B．3C．4D．5【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故选：D．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：B．7．（5分）平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1B．2n C．D．n2+n+1【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f （k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）﹣f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得f（2）﹣f（1）=2，f（3）﹣f（2）=3，…，f（n）﹣f （n﹣1）=n，把这n﹣1个等式累加，得f（n）﹣f（1）=2+3+…+n=∴f（n）=2+=故选：C．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：∵，∴f′（x）＜，令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．故选：A．9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故选：B．10．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f （x）﹣lnx]=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e（其中e为自然对数的底数）的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】63：导数的运算．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e，则f（x）=lnx+e，f′（x）=，∴f（x）﹣f′（x）=lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0，则方程f（x）﹣f′（x）=e的解可转化成方程lnx﹣=0的解，令h（x）=lnx﹣，而h（2）=ln2﹣＞0，h（1）=ln1﹣＜0，∴方程lnx﹣=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）=e的解所在区间为（1，2），故选：C．11．（5分）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形【考点】GE：诱导公式．【解答】解：因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sin A2=1=cos A1，所以A1在（0，π）范围内无值．所以△A2B2C2是钝角三角形．故选：D．12．（5分）已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tan x的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值eC．有最大值e D．有最大值e+1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：∵，∴，∴，又点在直线上，∴，∴b=﹣1，∴g（x）=e x﹣x2+2，g'（x）=e x﹣2x，g''（x）=e x﹣2，当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）=e﹣2＞0，∴g'（x）在[1，2]上单调递增，∴g'（x）≥g（1）=e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴或e≤m≤e+1，∴m的最大值为e+1，无最小值，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）i是虚数单位，若复数（3﹣i）（m+i）是纯虚数，则实数m的值为．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数（3﹣i）（m+i）=3m+1+（3﹣m）i是纯虚数，则3m+1=0，3﹣m≠0，解得m=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）（3x2+k）dx=10，则k=1．【考点】69：定积分的应用．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k．由题意得：23+2k=10，∴k=1．故答案为：1．15．（5分）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=R（S1+S2+S3+S4）．【考点】F3：类比推理；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．16．（5分）若函数h（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x0，h （x0）），记函数h（x）的导函数为g（x），则有g′（x0）=0，设函数f（x）=x3﹣3x2+2，则f（）+f（）+…+f（）+f（）=0．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3T：函数的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x，f″（x）=6x﹣6，令f″（x）=0得x=1，∴f（x）的对称中心为（1，0），∵==…==2，∴f（）+f（）=f（）+f（）=…=f（）+f（）=0，又f（）=f（1）=0∴f（）+f（）+…+f（）+f（）=0．故答案为：0．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】证明：函数的导数f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，即函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，∵f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln2＞0，∴f（3）f（4）＜0，∴存在唯一的一个数a，使得当3＜a＜4时，f（a）=0，即f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）．18．（12分）已知函数f（x）lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）f′（x）=…（2分）∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x，∴f′（1）=a+1=﹣1，∴a=﹣2…（4分）（2）由（Ⅰ）知f（x）=lnx+，则f′（x）=令f′（x）=0，解得x=2，又f（x）的定义域为（0，+∞）…（6分）当x∈（0，2）时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，2）内为减函数…（8分）当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴f（x）在（2，+∞）内为增函数…（10分）由此知函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2+1，无极大值．…（11分）19．（12分）已知数列{a n}的通项公式a n=，数列{b n}的通项满足b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试证明：b n=．【考点】8E：数列的求和．【解答】证明：（1）当n=1时，a1=4，b1=1﹣4=﹣3，b1==﹣3，等式成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即b k=，那么当n=k+1时，有b k+1=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a k）（1﹣a k+1）=b k（1﹣a k+1）=×[1﹣]=．所以n=k+1时，等式也成立．由（1）（2）可知，等式对任何正整数n都成立．20．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（I）求g（x）的单调区间和最小值；（II）讨论g（x）与的大小关系；（III）求a的取值范围，使得对任意x＞0恒成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，令g'（x）=0，即，解得x=1，∴g（x）单增区间为（1，+∞），单间区间为（0，1），所以x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g（x）的最小值是g（1）=1；（Ⅱ），设，则，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h'（x）＜0，h'（1）=0，∴函数h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，∴，当x＞1，h（x）＜h（1）=0，∴，当x=1时，h（1）=0，即；（Ⅲ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为1，所以，对任意x＞0恒成立⇔，即lna＜1，从而得0＜a＜e，∴a的取值范围是{a|0＜a＜e}．21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）。
(全优试卷)福建省福州市八县(市)高二下学期期中联考试题数学(文)Word版含答案
全优试卷2017—2018学年度第二学期八县(市)一中期中联考高中二年数学科（文科）试卷命题：长乐一中胡丽梅复核：吴小妹完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1( )A B D2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（）A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A．①—综合法，②—反证法B．①—分析法，②—反证法C．①—综合法，②—分析法D．①—分析法，②—综合法4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0个推理（）A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的5、已知变量x与y负相关，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=3x﹣4.5 B．y=﹣0.4x+3.3 C．y=0.6x+1.1 D． y=﹣2x+5.56）A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．不确定8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x，y)所对应的点都在函数()A．y＝x＋1的图象上B．y＝2x的图象上C．y＝2x的图象上D．y＝2x-1的图象上9zz在复平面内对应的点P组成的图形为（）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10、）A B CD11、以下命题正确的个数是（）12个单位；③用反证法证明命题：；A．1 B．2 C．3 D．412、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
福建省福州八中高二期中文理科数学试卷（2）
福建省福州八中高二期中文理科数学试卷(2)推荐文章福建省四地六校高二12月月考文理科数学试卷热度：甘肃省兰州九中高二期中文理科数学试卷热度：高二下学期数学期末文科试题热度：高二文科数学下学期期末考试题热度：高二年级数学理科下学期期末试题热度：福建省福州八中高二期中理科数学试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上)1.复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. B. C. D.2. 下列推理过程属于演绎推理的为A.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B.由，，，…得出C.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D.通项公式形如的数列为等比数列，则数列为等比数列3. 在“近似替代”中，函数在区间上的近似值A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值C.可以是该区间内的任一函数值)D.以上答案均正确设是可导函数，且，则A. B. C. D.某个自然数有关的命题，如果当时，该命题不成立，那么可推得时，该命题不成立.现已知当时，该命题成立，那么，可推得A.时，该命题成立B.时，该命题成立C.时，该命题不成立D.时，该命题不成立，，，、的大小关系是A. B.C. D.由的取值确定7. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是A.B.C.D.8.设，则，A.都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于29.下面给出了四个类比推理.为实数，若则;类比推出：、为复数，若，则.若数列是等差数列，，则数列也是等差数列;类比推出：若数列是各项都为正数的等比数列，，则数列也是等比数列.若,则;类比推出：若、、为三个向量.则.若圆的半径为，则圆的面积为;类比推出：若椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则椭圆的面积为.上述四个推理中，结论正确的是A.B.C.D.10.记为函数的阶导函数，即.若，且集合，则集合中元素的个数为A.1006B.1007C.503D.504二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. 若纯虚数满足，则实数等于.12.计算定积分= .13. 用数学归纳法证明1+++…+1)时，由时，第一步应验证的不等式是.14. 二维空间中，圆的—维测度(周长);二维测度(面积);一维空间中球的二维测度(表面积)，三维测度(体积)，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度，则其四维测度 .三、解答题(本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.)15.(本小题满分14分)复数，(其中为虚数单位，)，(1)，求复数的模;(2)当实数为何值时复数为纯虚数;(3)当实数为何值时复数在复平面内对应的点在第二象限?16.(本小题满分12分)设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的阴影部分面积分别记为、.()当=时，求点的坐标;()当+有最小值时，求点的坐标和最小值.17.(本小题满分14分)已知函数，，其中是自然对数的底数，.()当时，求函数的单调区间和极值;()求证：在()的条件下;()是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.第卷、选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上)18.若，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分又不必要条件19. 某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲乙两人都抢到红包的情况有( )A.35种B.24种C.18种D.9种20. 在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导函数的图象，则等于A. B. C. D. 或21. 已知定义在R上的可导函数满足：，则与(e是自然对数的底数)的大小关系A. B.C. D.不确定填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)22. 展开式中项的系数是_____________.23. 观察下列等式：…则当且时，=_____.(最后结果用表示)、解答题(本大题共有2个小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.)24. (本小题满分12分)某学校记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：组别理科文科性别男生女生男生女生人数 3 3 3 1 学校准备从中选4人到社区举行的大型公益活动中进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生，给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有.()求理科组恰好记4分的概率;()设文科组男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.25.(本小题满分12分)已知函数()当时，试求函数图像过点的切线方程;()当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围;()若函数有两个极值点、，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上)1-10 BDCCB ACCDD二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. 1 12. 13. 14.三、解答题(本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.)15.解：由已知整理得：……………2分(1)当，………………6分(2)当，，，复数为纯虚数……………10分(3)当，，复数在复平面内对应的点在第二象限………………14分16.解：()设点的横坐标为，则点的坐标为，直线的方程为，，因为=，，所以，点的坐标为. ……6分()=+ =+=，令得，因为时，;时，所以，当时，，点的坐标为.………………12分17.解：()当时，……………1分当时，，此时单调递减;当时，，此时单调递增.所以的极小值为故：的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. …………4分()令，………5分当时，，此时单调递增，所以，………7分由()知，所以在()的条件下. ………9分()假设存在实数，使有最小值3，. ………………10分当时，因为，所以，在上单调递减，所以，解得(舍去) ………11分当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，满足条件. ………12分当，即时，，在上单调递减，所以，解得(舍去)…13分综上，存在实数，使得当时的最小值为3. ………14分第卷一、选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上)18-21 ACAA二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)22.-10 23.三、解答题(本大题共有2个小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.)24. 解:( )要求被选出的4人中理科组、文科组学生都有,共有种结果，………………2分其中“理科组恰好记4分“的选法有两种情况:从理科组选2男1女,文科组任选1人，有种方法,从理科组中选2女,再从文科组任选2人，有种方法所以. ………………6分()由题意可得=0，1，2，3.……10分其分布列为0 1 2 3 ………………11分数学期望. ………………12分25.解：()当时，有过点的切线方程为：即. ……………3分()当时，有，其定义域为从而方程可化为：令，则………4分由得，得在和上单调递增，在上单调递减，且，………………………6分又当时，;当时，关于的方程有唯一实数解，实数的取值范围是或. ………………………7分()的定义域为，令得又函数有两个极值点、有两个不等实根、，且，从而. ………………………………………………9分由不等式恒成立恒成立.令，当时恒成立.函数在上单调递减，所以实数的取值范围是：. ……………………12分。
福建省福州市八县(市)2017-2018学年高二下学期期中联考数学(文)试题含答案
福州市八县（市）协作校2017-2018学年第二学期期中联考高二数学（文科）试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】 命题: 平潭城关中学 冯晓梅 郑 雄一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数ii-+21所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象银C ．第三象限D ．第四象限2.有一段演绎推理是这样的：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为（ ）．A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 3．用反证法证明命题“若()R b a b a ∈=+,022，则b a ,全为0”，其反设正确的是（ ) A ．b a , 全为0 B ．b a ,中只有一个为0C ．b a ,至少有一个为0D ．b a ,至少有一个不为04．甲、乙、丙、丁四位同学各自对y x 、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如右表： 则哪位同学的试验结果体现y x 、两变量有更强的线性相关性（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 5.下表是某厂5～8由散点图可知，y 与x a x yˆˆ+-=， 则aˆ＝( ) A ．10.5 B ．10.25 C ．10 B ．5.156.今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。
当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。
那么甲、乙、丙、丁四人的“体力”由强到弱的顺序是（ ）A ．丁、乙、丙、甲B ．乙、丁、甲、丙C ．丁、乙、甲、丙D ．乙、丁、丙、甲 7.设))()(()(c x b x a x x f ---=，其中c b a ,,是互不相等的常数， 则()()()a b cf a f b f c ++='''( ) A.0 B.1 C. 2 D.38．以下四个命题，其中真命题的个数有（ ）①用∑∑==---=ni ini iy yy y R 12122)()ˆ(1刻画回归效果,当2R 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好②在回归直线方程103.0+-=∧x y 中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量yˆ就平均减少0.3个单位③综合法证明数学问题是“由因导果”，分析法证明数学问题是“执果索因”④若2K 的观测值为k =6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病A ．1B ．2C ．3D ．49．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A. 35B. 20C. 18D. 910．对任意的R x ∈，函数ax ax x x f 5)(23++=不存在极值点的充要条件是（ ）A.015a <<B. 015a a ≤≥或C.015a a <>或D. 015a ≤≤11．对于大于1的自然数m 的三次幂，可用奇数进行以下方式的“分裂”：5323+=，119733++=，1917151343+++=，…，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是53，则m 的值为( )A ．6B ．7 C.8 D ．9 12.已知函数()x f y =对任意的且满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx ，0sin )(cos )(>+'x x f x x f ,则下列不等式成立的是( )34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭ C. ()023f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭36f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若复数)2)(1(i ai -+（i 为虚数单位，R a ∈)是纯虚数，则a 的值为 14.设数列{}n a 的前n 项和为n s ,若*11,32,2N n a a a n n ∈+==+,则=4a15．函数ax x x x f ++=2ln )(在(]02，上为增函数，则a 的取值范围为 16.对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则0OB OA OA OB →→→→→∙+∙=；将它类比到平面的情形是：O 是ABC ∆内一点， 0OBC OCA OBA S OA S OB S OC →→→→∆∆∆∙+∙+∙=；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有 三、解答题（包括必考题和选考题两部分。
福建省福州市2017-2018学年高二数学下学期期中试卷文(含解析)
2017-2018学年福建省福州高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．在复平面内，复数（1﹣2i）2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于（）1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；…A．1 111 110 B．1 111 111 C．11 111 110 D．11 111 1114．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）A．没有一个内角是钝角B．有两个内角是钝角C．有三个内角是钝角 D．至少有两个内角是钝角5．给出下列命题：①对任意x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题．其中真命题只有（）A．①③ B．①② C．①②③D．②③6．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切 D．相离7．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9．（6分）在极坐标系中，定点A，点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是．10．（6分）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．11．（6分）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为．12．（6分）给出下列等式：×=1﹣；；…由以上等式推出一个一般结论：对于n∈N*， = ．三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（12分）已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4．若p且q为假，p或q 为真，求实数x的取值范围．14．（12分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．15．（12分）已知某圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，求：（1）圆的标准方程和参数方程；（2）在圆上所有的点（x，y）中x•y的最大值和最小值．四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆17．用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n=k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣118．设F1和F2是双曲线为参数）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是（）A．1 B．C．2 D．519．设c1，c2，…，c n是a1，a2，…，a n的某一排列（a1，a2，…，a n均为正数），则++…+的最小值是（）A．2n B．C．D．n五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．（4分）圆ρ=r与圆ρ=﹣2rsin（θ+）（r＞0）的公共弦所在直线的方程为．21．（4分）已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a 的最小值为．六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22．（12分）已知经过A（5，﹣3）且倾斜角的余弦值是﹣的直线，直线与圆x2+y2=25交于B、C两点．（1）请写出该直线的参数方程以及BC中点坐标；（2）求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．23．（14分）（1）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，求（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值．（2）请用数学归纳法证明：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（n≥2，n ∈N*）．2016-2017学年福建省福州八中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．在复平面内，复数（1﹣2i）2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵（1﹣2i）2 =12﹣4i+（2i）2=﹣3﹣4i，∴复数（1﹣2i）2对应的点的坐标为（﹣3，﹣4），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于（）1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；…A．1 111 110 B．1 111 111 C．11 111 110 D．11 111 111【考点】F1：归纳推理．【分析】分析：1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1 234×9+5=11 111；不难发现规律，故可大胆猜测（12…n）×9+（n+1）=11…1（n个）【解答】解：分析1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1 234×9+5=11 111；12 345×9+6=111 111…，故可大胆猜测：（12…n）×9+（n+1）=11…1（n个）∴1234567×9+8=11111111，故选：D．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）A．没有一个内角是钝角B．有两个内角是钝角C．有三个内角是钝角 D．至少有两个内角是钝角【考点】2J：命题的否定．【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选D．【点评】本题考查命题的否定，命题中含有量词最多，书写否定是用的量词是至少，注意积累这一类量词的对应．5．给出下列命题：①对任意x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题．其中真命题只有（）A．①③ B．①② C．①②③D．②③【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用配方法，可判断①；根据对勾函数和对数函数的性质，可判断②；判断原命题的真假，进而根据互为逆否的命题真假性相同，可判断③．【解答】解：不等式x2+2x＞4x﹣3可化为：（x﹣1）2+2＞0，显然恒成立，故①正确；若log2x+log x2≥2，则log2x＞0，即x＞1，故②正确；“若a＞b＞0，则，又由c＜0，则＞”，即原命题为真命题，故他的逆否命题正确．即③正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，难度中档．6．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切 D．相离【考点】J9：直线与圆的位置关系；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【分析】把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判定发现d小于圆的半径r，又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心．【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x+1）2+（y﹣3）2=4，∴圆心坐标为（﹣1，3），半径r=2，把直线的参数方程化为普通方程得：y+1=3（x+1），即3x﹣y+2=0，∴圆心到直线的距离d==＜r=2，又圆心（﹣1，3）不在直线3x﹣y+2=0上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心．故选：B【点评】此题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线与圆的位置关系，其中直线与圆的位置关系为：（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）0≤d＜r，直线与圆相交；d=r，直线与圆相切；d＞r，直线与圆相离．7．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】EF：程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得：k=1，s=1，第1次执行循环体，s=1，不满足条件s＞15，第2次执行循环体，k=2，s=2，不满足条件s＞15，第3次执行循环体，k=3，s=6，不满足条件s＞15，第4次执行循环体，k=4；s=15，不满足条件s＞15，第5次执行循环体，k=5；s=31，满足条件s＞31，退出循环，此时k=5．故选：C．【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．8．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】83：等差数列；7F：基本不等式；87：等比数列．【分析】首先由等差数列和等比数列的性质可得a+b=x+y，cd=xy，然后利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，∴．当且仅当x=y时取“=”，故选D．【点评】本题在应用等差数列和等比数列的性质的同时，还用到了均值不等式，是一道综合性题目．二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9．在极坐标系中，定点A，点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是．【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．【分析】在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=0，化为x+y=0，线段AB最短，就是过A 与x+y=0垂直的直线，和它的交点．再换成极坐标．【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ=0，化为x+y=0，与x+y=0垂直过A的直线方程为：y﹣1=x，这两条直线的交点是．所以B的极坐标是．故答案为：．【点评】本题是极坐标和直角坐标方程，极坐标和直角坐标的互化，容易出错．10．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8] ．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．11．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为211.5 ．【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用公式求出，即可得回归直线方程=10.5x+，当x=20时，求解y即可．【解答】解：样本平均数=5， =54，回归直线方程为=10.5x+，∴=10.5，∴=54﹣10.5×5=1.5则回归直线方程为=10.5x+1.5，当x=20时，y=10.5×20+1.5=211.5．故答案为：211.5．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．12．给出下列等式：×=1﹣；；…由以上等式推出一个一般结论：对于n∈N*， = 1﹣．【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为×，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为，由此即可得到结论．【解答】解：由已知中的等式：×=1﹣；；…由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于n∈N*， =1﹣．故答案为： =1﹣．【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4．若p且q为假，p或q为真，求实数x的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别求出p，￢p以及￢q的范围，根据p，q的真假，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由lg（x2﹣2x﹣2）≥0，得x2﹣2x﹣2≥1，∴x≥3，或x≤﹣1．即p：x≥3，或x≤﹣1，∴非p：﹣1＜x＜3．又∵q：0＜x＜4，∴非q：x≥4，或x≤0，由p 且q 为假，p 或q 为真知p 、q 一真一假．当p 真q 假时，由，得x ≥4，或x ≤﹣1．当p 假q 真时，由，得0＜x ＜3．综上知，实数x 的取值范围是{x|x ≤﹣1，或0＜x ＜3，或x ≥4}．【点评】本题考查了对数函数以及复合命题的真假，考查分类讨论思想，是一道基础题．14．（12分）（2015•福建）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f （x ）=|x+a|+|x ﹣b|+c 的最小值为4．（1）求a+b+c 的值；（2）求a 2+b 2+c 2的最小值． 【考点】RB ：一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值； （2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f （x ）=|x+a|+|x ﹣b|+c ≥|（x+a ）﹣（x ﹣b ）|+c=|a+b|+c ， 当且仅当﹣a ≤x ≤b 时，等号成立， 又a ＞0，b ＞0，所以|a+b|=a+b ， 所以f （x ）的最小值为a+b+c ， 所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a 2+b 2+c 2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c ）2=16，即a 2+b 2+c 2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a 2+b 2+c 2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．15．（12分）（2017春•吉林期中）已知某圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，求：（1）圆的标准方程和参数方程；（2）在圆上所有的点（x，y）中x•y的最大值和最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，即ρ2﹣4×ρ（cosθ+sinθ）+6=0，利用互化公式可得直角坐标方程，再利用平方关系即可得出参数方程．（2）设圆上的点，则xy=4+2sinθ+2cosθ+2sinθcosθ，令sinθ+cosθ=sin=t∈，可得xy=4+2t+t2﹣1，即可得出．【解答】解：（1）ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，即ρ2﹣4×ρ（cosθ+sinθ）+6=0，可得x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，配方为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．可得参数方程：（θ为参数）．（2）设圆上的点，则xy=4+2sinθ+2cosθ+2sinθcosθ，令sinθ+cosθ=sin=t∈，则t2=1+2sinθcosθ，可得sinθcosθ=．则xy=4+2t+t2﹣1=+1∈[1，9]．∴xy的最大值最小值分别为1，9．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）16．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆【考点】J3：轨迹方程；A3：复数相等的充要条件．【分析】据得数的几何意义可直接得出|z﹣i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．【解答】解：|3+4i|=5满足条件|z﹣i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆．故应选C．【点评】考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．17．用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n=k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣1【考点】RG：数学归纳法．【分析】本题考查的数学归纳法的步骤，为了使用已知结论对42k+1+3k+2进行论证，在分解的过程中一定要分析出含42k﹣1+3k+1的情况．【解答】解：假设n=k时命题成立．即：42k﹣1+3k+1被13整除．当n=k+1时，42k+1+3k+2=16×42k﹣1+3×3k+1=16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1．故选：A．【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k 为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．18．设F1和F2是双曲线为参数）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是（）A．1 B．C．2 D．5【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】由双曲线为参数），消去参数θ可得：﹣y2=1．利用双曲线的定义与勾股定理即可得出．【解答】解：由双曲线为参数），消去参数θ可得：﹣y2=1．可得a=2，b=1，∴ =．设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，则，可得mn=2．∴△F1PF2的面积S==1．故选：A．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、双曲线的定义、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设c1，c2，…，c n是a1，a2，…，a n的某一排列（a1，a2，…，a n均为正数），则++…+的最小值是（）A．2n B．C．D．n【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用均值不等式即可得出．【解答】解：∵c1，c2，…，c n是a1，a2，…，a n的某一排列（a1，a2，…，a n均为正数），则++…+≥n=n，当且仅当=…=时取等号．故选：D．【点评】本题考查了均值不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．圆ρ=r与圆ρ=﹣2rsin（θ+）（r＞0）的公共弦所在直线的方程为ρ（sinθ+cosθ）=﹣r ．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】圆ρ=r，可得直角坐标方程：x2+y2=r2．圆ρ=﹣2rsin（θ+）（r＞0），即ρ2=﹣2ρrsin（θ+），可得直角坐标方程：x2+y2=﹣rx﹣ry．相减可得公共弦所在直线的方程．【解答】解：圆ρ=r，可得直角坐标方程：x2+y2=r2．圆ρ=﹣2rsin（θ+）（r＞0），即ρ2=﹣2ρrsin（θ+），可得直角坐标方程：x2+y2=﹣rx﹣ry．相减可得公共弦所在直线的方程： x+y+r=0．即ρ（sin θ+cos θ）=﹣r．故答案为：ρ（sin θ+cos θ）=﹣r．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、两圆的公共弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为 2 ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，令f（x）=2x+，可得：f（x）min=7，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，令f（x）=2x+，可得：f（x）min=7，则f′（x）=2﹣=，当且仅当x=a+1时，f（x）取得最小值，f（a+1）=2a+3=7，解得a=2．∴实数a的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）22．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知经过A（5，﹣3）且倾斜角的余弦值是﹣的直线，直线与圆x2+y2=25交于B、C两点．（1）请写出该直线的参数方程以及BC中点坐标；（2）求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出直线的斜率，可得直线方程，求出过圆心与直线4x+3y﹣11=0垂直的直线方程，两直线方程联立可得BC中点坐标；（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．【解答】解：（1）直线参数方程为（t为参数），代入圆的方程得t2﹣t+9=0，∴t M==，则x M=，y M=，中点坐标为M （，）．（2）设切线方程为：（t为参数），代入圆的方程得t2+（10cos α﹣6sin α）t+9=0．△=（10cos α﹣6sin α）2﹣36=0，整理得cos α（8cos α﹣15sin α）=0，cos α=0或tan α=．∴过A点切线方程为x=5，8x﹣15y﹣85=0．又t切=﹣=3sin α﹣5cos α，由cos α=0得t1=3，由8cos α﹣15sin α=0，解得：，可得t2=﹣3．将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为（5，0），（，﹣）．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，垂径定理，勾股定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．23．（14分）（2017春•台江区校级期中）（1）已知a ，b ，c ∈R ，且2a+2b+c=8，求（a ﹣1）2+（b+2）2+（c ﹣3）2的最小值．（2）请用数学归纳法证明：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（n ≥2，n∈N *）．【考点】RG ：数学归纳法；RA ：二维形式的柯西不等式． 【分析】（1）使用柯西不等式证明；（2）先验证n=2成立，假设n=k 成立，推导n=k+1成立即可． 【解答】解：（1）由柯西不等式得：（4+4+1）×[（a ﹣1）2+（b+2）2+（c ﹣3）2]≥[2（a ﹣1）+2（b+2）+c ﹣3]2， ∴9[（a ﹣1）2+（b+2）2+（c ﹣3）2]≥（2a+2b+c ﹣1）2．∵2a+2b+c=8，∴（a ﹣1）2+（b+2）2+（c ﹣3）2≥，∴（a ﹣1）2+（b+2）2+（c ﹣3）2的最小值是．（2）证明：①当n=2时，左边=1﹣=，右边==，所以等式成立．②假设当n=k （k ≥2，k ∈N +）时，等式成立，即 （1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）=（k ≥2，k ∈N +）．当n=k+1时，（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）（1﹣）=•==，∴当n=k+1时，等式成立． ∴对n ≥2，n ∈N +时，等式成立．【点评】本题考查了柯西不等式的应用，属于归纳法证明，属于中档题．。
福建省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷(十一)
福建省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（十一）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．二项式（2﹣）5的展开式中含项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣403．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数4．函数f（x）=的单调递减区间为（）A．（﹣1，1）B．（0，1]C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1]5．三段论：“①雅安人一定坚强不屈②雅安人是中国人③所有的中国人都坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是等于（）A．①②B．③①C．③②D．②③6．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的做法是（）A．10种B．20种C．30种D．60种7．曲线y=x3在点x=2处的切线方程是（）A．12x﹣y﹣16=0 B．12x+y﹣32=0 C．4x﹣y=0 D．4x+y﹣16=08．学校开设美术、舞蹈、计算机三门选修课，现有四名同学参与选课，且每人限选一门课程，那么不同的选课方法的种数是（）A．12 B．24 C．64 D．819．根据条件：a、b、c满足c＜b＜a，且a+b+c=0，有如下推理：（1）ac（a﹣c）＞0（2）c（b﹣a）＜0（3）cb2≤ab2（4）ab＞ac其中正确的是（）A．（1）（2）B．（3）（4）C．（1）（3）D．（2）（4）10．若（x+1）5=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a0=（）A．32 B．1 C．﹣1 D．﹣3211．利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1），n∈N*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）A．2k+1 B．C．D．12．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（）A．2 B．4 C．5 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．已知i是虚数单位，则i2014=．14．比较大小：（用“＞”或“＜”符号填空）．15．甲、乙、丙，丁四人站成一排照相，甲不站在最左端，且乙不站在最右端的不同站法有种．16．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A是右顶点，B是虚轴的上端点，F是左焦点，当BF⊥AB时，此类双曲线称为“黄金双曲线”，其离心率为e=，类比“黄金双曲线”，推算出“黄金椭圆”（如图）的离心率e=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知a为实数，复数z1=2﹣i，z2=a+i （i为虚数单位）．（1）若a=1，指出z1+在复平面内对应的点所在的象限；（2）若z1•z2为纯虚数，求a的值．18．已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求（Ⅰ）a0+a1+…+a7的值（Ⅱ）a0+a2+a4+a6及a1+a3+a5+a7的值；（Ⅲ）各项二项式系数和．19．已知函数f（x）=kx3﹣3x2+3（1）当k=0时，求函数f（x）的图象与直线y=x﹣1所围封闭图形的面积；（2）当k＞0时，求函数f（x）的单调区间．20．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测度，直至找到所有4件次品为止．（1）若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？21．已知正项数列{a n}中，S n是其前n项的和，且，n∈N+．（Ⅰ）计算出a1，a2，a3，然后猜想数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．22．已知函数f（x）=ln（ax+1）+﹣1（x≥0，a＞0）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若a=1且b＜0，函数，若对于∀x1∈（0，1），总存在x2∈（0，1）使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题1．解：===1+2i．故选C．2．解：二项式（2﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=•25﹣r•（﹣1）r•，令=﹣2，求得r=3，故展开式中含项的系数为•22•（﹣1）=﹣40，故选：D．3．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．4．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣=，令f′（x）＜0，即＜0，得0＜x＜1，∴函数f（x）=的单调递减区间为（0，1]，故选B．5．解：用三段论的形式写出的演绎推理是：大前提：③所有的中国人都坚强不屈”；小前提：②雅安人是中国人；结论：①雅安人一定坚强不屈；故“大前提”和“小前提”分别是等于③②故选：C6．解：根据题意，先确定编号与座位号相同的两人，有C52=10种情况，剩下的三人编号与座位号都不一致，第一个人有2种坐法，第二、三个人都有1种坐法，共有2×1×1=2种坐法，则一共有10×2=20种坐法；故选B．7．解：y′=3x2，即有y′|x=2=3×4=12，切点为（2，8），∴曲线y=x3在点（2，8）处的切线方程为y﹣8=12（x﹣2），即12x﹣y﹣16=0．故选A．8．解：四名同学参与选课，且每人限选一门课程，每人有4种选法，共有3×3×3×3=81种，故选：D．9．解：∵c＜b＜a，且a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，ac＜0，又a﹣c＞0，b﹣a＜0，∴ac（a﹣c）＜0，（1）错误；∵c＜0，b﹣a＜0，∴c（b﹣a）＞0，（2）错误；∵c＜a，b2≥0，∴cb2≤ab2，（3）正确；∵b＞c，a＞0，∴ab＞ac，（4）正确．∴推理正确的是（3）（4）．故选：B．10．解：因为（x+1）5=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，所以令x=1得a0=25=32故选A11．解：由题意，n=k 时，左边为（k+1）（k+2）…（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）…（k+1+k+1）；从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），故选C．12．解：∵x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，∴x∈（0，），函数单调减，x∈（，π），函数单调增，∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx 和y=f（x）草图象如下，由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为4个．故选：B．二、填空题13．解：i2014=i4×503+2=i2=﹣1，故答案为：﹣1．14．解：（）2﹣（）2=13+2﹣（13+4）=2﹣4=2﹣2=2（﹣）＞0，故（）2＞（）2，故＞，故答案为：＞15．解：甲、乙、丙，丁四人站成一排照相有=24种，其中甲站在最左端，乙站在最右端的有2=12种，甲站在最左端，且乙站在最右端的不同站法有=2种，利用间接法可得，甲不站在最左端，且乙不站在最右端的不同站法有24﹣12+2=14种．故答案为：14．16．解：由题意可得，FA2=FB2+BA2，即（a+c）2=a2+a2+b2，即（a+c）2=2a2+a2﹣c2，整理得，a2=c2+ac，两边同除以a2，得1=e2+e，解得e=，故答案为：．三、解答题17．解：（1）∵a=1，∴z1+=（2﹣i）+（1﹣i）=3﹣2i．∴z1+在复平面内对应的点为（3，﹣2），从而z1+在复平面内对应的点在第四象限；（2）z1•z2=（2﹣i）（a+i）=（2a+1）+（2﹣a）i．∵a∈R，z1•z2为纯虚数，∴2a+1=0，且2﹣a≠0，解得a=﹣．18．解：（Ⅰ）令x=1，则a0+a1+…+a7=﹣1，（Ⅱ）令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+…+a6﹣a7=2187，令x=0，则a0=1，于是a1+a2+a3+…+a7=﹣2，a1+a3+a5=﹣1094，；a0+a2+a4+a6=1093．（Ⅲ）各项二项式系数和C70+C71+…+C77=27=128．19．解：（1）当k=0时，函数f（x）=﹣3x2+3，由﹣3x2+3=x﹣1，得，所以所求封闭图形的面积s==（﹣x3x2+4x）=；（2）当k＞0时，f′（x）=3kx2﹣6x=3kx（x﹣），由f′（x）＞0，得，由f′（x）＜0得，∴f（x）的单调增区间为，单调减区间为．20．解：（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，第2次测到第一件次品有4种方法；第8次测到最后一件次品有3种方法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有种方法；剩余4次抽到的是正品，共有=86400种抽法．（2）检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4+种．由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为+4+4+=8520．21．解：（I）由于⇔当n=1时，，可得a1=1，当n=2时，，可得（a n＞0），当n=3时，，可得（a n＞0），猜想：（n∈N+）（II）证明：（1）当n=1时，已证．（2）假设n=k（k≥1）时，成立，则当n=k+1时，，即，∴．由（1）（2）可知对n∈N+，成立．22．解：（1）求导函数，可得∵若f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，∴2a﹣2=0，∴a=1；（2）∵（a＞0，x≥0）若a≥2，x≥0，则f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；若0＜a＜2，令f′（x）=0，可得或﹣（舍去）∴f（x）在上是减函数，在（，+∞）上是增函数；（3）a=1，由（2）得f（x）在（0，1）上是减函数，∴ln2＜f（x）＜1，即f（x）的值域A=（ln2，1），又g′（x）=b（x﹣1）（x+1）∵b＜0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，1）上单调递增∴g（x）的值域B=（0，﹣）∵∀x1∈（0，1），总存在x2∈（0，1）使得f（x1）=g（x2），∴A⊆B∴∴．。
2017-2018学年福建省福州市八县一中高二下学期期末联考试题 数学(文) 答案
2017—2018学年度第二学期八县（市）一中期末联考高中二年数学科（文科）参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分）二、填空题：（每题 5分，共20分）13、 12 14 、,2 15 、43- 16 、221(,)ee+-∞-三、解答题：（本大题共6小题70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）（评分说明：①对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分；②如果解题出现其他解法，请斟酌给相应的分数。
）17.解: （I）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，由于t=0不符合条件舍去，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p 为真命题时，．…（6分） (备注：未讨论t=0扣1分)（II）∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，16]，有解．又x∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q 真，有解得；当p真q 假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．……………12分18、解：（I）函数的导数f′（x）=-3x2+2ax+b，∵f'（x）满足f'（-1）=0，f'（2）=9，∴得a=3，b=9，…………………3分（II）由（I）得f（x）=-x3+3x2+9x+c，f′（x）=-3x2+6x+9=-3（x2-2x-3），由f′（x）＞0得-3（x2-2x-3）＞0得x2-2x-3＜0，得-1＜x＜3，此时函数单调递增，即递增区间为（-1，3），由f′（x）＜0得-3（x2-2x-3）＜0得x2-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，此时函数单调递减，即递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）；………………6分 所以当x =-1时，函数取得极小值f （-1）=1+3-9+c =c -5， f （-2）=8+12-18+c =2+c ，f （2）=-8+12+18+c =22+c ，则f （x ）在区间[-2，2]上的最大值为f （2）=22+c =20，则c =-2． ………………8分 （III ）由（I ）知当x =-1时，函数取得极小值f （-1）=1+3-9+c =c -5， 当x =3时，函数取得极大值f （3）=-27+27+27+c =27+c ， 若函数f （x ）的图象与x 轴有三个交点， 则得，得-27＜c ＜5，即c 的范围是（-27，5）． ………………12分19.解：（I ）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （II ）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+==， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．……12分20.解：（I ）由总成本p （x ）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；…………………6分 （也可以利用导数求解）（II ）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m （60﹣m ）=﹣160m 2+9600m ，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．…………12分21.解：（I）∵f′（x）=2e x+2a，当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，当a＜0时，当f′（x）＞0，即x＞ln（-a）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x＜ln（-a）时，函数单调递减，综上所述：当a≥0时，f（x）在R上单调递增，当a＜0时，f（x）在（-∞，-ln（-a））上单调递减，在（ln（-a），+∞）单调递增，………………6分（II）令g（x）=f（x）-x2+3=2e x-（x-a）2+3，x≥0，∴g′（x）=2（e x-x+a），再令h（x）=2（e x-x+a）,则,当时，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，且h（0）=2（a+1），当a≥-1时，g′（x）≥0，即函数g（x）在[0，+∞）单调递增，从而须满足g（0）=5-a2≥0，解得-≤a≤，又a≥-1，∴-1≤a≤，当a＜-1时，则∃x0＞0，使h（x0）=0，且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，g（x）min=g（x0）=-（x0-a）2+3≥0，又h（x0）=2（-x0-a）=0，从而=x0-a，即a=x0-，令M（x）=x-e x，0＜x≤ln3，∴M′（x）=1-e x＜0，∴M（x）在（0，ln3]上单调递减，则M（x）≥M（ln3）=ln3-3，又M（x）＜M（0）=1，∴ln3-3≤a＜-1，综上所述ln3-3≤a≤………………12分22、解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2-4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x+3y2=0，整理，得（x-2）2+4y2=4，∵直线l过点M（1，0），倾斜角为，∴直线l的参数方程为，即，（t是参数）．……….5分（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，∴曲线C′为：（x-2）2+y2=4，把直线l的参数方程，（t是参数）代入曲线C′：（x-2）2+y2=4，得：，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=-3，∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===．…………10分（备注：也可以用直线与圆的相交弦解决即用垂径定理求弦长）。
福建省福州市八县一中2017-2018学年高二下学期期末联考试题数学(理)Word版含答案
2017-2018学年第二学期八县（市）一中期末联考高中 二 年 数学（理） 科试卷考试时间：7月4日 完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．对于复数z ＝(1＋i )21－i ，若命题p ：“复数z 在复平面内对应的点位于第一象限”，命题q ：“设复数z 的共轭复数为z ，则z ＝－1－i ”，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨(┒q ) B ．p ∧q C ．(┒p )∧q D ．p ∧(┒q )2.甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种3．在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A ．1 500 B ．1 700 C ．4 500 D ．8 000()()2~,=0.6826,X N P X μσμσμσ-<≤+若，则()220.9544,P X μσμσ-<≤+=()330.9974.P X μσμσ-<≤+=4.设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相互独立，则方差()D X =（）A ．2 B ．1 C ．23D ．345.1033)1x x -（的展开式中系数为正数的有理项有( )A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项6．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击成绩比较稳定的运动员是( )A.甲 B ．乙 C ．一样D ． 无法比较7.已知直线1l ：x-2y-1=0，直线2l ：ax-by+1=0，其中a ，b ∈{1,2,3，4,5,6}则直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率为（ ）A ．1/6 B ．1/4 C ．1/3 D ．1/2 8.已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<12，则（ ）A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ D ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ9. 已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（ ）A. B. C. D. 10.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,44πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为( )A ．408 B ．480 C ．552D ．81612.已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标系原点）的斜率为k ，则（ ）A ．至少存在两个点P 使得1k =- B ．对于任意点P 都有0k < C ．对于任意点P 都有1k <D ．存在点P 使得1k ≥二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰好1个盒子放有2个连号小球的所有不同方法有 种．（用数字作答）14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的数学期望E (η)>74，则p 的取值范围是________．15．已知等式x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4＝(x ＋1)4＋b 1(x ＋1)3＋b 2(x ＋1)2＋b 3(x ＋1)＋b 4，定义映射f ：(a 1，a 2，a 3，a 4)→(b 1，b 2，b 3，b 4)，则f (4,3,2,1)＝____________.16.农历2月初2是中国春节期间最后一个节日，叫“2月2龙抬头”这一天河北农村有一风俗叫“吃燎斗”，就是吃自家炒的黄豆.设想炒熟黄豆后，把两粒生黄豆混入其中，平均分成三份，取其一份恰好含有生黄豆的概率是 ____________.三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？（3）学生的学习积极性与对待班极工作的态度是否有关系？请说明理由.附：18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据：（Ⅰ）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程；（Ⅱ）若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（Ⅰ）中的回归直线方程，判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？（Ⅲ）若从表中3、4月份分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：，.19.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. (1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.20．在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)．通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示：(I)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),198,N μμ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(37<Z ≤79)；(II)在(I)的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记ξ (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的分布列与数学期望． 14≈．()()2~,=0.6826,X N P X μσμσμσ-<≤+若，则()220.9544,P X μσμσ-<≤+=()330.9974.P X μσμσ-<≤+=21. 已知函数R a x xa x x x f ∈++=,ln 1)(2.（Ⅰ）若函数f(x)在x=1处的切线l 过原点，求a 的值及切线l 的方程；（Ⅱ）若a=2,且存在t ∈R 使得f(t)>k ，求整数k 的最大值.（参考数据：ln5-ln4=0.223）.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．2017-2018学年第二学期八县（市）一中期末联考高二数学(理科)参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 18 14. (0,1/2) 15. (0,-3,4,-1) 16. 5/9三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）1718.（Ⅰ）依题意，，，，∴关于的线性回归方程为：.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，.，故6月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.（Ⅲ）设3月份选取的4位驾驶的编号分别为：，，，，从4月份选取的2位驾驶员的编号分别为，，从这6人中任抽两人包含以下基本事件：，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，∴所求概率.19（Ⅰ）解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以，随机变量X 的分布列为1随机变量X 的数学期望()113012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）解：设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 20.解：（Ⅰ）,故，∴，．∴综上,．（Ⅱ）易知获赠话费的可能取值为，，，．；；．的分布列为：∴．21解：(Ⅰ) 因为，所以， 所以，，所以切线的斜率，即，所以，所以切线的斜率，由切线过原点得其方程为.(Ⅱ)当时，，，令，则是单调递减函数，因为，，所以在上存在，使得，即，所以当时，，时，， 即当时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值是.因为，所以，因为，所以，所以，所以若存在，使得，则，故整数的最大值为2.22解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.。
2017-2018学年福建省福州市八县(市)协作校高二(下)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年福建省福州市八县（市）协作校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）i是虚数单位，复平面内，复数对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4）为三角形的三个顶点，则△ABC为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形3．（5分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除4．（5分）由①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（）A．②①③B．③②①C．①②③D．③①②5．（5分）曲线y=4x﹣x3，在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4 B．y=x﹣4 C．y=7x+2 D．y=x﹣26．（5分）曲线y=x3﹣3x和y=x围成的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．97．（5分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|1+iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=ax2+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，则对于任意实数a，b（a+b≠0），的值（）A．恒为正B．恒等于0 C．恒为负D．不确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上）13．（5分）若复数z=，其中i是虚数单位，则||=．14．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是．15．（5分）请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a12+a22=1，那么a1+a2．证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2=2x2﹣2（a1+a2）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a1+a2）2﹣8≤0，所以a1+a2．根据上述证明方法，若n个正实数满足a12+a22+…+a n2=1时，你能得到的结论为．16．（5分）观察图中各正方形图案，各边上有n（n≥2）个点，第n个图中圆点的总数是S n．n=2，S2=4；n=3，S3=8；n=4，S4=12；…．按此规律，推出S n与n的关系式为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知a∈R，问复数z=（a2﹣2a+4）﹣（a2﹣2a+2）i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？18．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．19．（12分）（1）用分析法证明：设a，b，c为一个三角形的三边，S=（a+b+c），且S2=2ab，求证：S＜2a．（2）已知函数f（x）=a x+（a＞1），用反证法证明方程f（x）=0没有负根．20．（12分）是否存在常数a，b，使等式2+4+6+…+（2n）=an2+bn对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．（提示：可先令n=1，2求出a，b的值再证明）21．（12分）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S （单位：km2）．（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列{a n}满足：a1=1，a n+1=lna n+a n+2，n∈N*，求证：a n≤2n﹣1．。
福建省福州市八县(市)2017-2018学年高二下学期期中联考试题数学(理)word版附答案
2017-2018学年第二学期八县（市）一中期中联考高中 二 年 数学（理） 科试卷考试时间：4月25日 完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1、复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数” 正确的假设为( )A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 3．y ＝log a (2x 2－1)的导数是( )A.4x （2x 2－1）ln aB.4x 2x 2－1C.1（2x 2－1）ln aD.2x 2－1ln a4．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3C ．353D ．3235．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)7．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为( )A ． 1+n B ． n 2C ．222++n nD ． 12++n n8．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()12x f x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ． ()()()91411f f f -<<+B ． ()()()11491f f f +<<-C ． ()()()52411f f f +<<-D ． ()()()11452f f f -<<+9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”： 丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁10．已知()f x 是定义在0+∞（，）上的单调函数，且对任意的0x ∈+∞（，），都有()l ]n [1f f x x e -=+，则方程()f x f x e -'=（）的解所在的区间是（ ） A ．（0，12） B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3） 11．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切，设2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有（ ） A.最大值e B.最大值1e + C.最小值e - D.最小值e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、i 是虚数单位，若复数(3)()i m i -+ 是纯虚数，则实数m 的值为 . 14．220(3)10,x k dx k +==⎰则15．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 18. 已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n ＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试证明：b n ＝2n ＋11－2n.20．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
福州市八县(市)协作校2017—2018学年高二下学期期末联考数学(理)试题含答案
福州市八县(市)协作校2017-2018学年第二学期期末联考 高二理科 数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】命题 融城中学 林江平 林世平参考公式：()()()()()()d b c a d c b a bc ad d c b a K++++-+++=22独立性检验临界值表线性回归方程系数公式 ：1122211()()ˆ()i iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑ ˆa y bx =-.一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．复数(1)i z i +=( i 为虚数单位) ，则z =（ ）A.1122i - B ．1122i -+ C ． 1122i + D ．1122i -- 2．利用独立性检验考虑两个分变量和Y 是否有关系时，通过查阅临界值表确定推断“与Y 有关系”的可信度，如果＞7.879，那么就推断“和Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过（ ）A. 0.025B. 0.975C. 0.995D. 0.0053．已知随机变量ξ～B （n ，p ），且E （ξ）=2.4，D （ξ）=1.44，则n ，p 值为（ ）A. 8，0.3B. 6，0.4C. 12，0.2D. 5，0.64.从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有（ ） A. 12种 B ．19种 C ．32种 D ．60种5.已知函数y=f()的图像是下列四个图像之一,且其导函数'()y f x =的图像如右图所示,则该函数f()的图像是（ ）A. B. C. D.6. 有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（ ）A ．24B ．72C ．144D ．288 7．已知随机变量服从正态分布，且，则( )A. 2B.C.D.8.某次数学考试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四人谈论成绩情况．甲说：“我们四个人的分数都不一样，但我和乙的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和”，乙说：“丙、丁两人中一人分数比我高，一人分数比我低”，丙说：“我的分数不是最高的”，丁说：“我的分数不是最低的”，则四人中成绩最高的是（ ）A . 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁9．对具有线性相关关系的变量，y 有一组观测数据（i ，y i ）（ i=1，2，…，8），其回归直线方程是=+a 且1+2+…+8=6，y 1+y 2+…+y 8=3，则实数a 的值是（ ）A. B. C. D.10．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回地摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则()P B A 为( ) A. 110 B. 15C. 14D. 2511．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A. 150 B. 240 C. 360 D. 54012．函数()f x 的导函数()'f x ，对x R ∀∈，都有()()'f x f x >成立，若()ln22f =，则满足不等式()x f x e >的x 的范围是（ ）A. 1x >B. 01x <<C. 0ln2x <<D. ln2x >二．填空题（本大题共4小题，共20分，将答案填在题后的横线上．）13. 已知A 、B 是相互独立事件，且P(A)P(B)P(B A )＝_______.14.若复数()()20z a i a =+>在复平面内的对应点在虚轴上，则a =______.15．26(1)x y -+的展开式中，42x y 的系数为 ．16．已知集合A ＝{3m ＋2n|m ＞n 且m ，n ∈N}，若将集合A 中的数按从小到大排成数列{a n }，则有a 1＝31＋2×0＝3，a 2＝32＋2×0＝9， a 3＝32＋2×1＝11，a 4＝33＝27，…，依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第六行第五个数为 . 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。
福建省福州八县(市)一中高二下学期期中联
福建省福州八县（市）一中2018-2018学年高二下学期期中联考英语试卷第Ⅰ卷（共115分）第一部分听力（共两节20小题，每小题1.5分，满分30分）第一节 (共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is the man?A. Alawyer.B. A teacher.C. A doctor.2. What will the woman have to do?A. Return the tape to the man.B. Keep the tape for another week.C. Borrow a tape recorder tomorrow.3. What does the man mean?A. Judy is a good photographer.B. Judy is very poor in her lessons.C. Judy should focus on her study.4. What does the thief look like?A. Very tall, with long yellow hair.B. Quite short, with long black hair.C. Medium height, with a yellow T-shirt.5. Where does the conversation probably take place?A. In a meeting room.B. In a restaurant.C. In a library.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017-2018学年第二学期八县（市）一中期中联考高中二年数学（理）科试卷考试时间：4月25日 完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1、复数2(2)1i z i +=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数” 正确的假设为( )A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 3．y ＝log a (2x 2－1)的导数是()A.4x （2x 2－1）ln aB.4x 2x 2－1C.1（2x 2－1）ln aD.2x 2－1ln a4．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3C ．353 D ．3235．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)7．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为( )A ． 1+n B ． n 2C ．222++n n D ． 12++n n8．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()12x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ． ()()()91411f f f -<<+B ． ()()()11491f f f +<<-C ． ()()()52411f f f +<<-D ． ()()()11452f f f -<<+9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”： 丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁10．已知()f x 是定义在0+∞（，）上的单调函数，且对任意的0x ∈+∞（，），都有()l ]n [1f f x x e -=+，则方程()f x f x e -'=（）的解所在的区间是（ ）A ．（0，12）B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）11．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切，设2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有（ ） A.最大值e B.最大值1e + C.最小值e - D.最小值e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、i 是虚数单位，若复数(3)()i m i -+ 是纯虚数，则实数m 的值为. 14．220(3)10,x k dx k +==⎰则15．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．18. 已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n ＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试证明：b n ＝2n ＋11－2n.20．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
(I ）求a 的值(II ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
22、已知函数f （x ）=a x +x 2﹣xln a （a ＞0，a ≠1）． （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．2017-2018学年第一学期八县（市）一中期末联考高二数学(理科)参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13 -1/3 14、-2 15、(1/3) R(S 1+S 2+S 3+S 4) 16、0 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17【解析】()'111x f x x x-=-=．()1,x ∈+∞，()'0f x ∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增． 5分()()31ln30,42ln20f f =-<=->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =， 9分∴()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．10分 18试题解析：（Ⅰ）'21()af x x x =+ ∵曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线垂直于直线y x =， ∴'(1)11f a =+=-，∴2a =- 。
4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()ln f x x x =+，则'22122()x f x x x x-=-= 6分 令'()0f x =，解得2x =， 又()f x 的定义域为()0,+∞，当()0,2x ∈时，'()0f x < ∴()f x 在()0,2内为减函数，当()2,x ∈+∞时，'()0f x > ∴()f x 在()2,+∞内为增函数，故该函数的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为()0,2.9分 由上面得如下表格：由表格知函数()f x 在x =19证明：(1)当n ＝1时，a 1＝4，b 1＝1－4＝－3，b 1＝2×1＋11－2×1＝－3，等式成立．2分(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立， 即b k ＝2k ＋11－2k ， 4分那么当n ＝k ＋1时，有b k ＋1＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a k )(1－a k ＋1) ＝b k (1－a k ＋1)＝2k ＋11－2k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－42k ＋12＝2k ＋111－2k ＋1. 9分 所以n ＝k ＋1时，等式也成立．10分由(1)(2)可知，等式对任何正整数n 都成立．12分 20解：(1)由题设知f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x，所以g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1. 6分(2)由(1)知g (x )的最小值为1， 所以g (a )－g (x )<1a，对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a <1，得0<a <e ，所以实数a 的取值范围为(0，e)．12分21【答案】（I ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.2aa +==2分(II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+--所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<- 6分从而，2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=-- 于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点； 所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42。