人教A版高中数学必修第二册：立体图形的直观图 应用案巩固提升含解析
人教版高中数学必修第二册8.2 立体图形的直观图 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册8.2立体图形的直观图同步精练【考点梳理】考点一水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤考点二空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是z ′轴.(2)画底面：平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.【题型归纳】题型一：斜二测画法辨析1．（2021·广东·仲元中学高一期中）如图所示，A B C '''V 是ABC 的直观图，其中A C A B ''''=，那么ABC 是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形2．（2021·安徽合肥·高一期末）以下说法正确的有个（）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形A．1B．2C．3D．43．（2021·山西临汾·高一期末）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是菱形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（）A．①②B．②③C．①②③D．②④题型二：平面图形的直观图的画法A B C的直观图，4．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形111则正确的图形是（）A．B．C ．D ．5．（2021·浙江·高一单元测试）下面每个选项的2个边长为1的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是（）A ．B ．C ．D ．6．（2022·全国·高一）如图，已知点()1,1A -，()1,3B ，()3,1C ,用斜二测画法作出该水平放置的四边形ABCO 的直观图，并求出面积.题型三：空间几何体的直观图7．（2021·全国·高一课时练习）用斜二测画法画棱长为2cm 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图．8．（2022·湖南·高一课时练习）画出下列图形的直观图：(1)棱长为4cm 的正方体；(2)底面半径为2cm ，高为4cm 的圆锥．9．（2022·湖南·高一课时练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm ）．题型四：直观图的还原与计算10．（2021·全国·高一课时练习）如图，A B C '''是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D '是B C ''的中点，且//A D y '''轴，//B C x '''轴，2A D ''=，2B C ''=，那么（）A ．AD 的长度大于AC 的长度B ．BC 的长度等于AD 的长度C ．ABC 的面积为1D ．A B C '''的面积为211．（2020·全国·高一课时练习）如图，菱形ABCD 的一边长为2，45A ∠=︒，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积.12．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,梯形1111D C B A 是平面图形ABCD 的直观图.若11//A D O y '',1111//A B C D ,1111223A B C D ==,1111A D O D '==.如何利用斜二测画法的规则画出原四边形?【双基达标】一、单选题13．（2021·全国·高一课时练习）长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A ．①②B ．①②③C ．②⑤D ．③④⑤14．（2021·陕西师大附中高一阶段练习）对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（）A ．原来平行的边仍然平行B ．原来垂直的边仍然垂直C ．原来是三角形仍然是三角形D ．原来是平行四边形的可能是矩形15．（2021·全国·高一课时练习）如图所示是水平放置的三角形的直观图，D '是A B C '''V 中B C ''边的中点，且A D ''平行于y '轴，那么,,A B A D A C ''''''三条线段对应原图形中的线段,,AB AD AC 中（）A ．最长的是AB ，最短的是ACB ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC16．（2021·全国·高一课时练习）已知一个△ABC 利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中B ′O ′=2，O ′C ′=5，O ′A ′=3，则原△ABC 的面积为（）A ．21B ．212C ．2122D ．212417．（2021·全国·高一课时练习）若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//A C O B ''''，A C B C ''''⊥，1A C ''=，2B C ''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为（）A ．12B ．6C ．32D ．32218．（2021·全国·高一课时练习）一个菱形的边长为4cm ，一个内角为60︒，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（）.A ．283cm B ．243cm C ．226cm D ．26cm 【高分突破】一：单选题19．（2021·北京顺义·高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.其中，正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④20．（2021·湖南长沙·高一期末）水平放置的ABC 的直观图如图，其中B 'O '=C 'O '=1，A 'O '=32，那么原△ABC 是一个（）三角形．A ．等边B ．三边互不相等的C ．三边中只有两边相等的等腰D ．直角21．（2021·安徽省涡阳第一中学高一阶段练习）如图，A B C '''V 是水平放置的ABC 的直观图，其中A B ''，A C ''所在直线分别与x '轴，y '轴平行，且A B A C =''''，那么ABC 是（）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形22．（2021·浙江温州·高一期中）如图所示，正方形''''O A B C 的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．16cmB ．82cmC ．8cmD ．443+cm23．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中5O A ''=，2O C ''=，30A O C '''∠=︒，则原图形的面积是（）A ．4B ．42C ．102D ．624．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，22A D B C ''''==，1A B ''=，则平面图形ABCD 的面积为（）A ．32B ．2C ．22D ．325．（2021·广东东莞·高一期末）如图是水平放置的△ABO 的斜二测直观图△A B O '''，D ¢是O B ''的中点，则△ABO 中长度最长的线段为（）A ．OAB ．OBC ．AD D ．AB26．（2021·山东聊城·高一期末）如图，A B C '''V 是ABC 用斜二测画法画出的直观图，则ABC 的周长为（）A ．12B ．()225+C ．()412+D ．()2225++二、多选题27．（2021·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（）A ．三角形的直观图是三角形B ．正方形的直观图是正方形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形28．（2021·浙江丽水·高一期中）如图，'''A B C 表示水平放置的ABC 根据斜二测画法得到的直观图，''A B 在'x 轴上，''B C 与'x 轴垂直，且''2B C =，则下列说法正确的是（）A ．ABC 的边AB 上的高为2B ．ABC 的边AB 上的高为4C ．AC BC >D ．AC BC<29．（2021·全国·高一课时练习）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（）A ．B ．C ．D ．30．（2021·浙江·高一期末）如图，A B C '''是水平放置的ABC 的直观图，2,5A B A C B C ''=''=''=，则在原平面图形ABC 中，有（）A ．AC BC=B ．2AB =C ．25AC =D ．42ABC S =△三、填空题31．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为______.32．（2022·陕西西安·高一阶段练习）如图，矩形O A B C ''''是平面图形OABC 斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8，则平面图形OABC 的面积为___________.33．（2021·全国·高一课时练习）如图，△A'O'B'表示水平放置的△AOB 的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB 的边OB 上的高为____34．（2021·全国·高一）如图，四边形ABCD 是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，//AB CD ，AD CD ⊥，且BC 与y 轴平行，若6AB =，4CD =，22BC =，则原平面图形的实际面积是________.35．（2021·浙江温州·高一期末）如图，已知梯形''''A B C D 是水平放置的四边形ABCD 斜二测画法的直观图，梯形''''A B C D 的面积为3，'''45D A B ∠=︒，则原四边形ABCD 的面积为__________.四、解答题36．（2022·湖南·高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：(1)边长为3cm 的正三角形；(2)边长为4cm 的正方形；(3)边长为2cm 的正八边形．37．（2022·全国·高一）用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.38．（2021·全国·高一课时练习）如图，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6,3,//O A O C B C x =='''''''轴，求原平面图形的面积．39．（2022·全国·高一）如图所示，梯形1111D C B A 是一平面图形ABCD 的直观图．若11A D O x ''⊥，1111//A B C D ，1111223A B C D ==，1111A D O D '==．试画出原四边形．40．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD 是一个梯形，//,1CD AB CD AO ==，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点（1）画出梯形ABCD 水平放置的直观图（2）求这个直观图的面积.【答案详解】1．B【详解】根据题意，,2AB AC AC AB ⊥=，所以ABC 是直角三角形.故选：B.2．B【详解】由斜二测画法可得：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是平行四边形，④菱形的直观图是平行四边形，综上可得，说法正确的是①②.故选：B.3．A【详解】对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，①正确；对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，②正确；对于③，由平行于一轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半知，正方形的直观图不是菱形，③错误；对于④，因为45x O y '''∠=︒，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能为菱形，④错误.故选：A4．A【解析】【分析】由斜二侧画法的规则分析判断即可【详解】先作出一个正三角形111A B C ，然后以11B C 所在直线为x 轴，以11B C 边上的高所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，画对应的'',x y 轴，使夹角为45 ，画直观图时与x 轴平行的直线的线段长度保持不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A5．C【解析】【分析】根据两个三角形在斜二测画法下所得的直观图，底边与底边上的高是否改变，判断即可．【详解】对于A 、B 、D 选项，两个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB 不变，底边上的高变为原来的12，如图：选项A ：选项B：选项D：所以两个图形的直观图全等；对于C中，第一个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，底边上的高变为原来的12，第二个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB变为原来的12，底边上的高OC不变，如图：所以这两个图形的直观图不全等．故选：C．6．图见解析，322【解析】【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算.【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，21A O '=，21O B '=，23C O '=，222B C =，2112A A =，2132B B =，2112C C =，121212A A B B C C ∥∥，1212245A A O B B C '∠=∠=︒，所以122112211221111 A A B B C C B B A A O O C C A B C O S S S S S '''=+--△△()()121222121222122122sin 45sin 45sin 45sin 452222A AB B A BC C B B C B A A A O C C C O +⋅⋅︒+⋅⋅︒''⋅⋅︒⋅⋅︒=+--1321321212221332222222222222222⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--=.7．见解析【解析】【分析】分三步进行：一、建立坐标系；二、利用斜二测画法作出下底面的直观图；三、从下底面各顶点处作长度与棱长相等且平行于z 的线段，连接各顶点即可.【详解】画法：（1）画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°．（2）画底面．以点O 为中心，在x 轴上取线段MN ，使OM ＝ON ＝1cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝1cm ．分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD ．（3）画侧棱．过A 、B 、C 、D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA ′、BB ′、CC ′、DD ′．（4）成图．顺次连接A ′、B ′、C ′、D ′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正方体的直观图（如图②）．【点睛】利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与与'x 轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与'y 轴平行且长度减半.8．(1)画法见解析，；(2)画法见解析，【解析】【分析】根据要求用斜二测法画出符合要求的直观图(1)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的正方形ABCD 的直观图，使得AB =4cm ，BC =2cm ，且∠DAB =45°，取平行四边形ABCD 的中心O ，作x 轴∥AB ，y 轴∥BD ，第二步：过点O 作∠xOz =90°，过点A 、B 、C 、D 分别作1111,,,AA BB CC DD 等于4cm ，顺次连接1111D C B A ，第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.(2)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的圆的直观图O '，使4A B ''=cm ，2D C ''=cm.第二步：过O '作z '轴，使90x O z '''∠=︒，在z '上取点V '，使O 'V '=4cm ，连接A V ''，B V ''.第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.9．详见解析【解析】【分析】利用斜二测画法求解.【详解】如图所示：10．D【解析】【分析】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，即可判断.【详解】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，据此分析选项：对于A ，AD BC ⊥，则有AC AD >，A 错误；对于B ，2BC B C =''=，24AD A D =''=，B 错误；对于C ，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=，C 错误；对于D ，A B C '''的面积224S S '==，D 正确.故选：D ．11．图形见解析，8【解析】在菱形ABCD 中，分别以AB ，AD 所在的直线为x '轴､y '轴建立坐标系x O y '''，根据斜二测画法的性质得到原图形，再计算面积得到答案.【详解】①画轴.在菱形ABCD 中，分别以AB ，AD 所在的直线为x '轴､y '轴建立坐标系x O y '''(A 与O '重合)，如图1，另建立平面直角坐标系xOy ，如图2.②取点.在坐标系xOy 中，分别在x 轴y 轴上取点B '，D ¢，使A B AB ''=（A '与O 重合），2A D AD ''=.过点D ¢作//D C x ''轴，且D C DC ''=.③成图.连接B C ''，得到的矩形A B C D ''''即为这个四边形的原图形.原图形的面积248S =⨯=.【点睛】本题考查了斜二测画法，意在考查学生对于斜二测画法的理解和掌握.12．见解析【解析】【分析】根据斜二测画法前后的边与角的关系画图即可.【详解】如图,建立直角坐标系xOy ,在x 轴上截取11OD O D '==,12OC O C '==.在过点D 的y 轴的平行线上截取1122DA D A ==.在过点A 的x 轴的平行线上截取112AB A B ==.连接BC ,即得到了原图形.【点睛】本题主要考查了根据直观图画原图像的方法,属于基础题型.13．C【解析】【分析】根据斜二测画法的定义即可求解.【详解】由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°，故②⑤正确.故选：C.14．B【解析】【分析】根据斜二测画法的特点对四个选项逐一分析，即可得解【详解】由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．故选：B15．C【解析】【分析】利用斜二测画法还原图形，得到△ABC 为等腰三角形，即可判断出,,AB AD AC 的大小.【详解】由题中的直观图可知，//A D y '''轴，//B C x '''轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD ∥y 轴，BC ∥x 轴.又因为D 为BC 的中点，所以△ABC 为等腰三角形，且AD 为底边BC 上的高，则有AB =AC >AD 成立.故选：C16．A【解析】【分析】根据直观图的做法确定原△ABC 的顶点位置，由此求其面积.【详解】由已知B ′O ′=2，O ′C ′=5，O ′A ′=3，∴2BO =，5CO =,6OA =,且B ，C 在x 轴上，A 在y 轴上，O 为坐标原点，∴△ABC 的面积1212S BC OA =⨯⨯=,故选：A.17．B【解析】【分析】通过“斜二测画法”将直观图还原，即可求解【详解】解：由斜二测画法的直观图知，//A C O B ''''，A C B C ''''⊥，1A C ''=，2B C ''=，2O B ''=；所以原图形OACB 中，//AC OB ，OA OB ⊥，1AC =，2OB =，22224AO A O ''==⨯⨯=，所以梯形OACB 的面积为()112462S =+⨯=．故选：B ．18．C【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，求出对角线的长度，根据图形，求直观图的面积.【详解】由条件可知，较长的对角线的长度是2244244cos12044cm +-⨯⨯⨯=，较短的对角线的长度是2244244cos604cm +-⨯⨯⨯=，根据斜二测画法的规则可知，43AC =，2BD =，菱形直观图的面积21243226cm 22S =⨯⨯⨯=故选：C19．A【解析】【分析】本题可根据斜二测画法的规则得出结果.【详解】由斜二测画法规则可知，相交关系不变，①正确；平行关系不变，②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；平行于y 轴的线段长减半，平行于x 轴的线段长不变，④错误，故选：A.20．A 【解析】【分析】根据直观图还原原图，再计算．【详解】解：由图形知，在原ABC 中，AO BC ⊥，32A O ''=3AO ∴=1B O C O ''=''=，2BC ∴=222AB AC AO OC ∴==+=ABC ∴为正三角形．故选：A ．21．D【解析】【分析】根据斜二测画法的原则，可得原图中AB AC ⊥，且2AC AB =即可判断ABC 的形状.【详解】因为A B C '''V 中，A B ''，A C ''所在直线分别与x '轴，y '轴平行，所以ABC 中AB ，AC 所在直线分别与分别与x 轴，y 轴平行，所以AB AC⊥因为A B A C =''''，所以2AC AB =，即AB AC ≠，所以ABC 是直角三角形，故选：D.22．A【解析】【分析】由直观图确定原图形中平行四边形中线段的长度与关系，然后计算可得．【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，2OA O A ''==，又22O B ''=，242OB O B ''==，OB OA ⊥，所以222(42)6AB =+=，周长为2(26)16+=．故选：A ．23．C【解析】【分析】先求出平行四边形O A B C ''''面积，再根据斜二测画法的原图形面积与直观图面积比为22:1计算即可.【详解】在平行四边形O A B C ''''中，作C M O A '''⊥.在Rt C O M ''△中，sin 301C M O C '''=︒=.所以平行四边形O A B C ''''面积为1=515S O A C M '''⋅=⨯=.所以原图形面积为1=22=102S S .故选:C24．D【解析】【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形形状，结构得出面积．【详解】由三视图知原几何图形是直角梯形ABCD ，如图，2,2,1AB AD BC ===，面积为1(21)232S =⨯+⨯=．故选：D ．25．D【解析】【分析】根据斜二测法，判断△ABO 的形状，进而确定其最长线段.【详解】由斜二测直观图△A B O '''知：△ABO 是直角三角形且OA OB ⊥，∴斜边AB 是△ABO 中长度最长的线段.故选：D26．C【解析】【分析】作出ABC 的直观图，计算出该三角形三边边长，即可得解.【详解】作出ABC 的直观图如下图所示：由图可得222222AB BC ==+=，4AC =，因此，ABC 的周长为442+.故选：C.27．AD【解析】【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半.对于A 中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为45或135，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A 正确；对于B 中，正方形的直角，在直观图中变为45或135，不是正方形，所以B 错误；对于C 中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45，所以菱形的直观图不是菱形，所以C 错误；对于D 中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D 正确.故选：AD.28．BD【解析】【分析】过'C 作''C D ‖'y 轴，交'x 于'D ，即可求出相关量，画出原图，即可判断【详解】解：如图，'C 作''C D ‖'y 轴，交'x 于'D ，则可得'''45C D B ∠=︒，因为'''C B x ⊥轴，且''2B C =，所以''''2,2B D C D ==，则在原图中，CD AB ⊥，且4CD =，即ABC 边AB 上的高为4，因为点A 在BD 上，所以AC BC <，故选：BD29．ABD【解析】【分析】根据直观图，画出原图形，即可得出答案.【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于'y 轴的边与底边垂直，原图形如图所示：即可判断不可能的为A ，B ，D.故选：ABD.30．BD【解析】【分析】将直观图A B C '''还原为原平面图形ABC 即可求解.【详解】解：在直观图A B C '''中，过C '作C D A B ''''⊥于D ¢2,5A B A C B C ''=''=''=，∴221,2A D C D A C A D ''''''''==-=，又45C O D '''∠=，所以2O D ''=，1O A ''=，22O C ''=，所以利用斜二测画法将直观图A B C '''还原为原平面图形ABC ，如图42,1,2OC OA AB ===，故选项B 正确；又222233,41AC OA OC AC OB OC =+==+=，故选项A 、C 错误；112424222ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯=，故选项D 正确；故选：BD.31．22【解析】【分析】作出直观图，结合斜二测画法概率计算【详解】如图，1B C ''=，B '到x '轴的距离为21sin 452⨯︒=．故答案为：22．32．162【解析】【分析】根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可．【详解】根据直观图与原图的面积比值为定值24，可得平面图形OABC 的面积为816224=.故答案为：162.33．42【解析】【分析】利用直观图与原图的面积之比为定值求解即可.【详解】不妨设直观图和原图面积分别为1S ，2S ，△AOB 的边OB 上的高为h ，由直观图''||O B 与原图形中边||OB 长度相同，且2122S S =，A'O'和x'轴垂直，A'O'=2，故''11||222||22OB h O B =⨯⨯，从而42h =.故答案为：42.34．202【解析】【分析】根据实际图形与斜二测直观图的关系得原平面图形是直角梯形，再根据几何关系求解面积即可得答案.【详解】解：由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是直角梯形，且AB ，CD 的长度不变，仍为6和4，高42BC =，故所求面积1(46)422022S =⨯+⨯=.故答案为：20235．26【解析】【分析】根据题意和斜二侧画法可知四边形ABCD 为直角梯形，且90DAB ∠=︒，从而可求出原图形的面积【详解】解：设梯形''''A B C D 的高为h ，因为水平放置的平面图形的直观图''''A B C D 的面积为3，所以''''1()32C D A B h +=，因为梯形''''A B C D 中，'''45D A B ∠=︒，所以四边形ABCD 为直角梯形，且90DAB ∠=︒，'''',CD C D AB A B ==，''2AD A D =，''2A D h =，所以原四边形ABCD 的面积为''''''''1()21()222122()222326CD AB AD C D A B h C D A B h +⋅=+⋅=⨯+=⨯=故答案为：2636．(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析【解析】【分析】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；（2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；（3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.(1)解：如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边的高线AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，画对应的x '轴、y '轴，使45x O y '''∠=，在x '轴上截取 1.5cm O B O C OB OC ''''====，在y '轴上截取12O A OA ''=，连接A B ''、A C ''、B C ''，则A B C '''V 即为等边ABC 的直观图，如图③所示.(2)解：如图④所示，以AB 、AD 边所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如下图所示的平面直角画对应的x '轴、y '轴，使45x A y '''∠=，在x '轴上截取4cm A B AB ''==，在y '轴上截取12cm 2A D AD ''==，作//D C x '''轴，且4cm D C ''=，连接B C ''，则平行四边形A B C D ''''即为正方形ABCD 的直观图，如图⑥所示.(3)解：如图⑦所示，画正八边形OABCDEFG ，以点O 为坐标原点，OA 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，设点B 、G 在x 轴上的射影点分别为M 、N ，画对应的x '轴、y '轴，使45x O y '''∠=，在x '轴上截取2cm O A OA ''==，A M AM ''=，O N ON ''=，在y '轴上截取12O E OE ''=，作//E D x '''轴且2cm E D ''=，作//M B y '''轴，且12M B MB ''=，作//N G y '''轴，且12N G NG ''=，作//B C y '''轴，且1cm B C ''=，作//G F y '''轴，且1cm G F ''=，连接O A ''、A B ''、B C ''、C D ''、D E ''、E F ''、F G ''、G O ''，则八边形O A B C D E F G ''''''''为正八边形OABCDEFG 的直观图，如图⑨所示.37．详见解析【解析】【分析】利用斜二测画法即得.（1）如图所示，画出坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=，在x '轴作线段1A O O B ''''==，过A '作//A C y '''轴，且112A C AC ''==，连接B C ''，则A B C '''V 即为ABC 的直观图；（2）如图所示，画出坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=，在x '轴作线段2O B OB ''==，在y '轴作线段1122O A OA ''==，再作出点,C D ''，连接,,B C C D D A ''''''，即可得出该平面图形的直观图.38．362．【解析】【分析】计算平面直观图的面积，根据原图形与它的直观图面积比为22，计算即可．【详解】解：平面直观图是矩形O A B C ''''，且6O A ''=，3O C ''=，所以矩形O A B C ''''的面积为6318S '=⨯=，所以原平面图形的面积为22362S S ='=．故答案为：362．39．图见解析.【解析】【分析】根据斜二测画法可得在原图形中，11AB A B =，AB x ∕∕轴，CD 的位置不变，11,OD O D OC O C ''==，OB 的位置不变，12OB O B '=，画出图形即可.【详解】解：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取11OD O D '==，12OC O C '==，12O B '=，在y 轴上截取22OB =，再过点B 与x 轴平行的直线上截取112AB A B ==，连接BC ，AD ，便得到了原图形（如图）．40．（1）答案见解析；（2）328.【解析】【分析】（1）利用斜二测画法，画出梯形ABCD 的直观图；（2）过点D ¢作D E A B ''''⊥于点E '，利用梯形的面积公式求解.【详解】（1）在梯形ABCD 中，2,1AB OD ==，画出梯形ABCD 的直观图，如图中梯形A B C D ''''所示，（2）过点D ¢作D E A B ''''⊥于点E '.易得1122O D OD ''==，所以梯形A B C D ''''的高24D E ''=，所以梯形A B C D ''''的面积为()123212248⨯+⨯=，即梯形ABCD 水平放置的直观图的面积为328.。
数学人教A版(2019)必修第二册8.2立体图形的直观图(共25张ppt)
③ 画上底面：在上截取点′，使′ = 3 ，过点
’作平行于轴的轴′′.类似下底面的作法作出圆
柱的上底面。
′
′
O
z
′
′ ′
′
④ 成图：连接′，′，整理得到圆柱的直观图。
O
新知探索
对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥
们的交点为，则□ABCD就是长方体的底面的直观图；
Z
D
③ 画侧棱：在轴正半轴上取线段’，使′ = 1.5，过，，各点分
别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5长的线段′，′，
′；
④ 成图：顺次连接′，′，′，′，并加以整理 (去掉辅助线，将被遮挡的
新知探究
思考1：如下图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺
望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
新知探究
思考2：为什么是这些形状？能用平行投影知识加以解释吗？
A
投射线
B
S（投影方向）
C
O
C1
B1
投影
投影面
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影. 平行投影的
投影线是平行的.
练习巩固
例2：已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它
的直观图
① 画轴：如图，画轴、轴、轴，三轴相交于点0()，使∠0 = 45°，
∠ =90°；
② 画底面：在轴正半轴上取线段，使 = 3;在轴正半轴上取线段
，使 = 1。过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它
辨析1：判断正误.
高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图
中心投影
平行投影
利用平行投影， 什么叫直观图 ?
• 把空间图形画在平面内，使得既富有
立体感，又能表达出图形各主要部分
的位置关系和度量关系的图形．
D
C
A
B
D A
C B
思 画一个正方形的直观图。 考
思考：怎样画才 更形象准确？
斜二测画法
.....
y
.
.
.o .
画法：如图,先画出圆柱的上下底面，
O
再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定
圆锥的顶点，
y
y x
x
最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到 组合体的直观图.
高中数学人教A版（ 必2修01二9）第必二修册二立第体二 图 册 形的直8.观2立图体图形的直观图(共33张PPT)
典型例题 高中数学人教A版（ 必2修01二9）第必二修册二立第体二 图册 形的直8.观2立图体图形的直观图(共33张PPT)
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的 图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内 的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立 体图形的真实形状不完全相同。在立体几何中，立体图形的 直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图 形.
F ME
y
A
O Dx
O
x
B NC
高中数学人教A版（ 必2修01二9）第必二修册二立第体二 图 册 形的直8.观2立图体图形的直观图(共33张PPT)
典型例题 高中数学人教A版（ 必2修01二9）第必二修册二立第体二 图册 形的直8.观2立图体图形的直观图(共33张PPT)
人教A版必修第二册8.2立体图形的直观图课件
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观.
(1)原来相交的仍相交.
(√ )
(2)原来垂直的仍垂直.
(× )
(3)原来平行的仍平行.
(√ )
(4)原来共点的仍共点.
(√ )
练习巩固
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的 是( C )
A
B
C
D
练习巩固
3．如图，平行四边形 O′P′Q′R′是四边形 OPQR 的直观图，
人教A版高中数学必修第二册
8.2立体图形的直观图
引入新课
视察下面几何体？
问题： 你为什么觉得它就是你认识的立体图形的？ 你知道它们是怎样画出来的吗？
引入新课
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特 征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使 我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要 我们学习直观图的有关知识。
课堂引入
探究点1：水平放置的平面图形的画法
思考:把一个矩形水平放置，从适当的角度视察，给人以平行四边形 的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系 产生了变化？哪些没有产生变化？
平行没变，夹角变化，横边长没变，竖边变化.
课堂探究
这样的画法最初由莱奥纳多·达·芬奇使用在美术上面。
“横不变，竖减半，平行、重合不改变。”
课堂探究
C D
D'
C'
A
B
A’
B'
引入新知
水平放置的圆给我们的视觉效果是什么图形呢？
生活经验告知我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，立体几何中，我们常用 正等测画法画水平放置的圆，在实际画水平放置的圆的直观图时常用下图所示 的椭圆模板。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图
图3
图4直角梯形的直观图.
画法(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的
腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图①.
(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取
O'D'=
变式训练2用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、 下底面边长分别为2,3,高为2.
画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°, ∠xOz=90°. (2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线段PQ,使 PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,设 它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.
(2)已知等边三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面 积为( D )
A.√43a2
B.√83a2
C.√86a2
D.√166a2
本节要点归纳
1.知识清单: (1)水平放置的平面图形的直观图的画法. (2)空间几何体的直观图的画法. (3)直观图的还原与计算. 2.方法归纳:转化思想. 3.常见误区:同一图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.
P'O'=PO. (4)成图.连接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并进行整理, 便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F',如 图③所示.
数学人教A版必修第二册8.2立体图形的直观图
zS
S
C
A
B
y C
M
A o B xA
C B
画 → 画底 轴面
练习：怎样画底面是正三角形，且顶点在 底面上的投影是底面中心的三棱锥？
zS
S
C
A
B
y C
M
A o B xA
C B
画 → 画底 → 画侧棱 轴面
练习：怎样画底面是正三角形，且顶点在 底面上的投影是底面中心的三棱锥？
zS
S
C
A
B
y C
M
A o B xA
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法。
【例题】用斜二测画法画水平放置的正方形 形的直观图。
DC
AB
知识归纳
1. 斜二测画法：画多 边(1形)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，
两轴相交于O点．画直观图时，把它画成对
应x的'Oxy'’轴 4、5(y或’轴135，)使,
它确定的平面表示水 平平面。
10
【解析】由直观图 可知，原图形是矩形 OPQR，且OP＝3，OR＝ 2.
故原四边形OPQR的 周长为10.
相交于点O', 使x'Oy' 45
y
y
F ME
A O Dx
B NC
O
x
(2)以O'为中心，在x'上取A' D' AD, 在y'轴上取M' N'
1 MN ,以点N'为中心, 画B'C'平行于x'轴,并且等于BC,再以 2 M'为中心, 画E'F'平行于x'轴,并且等于EF .
高一下学期数学人教A版必修第二册8.2立体图形的直观图课件
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
MN= 1 MN.以点N为中心,画BC平行于x轴, 2
并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴,
并且等于EF. y
F ME
A
OD
x
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC 注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长
变为本来的一半。
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
空间几何体的直观图
这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？
学习目标
知识目标： 能用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几
何体的直观图，提高学生识图和画图的能力。 能力目标：
通过视察、类比，利用斜二测画法画出空间几何 体的直观图。 情感目标：
（1）提高空间想象力与直观感受。 （2）体会对照在学习中的作用。 （3）感受几何作图在生产活动中的应用。 学习重点、难点：
2．在直观图中确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平 行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不 在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过 这些点作与坐标轴平行的线段与坐标轴相交，先确定这些平 行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点。
知识探究（二)空间几何体的直观图的画 法
思考:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画
法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确
定底面外的点的位置？
z y
o
x
例1. 用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. (1)画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，
高中数学必修第二册人教A版-第八章-8.2立体图形的直观图课件
和
x′O′z′
表示z′竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中
平行性 和长度 都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 虚线 .
易错辨析
1.在斜二测画法中，各条线段的长度都产生了改变.( × ) 2.在几何体的直观图中，本来平行的直线仍然平行.( √ ) 3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( × ) 4.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°.( )×
线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得：直观图面
积是原图形面积的
2 4
倍.
跟踪训练
(1)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，
y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
例3 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm， O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是菱__形____，其面积为2_4___2__c_m__2__.
解析 如图，在原图形OABC中， 应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm，
8.2 立体几何的直观图 第八章
学习目标
1.会用斜二测画法画出简单空间几何体（球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合体）的直观图. 2.会用平行投影的性质画出简单空间几何体的直观图. 3.了解空间几何体的不同表现情势. 核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
第八章§8.2立体图形的直观图--高一数学人教A版必修第二册课件
反思感悟
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直 线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′ 轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定 图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图 形面积的 2 倍.
4
跟踪训练2 已知等边△ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的水平放置
内容索引
一、水平放置的平面图形的直观图的画法 二、空间几何体的直观图的画法 三、直观图的还原与计算
随堂演练
一
水平放置的平面图形的直观图的画法
问题1 我们都非常喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁 边看起来是一个平行四边形呢？
提示 在乒乓球台上建立平面直角坐标系，如图1所示， 当将两坐标轴的夹角不是90°时，如图2所示，台面看起来就是平行四 边形了.
3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的 底面 ，再借助圆锥的轴确定圆锥的顶 点，最后画出两侧的 两条 母线. 4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画 出经过球心的 截面圆 ，它们的直观图是椭圆.
例2 (1)(课本109页例2)已知长方体的长、宽、高分别是3 cm,2 cm,1.5 cm， 用斜二测画法画出它的直观图.
反思感悟
空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应 该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出直观图. (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一 个z轴，表示竖直方向. (3)z轴方向上的线段，方向与长度都与本来保持一致.
三
直观图的还原与计算
(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在 的直线为y轴建立直角坐标系.
新教材高中数学第8章立体图形的直观图学案含解析新人教A版必修第二册
新教材高中数学学案含解析新人教A版必修第二册：8.2 立体图形的直观图学习任务核心素养1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．问题：在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？1．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．2．平面图形直观图的画法及要求1．相等的角在直观图中还相等吗？[提示]不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．(1)原来相交的仍相交．()(2)原来垂直的仍垂直．()(3)原来平行的仍平行．()(4)原来共点的仍共点．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A．①②B．①②③C．②⑤D．③④⑤C[由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．] 3．梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形A[斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形．]4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________．45°或135°[因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°．]知识点2空间几何体直观图的画法(1)与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．2．空间几何体的直观图唯一吗？[提示]不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cmC[由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm,1.6 cm．]类型1画平面图形的直观图【例1】(对接教材P108例1)(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．(1)22[正方形的直观图A′B′C′D′如图：因为O ′A ′＝B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，所以顶点B ′到x ′轴的距离为1×sin 45°＝22．] (2)[解] 画法：①在下图①中作AG ⊥x 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H ．②在图②中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°．③在图②中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ， 分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD ； ④连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图③)．① ② ③画平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．[跟进训练]1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．[解] (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC．连接B′C′，如图②．(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③．类型2画空间几何体的直观图【例2】画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)[解]画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF．(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2 cm．(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：画轴―→画底面―→画侧棱―→成图[跟进训练]2．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图．[解](1)画轴．如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°．(2)画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A ，B 两点，使它为圆柱的下底面．(3)在Oz 上截取OO ′＝4 cm ，过点O ′作平行于轴Ox 的轴O ′x ′，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面．(4)画圆锥的顶点．在Oz 上取点P ，使PO ′＝3 cm ．(5)成图．连接A ′A ，B ′B ，P A ′，PB ′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，示意图如图②所示．① ②类型3 直观图的还原与计算【例3】 (1)如图①，Rt △O ′A ′B ′是一个平面图形的直观图，若O ′B ′＝2，则这个平面图形的面积是( )A ．1B ．2C ．22D ．42① ②(2)如图②所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1．试画出原四边形，并求原图形的面积．1．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 斜二测画法的直观图，能否判断△ABC 的形状？[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB ＝90°，故△ABC 为直角三角形．2．若尝试与发现1中△A ′B ′C ′的A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？[提示] 由已知得△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10．3．如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是哪个？[提示] 由直观图可知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，所以斜边AC 最长．(1)C [由题图知，平面图形△OAB 为直角三角形．∵O ′B ′＝2，∠A ′O ′B ′＝45°，∴A ′B ′＝2，O ′A ′＝2．∴在原△OAB 中，OB ＝2，OA ＝4，∴S △OAB ＝12×2×4＝22．选C ．] (2)[解] 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2．在过点D 与y 轴平行的直线上截取DA ＝2D 1A 1＝2．在过点A 与x 轴平行的直线上截取AB ＝A 1B 1＝2．连接BC ，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2．所以面积为S ＝2＋32×2＝5．1．本例(1)中直观图中△O ′A ′B ′的面积与原图形面积之比是多少？[解] 由(1)中直观图可得S △O ′A ′B ′＝12×2×2＝1， 原图形面积为S △OAB ＝22．所以S △O ′A ′B ′S △OAB ＝122＝24． 2．本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，求原图形的面积．[解] 如图①，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，所以BE ＝22． 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1，所以EC ＝AD ＝1．所以BC ＝BE ＋EC ＝22＋1． 由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．① ②在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1， 且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，所以原图形的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22．如何将直观图还原为平面图形？直观图与原图形面积之间有什么关系？[提示] 1．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝24S 或S ＝22S ′．利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．[跟进训练]3．如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3) cmD ．2(1＋2) cmA [根据直观图的画法，可得原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，且OB ＝2 2 cm ，OA ＝1 cm ，AB ＝3 cm ，从而四边形OABC 的周长为8 cm ．]1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是()A B C DC[正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C．]2．如图所示是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′C′<D′B′，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB，AD，AC三条线段中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是ACC[由题意得，原△ABC的平面图如图所示，其中，AD⊥BC，BD>DC，∴AB>AC>AD，∴△ABC的AB，AD，AC三条线段中，最长的是AB，最短的是AD．故选C．]3．如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则梯形O′A′B′C′的高为()A．24B．23C．22D．2A [因为四边形OABC 是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC 的高为1，面积S ＝12×(1＋3)×1＝2，所以等腰梯形OABC 的直观图的面积S ′＝2×24＝22．设梯形O ′A ′B ′C ′的高为h ，则12×(1＋3)×h ＝22，解得h ＝24．故选A ．] 4．在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在平面直角坐标系中原四边形OABC 为________(填具体形状)，其面积为________cm 2．矩形 8 [由斜二测画法规则可知，在四边形OABC 中，OA ⊥OC ，OA ＝O ′A ′＝2 cm ，OC ＝2O ′C ′＝4 cm ，所以四边形OABC 是矩形，其面积为2×4＝8(cm 2)．]5．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________．10 [由直观图可知，原图形是矩形OPQR ，且OP ＝3，OR ＝2．故原四边形OPQR 的周长为10．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)斜二测画法的内容是什么？(2)如何用斜二测画法画平面图形或空间几何体的直观图？(3)如何将直观图还原为平面图形？直观图的面积与原图形的面积之间有什么关系？。
学年新教材高中数学第八章立体几何初步.立体图形的直观图应用案巩固提升新人教A版必修第二册
8.2 立体图形的直观图[A 基础达标]1．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是( )A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：选B.根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形．2．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面图形是( )A．任意三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：选C.因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形．3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A．2 cm B．3 cmC．2.5 cm D．5 cm解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.4．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )A．16 B．64C．16或64 D．都不对解析：选C.根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.5.正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋32)cmD ．(2＋23)cm解析：选B.如图，OA ＝1 cm ，在Rt △OAB 中，OB ＝2 2 cm ，所以AB ＝ OA 2＋OB 2＝3 (cm)．所以四边形OABC 的周长为8 cm. 6．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD 的形状为________． 解析：因为∠D ′A ′B ′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB ＝90°，又因四边形A ′B ′C ′D ′为平行四边形，且A ′B ′＝2B ′C ′，所以AB ＝BC ，所以原四边形ABCD 为正方形．答案：正方形7．如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′，则原四边形ABCD 的面积是________．解析：因为A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′≠C ′D ′，所以原图形是一个直角梯形，如图所示．又A ′D ′＝4，所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S ＝12×(2＋5)×8＝28.答案：288.如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：在直观图中四边形A ′B ′C ′O ′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，所以顶点B ′到x ′轴的距离为22. 答案：22 9．如图是上、下底面处在水平状态下的棱长为2 cm 的正方体的直观图，比例尺为1∶1，回答下列问题：(1)线段AB 1在图中、实物中长度各为多少？∠AB 1A 1在图中、实物中的度数各为多少？(2)在实物中，∠ABC 、∠AEB 、∠BEC 、∠ABD 、∠CBD 的度数是多少？。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 立体图形的直观图
A.等边三角形
AD )
B.直角三角形
C.三边互不相等的三角形 D.面积为 3 的三角形
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 由题中图形知,在原△ABC 中,AO⊥BC.
3
∵A'O&;=C'O'=1,
∴BC=2,AB=AC=2,
∴△ABC 为等边三角形.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 对于选项A,在水平放置的三角形的直观图中,三角形底边上的高与底
边的夹角为45°或135°,底边上的高的长度减少为原来的一半,依然是三角
形,故选项A正确;对于选项B,在正方形中的直角,在直观图中变为45°或
135°,故选项B错误;对于选项C,菱形的对角线互相垂直平分,在直观图中对
若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7.已知正三角形ABC的边长为a,计算△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积.
解 如图①②所示的分别是实际图形和直观图.
1
3
由斜二测画法可知,A'B'=AB=a,O'C'=2OC= 4 a,
在图②中作 C'D'⊥A'B'于点 D',
在 y 轴上取线段 OC,使 OC=
3
2
cm.连接 BC,CA,
则△ABC就是正三棱台的下底面的直观图.
(3)画上底面.在Oz轴上取O',使OO'=2 cm,
过点O'作平行于轴Ox的轴O'x',
平行于轴Oy的轴O'y',类似下底面的作法
高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：1-2-3空间几何体的直观图
一、选择题1．假如平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段 ()A ．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等[答案]A2．给出以下对于斜二测直观图的结论，此中正确的个数是()①角的水平搁置的直观图必定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍旧相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍旧平行．A ．0B．1C．2D．3[答案 ]C[分析 ]由斜二测画法例则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．3．利用斜二测画法获得：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的选项是 ()A ．①B．①②C．③④D．①②③④[答案 ]B[分析 ]依据画法例则，平行性保持不变，与y 轴平行的线段长度减半．4．以下图的直观图是将正方体模型搁置在你的水平视野的左上角而绘制的，此中正确的选项是()[答案 ] [分析 ]A由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知 A 正确．5．以下图，△ A′B′C′是水平搁置的△ ABC 的直观图，则在△ ABC 的三边及中线 AD 中，最长的线段是 ()A ．AB B．ADC．BC D．AC[答案 ]D[分析 ]△ABC 是直角三角形，且∠ ABC＝90°，则AC＞ AB，AC ＞A D，AC＞ BC.6．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸同样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按的比率画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A ．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[答案 ]C[分析 ]由比率尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和 1.6 cm，再联合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.7．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()[答案]C[ 分析 ]由直观图一边在x′轴上，一边与 y′轴平行，知原图为直角梯形．8．在以下选项中，利用斜二测画法，边长为 1 的正三角形 ABC的直观图不是全等三角形的一组是()[答案 ]C[分析 ] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，本来高 h h1变成2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变成本来的2.二、填空题9．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是 M′，则点 M′的坐标为 ________，点 M′的找法是________．[答案 ]M′(4,2) 在座标系 x′O′y′中，过点 (4,0)和 y′轴平行的直线与过点 (0,2)和 x′轴平行的直线的交点即是点M′.[分析 ]在 x′轴的正方向上取点 M1，使 O1M1＝4，在 y′轴上取点 M2，使 O′M2＝2，过 M1和 M2分别作平行于 y′轴和 x′轴的直线，则交点就是 M′.10．如右图，水平搁置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知 A′C′＝ 6，B′C′＝ 4，则 AB 边的实质长度是________．[答案 ]10[分析 ]由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则 AB＝AC2＋BC2＝10.11．如图，是△ AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△ AOB 的面积是 ________．[答案 ]16[分析 ]由图易知△AOB 中，底边OB＝4，又∵底边 OB 的高为 8，1∴面积 S＝2×4×8＝16.12．以下图，正方形O′ A′B′C′的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________？[答案 ]8[分析 ]原图形为OABC 为平行四边形，OA＝ 1，AB＝OA2＋OB2＝3，∴四边形 OABC 周长为 8.三、解答题13．用斜二测画法画出以下图形的直观图(不写画法 )．[分析 ]14．以下图，四边形 ABCD 是一个梯形， CD∥AB， CD＝ AO ＝1，三角形 AOD 为等腰直角三角形， O 为 AB 的中点，试求梯形 ABCD 水平搁置的直观图的面积．[ 分析 ] 在梯形 ABCD 中， AB＝2，高 OD＝ 1，因为梯形 ABCD水平搁置的直观图仍为梯形，且上底 CD 和下底 AB 的长度都不变，以下图，在直观图中， O′D′＝1，梯形的高D′ ′＝2，2OD E4 1232于是梯形 A′B′C′D′的面积为2×(1＋2)× 4 ＝8.15．已知几何体的三视图以下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．[分析 ]如图．16．以下图，直角梯形ABCD 中， AD∥BC，且 AD＞BC，该梯形绕边 AD 所在直线 EF 旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．[ 剖析 ]该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．[ 分析 ]直观图如图a所示，三视图如图 b 所示．。
人教A版高中数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图
A'C'=3,B'C'=2,则原图中AB边上的中线的实际长度为
.
解析:把直观图还原,原图为Rt△ABC,且∠C=90°,AC=3, BC=4,
AB
则AB=5,AB边上的中线为
,即为2.5.
答案:2.5
本例改为以梯形为背景,如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形
观图面积S'与原图形面积S满足 S'= S.
正解:如图,由斜二测画法的规则知,
原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,但两
个梯形的高不一样.
原梯形的高 OC 是直观图中 O'C'长度的 2 倍,O'C'的长度是
直观图中梯形的高 C'D'的 倍,
由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 倍,
(2)画对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.
在x'轴上截取O'B'=O'C'=2 cm,在y'轴上截取 O'A'=OA ,连接
A'B',A'C',如图②所示.
①
②
(3)擦去辅助线,则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图,
如图③所示.
③
探究二 简单几何体的直观图的画法
【例2】 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCDA'B'C'D'的直观图.
连接BC,即得到了原图形(如图).