有限单元法2.3
有限单元法
有限单元法
有限元法：将结构物看成由有限个划分的单元组成 的整体，以单元结点上的值作为整个单元的平均值。它 是一种化整为零、集零为整、化未知为已知的方法。不 同的学科，所求解的参数不同。在结构力学中，主要有 以下三种：
● ● ●
位移型：以结点位移为未知量。 力型：以结点力为未知量。
混合型：某些地方以结点位移为未知量，另外一 些以结点力为未知量。 我们主要就“位移型”有限元进行讲解。
用矩阵表示为： u N u N u N N ui Nδ ⓔ i i j j j i uj 其中
Ni 1 x l Nj x l
（2-2）
有限单元法
② 进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义，
有：
du dN ⓔ 1 1 ⓔ δ δ Bi dx dx l l B j δ ⓔ Bδ ⓔ
3 2
4
5
1
6
1
2
3
4
5
图2.1 弯曲杆件系统
图2.2 截面连续变化杆件系统
5 (8 9 1 0 ) 6 (1 1 1 2 1 3 ) 6 4 3 5 4 (5 6 7 ) 3 2
5 (1 3 1 4 1 5 ) 6 4 3 (7 8 9 ) 3
6 (1 6 1 7 1 8 )
5 4 (1 0 1 1 1 2 )
（2-3）
这里
1 1 B l l
为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：
E EBδ ⓔ
（2-4）
有限单元法
③ 求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚 度矩阵，设杆端i、j分别产生虚位移 ui 、 u j ，则由此引起的杆 轴任意截面的虚位移为：
《弹性力学问题的有限单元法》
《弹性力学问题的有限单元法》弹性力学问题的有限单元法（FiniteElementMethod，简称FEM）是一种经典的多学科跨领域的计算方法，它用于估算连续体结构中非线性材料力学性能，如强度、刚度和破坏。
有限单元法已成为工程和材料科学中最重要的数值计算方法，可用于解决各种复杂多学科优化和设计问题。
有限单元法的基本思想是把复杂的连续体结构划分成许多小的、较容易处理的有限元素，而不是像一般的解析方法那样求取整体的解析解。
基于有限元素重要的性质，即小元素经过一系列的连接后就可以构成整个结构的模型，有限单元法的本质是数值分析，也就是根据模型的物理知识，选择有效的数值化方法，用数值计算的方法求解所要求的结果，从而使这些数值计算结果符合实际结构物理知识。
有限单元法是一种有效计算弹性力学问题的方法，它可以用来求解任意形状的结构问题，无论是有边界条件还是无边界条件，无论是线性或者非线性的形状变化，有限单元法都能够有效地应用。
其优势在于以节省计算时间和消耗的成本，在特殊的材料条件下，它可以比较快速地获得弹性力学问题的有效精确解。
其精度依赖于计算模型元素的类型、形状和几何尺寸等，因此通常需要调节元素的类型、形状和尺寸，以满足计算需要。
在计算机技术的发展下，有限单元法的计算能力越来越强大，可以对更多的复杂问题进行分析，可以更有效地解决工程设计中的实际问题。
由于计算机可以模拟各种变形和应力的变化，因此有限单元法可以为工程设计和材料研究提供更可靠的结果。
有限单元法在工程应用中的实际作用是显而易见的。
它不仅可以用来计算弹性结构中的材料力学特性，还可以分析复杂结构的动态响应。
此外，有限单元法还可以用来计算弹性结构中的表面张力、刚度，以及各种材料的裂缝扩展。
通过有限单元法的应用，可以获得有效的数值结果，从而提高设计效果和工程安全性。
因此，有限单元法对于材料科学和工程设计都具有重要价值，今后还将发挥更多的功能。
有限单元法是多学科跨学科的计算方法，它可以用来有效地分析复杂形状结构的力学特性，计算出精确的结果，从而提高工程设计的效果和安全性。
有限单元法基础答案.doc
有限单元法基础答案【篇一：高等有限元课后题答案(1)】txt> 思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为b，每个结点的自由度为n，各单元中结点整体码的最大差值为d，则b=n(d+1) ，在平面问题中n=2 。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
有限单元法
有限单元法人们常说：“教学有法，教无定法。
”的确，要提高语文课堂教学的质量，要提高学生的语文素养，教师不能一味地把知识灌输给学生，而应该为学生营造轻松、自主、开放的课堂氛围，从而提高学生的学习兴趣。
如何将课堂活动落到实处？语文老师们苦思冥想，找出了许多种教学方法，但这些教学方法都存在一个共同的问题：一节课下来，学生的知识似乎没有增加多少，他们好像只懂得了听讲，对知识点不求甚解，效果可见不佳。
那么怎样才能让学生在有限的时间内既扎实基础又培养能力呢？有限单元法可以助你一臂之力。
这就是有限单元法。
在上《夏天里的成长》这篇课文时，我把全班分成了三组，每一组负责查阅《大自然的语言》《夏天里的成长》和《童年的水墨画》三篇课文。
每个小组安排一名组员负责摘抄三篇课文中具有代表性的段落，并把它们进行分类整理，写出自己的感受。
这一环节引导学生在课外对课文进行深入地了解，发挥了课本学习的延伸作用。
《夏天里的成长》一课中，安排了三次关于“蝉鸣”的交流讨论，我告诉学生“不同的季节会听到不同的蝉声，我们所熟悉的蝉声就来自这个春天……”“请大家拿出各自的工具书，通过字典或百度来了解一下‘蝉’这个字的含义。
”“‘鸣’的古意是什么？”通过交流与探讨，同学们纷纷表示会收集“鸣”的资料，丰富自己的知识。
整个过程轻松愉快，活跃了课堂气氛，培养了学生读书的好习惯。
除了这些，我还用了有限单元法设计了“一石激起千层浪”这一环节，精心创设教学情境，使学生置身于具体的情境之中，受到熏陶，得到启迪。
在交流讨论时，有同学提出“有的蝉是好几年才叫一次的，一辈子就叫一回，也有的蝉在一年中的不同时候都叫……那么蝉为什么叫的次数不同呢？”面对这样的问题，我们没有急于给出答案，而是鼓励学生继续查阅资料，多思考，相信他们肯定会带着这个问题走进下一课。
这一环节的设计巧妙利用了网络资源，拓宽了学生的视野，开阔了学生的思路，学生仿佛一下子解开了心中的疑惑，收获良多。
2.有限单元法简介
1.4 张量分析符号约定
• 1. 爱因斯坦求和约定 •
• 微分约定，即下标中出现逗号”,”表示对坐 标求偏微导
• 矢量和矩阵采用黑斜体来表示，如
2 弹性力学变分原理
• 2.1弹性力学基本方程 • 弹性力学体系建立在以下一些基本假设 基础上： • (1) 假设物体是连续的； • (2) 假设物体是均匀的； • (3) 假设物体是各向同性的； • (4) 假设物体是完全弹性的； • (5) 小变形假设
• 有限单元法建立在虚功原理和最小势能原理基础上 • Argris和Marcal等最早对弹塑性有限元分析做出了贡献 • Hibbit等于1970年提出了以Lagrange描述法为基础的大 变形弹塑性有限元列式 • 1973年，Lee和Kobayashi提出了以Lagrange法引入不可 压缩条件的刚塑性有限元方法 • Zienkiewicz等于1975年提出了采用罚函数法处理不可 压缩条件的刚塑性有限元方法 • 在20世纪90年代前，非线性有限元的解法主要是静态 隐式方法，加州大学Berkeley分校的学者T.J.R. Hughes， R. Taylor，J. Simo J，K.J. Bathe，E. Ramm, C. Felippa， M. Ortiz等人对这种方法的进步做出了杰出的贡献 • John Hallquist于1976年在Lawrence Livermore实验室发 布了DYNA程序
• 虚位移原理可叙述为，对于一个变形体， 如果内力和外力在满足几何协调方程和 位移边界条件的虚位移 上所做功的和为 零，那么，该变形体一定处于平衡状态； 反之，如果变形体处于平衡状态，那么， 变形体的外力和内力所做虚功之和一定 为零，它表述了变形体力系平衡的充要 条件。
2.3.3 最小势能原理
有限单元法部分课后题答案
１.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。
１.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。
整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。
单元Ｋiｊ物理意义Ｋij 即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。
整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。
对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
《有限单元法》1-5章课后习题答案
δδ∏00且或∏,泛函极值性对于判断解的近似性质有意义,利用它可以对解的上下界做出估计。
思考题1.9什么是里兹法?通过它建立的求解方法有什么特点?里兹方法收敛性的定义是
什么?收敛条件是什么?
里兹法:在某一函数空间寻找试探函数,利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化
为该函数关于权值的极值问题。其特点是:试探函数是全域的,解的精度依赖于试探函数的
5qL L 5qL
wx L x当x , w
5 4
120EI + kl 2 480EI + 4kL
4
L 5qL
精确解w ???,应该是三角级数更接近精确解。因为是最小位能原理建立的
2 384EI
泛函,因此近似解比精确解要偏小。因此只要比较三角函数和幂函数的结果,就可以知道哪
个更精确了。另外,取不同的阶数,逼近速度不同,三角函数更快。
可得最终结果(略)。3 2 2 2 w ww ww
δδw n ds?+ n dsδ dxdy?
xx?∫∫3 2∫2 2
ΓΓ?x xx ?x ?x? 2 2 2 3? ww ?
+δ dxdy?+δδ n ds w n ds? y y
∫22∫2∫2ΓΓ
?y ?x ?y ?x y xD?
0
2 2 2 3 ww ?
12
23
L LL
3
x
上式中的最后一项前面没有待定系数,这是由于使用了在xL处φ1的强制边界条件。
3
L
从物理意义上说,相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将(1 )
式代入教材(1.2.26 )式,得到残量:
x 66 xx
R x a ?6 + a 2? + + Qx
有限单元法的基本原理
f y
d dx
f y '
0
0
d
y'
0
dx 1 ( y')2
y' C 1 (y')2
y y(x) C1x C2
2.3 弹性力学平面问题
连续介质的离散
连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元 特性计算以及单元组合体的结构分析。
对于二维连续介质，以图所示的建筑在 岩石基础上的支墩坝为例，用有限单元法 进行分析的步骤如下：
2
K
21
j 0
n K n1
2 K12 K 22
0
Kn2
j 0 0 0 1 0 0 0
n
K1n 1 p1
2
p2
0 K nn
j
n
0
pn
只能用于给定零位移。
对角元素乘大数法
j j
K11 K12
K
21
K 22
K1n 1 p1
位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
u 1 2 x 3 y v 4 5x 6 y
1
u 2A (ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)um
v
1 2A
(ai
bi x ci y)vi
3 4
PP43
k
j4m4
5
P5
km4m4 6 P6
K P
K11 K12 K13 K14 K15 K16
K 21
K 22
K 23
K 24
K 25
K
26
[K ] KK3411
有限单元法
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
有限元分析技术
第二章有限元分析技术2.1概述有限单元法（Finite Element Method, FEM）是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力，应变和位移等参数的数值计算方法。
它是一种通用的近似计算方法，也是解决工程实际问题的强有力的数值计算工具之一。
目前，FEM在航空，航天，机械，汽车，铁路，船舶，交通，建筑，电子，地质矿产，水利水电，石油化工，生物医学以及科学研究领域得到了非常广泛的应用，并越来越受到业界的高度重视。
有限元分析的一般过程如图2-1所示：根据有限元分析的一般过程，在实际应用中主要有两中解决方案：编写程序和应用有限元分析软件。
对于工科类学生而言，大多以应用工程软件为主。
其优点是，学生通过使用软件，可以容易的解决一般的工程实际问题，学习时间短，效率高，但缺点是无法洞察软件所蕴涵的有限元分析理论。
限于篇幅，本章以介绍软件应用为主。
用于有限元分析的应用软件很多，如SAP 5，ADINA，ANSYS，ALGOR，ABACUS，MARK，NASTRAN ，ASKA 等。
其中，ANSYS 是由美国ANSYS 公司研制开发的大型通用有限元分析软件，是目前市场上最流行，功能最强大的有限元分析软件之一，已广泛应用于多种学科及工程领域。
它不但具有强大的前置处理，求解和后置处理功能，而且提供二次开发工具，并提供多种与CAD 直接转换的接口。
因此，本章主要介绍ANSYS8.0软件的几个基本模块的使用和具体操作。
希望通过三个实训模块的练习，使学生了解有限元分析的基本过程，并初步学会使用和操作ANSYS8.0分析软件。
2.2实训1——衍架的结构静力分析结构静力分析是ANSYS 软件中最简单，应用最广泛的一种功能，它主要用于分析结构在固定载荷（主要包括外部施加的作用力，稳态惯性力如重力和离心力，位移载荷和温度载荷等）作用下所引起的系统或部件的位移，应力，应变和力。
弹性力学平面问题的有限单元法
§2.3 三角形单元分析
从离散体系中任取一个单元，如图所示。三 个结点按反时针方向顺序编号为i、j、m。结点坐 标分别为(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。
一、单元的结点位移和结点力向量
由弹性力学平面问题可知，一个连续体，每点
应有两个位移，因此每个结点应有两个位移分量，
则三角形共有六个自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm 。如图 b所示。各结点位移向量可写成
入上式，同时考虑到矩阵相乘的转置规则，式（b）可改写为
({}e )T {P}e
({}e )T ([N]Tb ){Q}
{F}o K o{}o
式中，[K] o是6×6阶矩阵，称为单元刚度矩阵。 单元分析先要建立单元内的应变、应力分别与结点位
移的关系，这不光是推导上式的需要，也为最后求出 结点位移后再顺利求得单元内的应变和应力作好准备。
2-9
二、单元位移模式 有限单元法虽然对计算对象的整体作了物理近
似，但在每个单元内部，则仍然认为符合弹性力学 的基本假设，因此弹性力学的基本方程在每个单元 内部仍然适用。
ym
A为三角形单元的面积。
2-12
经过运算得用单元结点位移表示的单元位移模式为
{
f
}o
u(x, { v(x,
y) }
y)
Ni (x,
0
y)
0 Ni (x, y)
N j (x, y) 0
0 N j (x, y)
Nm (x, y) 0Biblioteka Nm0 (x,
y){}o
(2-1)
式中的Ni、Nj、Nm由下式轮换得出
{δΔ}o=[δui,δvi,δuj,δvj,δum,δvm]T 单元内的虚位移则为
有限单元法的基本理论 有限单元法的基本概念汇总
第2章
有限单元法的基本概念
第一篇 基本部分
2.3 结构离散化
结构离散化是有限单元法分析的基本前提，也是有 限单元法解解题的重要步骤。 2.3.1 结构离散化的主要任务是：
（1）选择合适的单元类型，把结构分割成有限个单元；
（2）把结构边界上的约束，用适当的结点约束来代替；
（3）把作用在结构上的非结点载荷等效地移置为结点载荷；
（2）平面问题单元；
在弹性平面问题中，常用的单元有：3结点三角形单元、4结点矩 形单元、6结点三角形单元、4结点任意四边形单元、8结点曲边 四边形单元，如图所示
（3）轴对称问题单元； 对于轴对称问题，一般采用环单元。最常用的是3结点三角形环单 元和4结点四边形环单元。同样，为模拟曲线边界及提高插值函数 精度，还可以采用更多结点的环单元，如8结点四边形环单元。如 图2－3所示
第2章
有限单元法的基本概念
第一篇 基本部分
2.2 有限元法的基本要素
构成有限元系统的3个基本要素是节点、单元和自由度。
（1）节点（Node）：节点是构成有限元系统的基本对象，也就 是这个工程系统中的最基本点，它包含了坐标位置以及具有物理 意义的自由度信息。
（2）单元（Element）：单元是由节点与节点相连而成，是构 成有限元系统的基础。一个有限元系统必须有至少一个以上的单 元。单元与单元之间由各节点相互连接，在具有不同特性的材料 和不同的具体结构当中，可选用不同种类的单元，单元中包含了 物理对象的各种特性。因此单元的选择极为重要，决定求解效率 和精度。 （3）自由度(DOF,Degree of Freemdom）：包括系统的自由度 和节点自由度。在分析中需要对整个系统的自由度进行适当的约 束,系统中每个节点都有各自的节点坐标系和对应的节点自由度， 不同单元上的节点具有不同的自由度。
工程有限单元法
工程有限单元法
机电工程学院
有限元措施是分析连续体旳一种很有效旳 近似计算措施。是计算机问世后来迅速发 展起来旳一种广泛用于工程构造建模与分 析旳措施。阐明工程实际问题与计算措施 息息有关。
自然现象旳背后都相应有有关旳物理本质 与事物规律，用数学措施对物理本质与事 物规律进行描述能够得到普适性定律和特 定性定理，以及多种形式旳（如代数、微 分或积分）数学方程，即数学模型。
“合”则是为了集合单元，对整体构造进行综合 分析。
构造离散-单元分析-整体求解
工程有限单元法
2.1有限元法旳实现过程
机电工程学院
工程有限单元法
机电工程学院
(1)对象离散化
当研究对象为连续介质问题时，首先需要将所研究旳对 象进行合理旳离散化分割，即根据精度预期或经验将连续问 题进行有限元分割。
(2)单元分析
机电工程学院
工程有限单元法
机电工程学院
第2章 弹性力学基本方程及平面问题旳有限元法
工程有限单元法
机电工程学院
2.1 弹性力学简介
本课程中旳有限单元法理论要用到弹性力学 旳某些基本概念和基本方程。将简朴简介这些 概念和方程，作为弹性力学有限单元法旳预备 知识。
工程有限单元法
机电工程学院
弹性力学 —区别与联络 — 材料力学
向P点, 则ΔF/ΔA 将趋向一种极限 p:
F lim p A0 A
这个极限P就叫做物体在截面mn上，在P点旳应力。
弹性体受外力后来，其内部将产生应力。
工程有限单元法
机电工程学院
内力、平均应力和应力旳概念
工程有限单元法
机电工程学院
4. 正应力和切应力旳概念
正应力：应力在作用截面法线方向旳分量； 切应力：应力在作用截面切线方向旳分量。
有限单元法
有限单元法考试的题目一般不会超出某一单元的知识点，也就是说，你可以从不同的角度去解答它。
如果一个老师出卷的时候能够兼顾到全部的单元知识，那么他给学生设计的题目也应该都是考察相关单元的知识。
因此，这种方法还真的很实用，而且比较高效。
我就运用这种方法，把学生们整个学期的课文背下来了。
因此，当我的学生们看见我拿出《李时珍夜宿古寺》这篇课文让他们背诵的时候，还没等我把课文念完，大家就已经“朗朗上口”了。
如果老师的题目只局限在某一单元里面，对于学生来说可能无所谓，但是现在初中的学生大多数都开始自己学着预习、自己查找资料、自己写周记了，所以这种方法必须适合于他们。
有限单元法的基本思想就是以教材为基础，以拓展为发展，把握单元学习重点，注意单元内的联系，最后达到贯通所学知识的目的。
例如，《三峡》这篇课文，三峡是个很好的例子。
本单元将三峡作为一个单元，对于三峡景物进行整体描述，并涉及到对三峡地理位置和成因的探究。
它是三峡自然景观的总概括，也是重点的记叙文段。
可分为：三峡总述、巫峡、西陵峡。
三峡是文章的重点，对于三峡地理位置、成因以及水流特点等内容，都是重点讲授内容，所以我利用这篇课文向学生介绍这些知识点，并且穿插图片和视频，再辅以典型词句的精炼赏析，学生很快就掌握了要领。
至于三峡其他两个峡的学习，我则是先教授第一个巫峡，再教授第二个西陵峡，最后整合成一个单元。
这样做的好处是学生在学习中如果有问题了，或者是困惑了，在第一次尝试的时候，就可以进行搜集资料、讨论，在以后的几个单元的学习中逐步强化，那么在考试的时候遇到类似的题目就可以轻松应对了。
这就好像跳远训练一样，你必须得分组来跳，每个人负责跳多少米，只有最后所有的组员都跳得很好了，才可能使最后的成绩有提升。
所以我设计的课程表以教材为主线，一节课一个单元，一个单元一个章节。
首先，上课铃声响起，上课时间还剩余五分钟，则自动进入下一单元的学习。
其次，每次讲到新的单元，下课铃声响起，则顺延至下一次课开始。
王勖成《有限单元法》学习总结
一、绪论
1.2 有限元法特性：
① 对于复杂几何构型的适应性（单元在空间可以是一维、二 维或三维的，而每一种单元可以有不同形状）； ② 对各种物理问题的可应用性(用单元内近似函数分片地表示 全求解域的未知场函数，并为限制场函数所满足的方程形式， 也为限制各个单元所对应方程必须是相同的形式)； ③ 建立于严格理论基础上的可靠性(用于建立有限元方程的变 分原理或加权余量法在数学上以证明是微分方程和边界条件的 等效积分形式)； ④ 适合计算机实现的高校性(有限元分析的各个步骤可以表达 成规范的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵 代数问题，特别适合计算机编程和执行)。
王勖成《有限单元法》
（学习总结）
2020/3/8
汇报人：XXX 时 间：XXX
1
内容提纲
一、绪论 二、有限元法的理论基础-加权余量法和变分原理 三、弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达式 四、单元和插值函数的构造 五、等参元与数值积分 六、有限元法运用中的若干实际考虑 七、线性代数方程组的解法 八、有限元分析计算机程序
由于
是任意的，满足上式时必然有
都等于零。这是与待定系数a的个数相等的方程组， 用以求近似解的经典方法叫做里兹法。
里兹法的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的最好
解，显然近似解的精度与试探函数的选择有关。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.3 变分原理和里兹方法 2.3.2 里兹方法：
张量形式的几何方程为：
其扩展形式为：
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式： 物理方程：
张量形式的物理方程为：
有限单元法的基本概念和理论基础
可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示：
1
2
应变分量向量
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
01
02
03
04
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，可得
考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。
应变分量与位移分量的关系来自<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
简化得
剪应力互等
应力
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程：
平衡微分方程
可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。
杆件结构有限单元法
COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE
第2章 杆件结构分析的有限单元法
2.1 结构离散 2.2 单元的刚度矩阵 2.3 坐标变换 2.4 结构刚度方程
2.5 支座约束处理
2.6 刚度方程求解及内力计算 例1. 桁架结构计算示例 例2. 刚架结构计算示例
矩阵表示： Fxi EA l F 0 yi EA Fxj l 0 F yj
0 EA l 0 0 0 EA l 0 0
0
0 0
0
ui v i u j v j
单元刚度矩阵（方法二）
2）轴向拉压杆（链杆）单元的位移的函数
u( x) 1 2 x
由单元结点位移，代入位移函数中确定待定系数项：
x 0, u ui ;
1 ui ,
2.1 结构离散
平面刚架的梁单元e：
i ui j
e Fi e Fxi Fj
e
vi i
Fyi Mi
uj
Fxj
vj j
Fyj
T
F
e
M j
T
平面桁架的链杆单元e：
e
i ui j
(e ) K ii (e ) K ji (e ) K ij K (jje)
K (e)
(e ) K 单元刚度矩阵常用子块形式表示:
其中每个都是3×3的方阵，子块 Kij(e) 表示杆端j 作用一单 位位移时, 杆i 端引起的杆端力。
16 返回
有限单元法第二版教学设计
有限单元法第二版教学设计
一、教学目标
通过本次课程的学习，学生将掌握以下内容：
1.了解有限单元法的基本原理和基本思想；
2.掌握有限单元法的常用方法和应用技巧；
3.学会基于有限单元法进行力学问题的数值模拟和计算。
二、教学内容
2.1 有限单元法基本原理和基本思想
1.有限单元法的基本概念；
2.有限单元法的能力和限制；
3.有限单元法的优劣势和适用范围。
2.2 有限单元法常用方法和应用技巧
1.有限单元法数值计算方法；
2.有限单元法应用技巧；
3.有限单元法的工程计算实例分析。
2.3 基于有限单元法进行力学问题的数值模拟和计算
1.有限单元法在力学问题中的应用；
2.有限单元法在固体力学、热传导问题中的应用；
3.通过实例演示和练习的方式加深学生对于有限单元法的理
解和应用能力。
1。
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ⓔ
vi Fyi
uj
vj Fx j
um Fy j
vm Fxm
uk Fy m
vk
T
目录
Fxk
Fyk
T
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2.3 平面4结点矩形单元
单元位移函数
有8个结点位移，依 据帕斯卡三角形， 其单元的位移场函 数为：
b b
vk uk
y x m(xm , ym)
vm
um
k (xk , yk )
(2 35)
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2.3 平面4结点矩形单元
单元应变场
u u b x v v 1 ε a y ab v u v u a b y x
k ⓔδⓔ F ⓔ
kij k jj kmj kkj kim
k jm kmm kkm
其中：
kik k jk kmk kkk
(2 41)
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krs Br T DBs d V
(r , s i, j, m, k )
2.3 平面4结点矩形单元
对于平面应力问题
1 x y N j 1 1 4 a b 1 x y N k 1 1 4 a b
(2 34)
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2.3 平面4结点矩形单元
令：
x y , a b 则： 1 N r 1 r 1 r (r i, j , m, k ) 4 xr yr r , r a b (r i, j , m, k )
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2.3 平面4结点矩形单元
将位移函数写成矩阵形式：
u N i v 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0 0 Nm Nk 0 0 ⓔ δ Nδⓔ Nk
(2 33)
1 x y N i 1 1 4 a b 1 x y N m 1 1 4 a b
vi
i (xi , yi ) j(xj, yj )
vj
ui a
(2 31)
a
uj
u a1 a2 x a3 y a4 xy v b1 b2 x b3 y b4 xy
结点处满足：
u xr , yr ur v xr , yr vr ( r i , j , k , m)
Bj
Bm
Bk ]
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2.3 平面4结点矩形单元
N r b 1 Br 0 ab N r a 0 0 b r (1 r ) N 1 a r 0 ar (1 r ) (r i, j , m, k ) 4ab ar (1 r ) bi (1 r ) N r b
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2.3 平面4结点矩形单元
对于平面应变问题：
E
E 2 1
1
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2.3 平面4结点矩形单元
单元刚度矩阵
根据虚位移原理或极小势能原理导出结点 位移和结点力之间关系： 单元刚度矩阵 如下：
kii k ⓔ ji k kmi kki
V
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因为：
u Nδⓔ v
2.3 平面4结点矩形单元
所以：
ε = Bδⓔ
(2 37)
其中：
b 1 B 0 ab a 0 a N = [ Bi b
2.3 平面4结点矩形单元
3结点三角形单元是常应变单元，单元内部 应力是一个常量，分析时需较密网格，需要 更多结点的单元。 4结点矩形单元采用比常应变三角形单元更 高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性 体的位移状态和应力状态。
vk uk k (xk , yk ) m(xm , ym) x vm um y
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(2 32)
2.3 平面4结点矩形单元
将式(2-32)代入式(2-31)：
1 1 a1 (ui u j um uk ) a2 (um ui u j uk ) 4 4 1 1 a3 (um ui u j uk ) a4 (ui u j um uk ) 4b 4ab 1 b1 (vi v j vm vk ) 4 1 b3 (vm vi v j vk ) 4b 1 b2 (vm vi v j vk ) 4 1 b4 (vi v j vm vk ) 4ab
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k11 k12 Eh krs 4ab(1 2 ) k21 k22
r , s i, j, m, k
(2 42)
1 1 2 1 k11 b 2 r s 1 r s a r s 1 r s 2 3 3 1 k12 ab r s r s 2 1 k21 ab r s r s 2 1 1 2 1 k22 a 2r s 1 r s b r s 1 r s 2 3 3
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上页
b
vi i (xi , yi ) ui
vj j(xj, yj ) a a uj
Hale Waihona Puke b下页 退出2.3 平面4结点矩形单元
vk uk
y x m(xm , ym)
vm
um
k (xk , yk )
b
vi
i (xi , yi )
j(xj, yj )
vj
b
ui a
a
uj
δ ui F Fxi
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2.3 平面4结点矩形单元
单元应力场
ζ Dε DBδⓔ Sδⓔ
S [ Si Sj Sm Sk ]
(2 39) (2 40)
b r (1 r ) a r (1 r ) E Sr DBr b r (1 r ) a r (1 r ) (r i, j , m, k ) 目录 2 4ab(1 ) 1 1 ar (1 r ) b r (1 r ) 上页 2 2
(2 36)
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2.3 平面4结点矩形单元
将式(2-36)写成矩阵相乘：
u u 0 b b x v u v 1 1 ε 0 a ab a ab y v v u v u a b a b y x