江苏省苏州市第五中学高中数学第三章《直线与方程》直线方程的概念与直线的斜率教案新人教版必修2
讲《直线方程的概念与直线的斜率》这节课注意事项
2．2 直线的方程
2．2．1．直线方程的概念与直线的斜率
1．通过分析一次函数及其图象，建立直线方程的概念。
把直线看做是点的集合，用集合的观点，把直线的特征性质用方程来表示。
2．直线的斜率是数学中最重要的概念之一，在微积分学中也扮演着极为重要的角色。
一定要让学生理解它的几何意义。
值得大家思考的是，课标把直线方程的学习安排在三角之前学习。
倾角的正切等于斜率，这一事实还不能直接地引入。
这与传统习惯相左，大家很难接受。
很多老师提前讲数学4。
当然，这也是一种选择。
学完向量和三角后，再学习解析几何会更顺理成章些。
编者反复考虑，在学习三角和向量前，学习解析几何初步，还是有一定的道理的。
解析几何最根本的思想是，用代数方法研究几何。
在学习解析几何前，如果没有三角和向量的知识，就会强化用代数方法学习几何，使学生更深刻地理解坐标法的意义、代数与几何的内在联系。
由以上分析，我们建议不要改变课标规定的教学顺序。
彻底
把算式的几何意义（相似比）和代数意义（变化率）搞清楚。
直线方程的概念与直线的斜率
12 12 6．直线l过A(－2，(t ) )，B(2，(t ) ) t t
两点，其中t≠0，则此直线的斜率为 －1 ， 此直线经过第 一、二、四 象限 7．若点A(2，－3)，B(3，－2)，C( 1 ，m) 三点共线，则m=
9 2
2
.
8．已知过点P(1－a，1+a)和Q(3，2a)的
2．如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直 线的斜率等于1，那么m的值为（ A ）
（A）1（C）1或3Fra bibliotek（B）4
（D）1或4
3．下列各组点中，在同一直线上的是
（ C ） （A）(－2，3)，(－7，5)，(3，－5)
（B）(3，0)，(6，4)，(－1，－3)
（C）(4，5)，(3，4)，(－2，－1)
（D）(1，3)，(2，5)，(－2，3)
4．已知A(a，2)，B(3，b+1)，且直线
AB的倾斜角为90°，则a，b的值为 （ D ） （A）a=3, b=1 （B）a=3, b=2
（C）a=2, b=3
（D）a=3, b∈R且b≠1
5．给出下列四个命题： ①一条直线必是某个一次函数的图象； ②一次函数y=kx+b的图象必是一条不过原 点的直线； ③若一条直线上所有点的坐标都是某个方 程的解，则此方程叫做这条直线的方程； ④以一个二元方程的解为坐标的点都在某 条直线上，则这条直线叫做此方程的直线. 其中正确命题的个数是（ A ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
一．直线方程的概念 直线的方程与方程的直线： 一般地，如果以一个方程的解为坐标 的点都是某条直线上的点；反之，这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这 个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
直线方程的概念与直线的斜率
汇报人：XX
• 直线方程的基本概念 • 直线的斜率 • 直线方程的求解方法 • 直线方程与图形的结合 • 直线方程在实际问题中的应用
01
直线方程的基本概念
直线方程的定义
直线方程
描述平面上一条直线的数学表达式， 通常表示为 $y = mx + b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是截距。
k代表斜率，x1和y1代表直线上的一个点(x1,y1)，x2和y2代表直线上的另一个点 (x2,y2)。
斜率与倾斜角的关系
倾斜角不是90度的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（k） 。
直线的斜率反映直线上每一点的倾斜程度。一条直线与平面直角坐标系 横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
02
直线的斜率
斜率的定义
斜率，亦称“倾斜度”、“倾斜 率”，表示一条直线相对于横坐
标轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横 坐标轴正半轴方向的夹角的正切 值即该直线相对于该坐标系的斜
率。
如果直线与x轴互相垂直，直角 的正切值无穷大，故此直线不存
在斜率。
斜率的计算公式
直线斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
移变换中，直线方程可以根据平移向量进行相应的变换。
02
旋转变换
通过旋转变换可以改变图形的方向，但不改变图形的形状和大小。在旋
转变换中，直线方程可以根据旋转中心和旋转角度进行相应的变换。
03
缩放变换
通过缩放变换可以改变图形的大小，但不改变图形的形状。在缩放变换
中，直线方程可以根据缩放因子进行相应的变换。
直线方程的特殊形式
1 2
水平线方程
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2
4．已知△ABC 中，A(0，3)、B(2，－1)、E、F 分别 为 AC、BC 的中点，则直线 EF 的斜率为________． 解析：因为 E、F 分别为 AC、BC 的中点， 所以 EF∥AB. 所以 kEF＝kAB 答案：－2 －1－3 ＝ ＝－2. 2－0
5．已知直线 l1 的倾斜角为 45°，直线 l2∥l1，且 l2 过点 A(－2，－1)和 B(3，a)，则 a 的值为________． 解析：因为 l2∥l1，且 l1 的倾斜角为 45°， 所以 kl2＝kl1＝tan 45°＝1， a－（－1） 即 ＝1，所以 a＝4. 3－（－2） 答案：4
2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与 不存在两种情况求解．
[变式训练] 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直 线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过点 C(3，－ 3)，D(8，－7)； (2)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0，5)； (3)l1 经过点 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3， 4)，H(2，3)． 5－ 1 －7＋3 4 解：(1)由题意知，k1＝ ＝－ ，k2＝ ＝ 5 －3－2 8－3 －3－1 4 － ，kAC＝ ＝－4， 5 3－2
③l1 经过点 A(－1，2)，B(－3，1)，l2 经过点 M(－1， 4)，N(1，5)． (1)解析：由题意知，k1＝tan 60°＝ 3， k2 ＝ －2 3－ 3 －2－1 ＝ 3，
k1＝k2，所以直线 l1 与直线 l2 平行或重合． 答案：平行或重合
1－ 2 5－4 1 (2)解： ①kl1＝ ＝－1， kl2＝ ＝－ ， kl1≠kl2， 4 2－ 1 －1－3 所以 l1 与 l2 不平行． ②直线 l1 与 l2 均与 x 轴垂直，且横坐标不同，所以 l1 与 l2 平行．
高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x 轴垂直.知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角，则直线的倾斜角为（ ） A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中，正确的是（ ）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α，且090α≠时，斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限，则此直线l 的倾斜角范围是（ ）A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+，当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135，则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1，则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1，则m 的值为 变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+，则此直线的倾斜角是（ ） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+，且23x ≤≤，求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ） A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。
解析几何初步直线方程的概念与直线的斜率教案说明
解析几何初步——直线方程的概念与直线的斜率教案说明：本教案旨在让学生掌握直线方程的基本概念，了解直线方程的表示方法，并通过实例理解直线的斜率。
本教案适用于高中一年级学生，需具备一定的代数和几何基础。
教学目标：1. 理解直线方程的概念，掌握直线方程的表示方法。
2. 了解直线的斜率，并能运用斜率公式计算直线的斜率。
3. 能运用直线方程和斜率解决实际问题。
教学内容：一、直线方程的概念1. 引入直线方程的概念，让学生了解直线方程是用来表示直线位置和性质的数学表达式。
2. 讲解直线方程的基本形式，如点斜式、截距式和一般式等。
二、直线方程的表示方法1. 讲解点斜式方程的推导过程，让学生理解点斜式方程的含义。
2. 介绍截距式方程的推导过程，让学生掌握截距式方程的表示方法。
3. 讲解一般式方程的推导过程，让学生了解一般式方程的应用。
三、直线的斜率1. 引入直线斜率的概念，让学生了解斜率是表示直线倾斜程度的量。
2. 讲解斜率的计算公式，让学生能运用公式计算直线的斜率。
3. 通过实例讲解斜率的运用，让学生能结合直线方程和斜率解决实际问题。
四、直线方程的应用1. 讲解如何利用直线方程求直线与坐标轴的交点。
2. 介绍如何利用直线方程解决两点间距离问题。
3. 通过实例让学生掌握直线方程在实际问题中的应用。
1. 布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：通过本节课的学习，学生能掌握直线方程的基本概念和表示方法，了解直线的斜率，并能运用所学知识解决实际问题。
在课堂练习中，学生应能独立完成相关习题，展示对直线方程和斜率的理解。
六、直线方程的进一步应用1. 讲解如何利用直线方程判断两直线的位置关系，如相交、平行或重合。
2. 介绍如何利用直线方程解决两直线的交点问题。
3. 通过实例让学生掌握直线方程在解决两直线关系问题中的应用。
七、直线的斜率与倾斜角1. 讲解斜率与倾斜角的关系，让学生了解斜率与直线倾斜程度的关系。
2. 讲解如何利用斜率公式求直线的倾斜角，让学生能运用公式计算直线的倾斜角。
直线方程的概念与直线的斜率--原创
0 k tan 0 0 0 90 k tan 0 a 90 tan (不存在) k不存在 90 180 k tan 0
（3，2），（-4，1），C（0， 1 ， B ） 例3：已知点 A
(1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角. (2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点， 求 l 的斜率k的取值范围.
y
1 2 1 解：（）k AB 1 锐角 4 3 7 1 1 1 k BC 钝角 0 (4) 2 1 2 kCA 1 锐角 03 x
令x x 2 x1 y y 2 y1
y k ( x 0 ) x
t an
y
P2 P1
P
y y x x
2 2
1
0
x
1
直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率。
三 直线的倾斜角
X轴正向与直线向上的方向所成的角 叫做这 条直线的倾斜角．
y A
例1、求经过A(-2,0), B(1,3)两点的直线的斜率 和倾斜角. 变式1、求经过A(-2,0), B(-2,3)两点的直线的斜率 和倾斜角. 变式2、求经过A(-2,3), B(-5,3)两点的直线的斜率 和倾斜角. 变式3、已知A(-2,0), B(1,3) C（m，4）三点共线， 求m的值。 例2、已知三点A(2,3),B(m, 4),C(8, m)三点共线, 求m的值.
y1 kx1 b1 y2 kx2 b 2
江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第1讲 直线的方程课件
法二 由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 令 y＝0，得 x＝3－2k，令 x＝0，得 y＝2－3k， 由已知 3－2k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23， ∴直线 l 的方程为 y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)， 即 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0. (2)设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－14×3＝－34.
• 2．三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围， 如(2)；
• 二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时， 应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；
• 三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定， 则需分类讨论，如(6).
• 考点一 直线的倾斜角和斜率
• 【 例 1】 (1) 直 线 xsin α ＋ y ＋ 2 ＝ 0 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 ________．
• 【训练1】 经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)， B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α的范围．
解 法一 如图所示， kPA＝－21－－0－1＝－1， kPB＝1－2－－01＝1， 由图可观察出：直线 l 倾斜角 α 的范围是34π，π∪0，π4.
• 考点二 求直线的方程
• 【例2】 求适合下列条件的直线方程：
• (1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
• (2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的 . • 且(|A3)B过|＝点5A. (1，－1)与已知直线l1：2x在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
直线方程的概念与直线的斜率 PPT课件 人教课标版
一．直线方程的概念
直线的方程与方程的直线：
一般地，如果以一个方程的解为坐标 的点都是某条直线上的点；反之，这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这 个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因 而我们以后就说直线y=kx+b
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
•
67、心中有理想 再累也快乐
•
68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。
•
69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。
•
70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！
•
71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。
•
72、只要路是对的，就不怕路远。
•
73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。
2 3
，
y
所以可以得 x 的最大值为2，
最小值为 2 ．
A
3
B
练习题：
1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°; ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是（ C ）
江苏省苏州市第五中学高中数学 2.1.2直线的方程(3)教案 苏教版必修2
江苏省苏州市第五中学高中数学 2.1.2直线的方程（3）教案苏教版必修2教学目标：1．掌握一般式直线方程，能根据条件求出直线方程；2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；3．掌握点斜式、两点式是一般式的特殊情况．教材分析及教材内容的定位：一般式方程是几种形式的化归与统一，要能够理解直线与方程的对应关系．教学重点：直线一般式的应用及与其他四种形式的互化．教学难点：理解直线方程的一般式的含义．教学方法：自主探究．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：（1）直线方程的形式与标准方程；（2）各类标准方程的局限性．2．本节课研究的问题是：如何回避直线标准方程的局限性而表示所有类型的直线方程？二、学生活动探究：直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都是关于x、y的二元一次方程，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程是否都表示直线？（1）平面直角坐标系中，若α为直线l的倾斜角，那么当α≠90︒时，l：y＝kx＋b即kx－y＋b＝0；当α＝90︒时，l：x＝x0即x＋0y－x0＝0；即它们都可变形为Ax＋By＋C＝0的形式，且A，B不同时为0，从而直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．（2）关于x，y的二元一次方程的一般形式为Ax＋By＋C＝0，（A，B不同时为0）当B≠0时，方程A Cy xB B=--，表示斜率为AB-，在y轴上的截距为CB-的直线；特别地，当A＝0时，表示垂直于y轴的直线；当B＝0时，由A≠0，方程CxA=-，表示与x轴垂直的直线．从而每一个二元一次方程都表示一条直线．三、建构数学一般地，方程）不全为0,(0BACByAx=++叫做直线的一般式方程．说明：（1）平面上的直线与二元一次方程是一一对应的；（2）前面的四种形式都是一般式方程的特殊情况．四、数学运用例1 求直线l ：3x ＋5y －15＝0的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图．例2 设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是－3；（2）直线l 的斜率是1．练习：1．若AC ＜0，BC ＞0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0必不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设直线l 的方程为),2(3+=-x k y 当k 取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？3．设直线的方程为 (m2－2m －3)x ＋(2m2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是－3；（2）直线l 的斜率是1．4．已知两条直线a1x ＋b1y ＋1＝0和a2x ＋b2y ＋1＝0都过点A(1，2)，求过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程．。
直线方程的概念与直线的斜率25页PPT
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
直线方程的概念与直线的斜率
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭
江苏高二直线方程知识点整理
知识整理一：直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 二、直线方程的形式及适用条件1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角________． 2.已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为_______3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为_______4．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 5．直线2x ＋3y ＋6＝0的截距分别为a,b ，则a+b=_______.1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨一、两条直线的位置关系{A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0或{A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0二、两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组{A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三、几种距离1．平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.2.点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.3．两条平行线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.1，点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为________．2，已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m________．3，“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则实数a的值为________．4，若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．5．直线l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为________．6.若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．。
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率(第2课时)两条直线平行与垂直的判定讲义必修2
[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P86～P89，回答下列问题：(1)观察教材图3.1－7，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？提示：α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tan_α1＝tan_α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1、k2不存在．(2)观察教材图3.1－10，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？提示：α2＝α1＋90°，因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．归纳总结，核心必记(1)两直线平行的判定①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有k1＝k2⇔l1∥l2.②若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．③若直线l1和l2的斜率都不存在，且不重合时，得到l1∥l2.(2)两直线垂直的判定①如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们垂直，即l1⊥l2⇔k1k2＝－1.②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直．[问题思考](1)若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．(2)若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：不一定，如果两条直线l1，l2中的一条与x轴平行(或重合)，另一条与x轴垂直(也即与y轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)怎样判定两条直线平行？；(2)怎样判断两条直线垂直？ .[思考] 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？ 名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：(1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l 1与l 2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，则l 1∥l 2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l 1∥l 2⇔k 1＝k 2或l 1，l 2斜率都不存在． 讲一讲1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)． [尝试解答] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．判断两条直线是否平行的步骤练一练1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行． 解：由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－m ＋1＝m－6－m，k CD ＝5－30－－4＝12，由于AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，即m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB的斜率存在，所以m ＝－2.[思考] 对两直线垂直与斜率的关系应注意什么？ 名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．讲一讲2．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[尝试解答] 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2. ∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0， 由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 练一练2．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是__________． 解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x,0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，得x ＝1或2，所以C (1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)讲一讲3．已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．(链接教材P 89—例6)[思路点拨] 画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状．[尝试解答] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示， 由斜率公式可得k AB ＝5－32－－4＝13， k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－－4＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ， 所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤练一练3．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线平行的步骤，见讲1.(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲2.(3)判断图形形状的方法步骤，见讲3.3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲2.[学业水平达标练]题组1两条直线平行的判定及应用1．若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1、α2，斜率分别为k1、k2，有下列命题：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若α1＝α2，则l1∥l2.其中真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C①错，两直线不一定有斜率．2．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是()A．－8 B．0 C．2 D．10解析：选A由题意可知，k AB＝4－mm＋2＝－2，所以m＝－8.3．过点A(1,3)和点B(－2,3)的直线与直线y＝0的位置关系为________．解析：∵直线y＝0的斜率为k1＝0，过A(1,3)，B(－2,3)的直线的斜率k2＝3－3－2－1＝0, ∴两条直线平行．答案：平行4．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．解析：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF∥AB.∴k EF＝k AB＝－1－32－0＝－2.答案：－2题组2两条直线垂直的判定及应用5．(2016·淄博高一检测)直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是() A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.6．若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．解析：由两点的斜率公式可得：k PQ＝3－a－b3－b－a＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.答案：－17．已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 30°＝3 3，设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，∴k2＝－ 3. 答案：－ 3题组3 两条直线平行与垂直的综合应用8．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C k AB ＝1－－1－1－2＝－23，k AC ＝4－11－－1＝32，∵k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 点为直角顶点的直角三角形．9．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值． (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． 解：设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－a ＋21－－2＝－a3.(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率为k 1＝2－a a －4，所以2－a a －4＝－a3，解得a ＝1或a ＝6，经检验当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意；②当k 2≠0时，l 1的斜率存在，k 1＝2－a a －4，由k 1·k 2＝－1得到2－a a －4×⎝⎛⎭⎫－a 3＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.10．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：略[能力提升综合练]1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－6) B ．(0,7) C ．(0，－6)或(0,7) D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝⎛⎭⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)．3．(2016·邯郸高一检测)若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135° B ．45° C ．30° D ．60° 解析：选B k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，k PQ ·k l ＝－1，∴l 的斜率为1，倾斜角为45°.4．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0.k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－312，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．5．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴AB ∥CD ，AC ⊥B D. 答案：①④6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0.答案：07．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ·k CD ＝－1，即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3； 当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.8．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解：由斜率公式可得k AB ＝6－－46－－2＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－－40－－2＝5. 由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1， 即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在； AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线方程的概念与直线的斜率
【教学目标】
知识与技能目标
（1）了解直线的方程和方程的直线的概念.
（2）理解掌握直线的倾斜角、斜率的概念和过两点直线的斜率公式.
（3）掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系.
过程与方法目标
（1）引导学生进行数学阅读，激发学生阅读的动机和兴趣，指导学生掌握数学阅读的方法，循序渐进，使学生从愿读转变到会读，最后上升为乐读. 培养学生独立获取知识的自学能力.
（2）初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的创新意识和分析问题、解决问题的能力．
情感、态度与价值观目标
通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神.
【教学重点和难点】
重点：理解直线的斜率概念，探索如何通过两点求直线的斜率公式.
难点：斜率的几何意义，即直线的斜率和倾斜角的相互关系
【教法与学法】
教法上本着“教是为了不教”的教学思想，主要采用阅读探究式教学方法。
通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决问题的能力.
同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率.
【教学程序】
学生发表独立
)=吗？为什不满足以方程的解为坐标
数形结合的思想（三）斜率的几何意义
以斜率为正值的两条不平行的直线
则：
由学生自主完成，
板书设计。