随机过程 第5章 随机分析

2
[推论1] 二阶矩过程 { X (t), tT } 在 T 上均方可微的充 要条件是相关函数 RX(t1, t2) 在 { (t, t), tT } 上每一点 广义二阶可微。
均方可微准则
[推论2] 若相关函数 RX(t1, t2) 在 { (t, t), tT } 上每一点广义二阶可
2 dmX (t) 微，则 在 T 上以及 RX (t1,t2), RX (t1,t2), RX (t1,t2) dt t1 t2 t1t2
[极限] 当t t0 时，二阶矩随机过程 { X (t), tT } 均方收 敛于二阶矩随机变量 X ，即
lim E[ X (t ) X ] 0
t t 0 2
则称X为随机过程X (t)在t0 点的极限，
. m X (t ) X 或记作 l .t i t
0
二、均方连续
[定义] 设有二阶矩过程 { X (t), tT }，若对某一个 tT ，有
Xn 。 X
a.e
依概率收敛
[依概率收敛] 称二阶矩随机序列 { Xn} 依概率收敛于二 阶矩随机变量 X ，若对于任意给定的 > 0，有
lim P{ X n X } 0
n
记作 X n X 。
P
均方收敛
[均方收敛] 设有二阶矩随机序列 { Xn } 和二阶矩随机变 量 X ，若有
n 0 i 1
均方可积准则
[定理] f(t)X(t) 在区间[a, b]上均方可积的充要条件是

a
b
b
a
f (t1 ) f (t 2 )R X (t1 , t 2 ) d t1 d t 2
存在。 特别地，二阶矩过程 X (t) 在区间[a, b]上均方可积的充 要条件是 RX(t1, t2) 在 [a, b][a, b] 上可积。
均方可微准则
[定理] 二阶矩过程 { X (t), tT } 在 t 点均方可微的充要 条件是相关函数 RX(t1, t2) 在点 (t, t) 的广义二阶导数 存在。即
R X (t1 h1 , t 2 h2 ) R X (t1 h1 , t 2 ) R X (t1 , t 2 h2 ) R X (t1 , t 2 ) R X (t1 , t 2 ) lim h1 0 h h t1t 2 1 2 h 0
lim X n X
n
其中 X 为随机变量。
以概率1收敛
[以概率1收敛] 称二阶矩随机序列 { Xn } 以概率1收敛于 二阶矩随机变量 X ，若使
lim X n X
n
成立的 e 的集合的概率为1，即
P{ e : lim X n X } 1
n
或称{ Xn }几乎处处收敛于X ，记作
[定理1] 二阶矩随机序列 { Xn } 收敛于二阶矩随机变 量 X 的充要条件为
n, m 2
lim E [ X n X m ] 0
[定理2] 二阶矩随机序列 { Xn } 均方收敛的充要条件 为下列极限存在且为常数：
n ,m
lim E [ X n X m ] C
随机过程的极限
其中 t i 1 t i t i
2 n 0
[定义] 若当n0时，Sn 均方收敛于S，即 lim E S n S 0 则称 f(t) X(t) 在区间[a, b]上均方可积，其积分值记为
S
n

b
a
f ( t ) X ( t ) d t l . i . m f ( t i ) X ( t i )( t i t i 1 )
三、均方导数
[定义] 设 { X (t), tT } 为二阶矩过程，若存在另一个随机 过程X (t) ，满足
X (t h) X (t ) lim E X (t ) 0 h 0 h
2
则称 X (t) 在 t 点均方可微，记作 d X (t ) X (t h) X (t ) l .i . m X (t ) h 0 dt h 并称X (t) 为 X (t) 在 t 点的均方导数。若X (t)在 T 上每 一点 t 均方可微，则称它在 T 上均方可微。
b b (2) E f (t1 ) X (t1 ) dt1 f (t 2 ) X (t 2 ) dt 2 a a


a
b
b
a
f (t1 ) f (t 2 )R X (t1 , t 2 ) dt 1 dt 2
E
特别有

b
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
X ( t ) dt


a
b
b
a
R X ( t1 , t 2 )dt 1 dt 2
数学期望 运算与求 导运算可 以交换顺 序
四、均方积分
设 { X (t), tT } 为二阶矩过程， f (t)为普通函数，T=[a, b]， a t 0 t1 t n b
记 n max {( t i t i 1 )}
1 i n n
Sn

i 1
f ( t i ) X ( t i )( t i t i 1 ) ,
均方积分性质（1）
b ( 1) E f ( t ) X ( t ) dt a

b
a
f ( t ) E [ X ( t )] dt
特别有
b E X ( t ) dt a

b
a
E [ X ( t )] dt
数学期望与 求积运算可 以交换顺序
第5章 随机分析
——随机过程的微积分
数学分析与随机分析
在普通函数的微积分中，连续、导数和积 分等概念都是建立在极限概念的基础上。 在随机分析中，以随机序列极限为基础， 研究分析随机过程的连续、导数和积分等概念 和性质。
一、收敛性概念
对于概率空间（, F, P）上的随机序列{ Xn }，每 个试验结果 e 都对应一序列 X1(e), X2(e), , Xn(e), , 若这一族序列对每个 e 都收敛，则称随机序列 { Xn } 处 处收敛，即满足
lim E[ X (t h) X (t ) ] 0
h 0 2
. m X (t h) X (t ) . 则称{ X (t) }在 t 点均方连续，记作 l .hi 0
若对 T 中所有点都均方连续，则称{ X (t) } 在 T 上 均方连续。
均方连续准则
[定理] 二阶矩过程 { X (t), tT } 在 t 点均方连续的充 要条件是相关函数 RX(t1, t2) 在点 (t, t) 处连续。 [推论] 若相关函数 RX(t1, t2) 在 { (t, t), tT } 上连续， 则它在 TT 上连续。
( 1) l . i . m cn lim cn c
n
(2) l.i.mU U
(3) l . i . m( cnU ) cU
( 4) l . i . m( aX n bYn ) aX bY
(5) lim E[ X n ] E[ X ] E[l . i . m X n ]
lim E[ X n X ] 0
n 2
成立，则称{ Xn }均方收敛于X ，记作 X n X 。
l .i . m X n X
n
m.s
或
l .i . m X n X
依分布收敛
[依分布收敛] 称二阶矩随机序列 { Xn } 依分布收敛于二阶 矩随机变量 X ，若{ Xn }相应的分布函数列{ Fn(x) } ，在 X 的分布函数 F(x) 的每一个连续点处，有
在 TT 上存在，且有
d m X (t ) d E[ X (t )] ( 1) E[ X (t )] dt dt R X (t1 , t 2 ) (2) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[ X (t1 ) X (t 2 )] t1 t1
R X (t1 , t 2 ) (3) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[ X (t1 ) X (t 2 )] t 2 t 2 R X (t1 , t 2 ) R X (t1 , t 2 ) (4) E[ X (t1 ) X (t 2 )] t1t 2 t 2 t1
均方积分性质（2）
[定理] 设二阶矩过程 { X (t), tT } 在区间[a, b]上均方连 续，则
Y (t )

t
a
X ( ) d
在均方意义下存在，且随机过程{ Y (t), tT } 在区间 [a, b]上均方可微，且有Y (t) = X (t) 。 [推论] 设 X (t) 均方可微， X (t) 均方连续，则
X (t ) X ( a ) X (b ) X ( a )

t
a
X ( t ) dt
b

a
X ( t ) dt
例1 (例6.7)

设 { X (t), tT } 是实均方可微过程，求其导数过程 { X (t), tT } 的协方差函数 BX (s, t ) 。
[解]
X (t ) X ( a )
lim Fn ( x) F ( x)
n
记作 X n X 。
d
四种收敛定义的关系
a.e d p
m.s
均方收敛的性质
[定理] 设 { Xn }, { Yn }, 都是二阶矩随机序列，U 是二阶矩 随机变量，{ cn } 是常数序列，a, b, c 为常数。令 l.i.mXn=X , l.i.mYn=Y , limcn=c ，则有

t
a
X ( t ) dt