高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：9.5 空间角(A、B)

∴直线 B1C 与 DE 所成角的余弦值是
10 5.
法二(B)：如图所示建立空间直角坐标系 D－xyz，设正方体棱
长为 2，则 D(0，0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，B1(2,2,2)， E(2,1,0)．
∵D→E＝(2,1,0)，C→B1＝(2,0,2)，
∴cos〈C→B1
2．如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面 ABCD，PA＝4 5 3，那么二面角 A－BD－P 的度数是( )
A．30° C．60°
答案：A
B．45° D．75°
3．下列说法正确的是( ) A．若直线l1、l2和平面α所成的角相等，则l1∥l2 B．若直线l1和l2平行，则l1、l2和平面α所成的角相等 C．若直线l1和l2相交，则l1、l2和平面α所成的角必不相等 D．若直线l1、l2和平面α所成的角不相等，则l1与l2也可平行 答案：B
(2)直线与平面所成的角可转化为直线与直线在平面内的射影 所成的角，也可用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2来计算或通过向量 法求解．
设平面α的法向量为n，直线a的方向向量为a，若直线与平面 所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|.
(3)射影定理：从平面α外一点向这个平面所引的垂线段和斜 线段中： ①射影相等的两条斜线段_相__等__，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段_都__短__． (4)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 过斜足的直线所成的一切角中的最小的角， 且cos θ＝__c_o_s_θ_1_·c_o_s_θ_2____.
考点突破
考点 1 求异面直线所成的角 求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线 所成的角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于 特殊点的选取，选取特殊点时，要尽可能地使它与题设的所 有相关条件和解题目标紧密地联系起来．
例1 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB 的中点． 求直线B1C与DE所成角的余弦值．
n2 〉＝ arccos|nn11|··|nn22| 就是二面角的平面角或其补角的大小，如
图(3)所示．
课前热身
1．(教材改编)如图，AB与面α所成的角∠ABO＝45°，
DC∩OD＝D，且DC⊂α，∠ODC＝45°，则异面直线AB与DC
所成的角为( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．90°
答案：A
4．等腰直角△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC中点，沿BM把 它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的 大小为________． 答案：90°
5．设正三棱锥 V-ABC 底边长为 2 3，高为 2，则侧棱与底面 所成的角的大小为________．
答案：45°
考点探究讲练互动
例2 四面体A－BCS中，SB、SA、SC两两垂直，∠SBA＝ 45°，∠SBC＝60°，M为AB的中点，求： (1)BC与平面SAB所成的角； (2)SC与平面ABC所成角的正弦值． 【思路分析】 由SA、SB、SC两两垂直，寻找面面垂直及线 面垂直，从而作出所求的角．
，D→E〉＝
→→ CB1·DE →→
|CB1|·|DE|
＝
2
4 2×
＝ 5
510，
∴DE 与 B1C 所成角的余弦值是
10 5.
考点2 求斜线与平面所成的角 找斜线与平面所成的角，实质就是找斜线在平面内的射影， 也就是找斜线上的点在平面上的射影，转化为解Rt△或用向 量、或者用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2.
【思路分析】 可连结 A1D，在△A1DE 中，求∠A1DE，也可 建系，求 cos〈C→B1，D→E〉．
【解】 法一：连结 A1D，则由 A1D∥B1C 知，B1C 与 DE 所 成角即为 A1D 与 DE 所成角． 连结 A1E，由正方体 ABCD－A1B1C1D1，可设其棱长为 a，则
A1D＝ 2a，A1E＝DE＝ 25a， ∴cos∠A1DE＝A1D22＋·AD1DE·2D－EA1E2＝ 510.
思考探究 1．异面直线a，b的方向向量a，b的夹角〈a，b〉是异面直线 所成的角吗？
提示：不一定．当〈a，b〉∈(0，π2]时是异面直线所成的角； 当〈a，b〉∈(π2，π)时，a 与 b 所成的角为 π－〈a，b〉．
2．二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置 有关吗？ 提示：如图，用两个垂直于棱的平面γ1，γ2去截一个二面角α －a－β，由等角定理知，所截得的两个角θ1和θ2相等，这说明 二面角的平面角与二面角的棱上选的点的位置无关．
3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的__两__个__半__平__面___所组成的图形叫做 二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面 角的面． (2)二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作 _垂__直__于__棱_____的两条射线，这两条射线所成的角叫做 _二__面__角__的___平__面__角_． (3)二面角的平面角的作法： ①定义法；②三垂线定理法；③作棱的垂面法；④向量法．
§9.5 空间角(A、B)
本节目录
教
考
考
知
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点向能回探瞭演
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究
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夯
讲
把
轻
实
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松
双
互
高
闯
基
动
考
关
教材回顾夯实双基
基础梳理 1．异面直线所成的角 已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a， b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角 (或夹角)． 2．斜线和平面所成的角 (1)斜线与斜线在平面的__射__影_____所成的角叫斜线与平面所成 的角，其范围为(0°，90°)．
3．用平面的法向量，如何求线面角、二面角的大小？
提示：(1)线面角的求法：
设 n 是平面 α 的法向量，A→B是直线 l 的方向向量，
→
则直线
l
与平面
α
所成的角为
arcsin
|AB·n| →
，如图(1)所示；
|AB|·|n|
(2)二面角的求法： ①AB、CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的异 面直线，则二面角的大小为〈A→B，C→D〉或 π－〈A→B，C→D〉， 如图(2)所示； ②设 n1，n2 是二面角 α－l－β 的两个面 α，β 的法向量，则〈n1，