二元一次方程组应用拓展
人教版七年级数学下《实际问题与二元一次方程组》拓展练习
《实际问题与二元一次方程组》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（）元．A．31B．32C．33D．342．（5分）小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是（）A．37B．27C．23D．203．（5分）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（）A．3分钟B．4分钟C．5分钟D．6分钟4．（5分）甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（）A．甲比乙大6岁B．甲比乙大9岁C．乙比甲大18岁D．乙比甲大34岁5．（5分）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？①设用x张制盒身，可得方程2×25x＝40（36﹣x）；②设用x张制盒身，可得方程25x＝2×40（36﹣x）；③设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组；④设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组；其中正确的是（）A．①④B．②③C．②④D．①③二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有人．7．（5分）如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦公顷，3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦公顷．8．（5分）根据下图给出的信息可知，足球的单价为元．9．（5分）某长方形的周长是44，若宽的3倍比长多6，则该长方形的长等于．10．（5分）某电信局现有300部已申请装机的电话等待装机．假设每天新申请装机的电话部数相同，该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同，那么安排3个装机小组，恰好30天可将需要装机的电话全部装完；如果安排5个装机小组，则恰好10天可将需要装机的电话全部装完．试求每个电话装机小组每天装机多少部？每天有多少部新申请装机的电话？三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，这是一个矩形养鸡场的平面图，一边靠墙（有阴影的直线），其余边用60米的篱笆围成．养鸡场被分割成三个面积相等的矩形区域①、②、③．且AD＞AB．若养鸡场的总面积为162平方米，求AD的长．12．（10分）如图，为了美化校园，在长为60米，宽为32米的长方形空地中，沿着平行于长方形各边的方向，分割出三个全等的正方形和两个全等的长方形作为花圃．设小正方形的边长为a米，小长方形的长和宽分别为b米、c 米．（1）请用含有a、b、c的代数式表示AB、AD长度；（2）若小正方形的边长恰好是小长方形的宽的2倍，试求出花圃的总面积S．13．（10分）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．（1）求x、y的值；（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？14．（10分）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．解决问题：（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm；（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．15．（10分）运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车，运输580吨化肥，装载了10节火车车厢和20辆汽车，每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨化肥？《实际问题与二元一次方程组》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（）元．A．31B．32C．33D．34【分析】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本8本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．【解答】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+2y＝6 ④由②+①得17x+12y+2z＝46 ⑤由⑤﹣④×2﹣③得0＝46﹣12﹣a∴a＝34故选：D．【点评】此题主要考查了方程组的应用，解答此题的关键是列出方程组，用加减消元法求出方程组的解．2．（5分）小杨在商店购买了a件甲种商品，b件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件5元，乙种商品每件19元，那么a+b的最大值是（）A．37B．27C．23D．20【分析】根据题意得出关于a和b的二元一次方程，然后用b表示出a，继而用b表示出a+b，然后可以利用函数的思想得出a+b取得最值的条件，即能得出答案．【解答】解：由题意得，5a+19b＝213，∴a＝，∴a+b＝+b＝，∵a+b是关于b的一次函数且a+b随b的增大而减小，∴当b最小时，a+b取最大值，又∵a，b是正整数，∴当b＝2时，a+b的最大值＝37．故选：A．【点评】本题考查二元一次不定方程的应用，技巧性较强，解答本题的关键是函数思想的应用，同学们要注意掌握这种解题思想，它会在以后的解题中经常用到．3．（5分）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（）A．3分钟B．4分钟C．5分钟D．6分钟【分析】设同向行驶的相邻两车的距离及车、小王的速度为未知数，等量关系为：6×车速﹣6×小王的速度＝同向行驶的相邻两车的距离；3×车速+3×小王的速度＝同向行驶的相邻两车的距离；把相关数值代入可得同向行驶的相邻两车的距离及车的速度关系式，相除可得所求时间．【解答】解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x﹣6y＝s．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x+3y＝s．②由①，②可得s＝4x，所以．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．故选：B．【点评】本题考查二元一次方程组的应用；根据追及问题和相遇问题得到两个等量关系是解决本题的关键；设出所需的多个未知数是解决本题的突破点．4．（5分）甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（）A．甲比乙大6岁B．甲比乙大9岁C．乙比甲大18岁D．乙比甲大34岁【分析】设甲现在的年龄是x岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙8岁．乙是甲现在的年龄时，甲26岁，可列方程求解．【解答】解：甲现在的年龄是x岁，则乙现在的年龄为（2x﹣26）岁，根据题意得：x+8＝2（2x﹣26）解得x＝202x﹣26＝14岁，20﹣14＝6答：甲比乙大6岁；故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，重点考查理解题意的能力，甲、乙年龄无论怎么变，年龄差是不变的．5．（5分）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？①设用x张制盒身，可得方程2×25x＝40（36﹣x）；②设用x张制盒身，可得方程25x＝2×40（36﹣x）；③设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组；④设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组；其中正确的是（）A．①④B．②③C．②④D．①③【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数＝36，再列出方程（组）即可．【解答】解：设用x张制盒身，可得方程2×25x＝40（36﹣x）；故①正确；②错误；设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组；故③正确；④错误；故选：D．【点评】此题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有48人．【分析】设选李子坝轻轨站的有x人，选长江索道的有y人，选洪崖洞的有a（x+8）人，根据：选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍，选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人，列出方程组，组中两个方程相减得到二元一次方程，由于人数为正整数，得到x、y所有可能值，代入方程组中，只有满足a为整数倍的才合题意．然后计算出该团人数．【解答】解：设选李子坝轻轨站的有x人，选长江索道的有y人，则选磁器口的有（x+8）人，选洪崖洞的有a（x+8）人，根据题意得：，②可变形为：（a﹣1）（x+8）＝24+x﹣y③，①+③，得2a（x+8）＝24+6x+4y，即a＝；①﹣③，得x+3y＝20．∵x、y都是正整数，∴或或或或或当、、、、时，a＝都不是整数，不合题意．当时，a＝＝＝3．∴选李子坝轻轨站的有2人，选长江索道的有6人，选磁器口的有10人，选洪崖洞的有30人，由于每名游客都填了调査表，且只选了一个景点，所以该旅行团共有2+6+10+30＝48（人）．故答案为：48【点评】本题考查了二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键．7．（5分）如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦（2x+5y）公顷，3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦（3x+2y）公顷．【分析】根据代数式的表示方法，利用台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷可表示出2台大收割机和5台小收割机1小时收割的工作量和3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦的工作量．【解答】解：由于1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷．根据题意得么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦（2x+5y）公顷，3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦（3x+2y）公顷．故答案为（2x+5y），（3x+2y）．【点评】本题考查了二元一次方程组解的应用：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系，再找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．然后列方程组，解方程组即可．也考查了列代数式．8．（5分）根据下图给出的信息可知，足球的单价为20元．【分析】根据题意可知，本题中的等量关系是“44元”和“26元”，列方程组求解即可．【解答】解：设球的单价是x元，玩具的单价是y元．则解得所以足球的单价为20元．故填20．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．9．（5分）某长方形的周长是44，若宽的3倍比长多6，则该长方形的长等于15．【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“周长是44”和“宽的3倍比长多6”，列方程组求解即可．【解答】解：设长方形的长为x，宽为y．则，解得．则该长方形的长等于15．故填15．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．10．（5分）某电信局现有300部已申请装机的电话等待装机．假设每天新申请装机的电话部数相同，该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同，那么安排3个装机小组，恰好30天可将需要装机的电话全部装完；如果安排5个装机小组，则恰好10天可将需要装机的电话全部装完．试求每个电话装机小组每天装机多少部？每天有多少部新申请装机的电话？【分析】设每个电话装机小组每天装机x部，每天有y部新申请装机的电话，根据题意所述的两个等量关系可得出方程组，解出即可得出答案．【解答】解：设每个电话装机小组每天装机x部，每天有y部新申请装机的电话，根据题意得：，解得：，答：每个装机小组每天装机10部，每天有20部新申请装机的电话．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，根据等量关系得出方程组．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，这是一个矩形养鸡场的平面图，一边靠墙（有阴影的直线），其余边用60米的篱笆围成．养鸡场被分割成三个面积相等的矩形区域①、②、③．且AD＞AB．若养鸡场的总面积为162平方米，求AD的长．【分析】设AD的长度为x，结合题意得到其它几条线段的长度，由矩形的面积公式列出方程并解答．【解答】解：设CE的长度为x，AD的长度为y，依题意得：，解得，，当时，AB＝（60﹣2y﹣3x）+x＝13.5，此时AB＞AD．∵AD＞AB，∴，不合题意，舍去．答：AD的长度为18米．【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，列出方程组并解答．注意：限制性条件AD＞AB的存在．12．（10分）如图，为了美化校园，在长为60米，宽为32米的长方形空地中，沿着平行于长方形各边的方向，分割出三个全等的正方形和两个全等的长方形作为花圃．设小正方形的边长为a米，小长方形的长和宽分别为b米、c 米．（1）请用含有a、b、c的代数式表示AB、AD长度；（2）若小正方形的边长恰好是小长方形的宽的2倍，试求出花圃的总面积S．【分析】（1）观察图形，可得出：AB＝3a+2b，AD＝3a+2c；（2）由AB＝60、AD＝32及a＝2c，即可得出关于a、b、c的方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：AB＝3a+2b，AD＝3a+2c．（2）根据题意得：，解得：，∴S＝3a2+2bc＝3×82+2×18×4＝336．答：花圃的总面积S为336平方米．【点评】本题考查了列代数式以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）观察图形，用含a、b、c的代数式表示出AB、AD；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．13．（10分）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．（1）求x、y的值；（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？【分析】（1）根据“月销售件数200件，月总收入3400元，月销售件数300件，月总收入3700元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元”，即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，利用（①+②）÷4即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．14．（10分）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．解决问题：（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20 cm；（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积；（2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝14．根据这两个等量关系可列出方程组；（3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：，解得：，∴xy＝10×6＝60．故每个小长方形的面积为60；（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，则，解得，则12x+y＝12×1+8＝20．即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．（3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得，解得，＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64．∴S阴影故答案为：64．【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．15．（10分）运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车，运输580吨化肥，装载了10节火车车厢和20辆汽车，每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨化肥？【分析】设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输580吨化肥，装载了10节火车车厢和20辆汽车，列方程组求解．【解答】解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，由题意得，，解得：．答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．。
十二类二元一次方程组实际应用汇总
7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组。
解：设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得：
，
答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。
总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。
类型十：列二元一次方程组解决——浓度问题
9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比。
思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。
二元一次方程组的应用与几何问题结合例题
一、引言二元一次方程组在数学中有着重要的地位，它不仅在代数中有着广泛的应用，同时也与几何问题有着密切的联系。
通过解决一些具体的几何问题，我们可以更深入地理解二元一次方程组的概念和应用。
本文将以例题的形式结合几何问题，探讨二元一次方程组的应用。
二、例题分析1. 题目：已知两条直线的方程分别为2x - y = 1和x + y = 3，求两直线的交点坐标。
解析：两条直线的交点坐标即为二元一次方程组的解。
我们可以通过联立方程组，求解x和y的值。
首先我们可以选择其中一个方程，如x + y = 3，对其进行变形可以得到y = 3 - x。
将y = 3 - x代入到另一个方程2x - y = 1中，得到2x - (3 - x) = 1，化简得到3x = 4，从而得到x = 4/3。
将x = 4/3代入到y = 3 - x中，即可得到y的值。
交点坐标为(4/3, 5/3)。
2. 题目：求过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程。
解析：首先我们可以得到直线2x + y = 3的斜率为-2。
垂直直线的斜率为直线斜率的负倒数，即为1/2。
过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程为y - 2 = 1/2(x - 1)，整理得到y = 1/2x + 1。
3. 题目：求直线y = kx + 2与直线x - 2y + 1 = 0的交点坐标。
解析：联立直线y = kx + 2和x - 2y + 1 = 0，得到kx + 2 - 2y + 1= 0，即kx - 2y = -1。
通过比较系数得到k = 1/2，然后代入k值，解得交点坐标为(-1, 1)。
三、结论通过以上例题的分析，我们可以发现二元一次方程组在几何问题中的应用是十分广泛的。
通过求解交点坐标、垂直直线的方程等问题，我们不仅可以更好地理解二元一次方程组的概念，也能深入地理解直线的性质和特点。
在学习数学的过程中，我们应该注重二元一次方程组的应用和几何问题的结合，以便更深入地掌握相关知识。
二元一次方程组的应用
对于某些特定的二元一次方程组，可以通过引入三角函数进行代换，把二元一次方程组转化为一元三角方程组，从而求解出方程组的解。
反三角函数法
对于无法直接求解的二元一次方程组，可以通过反三角函数法求解。具体来说，可以把方程组中的未知数表示成反正切或反余弦等函数的形式，然后通过一定的代数运算得到方程组的解。
三角法
房屋装修
交通出行
日常生活中的应用
总结
04
掌握二元一次方程组的解法
理解方程组的应用
掌握相关数学知识点
学习回顾
未来展望
要点三
拓展数学知识体系
深入学习方程组的高级解法，如矩阵方法等，提升数学素养和能力。
要点一
要点二
应用领域更加广泛
二元一次方程组的应用领域非常广泛，包括物理、化学、经济等多个领域，可以进一步了解这些领域中的方程组应用。
数学建模思想的培养
通过解决实际问题，运用数学建模的思想，更好地将方程组与实际问题联系起来，提高解决实际问题的能力。
要点三
THANKS
谢谢您的观看
二元一次方程组的实际应用
03
VS
在经济学中，二元一次方程组可以用来解决投资组合优化问题。通过确定最优投资组合，投资者可以在风险和收益之间取得平衡。例如，投资者可以使用二元一次方程组来求解最优投资组合的比例，以实现最大化的收益或最小化的风险。
供需平衡
在经济学中，二元一次方程组还可以用来描述和解决供需平衡问题。通过设定供应量和需求量作为方程的变量，并将两者相等，可以求解出市场的均衡价格和均衡数量。
二元一次方程组的应用领域
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课题介绍
理解二元一次方程组的概念及解法；
学习目标
二元一次方程组的解法与应用
二元一次方程组的解法与应用二元一次方程组是数学中的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将介绍二元一次方程组的解法及其在实际问题中的应用。
一、二元一次方程组的解法1. 消元法消元法是求解二元一次方程组的常用方法。
一般而言，我们可以通过变量消元，将方程组转化为只有一个变量的一次方程，从而求解出另一个变量的值。
举例来说，考虑以下的二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以通过乘以适当的倍数，使得方程组中的x的系数相等或者y的系数相等。
然后将两个方程相减，消去一个变量，从而得到仅含一个变量的方程。
解出该变量，再回代到原方程组中得到另一个变量的值。
2. 代入法代入法也是解二元一次方程组的一种方法。
首先，我们可以利用其中一个方程，将一个变量表示为另一个变量的函数，然后将其代入另一个方程中。
例如，考虑以下方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以从第一个方程中解出x，表示为y的函数。
将得到的表达式代入第二个方程，即可得到仅含有一个变量y的一次方程。
进而解出y的值，并将y的值代入第一个方程求解x的值。
3. 克莱姆法则克莱姆法则是一种解二元一次方程组的特殊方法，它基于矩阵的理论。
对于一个由线性方程组所构成的矩阵，克莱姆法则可以帮助我们通过计算行列式的值来求解方程组的解。
考虑以下方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以构建矩阵A和向量C，并计算其行列式，如果行列式不等于零，那么方程组有唯一解。
根据克莱姆法则，我们可以通过计算行列式Dx和Dy，并分别除以行列式A来求解x和y。
二、二元一次方程组的应用1. 几何应用二元一次方程组在几何学中有广泛的应用。
例如，在坐标系中，二元一次方程组的解可以表示为一条直线与坐标轴的交点。
通过解方程组，我们可以求解直线与轴的交点坐标，从而研究直线的性质和几何关系。
此外，二元一次方程组还可以用于求解平面上的交点问题。
解 二 元 一 次 方 程 — — — 拓 展 欧 几 里 得 算 法
POJ 1061 青蛙的约会（扩展欧几里得算法）队内赛，这道题也不会，之前见过，知道用到数论知识就让sk先忽略，后来发现所有题都不怎么会，回过头来看的时候，没想到聪明的sk小同学居然会（师哥讲过我一直都没用过），然后回过头来补的时候也多亏sk 指点迷津正题：扩展欧几里得算法这个博客讲得很到位，讲几点自己的理解1.扩展欧几里得算法返回值是最大公约数，在过程中改变了x，y的值，所以传参数时应该加上，而不用在意x，y的初始值2.x，y只是 ax + by = gcd（a， b）对应的解，想要将其转换为ax1 + by1 = c 的解也很容易x1 = （x - gcd（a， b）* c） % （b - gcd（a， b））（推导过程博客里有）3.最后求出来的x1的值必须是非负数，并且是大于零的最优解，而x1 = （x - gcd（a， b）* c） % （b - gcd（a， b））对应的值有可能就是负数，所以保险起见 x1 = （x1 + b - gcd（a， b））?% （b - gcd（a，b）），这必定是最优解4.（摘自百度百科）根据欧几里得算法有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a - b] * b)y2=ay2+ bx2- [a - b] * by2;说明： a-[a-b]*b即为mod运算。
[a-b]代表取小于a-b的最大整数。
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a - b] *y2);根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a - b] *y2;还有就是需要注意 c % gcd（a， b）不为零时方程无解最后挂一下代码就行了吧#includeiostream#includecstring#includecstdio#includealgorithm#includevector#includeset#includemap#includequeue#includecmathusing namespace std;long long exgcd(long long a, long long b, long long x, long long y)if(b == 0)return a;long long g = exgcd(b, a % b, x, y);long long temp = x;y = temp - a - b * y;return g;int main()long long x, y, m, n, l;while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",x, y, m, n, l) != EOF) long long x1, y1;long long a = n - m;long long b = l, c = x - y;long long d = exgcd(a, b, x1, y1);printf("Impossible");continue;x1 = (c - d * x1) % (b - d);--可能为负值x1 = (x1 + b - d) % (b - d);--再次优化成为最优解printf("%lld",x1);return 0;}这算是又get了一个数论啊，利用扩展欧几里得算法求解二元一次方程组找最优解printf(" %d *b = %d",y,extgcd(a,b,x,y));while ('0' = ch ch = '9')void exgcd(ll a,ll b,ll d,ll x,ll y)--扩展欧几里得对于欧几里得算法的每一个状态，都存在ax+by=gcd(a,b)的解，我们假设有这样两组解（且他们为相邻状态）：printf("%d %d",a,b);所以(s_{min})是(x_i)的公约数，小于等于最大公约数。
解二元一次方程组教案(优秀6篇)
解二元一次方程组教案（优秀6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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七年级数学二元一次方程组的应用
在建立方程组时，需要充分理解问题的实际情况和数学模型，根据已知条件和未知数的数量关系列出方程组。方 程组可以是二元一次方程组、三元一次方程组等，具体形式取决于问题的复杂程度和需要求解的未知数数量。
解方程组并得出结论
总结词
通过解方程组得出未知数的值，并对结果进 行解释和应用。
详细描述
解方程组是解决问题的关键步骤，可以采用 代入法、消元法、矩阵法等不同的方法进行 求解。得出未知数的值后，需要对结果进行 解释和应用，判断其是否符合实际情况，并 对结果进行合理的分析和推理，以得出最终 的结论。
详细描述
消元法的基本步骤是先将两个方程进行适当的变换，消去其中一个变量，然后将 得到的方程代入另一个方程中，得到一个一元一次方程，最后解这个一元一次方 程得到一个变量的值，再将这个值代回原来的方程中求另一个变量的值。
图像法
总结词
通过将二元一次方程组的解在平面坐标系中表示出来，利用图像的交点求得二元一次方程组的解。
详细描述
在购物问题中，通常有两个未知数，分别代表两种商品的数量或价格。通过题 目给出的信息，我们可以列出两个方程，然后解这个方程组，得出每种商品的 数量或价格。
距离问题
总结词
距离问题是二元一次方程组在行程问题中的应用，主要涉及 到速度、时间和距离之间的关系。
详细描述
在距离问题中，通常有两个未知数，分别代表两个物体的速 度或距离。通过题目给出的信息，我们可以列出两个方程， 然后解这个方程组，得出物体的速度或距离。
未来可以对二元一次方程组的解法 进行深入研究，探索更加高效、精 确的解法，并应用于实际问题中。
培养数学素养
通过学习和应用二元一次方程组， 可以培养学生的数学思维和解决问 题的能力，为未来的学习和工作打 下坚实的基础。
二元一次方程组的8大解题方法,应用题的克星
二元一次方程组的8大解题方法，专治各类应用题！二元一次方程大战应用题一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。
（第一中考网）3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。
02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。
典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。
二元一次方程组的应用案例
初中数学教学案例分析-----二元一次方程组的应用从平时自测与正规考试分析，有的题型我们教师讲过，甚至几乎一模一样，但是学生仍然不会。
学生存在“知其然，不知其所以然”现象。
这是因为在备课时，我们往往只习惯于备教学内容，而忽视备学生。
如果教师不去研究学生对所教内容的掌握情况，不去研究学生的个体差异，一切从本本出发，课堂教学的适切性就会大打折扣，课堂教学的高效更无从谈起。
案例：《二元一次方程组的应用》各环节配题。
（一）提出问题，导入新课1、问题1 解二元一次方程组问题2 母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄到3倍，此时母亲的年龄为几岁？解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。
由题意得26+x=3x解法二：设母亲的年龄为x岁。
由题意得x=3（x－26）（二）精选讲例，探求新知例某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。
已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？巩固练习小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。
（三）变式训练，激活学生思维问题1 小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。
问题2 已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑，其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台，我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。
小红的方案：她认为可以购进A型和B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说（四）课堂练习，巩固新知1、A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时候相遇。
二元一次方程——拓展方程应用能力的教案
二元一次方程——拓展方程应用能力的教案拓展方程应用能力的教案一、教学目标1.理解二元一次方程基本性质，掌握解二元一次方程的方法。
2.了解方程在实际问题中的应用，拓展方程应用能力。
3.培养学生分析问题和解决问题的能力。
4.培养学生的合作学习和自主学习能力。
二、教学重难点1.二元一次方程的解法。
2.如何将实际问题转化成方程。
3.如何应用方程解决实际问题。
三、教学内容和过程1、引入新知识观察下面的问题：(1)两个相遇的火车，分别从相距800km的两地相向而行。
两车相遇时，两车同时停车。
此时，两车距离出发地点各为多少公里？(2)有两个简单的数学题，其中第一个数是第二个数的三倍。
如果两个数的和是24，那么这两个数各是多少？(3)小明拿500元钱去商场购物，他买了3件衣服和4件裤子，每件衣服的价格是x元，每件裤子的价格是y元，已知他还有200元钱。
求x，y的解。
请大家思考上述问题的解法。
你们的解法是什么？是否存在更简单有效的方法？如何将这些实际问题转化成方程解决呢？接下来我们一起来学习解决这些问题的方法。
2、学习解题方法将问题转化成方程是解决实际问题的常用方法，而二元一次方程是解决实际问题的一种重要工具。
我们来看下面的例子：(1)两个相遇的火车，分别从相距800km的两地相向而行。
两车相遇时，两车同时停车。
此时，两车距离出发地点各为多少公里？解法：设两车分别行驶x、y公里，则x+y=800;因为两车的速度相同，所以两车走相同的时间，设时间为t，则x=vt，y=vt。
在两车相遇时，两车同时停车，所以x+y=800和x+y=2vt。
将x+y=800带入x+y=2vt中，得到800=2vt，即400=vt。
将vt=400带入x+y=800中，则x+y=800，x=400，y=400。
(2)有两个简单的数学题，其中第一个数是第二个数的三倍。
如果两个数的和是24，那么这两个数各是多少？解法：设第二个数为x，则第一个数为3x。
83第2课时利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
83第2课时利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题是实际应用数学中非常重要的一部分。
在许多实际问题中，我们需要使用多个未知数来表示不同的变量，并通过方程组来描述它们之间的关系。
下面将介绍一类较复杂的实际问题，并通过利用二元一次方程组来解决。
假设有一个学校的操场，学校决定进行一次改造工程来扩大操场的面积，并在操场的两侧修建道路。
根据规划，操场的面积将扩大到原来的2倍，并且两侧的道路宽度相等。
已知原来的操场面积为x平方米，道路的宽度为y米，扩大后的操场面积为2x平方米。
我们需要通过二元一次方程组来解决以下问题：1.求解原来的操场面积x和道路宽度y。
2.当原来的操场面积为1000平方米时，扩大后的操场面积和道路宽度分别是多少？首先，根据问题描述，我们可以列出如下方程组：方程1:x+2y=2x方程2:x*y=x^2我们先来解决第一个问题，求解原来的操场面积x和道路宽度y。
我们可以将方程1进行整理得到：x=2y将x=2y代入方程2中得到：2y*y=(2y)^22y^2=4y^22y^2-4y^2=0-2y^2=0由此可知，y=0。
将y=0代入x=2y中得到：x=2*0x=0所以，原来的操场面积x和道路宽度y的解为x=0，y=0。
接下来，我们来解决第二个问题，当原来的操场面积为1000平方米时，扩大后的操场面积和道路宽度分别是多少？我们将问题中的已知数据代入方程组中，得到：1000+2y=2*10001000+2y=20002y=2000-10002y=1000y=1000/2y=500将y=500代入x=2y，得到：x=2*500x=1000所以，当原来的操场面积为1000平方米时，扩大后的操场面积为1000平方米，道路宽度为500米。
通过以上例子，我们可以看到通过利用二元一次方程组来解决较复杂的实际问题是非常有效的。
这种方法适用于许多实际应用中需要同时考虑多个变量之间关系的情况，通过建立方程组并求解未知数，可以得到准确的结果。
二元一次方程组拓展
⎧ x +1 = 2y ⎪ 【例 2】⑴ ⎨ 3 ⎪2 ( x + 1) − y = 11 ⎩
⑵⎨
⎧361x + 463 y = −102 ⎩463 x + 361 y = 102
⎧9 ( m + n ) = 18 ⎪ ⎪5 【例 3】⑴ ⎨ ⎪ 2 m + 3 ( m + n ) = 20 ⎪ 2 ⎩3
(2)
⎧ ⎪x +1− 6 y = 0 ⎨ ⎪ ⎩2 ( x + 1) − y = 11
【例 4】 ⎨
⎧x + y =7 ⎪ ⎪ ⎩ 2 x − 3 y = −1
(4)
x + y = 12 x+ y =6
【例 5】(5)
x− y = x+ y−2 x+ y = x+2
(6)
xy 1 = 3x + 2 y 8 xy 1 = 2x + 3 y 7
）.
【例 24】已知有理数 a、b、c、d、e、f 满足方程组
2a + b + c + d + e + f a + 2b + c + d + e + f a + b + 2c + d + e + f a + b + c + 2d + e + f a + b + c + d + 2e + f a+b+c+d +e+2 f
2 2 【例 12】若已知方程 a − 1 x + ( a + 1) x + ( a − 5 ) y = a + 3 ,则当 a =
(完整版)二元一次方程及方程组拓展题
二元一次方程及方程组拓展题练习1、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=+887.53.41127.43.5y x y x （2）⎩⎨⎧=--+=++-20)5(8)7.0(527)7.0(5)5(20x y y x（3）1:14:3)4(:)(:)6(=+-+-y x y x x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+==8432523z y x z y x2、（1）已知关于ｘ、ｙ的两个二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+2132by ax y x 和⎩⎨⎧-=+=-2623823by ax y x 的解相同，求ａ、ｂ的值。
（2）如果方程组⎩⎨⎧=+=-b y ax y x 72和方程组⎩⎨⎧=+=+83y x a by x 有相同的解，求a ，b 的值3、对于ｋ、ｂ的哪些取值，方程组⎩⎨⎧+-=+=4)12(x k y b kx y 至少有一组解？4、已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+-b y x y x a 5)1(当a ，b 满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无数解？5、已知关于ｘ、ｙ的二元一次方程(a －1）x ＋（a ＋2）y －２a ＋５＝0，当a 每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，求这个公共解；并证明对于任何a 值，它都能使方程成立。
6、已知方程组⎩⎨⎧=+=-bay x y x 91243有无穷多个解，试求a 、b 的值。
7、若方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧=-=1514y x ，求方程组⎩⎨⎧=+=+222111957957c y b x a c y b x a 的解。
8、如果关于ｘ、ｙ的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+213265by x ay x 的解是⎩⎨⎧-==34y x ，试解方程组⎩⎨⎧=+--=++-21)()(326)()(5y x b y x y x a y x 。
9、已知ｍ是整数，方程组⎩⎨⎧=+=-266634my x y x 有整数解，求ｍ的值。
新思维系列北师大八上数学解二元一次方程组课后拓展训练
解二元一次方程组1．已知关于 x，y的方程组2,4x y mx y m+=⎧⎨-=⎩的解为3 x＋2y=14的一个解，那么m的值为( )A．1 B．－1 C．2 D．－22．二元一次方程组231,463x yx y+=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )A．有一组解B．有两组解C．无解D．有无数组解3．已知3 x－4y＝10，若用含 x的代数式表示y，则y＝，若用含y的代数式表示 x，则 x= .4．若方程组45,321x yx y+=⎧⎨-=⎩和3,1mx nymx ny+=⎧⎨-=⎩有相同解，则m＝，n＝．5．解方程组24,1. x yx y+=⎧⎨+=⎩6|351|0,x y-+=求 x，y的值．7．如果3a7x b y＋7与－7 x2-4y b2x是同类项，求 x2＋y2的值．8．甲、乙二人同时解方程组5,213,mx yx ny+=⎧⎨-=⎩①②甲看错了m，解出的结果是7,22,xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩乙看错了n，解出的结果是3,7.xy=⎧⎨=-⎩试求原方程组的解．参考答案1．C 2．C3．14(3 x－10)13(4y＋10)4．2 15．解：241 x yx y+=⎧⎨+=⎩①，②，①一②得y＝3③，把③代入②得 x＝－2，所以原方程组的解为2,3.xy=-⎧⎨=⎩60，|3 x－5y＋1|≥0=0，且|3 x－5y＋1|＝0时，+|3 x－5y＋1|＝0成立，解方程组30,3510,x yx y++=⎧⎨-+=⎩得2,1.xy=-⎧⎨=-⎩7．解：由题意得724,72,x yy x=-⎧⎨+=⎩解得2,3.xy=-⎧⎨=-⎩当 x＝2，y＝－3时， x2＋y2＝22＋(－3)2＝13．8．解：由题意知，甲看错了m，解出的解7,22xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩满足方程②，代入②得2×72－n×(－2)＝13，解得n=3．乙看错了n，解出的解3,7xy=⎧⎨=-⎩满足方程①，代入①得3m－7＝5，解得m＝4．则原方程组为45,2313,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得2,3.xy=⎧⎨=-⎩。
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“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
1.2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
2.某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
3.小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
4.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段销售数量销售收入
A种型号B种型号第一周3台5台1800元
第二周4台10台3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
5.广安某水果点计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果点在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
6.某校九（3）班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和蓑衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．（假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等）
种植户玫瑰花种植面积（亩）蓑衣草种植面积（亩）卖花总收入（元）
甲 5 3 33500
乙 3 7 43500
（1）试求玫瑰花，蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少？
（2）甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积（两种花卉的种植面积均为整数亩），花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127500元，则他们有几种种植方案？。