平行四边形
平行四边形的概念
平行四边形的概念平行四边形（parallelogram），是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。
平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。
注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。
在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。
平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。
相比之下，只有一对平行边的四边形就是梯形。
平行四边形的三维对应就是平行六面体。
定义两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
1、平行四边形属于平面图形。
2、平行四边形属四边形。
3、平行四边形属于中心对称图形。
性质（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。
）矩形（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（详述为“平行四边形的两组对边分别成正比”[1] ）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（详述为“平行四边形的两组对角分别成正比”[1] ）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。
（详述为“平行四边形的邻角优势互补”）（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。
（简述为“平行线间的高距离处处相等”）（5）如果一个四边形就是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分”[1] ）（6）相连接任一四边形各边的中点税金图形就是平行四边形。
（推断）（7）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形。
）（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分为全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形就是中心对称图形。
矩形和菱形就是轴对称图形。
备注：正方形，矩形以及菱形也就是一种特定的平行四边形，三者具备平行四边形的性质。
（11）平行四边形abcd中e为ab的中点，则ac和de互相三等分，一般地，若e为ab上靠近a的n等分点，则ac和de互相(n+1)等分。
平行四边形的定义及性质
知识点讲解：一、平行四边形定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(如图)，记作“□ABCD ”。
平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成□ACBD ，也不能表示成□ADBC 。
二、平行四边形的性质平行四边形的定义及性质练个手先：在□ABCD 中，①若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝____；②若周长为54cm ，AB －BC ＝5cm ，则AB ＝____cm ；③若AC 平分∠DAB ，则对角线AC 与BD 的位置关系为____。
④若∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则ABCDS＝ ____。
⑤若E 为AD 上一点，且6ABE DCE S S ∆∆+=，则ABCDS＝ ____。
经典例题精讲【例1】⑴(2009东营)如图，在□ABCD中，已知AD＝8cm ，AB＝6cm ，DE平分∠ADC 交BC边于点E ，则BE等于cm。
⑵(2008—2009十一学校练习题)已知□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于O点，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，则AB的长度为cm。
⑶(2008—2009十一学校练习题) 已知三角形ABC，若存在点D使得以A，B，C，D的为顶点的四边形是平行四边形，则这样的点D有___个。
若已知△ABC的周长为3，则以所有D点围成的多边形周长为____。
【例2】⑴如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于E，F。
则图中的全等三角形共有____对。
⑵(2009—2010四中期中)如图，□ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )。
A．3 B．6 C．12 D．24⑶如图，□ABCD中，P是形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4 ，则一定成立的是( )。
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。
（4）平行四边形的对角线互相平分。
（5）平行四边形是中心对称图形。
4.平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。
）二、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。
2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。
（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。
4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。
（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）菱形的四条边都相等。
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
4.菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半四、正方形1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。
平行四边形的定义和性质
平行四边形的定义和性质定义平行四边形是一种四边形，其中四条边两两平行。
性质1. 对角线互相平分：- 平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点分割两条对角线成相等的线段。
- 证明：设平行四边形的对角线交点为O，连接OA、OC和OB、OD。
- 由于平行四边形的边互相平行，所以可以证明三角形OAB与三角形OCB相似，且三角形ODB与三角形ODA相似。
- 因此，可得OA/OC = OB/OD = AB/CD = AD/BC。
由此可知，对角线互相平分。
2. 相邻角互补：- 平行四边形的相邻内角互补，即相邻内角的和为180度。
- 证明：设平行四边形的内角为A、B、C、D，其中A和B是相邻角。
- 由于平行四边形的边互相平行，可证明角A与角C互补，角B与角D互补。
- 因此，角A + 角B = 180度，角C + 角D = 180度。
由此可知，相邻角互补。
3. 边长相等：- 平行四边形的对边长度相等，即相对的两条边长度相等。
- 证明：设平行四边形的对边长度为AB、CD和AD、BC。
- 由于平行四边形的边互相平行，所以可以证明三角形ABC与三角形CDA相似，且三角形ABD与三角形BCD相似。
- 因此，可得AB/CD = AD/BC。
由此可知，边长相等。
4. 所有内角和为360度：- 平行四边形的内角之和为360度。
- 证明：设平行四边形的内角为A、B、C、D。
- 由于平行四边形的相邻内角互补，可得角A + 角B + 角C +角D = 180度 + 180度 = 360度。
由此可知，所有内角和为360度。
以上是关于平行四边形的定义和性质的简要介绍。
平行四边形的认识与性质
平行四边形的认识与性质平行四边形是几何学中的重要概念之一，它具有特殊的性质和性质，本文将从认识平行四边形的定义和特征入手，介绍平行四边形的性质和应用。
一、平行四边形的定义和特征平行四边形是指四边形的对边两两平行的四边形。
根据这一定义，在平行四边形中，任意两个相邻的边都是平行的。
平行四边形的特征：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是两两平行的，即AB || CD，AD || BC。
2. 对角相等性质：平行四边形的对角线互相等长，即AC = BD。
3. 同位角等性质：平行四边形的同位角相等，即∠A = ∠C，∠B =∠D。
4. 邻位角补角性质：平行四边形的邻位角互为补角，即∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，∠C + ∠D = 180°，∠D + ∠A = 180°。
二、平行四边形的性质1. 边长性质：在平行四边形中，两对对边分别相等，即AB = CD，AD = BC。
2. 内角和性质：平行四边形的内角和为360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
3. 对角线性质：平行四边形的对角线互相等长，即AC = BD。
4. 对角线分割性质：平行四边形的对角线互相分割成两条相等的线段，即AD = BC，AC = BD。
5. 菱形特性：平行四边形是一种特殊的菱形，具有菱形的性质，如对边相等，对角线互相垂直等。
三、平行四边形的应用1. 设计与建筑：平行四边形在设计和建筑中有广泛的应用。
比如，在平面设计中使用平行四边形作为装饰图案；在建筑结构中使用平行四边形的性质来确定部分墙面的倾斜角度等。
2. 学习与教学：平行四边形是几何学的基础概念之一，它的应用贯穿于数学教育的各个阶段。
学习平行四边形的性质可以帮助学生培养形象思维和逻辑推理能力。
3. 工程与测量：在测量工程中，平行四边形的性质可以用来测量地面的倾斜度、绘制道路和建筑物的平面图等，具有很高的实用性和准确性。
平行四边形的概念
平行四边形的概念平行四边形是几何学中的一个基本概念，指的是具有两组平行边的四边形。
在本文中，我将详细介绍平行四边形的定义、性质以及相关定理。
一、定义平行四边形是指具有两组平行边的四边形。
其中，两对相对的边互相平行，并且两对相对的角相等。
根据这个定义，我们可以得出平行四边形的一些特点。
二、性质1. 对角线平行四边形的对角线互相平分，并且交点将对角线分成两条相等的线段。
这意味着平行四边形的对角线长度相等。
2. 边长平行四边形的相对边是平行的，因此相对边的长度相等。
如果一个平行四边形的两组对边长度分别为a、b和c、d，那么a=c，b=d。
3. 内角相对的内角是相等的，也就是说，平行四边形的内角和为360度。
4. 外角平行四边形的相对外角互补，也就是说，相对外角的和为180度。
5. 高度平行四边形的高度是指从底边到顶边的距离，对于一个平行四边形而言，底边与顶边之间的距离是相等的。
三、定理1. 平行四边形的三条特殊线段（中位线、高度、角平分线）互相平行，且等于底边的长度。
2. 平行四边形的对边平方和等于对角线平方和。
即：AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2。
3. 平行四边形的对边互补。
即：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
四、例题解析假设ABCD是一个平行四边形，AB = 6 cm，BC = 8 cm，对角线AC = 10 cm。
求该平行四边形的周长和面积。
解:根据定理2，我们可以列出方程：AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2。
代入已知条件：10^2 + BD^2 = 6^2 + 8^2 + CD^2 + DA^2。
化简得：BD^2 = 100 - 100 = 0，CD^2 + DA^2 = 36 + 64 = 100。
由此可知BD = 0，CD^2 + DA^2 = 100，即CD = DA = 10。
平行四边形专题详解
平行四边形专题详解18.1 平行四边形知识框架{基础知识点{ 平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的判定定理三角形中位线定理典型题型{利用平行线的性质求角度平行线间距离的运用平行四边形的证明难点题型{平行四边形间距离的应用平行四边形有关的计算平行四边形的有关证明一、基础知识点知识点1 平行四边形的定义1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。
平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD 表示为“▱ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。
平行线间距离处处相等。
例1.如图，AB ∥EG ，EF ∥BC ，AC ∥FG ，A ，B ，C 分别在EF ，EG 上，则图中有 个平行四边形，可分别记作 。
例2.如图，▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=DF 。
例3.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法错误的是（）A.AB=CDB.CE=FGC.直线a，b之间的距离是线段AB的长D.直线a，b之间的距离是线段CE的长知识点2 平行四边形的性质平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，有时还会涉及对称性。
如下图，四边形ABCD是平行四边形：1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
平行四边形的判定方法5个
平行四边形的判定方法5个平行四边形是一种特殊的四边形，其相邻两边互相平行。
在数学中，有多种方法可以判断一个四边形是否为平行四边形。
下面将介绍五种常见的判定方法。
方法一：利用对角线性质如果一个四边形的对角线互相垂直且平分彼此，那么这个四边形就是一个平行四边形。
假设四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直且平分彼此，那么我们可以得出AB∥CD和AD∥BC。
这个方法一般用于已知对角线情况。
方法二：利用四边形相对角性质如果一个四边形的相对角相等，那么这个四边形就是一个平行四边形。
假设四边形ABCD的∠A=∠C且∠B=∠D，那么我们可以得出AB∥CD和AD∥BC。
这个方法一般用于已知内角情况。
方法三：利用同位角性质如果两条平行线被一组直线所截，那么这两条平行线的同位角相等。
假设直线l和m分别平行于直线n，且l和m被直线n所截，那么我们可以得出l∥m。
这个方法可以用于平行线的判定。
方法四：利用向量性质如果四边形的对应边向量平行，那么这个四边形就是一个平行四边形。
假设四边形ABCD的向量→AB和向量→CD平行，那么我们可以得出AB∥CD。
这个方法可以用于已知向量情况。
方法五：利用线段比值如果一个四边形两组对应边的线段比值相等，那么这个四边形就是一个平行四边形。
假设四边形ABCD中，AB/CD=AD/BC，那么我们可以得出AB∥CD。
这个方法可以用于已知边长比值情况。
需要注意的是，以上方法都是单程性质，即如果一个四边形满足了这些条件，那么它是一个平行四边形；但是如果一个四边形是平行四边形，未必满足以上所有条件。
所以在进行判断时，需要综合多个条件来得出结论。
平行四边形具有许多重要的性质和特点，如对角线平分每个其他对角线、对角线长度相等等。
平行四边形在几何学中有广泛的应用，在计算几何和平面几何中经常出现。
因此，准确判断一个四边形是否为平行四边形对于我们理解和应用相应的几何知识至关重要。
平面几何中的平行四边形性质
平面几何中的平行四边形性质平行四边形是平面几何中的一类特殊四边形，具有独特的性质和特点。
在本文中，将探讨平行四边形的定义、性质以及相关定理，并进一步了解其应用。
一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对相对平行边的四边形。
这意味着四边形的对边永远平行且相等。
平行四边形也可以看作是两个相等的三角形相接而成的图形。
二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边相等且平行。
具体而言，相对的两条边分别平行，而且长度相等。
这是平行四边形最基本的性质之一。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
也就是说，平行四边形的两条对角线相交于一个共同的中点，并且互相平分对角线。
3. 等角性质：平行四边形的邻边之间夹角相等。
这意味着相邻两条边之间的夹角大小相等。
4. 对顶角性质：平行四边形的对顶角互补。
也就是说，平行四边形的对顶角之和等于180度。
5. 对任一角而言，它的邻角、对角之和都是180度。
三、平行四边形的相关定理1. 若一条线段同时与两条平行线相交，则它所形成的四条线段依次排列为平行四边形。
2. 任取平行四边形一边的中点，连接相邻两个顶点，所形成的线段为对角线，并且这两条对角线互相平分。
3. 若两条对角线相等，则这个四边形是平行四边形。
4. 若平行四边形的一组对边相等且平行，则这个四边形是矩形。
5. 若平行四边形的一组对边相等，则这个四边形是菱形。
6. 平行四边形的内角和等于360度。
四、平行四边形的应用平行四边形的性质和定理在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 工程设计：在建筑和工程设计中，平行四边形的性质可用于布置地砖、墙面设计以及工程构造等方面。
2. 计算几何：在计算几何中，平行四边形的特性可用于计算图形的面积、周长，以及解决各种与平行四边形相关的计算问题。
3. 证明几何定理：平行四边形的性质可用于证明其他几何定理，如平行线性质、等腰三角形性质等。
4. 数学推理和证明：通过研究平行四边形的特性，可以培养数学推理和证明的能力，提高逻辑思维和抽象问题解决能力。
平行四边形及其性质详解
平行四边形的定 义：两组对角分 别相等的四边形
判定方法：通过 测量对角线长度， 判断两组对角是 否相等
应用：在几何证 明、图形识别等 领域有广泛应用
注意事项：测量 误差可能导致判 断不准确，需要 多次测量确认
平行四边形的面积
04
和周长计算
面积计算公式
平行四边形的面积可以通过底和高 的乘积来计算 底和高的长度可以通过测量得到
矩形的性质
对边平行且相等
对角线互相平分且相等
内角均为直角
面积等于长乘宽
等腰梯形的性质
性质一：等腰梯形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质 性质二：等腰梯形具有两个对角线相等的性质 性质三：等腰梯形的面积可以通过对角线乘积的一半来计算 性质四：等腰梯形的周长可以通过对角线之和来计算
平行四边形的实际
面积计算公式为：面积 = 底 x 高
平行四边形的周长可以通过四条边 的长度之和来计算
周长计算公式为：周长 = 4 x 边长
周长计算公式
平行四边形的周长等于相邻两边之和的2倍 平行四边形的周长等于对角线之和的一半 平行四边形的周长等于任意一边的2倍加上任意一边的2倍 平行四边形的周长等于任意一边的2倍加上对角线之和的一半
平行四边形的 判定方法：一 组对边平行且
相等
平行四边形的 性质：两组对 边分别平行且
相等
平行四边形的 判定方法：一 组对边平行且 相等，另一组 对边也平行且
相等
两组对边分别平行
平行四边形的定 义：两组对边分 别平行的四边形
平行四边形的判 定方法：两组对 边分别平行的四 边形是平行四边 形
平行四边形的性 质：两组对边分 别平行的四边形 具有平行四边形 的性质
平行四边形的定义解释
平行四边形的定义解释
平行四边形是一个四边形，其两对相对边是平行的。
换句话说，如果一个四边形的对边是平行的，那么它就是一个平行四边形。
从几何学的角度来看，平行四边形是一个特殊的四边形，其相
对的两条边是平行的。
这意味着这两条边永远不会相交，并且在同
一平面内延伸。
平行四边形具有一些特性，例如它的对边长度相等，对角线相
等且互相平分，相邻角互补等于180度。
此外，平行四边形的对角
线互相平分，且对角线的平方和等于两条对边的平方和。
在实际生活中，平行四边形的形状常常出现在建筑物、家具、
工程设计等领域。
人们利用平行四边形的性质来设计和制造各种物品，因为它具有稳定性和美学上的吸引力。
总的来说，平行四边形是一个重要的几何形状，具有许多独特
的性质和应用。
通过了解和理解平行四边形的定义和特性，我们可
以更好地应用它们在实际生活和工作中。
平行四边形的计算公式
平行四边形的计算公式
1、平行四边形的面积公式：底×高
2、平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值。
3、平行四边形周长：四边之和。
周长c=2(a+b)。
平行四边形是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，一般用图形名称加四个顶点依次命名。
平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且其相反的角度是相等的，只有一对平行边的四边形是梯形，其三维对应是平行六面体。
该图形的特点是对边平行且相等、容易变形
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
平行四边形属于平面图形。
平行四边形属于四边形。
平行四边形属于中心对称图形。
平行四边形的性质：
1、平行四边形的两组对边分别相等。
2、平行四边形的两组对角分别相等。
3、平行四边形的邻角互补。
4、平行线间的高距离处处相等。
5、平行四边形的对角线互相平分。
1。
平行四边形的性质
平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特而有趣的性质。
在本文中，我们将探讨平行四边形的定义及其相关性质，以及一些与平行四边形有关的定理和应用。
一、平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边两两平行。
具体而言，设四边形ABCD的对边AB和CD平行，对边BC和AD平行，则该四边形是平行四边形。
二、平行四边形的基本性质1. 对角线互相平分平行四边形的两条对角线互相平分，即对角线AC平分对角线BD，对角线BD平分对角线AC。
2. 内角和为180度平行四边形的内角和为180度。
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°。
3. 对边相等平行四边形的对边相等，即AB = CD，BC = AD。
4. 同位角相等平行四边形的同位角相等。
同位角是指位于平行四边形两对平行边之间的角。
即∠A = ∠C，∠B = ∠D。
5. 对角线比例平行四边形的对角线呈比例关系。
即AC/BD = AD/BC。
6. 对角线垂直平分平行四边形的对角线互相垂直平分。
即对角线AC与BD垂直且互相平分，对角线BD与AC垂直且互相平分。
三、平行四边形的定理及应用1. 均分线定理对于平行四边形ABCD，连接对角线AC和BD的交点E，线段AE 和CE的中点分别为F和G，则FG是平行四边形ABCD的对边之一，并且FG = 1/2(AB + CD)。
2. 邻位角定理平行四边形ABCD的邻位角互补，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠C = 180°。
3. 对角线分割定理平行四边形的对角线将其分割成两个相等面积的三角形。
4. 平行四边形面积公式设平行四边形ABCD的底为h，对角线AC为d，则平行四边形的面积可以表示为S = h * d。
5. 平行四边形的应用平行四边形的性质在几何学和实际应用中有广泛的应用。
例如，在房屋建筑中，墙壁和天花板常常是平行的，以保证建筑结构的稳定性。
同样，在地图制作中，平行四边形的理论可以用于处理地图上的平行道路、河流和边界线。
平行四边形判定条件
平行四边形判定条件
判定平行四边形的条件有：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。
平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。
注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。
在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。
平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。
平行四边形的性质
又 A B B C C A D 3 D 6
A D B C 1(m 0) 答：其它三边的长为 分10别m,8m,10m.
例2.已知： ABCD中，∠A=100°， 求其他各角的度数．
A
D
B
C
3、已知一个平行四边形的两个内角之比 为1︰2,你能求出平行四边形每个内角的度 数吗?
D
C
A
A
E
D
3 4
O
B
F 7
C
练一练
第十九章 四边形
: □ ABCD的对角线AC、BD相交于点
O，AC =16㎝，BD =12㎝，BC =10㎝，
则□ABCD 的周长是__4_0c_m___，
□ ABCD的面积是___9_6_c_m____。
D
C
6
10
O
10
8
A
B
练一练
第十九章 四边形
3、在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
B
21
3 4
C
证明：连接AC
在 ABC和 CDA中
∵四边形ABCD是
∠4=∠1
∴ AD ∥BC， AB ∥CD
AC=CA
则 ∠2=∠3 ，∠4=∠1 ∴∠2+∠1=∠3 +∠4 即 ∠BAD= ∠BCD
∠2=∠3 ABC≌ CDA（ASA）
∴ AB=CD、BC=AD
∠B=∠D
平行四边形的性质
①平行四边形的两组对边分别平行且相等； 几何语言：
（3）由（2），你得出什么结论？
A
D
o
B
C
第十九章 四边形
平行四边形的性质
③平行四边形的对角线相互平分。
空间几何中的平行四边形
空间几何中的平行四边形在空间几何中，平行四边形是一种特殊的四边形，其具有一些独特的性质和特点。
平行四边形是指拥有两对相对平行的边的四边形。
在本文中，我们将探讨平行四边形的定义、性质以及其在几何学中的应用。
一、定义平行四边形是一种四边形，它的两对相对边分别平行。
具体而言，如果一个四边形的两对相对边都是平行的，则该四边形就是平行四边形。
二、性质1. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
也就是说，对于平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，那么点O将AC和BD两条对角线平分。
2. 边性质：平行四边形的对边长度相等。
也就是说，对于平行四边形ABCD，AB与CD的长度相等，AD与BC的长度相等。
3. 角性质：平行四边形的相对角相等。
也就是说，对于平行四边形ABCD，∠A等于∠C，∠B等于∠D。
三、面积计算计算平行四边形的面积可以利用其底边长度和高来进行。
设平行四边形的底边长度为b，高为h，则其面积可以用公式S = b * h来计算。
四、应用案例平行四边形在几何学中有着广泛的应用。
以下是平行四边形的一些具体应用案例：1. 建筑设计：平行四边形的性质使得它在建筑设计中得到广泛应用。
例如，在设计某些建筑物的门窗时，可以利用平行四边形的性质来确保门窗框的平整和稳定。
2. 统计学：平行四边形的面积计算方法可以应用于某些统计学中的计算问题。
例如，在研究某个区域内的土地利用时，可以利用平行四边形的面积计算方法来计算不同类型土地的面积比例。
3. 电子工程：在电子工程中，平行四边形的性质可以应用于电路板的设计和焊接。
利用平行四边形的性质，可以确保电路板的线路连接平行且稳定。
综上所述，在空间几何中，平行四边形是一种具有特殊性质和应用的四边形。
通过对平行四边形的定义和性质的研究，我们可以更好地理解和应用几何学知识。
在实际生活和工作中，平行四边形的应用也十分广泛，涉及到建筑设计、统计学、电子工程等领域。
因此，对平行四边形的深入理解和应用能够帮助我们更好地解决实际问题。
什么的四边形叫做平行四边形
什么的四边形叫做平行四边形解释：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。
平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。
注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。
由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形，由凸四边形和凹四边形组成。
顺次连接任意四边形上的中点所得四边形叫中点四边形，中点四边形都是平行四边形。
菱形的中点四边形是矩形，矩形中点四边形是菱形，等腰梯形的中点四边形是菱形，正方形中点四边形就是正方形。
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《平行四边形》教案一、教学目标1．以边“玩”边学的方式，通过运用图形的变换，探索平行四边形的定义和性质。
能利用平行四边形概念和性质进行简单的推理和计算。
2．经历探索平行四边形性质的过程，发展学生的思维水平和良好的思维品质，提高学生有条理的表达能力。
3．通过拼图，发展学生的动手能力、探索能力、合情推理能力，培养合作交流的习惯。
体验数学与生活的联系，激发学生学习的兴趣。
二、教学重点平行四边形的定义和性质三、教学难点探索和掌握平行四边形的性质四、教学过程（一）情境创设（二）探索活动活动一：探索平行四边形的概念（1）拼四边形. （2）给出平行四边形的定义.（3）①请你举出生活中具有平行四边形形象的例子. ②欣赏图片.（4）练议：辨析平行四边形.活动二：探索平行四边形的对称性（1）操作：旋转平行四边形中的一个三角形使其与另一个三角形重合.（2）结论：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.活动三：探究平行四边形的性质（1）运用平行四边形的中心对称性研究平行四边形的性质.（2）运用平行四边形的定义研究平行四边形的性质.（3）练议：①下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）(A)对角相等 (B)邻角互补 (C )对角互补 (D)对角线互相平分②在□ABCD中，若AB=8，周长等于36，则与DC= ，BC= .AB CDDCBAOA 'B 'C 'CBA③如图，在□ABCD 中，若∠B =50°， 则∠A = °，∠D = °． 活动四：平行四边形的定义与性质的应用⑴请同桌的两个同学合作，用四张三角形纸片拼出一个大三角形. ⑵课件展示拼大三角形的过程. ⑶例题研究：如图，已知AB ∥''A B ，BC ∥''B C ，CA ∥''C A 图中有几个平行四边形？ 将它们表示出来，并说明理由. 讨论：①△ABC 的三个角与△'''A B C 的三个角之间有怎样的数量关系？为什么？②点A 、B 、C 分别为△'''A B C 各边中点吗？为什么？ （三）巩固练习如图，□ABC D 的对角线相交于点O ， BC =7cm,BD =10cm AC =6cm,求△AOD 的周长. （四）课堂小结 （五）作业布置1、必做题：课本P 90页 第 1、2题.2、选做题：如图，在△ABC 中，AB =AC ， 点P 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且PE ∥AC ，PF ∥AB ，PE+PF 与AB 相等吗？为什么？【设计意图】平行四边形是我们常见的一种基本图形,它也是矩形、菱形、正方形的基础，同时它与梯形又有所区别.本节课是在学生学了平移、翻折、旋转的基础上进行的，所以本节课采用边“玩”边学的方式，对图形进行变换，让学生通过操作——观察——探索——交流——归纳——有条理地表达等途径，获得平行四边形的定义和性质.让学生通过经历知识的形成与应用过程，更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力.本节课无论是课题的引入，还是定义的形成；无论是性质的发现，还是例题的讲解，都是在“玩”中实现，在“玩”中升华，自始至终都贯穿着在“玩”中学，在学中“玩”的理念.FEPCBA平行四边形的判定一、学习目标1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 1、 重点：平行四边形的判定方法及应用．2、 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．三、导学过程：阅读教材P86—87, 完成下列问题 （一）课前预习 活动1：知识准备1.平行四边形的概念：2.平行四边形的性质： 边： 角： 线： 形：3.思考：对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？活动2：探究如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转到这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？BCADOBCAD如图，将两根细木条AC 、BD 的中的重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD ，转到两根木条，四边形ABCD 一直是一个平行四边形吗？从探究中得到： 平行四边形判定方法1：（ ） 平行四边形判定方法2：（ ） 判定1： 已知：AB=CD, AD=BC求证：四边形ABCD 是平行四边形（提示：利用三角形的全等，根据平行四边形的定义证明）证明：判定2： 已知：OA=OC, OB=求证：四边形ABCD 是平行四边形 证明：判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 已知：∠A= , ∠B= 求证：四边形ABCD 是平行四边形 证明：BCDB CDBCD概括：判定1 表达式判定2 表达式 判定3 表达式 （二）课堂活动 活动3：预习反馈活动4：例习题分析例1已知：如图ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， E 、F 是AC 上的两点，并且AE=CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形．分析：欲证四边形BFDE 是平行四边形可以根据判定方法2来证明． 证明：*变式1：若E 、F 移至OA 、OC 的延长线上，且AE =CF ，结论有改变吗？为什么？*变式2：如图, ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， 且E 、F 、G 、H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形．HF GEOAOABCDFEA ED B FC2、如图，,,AB DC EF AD BC DE CF ====，图中有哪些互相平行的线段？（三）课后巩固1、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）．（A ）对角线互相垂直 （B ）对角线相等（C ）对角线互相垂直且相等 （D ）对角线互相平分 2、如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，（1）若AD=8cm ，AB=4cm ，那么当BC=___ _cm ，CD=___ _cm 时，四边形ABCD 为平行四边形；（2）若AC=10cm ，BD=8cm ，那么当AO=__ _cm ，DO=__ _cm 时，四边形ABCD 为平行四边形．3、 已知：如图，A ′B ′∥BA ，B ′C ′∥CB ， C ′A ′∥AC ．求证：(1) ∠ABC ＝∠B ′，∠CAB ＝∠A ′，∠BCA ＝∠C ′；(2) △ABC 的顶点分别是△B ′C ′A ′各边的中点．4、小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．5、如图，已知在ABCD 中， AE 、CF 分别是DAB ∠、BCD ∠的角平分线，试说明四边形AFCE 是平行四边形．CA F DBE平行四边形的判定（二）一、学习目标1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用平行四边形的性质、判定方法和三角形中位线性质进行有关的证明和计算．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点重点：平行四边形判定方法及其应用；握和运用三角形中位线的性质．难点：平行四边形的判定定理应用；角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、预习内容阅读教材第88至90页，并完成预习内容1.准备知识平行四边形的性质：平行四边形的判定方法：2.探究：取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？（即“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？）已知：求证：证明：你有几种证明方法？平行四边形判定定理：__________________________________________________ 3.三角形的中位线例1 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC．定义：连接三角形___________的______叫做三角形的中位线。
思考：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？三角形中位线定理：_______________________________________________________________ 4.两条平行线间的距离：两条平行线间__________的______叫做两条平行线间的距离。
如图，a 、b 是两条平行线。
从直线a 上的任意一点A 向直线b 作垂线l,垂足为点B,得到线段AB 。
按同样的作法，作出线段CD 。
线段AB 与CD 有怎样的关系？思考：1.两条平行线间的距离与点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？2.如何理解几何中“距离”的概念？结论：两条平行线间的距离_______________A CB Dlab【课堂活动】活动1 预习反馈、概念明确、定理证明 活动2 定理应用1.如图，在ABCD 的一组对边AD 、BC 上截取EF=MN ，连接EM ，FN 。
EM 和MN有什么关系？为什么？2.如图，点D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点，以这些点为顶点的平行四边形有多少个？写出它们的名称。
3.已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．4.如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，怎样测出A 、B 两点的实际距离？根据是什么？MNE FDCBAAB【课后巩固】1．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．4.已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DFFB C⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．ADE5．判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( )(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( )(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( )(5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( )(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( )6.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°,BE平分∠ABC且交AD与点E,DF//BE且交BC与点F。