2016-2017年陕西省西安交大附中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
西安高级中学2016—2017学年度理科数学试题(选修2-1)
西安高级中学2016—2017学年度理科数学试题（选修2-1）一.选择题：（32分）1.已知),0,1,1(),3,3,0(-==，则向量与的夹角为（ ） A.030 B.045 C.060 D.0902.1<x<2是 x>0的（ ）条件A.必要不充分B.充要C.充分不必要D.既不充分也不必要3.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ ）A.3B.23 C.38 D.324. 以x=－41为准线的抛物线的标准方程为 （ ） A.y 2=21x B.y 2=x C.x 2=21y D.x 2=y5.设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1两个焦点，点P 在双曲线上，满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．1 B ．25C ．2D ．5 6.△ABC 中，D 为AB 边上一点，若1AD=2DB,CD=CA+λCB 3，则λ的值为（ ）A.32 B.31 C.31- D.32- 7.若椭圆154116252222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为（ ） A.221B.84C.3D.21 8.已知命题p ：实数m 满足01≤-m ，命题q ：函数xm y )49(-=是增函数。
若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A.（1，2） B.（0，1） C. [1，2] D. [0，1] 二.填空题：（24分）9.命题“01,200<+∈∃x R x ”的否定是____________10.向量),,,2(),2,2,1(y x -=-=且→→b a //则x-y= 11.抛物线的的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为____________ 12.设向量=++===>=>=<<⊥→→→→→→→→→→→→c b a c b a c b c a b a 则，且,3,21,3,,,π13.不等式kx 2+kx+1>0恒成立的充要条件是14.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点是F 1、F 2，以| F 1F 2 |为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为__________三.解答题（8分+10分+10分+8分+8分=44分）15.已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率e =16.如图，在长方体AC 1中，AB=BC=2，AA 1=2，E.F 分别是面A 1C 1.面BC 1的中心，求（1）AF 和BE 所成的角.（2）AA 1与平面BEC 1所成角的正弦值.17.已知p:实数x 满足22430x ax a -+<，其中a<0;q:实数x 满足2260280x x x x --≤+->或且p q ⌝⌝是的必要不充分条件，求a 的范围.18.抛物线的焦点在x 轴上，经过焦点且倾斜角为135︒的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程.19. 已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M ，N.当AN AM =时，求m 的取值范围.AA 1BCDB 1C 1D 1EF西安高级中学2016—2017学年度理科数学试题（选修2-1）参考答案一、选择题二、填空题 9. 2,10x R x ∀∈+≥ 10. -8 11. （18，0）12.13. 04k << 14.1三、解答题15.221,44y x y x -==±16. （1）90 （2）217. ]2(,4,03⎡⎫-∞-⋃-⎪⎢⎣⎭18.24y x =±19. （1）2213x y += （2）1(,2)2m ∈。
2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版) (11)
上学期期末考试高二理科数学试题一、选择题1．准线方程为1=x 的抛物线的标准方程是（ ）A ．22y x =-B ．24y x =-C ．x y 22=D ．24y x = 【答案】B【解析】试题分析：根据抛物线的定义及标准方程可知，抛物线24y x =-的准线方程为1=x ，所以准线方程为1=x 的抛物线的标准方程是24y x =-，故选B ．【考点】抛物线的标准方程及简单的几何性质．2．已知()()1,0,2,6,21,2,//,a b a b λλμ=+=-则,λμ的值分别为（ ）A ．11,52B ．5，2C ．11,52-- D ．5,2--【答案】A【解析】试题分析：由题意得，//a b ，所以a xb =，即()()1,0,26,21,2x λλμ+=-，解得11,52u λ==，故选A ．【考点】空间向量的运算．3．26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：若方程22126x y m m +=--表示椭圆，则206026m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．【考点】椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据中位数的概念，中间的数字为数据的中位数，所以5x =；根据平均数的概念可知2418(10)15916.85y +++++=，解得8y =，故选C ．【考点】茎叶图的中位数与平均数．5．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° 【答案】B【解析】试题分析：不妨设11,BB AB ==，则11111()()AB C B AB BB C C CB AB C C AB CB ⋅=+⋅+=⋅+⋅111BB C C BB CB +⋅+⋅20100=-+= ，所以直线1AB 与1C B 所成的角为90 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；异面直线所成的角．6．下列结论中，正确的是（ ）①命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的逆否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”；②已知 ，，a b c 为非零的平面向量．甲：= a b a c ··，乙：=b c ，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③:(01)=>≠，且x p y a a a 是周期函数，:sin q y x =是周期函数，则p q ∧是真命题；④命题2:320p x x x ∃∈-+≥R ，的否定是：2:320p x x x ⌝∀∈-+<R ，． A ．①② B ．①④ C ．①②④ D ．①③④【答案】C【解析】试题分析：①中，根据命题的逆否关系，可知命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的逆否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”；，所以是正确的；②中，乙：= b c ，根据向量的数量积公式，能推出甲：=··ab bc 的等价条件是()()0⋅=⇒⊥--a c b a c b ，反之推不出，所以是正确的；③中，:(01)=>≠，且x p y a a a 不是周期函数， 所以p q ∧是假命题；④中，根据存在性命题的否定可知：命题2:320p x x x ∃∈-+≥R ，的否定是：2:320p x x x ⌝∀∈-+<R ，，所以是正确的．【考点】全称命题与存在命题；命题的否定．7．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，CD 是线段F M 的垂直平分线，所以MP PF =，所以PF PO PM PO +=+MO = （定值），显然MO FO >，所以根据椭圆的定义可推断点P 的轨迹是以,F O 为焦点的椭圆，故选B ． 【考点】椭圆的定义．8．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75C ．85D ．3【答案】A【解析】试题分析：先对2y x =-，求导得2y x '=-，令423y x '=-=-，解得23x =，所以点P 的坐标为24(,)39-，利用点到直线的距离公式得2443()843953d ⨯+⨯--==．【考点】抛物线的几何形式；点到直线的距离公式．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（ ）A ．－1B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意得，第1次判断后循环1,2S i =-=；第2次判断后循环2,33S i ==；第3次判断后循环3,42S i ==；第4次判断后循环4,5S i ==；第5次判断后循环1,6S i =-=；第6次判断后循环2,73S i ==；第7次判断后循环3,82S i ==；第8次判断后循环4,9S i ==；第9次判断不满足98<，终止循环，输出4．故选D ． 【考点】循环结构的计算与输出．10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D【解析】试题分析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，因为线段AB 的中点坐标为(1,1)-，所以212212y y b x x a -=-，因为直线的斜率为011312+=-，所以2212b a =，因为右焦点为(3,0)F ，所以229a b -=，所以2218,9a b ==，所以椭圆的方程221189x y +=． 【考点】椭圆的标准方程；中点弦的应用．11．已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点且4||=MN , 则此双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．355 C ．553 D ．5 【答案】C【解析】试题分析：依据题意可知双曲线的一条渐近线为2y x a=，即20x ay -=，因为4||=MN ，圆的半径为所以圆心到渐近线的距离为2，即2=，解得a =，所以3c ==，所以双曲线的离心率为c e a ===B ． 【考点】双曲线的简单几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的简单的几何性质，属于基础试题，解题的关键是利用数形结合的方法球的圆心到渐近线的距离，本题的解答中利用圆半径和圆的弦长公式，根据4||=MN ，求得圆心到渐近线的距离为2，再利用原先到直线的距离公式，求解a 的值，则可求解双曲线中c 的值，根据圆锥曲线的离心率可求解双曲线的离心率，其中准确的运算也是重要的一环．12．已知点A （1，2）在抛物线22y px Γ=：上．若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k ，则123111k k k -+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【解析】试题分析：因为点()1,2A 在抛物线22y px Γ=：上，所以2221p =⨯，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x Γ=：，设211(,)4y B y ，222(,)4y C y ，所以1121124214y k y y -==+-，122221212444y y k y y y y -==+-， 2322224214y k y y -==+-，所以1122123221111444y y y y k k k +++-+=-+=．【考点】直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系及直线的斜率公式的综合应用，属于中档试题，解答本题的关键在于把点A 的代入抛物线的方程，确定P 的值，从而得到抛物线的标准方程，再设出点,B C 的坐标，利用直线的斜率公式分别表示出123,,k k k ，通过化简，可计算123111k k k -+的值，其中用斜率公式表示斜率、准确计算、认真化简是解答的一个易错点．二、填空题13．将二进制数110 101（2）转为七进制数，结果为________． 【答案】104（7）【解析】试题分析：245(2)110101112121253=+⨯+⨯+⨯=，把十进制的53化为七进制，则53774÷= ，7710÷= ，1701÷= ，所以结果为(7)104． 【考点】进位制．14．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号 ， ， ， ． （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54【答案】785，567，199，810【解析】试题分析：由题意及表知，从随机数表中第8行第7列的数7开始向右读取，所得三位数的编号依次是718,916,955,567,199,810, ，由于850颗种子是按001，002，…，850，所以最先检测的4颗种子的编号依次是785，567，199，810．【考点】数据的收集；随机数表法．15．用计算机随机产生一个有序二元数组x y （，）,满足11,11x y -<<-<<,记事件“1<+y x ”为A ，则P （A ）=______________． 【答案】12【解析】试题分析：在区间11,11x y -<<-<<内任取两个数字,x y 组成有序数对(,)x y ，围成的区域的面积为4；事件“1<+y x ”所成的区域的面积为2，所以事件A 的概率为1()2P A =． 【考点】几何概型．【方法点晴】本题主要考查了利用几何概型求解概率，属于基础试题，解答的关键是确定所对应图形的面积，利用面积比求解几何概型的概率，其中几何概型是一种概率模型，随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有关，通常几何概型分为：长度比的几何概型、面积的几何概型、体积比、角度比等几何概型，认真审题、准确计算是解答的关键．16．已知12,B B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴上的两个端点，O 为坐标原点，点A 是椭圆长轴上的一个端点，点P 是椭圆上异于12,B B 的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，给出以下命题，其中所有正确命题的序号是 ．①当P 点的坐标为233a a （-,）时，椭圆的离心率为； ②直线12,PB PB 的斜率之积为定值22a b-；③120PB PB <；④212sin PB PB B ∠的最大值为22a b a +；⑤直线12,PB QB 的交点M 在双曲线22221y x b a-=上．【答案】①④⑤【解析】试题分析：①把点P 的坐标代入椭圆的方程22221x y a b+=，可得225a b =，所以c e a ===，所以是正确的；②设00(,)P x y ，则2200221x y a b +=，所以12200200PB PB y b y b b k k x x a+-⋅=⋅=-，所以不正确；③因为点P 在圆222x y b +=外，所以2220x y b +->，所以120000(,)(,)PB PB x b y x b y =-----222000x y b =+->，所以不正确；④当点P 在长轴的顶点上时，12B PB ∠最小且为锐角，设12B PB ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：222212122222222sin sin sin 2bb b b a b ab r B PB B AB OAB a b a+=≤===∠∠∠+，所以正确；⑤直线1PB 的方程为：00y b y b x x ++=，直线2QB 的方程为00y by b x x --=，两式相乘可得：2222202y b y b x x --=-，化为22221y x b a -=，由于点P 不与12,B B 重合，所以M 的轨迹为双曲线的一部分，所以正确．【考点】椭圆的简单的性质．【方法点晴】本题综合考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、斜率计算公式、正弦定理、三角形的外接圆的半径、直线相交问题、双曲线的标准方程等综合应用，试题难度较大，属于难题，解答关键在于牢记圆锥曲线的几何性质及斜率的计算公式、解三角形的正、余弦定理等知识，做到熟练运用，同时注意圆锥曲线总的最值与范围问题的考查，也是一个圆锥曲线的难点．三、解答题 17．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x∈R 恒成立；命题q ：函数f （x ）＝－（5－2a ）x是减函数，若p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（－∞，－2]． 【解析】试题分析：由关于x 的不等式2240x ax ++>对一切R x ∈恒成立，可得24160a ∆=-<，可解得p ；由函数()()52xf x a =--是减函数，可得521a ->，解得q ，再根据p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 中一个为真命题，一个为假命题，分情况讨论求解a 的范围．试题解析：设g （x ）＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g （x ）的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0 所以－2<a<2，所以命题p ：－2<a<2；又f （x ）＝－（5－2a ）x 是减函数，则有5－2a>1，即a<2．所以命题q ：a<2∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 和q 一真一假 （1）若p 为真命题，q 为假命题，则222a a -<<⎧⎨≥⎩，此不等式组无解 （2）若p 为假命题，q 为真命题，则222a a a ≤-≥⎧⎨<⎩或，解得2a ≤-．综上，实数a 的取值范围是（－∞，－2]【考点】复合命题的真假判定及应用．18．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率．【答案】（1）19；（2）34．【解析】试题分析：（1）将一颗骰子先后抛掷2次，含有36种等可能事件，而满足两数之和为5的事件通过列举是4个，所以根据古典概型求得结果；（2）两数中至少一个奇数包含两个数有一个奇数，两个数都是奇数两种情况，这样做起来比较繁琐，可以选用它的对立事件，对立事件是两数均为偶数，通过列举得到结论．试题解析：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P（A）=41 369=；答：两数之和为5的概率为1 9（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P（B）=931364-=；答：两数中至少有一个奇数的概率3 4【考点】古典概型及其概率的计算公式．19．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，【答案】（1）0．005；（2）73分；（3）10．【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质可列出方程，通过解方程即可得到a的值；（2）由平均数的公式可得平均数为55×0．005×10＋65×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10，从而计算出结果即可；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总体中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50,90）之外的人数．试题解析：（1）由频率分布直方图知（2a＋0．02＋0．03＋0．04）×10＝1，解得a＝0．005（2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0．005×10＋65×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10＝73（分）（3）由频率分布直方图知语文成绩在[50,60），[60,70），[70,80），[80,90）各分数段的人数依次为0．005×10×100＝5,0．04×10×100＝40,0．03×10×100＝30,0．02×10×100＝20．由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25．故数学成绩在[50,90）之外的人数为100－（5＋20＋40＋25）＝10【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数的计算．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ∠= ．（1）求证：AD PB ⊥（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角P AB D --的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）取AD 的中点O ，连接,OP OB ，证明AD ⊥平面PQB ，即可证明：AD PB ⊥；（2）方法1、利用AB POQ AB OP ⊥⇒⊥平面，根据二面角的定义得POQ ∠即为二面角P AB D -- 的平面角，在Rt POQ ∆中，求解二面角P AB D --的正切值．方法2、建立空间直角坐标系，求解平面PAB 与平面ABD 的法向量，利用法向量求解二面角的余弦值，从而求解二面角的正切值．试题解析：（1）,PA PD = 取Q 为AD 的中点，AD PQ ∴⊥ 连接DB ,在ABD ∆中，,60AD AB BAD =∠= ,ABD ∴∆为等边三角形，Q 为AD 的中点，AD BQ ∴⊥,PQ BQ Q PQ =⊂ 平面PQB ,BQ ⊂平面PQB ， AD ∴⊥平面PQB又PB ⊂ 平面PBQ , AD PB ∴⊥（2）方法（一）解： 平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD 由（1）知AD PQ ⊥，PQ PAD ⊆平面 ∴PQ ⊥平面ABCD ,过Q 作QO AB ⊥于O ，连接OPAB PQ ⊥，PQ QO Q = ∴AB POQ AB OP ⊥∴⊥平面, POQ ∴∠即为二面角P AB D --的平面角在Rt PQB ∆中，PQ OQ ==tan 2POQ ∴∠= 故二面角P AB D --的正切值为2 方法（二）解：建系如图Q （0，0，0） P （0，0A （1，0，0）B （00）AB =-（）10AP =-（． 易知平面ABD 的法向量001n =（，，）．设平面APB 的法向量m x y z =（，，）∴00AB m AP m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴00x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩∴3m = （．cos ,5n m n m n m ⋅<>===⋅故二面角P AB D --的正切值为2．x【考点】点、线、面的位置关系的判定与证明；二面角的求解．【方法点晴】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明及二面角的求解，属于基础题，解答此类问题的关键在于（1）中，把线线垂直转化为证明线面垂直，从而得到线线垂直，即要证AD PB ⊥，转为求证AD ⊥平面PQB ；（2）中可根据二面角的定义，确定POQ ∠即为二面角P AB D --的平面角，利用直角三角形求解角的正切值或建立空间直角坐标系，转化为空间向量的运算求解二面角的大小．21．如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2），A （x y 11,），B （x y 22,）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y y 12+的值及直线AB 的斜率．【答案】（1）y x 24=，x =-1；（2）1-．【解析】试题分析：（1）设出抛物线的方程，把点P 代入抛物线的方程求解p ，则可得抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程；（2）设直线PA 斜率为PA k ，直线PB 斜率为PB k ，则可分别表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，进而求得12y y +的值，把,A B 代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB 的斜率．试题解析：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y px 22=点P （1，2）在抛物线上∴=⨯2212p ，得p =2故所求抛物线的方程是y x 24= 准线方程是x =-1（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 则k y x x PA =--≠111221()，k y x x PB =--≠222211() PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴=-k k PA PB由A （x y 11,），B （x y 22,）在抛物线上，得y x 1214=y x 2224= （2）1212122212222(2)4111144y y y y y y y y --∴=-∴+=-+∴+=---，，由（1）—（2）得直线AB 的斜率k y y x x y y x x AB =--=+=-=-≠212112124441()【考点】抛物线简单的几何性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线方程、抛物线标准方程及简单的几何性质的应用，着重考查了运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，以及运算、推理能力，属于中档试题，本题的解答中，设出直线,PA PB 的斜率PA k 、PB k ，表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，求得12y y +的值，把,A B 代入抛物线方程两式相减，是解答本题的一个难点和技巧，认真审题、仔细解答是解答的关键．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,过左焦点1(1,0)F -的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，且2F MN ∆的周长为8；过点(4,0)P 且不与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．【答案】（1）22143y x +=；（2）13[4)4-，；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由题意得可得1c =，由椭圆的定义可求得2a =，再由,,a b c 的关系，可得到椭圆的标准方程；（2）设直线PB 的方程为(4)y k x =-，代入椭圆的方程，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示、化简整理，由不等式的性质，即可得所求范围；（3）求得E 的坐标，以及直线AE 的方程，令0y =，运用韦达定理，即可得到所求定点．试题解析：（1）椭圆的方程为22143y x +=（2）由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-由22(4)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得： 2222(43)3264120k x k x k +-+-=由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：214k <设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221212223264124343k k x x x x k k -+==++， ① ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++∴22222121222264123287(1)41625434343k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+⋅-⋅+=-+++∵2104k <≤，∴28787873443k --<-+≤，∴13[4)4OA OB ⋅∈- ， ∴OA OB ⋅ 的取值范围是13[4)4-，．（3）证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E （x 2，－y 2）直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令y = 0得：112112()y x x x x y y -=-+ 又1122(4)(4)y k x y k x =-=-，，∴12121224()8x x x x x x x -+=+-由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点（1，0）．【考点】椭圆的简单几何性质及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单的几何性质及其应用，直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线方程和椭圆联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档性试题，本题的解答中，把直线方程(4)y k x =-代入椭圆的方程，得二次方程2222(43)3264120k x k x k +-+-=，把向量OA OB ⋅的运算转化为二次方程韦达定理的应用，是解答此类问题的关键，同时此类问题的运算量较大，需要认真审题、细致计算也是解答的一个易错点．。
陕西省西安交通大学附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题含解析
2016-2017学年陕西省西安市交大附中高一(上）期末数学试卷一、选择题(每小题3分,共36分)1．已知直线的斜率是2，在y轴上的截距是3-,则此直线方程是( )．A．230x yx y+-=++=D．230 x y-+=C．230--=B．230x y【答案】A【解答】解:∵直线的斜率为2，在y轴上的截距是3-，∴由直线方程的斜截式得直线方程为23=-，y x即230--=．x y故选：A．2．在空间,下列说法正确的是（）．A．两组对边相等的四边形是平行四边形B．四边相等的四边形是菱形C．平行于同一直线的两条直线平行D．三点确定一个平面【答案】C【解答】解：四边形可能是空间四边形，故A，B错误，由平行公理可知C正确，当三点在同一直线上时，可以确定无数个平面，故D错误．故选C．3．点(,)P x y在直线40+-=上，O是原点，则OP的最小值是（）．x yB．C D．2A【答案】B【解答】解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P,此时OP最小，则原点(0,0)到直线40x y +-=的距离d == 即OP 的最小值为 故选B ．4．两圆229xy +=和228690xy x y ++-+=的位置关系是（ )．A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 【答案】B【解答】解：把228690xy x y ++-+=化为22(4)(3)16x y -++=,又229xy +=,所以两圆心的坐标分别为:(4,3)-和(0,0)，两半径分别为4R =和3r =， 则两圆心之间的距离5d ,因为43543-<<+即R r d R r -<<+，所以两圆的位置关系是相交．故选B ．5．若l ，m ,n 是互不相同的空间直线,α,β是不重合的平面，下列命题正确的是( ）．A ．若αβ∥，l α⊂，n β⊂，则l n ∥B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥,则l m ∥D ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥ 【答案】D【解答】解：若αβ∥，l α⊂，n β⊂，则l 与n 平行、相交或异面，故A 不正确； 若αβ⊥，l α⊂，则l β∥或l 与β相交,故B 不正确；若l n ⊥，m n ⊥,则l 与m 相交、平行或异面，故C 不正确；若l α⊥，l β∥，则由平面与平面垂直的判定定理知αβ⊥，故D 正确．故选：D ．6．若直线20(0)ax my a a ++=≠过点(1,3)-，则此直线的斜率为（ ）．A ．3B ．3-C ．33D ．33-【答案】D【解答】解：∵直线20(0)ax my a a ++=≠过点(1,3)-，∴320a m a -+=，∴3a m=，∴这条直线的斜率是33a k m =-=-，故选D ．7．已知直线12:0l ax y a -+=,221:()0la x ay -+=互相垂直，则a 的值是（ ）．A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1- 【答案】C【解答】解：∵直线12:0l ax y a -+=，221:()0la x ay -+=互相垂直,∴(21)(1)0a a a -+-=， 解得0a =或1a =． 故选C ．8．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为24m ，互相平行的两个侧面的距离为2m ，则这个六棱柱的体积为（ ）．A ．33m B ．36m C ． 312m D ．315m【答案】B【解答】解:由题意，设正六棱柱的底面边长为m a ，高为m h ,∵正六棱柱的最大对角面的面积为24m ，互相平行的两个侧面的距离为2m，∴24ah =，32a =,解得，233a =，3h =， 故231236sin6036(m )23V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯︒⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故选:B ．9．若(2,1)P -为圆2212)5(x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ）．A ．230x y +-=B ．10x y +-=C ．30x y --=D ．250x y --=【答案】C【解答】解:圆2212)5(x y -+=的圆心(1,0)C ，点(2,1)P -为 弦AB 的中点,PC 的斜率为01112+=--，∴直线AB 的斜率为1，点斜式写出直线AB 的方程11(2)y x +=⨯-， 即30x y --=, 故选C ．10．如图长方体中,23AB AD ==，12CC =,则二面角1C BD C --的大小为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】A【解答】解：取BD 的中点E ，连接1C E ，CE ,由已知中AB AD ==1CC易得CB CD ==11C B CD ==根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得:1C E BD⊥，CE BD ⊥，则1C EC ∠即为二面角1C BD C --的平面角, 在1C EC △中，1C E =1CC =CE =故130C EC ∠=︒,故二面角1C BD C --的大小为30︒． 故选A ．11．已知P 为ABC △所在平面外一点,PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，PH ⊥平面ABC ,则H 为ABC △的（ )．HDCBAA ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心 【解答】证明:连结AH 并延长，交BC 与D 连结BH 并延长，交AC 与E ，因PA PB ⊥，PA PC ⊥，故PA ⊥面PBC ,故PA BC ⊥，因PH ⊥面ABC ，故PH BC ⊥，故BC ⊥面PAH ， 故AH BC ⊥即AD BC ⊥； 同理：BE AC ⊥， 故H 是ABC △的垂心．故选：B ．12．已知点(1,3)A ，(2,1)B --．若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交,则k 的取值范围是（ ）．A ．1,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞B ．(],2-∞-C ．1],2(,2⎡⎫+⎪⎢⎣-∞-⎭∞ D ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解答】解：∵直线:(2)1l y k x =-+过点(2,1)P ，连接P 与线段AB 上的点(1,3)A 时直线l 的斜率最小，为13221PAk-==--,连接P 与线段AB 上的点(2,1)B --时直线l 的斜率最大，为111222PBk--==--．∴k 的取值范围是12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故选：D ．二、填空题(每小题4分，共20分）13．在空间直角坐标系中,点(1,2,0)A -关于平面yOz 的对称点坐标为__________． 【答案】(1,2,0)【解答】解：根据关于坐标平面yOz 对称点的坐标特点，可得点(1,2,0)A -关于坐标平面yOz 对称点的坐标为：(1,2,0)． 故答案为：(1,2,0)．14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__________3cm ．俯视图左视图主视图【答案】80003【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积22020400cm S =⨯=，高20cm h =，故体积318000cm 33V Sh ==，故答案为:80003．15．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰为，上底面为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是__________．【答案】【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法画出原平面图形，所以1BC B C ''==，13OA O A ''==，2OC O C ''==,所以这个平面图形的面积为：1(13)2⨯+⨯．故答案为：16．已知过点(3,0)M -的直线l 被圆22(2)25xy ++=所截得的弦长为8,那么直线l的方程为__________．【答案】3x =-或512150x y -+=【解答】解：设直线方程为(3)y k x =+或3x =-，∵圆心坐标为(0,2)-，圆的半径为5，∴圆心到直线的距离3d ，3=，∴512k =，∴直线方程为5(3)12y x =+,即512150x y -+=；直线3x =-,圆心到直线的距离33d =-=，符合题意， 故答案为：3x =-或512150x y -+=．17．已知实数x ，y 满足223(3))(8x y -+-=,则x y +的最大值为__________．【答案】10【解答】解:∵223(3))(8x y -+-=，则可令3x θ=+，3y θ=+，∴6sin )64cos(45)x y θθθ+=++=+-︒，故cos(45)1θ-︒=，x y +的最大值为10， 故答案为10．三、解答题(18，19题各10分，20，21题各12分）18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中,5AB AC ==，16BB BC ==,D ，E 分别是1AA 和1B C的中点．(1)求证:DE ∥平面ABC ．(2）求三棱锥E BCD -的体积．E DCBAC 1B 1A 1【解答】解：（1）证明：取BC 中点G ,连接AG ，EG ，因为E 是1B C 的中点,所以1EG BB ∥，且112EG BB =．由直棱柱知，11AA BB ∥，11AA BB =，而D 是1AA 的中点,所以EG AD ∥，EG AD =，所以四边形EGAD 是平行四边形，所以ED AG ∥，又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC ．（2)解：因为1AD BB ∥，所以AD ∥平面BCE ，所以E BCDD BCE A BCE E ABCVV V V ----===，由(1）知，DE ∥平面ABC ， 所以11136412326E ABCD ABC VV AD BC AG --==⋅⋅=⨯⨯⨯=．G A 1B 1C 1AB CDE19．求满足下列条件的曲线方程：（1）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线6830x y -+=的直线．（2）经过点(1,1)C -和(1,3)D ，圆心在x 轴上的圆．【解答】解：（1)由280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得3x =，2y =， ∴点P 的坐标是(3,2)，∵所求直线l 与860x y C ++=垂直， ∴可设直线l 的方程为860x y C ++=．把点P 的坐标代入得83620C ⨯+⨯+=，即36C =-． ∴所求直线l 的方程为86360x y +-=， 即43180x y +-=．（2）∵圆C 的圆心在x 轴上,设圆心为(,0)M a ， 由圆过点(1,1)A -和(1,3)B ， 由MA MB =可得22MAMB =，即2211(()1)9a a ++=-+，求得2a =，可得圆心为(2,0)M，半径为MA ，故圆的方程为2221)(x y -+=．20．在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD DC=,E是PC的中点,过E点做EF PB⊥交PB于点F．求证：（1）PA∥平面DEB．（2）PB⊥平面DEF．A B CDE FP【解答】证明：(1）连接AC，AC交BD于O．连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．∴在PAC△中，EO是中位线，∴PA EO∥，∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD,∴PD BC⊥．∵底面ABCD是正方形，∴DC BC⊥，可得：BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC DE⊥．又∵PD DC=，E是PC的中点，∴DE PC ⊥．∴DE ⊥平面PBC ．∵PB ⊂平面PBC ，∴DE PB ⊥．又∵EF PB ⊥，且DEEF E =， ∴PB ⊥平面EFD ．OPFE DC BA21．已知圆22:2440C x y x y ++-=-，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦长AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l ，若不存在说明理由．【答案】见解析【解答】解：圆C 化成标准方程为221(2))(9x y -++=,假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(,)a b ．∵CM l ⊥,即2111CM l b kk a +=⨯=--⋅， ∴1b a =--,∴直线l 的方程为y b x a -=-,即210x y a ---=，∴2222(1)CM a ==-,∴2222247MBCB CM a a ==-++-， ∵MB OM =, ∴222247a a a b -++=+，得1a =-或32，当32a =时,52b =-，此时直线l 的方程为40x y --=． 当1a =-时，0b =，此时直线l 的方程为10x y -+=．故这样的直线l 是存在的,方程为40x y --=或10x y -+=．三、附加题：（22题,23题各5分，24题10分)22．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都等于6,且各顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于__________．【解答】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：所以外接球的表面积为：24π84π=．故答案为：84π．23．已知04k <<直线:2280L kx y k --+=和直线22:2440M x k y k +-=-与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值时k 值为（ ）．A ．2B ．12C ．14D ．18【解答】解：如图所示：直线:2280L kx y k --+= 即(2)280k x y --+=，过定点(2,4)B ,与y 轴的交点(0,4)C k -，直线22:2440M x k y k +-=-，即 2()2440x k y +-=-,过定点(2,4)，与x 轴的交点2(22,0)A k+， 由题意，四边形的面积等于三角形ABD 的面积和梯形OCBD 的面积之和， ∴所求四边形的面积为22114(222)(44)24822k k k k ⨯⨯+-+⨯-+⨯=-+， ∴当18k =时，所求四边形的面积最小, 故选：18．24．已知以点2,C t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（t ∈R 且0t ≠）为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求证：AOB △的面积为定值．（2）设直线240x y +-=与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =,求圆C 的方程． （3)在（2)的条件下，设P ，Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标．【答案】见解析【解答】(1）证明:由题意可得：圆的方程为：222224()x t y t t t ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，化为:22024x tx y y t -+-=．与坐标轴的交点分别为：(2,0)A t ,40,B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴14242OAB S t t =⋅=△，为定值．（2）解：∵OM ON =，∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ,则C ，H ，O 三点共线,OC 的斜率222t k t t ==， ∴22(2)1t ⨯-=-，解得2t =±，可得圆心(2,1)C ，或(2,1)--． ∴圆C 的方程为：222(1))(5x y -+-=,或222(1))(5x y +++=． （3）解：由（2）可知：圆心(2,1)C ,半径r 点(0,2)B 关于直线20x y ++=的对称点为(4,2)B '--，则PB PQ PB PQ B Q ''+=+≥，又点B '到圆上点Q 的最短距离为B C r '=- 则PB PQ +的最小值为． 直线B C '的方程为:12y x =,此时点P 为直线B C '与直线l 的交点， 故所求的点42,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。
陕西省西安市交大附中2016-2017学年度第一学期高二理科数学第二次月考试题
交大附中2016-2017学年度第一学期 高二理科数学第二次月考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题p ：任意x ∈R ，211x +≥，则非p 是 A ．任意x ∈R ，211x +<B ．存在x ∈R ，211x +≤C ．存在x ∈R ，211x +<D ．存在x ∈R ，211x +≥ 2．0a =是方程2210ax x ++=有负数根的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．抛物线2y x =-的焦点坐标为 A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．104⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．104⎛⎫⎪⎝⎭，D ．104⎛⎫- ⎪⎝⎭，4．设1F 和2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF =︒∠，则12F PF △的面积是A ．1B C ．2 D5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，258a a a ++= A ．26B ．27C ．28D ．296．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA OB ⋅= A ．3B ．3-C ．34D ．34-7．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA =︒∠，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25C D 8．不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩≥≤的解集记为D ，有下面四个命题：1p ：任意()x y D ∈，，22x y +-≥， 2p ：存在()x y D ∈，，22x y +≥，3p ：任意()x y D ∈，，23x y +≤，4p ：存在()x y D ∈，，21x y +-≤，其中的真命题是 A ．2p ，3pB ．1p ，2pC ．1p ，4pD ．1p ，3p9．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球．若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是 A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π310．设函数()f x 在R 上存在异数()f x '，对任意的x ∈R 有()()0f x f x --=，且在()0x ∈+∞，上，()f x x '>，若()()222f a f a a ---≥，则实数a 的取值范围为 A ．()1-∞，B ．[)1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．函数()()21ln 12f x x x =-+在0x =处的切线方程为 ． 12．求sin y x =，（ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，），π2x =-，π2x =及x 轴围成平面图形的面积 ．13．已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b -=在左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F =∠，则双曲线E 的离心率为 ． 14．设()1cos f x x =，定义()1n f x +为()n f x 的导数，即()()1n n f x f x +'=，n ∈N ，若ABC △的内角A 满足()()()1220170f A f A f A +++=，则sin A = ．15．已知函数()332f x ax x =-+（x ∈R ），若对于任意的[]11x ∈-，都有()1f x ≥成立，则实数a 的值为 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，每题10分，共50分）16．已知函数()32133f x x x x =--．（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]24-，上的最大值和最小值．17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）在ABC △的面积24a S =，求角A 的大小．18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （1）证明MN ∥平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．PN M DCBA19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l ，求AOB △面积的最大值．20．已知函数()ln f x ax x x =+，且图像在点()()11e f e --，处的切线的倾斜角为45︒（e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 的值； （2）设()()1f x xg x x -=-，求()g x 的单调区间；（3）当1m n >>（m ，n ∈Z n m>．。
陕西省西安高二上册期末数学试卷与答案
陕西省西安高二上册期末数学试卷与答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线x2=-8y的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】B先根据题意，求得抛物线x2=-8y的p，即可求出准线方程.抛物线x2=-8y可得2p=8所以故准线方程为y=2故选B本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.2.已知向量=（1，1，0），则与共线的单位向量=（）A. B. 1， C. D. 1，【答案】C先根据题意，设出与共线的单位向量可为，再利用单位向量的模长为1，求得a的值即可得出答案.因为向量=（1，1，0）所以与共线的单位向量可为且解得所以可得与共线的单位向量为或故选C本题主要考查了向量共线的单位向量，属于基础题.3.下列说法中正确的是( )A. 若，则四点构成一个平行四边形B. 若，，则C. 若和都是单位向量，则D. 零向量与任何向量都共线【答案】D结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案。
对于选项A，四点可能共线，故A不正确；对于选项B，若是零向量，则不一定成立，故B错误；对于选项C，若方向不同，则，故C错误；对于D，零向量与任何向量都共线，正确。
故答案为D.本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况。
4.给出如下三个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B①根据真值表可得p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题．②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．③全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题；③“∀x∈R，x2+1≥1”，易得到答案．①根据真值表可得：若p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题，所以①错误．②根据命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”．是真命题，所以②正确．③若原命题“∀x∈R，都有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，都有x2+1≥2x”的否定是：∃x∈R，有x2+1＜1，所以③不正确．故选：B．解决此类问题的关键是熟练掌握真值表、特称命题、命题的否定以及其他的有关基础知识，属于基础题.5.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出，然后求得离心率即可.由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即所以离心率故选A本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.6.“”是“的最小正周期为”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A当时，，所以周期为，当的最小正周期为时，，所以，因此“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件.故选A.7.若曲线表示椭圆，则的取值范围是( )A. B. C. D. 或【答案】D根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.曲线表示椭圆，，解得，且，的取值范围是或，故选D．本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属8.已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量=（2，-1，2），则下列点P 在平面α内的是（）A. 4，B. 0，C. 3，D.【答案】C由题意，点P在平面内，可得，然后再验证答案，易知C选项可得，此时，得出答案.因为点M、P是平面内的点，平面的一个法向量=（2，-1，2），所以对于答案C，此时故选C本题主要考查了用空间向量取解决立体几何中的垂直问题，属于较为基础题.9.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为A. [3-,）B. [3+,）C. [,）D. [,）【答案】B试题分析：因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为设点P（x0，y0），则有(x0≥)，解得y02=(x0≥)，因为=(x0+2，y0)，=(x0，y0)，所以=x0(x0+2)+y02=x0（x0+2）+=+2x0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-，因为x0≥，所以当x0=时，取得最小值=，故的取值范围是[，+∞)，选B考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运点评：解决该试题的关键是先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．10.已知动圆P与定圆C：（x-2）2+y2=1相外切，又与定直线l：x=-1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】C令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，PA-d=1，化简可求．令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，所以PA-d=1，即-（x+1）=1，化简得：y2=8x．故选C．本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是由根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得PA-d=1，属于中档题.11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A. 1B.C.D.【答案】B先根据题意，易知，再分别求得的值，然后求得答案即可.在平行六面体中，所以解得所以故选B本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.12.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）．A. B.C. D.【答案】A方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线，当和同号时，抛物线开口向左，方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项；当和异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，本题选择A选项.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则|AB|=______；【答案】10先根据题意求出，再利用抛物线的焦点弦代入得出答案即可.抛物线y2=4x中，过焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则焦点弦故答案为10本题主要考查了抛物线的性质以及焦点弦，属于基础题.14.已知，且，，，则=______；【答案】先求出，，，然后利用，展开计算即可。
陕西省西安市高二上学期期末数学试卷(理科)
陕西省西安市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·临川期中) 在△ABC中，若a=1，c=2，A=30°，则△ABC的面积为（）A .B .C . 1D .2. （2分）在数列{an}中，a1=﹣，an=1﹣（n＞1），则a2011的值为（）A .B . 5C .D . 以上都不对3. （2分）已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A .B .C .D .4. （2分）若直线和⊙O∶相离,则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A . 至多一个B . 2个C . 1个D . 0个5. （2分） (2017高一下·怀仁期末) 若{x|2<x<3}为x2＋ax＋b<0的解集，则bx2＋ax＋1>0的解集为（）A . {x|x<2或x>3}B . {x|2<x<3}C .D .6. （2分）(2020·银川模拟) 已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（）A .B .C .D .7. （2分）已知x，y满足约束条件则的最小值是（）A . －20B . －10C . －15D . -108. （2分）已知，观察下列式子：，，，类比有，则a是（）A .B . nC . n+1D . n-19. （2分） (2019高二上·文昌月考) 已知双曲线C: ,以C的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（）A .B .C . aD . b10. （2分） (2019高二上·寿光月考) 已知正实数满足，则的最小值为（）A . 10B . 11C . 13D . 2111. （2分） (2020高二上·绍兴期末) 已知圆锥，是底面圆周上任意的三点，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A .B .C .D .12. （2分）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·石家庄模拟) 已知△ABC中，AC=4，BC=2 ，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，则的值为________．14. （1分） (2020高二下·郑州期末) 已知数列的通项公式为，这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为________.15. （1分） (2017高二下·长春期末) 已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2017高二上·张家口期末) 如图，过椭圆 =1（a＞b＞1）上顶点和右顶点分别作圆x2+y2=1的两条切线的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高二上·定远期中) 已知,命题，命题.（1）若p为真命题，求实数 m 的取值范围；（2）若命题是假命题, 命题是真命题,求实数m的取值范围.18. （5分）(2017·抚顺模拟) △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，c= ，且bsinB﹣asinA= acosA﹣ bcosB．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求a与b的值．19. （5分） (2020高二上·绍兴期末) 如图，已知四棱柱，平面，是菱形，点在上，且．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：平面．20. （10分） (2018高二上·江苏月考) 如图所示，直线与椭圆交于两点，记的面积为（1）当时，求的最大值；（2）当时，求直线的方程．21. （10分） (2019高二上·沈阳月考) 已知递增的等差数列前项和为，若，.（1）求数列的通项公式.（2）若，且数列前项和为，求 .22. （10分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长是10，离心率是；（2）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
(完整版)2017年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，均为单项选择题，每题5 分，共 60 分）1．抛物线 y2=4x 上一点 M 到准线的距离为3，则点 M 的横坐标 x 为（）A．1B．2C．3D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣ 2 D．﹣ 63．在正项等比数列 { a n} 中， a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，则 a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C． x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3C．2D．16．为了获得函数y=3cos2x 的图象，只要将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．履行以下图的程序框图，若输入n=10，则输出的 S=（）A．B．C．D．8．投掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面次数剩余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知 l 是双曲线的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1，F2是 C 的两个焦点，若 PF1⊥PF2，则△ PF1F2的面积为（）A．12B．C．D．10．已知直线 y=﹣2x 1与椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）订交于 A，B 两点，且线段+AB 的中点在直线 x﹣4y=0 上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．．已知直线l 过点（﹣，），与圆C：（x﹣1）2+y2订交于，两点，则11 1 0l=3 A B弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF1| =212）| BF | ，AF ⊥ x 轴，则椭圆 E 的方程为（A．B．C．D．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，若焦距为4，则 m 等于．14．函数 f（x），x∈ R，知足以下性质： f（x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则 f（2）=．15．函数给出以下说法，此中正确命题的序号为．（ 1）命题“若α=，则cosα= ”的逆否命题；（2）命题 p： ? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（ 4）命题 p：“，使”，命题q：“在△ ABC中，若使sinA＞sinB，则 A＞B”，那么命题（?p）∧ q为真命题．16．抛物线 C：y2=4x 的交点为 F，准线为 l，p 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， PM⊥l 交 C 于点 M ，线段 MF 为抛物线 C 交于点 N，若 PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17．已知数列 { a n } 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为 S n，a1=1，且 3a2，S3， a5成等比数列．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设，求数列{b n n} 的前 n 项和 T ．18．如图是某市相关部门依据对某地干部的月收入状况检查后画出的样本频次分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请依据该图供给的信息解答以下问题：（图中每组包含左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[ 1000，1500）（1）求样本中月收入在 [ 2500， 3500）的人数；（2）为了剖析干部的收入与年纪、职业等方面的关系，一定从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步剖析，则月收入在 [ 1500， 2000）的这段应抽多少人？（3）试预计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱 ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1 =AC=CB= AB．（Ⅰ）证明： BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）求二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值．20．已知向量，，此中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数 f（ x）的表达式及单一减区间；（2）在△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为其面积，若 f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点 M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点， | F1F2| =2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若点 P 在第一象限，且?≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）能否存在过定点 N（ 0，2）的直线 l 交椭圆 C 交于不一样的两点 A，B，使∠ AOB=90°（此中 O 为坐标原点）？若存在，求出直线 l 的斜率 k；若不存在，请说明原因．22．已知圆 E：（x+1）2+y2=16，点 F（1，0）， P 是圆 E 上随意一点，线段PF的垂直均分线和半径PE订交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹Γ的方程；（2）若直线 y=k（x﹣ 1）与（ 1）中的轨迹Γ交于 R，S 两点，问能否在 x 轴上存在一点 T，使适当 k 改动时，总有∠ OTS=∠OTR？说明原因．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，均为单项选择题，每题5 分，共 60 分）1．抛物线 y2=4x 上一点 M 到准线的距离为3，则点 M 的横坐标 x 为（）A．1B．2C．3D．4【考点】抛物线的简单性质．【剖析】第一求出 p，准线方程，而后依据，直接求出结果．【解答】解：设 M （x，y）则 2P=4， P=2，准线方程为 x= =﹣1，解得 x=2．选 B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣ 2 D．﹣ 6【考点】平行向量与共线向量．【剖析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣ 3，3+2m），∵与平行，∴ 3+2m+9=0，解得m=﹣6．应选： D．3．在正项等比数列 { a n} 中， a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，则 a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64D．256【考点】等比数列的性质．【剖析】由 a1和19为方程x 2﹣ 10x+16=0 的两根，依据韦达定理即可求出 a1和a12，由数列为正项数列a19的积，而依据等比数列的性质获得 a 和 a19的积等于 a10获得 a10的值，而后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为对于10 的式子，a把 a10的值代入即可求出值．【解答】解：由于 a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，因此 a1?a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得： a10=4，则 a8?a10?a12=（a8?a12）?a10=a103=43=64．应选 C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C． x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【剖析】先依据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令两者相等即可求得m 和n的关系，从而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴ 3m2﹣5n2=2m2 +3n2，整理得 m2=8n2，∴ =2双曲线的渐近线方程为y=±=±x应选 D5．已知一个四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4B．3C．2D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【剖析】画出知足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形 ABCD，从而可得可得△ PAB 和△ PAD 都是直角三角形，再由由线面垂直的判断定理可得CB⊥平面 PAB，CD⊥平面 PAD，又获得了两个直角三角形△ PCB 和△ PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：知足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出知足条件的直观图如图四棱锥 P﹣ABCD所示，不如令 PA⊥矩形 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD， PA⊥CB，PA⊥ CD，故△ PAB 和△ PAD都是直角三角形．又矩形中 CB⊥AB， CD⊥ AD．这样 CB垂直于平面 PAB内的两条订交直线 PA、 AB，CD垂直于平面 PAD内的两条订交直线PA、AD，由线面垂直的判断定理可得CB⊥平面 PAB，CD⊥平面 PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4 个．应选 A．6．为了获得函数 y=3cos2x的图象，只要将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωxφ）的图象变换．+【剖析】利用 y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（ x）的图象上每一个点横坐标+向右平移个单位长度，可得函数 y=3cos2x的图象，应选： B．7．履行以下图的程序框图，若输入n=10，则输出的 S=（）A．B．C．D．【考点】循环构造．【剖析】框图第一给累加变量S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2，在输入 n 的值为10 后，对 i 的值域 n 的值大小加以判断，知足i≤ n，履行，i=i+2，不知足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入 n 的值为 10，框图第一给累加变量S 和循环变量 i 分别赋值 0和 2，判断 2≤10 成立，履行，i=2+2=4；判断 4≤10 成立，履行= ，i=4 2=6；+判断 6≤10 成立，履行，i=6 2=8；+判断 8≤10 成立，履行，i=8+2=10；判断 10≤10 成立，履行，i=10+2=12；判断 12≤10 不可立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．应选 A．8．投掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面次数剩余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【剖析】投掷一枚均匀的硬币 4 次，相当于进行 4 次独立重复试验，利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰巧发生 k 次的概率计算公式能求出出现正面次数剩余反面次数的概率．【解答】解：投掷一枚均匀的硬币 4 次，相当于进行 4 次独立重复试验，∴出现正面次数剩余反面次数的概率：p==．应选： D．9．已知 l 是双曲线的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1，F2是 C的两个焦点，若PF12 1 2⊥PF，则△ PF F 的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】设 P 的坐标，利用PF1⊥ PF2，成立方程，求出P 的坐标，则△ PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设 P（y， y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣ y）?（y，﹣ y） =0，∴2y2﹣ 6 y2y =，+ =0，∴| |∴△ PF的面积为=2．1F2应选 D．10．已知直线 y=﹣2x+1 与椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）订交于 A，B 两点，且线段AB 的中点在直线 x﹣4y=0 上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的地点关系．【剖析】将直线 y=﹣2x+1 与直线 x﹣4y=0 联立，求得中点坐标，由A，B 在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得 a2=2b2，椭圆的离心率 e= ==．【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段 AB 的中点（，），则 x1+x2= ， y1 +y2= ，由 A，B 在椭圆上，+=1，+ =1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即 a2=2b2，椭圆的离心率 e= ==，应选 D．．已知直线l 过点（﹣ 1，0），l 与圆C：（x﹣1）2+y2订交于，B两点，则11=3A弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【剖析】先找出使弦长 | AB| =2时的状况，再求直线与圆相切时的情况，依据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心 C 是（ 1， 0）半径是，可知（﹣ 1， 0）在圆外要使得弦长| AB|≥ 2，设过圆心垂直于AB 的直线垂足为 D，由半径是，可得出圆心到 AB 的距离是 1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与 x 轴成 60°，斜率为，因此使得弦长的概率为：P==，应选： C．12．设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF11， 2⊥x 轴，则椭圆E的方程为（）| =2| BF|AF A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】利用椭圆的性质求出 A，B 的坐标，代入椭圆方程，联合 1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x 轴，∴ | AF2| =b2，∴A 点坐标为（c，b2），设 B（x， y），则∵| AF1| =2| F1B| ，∴（﹣ c﹣c，﹣ b2） =2（x+c，y）∴ B（﹣ 2c，﹣b2），代入椭圆方程可得： 4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴ b2= ，∴x2+=1．应选： C．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，若焦距为4，则 m 等于4．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】依据椭圆+=1 的长轴在x 轴上，焦距为4，可得 10﹣m﹣m+2=4，即可求出 m 的值．【解答】解：∵椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，∴10﹣m﹣ m+2=4，解得 m=4故答案为： 4．14．函数 f（x），x∈ R，知足以下性质： f（x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则 f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【剖析】推导出 f（ x+3） =﹣ f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数 f（x），x∈R，知足以下性质： f （x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3） =﹣f （x+ ） =f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣ 1） =﹣ f（1）=﹣3．故答案为：﹣ 3．15．函数给出以下说法，此中正确命题的序号为①②④．（ 1）命题“若α=，则cosα= ”的逆否命题；（2）命题 p： ? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（ 4）命题 p：“，使”，命题q：“在△ ABC中，若使sinA＞sinB，则 A＞B”，那么命题（?p）∧ q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题 p：? x0∈R，使 sinx0＞1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1，；（3），“φ= +2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（ 2x+φ）为偶函数”的充足不用要条件；（ 4），判断命题 p、命题 q 的真假即可【解答】解：对于（ 1），∵ cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（ 2），命题 p：? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈ R，sinx≤1，为真命题；对于（ 3），“φ= +2kπ（ k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充足不用要条件，故为假命题；对于（ 4），x∈（ 0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ ABC中，若 sinA＞sinB? 2RsinA＞ 2RsinB? a＞ b? A＞ B，故命题 q 为真命题那么命题（?p）∧ q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线 C：y2=4x 的交点为 F，准线为 l，p 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， PM⊥l 交 C 于点 M ，线段 MF 为抛物线 C 交于点 N，若 PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【剖析】过 N 作 l 的垂线，垂足为Q，则 | NF| =| NQ| ，| PF| =| PM| ，求出 P 的坐标，可得 cos∠MNQ=，即可获得．【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），过 N 作 l 的垂线，垂足为 Q，则 | NF| =| NQ| ，∵ PF的斜率为，∴可得 P（4，4）．∴ M（﹣ 1，4），∴ cos∠MFO=∴cos∠ MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17．已知数列 { a n } 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为 S n，a1=1，且 3a2，S3， a5成等比数列．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设，求数列{ b n}的前n项和T n．【考点】数列的乞降；数列递推式．【剖析】（1）设出等差数列的公差，由 3a2，S3， a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（ 2）求出等差数列的前n 项和，代入，利用裂项相消法求数列{ b n}的前 n 项和 T n．【解答】解：（1）设数列 { a n} 的公差为 d（d＞0），则 a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵ 3a2， S3，a5成等比数列，∴，即（ 3+3d）2=（3+3d）?（1+4d），解得 d=2．∴a n=1+2（ n﹣ 1） =2n﹣1；（ 2）由（ 1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市相关部门依据对某地干部的月收入状况检查后画出的样本频次分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请依据该图供给的信息解答以下问题：（图中每组包含左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[ 1000，1500）（1）求样本中月收入在 [ 2500， 3500）的人数；（2）为了剖析干部的收入与年纪、职业等方面的关系，一定从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100 人作进一步剖析，则月收入在[ 1500， 2000）的这段应抽多少人？（ 3）试预计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、均匀数；频次散布直方图．【剖析】（1）依据频次散布直方图，求出各段的频次，而后再求 [ 2500， 3500）的人数；（2）依据抽样方法，选用抽样的人数，（3）依据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在 [ 1000，1500] 的频次为 0.0008× 500=0.4，且有4000 人，∴样本的容量 n=，月收入在 [ 1500，2000）的频次为 0.0004× 500=0.2，月收入在 [ 2000，2500）的频次为 0.0003× 500=0.15，月收入在 [ 3500，4000）的频次为 0.0001× 500=0.05，∴月收入在 [ 2500，3500）的频次为； 1﹣（ 0.4+0.2+0.15+0.05） =0.2，∴样本中月收入在 [ 2500，3500）的人数为： 0.2×10000=2000．（2）∵月收入在 [ 1500， 2000）的人数为： 0.2×10000=2000，∴再从 10000 人用分层抽样方法抽出100 人，则月收入在 [ 1500， 2000）的这段应抽取（人）．（3）由（ 1）知月收入在 [ 1000，2000）的频次为： 0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱 ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明： BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）求二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判断．【剖析】（Ⅰ ）经过证明 BC1平行平面 A1CD 内的直线 DF，利用直线与平面平行的判断定理证明 BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）证明 DE⊥平面 A1DC，作出二面角 D﹣ A1C﹣E 的平面角，而后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点，又 D 是 AB 中点，连接 DF，则 BC1∥DF，由于 DF? 平面 A1CD，BC1?平面 A1 CD，因此 BC1∥平面 A1CD．（Ⅱ）由于直棱柱 ABC﹣ A1 B1C1，因此 AA1⊥ CD，由已知 AC=CB，D 为 AB 的中点，因此 CD⊥AB，又 AA1∩AB=A，于是， CD⊥平面 ABB1 A1，设 AB=2 ，则 AA1=AC=CB=2，得∠ ACB=90°，CD= ，A1D=，DE=，A1E=3故 A1D2+DE2=A1E2，即 DE⊥ A1D，因此 DE⊥平面 A1DC，又 A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠ DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△ A1DC中， DF==，EF==，因此二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值． sin∠DFE=．20．已知向量，，此中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数 f（ x）的表达式及单一减区间；（2）在△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为其面积，若 f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数目积的运算．【剖析】（1）利用两个向量的数目积公式，三角恒等变换化简函数的分析式，再利用正弦函数的周期性和单一性，得出结论．（ 2）由 f（）=1，求得 A=，依据 S△ABC =，求得 c=4，再利用余弦定理求得 a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωxsin ωxcosωx﹣+= cos2 ωx+ sin2 ω x=sin（ 2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令 2kπ2x≤2kπ，求得kπ≤x≤ kπ，+≤ ++++故函数的减区间为 [ kπ+，kπ+] ， k∈ Z．（ 2）在△ ABC中，∵ f（） =sin（A+） =1，∴A= ，又 b=1，S△ABC= bc?sinA= ?1?c? = ，∴ c=4，∴ a===．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点 M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点， | F1F2| =2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若点 P 在第一象限，且?≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）能否存在过定点N（ 0，2）的直线 l 交椭圆 C 交于不一样的两点A，B，使∠AOB=90°（此中 O 为坐标原点）？若存在，求出直线l 的斜率 k；若不存在，请说明原因．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【剖析】（Ⅰ ）由椭圆经过点 M （1，），| F1F2| =2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆 C 的标准方程．（Ⅱ）设 P（x， y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P 的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线 l 的方程为 y=kx 2，联立，得（ 1 4k2）x2 16kx 12=0，++++由此利用根的鉴别式、韦达定理、向量的数目积，联合已知条件能求出直线的斜率．【解答】 解：（Ⅰ）∵椭圆 C ：+ =1（a ＞b ＞0）经过点 M （1， ）， F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点， | F 1F 2| =2 ，∴，解得 a=2， b=1，∴椭圆 C 的标准方程为．（ Ⅱ）∵ c= ，F 1（﹣，），2（），设 （，），0 FP x y则=（﹣ ） ?（）=x 2 +y 2﹣ 3，∵，∴=x 2+y 2 ﹣3== （ 3x 2﹣8），解得﹣，∵点 P 在第一象限，∴ x ＞0，∴ 0＜ x ＜，∴点 P 的横坐标的取值范围是（ 0， ] ．（ Ⅲ）当直线 l 的斜率不存在时，直线l 即为 y 轴，A 、B 、O 三点共线，不切合题意，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx 2 ，+联立，得（ 1+4k 2） x 2+16kx+12=0，由△ =（16k ）2﹣48（ 1+4k 2）＞ 0，解得，，，∵∠ AOB=90°，∴=0，∵=x 1x 2 y 1y 2 =x 1x 2 （kx 1 2）（kx 2 2） ==0，+ ++ +解得 k 2=4，知足 k 2＞ ，解得 k=2 或 k=﹣ 2，∴直线 l 的斜率 k 的值为﹣ 2 或 2．22．已知圆 E：（x+1）2+y2=16，点 F（1，0）， P 是圆 E 上随意一点，线段PF的垂直均分线和半径PE订交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹Γ的方程；（2）若直线 y=k（x﹣ 1）与（ 1）中的轨迹Γ交于 R，S 两点，问能否在 x 轴上存在一点 T，使适当 k 改动时，总有∠ OTS=∠OTR？说明原因．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】（1）连接 QF，运用垂直均分线定理可得，|QP|=|QF| ，可得| QE|+| QF| =| QE|+| QP| =4＞| EF| =2，由椭圆的定义即可获得所求轨迹方程；（2）假定存在T（t ，0）知足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和鉴别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可获得存在 T（4，0）．【解答】解：（1）连接 QF，依据题意， | QP| =| QF| ，则 | QE|+| QF| =| QE|+| QP| =4＞ | EF| =2，故动点 Q 的轨迹Γ是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．设其方程为，可知 a=2， c=1，∴，因此点 Q 的轨迹Γ的方程为；（ 2）假定存在 T（t ，0）知足∠ OTS=∠OTR．设 R（x1，y1），S（x2， y2）联立，得（ 3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，此中△＞ 0 恒成立，由∠ OTS=∠OTR（明显 TS，TR 的斜率存在），故 k TS k TR=0即②，+由 R，S 两点在直线 y=k（x﹣ 1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有 2x1x2﹣（ t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与 k 的取值没关，当且仅当“t=4时“成立，综上所述存在 T（4，0），使适当 k 变化时，总有∠ OTS=∠OTR．2017年 2月 24日。
2016—2017学年度第一学期期末教学质量检查(高二理科数学)
2016—2017学年度第一学期期末教学质量检查高二理科数学（A 卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．数列的前4项分别是1,3,6,10,这个数列的一个通项公式可能是（ ）A ．2n a n n =- B ．12-=n a n C ．(1)2n n n a +=D ．2)1(-=n n a n 2．已知)5 , 2 , 3( -=a ,)3 , , 1( m b =,若 a b ⊥u u r u u r,则常数=m （ ）A ．6-B ．6C ．9-D ．9 3．命题0:0p x ∃>，0012x x +=，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，12x x += B ．0x ∀>，12x x +≠ C ．0x ∀>，12x x +≥D ．0x ∃>，12x x+≠4. ABC ∆的三个内角C B A ,,所对三边分别为c b a ,,，若1,3,120a b B ===︒，则角A 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．已知等差数列{}n a 中,378a a +=,则该数列前9项和9S 等于（ ）A ．18B ．27C ．36D ．45 6．若双曲线经过点(3,0)，且渐近线方程是13y x =±，则双曲线的方程是（ ） A ．221369x y -= B ．221819x y -= C ．2219x y -= D ．221183x y -=7．已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是（ ）A ．22a b am bm >⇒> B ．a ba b c c>⇒> C ．3311,0a b ab a b >>⇒< D ．2211,0a b ab a b>>⇒< 8. 如果1P ，2P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210x x +=，则12PF P F +=（ ） A ．12 B ．14 C ．16D ．189．已知等比数列{}n a 中，21,a =则其前3项的和3S 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,0)(1,)-∞+∞UC ．[3,)+∞D ．(,1][3,)-∞-+∞U 10．ABC ∆中，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边. 如果a b c 、、成等差数列，030B ∠=，ABC ∆的面积为23，那么边b =（ ）A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+ 11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ） A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 12．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，若离心率51e -=e 0.618≈），则称椭圆C 为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是（ ）① 在黄金椭圆C 中，a 、b 、c 成等比数列；② 在黄金椭圆C 中，若上顶点、右顶点分别为E 、B ，则190F EB ∠=︒；③ 在黄金椭圆C 中，以(,0)A a -、(,0)B a 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点1F 、2F ．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知点)1,0,3(A 和向量()=2,3,6a -r，且=3a AB u u u r r ，则点B 的坐标是 .14.已知0,0,1a b a b >>+=,则14a b+的最小值是 . 15．已知双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于 .16．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，则345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝ .三、解答题：本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩. (1) 若1a =，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2) 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，322n n a S -=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设*2()n nnb n N a =∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. (本小题满分12分)某工厂2016年计划生产A 、B 两种不同产品，产品总数不超过300件， 生产产品的总费用不超过9万元．A 、B 两个产品的生产成本分别为每件500元和每件200元,假定该工厂生产的A 、B 两种产品都能销售出去，A 、B 两种产品每件能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该工厂如何分配A 、B 两种产品的生产数量，才能使工厂的收益最大？最大收益是多少万元？20. (本小题满分12分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==.(1)求二面角11D AC B --的正弦值；(2)已知N 为棱1DD 的中点，E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长．21. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，13 cos 3AB B ==，，点D 在线段BC 上. （1）若34ADC π∠=,求AD 的长； （2）若3 BD DC ACD =∆，的面积为22, 求sin sin BADCAD∠∠的值.22．（本小题满分12分）设点1(,0)F c -2(,0)F c 、分别是椭圆S ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，直线l ：310x +=过椭圆S 的一个焦点，椭圆S 的右顶点到直线l 的距离为32．（1）求,a b 的值；（2）过坐标原点作直线l '交椭圆于P A 、两点，其中P 在第一象限．过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，试探究以AB 为直径的圆是否经过点P ，并说明理由．。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。
西安市高二上学期期末数学试卷(理科)D卷
(I)证明：DE 底面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马 的体积为 ， 四面体 的体积为 ， 求 的值．
20. （10分） (2016·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
14. （1分） (2015高二上·承德期末) 已知倾斜角为 的直线l过点（0，1），则直线l被圆x2+y2+4y﹣5=0截得的弦长为________．
15. （1分） 已知在锐角 中， ， ，则 的取值范围是________.
16. （1分） (2017·临川模拟) 设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足 ，则 a+b取值范围为________．
18. （10分） (2015高三上·石家庄期中) 已知条件p：A={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}，条件q：B={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}．
（1） 若A∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值；
（2） 若q是￢p的充分条件，求实数m的取值范围．
19. （5分） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
A .
B .
C .
D .
6. （2分） 如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则（ ）
A . E≠0，D=F=0
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2016学年度第一学期高二年级期末教学质量检测理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。
2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =- C ．16x =，32y =- D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为 A ．3 BCD ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为 A．5-B．5CD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A． BC ．3D ．5 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分11．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a =12．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
陕西省交大附中2016—2017学年度高二第二学期数学期中试题无答案
陕西省交大附中2016—2017学年度高二第二学期数学期中试题无答案交大附中2016～2017学年第二学期高二数学（理科）期中考试试题命题人：周新平审题人：王雪峰考生注意：本试题共22题，满分100分，考试时间100分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡上。
）1．复数()211i Z i +=-在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 2．设集合{}2log 2A x x =＜，104x B x x ?-?=??-??＞，则A B =（） A ．()04， B ．()4+∞， C ．()01， D ．()1-∞，3．已知a 、b 是实数，命题p ：“5a b +＞”，命题q ：“23a b ＞＞”，则p ?是q ?的（） A ．完全不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α的终边经过点()23P -，，则sin 2cos cos sin αααα+=-（） A ．15B ．15-C ．45D ．45- 5．化简111112123122017++++++++++……的结果是（） A ．40322017 B ．20172018 C ．40352018 D ．201710096．设实数x 、y 满足20240230x y x y y --??+-??-?≤≥≤则13y z x +=-的范围为（） A ．554??-， B ．[]55-， C ．[)554??-∞-+∞ ，， D ．(][)55-∞-+∞，，7．从0.2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24 8．各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则2015201620172016a a a a ++的值为（） ABCD9．某三菱锥的所有顶点在半径为R 的一个球面上，其三视图都是直角边边长为1的等腰直角三角形（如图所示），则该球的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．3πD ．2π10．函数()3201x y a a a +=-＞，≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线1x y m n+=-上，且0m n ，＞，则3m n +的最小值为（）A ．13B ．16C ．11+D ．2811．()2f x x ax =+，()()()00f x x g x f x x '??=，＜，≥，方程()()0g f x =有四个不等的实数根，则a 的取值范围为（）A ．0a ＜或2a ＞B ．02a ＜＜C ．12a ＜＜D ．0a ＞12．已知1x =-是函数()()()2x f x ax bx c e a b c =++∈R ，，的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，其中有一个结论是一定不成立的，则这个结论是（）A ．0a =B ．0b =C ．0c ≠D ．a c =二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
陕西省西安一中2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜04．在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线y2=2px的通径为4，则P=（）A．1 B．4 C．2 D．85．已知数列、、、、、…根据前三项给出的规律，则实数对（2a，2b）可能是（）A．（，﹣）B．（19，﹣3）C．（，）D．（19，3）6．已知21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，以此类推，第5个等式为（）A．24×1×3×5×7=5×6×7×8 B．25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9C．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 D．25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 7．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角8．已知曲线y=2x2上一点A（2，8），则A处的切线斜率为（）A．4 B．16 C．8 D．29．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）A．y=x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=2x﹣1 D．y=2x+110．设函数f（x）=ax+3，若f′（1）=3，则a等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣311．已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，′（x），则f2015（x）等于（）f n（x）=f n﹣1A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx12．函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程的倾斜角为（）A．0 B．C．1 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量=（0，2，1），=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角的大小为．14．比较大小：+．15．函数f（x）=x•e x的导函数f′（x）=．16．若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（）=．三、解答题（每小题12分，共48分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．求a，b的值．18．已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、D1C的中点，AD=AA1，AB=2AD（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．19．数列{a n}的前n项和记为S n，已知a n=．（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想S n的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．20．在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．（1）在圆x2+y2=r2（r＞0）中，AB为圆的任意一条直径，C为圆上异于A、B的任意一点，当直线AC与BC的斜率k AC、k BC存在时，求k AC•k BC的值；（2）在椭圆中，AB为过椭圆中心的任意一条弦，C为椭圆上异于A、B的任意一点，当直线AC与BC的斜率k AC、k BC存在时，求k AC•k BC的值；（3）直接写出椭圆中类似的结论（不用证明）．2016-2017学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；四种命题的真假关系；不等关系与不等式．【分析】先看原命题，∵若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可．【解答】解：原命题：，∵若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2，不正确，∵a＞b，∴关键是c是否为0，∴逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，∴命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题．故选B2．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“a＞b＞0”能推出“a2＞b2”，是充分条件，由“a2＞b2”推不出“a＞b＞0”，不是必要条件，故选：A．3．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．4．在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线y2=2px的通径为4，则P=（）A．1 B．4 C．2 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用么抛物线y2=2px的通径为4，即可得出结论．【解答】解：由题意，2p=4，∴p=2．故选：C．5．已知数列、、、、、…根据前三项给出的规律，则实数对（2a，2b）可能是（）A．（，﹣）B．（19，﹣3）C．（，）D．（19，3）【考点】归纳推理．【分析】由已知中数列，可得数列各项的分母是2n，分子是，进而得到答案．【解答】解：由已知中数列、、、、、…根据前三项给出的规律，可得：a﹣b=8，a+b=11，解得：2a=19，2b=3，故实数对（2a，2b）可能是（19，3），故选：D6．已知21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，以此类推，第5个等式为（）A．24×1×3×5×7=5×6×7×8 B．25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9C．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 D．25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10【考点】类比推理．【分析】根据已知可以得出规律，即可得出结论．【解答】解：∵21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，∴第5个等式为25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10故选：D7．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【考点】反证法与放缩法．【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选C．8．已知曲线y=2x2上一点A（2，8），则A处的切线斜率为（）A．4 B．16 C．8 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求曲线在点处的切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．【解答】解：∵y=2x2，∴y′=4x，当x=2时，y′=8，故选：C．9．曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）A．y=x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=2x﹣1 D．y=2x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．【解答】解：由于y=e2x，可得y′=2e2x，令x=0，可得y′=2，∴曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=2x，即y=2x+1．故选：D．10．设函数f（x）=ax+3，若f′（1）=3，则a等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】对f（x）求导数，令f′（1）=3，即可求出a的值．【解答】解：∵f（x）=ax+3，∴f′（x）=a；又∵f′（1）=3，∴a=3．故选：C．11．已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，′（x），则f2015（x）等于（）f n（x）=f n﹣1A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx【考点】导数的运算．【分析】对函数连续求导研究其变化规律，可以看到函数解析式呈周期性出现，以此规律判断求出f2015（x）【解答】解：由题意f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx故选：D12．函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程的倾斜角为（）A．0 B．C．1 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．【分析】求导函数，可得f′（0）=1，从而可求切线方程的倾斜角．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=e x（cosx﹣sinx）∴f′（0）=1∴函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程的倾斜角为故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量=（0，2，1），=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角的大小为．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用空间向量的数量积，即可求出两向量的夹角大小．【解答】解：∵向量=（0，2，1），=（﹣1，1，﹣2），∴•=0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）=0，∴⊥，∴与的夹角为．故答案为：．14．比较大小：＞+．【考点】不等式比较大小．【分析】先平方这两个正数，然后比较大小，根据a2＞b2（a＞0，b＞0）可得a＞b，即可得到结论．【解答】解：∵（）2=13+2，（ +）2=13+2而∴（）2＞（+）2即＞+故答案为：＞15．函数f（x）=x•e x的导函数f′（x）=（1+x）e x．【考点】导数的运算．【分析】根据函数的导数运算公式即可得到结论．【解答】解：函数的导数f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，故答案为：（1+x）e x16．若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（）=4．【考点】导数的运算．【分析】根据求导法则，先求导，再代入值计算．【解答】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx，∴f′（）=3cos+4sin=4．故答案为：4．三、解答题（每小题12分，共48分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．求a，b的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导数，由切线方程得到切点和切线的斜率，即f（1）=1且f′（1）=﹣，加快得到a，b．【解答】解：f′（x）=﹣．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1），故f（1）=1且f′（1）=﹣，则b=1且﹣b=﹣，解得a=1，b=1．18．已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、D1C的中点，AD=AA1，AB=2AD（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图，建立空间直角坐标系，设AD=1，则AB=2．由DC⊥平面ADD1A1，可得是平面ADD1A1的一个法向量．证明=0，即可证明．（2）设平面DMN的一个法向量为=（x，y，z）．利用，可得．利用sinθ=即可得出．【解答】解：（1）如图，建立空间直角坐标系，设AD=1，则AB=2．∵DC⊥平面ADD1A1，∴=（0，2，0），就是平面ADD1A1的一个法向量．，∴，∴=0，∴，∴．（2）设平面DMN的一个法向量为．∴，∴．取=．∴sinθ==．所以直线DA 与平面ADD 1A 1，所成角的正弦位值是．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n =．（Ⅰ）求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）根据题设条件，可求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式． （2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a n =，∴S 1=，S 2=，S 3=，猜想S n =；（Ⅱ）①n=1时，S 1=成立；②假设n=k 时，成立，即S k =，则当n=k +1时，S k +1=S k +a k +1=+=，即当n=k +1时，结论也成立综上①②知，S n=．20．在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．（1）在圆x2+y2=r2（r＞0）中，AB为圆的任意一条直径，C为圆上异于A、B的任意一点，当直线AC与BC的斜率k AC、k BC存在时，求k AC•k BC的值；（2）在椭圆中，AB为过椭圆中心的任意一条弦，C为椭圆上异于A、B的任意一点，当直线AC与BC的斜率k AC、k BC存在时，求k AC•k BC的值；（3）直接写出椭圆中类似的结论（不用证明）．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）直线AC⊥BC，k AC•k BC的=﹣1（2）设A（x1，y1），P（x0，y0），则B（﹣x1，﹣y1），k AC•k BC=，又由，，两式相减得，即可．【解答】解：（1）圆x2+y2=r2（r＞0）中，AB为圆的任意一条直径，C为圆上异于A、B的任意一点，当直线AC与BC，有直线AC⊥BC，k AC•k BC=﹣1…..；（2）设A（x1，y1），P（x0，y0），则B（﹣x1，﹣y1），k AC•k BC=，又由，，两式相减得，所以k AC•k BC=…（3）k AC•k BC=﹣．…．2017年2月16日。
陕西省西安市交通大学附中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年陕西省西安市交通大学附中高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（每小题3分，共12个小题）．1．已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜22．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=3x D．3．已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．4．已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2） C． D．（0，2]5．P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中为真命题的是（）A．q1和q3B．q2和q3C．q1和q4 D．q2和q47．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．8．已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A．﹣4 B．1 C．10 D．119．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．6 D．410．在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2 C．D．312．在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，=λ（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，=f（λ），则（）A．f（λ）=B．f（λ）=C．f（λ）=D．f（λ）=二．填空题（每小题4分，共4个小题）．13．已知双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则椭圆的离心率e=．14．已知双曲线的两个焦点F1（﹣，0），F2（，0），P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是．15．已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是．16．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=．三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）17．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（﹣3，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积．18．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．19．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点．（1）若直线l的斜率为，求证：；（2）设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．20．在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．21．已知直线l与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）22．曲线（θ为参数）上一点P到点A（﹣2，0）、B（2，0）距离之和为．23．在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为．解答题（共1小题，满分10分）24．己知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．2016-2017学年陕西省西安市交通大学附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共12个小题）．1．已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为：∃x∈R，x≤2．故选：B．2．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=3x D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程可求得其渐近线方程，从而可得答案．【解答】解：∵双曲线=1的渐近线方程为：y=±x，∴双曲线为的渐近线方程为：y=±x=±x，故选A．3．已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过焦点F的横坐标，代入椭圆方程，求出A的纵坐标，利用|AF|=焦距，结合椭圆中a，b，c的关系，求出椭圆的离心率．【解答】解：设F为椭圆的右焦点，且AF⊥x轴，所以F（c，0），则，解得y=±，因为，|AF|=焦距，所以，即b2=2ac，a2﹣c2=2ac，∴e2+2e﹣1=0，解得e=或e=﹣（舍去）故选C．4．已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2） C． D．（0，2]【考点】二次函数的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解两个不等式可得命题p：x∈（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），q：x∈（﹣∞，1﹣λ）∪（1+λ，+∞），若p是q的充分不必要条件，则，解得答案．【解答】解：解x2﹣4x﹣5＞0得：x∈（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），解：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，得：x∈（﹣∞，1﹣λ）∪（1+λ，+∞），若p是q的充分不必要条件，则，解得：λ∈（0，2]，故选：D．5．P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设||=m，||=n，由△F1PF2的面积是9算出mn=18，结合勾股定理得到m2+n2=（m﹣n）2+36=4c2，再用双曲线定义可得b2=9，从而得到b=3，进而得到a=7﹣3=4，利用平方关系算出c=5，最后可得该双曲线离心率的值．【解答】解：设||=m，||=n，由题意得∵=0，且△F1PF2的面积是9，∴mn=9，得mn=18∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2∴（m﹣n）2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣36，结合双曲线定义，得（m﹣n）2=4a2，∴4c2﹣36=4a2，化简整理得c2﹣a2=9，即b2=9可得b=3，结合a+b=7得a=4，所以c==5∴该双曲线的离心率为e==故选：B6．已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中为真命题的是（）A．q1和q3B．q2和q3C．q1和q4 D．q2和q4【考点】复合命题的真假．【分析】利用导数知识分别对函数y=2x﹣2﹣x，y=2x+2﹣x，的单调性，从而可判断p1，p2的真假，然后根据复合命题的真假关系即可判断【解答】解：∵y=2x﹣2﹣x，∴y′=ln2（2x+2﹣x）＞0恒成立，∴y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，即题p1为真命题∵y=2x+2﹣x，∴y′=ln2（2x﹣2﹣x），由y’＞0可得x＞0，即y=2x+2﹣x在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减∴p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数为假命题根据复合命题的真假关系可知，q1：p1∨p2为真命题q2：p1∧p2为假命题q3：（￢p1）∨p2为假命题q4：p1∨（￢p2）为真命题故选C7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．8．已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A．﹣4 B．1 C．10 D．11【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用平面向量的共面定理即可得出．【解答】解：∵点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，∴存在实数λ，μ使得等式成立，∴（x﹣4，﹣2，0）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（﹣1，6，﹣8），∴，消去λ，μ解得x=11．故选D．9．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．6 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意画出图形，由已知结合抛物线的定义求得|AB|．【解答】解：如图，由抛物线y2=4x，得2p=4，p=2，∴|AB|=|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|=x1+x2+p，∵x1+x2=6，∴|AB|=8．故选：A．10．在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【分析】在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，结合=2x+3y+3z，=﹣，求出x，y，z，即可得出结论．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，∵=2x+3y+3z，=﹣，∴2x=1，3y=1，3z=﹣1，∴x=，y=，z=，∴x+y+z=，故选：D11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，）∴解得：，则渐近线方程为y=x，即有点F到双曲线的渐进线的距离为d==，故选：A．12．在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，=λ（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，=f（λ），则（）A．f（λ）=B．f（λ）=C．f（λ）=D．f（λ）=【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】在平面ABE延长BE与直线PD交于F，过F作FG垂直于PO交于G，根据相识三角形成比例关系可求解．【解答】解：由题意：P﹣ABCD是正四棱锥，O为正方形ABCD的中心，则OP⊥平面ABCD，=λ（2≤λ≤4），即E是PO上的点，在平面ABE延长BE与直线PD交于F，过F作FG垂直于PO交于G，可得：．故选A．二．填空题（每小题4分，共4个小题）．13．已知双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则椭圆的离心率e=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，得到=，由此能求出在椭圆的离心率．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，∴=，即b=，∴在椭圆中，c==，∴e==．故答案为：．14．已知双曲线的两个焦点F1（﹣，0），F2（，0），P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是﹣y2=1．【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出双曲线的方程．【解答】解：由于三角形PF1F2为直角三角形，故PF+PF=4c2=40所以（PF1﹣PF2）2+2PF1•PF2=40，由双曲线定义得（2a）2+4=40，即a2=9，故b2=1，所以双曲线方程为﹣y2=1．故答案为：﹣y2=1．15．已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是1．【考点】直线的方向向量．【分析】由直线l与直线m垂直，得直线l，m的方向向量数量积为0，由此能求出结果．【解答】解：∵直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），l ⊥m，∴=﹣1+t=0，解得t=1．故答案为：1．16．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=4．【考点】平面的法向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵α∥β，∴∥，∴存在实数λ使得．∴，解得k=4．故答案为：4．三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）17．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（﹣3，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆标准方程为，由题意可得；（2）设P（0，4）为短轴的一个端点，s F1PF2==12．【解答】解：（1）设椭圆标准方程为，由题意可得所以a=5，b=4因此椭圆标准方程为（2）设P（0，4）为短轴的一个端点，s F1PF2==12．所以18．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（Ⅰ）命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，求出（1﹣2m）（m+2）＜0时的解集即可；（Ⅱ）命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，△≥0，求出解集即可；（Ⅲ）“p∨q”为假命题时，p、q都是假命题，求出m的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，∴（1﹣2m）（m+2）＜0，解得m＜﹣2，或m＞，∴实数m的取值范围是{m|m＜﹣2，或m＞}；…（Ⅱ）当命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，∴△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或≥1；∴实数m的取值范围是{|m≤﹣2，或≥1}；…（Ⅲ）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，∴，解得﹣2＜m≤；∴m的取值范围为（﹣2，]．…19．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点．（1）若直线l的斜率为，求证：；（2）设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】（1）由点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，写出向量的坐标，展开数量积后代入根与系数关系得答案；（2）设直线l的方程为，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，写出根与系数关系，由两点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案．【解答】（1）证明：由题意可得，联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），．则．∴；（2）设直线，与抛物线联立得y2﹣2pky+p2=0．∴．则．20．在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，由已知得AO⊥BE，DO⊥BE，从而AO⊥平面BCDE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DE所成角为60°．（2）求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【解答】解：（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，∵AB=AE，BO=OE，∴AO⊥BE，同理DO⊥BE，又∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，∴AO⊥平面BCDE，由题意，BE2=2AB2=2DB2，∴AB=BD=DE=AE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），E （﹣1，1，0），A （﹣，），则=（），=（﹣1，0，0），∵cos ＜，＞===﹣，∴与的夹角为120°，异面直线AB 与DE 所成角为60°．（2）设平面ACE 的法向量=（x ，y ，z ）， =（），=（﹣1，1，0），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面ABE 的法向量为=（a ，b ，c ）， =（），，则，取a=1，得=（1，2，），设二面角B ﹣AE ﹣C 的平面角为θ，cosθ=|cos ＜＞|==．∴二面角B ﹣AE ﹣C 的余弦值为．21．已知直线l与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，确定椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）先利用向量知识，可得4x1x2+y1y2=0，再分类讨论，求出面积，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，∴，∴b2=a2﹣c2=1∴椭圆的方程为；（Ⅱ）△AOB的面积为定值1．∵，∴a2x1x2+b2y1y2=0，∴4x1x2+y1y2=0①若直线l斜率不存在，设直线l的方程为x=p，则x1=x2=p，y1=﹣y2，∵4x1x2+y1y2=0，∴∵，∴==1；∴S△AOB②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx+r，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2krx+r2﹣4=0∴x1+x2=﹣，x1x2=∵4x1x2+y1y2=0∴（4+k2）x1x2+kr（x1+x2）+r2=0∴r2﹣4﹣+r2=0∴2r2=4+k2，∴r2≥2∴△=16（k2﹣r2+4）＞0=d•|AB|=×设原点O到直线l的距离为d，则S△AOB=综上可知，△AOB的面积为定值1．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）22．曲线（θ为参数）上一点P到点A（﹣2，0）、B（2，0）距离之和为8．【考点】椭圆的参数方程；椭圆的定义．【分析】利用消去参数θ可知，曲线是一人椭圆，A、B恰为焦点，再利用椭圆的定义求解即可．【解答】解：曲线表示的椭圆标准方程为，可知点A（﹣2，0）、B（2，0）椭圆的焦点，故|PA|+|PB|=2a=8．故答案为：8．23．在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为．【考点】点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．【分析】根据所给的直线的极坐标方程，转化成直线的一般式方程，根据点到直线的距离，写出距离的表示式，得到结果．【解答】解：直线ρ（cosθ+sinθ）=2直线ρcosθ+ρsinθ=2∴直线的一般是方程式是：x+y﹣2=0∴点（1，0）到直线的距离是故答案为：解答题（共1小题，满分10分）24．己知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用sin2φ+cos2φ=1即可把圆C1的参数方程，化为直角坐标方程．（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．利用点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到此直线的距离d，即可得出弦长|AB|=2．【解答】解：（I）由圆C1的参数方程，消去参数φ可得：x2+y2=1．由圆C2的极坐标方程ρ=2cos（θ﹣），化为•ρ，∴x2+y2=2x+2y．即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．圆心（0，0）到此直线的距离d==．∴弦长|AB |=2=．2017年3月8日。
陕西省西安市交通大学附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年陕西省西安市交通大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．展开式中的常数项是（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．842．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 3．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X ＞4）=（）A．0.1585 B．0.1588 C．0.1587 D．0.15864．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1205．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A ．7B ．6C ．5D ．46．书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取出一本书，取后不放回，若第一次从书架取出一本数学书记为事件A ，第二次从书架取出一本数学书记为事件B ，那么第一次取得数学书的条件下第二次也取得数学书的概率p （B |A ）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：算得：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”8．非空集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B=，则A⊆A∩B的一个充分不必要条件是（）A．1≤a≤9 B．6＜a＜9 C．6≤a≤9 D．a≤99．样本（x1，x2…，x n）的平均数为x，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定10．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n（n∈N*），其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，由归纳推理可得：（x））=．当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣112．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为．13．已知空间三个力，，的大小都等于2，且两两夹角都为60°，则这三个力的合力的大小为．14．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为．15．某市派六名干部到该市A，B，C三所乡镇考察，每乡镇去两人，但干部甲不能去A地，干部乙不能去B地，其他四人不受限制，共有多少种不同的分配方案．（用数字作答）三、解答题（本大题共4小题，共70分）16．命题P：函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[0，1]上有且只有一个零点；命题Q：y=a x（a＞0，a≠1）是R上的增函数，（1）若f（1）=0，求a的值；（2）若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．17．在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD 折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i =，（1）若根据散点图用y=c +d 表示年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程，试根据表中数据，求c ，d 的值；（2）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y ﹣x ，根据（1）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=α=．19．随机将1，2，…，2n （n ∈N *，n ≥2）这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数，A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2，记ξ=a 2﹣a 1，η=b 2﹣b 1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，事件C 发生的概率为p （C ）． ①当n=2时，求p （C ）；②当n ∈N *，n ＞2时，求p （C ）．附加题（共1小题，满分20分）20．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．2015-2016学年陕西省西安市交通大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．展开式中的常数项是（）A．﹣36 B．36 C．﹣84 D．84【考点】二项式定理．【分析】据二项式定理的通项公式求展开式中的常数项【解答】解：设常数项为第r+1项，则令，则r=3，故常数项是第四项且T4=﹣84；故选项为C2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．3．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X ＞4）=（）A．0.1585 B．0.1588 C．0.1587 D．0.1586【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X＞4）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，1），∴正态曲线的对称轴是x=3，∵P（2≤X≤4）=0.6826，∴P（X＞4）=0.5﹣P（2≤X≤4）=0.5﹣0.3413=0.1587．故选：C．4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8=480（人）．故选：B．5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=2059时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=1，k=1满足条件S＜100，S=1+2=3，k=2满足条件S＜100，S=3+8=11，k=3满足条件S＜100，S=11+2048=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：D．6．书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取出一本书，取后不放回，若第一次从书架取出一本数学书记为事件A，第二次从书架取出一本数学书记为事件B，那么第一次取得数学书的条件下第二次也取得数学书的概率p（B|A）的值是（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】分别求出P（A）及P（AB），利用条件概率公式求得P（B|A）．【解答】解：事件发生的概率P（A）=，事件B 发生的概率为P （B ）=， 事件AB 同时发生的概率P （AB ）=，∴P （B |A ）==，故答案为：C ．7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【考点】独立性检验的应用．【分析】由k 2的值结合附表可得选项． 【解答】解：∵k 2≈7.8＞6.635，∴在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”． 故选：B ．8．非空集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B=，则A⊆A∩B的一个充分不必要条件是（）A．1≤a≤9 B．6＜a＜9 C．6≤a≤9 D．a≤9【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】因为对于任何集合A，都有（A∩B）⊂A，而题中A⊆（A∩B），说明A=A∩B，可得A是B的子集．再求出集合B对应函数的定义域，将集合B化简，根据包含关系建立关于a的不等式组，解之即得a的取值范围．【解答】解：∵函数y=的定义域是{x|（3﹣x）（x﹣22）≥0}∴集合B={x|y=}={x|（3﹣x）（x﹣22）≥0}={x|3≤x≤22}，若A⊆（A∩B），则A=A∩B所以2a+1≥3且3a﹣5≤22，解之得1≤a≤9又∵集合A是非空集合∴2a+1≤3a﹣5，解之得a≥6综上所述，得A⊆（A∩B）的一个充分不必要条件是：6＜a＜9，故选：B9．样本（x1，x2…，x n）的平均数为x，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定【考点】众数、中位数、平均数．【分析】通过特殊值判断α的范围，是否满足题意即可得到选项．【解答】解：法一：不妨令n=4，m=6，设样本（x1，x2…，x n）的平均数为=6，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为=4，所以样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数=α+（1﹣α）=6α+（1﹣α）4=，解得α=0.4，满足题意．解法二：依题意nx+my=（m+n）[ax+（1﹣a）y]，∴n（x﹣y）=a（m+n）（x﹣y），x≠y，，∴a=∈（0，），m，n∈N+∴2n＜m+n，∴n＜m．故选：A．10．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n（n∈N*），其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】流密码．【分析】根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，由归纳推理可得：（x））=．当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1【考点】归纳推理．【分析】观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n∴f n（x）=f（f n（x））=﹣1故答案为：12．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为12．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故答案为：12．13．已知空间三个力，，的大小都等于2，且两两夹角都为60°，则这三个力的合力的大小为．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】由条件知，且，这样进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出三个力合力的大小．【解答】解：根据条件，==4+4+4+4+4+4=24，∴；即三个力合力的大小为．故答案为：．14．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为．【考点】等可能事件的概率．【分析】本题考查的知识点是几何概型，由于函数cos是一个偶函数，故可研究出cosπx的值介于0到0.5之间对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：由于函数cos是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率在区间[0，1]上随机取一个数x，即x∈[0，1]时，要使cosπx的值介于0到0.5之间，需使≤πx≤∴≤x≤1，区间长度为，由几何概型知cosπx的值介于0到0.5之间的概率为．故答案为：．15．某市派六名干部到该市A，B，C三所乡镇考察，每乡镇去两人，但干部甲不能去A地，干部乙不能去B地，其他四人不受限制，共有多少种不同的分配方案78．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】根据甲乙，分为两大类，第一类：甲乙不去同一个乡镇，第二类：甲乙去同一个乡镇，问题得以解决．【解答】解：第一类：甲乙不去同一个乡镇，分两步；第一步：从除甲乙的4人选3人，每个乡镇一人，共有A43=24种，第二步，若甲去B地，则有A22=2种，若甲去C地，则乙只能到地，另一人到B 地，故有2+1=3种，根据分步计数原理，共有24×3=72种，第二类：甲乙去同一个乡镇，且只能去C地，剩下的4人平均分到A，B两地，共有C42=6种，根据分类计数原理，共有72+6=78种，故选：78．三、解答题（本大题共4小题，共70分）16．命题P：函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[0，1]上有且只有一个零点；命题Q：y=a x（a＞0，a≠1）是R上的增函数，（1）若f（1）=0，求a的值；（2）若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）由f（1）=0，可得1﹣2a+2=0，解得a即可．（2）命题P：由f（0）=2＞0，函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点．a≤0时，f（x）=x2+2＞0，因此此时函数f（x）在区间[0，1]上无零点；因此，解出即可得出．命题Q：y=a x（a＞0，a≠1）是R上的增函数，可得a＞1．由于“P或Q”为真，“P且Q”为假，P与Q必然一真一假．【解答】解：（1）∵f （1）=0，∴1﹣2a +2=0，解得a=．（2）命题P ：∵f （0）=2＞0，函数f （x ）=x 2﹣2ax +2（x ﹣a ）2+2﹣a 2在区间[0，1]上有且只有一个零点，a=0时，f （x ）=x 2+2＞0，因此此时函数f （x ）在区间[0，1]上无零点； a ＜0时，可知：函数f （x ）在区间[0，1]上无零点．∴，解得a．命题Q ：y=a x （a ＞0，a ≠1）是R 上的增函数，∴a ＞1． ∵“P 或Q”为真，“P 且Q”为假， ∴P 与Q 必然一真一假，∴或，解得．∴a 的取值范围是．17．在平面四边形ABCD 中，AB=BD=CD=1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图． （1）求证：AB ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos |=即可得出．【解答】（1）证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD=BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ． （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB=BD=CD=1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴B （0，0，0），C （1，1，0），A （0，0，1），D （0，1，0），M ．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM 的法向量=（x ，y ，z ），则，令y=﹣1，则x=1，z=1． ∴=（1，﹣1，1）．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ．则sinθ=|cos|===．18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i =，（1）若根据散点图用y=c +d 表示年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程，试根据表中数据，求c ，d 的值；（2）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y ﹣x ，根据（1）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=α=．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据散点图，即可判断出结论，建立线性回归方程，求出d 、c 的值；（2）（i ）由（1）计算年销售量y 的预报值与利润值；（ii ）根据（Ⅱ）的结果求出年利润z 的函数，求出年利润的最大值． 【解答】解：（1）由散点图可以判断，y=c +d 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；令w=，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d==68，c=y ﹣dw=563﹣68×6.8=100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.6+68w ，因此y 关于x 的回归方程为y=100.6+68，（2）（i ）由（1）知，当x=49时，年销售量y 的预报值y=100.6+68=576.6，年利润z 的预报值z=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii ）根据（1）的结果可知，年利润z 的预报值z=0.2﹣x=﹣x +13.6+20.12，当==6.8时，年利润的预报值最大，为66.36千元．19．随机将1，2，…，2n （n ∈N *，n ≥2）这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数，A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2，记ξ=a 2﹣a 1，η=b 2﹣b 1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，事件C 发生的概率为p （C ）． ①当n=2时，求p （C ）；②当n ∈N *，n ＞2时，求p （C ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C 发生的概率P （C ）的表达式；【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5其中P （ξ=2）==，P （ξ=3）==，P （ξ=4）==，P（ξ=5）==，故随机变量ξ的分布列为：ξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=．（2）①当n=2时，P（C）=2×=．②当n＞2时，P（C）=2×．附加题（共1小题，满分20分）20．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．【考点】概率的应用；古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．【分析】（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k ＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．【解答】解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P （）=P （）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II ）当k=n 时，m 只能取n ，此时有P （X=m ）=P （X=n ）=1当k ＜n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k 位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m 时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k ﹣m ，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m ﹣k ，由乘法原理知：事件{X=m }所包含的基本事件数为P （X=m ）==当k ≤m ＜t 时，P （X=M ）＜P （X=M +1）⇔（m ﹣k +1）2≤（n ﹣m ）（2k ﹣m ）⇔m ≤2k ﹣假如k ≤2k ﹣＜t 成立，则当（k +1）2能被n +2整除时，k ≤2k ﹣＜2k +1﹣＜t ，故P （X=M ）在m=2k ﹣和m=2k +1﹣处达到最大值；当（k +1）2不能被n +2整除时，P （X=M ）在m=2k ﹣[]处达到最大值（注：[x ]表示不超过x 的最大整数），下面证明k ≤2k ﹣＜t因为1≤k ＜n ，所以2k ﹣﹣k=≥=≥0而2k ﹣﹣n=＜0，故2k ﹣＜n ，显然2k ﹣＜2k因此k ≤2k ﹣＜t综上得，符合条件的m=2k﹣[]2017年2月23日。
陕西省西安一中高二数学上学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=2．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．73．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞04．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=15．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（0，）C．（1，0）D．（，0）6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，“A=60°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，求点P的横坐标为（）A．1 B．C．2 D．9．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=， =， =，则用向量，，可表示向量为（）A． ++B．﹣ ++C．﹣+D．﹣ +﹣10．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．平面OCB1的法向量=（x，y，z）为（）A．（0，1，1）B．（1，﹣1，1） C．（0，1，﹣1） D．（﹣1，﹣1，1）12．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m 等于（）A．B．2 C．D．3二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．14．双曲线的离心率为，则m等于．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，则直线AB1和BC1所成的角是．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为．17．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．三、解答题（共4小题，满分44分）18．椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）（1）求椭圆标准方程．（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．19．已知p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q：椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．21．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．2015-2016学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】简易逻辑．【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．【点评】考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．2．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．3．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．5．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（0，）C．（1，0）D．（，0）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选B．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础知识的综合运用．7．在△ABC中，“A=60°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】三角函数的求值．【分析】判断出若“cosA=”成立，则有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立则“cosA=”成立，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：在△ABC中，若“cosA=”成立，则有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立则有“cosA=”成立，所以，“A=60°”是“”的充要条件．故选C．【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先确定出条件，然后两边互推，利用充要条件的有关定义进行判断．8．设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，求点P的横坐标为（）A．1 B．C．2 D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c，根据PF1⊥PF2，推断出点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根据点P 所在的象限确定其横坐标．【解答】解：由题意半焦距c==，又∵PF1⊥P F2，∴点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，由，解得x=±，y=±∴P坐标为（，）．故选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆与圆的位置关系．考查了考生对椭圆基础知识的综合运用．属基础题．9．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=， =， =，则用向量，，可表示向量为（）A． ++B．﹣ ++C．﹣+D．﹣ +﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用；空间向量及应用．【分析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出．【解答】解： ===﹣．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的平行六面体法则，属于基础题．10．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．11．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．平面OCB1的法向量=（x，y，z）为（）A．（0，1，1）B．（1，﹣1，1） C．（0，1，﹣1） D．（﹣1，﹣1，1）【考点】平面的法向量．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间向量及应用．【分析】易知=（1，0，0），=（1，1，0），从而可得=+=（1，1，1），结合•=x=0，•=x+y+z=0，从而解得．【解答】解：∵ABCD是正方形，且AB=，∴AO=OC=1，∴=（1，0，0），∵A（﹣1，0，0），B（0，1，0），∴=（1，1，0），∴=（1，1，0），∵OA=1，AA1=，∴OA1==1，故=（0，0，1），故=+=（1，1，1），∵向量=（x，y，z）是平面OCB1的法向量，∴•=x=0，•=x+y+z=0，故x=0，y=﹣z，结合选项可知，当y=1时，z=﹣1，故选：C．【点评】本题考查了空间向量的应用及平面的法向量的求法．12．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m 等于（）A．B．2 C．D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y=x+m求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．【解答】解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k=，而y2﹣y1=2（x22﹣x12）①，得x2+x1=﹣②，且（，）在直线y=x+m上，即=+m，即y2+y1=x2+x1+2m ③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]=x2+x1+2m ④，把①②代入④整理得2m=3，解得m=故选 A．【点评】本题是对直线与抛物线位置关系以及点与直线位置的综合考查．当两点关于已知直线对称时，有两条结论，一是两点的中点在已知直线上；二是两点的连线与已知直线垂直．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．14．双曲线的离心率为，则m等于9 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，则直线AB1和BC1所成的角是60°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】由题意补成正方体，由正三角形的性质可得．【解答】解：不妨设AB=BC=AA1=a，由题意可补成棱长为a的正方体，（如图）∵AD1∥BC1，∴∠B1AD1就是直线AB1和BC1所成的角，在正三角形AB1D1中易得∠B1AD1=60故答案为：60°【点评】本题考查异面直线所成的角，补形法是解决问题的关键，属基础题．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】压轴题．【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．观察点的位置可知：点B1到平面ABC1的距离就等于点C到平面ABC1的距离，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D，则平面ABC1⊥平面C1CM，所以CD⊥平面C1AB，故CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，在Rt△C1CM中，利用等面积法即可求出CD的长度．【解答】解：如图所示，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D∵C1A=C1B，M为AB中点，∴C1M⊥AB∵CA=CB，M为AB中点，∴CM⊥AB又∵C1M∩CM=M，∴AB⊥平面C1CM又∵AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面C1CM，平面ABC1∩平面C1CM=C1M，CD⊥C1M，∴CD⊥平面C1AB，∴CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离在Rt△C1CM中，C1C=1，CM=，C1M=∴CD=，即点B1到平面ABC1的距离为故答案为：【点评】本小题主要考查棱柱，线面关系、点到平面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．17．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程和点P的坐标，把点P的坐标代入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，Rt△PF1F2 中，利用边角关系，建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），设点P（c，h），则=1，h2=b2﹣=，∴|h|=，由题意得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=45°，Rt△PF1F2 中，tan45°=1=====，∴a2﹣c2=2ac，，∴ =﹣1．故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用．考查计算能力．属于中档题目．三、解答题（共4小题，满分44分）18．椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）（1）求椭圆标准方程．（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），结合两点之间距离公式，求出2a，进而求出b，可得椭圆标准方程．（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），则2a=+=2，即a=，又∵c=2，∴b2=a2﹣c2=6，故椭圆的标准方程为： +=1，（2）由（1）得：椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e==．【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档．19．已知p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q：椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，取并集即可．【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，∴△=m2﹣6＜0，解得：﹣＜m＜；q：椭圆+=1的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，若“p或q”为真，“p且q”为假，则：p，q一真一假，p真q假时：，解得：﹣＜m＜2，p假q真时：，解得：≤m＜3，故m的范围是（﹣，2）∪[，3）．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查不等式恒成立问题，考查椭圆问题，是一道基础题．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．21．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．。
西安市高二上学期期末数学试卷(理科)D卷(模拟)
西安市高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中：①命题“，使得”,则是假命题.②“若，则互为相反数”的逆命题为假命题.③命题“”,则“”.④命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.其中正确命题是（）A . ②③B . ①②C . ①④D . ②④2. （2分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）已知椭圆+=1的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b=（）A . 8B . 6C . 5D . 44. （2分） (2016高一上·历城期中) 若y=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系为（）A . f（）＞f（）＞f（﹣1）B . f（）＜f（﹣）＜f（﹣1）C . f（﹣）＜f（）＜f（﹣1）D . f（﹣1）＜f（）＜f（﹣）5. （2分）(2019·广西模拟) 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·信宜期末) 设p：（3x2+ln3）′=6x+3；q：（3﹣x2）ex的单调增区间是（﹣3，1），则下列复合命题的真假是（）A . “p∨q”假B . “p∧q”真C . “￢q”真D . p∨q真7. （2分） (2017高二上·河南月考) 抛物线的焦点坐标为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·大连期末) 的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则CD的长为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·玉林期末) 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若|AF|=3，则的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） M是△ABC所在平面内一点，，D为AC中点，则的值为（）A .B .C . 1D . 211. （2分）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（）A . 2B . 2C . 4D . 412. （2分） (2019高二上·集宁月考) 在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m ＋，则实数m的值为（）A .B .C . 1D . 3二、填空题． (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二上·大连期中) 设F1 ， F2分别是椭圆 =1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为________14. （2分） (2018高二上·浙江月考) 若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点，若，则 ________，的面积 ________.15. （1分）经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量的直线l的点方向式为________16. （1分） (2016高二上·友谊期中) 给出下列命题：①直线l的方向向量为 =（1，﹣1，2），直线m的方向向量 =（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量 =（0，1，﹣1），平面α的法向量 =（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为 =（0，1，3）， =（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量 =（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是________．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题． (共5题；共55分)17. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知抛物线：的焦点与椭圆：（）右焦点重合，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于、两点，求的面积.18. （15分）(2013·上海理) 已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．19. （5分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点，满足直线PA与直线PB的倾斜角互补，证明直线AB的斜率为．20. （15分） (2016高二上·桐乡期中) 如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是BC，AC的中点．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2 ，PA= ．（1）求证：平面ABC⊥平面PED；（2）求AC与平面PBC所成的角；（3）求平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值．21. （10分）(2018·呼和浩特模拟) 已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.四、填空题 (共3题；共12分)22. （1分）设P（x，y）是椭圆上的一点，则2x﹣y的最大值是________23. （1分）曲线的极坐标方程为ρcosθ=2，它的直角坐标方程是________．24. （10分） (2019高二下·吉林月考) 己知圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）圆，是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题． (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、四、填空题 (共3题；共12分) 22-1、23-1、24-1、24-2、。
2016_2017学年陕西省西北大学附属中学高二数学上学期期末测试习题理
2016---2017学年度第一学期高二年级数学学科期末试卷注意：本试卷共 4 页， 三大题，满分120分，时间100分钟一．选择题（每小题3分，共12个小题）。
1. 已知命题 :p x ∀∈R ，2x >，那么命题p ⌝为( ) A ．002R x x ∃∈≤， B ．002R x x ∀∈<， C ．002R x x ∀∈≤， D ．002R x x ∃∈<，2. 双曲线2213y x -=的渐近线方程为( )A ．y =B ．x =C ．3y x =D ．x =3. 已知点A 是椭圆上一点，F 为椭圆的一个焦点，且x AF ⊥轴，距，则椭圆的离心率是( )A.1 4. 已知222:450,:210p x x q x x λ-->-+->，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是( )A ．(]0,1B ．()0,2C ．(]0,25．P F 1、F 2是其焦点，且021=⋅PF PF ，若△F 1PF 2的面积是 9，a+b=7，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 上为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 上为减函数，则在命题1:122:123:12,,()q p p q p p q p p ⌝∨∧∨和4:12()q p p ⌝∨中，真命题是 （ ）A.13,q qB.23,q qC.14,q qD.24,q q 7．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M （2，y 0）．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ） A ． B ． C ．4 D ．8.已知A （4，1，3），B （2，3，1），C （3，7，－5），点P （x ，－1，3）在平面ABC 内，则x 的值为（ ）A.－4B.1C.10D.119.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),如果x 1+x 2=6,那么|AB|等于( )A.8B.10C.6D.410.在平行六面体ABCD EFGH -中，若233AG xAB yBC zHD =++，则x y z ++等于（ ）A 11与抛物线28y x =有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若F 到双曲线的渐近线的距离为（ ）A ．2 C ．312.在正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，()24PE EO λλ=≤≤，且平面ABE 与直线PD 交于(),F PF f PD λ=，则（ ）二．填空题（每小题4分，共4个小题）。
陕西省西安市高二上学期期末数学试卷(理科)
陕西省西安市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共25分)1. （2分） (2017高二下·莆田期末) 设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）X1234P mA .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·宜昌期中) 为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽取到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001至155在第一营区，从156到255在第二营区，从256到400在第三营区，则第一，第二，第三营区被抽中的人数分别为（）A . 15，10，15B . 16，10，14C . 15，11，14D . 16，9，153. （2分）随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是（）A . 甲班同学身高的方差较大B . 甲班同学身高的平均值较大C . 甲班同学身高的中位数较大D . 甲班同学身高在175以上的人数较多4. （2分） (2017高一下·卢龙期末) 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A . 1B . 2C . 4D . 75. （2分） (2016高二上·河北期中) 某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分） (2018高一下·鹤壁期末) 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，7. （2分）某小区有1000户，各户每月的周电量近似服从正态分布N（300，l02），则用电量在320度以上的户数约为（）（参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）=99.74%．）A . 17B . 23C . 34D . 468. （2分）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）A . ﹣1B . 1C . 32D . 6410. （2分） (2018高三上·德州期末) 如图，矩形中，点的坐标为．点的坐标为．直线的方程为：且四边形为正方形，若在五边形内随机取一点，则该点取自三角形(阴影部分)的概率等于（）A .B .C .D .11. （2分）(2014·新课标I卷理) 执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A .B .C .D .12. （3分） (2017高二下·和平期末) 某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是（）A . 70B . 98C . 108D . 120二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·眉山期末) 观察下列各式：C =40；C +C =41；C +C +C =42；C +C +C +C =43；…照此规律，当n∈N*时，C +C +C +…+C =________．14. （2分） (2016高二上·孝感期中) 二进制数101101110（2）化为十进制数是________（10），再化为八进制数是________（8）．15. （1分）设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y描述1次试验的成功次数，则D（Y）=________．16. （1分）从甲口袋中摸出1个白球的概率是，从乙口袋中摸出一个白球的概率是，那么从两个口袋中各摸1个球，2个球都不是白球的概率是________三、解答题： (共6题；共60分)17. （5分） (2017高二下·运城期末) 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．18. （10分） (2015高二下·定兴期中) 4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”附：K2= n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828（1）求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（经频率视为频率）（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计19. （15分）(2018·株洲模拟) 某协会对两家服务机构进行满意度调查，在两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:（1）在抽样的1000人中，求对服务机构评价“满意度指数”为0的人数；（2）从在两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由20. （10分）综合题。
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2016-2017学年陕西省西安交大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（每小题3分，共12个小题）．1．（3分）已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x＜2B．∃x∈R，x≤2C．∀x∈R，x≤2D．∃x∈R，x＜22．（3分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=3x D．3．（3分）已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．4．（3分）已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．D．（0，2]5．（3分）P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中为真命题的是（）A．q1和q3B．q2和q3C．q1和q4D．q2和q4 7．（3分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4D．8．（3分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A．﹣4B．1C．10D．119．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8B．10C．6D．410．（3分）在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．11．（3分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2C．D．312．（3分）在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，=λ（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，=f（λ），则（）A．f（λ）=B．f（λ）=C．f（λ）=D．f（λ）=二．填空题（每小题4分，共4个小题）．13．（4分）已知双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则椭圆的离心率e=．14．（4分）已知双曲线的两个焦点F1（﹣，0），F2（，0），P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是．15．（4分）已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是．16．（4分）设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=．三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）17．（6分）已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（﹣3，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积．18．（9分）设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．19．（10分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点．（1）若直线l的斜率为，求证：；（2）设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．20．（11分）在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．21．（12分）已知直线l与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）22．（5分）曲线（θ为参数）上一点P到点A（﹣2，0）、B（2，0）距离之和为．23．（5分）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为．解答题（共1小题，满分10分）24．（10分）已知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．2016-2017学年陕西省西安交大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共12个小题）．1．（3分）已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x＜2B．∃x∈R，x≤2C．∀x∈R，x≤2D．∃x∈R，x＜2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为：∃x∈R，x≤2．故选：B．2．（3分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=3x D．【解答】解：∵双曲线=1的渐近线方程为：y=±x，∴双曲线为的渐近线方程为：y=±x=±x，故选：A．3．（3分）已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设F为椭圆的右焦点，且AF⊥x轴，所以F（c，0），则，解得y=±，因为，|AF|=焦距，所以，即b2=2ac，a2﹣c2=2ac，∴e2+2e﹣1=0，解得e=或e=﹣（舍去）故选：C．4．（3分）已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．D．（0，2]【解答】解：解x2﹣4x﹣5＞0得：x∈（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），解：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，得：x∈（﹣∞，1﹣λ）∪（1+λ，+∞），若p是q的充分不必要条件，则，解得：λ∈（0，2]，故选：D．5．（3分）P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设||=m，||=n，由题意得∵=0，且△F1PF2的面积是9，∴mn=9，得mn=18∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2∴（m﹣n）2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣36，结合双曲线定义，得（m﹣n）2=4a2，∴4c2﹣36=4a2，化简整理得c2﹣a2=9，即b2=9可得b=3，结合a+b=7得a=4，所以c==5∴该双曲线的离心率为e==故选：B．6．（3分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中为真命题的是（）A．q1和q3B．q2和q3C．q1和q4D．q2和q4【解答】解：∵y=2x﹣2﹣x，∴y′=ln2（2x+2﹣x）＞0恒成立，∴y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，即题p1为真命题∵y=2x+2﹣x，∴y′=ln2（2x﹣2﹣x），由y’＞0可得x＞0，即y=2x+2﹣x在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减∴p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数为假命题根据复合命题的真假关系可知，q1：p1∨p2为真命题q2：p1∧p2为假命题q3：（￢p1）∨p2为假命题q4：p1∨（￢p2）为真命题故选：C．7．（3分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选：B．8．（3分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A．﹣4B．1C．10D．11【解答】解：∵点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，∴存在实数λ，μ使得等式成立，∴（x﹣4，﹣2，0）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（﹣1，6，﹣8），∴，消去λ，μ解得x=11．故选：D．9．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8B．10C．6D．4【解答】解：如图，由抛物线y2=4x，得2p=4，p=2，∴|AB|=|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|=x1+x2+p，∵x1+x2=6，∴|AB|=8．故选：A．10．（3分）在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，∵=2x+3y+3z，=﹣，∴2x=1，3y=1，3z=﹣1，∴x=，y=，z=，∴x+y+z=，故选：D．11．（3分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2C．D．3【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，）∴解得：，则渐近线方程为y=x，即有点F到双曲线的渐进线的距离为d==，故选：A．12．（3分）在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，=λ（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，=f（λ），则（）A．f（λ）=B．f（λ）=C．f（λ）=D．f（λ）=【解答】解：由题意：P﹣ABCD是正四棱锥，O为正方形ABCD的中心，则OP ⊥平面ABCD，=λ（2≤λ≤4），即E是PO上的点，在平面ABE延长BE 与直线PD交于F，过F作FG垂直于PO交于G，可得：．故选：A．二．填空题（每小题4分，共4个小题）．13．（4分）已知双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则椭圆的离心率e=．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，∴=，即b=，∴在椭圆中，c==，∴e==．故答案为：．14．（4分）已知双曲线的两个焦点F1（﹣，0），F2（，0），P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是﹣y2=1．【解答】解：由于三角形PF1F2为直角三角形，故PF+PF=4c2=40所以（PF1﹣PF2）2+2PF1•PF2=40，由双曲线定义得（2a）2+4=40，即a2=9，故b2=1，所以双曲线方程为﹣y2=1．故答案为：﹣y2=1．15．（4分）已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是1．【解答】解：∵直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），l⊥m，∴=﹣1+t=0，解得t=1．故答案为：1．16．（4分）设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=4．【解答】解：∵α∥β，∴∥，∴存在实数λ使得．∴，解得k=4．故答案为：4．三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）17．（6分）已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（﹣3，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积．【解答】解：（1）设椭圆标准方程为，由题意可得所以a=5，b=4因此椭圆标准方程为（2）设P（0，4）为短轴的一个端点，s F1PF2==12．所以18．（9分）设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．【解答】解：（Ⅰ）当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，∴（1﹣2m）（m+2）＜0，解得m＜﹣2，或m＞，∴实数m的取值范围是{m|m＜﹣2，或m＞}；…（4分）（Ⅱ）当命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，∴△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或≥1；∴实数m的取值范围是{|m≤﹣2，或≥1}；…（6分）（Ⅲ）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，∴，解得﹣2＜m≤；∴m的取值范围为（﹣2，]．…（12分）19．（10分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点．（1）若直线l的斜率为，求证：；（2）设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．【解答】（1）证明：由题意可得，联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），．则．∴；（2）设直线，与抛物线联立得y2﹣2pky+p2=0．∴．则．20．（11分）在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【解答】解：（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，∵AB=AE，BO=OE，∴AO⊥BE，同理DO⊥BE，又∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，∴AO⊥平面BCDE，由题意，BE2=2AB2=2DB2，∴AB=BD=DE=AE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），E（﹣1，1，0），A（﹣，），则=（），=（﹣1，0，0），∵cos＜，＞===﹣，∴与的夹角为120°，异面直线AB与DE所成角为60°．（2）设平面ACE的法向量=（x，y，z），=（），=（﹣1，1，0），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面ABE的法向量为=（a，b，c），=（），，则，取a=1，得=（1，2，），设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，cosθ=|cos＜＞|==．∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．21．（12分）已知直线l与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，∴，∴b2=a2﹣c2=1∴椭圆的方程为；（Ⅱ）△AOB的面积为定值1．∵，∴a2x1x2+b2y1y2=0，∴4x1x2+y1y2=0①若直线l斜率不存在，设直线l的方程为x=p，则x1=x2=p，y1=﹣y2，∵4x1x2+y1y2=0，∴∵，∴∴S==1；△AOB②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx+r，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2krx+r2﹣4=0∴x1+x2=﹣，x1x2=∵4x1x2+y1y2=0∴（4+k2）x1x2+kr（x1+x2）+r2=0∴r2﹣4﹣+r2=0∴2r2=4+k2，∴r2≥2∴△=16（k2﹣r2+4）＞0设原点O到直线l的距离为d，则S=d•|AB|=×△AOB=综上可知，△AOB的面积为定值1．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）22．（5分）曲线（θ为参数）上一点P到点A（﹣2，0）、B（2，0）距离之和为8．【解答】解：曲线表示的椭圆标准方程为，可知点A（﹣2，0）、B（2，0）椭圆的焦点，故|PA|+|PB|=2a=8．故答案为：8．23．（5分）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为．【解答】解：直线ρ（cosθ+sinθ）=2直线ρcosθ+ρsinθ=2∴直线的一般是方程式是：x+y﹣2=0∴点（1，0）到直线的距离是故答案为：解答题（共1小题，满分10分）24．（10分）已知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．【解答】解：（I）由圆C1的参数方程，消去参数φ可得：x2+y2=1．由圆C2的极坐标方程ρ=2cos（θ﹣），化为•ρ，∴x2+y2=2x+2y．即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．圆心（0，0）到此直线的距离d==．∴弦长|AB|=2=．。