2015高考数学一轮题组训练：9-7双曲线
高中数学知识点总结(第九章 平面解析几何 第七节 双曲线)
第七节 双曲线一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．当|PF 1|－|PF 2|＝2a2a ＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a 2a ＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支. 若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的 标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的 标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 范围 |x |≥a ，y ∈R|y |≥a ，x ∈R对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a ，虚轴长为2b焦距|F 1F 2|＝2c离心率e ＝c a＝ 1＋b 2a2∈(1，＋∞) e 是表示双曲线开口大小的 一个量，e 越大开口越大.渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一 双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，a b ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0， 则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝ca ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3.所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] (1)C (2)C [题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得c a ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为____________． 解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q(－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)． [答案] A[解题技法]利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2| ＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法]在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( )A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)． 2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三 双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2]D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞ [解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53， 即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中． 考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A[解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B.3 C ．2D ．23解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B.2 C ．2D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D.5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a＝9，解得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16， 所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53 B.35 C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．22解析：选D ∵e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2，∴b a＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D. 7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54， ∴a 2＝16. ∵a >0，∴a ＝4. 答案：48．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：43 9．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得b a＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－a b(x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c 4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝c a ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：211．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4， －10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1. (2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6. 12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.B 级1．已知圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1,2)C ．(3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 由题意，知圆心(1,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝|k |k 2＋1＝32，∴k ＝±3， 由题意知b a ＞3，∴1＋b 2a 2＞4，即a 2＋b 2a 2＝c 2a 2＞4，∴e ＞2. 2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x解析：选B ∵|NF 1|＝2|MF 1|，∴M 为NF 1的中点，又OM ⊥F 1N ，∴∠F 1OM ＝∠NOM ，又∠F 1OM ＝∠F 2ON ，∴∠F 2ON ＝60°，∴双曲线C 的渐近线的斜率k ＝±tan 60°＝±3，即双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .故选B.3．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD ―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，∴bx －ay ＝0.由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。
【高三复习】2015高考数学(北师大版)一轮训练：第9篇 第1讲 抽样方法
第九篇统计、统计案例、概率第1讲抽样方法基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是()．A．1 000名学生是总体B．每个学生是个体C．1 000名学生的成绩是一个个体D．样本的容量是100解析 1 000名学生的成绩是总体，其容量是1 000,100名学生的成绩组成样本，其容量是100.答案 D2．(2014·西安质检)现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是()．A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样解析对于①，个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简单随机抽样；对于②，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样；对于③，个体有明显的差异，所以选用分层抽样，故选A.答案 A3．(2014·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝()．A．54 B．90C．45 D．126解析依题意有33＋5＋7×n＝18，由此解得n＝90，即样本容量为90.答案 B4．(2013·江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为().A．08 B．07C．02 D．01解析由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.答案 D5．(2014·石家庄模拟)某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是()．A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,54解析系统抽样是等间隔抽样．答案 B二、填空题6．(2014·成都模拟)某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4,12,8.若用分层抽样抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．解析甲组中应抽取的城市数为624×4＝1.答案 17．某校高级职称教师26人，中级职称教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师________人．解析设其他教师为x人，则5626＋104＋x＝16x，解得x＝52，∴x＋26＋104＝182(人)．答案1828．(2014·九江模拟)某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．答案37三、解答题9．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？解(1)∵x2 000＝0.19.∴x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：482 000×500＝12名．10．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．解用分层抽样方法抽取．具体实施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴105＝2，705＝14，205＝4，∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为()．A．800 B．1 000C．1 200 D．1 500解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1 200双皮靴． 答案 C2．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )．A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9解析 由题意知间隔为60050＝12，故抽到的号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人． 答案 B 二、填空题3.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为______．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中抽取x 人，则40200＝x100，解得x ＝20. 答案 37 20 三、解答题4．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)40岁的观众应该抽取几名？(2)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．解(1)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5＝35×5＝3(名)．(2)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝610＝35.。
高考数学一轮复习 题组层级快练2(含解析)-人教版高三全册数学试题
题组层级快练(二)1．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题； ④“若a b是无理数，则ab 是无理数”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B2．(2015·某某质检)命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 答案 D解析 a ＝b ＝0是a ＝0，且b ＝0的意思，含有“且”“或”语句在否定时的规律是“且”变为“或”，“或”要变为“且”．3．“a >1”是“1a<1”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B4．已知p ：a ≠0，q ：ab ≠0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ab ＝0⇒/ a ＝0，但a ＝0⇒ab ＝0，因此，p 是q 的必要不充分条件，故选B. 5．(2013·某某)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分而不必要条件． 6．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1，选A.7．若x ，y ∈R ，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( ) A ．甲：xy ＝0 乙：x 2＋y 2＝0 B ．甲：xy ＝0 乙：|x |＋|y |＝|x ＋y | C ．甲：xy ＝0 乙：x ，y 至少有一个为零 D ．甲：x <y 乙：x y<1 答案 B解析 选项A ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0， 乙：x 2＋y 2＝0即x 与y 都为0.甲/⇒乙，乙⇒甲． 选项B ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |即x ，y 至少有一个为0或同号． 故甲⇒乙且乙/⇒甲．选项C ：甲⇔乙，选项D ，由甲x <y 知当y ＝0，x <0时，乙不成立，故甲/⇒乙． 8．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A ；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，由正弦定理，可得a b ＝b c ＝ca＝k .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝kb ，b ＝kc ，c ＝ka ，∴a ＝b ＝c .则q ：△ABC 是正三角形成立．反之，若a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝csin A .因此p ⇒q 且q ⇒p ，即p 是q 的充要条件．故选C.9．(2015·《高考调研》原创题)“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m >0，故选B.10．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C解析 因为a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 共线同向，即使a |a |＝b|b |成立的充分条件为C 项．11．(2014·某某理)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.选C.12．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件．(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y .(2)题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．13．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．答案 必要不充分解析 可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是〈x 〉＝〈y 〉的必要不充分条件．14．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，3x ＋y －6≤0}；命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________． 答案 2解析 设⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，3x ＋y －6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝12×4×1＝2.15．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的________条件．答案 充分不必要解析 当a ＝14时，对任意的正数x ，x ＋a x ＝x ＋14x≥2x ·14x ＝1，而对任意的正数x ，要使x ＋ax≥1，只需f (x )＝x ＋a x 的最小值大于或等于1即可，而在a 为正数的情况下，f (x )＝x ＋a x的最小值为f (a )＝2a ≥1，得a ≥14，故充分不必要．16．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围．答案 0<a ≤5－2解析 由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧－5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，②.由①得a 无解；由②解得0<a ≤5－2.17．已知f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 答案 略 解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0. (用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a . ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛看，故假设不成立． 从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0. 原命题为真，证明如下： ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．∴f (a )＋f (b )≥f (－b )＋f (－a )＝f (－a )＋f (－b )． ∴原命题为真命题． ∴其逆否命题也为真命题．18．(2015·某某兴化月考)已知命题：“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1)某某数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，某某数a 的取值X 围． 答案 (1){m |－14≤m <2}(2)(－∞，－14)∪(94，＋∞)解析 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值X 围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m |－14≤m <2}．(2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.1．0＜x ＜2是不等式|x ＋1|＜3成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x ＋1|<3，得－4<x <2.2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )，知2α＝π3＋4k π(k ∈Z )，则cos2α＝cos π3＝12成立，当cos2α＝12时，2α＝2k π±π3，即α＝k π±π6(k ∈Z )，故选A.3．(2015·某某一模)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由已知，a ＋b ＝(2,2＋m )．若m ＝－6，则a ＋b ＝(2，－4)，a ∥(a ＋b )成立；若a ∥(a ＋b )，则2－1＝m ＋22，m ＝－6，所以“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，选A. 4．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1，且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件，故选A.5．(2015·某某一模)以q 为公比的等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 在等比数列中，若a 1>0，则由a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1.由“q >1”可推得“q >1或q <－1”成立，但是反之不成立，故“a 1<a 3”是“q >1”的必要而不充分条件，故选A.6．(2015·东北三省一模)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值X 围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 B 解析 ∵q ：3x ＋1<1，∴3x ＋1－1<0，∴2－xx ＋1<0. ∴(x －2)·(x ＋1)>0，∴x <－1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，故选B.7．已知命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( ) A ．否命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题 B ．逆否命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题答案 D解析f′(x)＝e x－m≥0，∴m≤e x.又∵x>0，∴e x>1.∴m≤1，故原命题正确，因此选D.8．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题有________个．答案 2解析逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＝b且c＝d，则a＋c＝b＋d.逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b且c＝d.取a＝1，b＝2，c＝3，d＝2，则有a≠b或c≠d为真，但a＋c＝b＋d，知原命题为假；逆命题的真假不易判断，但否命题显然为真命题．根据原命题与逆否命题、逆命题与否命题都是互为逆否关系，真假性相同，可知4个命题中的真命题有2个．9．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．答案－1解析由x2>1，得x<－1或x>1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.。
2015高考数学(理)一轮题组训练：15-4参数方程
第4讲 参数方程1．(2012·南通调研)P 为曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一点，求它到直线C 2：⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2(t 为参数)距离的最小值．解 将曲线C 1化成普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，圆心是(1,0)， 直线C 2化成普通方程是y －2＝0，则圆心到直线的距离为2. 所以曲线C 1上点到直线的最小距离为1.2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值．解 ∵椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，∴当φ＝π6时，S 取得最大值2.3．(2014·南通市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线D 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－4t ，y ＝3t －2(t 为参数)．若曲线C 、D 有公共点，求实数m 的取值范围． 解 曲线C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 曲线D 的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0.因为曲线C 、D 有公共点，所以|3m ＋2|5≤2，|3m ＋2|≤10. 解得－4≤m ≤83，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，83. 4．(2012·镇江市期末考试)已知极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于点A ，B ，求P A ·PB 的值．解 由题意，直线经过点P (1,0)， 其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)， ①又椭圆方程为x 24＋y 2＝1，②将①代入②，整理，得5t 2－22t －6＝0； 所以P A ·PB ＝|t 1t 2|＝65.5．(2014·南京、盐城调研一，21)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，求直线l 被⊙C 截得的弦AB 的长度．解 ⊙C 的方程可化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，两边同乘ρ，则ρ2＝4ρcos θ＋ 4ρsin θ.由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0. 圆心C 的坐标为(2,2)，圆的半径r ＝2 2. 又由题设知直线l 的普通方程为x －y －2＝0， 故圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2|2＝ 2.∴弦AB 长度等于2(22)2－(2)2＝2 6.6．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线C 1的方程为ρ2＝8ρsin θ－15，曲线C 2的方程为⎩⎨⎧x ＝22cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)将C 1的方程化为直角坐标方程；(2)若C 2上的点Q 对应的参数为α＝3π4，P 为C 1上的动点，求PQ 的最小值．解 (1)x 2＋y 2－8y ＋15＝0.(2)当α＝3π4时，得Q (－2,1)，点Q 到C 1的圆心(0,4)的距离为13，所以PQ 的最小值为13－1.7．(2012·泰州调研一)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1(t 为参数)，求直线l 被曲线C 截得的线段长度．解 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆，直线方程l 的普通方程为y ＝ 3x ＋1，圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.8．(2012·南京调研二)在平面直角坐标系xOy 中，判断曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)与直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)是否有公共点，并证明你的结论．解 直线l 与曲线C 没有公共点．证明如下： 直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0，把曲线C 的参数方程代入l 的方程x ＋2y －3＝0，得 2cos θ＋2sin θ－3＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝32.∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，而32∉[－2，2]，∴方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝32无解，即曲线C 与直线l 没有公共点．9．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点， 故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45，所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2 105.10．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹通过坐标原点．12．已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解 (1)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝－3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°， 所以直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 30°，y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)直线AF2的斜率k＝－3，倾斜角是120°，设P(ρ，θ)是直线AF2上任一点，则ρsin 60°＝1sin(120°－θ)，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。
2015高考数学(理)一轮题组训练：15-6不等式的证明
第6讲 不等式的证明1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 法一 构造两组数：a ，b ，c ；1a ，1b ，1c . 因此根据柯西不等式有[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ×1a ＋b ×1b ＋c ×1c 2. 即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32＝9. (当且仅当a 1a ＝b 1b ＝c 1c，即a ＝b ＝c 时取等号)．又a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c≥9. 法二 ∵a ，b ，c 均为正数，∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc .又1a ＋1b ＋1c ≥331abc ＝33abc， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ·1≥313abc·33abc ＝9. 即1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．解 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－2 3.3．(2014·常州一中期中)设正实数a 、b 满足a 2＋ab －1＋b －2＝3，求证：a ＋b －1≤2. 证明 由a 2＋ab －1＋b －2＝3，得ab －1＝(a ＋b －1)2－3，又正实数a 、b 满足a ＋b －1≥2ab －1，即ab －1≤(a ＋b －1)24，当且仅当a ＝b 时取“＝”． ∴(a ＋b －1)2－3≤(a ＋b －1)24，∴a ＋b －1≤2. 4．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)，求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.证明 ∵n (n ＋1)＝n 2＋n ，∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2， ∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n (n ＋2)2.综上得：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.5．(2012·宁波模拟)已知x ，y ，z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .证明 因为x 、y 、z 均为正数．所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z ，同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .6．(2014·徐州二模)已知a 、b 都是正实数，且ab ＝2.求证：(1＋2a )(1＋b )≥9. 证明 法一 因为a 、b 都是正实数，且ab ＝2，所以2a ＋b ≥22ab ＝4.所以(1＋2a )(1＋b )＝1＋2a ＋b ＋2ab ≥9.法二 因为a 、b 都是正实数，所以由柯西不等式可知(1＋2a )(1＋b )＝[12＋(2a )2][12＋(b )2]≥(1＋2ab )2.又ab ＝2，所以(1＋2ab )2＝9.所以(1＋2a )(1＋b )≥9.法三 因为ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋2a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a . 因为a 为正实数，所以a ＋1a ≥2 a ·1a ＝2.所以(1＋2a )(1＋b )≥9.法四 因为a 、b 都是正实数，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋a ＋a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＋b 2≥3·3a 2·3·3b 24＝9·3a 2b 24.又ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )≥9.7．(2012·苏锡常镇调研)设实数x 、y 、z 满足x ＋2y －3z ＝7，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．证明 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)·[12＋22＋(－3)2]≥(x ＋2y －3z )2.∵x ＋2y －3z ＝7，∴x 2＋y 2＋z 2≥72.当且仅当x ＝y 2＝z －3时取等号，即x ＝12，y ＝1，z ＝－32时取等号．∴x 2＋y 2＋z 2的最小值为72.8．(2014·苏锡常镇调研)已知m 、n 是正数，证明：m 3n ＋n 3m ≥m 2＋n 2.证明 ∵m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n ＋n 3－m 3m＝(m 3－n 3)(m －n )mn ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn， ∵m 、n 均为正实数，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn ≥0，∴m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2. 当且仅当m ＝n 时，等号成立．9．(2012·苏中三市调研，21)已知a 、b 、c 满足abc ＝1，求证：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)≥27.证明 (a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c＝27·3abc ＝27.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．10．(2012·南京、盐城调研一，21)已知x 、y 、z 均为正数，求证： 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≤ 1x 2＋1y 2＋1z 2.证明 由柯西不等式，得(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋1z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z 2. 即3× 1x 2＋1y 2＋1z 2≥1x ＋1y ＋1z . ∴33⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≤ 1x 2＋1y 2＋1z 2. 当且仅当1x ＝1y ＝1z 时等号成立．11．已知a ，b 为实数，且a >0，b >0.(1)求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9；(2)求(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2的最小值．(1)证明 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a ＝33b >0，①同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b >0.② 由①②及不等式的性质得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2＝33b ×331b ＝9. (2)解 [(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2][12＋12＋22] ≥[(5－2a )×1＋2b ×1＋(a －b )×2]2.所以(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2≥256.当且仅当5－2a 1＝2b 1＝a －b 2时取等号，即a ＝2512，b ＝512.所以当a ＝2512，b ＝512时，(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2取最小值256.12．(2013·福建毕业班质检)已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x(0<x <1)的最小值． (1)证明 法一 ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．法二 ∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.又∵a>0，b>0，∴(a－b)2(a＋b)ab≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴a2b＋b2a≥a＋b.(2)解∵0<x<1，∴1－x>0，由(1)的结论，函数y＝(1－x)2x＋x21－x≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x，即x＝12时等号成立．∴函数y＝(1－x)2x＋x21－x(0<x<1)的最小值为1.。
2015高考数学(理)一轮题组训练：8-1空间几何体及其表面积与体积
第八篇立体几何第1讲空间几何体及其表面积与体积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案 ①③④⑤3．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________． 解析 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×12×a 2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3. 答案 3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． 解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎨⎧πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3. ∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________．解析 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32. 由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.答案 23 二、解答题9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ，因为AC＝BC，所以CD⊥AB.因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB.(2)解设C到平面APB的距离为h，则由题意，得AP＝PB＝AB＝AC2＋BC2＝22，所以PC＝AP2－AC2＝2.因为CD＝12AB＝2，PD＝32PB＝6，所以PC2＋CD2＝PD2，所以PC⊥CD.由(1)得AB⊥平面PCD，于是由V C－APB ＝V A－PDC＋V B－PDC，得13·h·S△APB＝13AB·S△PDC，所以h＝AB·S△PDCS△APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C到平面APB的距离为23 3.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π(3r)2·3r－43πr3＝53πr3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积为V′＝13π⎝⎛⎭⎪⎫33h2h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC ＝30°，则棱锥S－ABC的体积为________．解析由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝3，SC＝4，所以SA＝SB＝23，AC ＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V S－ABC＝13×34×(3)2×4＝ 3.答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．解析如图，当AM＋MC1最小时，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，AC21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，＝12×2×22×32＝ 3.答案33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝ 13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2， ∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
2015高考数学一轮题组训练：9-5与圆有关的综合问题
第5讲 与圆有关的综合问题基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________． 答案 42－12．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.法二 设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF→的最小值是________． 解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎨⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6. 答案 64．(2013·南京29中模拟)过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AB 的最小值为________．解析 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1，分别令x ＝0，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝1x 20＋1y 20＝(x 20＋y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 25．(2014·南通模拟)若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．解析由题意，得⎩⎨⎧d ＝|a ＋2|2≥1，a ＋1＋1≥0，解得a ≥2－2. 答案2－26．(2014·南京一中月考)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________． 解析 设O 到l 的距离为d 则|AB |＝1－d 2 直线l ：y ＝k (x －2)， S △AOB ＝12×d ×21－d 2 ＝d 1－d 2≤d 2＋1－d 22＝12，当且仅当d 2＝1－d 2即d 2＝12时取到最大值12， ∵d ＝|2k ||1＋k 2|∴12＝2k 21＋k 2∴k 2＝13又A 、B 两点在一、二象限，∴k ＜0，∴k ＝－33.答案 －337．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 △AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax ＋by ＝1的距离等于22，由点到直线的距离公式，得12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝1－b 22且b ∈[－2，2]．点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离为d ＝a 2＋(b －1)2＝ 12b 2－2b ＋2，因此当b ＝－2时，d 取最大值，此时d max ＝3＋22＝2＋1. 答案2＋18．(2012·北京师大附中检测)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是________．解析 如图所示，由题意，圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心是C (1,1)，半径为1，由P A ＝PB 易知四边形P ACB 的面积＝12(P A ＋PB )＝P A ，故P A 最小时，四边形P ACB 的面积最小．由于P A ＝PC 2－1，故PC 最小时P A 最小，此时CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0，P 为垂足， PC ＝|3＋4＋8|5＝3，P A ＝PC 2－1＝22，所以四边形P ACB 面积的最小值是2 2. 答案 2 2 二、解答题9．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x2.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．(2014·宿迁联考)已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值； (3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析 因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案 (2，2)2．(2014·南师附中月考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 53．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1，解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 [－2－5，－2＋5] 二、解答题4．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点． (1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠P AQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围． 解 (1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1. ∴直线AM 的方程为y ＝x . 由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3， 即A (3,3)． 如图，连结MP . ∵∠P AM ＝12∠P AQ ，sin ∠P AM ＝PMAM ＝2(3－1)2＋(3－1)2＝22， ∴∠P AM ＝45 °，∴∠P AQ ＝90 °.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60 °， 只要使∠DAE ≥60 °.∵AM 平分∠DAE ， ∴只要30 °≤DAM ＜90 °.类似于第(1)题，只要12≤sin ∠DAM ＜1， 即2(a －1)2＋(b －1)2≥12且2(a －1)2＋(b －1)2＜1.又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即a 的取值范围是[1,5].。
高考数学一轮复习第8章解析几何第6讲双曲线
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1平面内到点F1(0,4,F2(0,－4距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2方程 － ＝1(mn＞0表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3双曲线方程 － ＝λ(m＞0,n＞0,λ≠0的渐近线方程是 － ＝0,即 ± ＝0．( √ )
(4等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 ．( √ )
(5若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0的离心率分别是e1,e2,则 ＋ ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P61T1若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( A )
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|,
∴由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线．
(2设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,可知|PF|＝4＋|PF1|,所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知,当点A,P,F1共线时,满足|PF1|＋|PA|最小,|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5,故所求的最小值为9．
(4过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(5双曲线的离心率公式可表示为e＝ ．
(6双曲线的形状与e的关系：|k|＝ ＝ ＝ ,e越大,即渐近线斜率的绝对值就越大,双曲线开口就越开阔．
(7 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0互为共轭双曲线,其离心率倒数的平方和为1．
【高三复习】2015高考数学(北师大版)一轮训练：第2篇 第11讲 导数在研究函数中的应用
第11讲导数在研究函数中的应用.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()．A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析f′(x)＝e x(x－2)，令f′(x)＞0得x＞2.∴f(x)的单调增区间是(2，＋∞)．答案 D2．(2013·浙江卷)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是()．解析由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)的图像为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．答案 B3．(2014·宝鸡模拟)函数y＝x e x的最小值是()．A．－1B．－eC ．－1eD ．不存在解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 C4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )． A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 A5．(2013·福建卷)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )．A ．任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析 A 错，因为极大值未必是最大值；B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点；C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图像关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点；D 正确，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点．答案 D 二、填空题6．(2013·威海期末考试)函数y ＝ln x －x 2的极值点为________．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝1x －2x ＝1－2x 2x ，令y ′＝1－2x 2x ＝0，解得x ＝22，当x ＞22时，y ′＜0，当0＜x ＜22时，y ′＞0，所以当x ＝22时，函数取得极大值，故函数的极值点为22.答案 227．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.答案 (0,1)∪(2,3)8．(2014·南昌模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎨⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案 －7 三、解答题9．(2014·绍兴模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5. (2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， 所以f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.10．(2013·宜川模拟)已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＜0，求f (x )的单调区间． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x ，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e ，又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x －1)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ，①若－12＜a ＜0，当x ＜0或x ＞－2a ＋1a 时，f ′(x )＜0； 当0＜x ＜－2a ＋1a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2a ＋1a ，＋∞；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2a ＋1a .②若a ＝－12，f ′(x )＝－12x 2e x≤0，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)． ③若a ＜－12，当x ＜－2a ＋1a 或x ＞0时，f ′(x )＜0； 当－2a ＋1a ＜x ＜0时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2a ＋1a ，[0，＋∞)； 单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a ＋1a ，0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a <1，又g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－ax 2，易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上为增函数．答案 D2．(2013·临沂模拟)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， Δ＝4a 2＋96b ＞0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9.答案 D 二、填空题3．(2014·宁波调研)设函数f(x)＝ln x－12ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－(ax＋1)(x－1)x.①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－1 a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1. 答案(－1，＋∞)三、解答题4．(2014·黄冈模拟)已知函数f(x)＝13x3－ax＋1.(1)当x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值．解因为f′(x)＝x2－a，(1)当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1，又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意．(2)①当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.②当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，解得x＝－a或a.ⅰ.当0＜a＜1时，a＜1，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.ⅱ.当a≥1时，a≥1.x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1，当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a3，当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.。
2015年高考数学(四川版)分项汇编专题9圆锥曲线(含解析)文
第九章 圆锥曲线一．基础题组1.【2007四川，文5】如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y 轴的距离是( ) (A)364 (B)362 (C)62 (D)32【答案】()A2.【2009四川，文13】抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 . 【答案】23.【2010四川，文3】抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ） (A )1 (B )2 (C )4 (D )8【命题意图】本题主要考查抛物线的方程及性质.4.【2012四川，文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、B 、C 、4D 、5.【2013四川，文5】抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ）（A ） （B ）2（C （D ）16.【2014四川，文11】双曲线2214x y -=的离心率等于____________..【考点定位】双曲线及其离心率.7. 【2015高考四川，文7】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A (B (C )6 (D【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力. 二．能力题组1.【2007四川，文10】已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于( )A.3B.4C.【答案】()C2.【2008四川，文11】已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96 【答案】：C【考点】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题； 【突破】：由题意准确画出图象，解法1利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法2利用待定系数法求P 点坐标，有较大的运算量；3.【2009四川，文8】已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( ) A . －12 B . －2 C . 0 D . 4 【答案】C4.【2010四川，文10】椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A ）（0] （B ）（0，12] （C ）1-，1） （D ）[12，1） 【答案】D【命题意图】本题主要考查椭圆的性质，焦半径问题.5.【2011四川，文11】在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（ ） （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)-（C ）(2,9)-（D ）(1,6)-【答案】A6.【2011四川，文14】双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是____． 【答案】167.【2012四川，文15】椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______.8.【2013四川，文9】从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）（A （B ）12（C （D9.【2014四川，文10】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3CD 【答案】B【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式. 三．拔高题组1.【2007四川，文21】(本小题满分12分)求F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF +=-，求点P 的坐标. （Ⅱ）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）⎛⎝；（2）2k -<<2k <<.【考点】本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力.2.【2008四川，文22】（本小题满分14分）设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率e =，点2F 到右准线为l （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）设,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ⋅=，证明：当MN 取最小值时，12220F F F M F N ++=【答案】：（Ⅰ）2a =，b =；（Ⅱ）证明略.【考点】：此题重点考察椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量与椭圆的综合应用；【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中应灵活应用。
2015高考数学一轮题组训练：9-1直线的方程
第九篇 解析几何第1讲 直线的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为________．解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝π3. 答案 π32．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为________． 解析 由点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)， 即3x ＋4y －14＝0. 答案 3x ＋4y －14＝03．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 44．(2014·泰州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3. 则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24. 答案 －245．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m ＝________.解析 由题意可知2m 2＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－32，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或－12. 答案 2或－126．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足________．①ab >0，bc <0；②ab >0，bc >0；③ab <0，bc >0；④ab <0，bc <0.解析 由题意，令x ＝0，y ＝－c b >0；令y ＝0，x ＝－ca >0.即bc <0，ac <0，从而ab ＞0. 答案 ①7．(2014·淮阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 二、解答题9．(2014·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为________．解析 |AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 答案 y ＝33x ＋33或y ＝－33x －332．若直线l ：y ＝k x －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．解析 如图，直线l ：y ＝k x －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π23．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1， 故当b ＝12时，ab 取得最大值12. 答案 12 二、解答题4．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ， 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。
2015高考数学(理)一轮题组训练：4-5两角和与差的正弦、余弦和正切
第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·郑州模拟)计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于________． 解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° ＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝12. 答案 122．(2013·湖南师大附中模拟)计算：tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.解析 原式＝sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.答案 －43．(2013·湖州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为________．解析 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝13. 所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cos 2α－1)＝1－2cos 2α＝79. 答案 794．(2013·山东省实验中学诊断)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝________.解析 因为sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，所以sin 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝1825－1＝－725. 答案 －7255．(2013·成都模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于________．解析 因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，所以sin α＜0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.答案 176．(2013·金华十校模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于________．解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α，由tan⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3，因为π2＜α＜π，所以解得cos α＝ －1tan 2α＋1＝－1010，所以原式＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255. 答案 －2557．(2013·南京模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3. 答案 ±38．(2014·广州模拟)已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______. 解析 ∵cos 4 α－sin 4 α＝(sin 2 α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2 α)＝23，∴cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案2－156二、解答题9．(2014·浙江大学附属中学一模)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，求f (2α)的值．解 (1)f (x )＝12cos x ＋32sin x －cos x ＝32sin x －12cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∴f (x )的最小正周期为2π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin α＝35，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2 α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，∴f (2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝32sin 2α－12cos 2α＝32×2425－12×725＝243－750.10．(2013·苏北三市模拟)已知函数f (x )＝－3sin 2 x ＋sin x cos x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π6的值．(2)设α∈(0，π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝14－32，求sin α的值． 解 f (x )＝－3sin 2 x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π6＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π3＋π3＝0. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14－32， ∴0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14＜12，又∵α∈()0，π，∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－154，∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝14×12＋154×32＝1＋358.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 答案 3222．(2013·潍坊模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是________．解析 由tan(α＋β)＝4tan β，得tan α＋tan β1－tan αtan β＝4tan β，解得tan α＝3tan β1＋4tan 2β，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan β＞0.所以tan α＝31tan β＋4tan β≤321tan β·4tan β＝34，当且仅当1tan β＝4tan β，即tan 2 β＝14，tan β＝12时取等号， 所以tan α的最大值是34. 答案 343．(2014·永康模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，则tan 2α＝________.解析 由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32sin α＋12cos α＝3cos α，即32sin α＝52cos α，所以tan α＝533，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×5331－⎝⎛⎭⎪⎫5332＝－5311.答案 －5311 二、解答题4．(2012·广东卷)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解 (1)由题意知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期T ＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，∴sin α＝35，cos α＝1－sin 2α＝45， sin β＝1－cos 2β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.。
2015高考数学(理)一轮题组训练：8-7立体几何中的向量方法(二)
第7讲立体几何中的向量方法(二) ——求空间角基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．平面α的一个法向量为n ＝(1，－3，0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为________．解析 y 轴的方向向量为m ＝(0,1,0)，设y 轴与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|，∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－32×1＝－32，∴sin θ＝32，∴θ＝π3. 答案π32. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．解析 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则D (0,0,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1,0,1)，∴DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，MA →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，1，∴DN →·MA 1→＝1×0＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1＝0，∴DN →⊥MA 1→，∴A 1M 与DN 所成的角的大小是90°. 答案 90°3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．解析 以A 为原点建系，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)， A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－12.设平面A 1ED 的法向量为n 1＝(1，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)， ∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，故锐二面角的余弦值为23.答案 234．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为________． 解析以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案216a5．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________．解析 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23.答案 236. 过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是________．解析 法一 建立如图1所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量分别为n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求的二面角的大小是45°.法二 将其补成正方体．如图2，不难发现平面ABP 和平面CDP 所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ 所成的二面角，其大小为45°. 答案 45°7．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________． 解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则C 1(3，1,0)，A (0,0，2)，AC 1→＝(3，1，－2)，平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(1,0,0)．所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝38＝64.答案 648．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时， OQ →的坐标是________．解析 ∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23. 当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23. 此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83二、解答题9．(2013·江苏卷)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0.取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量． 取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.10. (2014·广州质检)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝1，AD ＝2，求二面角B －PC －A 的正切值． (1)证明 ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD .同理由PC ⊥平面BDE ，可证得PC ⊥BD . 又P A ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面P AC .(2)解 如图，分别以射线AB ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由(1)知BD ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BD ⊥AC . 故矩形ABCD 为正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2.∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． ∴PB →＝(2,0，－1)，BC →＝(0,2,0)，BD →＝(－2,2,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧2·x ＋0·y －z ＝0，0·x ＋2·y ＋0·z ＝0， ∴⎩⎨⎧z ＝2x ，y ＝0，取x ＝1得n ＝(1,0,2)．∵BD ⊥平面P AC ，∴BD →＝(－2,2,0)为平面P AC 的一个法向量． cos 〈n ，BD →〉＝n ·BD →|n |·|BD →|＝－1010.设二面角B －PC －A 的平面角为α，由图知0<α<π2， ∴cos α＝1010，sin α＝1－cos 2α＝31010.∴tan α＝sin αcos α＝3，即二面角B －PC －A 的正切值为3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1. 如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点．则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．解析 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，A (0,2,0)，B (2,0,0)，D (0,0,2)，G (1,0,0)，F (0,2,1)，AD →＝(0，－2,2)，GF →＝(－1,2，1)，∴|AD →|＝22，|GF →|＝6，AD →·GF →＝－2， ∴cos 〈AD →，GF →〉＝AD →·GF →|AD →||GF →|＝－36.∴直线AD 与GF 所成角的余弦值为36. 答案 362．在四面体P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________．解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则P (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离． ∵P A ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a 3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＝33a .答案 33a3．在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是________．解析 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz.设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a .则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2. 则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)，设平面P AC 的一个法向量为n ， 设n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·AP →＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝z ，可取n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →|·|n |＝a 2a 2·2＝12，∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案 30° 二、解答题4．(2013·北京卷改编)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值； (3)在线段BC 1上是否存在点D ，使得AD ⊥A 1B ？若存在，试求出BD BC 1的值． (1)证明 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC .(2)解 由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ，由题意知，在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5，∴BC 2＝AC 2＋AB 2，∴AB ⊥AC .∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A －xyz .A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，于是A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧A 1C 1→·n 1＝0，A 1B →·n 1＝0⇒⎩⎨⎧4x 1＝0，3y 1－4z 1＝0， ∴取向量n 1＝(0,4,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ B 1C 1→·n 2＝0，BB 1→·n 2＝0⇒⎩⎨⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0. 取向量n 2＝(3,4,0)，∴cos θ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝165×5＝1625. 由题图可判断二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，故二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.(3)解 假设存在点D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，使AD ⊥A 1B ，且BD →＝λBC 1→. ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)，解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，∴AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)，又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0，解得λ＝925，因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时BD BC 1＝925.。
高三第一轮复习双曲线的定义、方程及几何性质
双曲线的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0. (1) 当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2) 当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3) 当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为2222-b y a x ＝1(a >0，b >0)； (2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为2222-bx ay ＝1(a >0，b >0)． 3（1）若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. （2）若000(,)P x y 在双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.（3）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.（4）A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点，M ),(00y x 为双曲线上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=.方法规律总结1．双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便；(2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．3．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a. 5．过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.【指点迷津】【类型一】双曲线的定义及应用【例1】已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________．【解析】:设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，∴|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <－1)．答案：x 2－y 28＝1(x <－1)．【例2】已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.【解析】:∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝22＋22－422×42×22＝34. 答案：34.【例3】已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】:由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案：(1)x 2－y 28＝1(x <－1); (2) 34; (3)12 6.【类型二】双曲线的标准方程【例1】 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 【解析】:∵e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.答案C.答案：C.【例2】已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．【解析】:法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【例3】设F 1,F 2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF 2|=|F 1F 2|,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 ( ) A.B.C.D.【解析】:易知|PF 2|=|F 1F 2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF 1|=2a+2c, 因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2, 即3c 2-2ac-5a 2=0,两边同除以a 2,得3e 2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍去). 选B. 答案：B.类型三：双曲线的几何性质【例1】过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．【解析】:如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝ca＝2＋ 3.答案：2＋ 3.【例2】 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2【解析】:由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ， C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b .∵渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.答案：C.【例3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【解析】:由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 答案：A.【同步训练】【一级目标】 基础巩固组一、选择题1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【解析】:由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等． 答案：D.2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( )A.x 23－y 212＝1B.x 212－y 23＝1C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 【解析】:由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. 选A. 答案：A.3．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2 D ．5【解析】: 不妨设点P 位于第一象限，F 1为左焦点，|PF 2|＝m －d ，|PF 1|＝m ，|F 1F 2|＝m ＋d ，其中m ＞d ＞0，则有(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ，故双曲线的离心率 e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝5. 选D.答案:D.4．若双曲线x 2＋y 2m ＝1的一条渐近线的倾斜角α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，则m 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．(－3，0)C ．(0,3) D.⎝⎛⎭⎫－33，0【解析】:由题意可知m <0，双曲线的标准方程为x 2－y2－m＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y ＝－mx ，因为其倾斜角α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以－m ＝tan α∈(0，3)，故m ∈(－3,0)．选A.答案: A.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( )A.53 B.73 C.103 D.153【解析】:如图所示，由 k PF ＝－1得∠PFO ＝π4，由 k OP ＝tan ∠POF ＝b a 得sin ∠POF ＝b a 2＋b 2＝bc ，cos ∠POF＝aa 2＋b 2＝ac ，所以sin ∠OPF ＝sin ⎝⎛⎭⎫∠POF ＋π4＝b c ×22＋a c ×22＝a ＋b 2c .又因为S △OPF ＝12c ·|PF |·22＝a 2＋b 28＝c 28，得|PF |＝c 22，由正弦定理得a ＋b 2c c ＝bc c 22，整理得a ＝3b ，又a 2＋b 2＝c 2，故e ＝103. 答案:选C. 二、填空题6．若双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为174，则m ＝________.【解析】:由a 2＝16，b 2＝m ，得c 2＝16＋m ，所以e ＝16＋m 4＝174，即m ＝1. 答案：1.7．(2016·商丘模拟)双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．【解析】:由题意知渐近线的斜率为12，∴e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋14＝52. 答案：52. 8．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)．则此双曲线的方程为________．【解析】:由题意，c ＝42＋32＝5，∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①又双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴a b ＝34.②则由①②解得a ＝3，b ＝4，∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.答案：y 29－x 216＝1三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积． 【解析】: (1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，(3)S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.答案：(1) 双曲线方程为x 2－y 2＝6; (2)证明：略; (3) 6.10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使求t 的值及点D 的坐标．【解析】: (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.由得(163，12)＝(43t,3t )，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)． 答案：(1) 双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2) t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．【二级目标】能力提升组1．已知点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C ．2 D. 5 【解析】:过焦点F 2且垂直于渐近线的直线方程为：y －0＝－a b(x －c )，联立⎪⎩⎪⎨⎧--=-=cx b ay x a b y 0解得x ＝a 2c ，y ＝ab c ，故对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，由中点坐标公式可得对称点的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c －c ，2abc ，将其代入双曲线的方程可得14)2(222222222=--cb b a ca c a ，结合a 2＋b 2＝c 2，化简可得c 2＝5a 2，故可得e ＝c a＝ 5.选D. 答案：D.2．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．【解析】:依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10. 答案：10.3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 【解析】: (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎨⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎫－2k 1－k 22＋81－k2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2. 答案：(1) k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2) 当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.【高考连接】1. 【2012全国，理8】已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( ) A ．14 B ．35 C ．34 D ．45答案:C.2. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．2 C【解析】:设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM=，0120ABM∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =D ．答案:D.。
2015高考数学(浙江版)分项汇编专题9圆锥曲线(含解析)文
第九章 圆锥曲线一．基础题组1. 【2013年.浙江卷.文9】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A B ．32D 【答案】：D2. 【2012年.浙江卷.文8】如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2CD 【答案】B3. 【2011年.浙江卷.文9】已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 2C 的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = (D) 22b =【答案】C4. 【2009年.浙江卷.文6】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A C ．13 D ．12【答案】D 【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，则12,2,2OA OF a c e =∴=∴=5. 【2009年.浙江卷.文6】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A C ．13 D ．12【答案】D 【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，则12,2,2OA OF a c e =∴=∴=6. 【2008年.浙江卷.文13】已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB 【答案】8【解析】：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用.依题直线AB 过椭圆的 左焦点1F ,在2F AB 中，22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =7. 【2006年.浙江卷.文3】抛物线28y x =的准线方程是(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- 【答案】A【解析】由抛物线的标准方程28y x =知4p = ,所以22p= ，所以抛物线的准线方程是2x =- ，故选A.8. 【2005年.浙江卷.文13】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．【答案】2【解析】：由题意可得2b ac a =+,即c 2-a 2=a 2+ac,化成关于e 的方程e 2-e-2=0,解得e=29. 【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by xc=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．二．能力题组1. 【2014年.浙江卷.文17】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 . 【答案】252. 【2011年.浙江卷.文9】已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 2C 的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b = (D) 22b = 【答案】C3. 【2010年.浙江卷.文10】设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为（A ）0x ±= （B y ±=0 （C ）0x ±= （D y ±=0 【答案】D4. 【2009年.浙江卷.文22】（本题满分15分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为174．（I ）求p 与m 的值；（II ）设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．【答案】（I ）21=p ,2±=m （II ）235. 【2008年.浙江卷.文22】（本题15分）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹.l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,MA l MB x ⊥⊥轴（如图）.（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得QAQB2为常数.【答案】（Ⅰ）曲线C 的方程为21()2y x x =+． （Ⅱ）直线l 方程为220x y -+=．【解析】：（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则||NP =N 到直线58y =-的距离为58y +．58y =+．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+． （Ⅱ）解法一：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而|||1|QB x =+．在Rt QMA △中，因为222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，6. 【2007年.浙江卷.文21】（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214x b +=，解得12x =±， 所以1212S b x x =-221b b =-2211b b +-=≤．当且仅当b =S 取到最大值1．7. 【2006年.浙江卷.文19】如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=23. (Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2AT AF AF ＝ 。
2015高考数学(理)一轮题组训练：4-6正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·盐城模拟)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝3ab，则C＝________.解析由a2－c2＋b2＝3ab，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝3ab2ab＝32，所以C＝30°.答案30°2．(2014·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为________．解析S＝12×AB·AC sin 60°＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝ 3.答案 33．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为________．解析由正弦定理bsin B＝csin C及已知条件得c＝22，又sin A＝sin(B＋C)＝12×22＋32×22＝2＋64.从而S△ABC ＝12bc sin A＝12×2×22×2＋64＝3＋1.答案3＋14．(2013·山东卷改编)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝________.解析 由a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝b sin 2A ，所以1sin A ＝32sin A cos A ，故cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，c ＝a 2＋b 2＝12＋(3)2＝2. 答案 25．(2013·陕西卷改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形(填“直角”、“锐角”或“钝角”)．解析 由正弦定理及已知条件可知sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin 2 A ＝sin A ，又0＜A ＜π，sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 直角6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A＝π6. 答案 π67．(2014·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π38．(2013·烟台一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B 等于________．解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B ＝sin C ＝154)． 答案154二、解答题9．(2014·扬州质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且 a ＝12c ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值． 解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ， 又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ， 即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4， 由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.10．(2013·深圳二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7. (1)求角C 的大小； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3的值．解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12.∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3.(2)由正弦定理b sin B ＝csin C ，得 sin B ＝b sin C c ＝5sin 2π37＝5314， ∵C ＝2π3，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin 2 B ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝1114. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝5314×12＋1114×32＝437.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·温岭中学模拟)在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则AB →·AC →的最大值为________．解析 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×13＝4，由基本不等式可得4≥43bc ，即bc ≤3，又∵sin A ＝223，∴cos A ＝13，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝13bc ≤1. 答案 12．(2013·青岛一中调研)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么 △ABC 的形状为________三角形．(填“锐角”、“钝角”或“直角”)． 解析 由题意可知c ＞a ，c ＞b ，即角C 最大， 所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2＜ca 2＋cb 2，即c 3＜ca 2＋cb 2，所以c 2＜a 2＋b 2.根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＞0，所以0＜C ＜π2，即三角形为锐角三角形． 答案 锐角3．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________ . 解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A ， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27. 答案 27 二、解答题4．(2013·长沙模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B . (1)求cos B ；(2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值． 解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ， 得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13. (2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|· cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.① 又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②⎧a2＋c2＝40，ac＝12，解得⎩⎨⎧a＝2，c＝6或⎩⎨⎧a＝6，c＝2.联立①②⎩⎨。
2015高考数学(理)一轮题组训练：6-2等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·肇庆二模)在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________. 解析 a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 992．(2014·成都模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则{a n }的通项a n ＝________.解析 由a 1＝1，S 3＝9，得a 1＋a 2＋a 3＝9，即3a 1＋3d ＝9，解得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.答案 2n －13．(2013·温州二模)记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝________.解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1， 即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2. 答案 24．(2014·潍坊期末考试)在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于________．解析 由题意得3a 6＝15，a 6＝5.所以a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 6＝7×5＝35. 答案 355．(2013·揭阳二模)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．解析 由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37.答案 376．(2014·无锡模拟){a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝________.解析 设公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2，解得a 1＝1，所以a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.答案 407．(2013·淄博二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1＝________.解析 在等差数列中，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13，所以a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11.答案 －118．(2013·浙江五校联考)若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________.解析 S 3S 5＝3(a 1＋a 3)5(a 1＋a 5)＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案 3∶2二、解答题9．(2013·福建卷)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1；(2)若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．解 (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或2.(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5＞a 1a 9，所以5a 1＋10＞a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10＜0，解得－5＜a 1＜2.故a 1的取值范围是(－5,2)．10．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n (1＋4n －3)2＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 法一 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二 由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c， ∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·咸阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝________.解析 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 答案 142．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是________．解析 法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．法三 根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．答案 73．(2014·九江一模)正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析 因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以d ＝a 22－a 21＝4－1＝3为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，n ≥1.所以a 7＝3×7－2＝19.答案 19二、解答题4．(1)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，求a 的值；(2)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ，b 2＝2＋aq ，b 3＝3＋aq 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，即aq 2－4aq ＋3a －1＝0.*由a ＞0得，Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程*有两个不同的实根．再由{a n }唯一，知方程*必有一根为0，将q ＝0代入方程*得a ＝13.(2)假设存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．设{a n }的公比为q 1，{b n }的公比为q 2，则b 2－a 2＝b 1q 2－a 1q 1，b 3－a 3＝b 1q 22－a 1q 21，b 4－a 4＝b 1q 32－a 1q 31.由b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成等差数列，得⎩⎨⎧ 2(b 1q 2－a 1q 1)＝b 1－a 1＋(b 1q 22－a 1q 21)，2(b 1q 22－a 1q 21)＝b 1q 2－a 1q 1＋(b 1q 32－a 1q 31)， 即⎩⎨⎧b 1(q 2－1)2－a 1(q 1－1)2＝0， ①b 1q 2(q 2－1)2－a 1q 1(q 1－1)2＝0. ② ①×q 2－②得a 1(q 1－q 2)(q 1－1)2＝0，由a 1≠0得q 1＝q 2或q 1＝1.(ⅰ)当q 1＝q 2时，由①②得b 1＝a 1或q 1＝q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．(ⅱ)当q 1＝1时，由①②得b 1＝0或q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．综上所述，不存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．。
2015高考数学(理)一轮题组训练：11-3二项式定理
第3讲 二项式定理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·西安调研)若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.解析 (1＋3)4＝1＋C 14·3＋C 24·(3)2＋C 34(3)3＋(3)4＝28＋163，由题设a ＝28，b ＝16，故a ＋b ＝44. 答案 442．(2013·辽宁卷改编)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________． 解析T r ＋1＝C r n(3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r＝C r n 3n －rx ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立． 答案 53．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________．解析 由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38. 答案 1或384．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，n )．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项． ∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6. 答案 65．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为________．解析 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1，令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6，又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3. 答案 1或－36．(2013·四川卷)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________(用数字作答)．解析 T r ＋1＝C r 5x5－r y r(r ＝0,1,2,3,4,5)，依题意，r ＝3， ∴含x 2y 3的系数为C 35＝5×4×33×2×1＝10.答案 107．(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝______.解析 (a ＋x )4的展开式中的通项T r ＋1＝C r 4a 4－r x r，当r ＝3时，有C 34·a ＝8，所以a ＝2. 答案 28．设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N＝240，则展开式中含x 的项为________． 解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r 54－r C r 4 ，令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x . 答案 150x 二、解答题9．已知二项式(3x ＋1x )n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项．解 (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256，∴2n ＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 8·，令8－4r 3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28.10．若(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ，求⎠⎛0a (3x 2－1)d x .解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3＝1－3x ＋3x 2－1x 3，∴(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.因此⎠⎛0a(3x 2－1)d x ＝(x 3－x )⎪⎪⎪a0＝(x 3－x )⎪⎪⎪20＝6. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为________． 解析 当x >0时，f (x )＝－x <0， 所以f [f (x )]＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6，由r －3＝0，得r ＝3.所以f [f (x )]表达式的展开式中常数项为(－1)3C 36＝－20. 答案 －202．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )r·(－1)5－r ，T 4＝ C 35·(－1)2(1＋x )3＝10(1＋x )3， ∴a 3＝10.答案 103．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 364 二、解答题4．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r，令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n展开式的各项系数之和为2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，解得a ＝ 3.。
2015高考数学配套课件：9-7 双曲线(一)
【解析】 C1、C2 共焦点 F1(－2,0)，F2(2,0)，由对称性 则不妨设|PF1|>|PF2|，有
|PF1|＋|PF2|＝2 |PF1|－|PF2|＝2
6， 3
⇒||PPFF21||＝＝
6＋ 6－
3， 3.
由余弦定理，得 cosθ＝|PF1|2＋2|P|PFF1|2||P2－F2||F1F2|2＝13.
答案 2 解析 渐近线方程可化为 y＝±32.∵双曲线的焦点在 x 轴上， ∴a92＝(±32)2，解得 a＝±2.由题意知 a>0，∴a＝2.
课前自助餐
授人以渔
自助餐第十二页，编辑于星期课五时：十作五点业九分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
3．(2013·陕西)双曲线1x62 －ym2＝1 的离心率为54，则 m 等于 ________．
课前自助餐
授人以渔
自助餐第二十五页，编辑于星课期时五：作十五业点 九分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
【解析】 不妨设|PF1|>|PF2|，由||PPFF11||＋－||PPFF22||＝＝62aa，， 可得 |PF1|＝4a， |PF2|＝2a. ∵2a<2c，∴∠PF1F2＝30°. ∴cos30°＝2c22＋×24ca×2－4a2a2. 整理得，c2＋3a2－2 3ac＝0，即 e2－2 3e＋3＝0，∴e＝ 3. 【答案】 3
课前自助餐
授人以渔
自助餐第八页，编辑于星期五课：时十五作点业九分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
(3)与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程为ax22 －by22＝λ(λ≠0)．
高考数学第九章 平面解析几何 双曲线7
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是 双曲线.( × ) (2)方程 xm2－yn2＝1 (mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线方程 mx22－ny22＝λ (m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 mx22－ny22 ＝
的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.
故曲线 C2 的标准方程为4x22－3y22＝1.
即1x62 －y92＝1.
解析 答案
(2)(2016·天津)已知双曲线 x42－by22 ＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实 半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，
解答
思维升华
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线， 进而根据要求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1 －PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. (3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线 的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为 ax22－by22＝λ (λ≠0) ， 再由条件求出λ的值即可.
0，即 mx ±ny ＝0.( √ )
123456
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)与bx22－ay22＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则e121＋e122＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
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第7讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、填空题1．(2014·日照二模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．解析由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝ca＝5，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为x25－y220＝1.答案x25－y220＝12．(2014·苏州一模)已知双曲线x2－k y2＝1的一个焦点是(5，0)，则其离心率为________．解析由已知，得a＝1，c＝ 5.∴e＝ca＝ 5.答案 53．(2014·广州一模)已知双曲线x29－y2a＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析由题意得c＝13，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即双曲线方程为x2 9－y24＝1，所以双曲线的渐近线为2x±3y＝0. 答案2x±3y＝04．(2013·北京卷改编)双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．解析在双曲线x2－y2m＝1中，a＝1，b＝m，则c＝1＋m，离心率e＝ca＝1＋m1＞2，解得m ＞1. 答案 m ＞15．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝______. 解析 ∵b ＝3，∴c ＝a 2＋3，∴ca ＝a 2＋3a ＝2，∴a ＝1.答案 16．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为________．解析 不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a2＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32. 答案 327．(2014·郑州二模)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________． 解析 由⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎨⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24. 答案 248．(2014·武汉诊断)已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________.解析 因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1，所以椭圆方程为y 2n ＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)． 答案 5 二、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， ∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实、虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m .解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·焦作二模)直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左右两支分别交于M 、N 两点，F 是双曲线C 的右焦点，O 是坐标原点，若|FO |＝|MO |，则双曲线的离心率等于________．解析 由题意知|MO |＝|NO |＝|FO |，∴△MFN 为直角三角形，且∠MFN ＝90°，取左焦点为F 0，连接NF 0，MF 0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF 0为平行四边形．又∵∠MFN ＝90°，∴四边形NFMF 0为矩形，∴|MN |＝|F 0F |＝2c ，又∵直线MN 的倾斜角为60°，即∠NOF ＝60°， ∴∠NMF ＝30°，∴|NF |＝|MF 0|＝c ，|MF |＝3c ， 由双曲线定义知|MF |－|MF 0|＝3c －c ＝2a ， ∴e ＝ca ＝3＋1. 答案3＋12．(2014·临沂联考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 解析 由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2. 答案 (1,2)3．如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则 (1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析 (1)由△B 2OF 2的面积可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.(2)设∠B 2F 1O ＝θ，则sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝c b 2＋c 2，S 1S 2＝2bc4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 答案 (1)1＋52 (2)2＋52 二、解答题4．(2014·湛江二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝ 2.∴双曲线的离心率为 2.。