2017用函数的观点看一元二次方程.doc
新修订《普通高中数学课程标准(2017年核心素养版)》的解读与思考
2．评价建议
• 教学评价是数学教学活动的重要组成部分。评价应以课 程目标、课程内容和学业质量标准为基本依据，日常教 学活动评价，要以教学目标的达成为依据。要关注学生 对具体内容的掌握情况，更要关注数学学科核心素养的 综合性与整体性。
• 教师要基于对学生的评价，反思教学过程，总结经验、 发现问题，提出改进思路。因此，数学教学活动的评价 目标，既包括对学生学习的评价，也包括对教师教学的 评价。
• 能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证； 能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学 思想。
• 在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象。
水平三：
• 能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予 以表达；能够在得到的数学结论基础上形成新命题；能够针对 具体问题运用或创造数学方法解决问题。
• 能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构，能够理 解数学结论的一般性，能够感悟高度概括、有序多级的数学知 识体系。
• 在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数 学语言予以表达；能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的 数学思想。
• 在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社会现象。
数学建模活动 与数学探究活动
机动
建议课时 30 44 26
4 4
4.课本章节
五、学业质量
（一）学业质量内涵
• 学业质量是学生在完成本学科课程学习后的学业成就表现。 • 学业质量标准是以本学科核心素养及其表现水平为主要维
度,结合课程内容,对学生学业成就表现的总体刻画。
• 学业质量是应该达成的数学学科核心素养的目标,是数学学 科核心素养水平与课程内容的有机结合。
水平一：
• 能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特 例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数 学方法解决简单问题。
解读《普通高中数学课程标准(2017年版)》
解读《普通高中数学课程标准（2017 年版）》从课程标准的结构来看，2017 版普通高中数学课程标准，新增了学科核心素养、课程结构、学业质量三个重要的部分，同时课程标准还围绕核心素养和教学评价给予了相关案例，帮助高中数学老师在教学实践过程中更好地落实新课程标准。
二、课程性质与基本理念的变与不变（一）课程性质在2017 年课程性质中明确了数学课程的社会功能和教育功能强调了高中数学课程，是义务教育阶段后普通高级中学的主要课程，具有基础性，选择性和发展性，必修课程，面向全体学生构建共同基础，选择性必修课程，选修课程，充分考虑学生的不同成长需求，提供多样性的课程，供学生自主选择，高中数学课程，为学生的可持续发展，和终身学习创造条件。
（二）课程基本理念两版课程标准的核心指导思想均为以学生发展为本，相较于实验版课标着重强调教师注重学生能力发展转变为注重学生核心素养的培养倡导独立思考、自主学习、合作交流的学习模式，并在教育过程中强调重视过程性评价促进学生在不同的学习阶段数学核心素养水平的达成。
三、学科核心素养与课程目标的变与不变（一）学科核心素养与实验版课程标准相对比，可以发现，2017 年课程标准首次提出了数学区别与其它学科的核心素养包括：数学抽象，逻辑推理，数学建模、直观想象，数学运算，数据分析。
并强调数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。
这些数学核心素养既相互独立，又相互交融，是一个有机整体。
（二）课程目标(1). 由原来是“双基”转变为“四基”与“四能”。
提出通过高中数学课程学习学生进一步学习，以及未来发展所必需的数学基础知识，基本技能，基本思想，基本活动经验提高，从数学角度发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力。
(2). 由提高数学能力转变为发展数学素养在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析、等数学学科核心素养。
2017华师版一元二次方程的根与系数的关系.doc
第4课时 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标
1.知识与技能
(1)知道根与系数的关系与“△” 之间的联系；
(2)能灵活运用根与系数的关系。
2.情感、态度与价值观
（１）通过自主、探究性学习，使学生养成良好的思维习惯；
（２）通过对根与系数关系的理解，培养学生严谨科学的思维方式。
教学重点难点
1.重点 会运用根与系数的关系解决一些综合问题；
2.难点 掌握解题技巧。
教与学互动设计
（一）合作交流，解读探究
1.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442
=+-x mx 与 0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。
2.已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()014422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问1x 、2x 能否同号？若能同号，请求出相应的m 的值的范围；若不能同号，请说明理由。
3.将12分成两部分，使它们的乘积为正整数k 。
（1）将12分成怎样的两部分，可以使它们的乘积k 等于20或27？
（2）有没有这样的k ，随便怎样分，都无法使它们的乘积等于这个k ？
（3）如果它们乘积的两部分均为整数，有没有最大的或最小的k 值？
4.已知1x 、2x 是方程()()
053222=+++--k k x k x 的两根， 求2221x x +的最大值。
5.a 为何值时，方程
()02222=-++-+-x x a x x x x x 只有一个实根，并求此实根。
01一元二次方程的概念及解法-教师版
第 1 页 共 18 页教学辅导教案学生姓名年 级 九年级学 科 数学 上课时间 2017年 月 日教师姓名课 题 北师大版 九上 一元二次方程概念及解法1. 如图，在四边形ABCD 中，AC =BD =6，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EG 2+FH 2= .【解析】如图，连接EF ，FG ，GH ，EH ， EG 与FH 相交于点O .∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点， ∵EH 是∵ABD 的中位线. ∵EH =BD =3.同理可得EF =GH =AC =3，FG =BD =3. ∵EH =EF =GH =FG =3.∵四边形EFGH 为菱形. ∵EG ∵HF ，且垂足为O .∵EG =2OE ，FH =2OH . 在Rt ∵OEH 中，根据勾股定理得：OE 2+OH 2=EH 2=9. 等式两边同时乘以4得：4OE 2+4OH 2=9×4=36. ∵（2OE ）2+（2OH ）2=36，即EG 2+FH 2=36.2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∵AC ，CE ∵B D ． （1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若∵ACB ＝30 ，菱形OCED 的面积为38，求AC 的长．解：（1）证明：∵DE ∵OC ，CE ∵OD ，∵四边形OCED 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∵ AO ＝OC ＝BO ＝OD ，∵四边形OCED 是菱形． （2）∵∵ACB ＝30°，∵∵DCO ＝ 90°— 30°＝60°. 又∵OD ＝ OC ，∵∵OCD 是等边三角形 .121212ABCDEO过D 作DF ∵OC 于F ，则CF ＝21OC ，设CF ＝x ，则OC ＝2x ，AC ＝4x ， 在Rt ∵DFC 中DF x 3=，由已知菱形OCED 的面积为38得OC ⋅ DF ＝38，即3832=⋅x x ， 解得x ＝2，∵ AC ＝4⨯2＝8 .3．如图，在一张∵ABC 纸片中，∵C =90°，∵B =60°，DE 是中位线，现把纸片沿中 位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：∵邻边不等的矩形；∵等腰梯形；∵有一个 角为锐角的菱形；∵正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】∵DE 是∵ABC 的中位线，∵DE ∵BC ，且DE ＝12B C ．∵∵C =90°，∵B =60°，∵AB ＝2BC ，AE ＝BE ＝B C ．又∵C ＝90°，∵AC ＜AB ，DC ＜BE ．如图(1)，把∵ADE 绕点E 旋转180°，使AE 与BE 重合，由题意可得∵C ＝∵D ＝∵F ＝90°，则四边形BCDF 是矩形，且CD ＜BC ，所以构成邻边不等的矩形，则∵成立．如图(2)，把∵ADE 绕点D 旋转180°，使AD 与CD 重合，由题意可得BC ＝BE ＝EM ＝MC ，则四边形BCME 是菱形，且∵B ＝60°为锐角，则∵成立．如图(3)，移动∵ADE ，使A 与D 重合，D 与C 重合，点E 在BC 的延长线上，由题意可知DE ∵BN ，且DE ≠BN ，所以四边形BNDE 是梯形，又DN ＝BE ，所以梯形BNDE 是等腰梯形，则∵成立．因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则∵不成立．1．下列方程中：∵4x 2=3x ；∵（x 2﹣2）2+3x ﹣1=0；∵+4x ﹣=0；∵x 2=0；∵=2；∵6x （x +5）=6x 2．其中一元二次方程的个数是（ ）ABCDEO 图FA．1B．2C．3D．4【解答】解：是一元二次方程的是：∵∵∵共有3个．∵最高次数是4，∵是无理方程故不是一元二次方程．故选C．2．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（）∵x2=1；∵（x﹣2）2=5；∵（x+3）2=3；∵x2=x+3；∵3x2﹣3=x2+1；∵y2﹣2y﹣3=0；∵x2=x+3．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵∵∵∵都是或可变形为x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c，而这四种形式都可用直接开平方法，故选D．3．将方程x2+6x﹣11=0配方，变形正确的是（）A．（x+3）2=﹣2B．（x+3）2=20C．（x+3）2=2D．（x+3）2=﹣20【解答】解：∵x2+6x﹣11=0，∵x2+6x=11，∵x2+6x+9=11+9，∵（x+3）2=20．故选B．4．把方程（2x+1）（3x+1）=x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（）A．4，1B．6，1C．5，1D．1，6【解答】解：（2x+1）（3x+1）=x，6x2+5x+1=x，6x2+4x+1=0，这个方程的一次项系数为4，常数项为1．故选A．5．用公式法解3x2﹣7x+1=0的正确结果是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【解答】解：3x2﹣7x+1=0，b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×3×1=37，x==，故选D．6．关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有两个实数根，那么m的取值范围是（）A．m≤B．0＜m＜或m＜0C．m≤且m≠0D．m≥【解答】解：根据题意得m≠0且∵=4（3m﹣1）2﹣4m（9m﹣1）≥0，解得m≤且m≠0．故选C．7．一元二次方程（x+1）2=3（x+1）的解是（）A．x=0B．x1=0，x2=﹣1C．x=2D．x1=﹣1，x2=2【解答】解：原式可变形为：（x+1）2﹣3（x+1）=0（x+1）（x+1﹣3）=0（x+1）（x﹣2）=0∵x=﹣1或2故选D．8．方程9（x+1）2﹣4（x﹣1）2=0正确解法是（）A．直接开方得3（x+1）=2（x﹣1）B．化为一般形式13x2+5=0C．分解因式得[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0D．直接得x+1=0或x﹣l=0【解答】解：A：直接开平方应得到两个方程：3（x+1）=2（x﹣1）和3（x+1）=﹣2（x﹣1），所以A不正确；B：化成一般形式应是：5x2+26x+5=0；所以B不正确；C：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0，所以C正确．D：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D不对．故选C．9．已知关于x的方程（k﹣1）（k+3）x2+（k﹣1）x﹣k+3=0，当k≠3且k≠1时，它是一元二次方程；当k=﹣3时，它是一元一次方程．【解答】解：根据题意得：（k﹣1）（k+3）≠0，即k≠1且k≠﹣3；根据题意得：（k﹣1）（k+3）=0，且k﹣1≠0，解得：k=﹣3．故答案是：≠3且k≠1，=﹣3．10．用配方法将方程2x2+x=1变形为（x+h）2=k的形式是（x+）2=．【解答】解：∵2x2+x=1，∵x2+x=，∵x2+x+=+，∵（x+）2=，故答案为（x+）2=．11．将方程（4y﹣3）（3y﹣1）=4化成一般形式为ay2+by+c=0，则b2﹣4ac=217，此方程的根是．【解答】解：方程（4y﹣3）（3y﹣1）=4，整理得：12y2﹣13y﹣1=0，这里a=12，b=﹣13，c=﹣1，∵∵=169+48=217，∵y=．故答案为：217；12．用适当的方法解下列方程：（1）9（2x+3）2﹣4（2x﹣5）2=0；（2）x2﹣5=x；（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2=0；（4）x2﹣x+x﹣=0．【解答】（1）解：∵9（2x+3）2=4（2x﹣5）2，∵3（2x+3）=±2（2x﹣5），∵6x+9=4x﹣10，x1=﹣，6x+9=﹣4x+10，x2=．（2）解：∵x2﹣x﹣5=0，∵x2﹣2x=10，∵（x﹣）2=13，∵x﹣=±，∵x1=+，x2=﹣+．（3）解：∵（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2=0．∵（2x﹣1+2）（2x﹣1+1）=0，∵2x=﹣1或2x=0．∵x1=﹣，x2=0．（4）解：∵x2﹣x+x﹣=0，∵x2﹣（﹣）x﹣=0．∵（x﹣）（x+）=0，∵x﹣=0或x+=0．∵x1=，x2=﹣．13．若α是方程x2+x﹣1=0的根，求代数式2000α3+4000α2的值．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1=0的根，∵a2+a=1，∵2000a3+4000a2=2000a（a2+a+a）=2000a•（1+a）=2000（a2+a）=2000．故答案为2000．14．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．（2）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？【解答】解：（1）存在．若使方程为一元二次方程，则m+1≠0，即m≠﹣1且m2+2=2，即m2=0，m=0；∵m=0，当m=0时，方程变为x2﹣2x﹣1=0，∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∵∵=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8，∵x===1±，∵x1=1+，x2=1﹣．因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根为x1=1+，x2=1﹣；（2）存在．若使方程为一元一次方程，要分类讨论：∵当m2+2=1，即m2=﹣1，无解；∵当m2+2=0，无解；∵当m+1=0，即m=﹣1时，m﹣2=﹣3≠0，所以m=﹣1满足题意；当m=﹣1时，原方程变为：﹣3x﹣1=0，解得x=﹣．因此，当m=﹣1时，该方程是一元一次方程，其解为x=﹣．一、一元二次方程1．一元二次方程的概念方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的特点（1）含有一个未知数；（2）且未知数次数最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对（3）一元二次方程根的情况与判别式一元二次方程根的判别式为∵＝b 2－4ac ，其意义在于不解方程可以直接根据判别式∵判别根的情况：∵当∵>0时，方程有两个不相等的实数根； ∵当∵=0时，方程有两个相等的实数根； ∵当∵<0时，方程无实数根． 4.因式分解法 (1) 因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解．（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）． (2) 因式分解法的步骤： ①方程右边化为0； ②左边化为两个因式的积； ③每一个因式等于0； ④解这两个一元一次方程．（3）十字相乘法十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之一．如：当2x 的系数为1时，qpb x a x ab x b a x q px x ⇑⇑++=+++=++))(()(22其特点是：∵二次项系数是1； ∵常数项是两个数之积； ∵ 一次项系数是常数项的两个因数之和． 方法特征：拆常数项，凑一次项注意：∵若二次项系数为1-，可先提取1-；∵若常数项为正数，则两个因数同为正数或同为负数； 若常数项为负数，则两个因数一正一负． 【例1】下列方程中：∵4x 2=3x ；∵（x 2﹣2）2+3x ﹣1=0；∵+4x ﹣=0；∵x 2=0；∵=2；∵6x （x +5）=6x 2．其中一元二次方程的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：是一元二次方程的是：∵∵∵共有3个． ∵最高次数是4，∵是无理方程故不是一元二次方程．故选C ． 【例2】下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（ ）∵x 2=1；∵（x ﹣2）2=5；∵（x +3）2=3；∵x 2=x +3；∵3x 2﹣3=x 2+1；∵y 2﹣2y ﹣3=0；)0(02≠=++a c bx ax∵x2=x+3．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵∵∵∵都是或可变形为x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c，而这四种形式都可用直接开平方法，故选D．【例3】将方程x2+6x﹣11=0配方，变形正确的是（）A．（x+3）2=﹣2B．（x+3）2=20C．（x+3）2=2D．（x+3）2=﹣20【解答】解：∵x2+6x﹣11=0，∵x2+6x=11，∵x2+6x+9=11+9，∵（x+3）2=20．故选B．【例4】把方程（2x+1）（3x+1）=x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（）A．4，1B．6，1C．5，1D．1，6【解答】解：（2x+1）（3x+1）=x，6x2+5x+1=x，6x2+4x+1=0，这个方程的一次项系数为4，常数项为1．故选A．【例5】用公式法解3x2﹣7x+1=0的正确结果是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【解答】解：3x2﹣7x+1=0，b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×3×1=37，x==，故选D．【例6】关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有两个实数根，那么m的取值范围是（）A．m≤B．0＜m＜或m＜0C．m≤且m≠0D．m≥【解答】解：根据题意得m≠0且∵=4（3m﹣1）2﹣4m（9m﹣1）≥0，解得m≤且m≠0．故选C．【例7】一元二次方程（x+1）2=3（x+1）的解是（）A．x=0B．x1=0，x2=﹣1C．x=2D．x1=﹣1，x2=2【解答】解：原式可变形为：（x+1）2﹣3（x+1）=0（x+1）（x+1﹣3）=0（x+1）（x﹣2）=0∵x=﹣1或2故选D．【例8】方程9（x+1）2﹣4（x﹣1）2=0正确解法是（）A．直接开方得3（x+1）=2（x﹣1）B．化为一般形式13x2+5=0C．分解因式得[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0D．直接得x+1=0或x﹣l=0【解答】解：A：直接开平方应得到两个方程：3（x+1）=2（x﹣1）和3（x+1）=﹣2（x﹣1），所以A不正确；B：化成一般形式应是：5x2+26x+5=0；所以B不正确；C：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0，所以C正确．D：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D不对．故选C．【例9】已知关于x的方程（k﹣1）（k+3）x2+（k﹣1）x﹣k+3=0，当k≠3且k≠1时，它是一元二次方程；当k=﹣3时，它是一元一次方程．【解答】解：根据题意得：（k﹣1）（k+3）≠0，即k≠1且k≠﹣3；根据题意得：（k﹣1）（k+3）=0，且k﹣1≠0，解得：k=﹣3．故答案是：≠3且k≠1，=﹣3．【例10】用配方法将方程2x2+x=1变形为（x+h）2=k的形式是（x+）2=．【解答】解：∵2x2+x=1，∵x2+x=，∵x2+x+=+，∵（x+）2=，故答案为（x+）2=．【例11】将方程（4y﹣3）（3y﹣1）=4化成一般形式为ay2+by+c=0，则b2﹣4ac=217，此方程的根是．【解答】解：方程（4y﹣3）（3y﹣1）=4，整理得：12y2﹣13y﹣1=0，这里a=12，b=﹣13，c=﹣1，∵∵=169+48=217，∵y=．故答案为：217；【例12】用适当的方法解下列方程：（1）9（2x+3）2﹣4（2x﹣5）2=0；（2）x2﹣5=x；（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2=0；（4）x2﹣x+x﹣=0．【解答】（1）解：∵9（2x+3）2=4（2x﹣5）2，∵3（2x+3）=±2（2x﹣5），∵6x+9=4x﹣10，x1=﹣，6x+9=﹣4x+10，x2=．（2）解：∵x2﹣x﹣5=0，∵x2﹣2x=10，∵（x﹣）2=13，∵x﹣=±，∵x1=+，x2=﹣+．（3）解：∵（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2=0．∵（2x﹣1+2）（2x﹣1+1）=0，∵2x=﹣1或2x=0．∵x1=﹣，x2=0．（4）解：∵x2﹣x+x﹣=0，∵x2﹣（﹣）x﹣=0．∵（x﹣）（x+）=0，∵x﹣=0或x+=0．∵x1=，x2=﹣．【例13】若α是方程x2+x﹣1=0的根，求代数式2000α3+4000α2的值．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1=0的根，∵a2+a=1，∵2000a3+4000a2=2000a（a2+a+a）=2000a•（1+a）=2000（a2+a）=2000．故答案为2000．【例14】某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．（2）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？【解答】解：（1）存在．若使方程为一元二次方程，则m +1≠0，即m ≠﹣1且m 2+2=2，即m 2=0，m =0； ∵m =0，当m =0时，方程变为x 2﹣2x ﹣1=0， ∵a =1，b =﹣2，c =﹣1，∵∵=b 2﹣4ac =（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8， ∵x ===1±，∵x 1=1+，x 2=1﹣．因此，该方程是一元二次方程时，m =1，两根为x 1=1+，x 2=1﹣；（2）存在．若使方程为一元一次方程，要分类讨论： ∵当m 2+2=1，即m 2=﹣1，无解； ∵当m 2+2=0，无解；∵当m +1=0，即m =﹣1时，m ﹣2=﹣3≠0， 所以m =﹣1满足题意；当m =﹣1时，原方程变为：﹣3x ﹣1=0， 解得x =﹣．因此，当m =﹣1时，该方程是一元一次方程，其解为x =﹣．1． 当2a ≠± 时，方程222(21)1a x x x ax --=+是一元二次方程.2． 若方程1(3)30m m x mx -++=是关于x 的一元二次方程，试求m 的值.解：根据一元二次方程的定义可知，x 的最高次数为2，12m -=，解得3m =±. 又二次项系数不等于零，即30m +≠，所以3m =.3． 把方程2(3)(3)(1)x x x -+=+化成20ax bx c ++=的形式，写出a ,b ,c 的值,并计算出24b ac -的值.解：原方程可化为210x x +-=，其中a =1,b =1,c =-1, 24b ac -=5. 4．用配方法解方程，配方后得（ C ）A ．B ．C ．D ．5.用配方法解方程：2x 2+1=3x ．解：移项，得2x 2﹣3x =﹣1， 二次项系数化为1，得. 配方.整理的. 由此可得， ∵x 1=1，．6.解关于x 的方程:02222=-+-n m mx x .解：原方程变形为2222)(,0)(n m x n m x =-=--，∵n m x n m x -=-=-或， ∵n m x n m x -=+=21,. 7．用公式法解下列方程：(1) 1200)40)(220(=-+x x ； (2) x x x 2)1)(1(=+-. 解： （1）化简得，0200302=+-x x ， ∵01004,200,30,12>=-=-==ac b c b a ， ∴20,1021==x x .（2）化简得，0122=--x x ，∵084,1,2,12>=--=-==ac b c b a ，∴21,2121-=+=x x8．用公式法解关于x 的方程023222=--+-n mn m mx x . 解：0)2(444,2,3,1222222≥+=++=---=-==n m n mn m ac b n mn m c m b a ，∴2)2(32422n m m a ac b b x +±=-±-=，∴n m x n m x -=+=21,2.9．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x +1=0x 1=1，x 2=1x 2﹣2x +1=（x ﹣1）（x ﹣1）x 2﹣3x +2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x +2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣13x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x +1）2x 2+5x +2=0 x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x +2=2（x +）（x +2） 4x 2+13x +3=0x 1= ，x 2= 4x 2+13x +3=4（x + ）（x + ）将你发现的结论一般化，并写出来．解：填空：﹣，﹣3；4x 2+13x +3=4（x +）（x +3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个根为x 1、x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．1．判定是否为一元二次方程的方法：一个方程是一元二次方程须满足三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.2．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）化二次项系数为1；（2）移项；（3）配方；（4）求根.；3．利用公式法解方程的时候要注意的：（1）0∆>⇔方程有两个不等实根；（2）0∆=⇔方程有两个相等实根；（3）0∆<⇔方程无解4．一元二次方程的常见解法有四种：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法。
利用一元二次方程解决实际问题(2017年)
1. (2017 山东省潍坊市) 2017山东潍坊，23，9分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大?（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?答案：思路分析：（1）矩形四角裁去的四个同样大小小正方形画成实线，内部的四个顶点用虚线顺次连接，即得裁剪示意图；设裁掉的正方形的边长为x cm，表示长方体底面的两边长，再利用面积公式构建一元二次方程求解；（2）利用长不大于宽的五倍，构建一元一次不等式确定裁掉的正方形的边长x(cm)的取值范围，然后设总费用为w(元)，根据题设条件列出w(元)与x(cm)的二次函数解析式，利用二次函数的最值解决该实际问题．解：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为x cm，由题意可得(10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0，解之得：x1＝2或x2＝6(舍去)．所以裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．（2）因为长不大于宽的五倍，所以10－2x≤5(6－2x)，所以0＜x≤2.5．设总费用为w元，由题意可知：w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24．因为对称轴为x＝6，开口向上，所以当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，所以当x＝2.5时，w min＝25元．所以当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低为25元．方法：对照从平面图形到立体图形的裁剪、竖折的变化过程，理解题意，是解决问题（1）的关键．注意：容易忽略条件0＜x≤2.5，而误认为x＝6时总费用最少．20171012114505609785 4.5 利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-10-122. (2017 湖北省襄阳市) 】．（6分）（2017•襄阳, 19, 6分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，20XX年利润为2亿元，20XX年利润为2.88亿元．（1）求该企业从20XX年到20XX年利润的年平均增长率；（2）若20XX年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业20XX年的利润能否超过3.4亿元？答案：】．考点AD：一元二次方程的应用．分析（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意20XX年创造利润250（1+x）万元人民币，20XX年创造利润250（1+x）2 万元人民币．根据题意得方程求解；（2）根据该企业从20XX年到20XX年利润的年平均增长率来解答．解答解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2=2.88，解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果20XX年仍保持相同的年平均增长率，那么20XX年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.456＞3.4答：该企业20XX年的利润能超过3.4亿元．点评此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．20171012083538000934 4.5 利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-10-123. (2017贵州省六盘水市) 三角形的两边,a b的夹角为60°且满足方程240x-+=，则第三边长的长是( )B. C. D.答案：20171011151348531515 4.5 利用一元二次方程解决实际问题选择题基础知识2017-10-114. (2017 重庆市綦江县) 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．答案：考点AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．分析（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．解答解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400﹣x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，整理可得：8y2﹣y=0解得：y1=0，y2=0.125∴m1=0（舍去），m2=12.5∴m 2=12.5，答：m 的值为12.5．20170919160008640271 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基础知识 2017-9-195. (2017 重庆市綦江县) 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产。
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义1.解方程2(2)9x -=. 2（3x ﹣1）2=8．例题3：配方法1.已知方程260xx q +=-可以配方成27x p =（-）的形式，那么262x x q +=-可以配方成下列的（ ） A. 25x p =（-） B. 29x p =（-） C. 229x p +=（-） D. 225x p +=（-） 2.用配方法解方程：2420x x ++=练习：1． 用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0． 2x 2﹣3x+1=0．x 2﹣6x ﹣7=0．例题4.公式法1.一元二次方程4x 2﹣2x+=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断2.用公式法解方程：03822=+-x x.练习：1．用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．练习：1．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？例题2：利润问题1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？练习:1．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价﹣成本价）例题3：面积问题1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米．求人行道的宽。
人教版 九年级数学讲义 二次函数与一元二次方程(含解析)
第6讲二次函数与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数与一元二次方程之间的联系，能够根据二次函数与x轴的交点坐标联系相应方程的解的情况，此外了解二次函数与不等式之间的关系，能够根据图象写出相应不等式的解集等，本节课的难点是二次函数与方程、不等式之间的联系考查，希望同学们能够认真学习。
知识梳理讲解用时：10分钟二次函数与一元二次方程之间的关联求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标。
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：①①=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；①①=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；①①=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；①①=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0），相应一元二次方程的根就是x1和x2.课堂精讲精练【例题1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，则方程x2+ x+1=0的根的情况是（）。
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【答案】B【解析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，图象与x轴有两个交点，则方程x2+x+1=0的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：直接利用二次函数图象得出方程x2+x+1=0的根的情况，即抛物线与x轴的交点情况，进而得出答案。
教学建议：利用数形结合分析。
2017一元二次方程根与系数关系教案.doc
用 式 子 表 示
x1 x2
二
次ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方
程 公 ，
求
根
反映了方程的根的值是由系数 a,b,c 决定的。反过来，由方程的根 的特定运算
b a c a
你 发 现 的 规
自和
x1 x2
的结果，又能得出系数间 和 的值。 2 5 ’ 自学 3：利用求根 两个根 两根之和公式推导根与系数 两根之积 的关系 （伟达定理）
x1 x2 , x1 x2 2 2 1∵ x1 x2 2 x12 2 x1 x2 x22
2
学生总结 课堂的收 获与困惑
1. 不 解 方 程， 根据一 元二次方 X1+X2 X1+X2 X1+X2
2
3 1 13 2 2 2 4 3 1 2 1 1 x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 2 2
3.自学检测： 1、 口答下列方程的 问题：你发现什么规律？ （1） 用语言叙述你发现的规律； 2 （2）
x px q 0
两根之和与两根之 积。 （ x2 2x 1 15 0 ） （2）
x2 6x
的
x1 x2
两
根
， 用式子表示你发现
的规律。
2 x 2 3x 5 0 3x 2 7 x 0
2. 两 根 均 为 负 的 条 件 ： 且 X1X2 精 两 根 均 为 正 的 条 件 ： 且 X1X2 讲 两根一正一负的条件： 与 且 X1X2
程根与系 数的关系 归 和已知条 纳 件的结合， 5’ 与 2’ 可求得一
x1些代 x2 __
板 当然，以上还必须满足一元二次方程有 书 根的条件：
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式。知识归纳
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式。
知识归纳高2017级（文科）数学一轮复《一元二次方程、二次函数、一元二次不等式》知识归纳一、一元二次方程一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0（a≠0），其中ax^2、bx、c分别称为二次项、一次项、常数项。
a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项。
解法：1.直接开平方法：形如（x+m）^2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解。
2.“十字相乘”因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，求解。
3.公式法：一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式为x=（-b±√(b^2-4ac)）/2a（b^2-4ac≥0）。
4.配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法。
根的判别式：1.当Δ=b^2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ=b^2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根。
3.当Δ=b^2-4ac<0时，原方程没有实数根。
根与系数的关系：若关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1+x2=-b/a；x1x2=c/a。
二、二次函数一般式：f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)三顶点式：f(x)=a(x-h)^2+k(a≠0)(其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a)两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(仅限于二次函数图形与x 轴有两个交点时)对称轴x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a。
(4ac-b^2)/(4a))单调性：函数在(-∞,-b/2a]上递减，函数在(-∞,-b/2a]上递增，在[-b/2a,+∞)上递增，在[-b/2a,+∞)上递减。
三、二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值问题探讨设f(x)=ax^2+bx+c（a>0），则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值有如下的分布情况：m<n<-b/2a：f(x)单调递增，最小值为f(n)；m<-b/2a<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(n)或f(m)；b/2a<m<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(m)；m=n<-b/2a：f(x)取常数值f(m)=f(n)；m=n>-b/2a：f(x)单调递减，最小值为f(n)。
2017年秋九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程第2课时二次函数y=ax2bxc的图象与字母系数的关系习题课
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
第2课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系： (1)当a＞0时，开口___向__上___，当a＜0时，开口__向__下____；
(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b__同___号___，若对称轴在y轴的右边，则a， b______异__号；
则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是(
)A
8．(阿凡题：1070544)(2016·巴中)如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图 象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对称轴为直线 x＝－1，给出四个结论： ①c＞0；②若点 B(－23，y1)，C(－25，y2)为函数图象上的两点，则 y1＜y2； ③2a－b＝0；④4ac4－a b2＜0.其中，正确结论的个数是( B )
练习：(2016·枣庄)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如 图所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c＞0；③a＞b；④4ac －b2＜0.其中正确的结论有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点：二次函数图象与字母系数的关系 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是 ( D) A．a＞0 B．c＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0
(3)∵M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在函数 y＝x2－3x＋2 的图象上，∴y1 ＝a2－3a＋2，y2＝(a＋1)2－3(a＋1)＋2＝a2－a.y2－y1＝(a2－a)－(a2－3a＋
2)＝2a－2，∴当 2a－2＜0，即 a＜1 时，y1＞y2；当 2a－2＝0，即 a＝1
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册通常不包括一元二次方程的学习内容，这一部分通常在高中数学课程中进行讲解。
不过，我可以简单介绍一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程是一个具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和 c 是实数常数，且 a ≠0。
其中，x 表示未知数，而a、b 和 c 分别表示方程的系数。
一元二次方程的解可以通过使用求根公式来求得，该公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式中的±表示可以取正负两个值，即方程可能有两个解、一个解或无解，具体取决于b^2 - 4ac 的值。
解一元二次方程的过程主要包括以下几个步骤：
1. 将方程化为标准形式ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据求根公式计算出x 的值，注意判断b^2 - 4ac 的值确定解的情况。
3. 如果方程有解，则将解带入原方程验证。
希望这些简单的介绍对你有所帮助。
如果你需要更详细的讲解或有其他数学问题，欢迎继续提问。
3.第三节 一元二次方程
4. (2016河南11题3分)若关于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有两个不相等的实数根，
9 则k的取值范围是_k_＞__－___4_． 5. (2015河南19题9分)已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； 证明：原方程可化为x2－5x＋6－|m|＝0， ∴由根的判别式可得：b2－4ac＝(－5)2－4×1×(6－|m|)＝25－24＋4|m|＝1＋4|m|. ∵|m|≥0， ∴1＋4|m|≥1＞0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；(4分)
2a
河南6年真题
命题点 1 一元二次方程根的判别式(10年6考，近6年连续考查)
1. (2019河南6题3分)一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
2. (2018河南7题3分)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是( B )
面积问题
图① 2.如图②、图③、图④，S阴影＝_(_a_-_x_)(_b_-_x_) ；
3.如图⑤，围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝__a_2__b_ _b_ 面积问题
循环赛 问题
若n(n≥2)个人(或球队数)，相互之间握手(或单循环赛)，则握手
n (n 1)
(或单循环赛)总次数＝______2______，n(n≥2)个人相互赠送礼
6. (2020河南8题3分)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年 至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快 递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( C ) A. 5000(1＋2x)＝7500 B. 5000×2(1＋x)＝7500 C. 5000(1＋x)2＝7500 D. 5000＋5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝7500
知识点13 一元二次方程的实际应用2017(解答题)
三、解答题1.（2017重庆，23，10分）（本小题满分10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一总分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m %，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2 m %，但销售均价比去年减少了m %．该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．思路分析：（1）根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；（2）抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：（1）设该果农今年收获樱桃至少x千克，今年收获枇杷（400－x）千克，依题意，得：400－x≥7x，解得：x≥50．答：该果农今年收获樱桃至少70千克．（2）由题意，得：3000×（1－m %）+4000×（1+2m %）×（1－m %）＝7000，解得:m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5；答：m的值为12.5．2.（2017山东菏泽，19,7分）（本题7分）列方程解应用题某玩具厂生产一种玩具，按照控制成本加捻促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天课多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？思路分析：根据等量关系“利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润与销售单价的方程求解，求解结果符合题意即可．解：设销售单价为x元，由题意，得：（x－360）[160+2（480－x）]=20000，整理，得：x 2－920x+211600=0，解得：x 1=x 2=460，答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000．3. （2017四川眉山，24，9分）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？思路分析：（1）根据“第一档次的利润＋增加的利润＝新批次的利润”，可列出一元一次方程求解；（2）根据“总利润＝该档次每件的利润×该档次的产品的产量”，列出一元二次方程求解，注意检验是否符合题意．解：（1）设此批次蛋糕属第x 档次产品，则10＋2(x －1)＝14，解得x ＝3．答：此批次蛋糕属第3档次产品．（或：∵14－102＋1＝3，∴此批次蛋糕属第3档次产品．）（2）设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1080，解之，得x 1＝5，x 2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．4. （2017江苏淮安，26，10分）某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图像，图中折线ABCD 表示人均收费y （元）与参加旅游的人数x （人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为________元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？思路分析：（1）参加旅游的人数不超过10人对应的函数图像是线段AB ，线段AB 对应的纵坐标就是人均费用；（2）先根据总费用3600员确定参加旅游的人数，然后利用“总费用＝人均费用×总人数”列方程求解． 解：（1）240．（2）设参加这次旅游有a 人．∵10×240＝2400＜3600，∴a ＞10．∵25×150＝3750＞3600，第26题图∴a ＜25．综合知，10＜a ＜25．设直线BC 的函数表达式为y ＝kx b +，把B （10，240），C （25，150）代入，得2401015025k b k b =+⎧⎨=+⎩．， 解得k ＝－6，b ＝300．∴直线BC 的函数表达式为y ＝6300x -+．∴人数为a 时的人均费用为6300a -+．根据题意，得(6300)a a -+＝3600．整理，得250600a x -+＝0．解得1a ＝20，2a ＝30．∵10＜a ＜25，∴a ＝20．答：参加这次旅游有20人．5. （2017湖南常德，23，8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分．下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．甜甜： 妹妹：请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？思路分析：列一元一次方程和一元二次方程，进行求解.解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年平均增长率是x根据题意列方程得：400(1+x )²＝484解得1x ＝0.1 2x ＝﹣2.1（舍）故平均增长率为10%．（2）设2017年六一甜甜收到的微信红包为y 元，则妹妹收到红包为（2y ＋34）元，根据题意列方程得：y ＋（2y ＋34）＝4842017年六一，我们共收到484元微信红包 2015年六一时，我们只共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元解得y＝150故甜甜收到的微信红包为：150元，妹妹收到的为新年红包为：（2y＋34）＝334元．6.（2017·南宁）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．[来源:@~&中#教网^]（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？思路分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7500（1+x）2本，即可列方程求解；（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值至少是多少．解：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得7500（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；（2）10800（1+0.2）=12960（本）10800÷1350=8（本）12960÷1440=9（本）（9﹣8）÷8×100%=12.5%．故a的值至少是12.5．7.27.( 2017四川巴中，6分)巴中市某楼盘准备以每平方5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050 元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率.思路分析：增长率或降低率问题，由基数×(1±百分率)n=结果数据，列方程计算.解：设平均每次下调的百分率为x，由题意得：5000(1-x)2=4050，解得：x1=0.1,x2=1.9(舍去)答：平均每次下调的百分率为10%.。
2017国考行测备考：极限思想之一元二次函数求最值
2017国考行测备考：极限思想之一元二次函数求最值一、知识铺垫1、什么是极限思想所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
如一条船顺水而下用时t1，逆流而上用时t2，则当水速增大时，t1+t2如何变化?当水速增大时，t1会变小，而t2会变大，但是，t1与t2，哪个变化大不知道，所以t1+t2如何变化也不清楚。
此时如果改用极限的思想来思考的话就会比较简单，假设水速增大到无限大，则此船肯定回不来了，即t2无限大，此时虽然t1变小，但相对于t2而言，t1的变化幅度要小得多。
所以，t1+t2变大了。
2、适用极限思想的题的题型特征题干或问法中出现最大或最小、最多或最少、至多或至少。
3、极限思想的核心：凑、均、等、接近二、极限思想之一元二次函数求最值的应用一元二次函数的基本形式是(当a>0时，y有最小值，当a<0时，y有最大值)。
当x=时，y取到最值，将x代入函数式求得具体的最值。
1、如何理解“均”：(1)根据数论知识知道，任何一元二次多项式均可以写成两个一次因式的乘积的形式，再通过正、负号以及系数的变形，两个一次因式中的未知量可以在二者作和中消去，这时，和就是一个具体的数。
那么，问题就转化成：两个和一定的数，求乘积的值。
接下来只需要依照均值不等式原理即可求出最大值或最小值。
(2)通过函数图像理解。
一元二次函数的图像为轴对称(对称轴与y轴平行)图形，在与对称轴的交点处函数有最值。
图像与x轴的交点即为一元二次函数的两个x值，对应y值为函数值。
显然，这两个x值关于对称轴对称，当x轴上下平行移动时，所产生的两个x值的和一定，当两x值相等时，即到最值点处，对应y值为最大值或最小值。
2、解题方法：(1)多因式分解法：将一元二次多项式因式分解成两个和一定的一次因式的积的形式，另两个一次因式相等，求得x值;(2)公式法：利用一元二次方程求根公式，可知两根相等时存在最值，故x=(3)求导法：对一元二次多项式求导，得一元一次多项式，令其等于0，求得x值。
关于x的一元二次方程
关于x的一元二次方程1. 概述一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b 和c是实数，且a不等于零。
一元二次方程是数学中的基础概念之一，广泛应用于代数学和物理学等领域。
2. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知实数，且a不等于零。
方程中的未知数为x。
方程的次数为2，因为最高次数的幂为2。
3. 求解一元二次方程的步骤求解一元二次方程的步骤如下：1.将方程转化成一般形式ax^2 + bx + c = 02.判断方程是否可解。
若判别式b^2 - 4ac大于等于零，则方程有实数解；若判别式小于零，则方程无实数解；若判别式等于零，则方程有唯一实数解。
3.根据判别式的结果，进行相应的解法：–若判别式大于零，即方程有两个不相等的实数解。
可以使用求根公式进行求解，求根公式为：x =(-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a–若判别式等于零，即方程有唯一实数解。
可以使用求根公式进行求解，求根公式为：x = -b / (2a)–若判别式小于零，即方程无实数解。
无解。
4.根据上述步骤，得出方程的解。
4. 一元二次方程的应用一元二次方程广泛应用于各个领域，包括但不限于：•物理学：用于描述物体的运动和力学问题，例如抛体运动、弹性力学等。
•经济学：用于经济学模型的建立和求解，例如供求关系、成本函数等。
•工程学：用于解决各种工程问题，例如建筑设计、电路分析等。
•统计学：用于拟合数据和统计分析，例如回归分析、拟合曲线等。
5. 实例下面以一个示例来求解一元二次方程：给定方程2x^2 + 5x - 3 = 0，按照上述步骤进行求解。
1.将方程转化成一般形式：2x^2 + 5x - 3 = 02.判别式为b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 49，大于零，因此方程有两个不相等的实数解。
3.使用求根公式进行求解：–第一个解：x = (-5 + √49) / 4 = (-5 + 7) / 4 =2 / 4 = 0.5–第二个解：x = (-5 - √49) / 4 = (-5 - 7) / 4 = -12 / 4 = -34.得出方程的解为 x = 0.5 和 x = -3。
湘教版数学九年级下册_图象法求一元二次方程的近似值
图象法求一元二次方程的近似值例1．（2017.兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．例2．（2017.徐州模拟）二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx 与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故答案为D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2017.山西模拟）小李同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的近似根时，先在直角坐标系中使用软件绘制了二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（）A．公理化B．类比思想C．数形结合D．模型思想【分析】结合图象解答题目，属于数形结合的数学思想．【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数学结合的数学思想．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．例4．（2015.吴兴区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣3 1 3 1 …A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．【解答】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故B错误；∵当x=3时，y=﹣5＜0，故C错误；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，由表正根在2和3之间；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．例5．（2017.渠县一模）如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是．（精确到0.1）【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小．【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x 1=0.8，x2=3.2合理即可．故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，正确利用函数图象是解题关键．6．（2017.通州区二模）小东根据学习函数的经验，对函数y=﹣x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y=﹣x的自变量x的取值范围是x≠0；（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；x …﹣4 ﹣3﹣2﹣﹣1﹣ 1 2 3 4 …y …﹣﹣m …（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（﹣2，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）当x＞0时，y随x的增大而减小．（5）根据函数图象估算方程﹣x=2的根为x1=﹣3.8，x2=﹣1.8．（精确到0.1）【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；（3）根据描点法画函数图象，可得答案；（4）根据图象的变化趋势，可得答案；（5）根据图象，可得答案．【解答】解：（1）函数y=﹣x的自变量x的取值范围是：x≠0，故答案为：x≠0；（2）把x=4代入y=﹣x得，y=﹣×4=﹣，∴m=﹣，（3）如图所示，（4）当x＞0时，y随x的增大而减小；故答案为当x＞0时，y随x的增大而减小；（5）由图象，得x1=﹣3.8，x2=﹣1.8．故答案为：x1=﹣3.8，x2=﹣1.8．【点评】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．。
2017年秋学期海南省海口市微课大赛---初高中数学衔接教材---一元二次方程的判别式及解法教学设计
一元二次方程的判别式及解法教学设计海口二中翁明第一、教材分析本节课内容中，“一元二次方程的判别式”从定理的推导到应用都相对简单。
但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。
二、学情分析刚上来的高一学生数学基础十分薄弱。
学生的计算能力很差。
经过两个月的休息，他们已经把方程的解法忘得一干二净。
在学习习惯上，普通高中的学生也很难以去自学，研究和探索，所以教师在教导过程中，要十分的耐心，备课要以基础为主，先培养他们的习惯，再教他们高中的学习方法，进而达到内容与方法的双重衔接。
三、教学目标1.知识和技能：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；2.过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
3.情感态度价值观：1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神。
四.教学重点与难点重点：（1）一元二次方程根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用；（2）会根据不同的方程特点选用恰当的方法（尤其是因式分解法和公式法）求一元二次方程的实数根，使解题过程简单合理。
难点：(1) 根的判别式定理及逆定理的运用；(2) 通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想方法。
教学方法⑴启发诱导式的教学模式启发诱导式教学模式是教师在学生已有的知识经验和思考基础上适当引导，使学生获得新知识。
其主要理论依据是现代认知理论和当代信息理论。
其程序是“新课引入，展示目标；启发诱导，提高升华；形成能力，反馈回授”。
⑵导学案模式导学案模式可以提高老师对学生水平的处理，同时引导学生进行自学习惯的培养，有利于学生们快速适应高中的学习。
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26.2 用函数的观点看一元二次方程（1）教学目标：1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
重点难点：重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。
难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．教学过程：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内，柱高为0.8m。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋45。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导；3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。
这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?教学要点1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。
在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。
因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。
2．让学生完成解答，教师巡视指导。
3．教师分析存在的问题，书写解答过程。
解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。
这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2 (a＜0) (1)因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝AB2＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－2.4＝a×0.82 所以：a＝－15 4因此，函数关系式是 y＝－154x2 (2)因为OF＝1.5m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－1.5)。
因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得－1.5＝－154x12 x12＝25x1＝±105x1＝－105不符合假设，舍去，所以x1＝105。
ED＝2FD＝2×x1＝2×105＝2510≈25×3.162≈1.26(m)所以涵洞ED是2510m，会超过1m。
问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。
(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－34＝0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?教学要点1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－34的图象。
2．教师巡视，与学生合作、交流。
3．教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。
4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－12，0)和(32，0)。
5．让学生完成(2)的解答。
教师巡视指导并讲评。
6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y ＝x 2－x －34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x 2－x －34＝0的解。
更一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
三、试一试根据问题3的图象回答下列问题。
(1)当x 取何值时，y ＜0?当x 取何值时，y ＞0?(当－12＜x ＜32时，y ＜0；当x ＜－12或x ＞32时，y ＞0) (2)能否用含有x 的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有x 的不等式采描述(1)中的问题，即x 2－x －34＜0的解集是什么?x 2－x －34＞0的解集是什么?) 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数y ＝ax 2＋bJ ＋c 在x 轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解；在x 轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解。
(2)从“数”的方面看，当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax 2＋bc ＋c ＜0的解。
这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
四、课堂练习： P23练习1、2。
五、小结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴无交点，试说明，元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0和一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0、ax 2＋bx ＋c ＜0的解的情况。
六、作业：1. 二次函数y ＝x 2－3x －18的图象与x 轴有两交点，求两交点间的距离。
2．已知函数y ＝x 2－x －2。
(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象(2)观察图象确定：x 取什么值时，①y ＝0，②y ＞0；③y ＜0。
3．学校建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA 。
O 恰好在水面中心，布置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 任意平面上的抛物线如图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6))，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋52x ＋32，请回答下列问题： (1)花形柱子OA 的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?4．如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y＝－15x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。
已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。
(1)球在空中运行的最大高度为多少米?(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少?26.2 用函数的观点看一元二次方程（2）教学目标：1．复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解。
2．让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。
3．提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
重点难点：重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。
教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解。
(精确到0.1)(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解。
教学要点1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。
解：略函数y ＝2x 2－3x －2的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1＝－12和x 2＝2，所以一元二次方程的解是x 1＝－12和x 2＝2。
二、探索问题问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x 2＝12x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x 2－12x －3＝0，画出函数y ＝x 2－12x －3的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。
唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和y ＝12x ＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A 、B 的横坐标－32和2就是原方程的解． 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么?让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。
3．函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?4，函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解吗?5．如果函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象没有交点，一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解怎样?三、做一做利用图26．3．4(见P24页)，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。
(1)x 2＋x －1＝0(精确到0.1)； (2)2x 2－3x －2＝0。
教学要点：①要把(1)的方程转化为x 2＝－x ＋1，画函数y ＝x 2和y ＝－x ＋1的图象；②要把(2)的方程转化为x 2＝32x ＋1，画函数y ＝x 2和y ＝32x ＋1的图象；③在学生练习的同时，教师巡视指导；④解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。
四、综合运用已知抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8和直线y 2＝mx ＋1相交于点P(3，4m)。
(1)求这两个函数的关系式；(2)当x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。
解：(1)因为点P(3，4m)在直线y 2＝mx ＋1上，所以有4m ＝3m ＋1，解得m ＝1所以y 1＝x ＋1，P(3，4)。
因为点P(3，4)在抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8上，所以有 4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎨⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎨⎧x 2＝1.5y2＝2.5 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。