2011高考数学(文科)基础强化训练(10)

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2011年文科数学高考模拟试题及答案

6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s 值为2011数学高考模拟试题宝鸡市斗鸡中学张永春、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）M={ x| — 3v x _5 } ,N ={ x|x v — 5 或 x >5 }，贝U M 」N =(A.{ x|x v — 5或 x >— 3 } C.{ x| — 3v x v 5 }2.若i 为虚数单位，图中复平面内点数―仝的点是1iA. E B . F C . G D3.已知向量 a = (2s in A, cos A), b = (cos A, 2., 3 cos A),a b ,若 A 0,—,则 A.=( )IL 2JI 31 Ji JIA.— B — C — D. 一6 4 ・32 4.大学生和研究生毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如下表所示:硕士博士合计男 162 27 189 女 143 8 151 合计30535 340 根据以上数据，则（）A 性别与获取学位类别有关B .性别与获取学位类别无关C.性别决定获取学位的类别 D.以上都是错误的5. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧1.已知集合 B .{ x| — 5v x v 5 }D.{ x|x v — 3 或 x > 5 } Z 表示复数乙则表示复H（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为正（主）视圏6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为(A)102 (B)410 (C)614 (D)16387.设｛a.｝是等比数列，则“ a1 ::: a2 23 ”是“数列｛务｝是递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件8. 定义在R上的函数f (x)满足f(x) 则f (2010)的值为l f(x-1)-f (x-2)(XA0)( )A. -1B. 0C. 1D. 22 29. 已知椭圆C.:笃•与=1以抛物线y2=16x的焦点为焦点，且短轴一个端点与两个焦点可组a2b2成一个等边三角形，那么椭圆 C.的离心率为( )A.10.已知D是由不等式组x-2y _0x 3y _ 0,所确定的平面区域，则圆x2y^4在区域D内的弧长为3■:二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 有一个数阵如下：记第i行的第j个数字为an （如a43 =19），则a47 -a65等于 ________________12. 已知平面向量：•，（••= 0,、•：= I '）满足］=1，且〉与1：,-:<的夹角为120°贝y a的取值范围是_____________________13. 定义在R上的函数f（x）满足f （x）厂切2"4" X兰0，则f（3）的值为f （x -1） - f （x -2）, x > 0x - y 4 亠014. 不等式组』x + y K 0 所表示的平面区域的面积是________________ .x<315. 选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（1）.（坐标系与参数方程）已知点A是曲线T = 2sinr上任意一点,T sin（二• -3：） = 4的距离的最小值是.（2）.（不等式选讲）已知2x • y =1, x • 0, y • 0则^-2y的最小xy值.（3） .（几何证明选讲）如图，厶ABC内接于LI O , AB = AC，直线MN切LI O于点C, BE II MN交AC于点E.若AB二6, BC二4,则AE的长为 _____________ ;三、解答题（本大题共6小题，共75分）16. （本题满分12分）设正数组成的数列、a n匚是等比数列，其前n项和为S n,且a^2 , S3 =14（1）求数列：n 1的通项公式;则点A到直线(2)若T n =a i ©2…an ，其中n ・N * ；求T n 的值，并求T n 的最小值.17. (本题满分12分)已知函数 f(x) =X 2 -3ax 2 -3x 1.(I )设a=2,求f (x)的单调区间;(II )设f(x)在区间(2，3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围18. (本题满分12分)已知 ABC 的三个内角 A B 、C 所对的边分别为a 、b c ,向量m = (4,-1),2 A7 n = (cos ,cos2A)，且 m n =22(1) 求角A 的大小；(2) 若a =、.3，试判断b c 取得最大值时 ABC 形状.19. (本题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4 ,(I)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4的概率； (n)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n ，求n < m 2的概率。

[高考数学]2011年全国高考文科数学试题及答案-全国

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修II ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）ðA ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=ABCD4．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．3 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2BCD ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1211．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4B ．C ．8D ．12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年高考新课标数学试题及答案(文科)

九年级语文测试试卷1、下列字形和加点字注音全部正确的一项是（）（2分）A、堕．落（duò）澄．清（dèng）酝酿．（niàng）苦心孤诣B、宣嚣．(xiāo) 哂．笑（shěn）莫中一是梦寐．(mèi)以求C、什．(shén)物陨．(yǔn)落沧海桑田锲．(qiè)而不舍D、匿．(nì)名分．(fèn)外阴霾深恶．(wù)痛疾2、下列句中加点词语使用不正确的一项是（）（2分）A、遇到不熟悉的成语，我们必须审慎对待，查查字典，切不可望文生义．．．．，乱解乱用。

B、《水浒传》这部小说情节起伏跌宕，抑扬顿挫．．．．，具有很强的感染力。

C、“正确答案只有一个”这种思维模式，在我们头脑中已不知不觉地根深蒂固．．．．。

D、在教师指导下扩大阅读的量，可以说是提高语文水平的不二法门．．．．。

3、下列句子没有语病的一项是（）（2分）A、在烟雨中的柳叶湖，恰如一幅淡雅而隽永的水墨画，展现出她别样的风姿。

B、广州的特大暴雨严重地影响了市民的生活，也牵动了政府的特别关心和关注。

C、为了防止甲型H1N1流感病毒不再蔓延，我国政府采取了强有力的应对措施。

D、我永远不会忘记老师耐心细致的纠正并指出我考试中的问题的情景。

4、下列句子顺序排列正确的一项是（）（2分）时间飞了，；皱纹深了，；泪水干了，；太阳落了，。

①每个泪痕生动起来②梦的脚印留了下来③月亮的笑容浮想出来④躺在里面的故事丰盈起来5、删改下面句子中划线的部分，使它与前面的句子组成对偶句。

（2分）遥望东南，建几处依山楼榭；近看内西北角，造起数间面临绿水的轩斋。

6、下面是一则消息的导语部分，请为这则消息拟一个标题。

（2分）我国大陆50年来最大的台风“桑美”在浙江省仓南县马站镇沿海登陆，中心附近最大风速60米每秒，风力17级。

浙江公安边防总队四千余名官兵昼夜奋战，协助地方政府紧急疏散转移群众，抢修加固防洪设施。

2011级高三数学 10月月考试卷文新人教版

2011届高三10月数学（文）一、选择题：(本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上．) 1．已条件甲“50<<x ”是条件乙“3|2|<-x 的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件2知集合U ＝R ，集合M ＝{y|y ＝2|x|，x ∈R},集合N ＝{x |y ＝lg （3－x ）},则M ∩N＝( )A ．{t | t <3}B ．{t | t ≥ 1}C ．{t | 1 ≤ t < 3}D ．∅3、{}n a 为等差数列，若{}n n a s a a 是,1264=+的前n 项和，则9s =（）A 、48B 、54C 、60D 、66 4已知向量a ＝（x ,－1）与向量b ＝（1，x1），则不等式a·b ≤0的解集为( ) A ．{x | x ≤－1或x ≥ 1}B ．{x | －1 ≤ x < 0或x ≥ 1}C ．{x | x ≤－1或0 ≤ x ≤ 1}D ．{x | x ≤－1或0 < x ≤ 1}5．若函数()f x 的反函数为12()2(0)f x x x -=+<，则3(log 27)f ＝（）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．116．若递增等比数列{}n a 满足：12312371,864a a a a a a ++=⋅⋅=，则此数列的公比q ＝（） A ．12B ．12或2 C ．2 D ．32或27．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．f （x ）＝2sin （62π-x ）； B ．f （x ）＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+44cos 2πx C ．f （x ）＝2cos （32π-x ）； D ．f （x ）＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+64πx 8．已知,αβ表示平面,,m n 表示直线，下列命题中正确的是（） A ．若αβ，,m n αβ⊆⊆，则m n B ．若αβ⊥，,m n αβ⊆⊆，则m n ⊥C ．若m α⊥, n β⊥，m n ，则αβD ．若,,m n m n αβ⊥则αβ⊥9．函数21log 8x y -=的图像可由函数2log y x =的图像经过下列的哪种平移而得到（）A ．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度B ．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度C ．按向量a ＝（1，－3）平移D ．按向量a ＝（－1，3）平移 10，在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++11．如图，设地球半径为R ，点A 、B 在赤道上，O 为地心，点C 在北纬30°的纬线（O ′为其圆心）上，且点A 、C 、D 、O′、O 共面，点D 、O ′、O 共线，若∠AOB ＝90°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．46 B ．－46 C ．426+ D ．426-12． 12.已知2{|230}A x x x =--≤，2{|}B x x px q =++<0满足A B ={|1}x x -≤<2，则p 与q 的关系为（）（A ）0p q -= （B ）0p q += （C ）5p q +=- （D ）24p q +=-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上。

2011江西高考文科数学试题及答案

2011年普通高考学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文史类）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5,U A B ===则()U A B ⋃=ð A. ()()1,2,1,1a b ==-{}6,8 B.{}5,7 C.{}4,6,7 D.{}1,3,5,6,8 2. 若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a b =与a b -的夹角等于A. 4π-B.C.D.34π3. 若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf xg x e +=，则()g x =A. ()2121212(1,0)0,t a n C m C F FF N F S m a ∈-⋃+∞∆=xx e e -- B.1()2xxe e-+C.1()2xxee -- D.1()2xxe e--4. 将两个顶点在抛物线22(0)y p x p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A. 0n =B. 1n =C.2n =D.3n ≥5. 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为 A.18 B.36 C.54 D.726. 已知函数()i n c o s ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 A.|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B.|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C.5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D.5|,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭7.设球的体积为V ，它的内接正方体的体积为V，下列说法中最合适的是A. V 比V 大约多一半B. V 比V 大约多两倍半C. V 比V 大约多一倍D. V 比V大约多一杯半8. 直线2100x y +-=与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A.0个B.1个C.2个D.无数个9. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 A.1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升10.若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,),ab a b ϕ--那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的 A.必要不充分条件 B.充分不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

2011年新课标高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题1.设集合U ={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（）I ðM N ( )A.{}12，B.{}23，C.{}2，4D.{}1，4【测量目标】集合的基本运算（交集、并集）.【考查方式】已知全集和两个集合，求两个集合交集的补集.【参考答案】D【试题解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I2.函数0)y x =…的反函数为（） A.2()4x y x =∈R B.2(0)4x y x =… C.24y x =()x ∈R D.24(0)y x x =…【测量目标】反函数.【考查方式】给出函数解析式，求其反函数.【参考答案】B【试题解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y …,所以函数0)y x =…的反函数为2(0)4x y x =…. 3.设向量a ，b 满足||||1==a b ,12=-a b g ,则2+=a b （）【测量目标】向量的模，向量的数量积.【考查方式】已知两向量的模及其数量积，求模.【参考答案】B【试题解析】2221|2|||4414()432+=++=+⨯-+=a b a a b b g ,所以2+=a b4.若变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩………，则=23z x y +的最小值为 ( )A.17B.14C.5D.3【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，求出目标函数在此区域的最小值.【参考答案】C【试题解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线1x =与332y -=-的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.5.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（）A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】结合不等式的性质考查充分、必要条件.【参考答案】A【试题解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（）A.8B.7C.6D.5【测量目标】等差数列的前n 项和.【考查方式】已知等差数列的首项、公差和关于前k 项和与前k +2项和的关系，求出k 值.【参考答案】D 【试题解析】解法一：2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =. 7.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ( ) A.13B.3C.6D.9 【测量目标】三角函数图象变换.【考查方式】根据三角函数图象平移后的特点求参数值.【参考答案】C【试题解析】由题意将()y f x =的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了π3是此函数周期的整数倍,得2ππ()3k k ω⨯=∈Z ,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.8.已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =( )【测量目标】二面角.【考查方式】通过给出二面角，相关线段的长度，利用线面垂直的性质，求出CD 的长度.【参考答案】C【试题解析】因为l αβ--是直二面角,AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=9. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A. 12种B. 24种C. 30种D.36种【测量目标】乘法原理，组合数的应用.【考查方式】根据题目的要求，利用排列与组合，求出其中的不同选法.【参考答案】A【试题解析】解本题分两步进行：第一步选出2人选修课程甲有24C 6=种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22A 2=种选法，根据分步计数原理，有6212⨯=种选法.10. 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x 剟时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= ( )A.12-B.14- C .14 D.12【测量目标】函数的奇偶性，周期性.【考查方式】已知函数的周期、奇偶性及在某区间的解析式，求另一区间内的函数值.【参考答案】A【试题解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1).2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-11.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = ( )A.4B.【测量目标】圆的方程与两点间的距离公式.【考查方式】给出两圆的位置关系和通过相同的点，计算圆心的距离.【参考答案】C【试题解析】由题意知：圆心在直线y x =上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.12.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）A.7πB.9πC.11πD.13π【测量目标】二面角的概念与球的性质.【考查方式】给出平面与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，求出圆的面积.【参考答案】D【试题解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =在Rt OMN △中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==,故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为2π13πS r ==.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.(注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．) 13.10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .【测量目标】二项式定理.【考查方式】直接给出二项式，利用二项式展开式的通项公式，求出系数的差.【参考答案】0【试题解析】由11010C ()(1)C r r r r r r T x x +=-=-得x 的系数为10-,9x 的系数为910C 10-=-,所以x 的系数与9x 的系数之差为0.14.已知3π(π,)2α∈,tan 2α=,则cos α= . 【测量目标】同角三角函数的基本关系式.【考查方式】已知正切值，在α角范围的条件下，求出余弦值.【参考答案】【试题解析】3π(π,)2α∈,sin tan =2cos ααα==,因为3π(π,)2α∈时，cos α小于零，所以cos α=15.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .【测量目标】异面直线所成角.【考查方式】给出正方体，求出在正方体中异面直线所成角的余弦值. 【参考答案】23【试题解析】取11A B 的中点M 连接EM ，AM ，AE ，则AEM ∠就是异面直线AE 与BC所成的角.设正方形的边长为x ，在△AEM 中，222(2)(3)52cos 2233x x x AEM x x +-∠==⨯ . 16.已知1F 、2F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = .【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的方程、点的坐标和角的平分线，通过双曲线的第一定义，求出2||AF 的值.【参考答案】6【试题解析】Q AM 为12F AF ∠的平分线，∴2211||||41||||82AF MF AF MF === ∴12||2||AF AF = 又点A C ∈，由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .【测量目标】等比数列的通项和前n 项的和.【考查方式】直接给出2a 的大小和13a a 和的关系，求出n a 和n s .【试题解析】设{}n a 的公比为q ,由题设得12116630a q a a q =⎧⎨+=⎩解得132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩，（步骤1）当13,2a q ==时，132,3(21)n n n n a S -=⨯=⨯-；(步骤2)当12,3a q ==时，123,31n n n n a S -=⨯=-.（步骤3）18.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、.已知s i n s 2s i n s i na A c a Cb B +=. (Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若75,2,A b ︒==a c 求，.【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】通过给出三角形的边、关于边与角的正弦余弦的等式，求出未知量.【试题解析】(I)由正弦定理得222a c b += （步骤1）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos B =，因此45B = （步骤2）（II ）sin sin(3045)A =+sin 30cos 45cos30sin 45=+= （步骤3）故sin 1sin A a b B =⨯==sin sin 602sin sin 45C c b B =⨯=⨯=（步骤4） 19.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【测量目标】独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k 次的概率.【考查方式】考查了独立事件、对立事件、互斥事件的的相互关系，以及独立重复试验发生k 次的概率的应用.【试题解析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险;B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.(I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+（步骤1）()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= （步骤2）(II)D =C ,P (D )=1-P (C )=1-0.8=0.2, （步骤3）P (E )=123C 0.20.80.384⨯⨯=. （步骤4）20.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，四棱锥S ABCD -中，AB P CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形.2,1AB BC CD SD ====.(I)证明：SD ⊥平面SAB . (II) 求AB 与平面SBC 所成角的大小.【测量目标】线面垂直的判定和线面角的计算、空间直角坐标系.【考查方式】通过给出四棱锥，利用等边三角形SAB 这个条件，作出有关辅助线.【试题解析】解法一：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =又1SD =,故222ED SE SD =+,所以DSE ∠为直角.（步骤1）由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,得AB ⊥平面SDE ,所以AB SD ⊥.SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直.所以SD ⊥平面SAB .（步骤2）解法二：由已知易求得，1,SD AD =2,SA =于是222SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB .（步骤3） (Ⅱ)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF DE ⊥,垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD ,SD SE SF DE ⨯==. 作FG BC ⊥,垂足为G ,则1FG DC ==.连结SG ,则SG BC ⊥.又,BC FG SG FG G ⊥=I ,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG .（步骤4）作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC .SF FG FH SG ⨯==,即F 到平面SBC 的距离为7.由于ED BC P ,所以ED P 平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d 也为7.设AB 与平面SBC 所成的角为α,则sin 7d EB α==,arcsin 7α=.（步骤5）解法二：以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B .又设(,,)S x y z ,则0,0,0x y z >>>.(Ⅰ)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r ,由||||AS BS =u u r u u r 得=故1x =.（步骤1）由||1DS =u u u r 得221y z +=,又由||2BS =u u r 得222(2)4x y z +-+=,即22410y z y +-+=,故1,2y z ==（步骤2）于是1331(1,(1,(1,(0,2222S AS BS DS =--=-=uu r uu r uu u r , 0,0DS AS DS BS ==u u u r u u r u u u r u u r g g .故,DS AS DS BS ⊥⊥,又AS BS S =I ,所以SD ⊥平面SAB . （步骤3）(Ⅱ)设平面SBC 的法向量(,,)m n p =a ,则,,0,0BS CB BS CB ⊥⊥==a a a a u u r u u r u u r u u r g g .又3(1,(0,2,0)2BS CB =-=uu r uu r ,故30,2220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩（步骤4）取2p =得(=a ,又(2,0,0),AB =-u u u r所以，cos ,||||AB AB AB <>==a a a uu u r uu u r g uu u r g 故AB 与平面SBC所成的角为arcsin 7. （步骤5） 21.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．). 已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a =++--∈R(Ⅰ)证明：曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2)；（Ⅱ）若()f x 在0x x =处取得最小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围.【测量目标】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围.【考查方式】直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.第（II ）问是含参问题，对方程()0f x '=的判别式进行分类讨论.【试题解析】解：（I ）2()3636f x x ax a '=++-（步骤1）由(0)124,(0)36f a f a '=-=-得曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(36)124y a x a =-+-，由此知曲线()y f x =在0x =处的切线过点（2，2）（步骤2）（II ）由()0f x '=得22120x ax a ++-=.（i ）当11a剟时，()f x 没有极小值；（步骤3）(ii)当1a >或1a <时，由()0f x '=得12x a x a =-=-+故02x x =,由题设知13a <-，（步骤4）当1a >时，不等式13a <-<无解；当1a <时，解不等式13a <-<得512a -<<综合(i)(ii)得a 的取值范围是5(,1)2-.（步骤5） 22.(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．).已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=u u r u u u r u u u r r .(I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【测量目标】椭圆的简单几何性质、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件.【考查方式】根据给出的椭圆方程与直线方程的关系，平面向量的坐标运算，求出曲线交点坐标和四点共圆的条件.【试题解析】(I)(0,1)F ,l 的方程为1y =+,代入2212y x +=并化简得2410x --=. （步骤1）设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则12x x ==121212)21,x x y y x x +=+=++=(步骤2)由题意得312312()()1,x x x y y y =-+==-+=-所以点P 的坐标为(1)2--.经验证点P 的坐标(1)2--满足方程2212y x +=,故点P 在椭圆C 上（步骤3）(II)由P (1)2--和题设知，Q (2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为y x =. ①设AB 的中点为M ,则1)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为124y x =+. ②由①、②得1l 、2l 的交点为1()88N -.（步骤4）||NP ==21||||2AB x x=-=||4AM=,||MN==,||NA==（步骤5）故||||NP NA=,又||||NP NQ=, ||||NA NB=,所以||||||||NA NP NB NQ===,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.（步骤6）（II）法二：22tan11PA PBPA PBk kAPBk k-∠==+214()3x x-==(步骤1)同理22tan11QB QAQA QBk kAQBk k-∠==++214()3x x-==-（步骤2）所以,APB AQB ∠∠互补，因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（步骤3）。

2011年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标版)答案与解析

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，∴P=M∩N={1，3}∴P的子集共有22=4故选：B【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．2．（5分）（2011•新课标）复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代替即可．【解答】解：=﹣2+i故选C【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】常规题型．【分析】首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．【解答】解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选：B．【点评】本题考查基本函数的奇偶性及单调性．4．（5分）（2011•新课标）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．（5分）（2011•新课标）执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【解答】解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到；经过第四次循环得经过第五次循环得；输出结果此时执行输出720，故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．6．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】作图题．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】数形结合法．【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】分别计算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案．【解答】解：∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0 f（1）=e1+4﹣3＞0∴根所在的区间x0∈（0，1）排除A选项又∵∴根所在的区间x0∈（0，），排除D选项最后计算出，，得出选项C符合；故选C．【点评】e=2.71828…是一个无理数，本题计算中要用到等的值，对计算有一定的要求．11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．12．（5分）（2011•新课标）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【考点】对数函数的图像与性质；函数的周期性．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1时y=0；x=10时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k=1．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k=1故答案为：1【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）（2011•新课标）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sinB=×5×3×=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合题．【分析】（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=∴a n=×=，S n=又∵==S n∴S n=（II）∵a n=∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD=1，则BD=，PB=2．根据DE•PB=PD•BD，得DE=，即棱锥D﹣PBC的高为．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；综合题．【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【考点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．（2011•新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。

2011届高三数学-文

2011届高三数学-文2011届高三年级数学（文）试题第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集{1,2,3,4}U =,集合}2,1{=P ,}3,1{=Q ,则()UP C Q ⋃=( ) A ．{1} B.{2}C.{4}D.{1,2,4}2.抛物线24y x=-的焦点坐标为 ( )A.(0,2)-B.(2,0)-C.(0,1)-D.(1,0)- 3.已知复数2(4)(3)(,)z aa i ab R =-+-∈，则“2a =”是“z 为纯虚数”的 ( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 4.如图,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为 ( ) C A ．85B ．86C ．87D ．885.已知等比数列{}na 的前三项依次为t ,2t -,3t -.则n a =( )A ．142n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．42n⋅ C ．1142n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．142n -⋅6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A.23ππB.83πC.323π+ D.343π+７.已知向量()1,1a =，()1,b n =，若||a b a b -=⋅，则n =( )A.3-B.1-C.0D.1 ８.ABC ∆中,3A π=,3BC =,6AB =则C = ( )A.6πB.4πC.34πD.4π或34π９.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安2 2 2 侧2 2 2 正俯(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，该圆的面积为．15.(几何证明选讲选做题)如右图:PA 切O于点A ，4PA =,PBC 过圆心O ,且与圆相交于B 、C 两点，:1:2AB AC =，则O的半径为．三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知向量3(sin ,),2a x = (cos ,1)b x =- (1)当向量a 与向量b 共线时，求tan x 的值； (2)求函数()2()f x a b b =+⋅的最大值,并求函数取得最大值时的x 的值.17.(本小题满分12分) 某校高三文科分为五个班.高三数学测试后, 随机地在各班抽取部分学BCOAP生进行成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了18人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率.18.(本小题满分14分) 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别是11B A 、1CC 的中点，过1D 、E 、F 作平面EGF D 1交1BB 于G..（Ⅰ）求证：EG ∥F D 1；（Ⅱ）求二面角11C D E F --的余弦值；（Ⅲ）求正方体被平面EGF D 1所截得的几何体频率分数901001101201300.050.100.150.200.250.300.350.408070A B CD E F G A 1 B 11D 1xy11DCFD ABGEA -的体积.19.(本小题满分14分) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为()1,2M .(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C于另一点N ，求△BN F 1的面积.20.(本小题满分14分)已知函数2(2),0(),12,0,x x ax e x f x x x x ⎧->==⎨≤⎩是函数)(x f y =的极值点.(1)求实数a 的值；(2)若方程0)(=-m x f 有两个不相等的实数根,求实数m 的取值.21.(本小题满分14分)已知正数数列{a n }中，a 1 =2.若关于x 的方程0412)(12=++-+n n a x a x（*N n ∈）对任意自然数n 都有相等的实根． (1)求a 2 ,a 3的值； (2)求证3211111111321<++++++++n a a a a （*N n ∈）．参考答案一、选择题 1.{2,4}U C Q =,()UP C Q ∴⋃={1,2,4}.选D.2.抛物线的开口向左,且24p =,12p∴=.选D. 3.2a =时, z i =-是纯虚数; z 为纯虚数时24a -=0,解出2a =±.选A.4.所求平均分84848486879193877x ++++++==.选C. 5.t ,2t -,3t -成等比数列,2(2)(3)t t t ∴-=-,解得 4.t =∴数列{}na 的首项为4,公比为12.其通项 n a =1142n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选C.6.所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成.其中22213-=体积22112133V ππ=⋅⋅+⋅=32π+.选C.7.a b ⋅=1n +,||a b -=220(1)n +-,解方程220(1)n +-=1n +得n =0.选C.8.由正弦定理sin sin BC ABA C=,即36sin sin3Cπ=,解出2sin 2C =.4C π∴=(34C π=时，三角形内角和大于π，不合题意舍去).选B ．9.蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体,其体积为1.而棱长为3的正方体的体积为27.故所求概率为271.选B.10.1()()22x x f x φ=--,则//1()()02x f x φ=-<,()x φ∴在R 上是减函数.11(1)(1)11022f φ=--=-=, 1()()022x x f x φ∴=--<的解集为{}1x x >.选D.二、填空题11.32(3)28,(3)39.98,(3)9.f g h ====>∴=12.直线y x z =-+经过点P(0,4)时,z x y =+最得最大值,最大值是4.13.由题设知1π()[1cos()]26f x x =+-．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π6x -πk =，即0 π22π3x k =+(k ∈Z )．所以0π()sin 2sin(2π)3g x xk ==+=32．14.(坐标系与参数方程选做题)将方程2cos ρθ=两边都乘以ρ得: 22cos ρρθ=,化成直角坐标方程为2220x y x +-=.半径为1,面积为π.15.(几何证明选讲选做题)PA是切线,,,,BAP ACP P P PAB PCA ∴∠=∠∠=∠∴∆∆则,AB PAACPC= 即14,2PC=8.PC ∴=设圆的半径为r ,由切割线定理2PA PB PC=⋅得,16(82)8r =-⨯.解出 3.r =三、解答题16.(1)与共线,∴3cos sin 02x x +=,∴3tan 2x =-. (2))21,cos (sin x x +=+ ,1()2()2(sin cos ,)(cos ,1)2f x a b b x x x =+⋅=+⋅- 22sin cos 2cos 1sin2cos2x x x x x =+-=+2)4x π=+，∴函数()f x 的2,22(Z),42x k k πππ+=+∈得.28k x ππ=+函数取得最大值时().28k x k Z ππ=+∈17.(1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为51000.05=人. ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d ,由51810d ⨯+=100,解得1d =.∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人,22人.(2)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. 18. （Ⅰ）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，∵平面11A ABB ∥平面11D DCC平面EGF D 1平面11A ABB EG=，平面EGF D 1平面11D DCC F D 1=∴EG ∥F D 1.-------------------------------------3分（Ⅱ）解：如图，以D 为原点分别以DA 、DC 、DD 1为 x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则有D 1（0，0，2），E （2，1，2），F （0，2，1），∴)0,1,2(1=D ，)1,2,0(1-=D设平面EGF D 1的法向量为 ),,(z y x n =则由01=⋅D ，和01=⋅D ，得⎩⎨⎧=-=+0202z y y x ，取1=x ，得2-=y ，4-=z ，∴)4,2,1(--=n------------------------------6分又平面ABCD 的法向量为=1DD （0，0，2）故21214200)4()2(12)4(0)2(01||||,cos 222222111-=++-+-+⨯-+⨯-+⨯⋅>=<n DD n DD ；∴截面EGF D 1与底面ABCD 所成二面角的余弦值为21214. ------------------9分A B C D E FG A 1 B 1 C 1xyz（Ⅲ）解：设所求几何体11DCFD ABGEA -的体积为V ，∵1EGB ∆～11FC D ∆，211=CD ，11=F C ，∴121111==C D EB ，111122B GC F ==， ∴111111112224EGB SEB B G ∆=⋅=⨯⨯=，112212111111=⨯⨯=⋅=∆F C C D S FC D --------------------------11分故V棱台111EGB FC D -)(3||11111111FC D FC D EGB EGB S S S S C B ∆∆∆∆+⋅+=2117(11)3446=+⨯=∴V=V正方体-V棱台111EGB FC D -3741266=-=. ------------------14分19.(1)由椭圆定义可知aMF MF 221=+. 由题意12=MF ,121-=∴a MF .又由Rt△21F MF 可知 ()122)12(22+=-a ，0>a ,2=∴a ，又222=-b a，得22=b.∴ 椭圆C 的方程为12422=+y x .(2)直线2BF 的方程为2-=x y . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,124,222y x x y 得点N的纵坐标为32. 又2221=F F ，3822322211=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∴∆BN F S . 20.(1)xe ax x xf x )2()(,02-=>时,xx x e a x a x e ax x e a x x f ]2)1(2[)2()22()('22--+=-+-=∴,由已知，'(1)0,f =[12(1)2]0,12220,a a e a a ∴+--=∴+--=34a ∴=.(2)由(1)230,()(),2x x f x x x e >=-时2331'()(2)()(1)(23)222x x xf x x e x x e x x e ∴=-+-=-+.令3'()01()2f x x x ===-得舍去,当0>x 时:x(0,1)1 (1,)+∞)('x f-0 +)(x f极小值12e -所以，要使方程0)(=-m x f 有两不相等的实数根，即函数)(x f y =的图象与直线m y =有两个不同的交点,m=0或12m e =-. 21.(1)由题意得△0121=--=+n n a a ，即121+=+n n a a,进而可得52=a,113=a.(2)由于121+=+n n a a，所以)1(211+=++n n a a，因为0311≠=+a，所以数列}1{+na是以311=+a为首项，公比为2的等比数列，知数列}11{+na 是以31为首项，公比为21的等比数列，于是na a a a ++++++++11111111321 )2121211(3112-++++=n 32])21(1[32211)21(131<-=--⋅=n n ,所以3211111111321<++++++++n a a a a.。

2011年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩ N）=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4} 2．（5 分）函数y= （x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）设向量、满足| |=| |=1，•=﹣，| +2 |=（）A．.B．C．、D．.4．（5 分）若变量x、y 满足约束条件，则z=2x+3y 的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．35．（5 分）下面四个条件中，使a＞b 成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b36．（5 分）设S n 为等差数列{a n}的前n 项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．57．（5 分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω 的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．98．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2 B．C．D．19．（5分）4 位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1 门，则恰有2 人选修课程甲的不同选法共有（）A．12 种B．24 种C．30 种D．36 种10．（5 分）设f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5 分）设两圆C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4 B．C．8 D．12．（5 分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）（1﹣x）10的二项展开式中，x 的系数与x9的系数之差为：．14．（5 分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=．15．（5 分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为C1D1 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为．16．（5 分）已知F1、F2 分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2 的平分线，则|AF2|= ．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）设等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n 和S n．18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．19．（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（I）求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；（II）求该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（I）证明：SD⊥平面SAB；（II）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．： 21．（12 分）已知函数f （x ）=x 3+3ax 2+（3﹣6a ）x +12a ﹣4（a ∈R ）（I ）证明：曲线 y=f （x ）在 x=0 处的切线过点（2，2）；（II ）若 f （x ）在 x=x 0 处取得极小值，x 0∈（1，3），求 a 的取值范围．22．（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为﹣的直线 l 与 C 交于 A 、B 两点，点 P 满足．（I ）证明：点 P 在 C 上；（II ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩ N）=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5 分）函数y= （x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y= （x≥0），∴x= ，y≥0，故反函数为y= （x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量、满足| |=| |=1，•=﹣，| +2|=（）A．.B．C．、D．.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由| +2|==，代入已知可求【解答】解：∵| |=| |=1，•=﹣，| +2|===故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用，属于基础试题4．（5 分）若变量x、y 满足约束条件，则z=2x+3y 的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当x=1，y=1 时，目标函数z=2x+3y 有最小值为5故选：C．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5 分）下面四个条件中，使a＞b 成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1 满足a＞b，但a=b+1 即a＞b 推不出a＞b+1，故a＞b+1 是a＞b 成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5 分）设S n 为等差数列{a n}的前n 项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】85：等差数列的前n 项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24 转化为关于k 【分析】先由等差数列前n 项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k﹣S k=24 转化为：+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5 分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω 的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2 B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题．【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB 为直角三角形，利用勾股定理可得BC 的值；进而在Rt△BCD 中，由勾股定理可得CD 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB 为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD 中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4 位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1 门，则恰有2 人选修课程甲的不同选法共有（）A．12 种B．24 种C．30 种D．36 种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2 人选修课程甲，共有C42 种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2 种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵恰有2 人选修课程甲，共有C42=6 种结果，∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4 种结果，根据分步计数原理知共有6×4=24 种结果故选：B．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5 分）设f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5 分）设两圆C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4 B．C．8 D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a 和b 分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值．【解答】解：∵两圆C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a 和b 分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，即a 和b 分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=•=8，故选：C．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5 分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出求出OM 的长，找出二面角的平面角，从而求出ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆N 的半径，从而求出面积．10 【解答】解：∵圆 M 的面积为 4π∴圆 M 的半径为 2根据勾股定理可知 OM=∵过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N∴∠OMN=30°，在直角三角形 OMN 中，ON=∴圆 N 的半径为则圆的面积为 13π故选：D ．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）（1﹣x ）10 的二项展开式中，x 的系数与 x 9 的系数之差为： 0 ．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数分别取 1； 9 求出展开式的 x 的系数与 x 9 的系数；求出两个系数的差．【解答】解：展开式的通项为 T r +1=（﹣1）r C r x r所以展开式的 x 的系数﹣10x 9 的系数﹣10x 的系数与 x 9 的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5 分）已知 a ∈（π，），tan α=2，则 cosα= ﹣ ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα 的值．【解答】解：∵a∈（π，），∴cosα＜0∴cosα=﹣=﹣故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5 分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为C1D1 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角，在△RtADE 中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5 分）已知F1、F2 分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2 的平分线，则|AF2|= 6 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A 在双曲线的右支上∵AM 为∠F1AF2 的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）设等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n 和1 n n1 n n S n ．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前 n 项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比为 q ，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前 n 项和的公式即可．【解答】解：设{a n }的公比为 q ，由题意得：，解得：或，当 a =3，q=2 时：a =3×2n ﹣1，S =3×（2n ﹣1）；当 a =2，q=3 时：a =2×3n ﹣1，S =3n ﹣1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12 分）△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ．已知 asinA +csinC ﹣asinC=bsinB ，（Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 A=75°，b=2，求 a ，c ．【考点】HU ：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得 cosB 的值，进而求得 B ．（Ⅱ）利用两角和公式先求得 sinA 的值，进而利用正弦定理分别求得 a 和 c ．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得 a 2+c 2﹣ac=b 2，由余弦定理可得 b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，故cosB= ，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（I）求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；（II）求该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n 次独立重复试验的模型．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．（II）该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率1﹣0.2=0.8 （II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（I）证明：SD⊥平面SAB；（II）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD 垂直于面SAB 中两条相交的直线SA，SB；在证明SD 与SA，SB 的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC 所成的角的大小即利用平面SBC 的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB 为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S 在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M 点一定在x 轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC 的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC 的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB 与平面SBC 所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12 分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（I）证明：曲线y=f（x）在x=0 处的切线过点（2，2）；（II）若f（x）在x=x0 处取得极小值，x0∈（1，3），求a 的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0 处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）f（x）在x=x0 处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a 的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a 的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，可得曲线y=f（x）在x=0 处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，当x=2 时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上∴曲线y=f（x）在x=0 的切线过点（2，2）（Ⅱ）由f′（x）=0 得x2+2ax+1﹣2a=0 (1)方程（1）的根的判别式①当时，函数f（x）没有极小值②当或时，由f′（x）=0 得故x0=x2，由题设可知：（i ）当时，不等式没有实数解；（ii ）当时，不等式化为 a +1＜＜a +3，解得综合①②，得 a 的取值范围是【点评】将字母 a 看成常数，讨论关于 x 的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于 a 的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为﹣的直线 l 与 C 交于 A 、B 两点，点 P 满足．（I ）证明：点 P 在 C 上；（II ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；KH ：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程，根据已知中过 F 且斜率为﹣的直线 l 与 C 交于 A 、B 两点，点 P 满足，我们求出点 P 的坐标，代入验证即可．（2）若 A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB 的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p 的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P 在C 上．（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上．设线段AB 的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB 的中点且垂直于AB 的直线方程为：y﹣= （x﹣），即y=x+；③∵P 关于点O 的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ 的中点，则过线段PQ 的中点且垂直于PQ 的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q 两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2= ，y1+y2=1∴A，B 也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q 四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。

2011年高考湖北卷文科数学试题及答案

pppa b a b×根据抛物线的对称性，正三角形的两个 x y O F A B C D 倾斜角分别为30和0150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为n ，n=2，所以选C.【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质.主要是利用抛物线和正三角形的对称性.属于简单题. 5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)12,10[内的频数为内的频数为 A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 【详细解析】因为组距为2，所以[10,12)的频率为0.18，所以频数为200×0.18=36 【考点定位】本题主要考查频率分布直方图，知道其横坐标、纵坐标的含义，以及图像与横轴所围面积的和为“1”,属于简单题. 6．已知函数x x x f cos sin 3)(-=，R Îx ．若1)(³x f ，则x 的取值范围为的取值范围为A ．},232|{Z Î+££+k k x k x p p pp B ．},3|{Z Î+££+k k x k x p p pp C ．},65262|{Z Î+££+k k x k x p p pp D ．},656|{Z Î+££+k k x k x p p pp【详细解析】由条件3sin cos 1x x -³得1sin 62x p æö-³ç÷èø，则522666k x k ppp p p +£-£+，解得223k x k pp p p +££+，k Z Î，所以选A .【考点定位】本题考查三角函数的公式运用sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin β,属于简单题. 7．设球的体积为1V ，它的内接正方体的体积为2V ．下列说法中最合适的是．下列说法中最合适的是A ．1V 比2V 大约多一半B ．1V 比2V 大约多两倍半大约多两倍半C ．1V 比2V 大约多一倍D ．1V 比2V 大约多一倍半大约多一倍半【详细解析】依题意31324333=382V R V R p p =×球球≈2.6 2 4 6 8 8 10 12 10 12 0.19 0.15 0.05 0.02 样本数据样本数据【考点定位】本题考查空间立体几何的空间想象力，知道球的内接正方体的对角线长与球半径的关系，并会用球的体积公式和正方体体积公式属于中档题. 8．直线0102=-+y x 与不等式组ïïîïïíì£+-³-³³2034,2,0,0y x yx yx 表示的平面区域的公共点有表示的平面区域的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个．无数个【详细解析】如图直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域只有一个公共点【考点定位】本题考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学方法. 属于简单题.9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337升【详细解析】由题意 1434a +d =32´1198659a +d 6a +d =422´´æöæö-ç÷ç÷èøèø，解得113a =22，d=766，所以易求a 5=6766【考点定位】本题数列的通项公式和前n 项和公式，解题时要注意公式的灵活运用.属于简单题. 10．若实数a ，b 满足0³a，0³b ，且0=ab ，则称a 与b 互补．记b a b a b a --+=22),(j ，那么0),(=b a j 是a 与b 互补的互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件．既不充分也不必要的条件【详细解析】若j (a,b)= 22a b a b =+--，则22a b +=（a+b ）两边平方解得ab=0，故a ，b 至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|-b=0，故b ≥0，即a 与b 互补，而当a 与b 互补时，易得ab=0，此时22a b a b +--=0，即j (a,b)=0，故j (a,b)=0是a 与b 互补的充要条件. 【考点定位】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的，其中判断φ（a ，b ）=0⇒a 与b 互补与a 与b 互补⇒φ（a ，b ）=0的真假，是解答本题的关键．属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市的样本，应抽取中型超市家．【答案】 20 【详细解析】大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家. 共有超市200+400+1400=2000按分层抽样方法抽取一个容量为100样本，每个个体被抽到的概率是1001200020=，中型超市要抽取400×120=20家. 【考点定位】本题考察分层抽样，这是每年必考的题目，解题的关键是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.属于简单题. 12．18)31(xx -的展开式中含15x 的项的系数为的项的系数为．（结果用数值表示）（结果用数值表示）【答案】 17 【详细解析】二项展开式的通项为Tr+1=32181813r r rC x -æö-ç÷èø，令18- 32r =15得r=2，所以展开式中含x 15的项的系数为221813C æö-ç÷èø=17 【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.属于简单题. 13．在30瓶饮料中，瓶饮料中，有有3瓶已过了保持期．瓶已过了保持期．从这从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为过保质期饮料的概率为．（结果用最简分数表示）（结果用最简分数表示）【答案】28145【详细解析】2272301C p C =-=28145.【考点定位】考查独立事件的概率，属于简单题.14．过点)2,1(--的直线l 被圆012222=+--+y x y x 截得的弦长为2，则直线l 的斜率为．【答案】1或177【详细解析】设直线斜率是k ，由题意得圆心到直线的距离为22，由点到直线的距离公式可计算得k=1或177【考点定位】考查解析几何中直线与圆的位置关系，会运用点到直线的位置关系公式.属于中档题. 15．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg A A M -=，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，地震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为则此次地震的震级为级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的级地震最大振幅的倍．倍．【答案】6或10000 【详细解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.01，则M=lgA-lgA 0=lg1000-lg0.001=3-（-3）=6. 设9级地震的最大振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3,5=lgy+3，解得x=106，y=102，所以62101000010x y==【考点定位】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用,属于中档题. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知1=a ，2=b ，41cos =C ．（Ⅰ）求△ABC 的周长；的周长；（Ⅱ）求)cos(C A -的值．的值．【详细解析】（Ⅰ）22212cos1444,4c a b a bC =+-=+-´=2,c \=\△A B C的周长为1225a b c ++=++=．（Ⅱ）221115cos ,sin 1cos 1()444C C C =\=-=-=．15sin 154sin 28aC A c\===．,a c A C <\< ，故A 为锐角，22157cos 1sin 1()88A A \=-=-=．71151511cos()cos cos sin sin 848416A C A C A C \-=+=´+´=．【考点定位】考查三角形与三角函数的运用及运算能力，属于简单题。

数学文答案(已更改)

上饶市2011年第一次高考模拟考试数学（文科）参考答案二、填空题. 11．5219[,)(,]123312ππππ--⋃ 12．1320 13．48π- 14．1()2n a b -+ 15．1≤a 16．解：(1) m n ⊥()223,cos cos ,2cos 1222A A A m n A A ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 3=-∴A A ……4分216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πA ……6分∵,66,6566,0ππππππ=-∴<-<-∴<<A A A ……8分 3π=∴A . ……9分(2)在ABC ∆中，3π=A ，2=a ，33cos =C ,663sin ,36sin +==B C ……10分由正弦定理知：,sin sin B b A a = ∴A B a b sin sin ==3)32(2+. ……12分 17．解：（1）设{}n a 的公比为q , 由已知得3162q =，解得2q =. …………2分又12a =，所以111222n n nn a a q --==⨯=. …………………………………………4分（2）由（I ）得28a =，532a =，则48b =，1632b =.设{}n b 的公差为d ，则有1138,1532,b d b d +=⎧⎨+=⎩解得12,2.b d =⎧⎨=⎩ 得2nb n =……………………7分则1111111()()412n n n n b b a n n ++=-++ …… 10分所以541()442nn n s n +=-+ ……12分 18．解：（1）由[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，∴40M =. …2分因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. 0.10mp M ==. ……4分因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………6分（2）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种，所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） ………………12分 19．（1）∵111ABC A B C -是正三棱锥， ∴1BB ⊥平面ABC ,∴1BB AD ⊥, 在正ABC ∆中，∵D 是BC 的中点， ∴AD BD ⊥.1BB BD B =，∴AD ⊥平面1BB D ,∴1AD B D ⊥. ………………4分（2）连结DE . 1AA AB =，四边形11A ABB 是正方形，∴E 是1A B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥1A C ，∵DE ⊂平面1AB D ,1AC ⊄平面1AB D ， ∴1A C //平面1AB D . ………………8分（3）∵1A C //平面1AB D ，∴点F 到平面1AB D 的距离等于点1A 到平面1AB D 的距离1111A AB D B A AD V V --=，所以111132223222ad a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，解得2d a =. 12分 20．解：(1)由已知1()2(0)f x x x'=+>， ………………2分 (1)213f '=+=.故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分(2)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ………………5分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a -+∞.………8分（3）由已知，转化为max max ()()f x g x <. 可得max ()2g x = ……………10分由(2)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， 21ln()a >---，解得 .………13分所以21．解（1 ）如图，以线段FM 的中点为原点O ，以线段FM 所在的直线为y 轴建立直角坐标系xOy .则(0,1)F . …………2分设动点P 的坐标为(,)x y ，则动点Q 的坐标为(,1)x -(,1)PF x y =--，(0,1)PQ y =--u u u r， ……………3分由()PF PQ +·()0PF PQ -=，得24x y =. ………4分（2）设直线AB 的方程为111,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ，则2(,1)N k--. ………5分联立方程组24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩ 消去y 得，2440x k x --=，2(4)160k ∆=-+>， ……6分故12124,4.x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩ 由1NA AF λ=，2NB BF λ=得，1112x x k λ+=-，2222x x kλ+=-， 8分整理得，1121kx λ=--，2221kx λ=-- 121221122()2k x x kλλ+=--+=--·121224204x x k x x k +=--⋅=⋅-. ………10分（3）存在，直线方程为y +1=0 ......11分设AB 所在的直线方程为y =k x+1,点A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1),(x 2,y 2) 所以切线12,l l 分别为112()xx y y =+……①；和 222()xx y y =+……② 由①－②可得：1212()2()x x x y y -=- ∴2x k = 把2x k =代入①式可得111y kx y =-=-,∴点Q 在定直线 y =-1上运动. ...........14分31e a <-。

2011年高考文科数学试题分类汇编-十、数列

十、数列（一）选择题（辽宁文）（5）若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为B（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16（重庆文）1．在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝DA ．12B ．14C ．16D ．18（全国大纲文）6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=D A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 （湖北文）9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为BA ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升（四川文）9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44+1答案：A解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ．（安徽文）（7）若数列}{n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n 则 A （A ）15 （B ）12 （C ）-12 （D ）-15（7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+==+=，故a a a 1210++=3⨯5=15L .故选A.（陕西文）10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（）（A ）①和（B ）⑨和⑩ (C) ⑨和(D) ⑩和【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．【解】选D （方法一） ①和9)10(1210)2+++⨯+++⨯=2000：10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯=2000⑩和：路程和都是2000坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。

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数学(文科）基础强化训练（10）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.“()24x k k Z π
π=+∈”是“tan 1x =”成立的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件.
C.充分条件
D.既不充分也不必要条件.
2.复数 2
31i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭
（）
A.34i --
B.34i -+
C.34i -
D.34i + 3.若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
则z=2x+y 的最大值为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
4．过空间一点与已知平面垂直的直线有（）
A ．0条
B ．1条
C ．0条或1条
D ．无数条
5．平面α⊥平面β的一个充分条件是（）
A ．存在一条直线l ，使得l ⊥α，l ⊥β
B ．存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β
C ．存在一个平面γ，使得γ∥α，γ∥β
D ．存在一条直线l ，使得l ⊥α，l ∥β
6．设a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是（）
A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β
B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β
C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥β
D ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β
7．已知2sin 3
α=，则cos(2)x α-=（） A.53- B.19- C.19 D.53
8.平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b == ,则OAB ∆的面积等于（） A.222()a b a b -⋅ B.222()a b a b +⋅ C.2221()2a b a b -⋅ D.2221()2a b a b +⋅
9．“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
积是（）
A.2
B.1
C.23
D.13
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
11.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线
方程是10x y -+=，则a=_____, b=_____
12.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图（右）
所示，则此几何体的体积是___________3
cm .
13..关于平面向量有下列四个命题：
①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②已知
(,3),(2,6)k ==-a b ．若a b ∥，则1k =-； ③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30 ；④()()0||||||||
+⋅-=a b a b a b a b ．其中正确的命题为___________．（写出命题的序号） 14．曲线C 的方程为22
22x y m n
+=1，其中m 、n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A=｛方程22
22x y m n
+=1表示焦点在x 轴上的椭圆｝，那么()P A = ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
15．(12分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1＝a ，BC ＝b .
(1)设E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ；
(2)求证：A 1C 1⊥AB ；
(3)求点B 1到平面ABC 1的距离．
参考答案
1.【答案】A 【解析】14tan )42tan(==+π
π
πk ，所以充分；但反之不成立，如
14
5tan =π. 2.【答案】A 【解析】本试题主要考查复数的运算.
3.【答案】C 【解析】本题考查了线性规划的知识.
4．答案：B 解析：根据线面垂直的定义及其性质定理可知过空间一点与已知平面垂直的直线只有1条，
5．答案：D 解析：对于A ，由l ⊥α，l ⊥β得α∥β，因此A 不正确；对于B ，若直线l ⊥γ，则任意一个经过直线l 的平面都与平面γ垂直，显然可以找到两个都经过直线l 但互不垂直的平面α、β，因此B 不正确；对于C ，由γ∥α，γ∥β只能得出α∥β，因此C 不正确；对于D ，由l ⊥α，l ∥β可得α⊥β，
6．答案：C 解析：依题意易知A ，D 中的位置关系不确定，故A 、D 错误；对于B ，易知a ∥b ，故B 错误；对于C ，因为b ⊥β，α∥β，故b ⊥α，又a ⊂α，所以a ⊥b ，
7．【答案】．．．．B ．【解析】本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． sina=2/3．．．．．．．．，．21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-
8.【答案】C 【解析】 2222111()||||sin ,||||1cos ,||||1222||||
OAB a b S a b a b a b a b a b a b ∆⋅=<>=-<>=- 2221()2a b a b =-⋅
9.【答案】A 【解析】由a (a -1)－2×3=0，解得a =3或a =-2，即当a =3或a =-2时，两直线平行，
10.【答案】B 【解析】本题考查立体图形三视图
及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为12212
1=⨯⨯⨯. 11.【答案】1a =1b =【解析】本题考查了导数
的几何意思，即求曲线上一点处的切线方程.
∵ 02x y x a a ='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =.
12.【答案】144【解析】图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公221
式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.
13.【答案】②③④
【解析】①中()0⋅=⋅⇒⋅-=a b a c a b c ．当0=a 时也成立；②中若a b ∥，则有2136
k k -=⇒=-；③中易知,a b 夹角60 ，a 与a +b 的夹角为30 ；④中()()||||||||+⋅-a b a b a b a b ()()||||||||=+⋅-a b a b a b a b 22||||
=-a b a b ||||+⋅a b a b ||||
-⋅a b a b 0=． 14．【答案】
12
5【解析】试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x 轴上，则m n >，又只剩
下一半情况，即15种，因此155()3612P A ==． 15．解：(1)∵E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1.
∵A 1C 1∥AC ，
∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ABC .
(2)∵AB ＝CC 1，∴AB ＝BB 1.
又三棱柱为直三棱柱，
∴四边形ABB 1A 1为正方形，
连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1.
又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，∴AB 1⊥A 1C 1.
又A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，∴A 1C 1⊥AB .
(3)∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1，
∴A 1到平面ABC 1的距离等于B 1到平面ABC 1的距离，过A 1作A 1G ⊥AC 1于G .
∵AB ⊥平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1G ，
从而A 1G ⊥平面ABC 1，故A 1G 即为所求的距离，
求得A 1G ＝a b
b 2－a 2.。