高中数学 第一章 正切函数的图像与性质教案 北师大版必修4
北师大版高中数学必修四正切函数的图像与性质教案
§1-7.2 正切函数的图像与性质（2课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板第一课时正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
【探究新知】1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
正切函数的定义图像及性质(北师版必修4) 导学案
宁陕中学导学案（数学.北师大版必修四）高一级 班 小组 姓名正切函数的定义、图像及性质学习目标：1.能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义2.能画出y ＝tan x 的图像3.掌握正切函数的基本性质学习重点：正切函数的图像和性质；学习难点：画正切函数的图像，探索正切函数的诱导公式一．自主学习：（认真阅读课本第35----37页内容，完成下列自学要求）1.指出下列各角的正切线：2.类比正弦函数用几何法做出正切函数⎪⎭⎫⎝⎛∈=22-tan ππ，x x y 的图象：3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数Rx x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象,称为 __________________________4.观察正切曲线，回答正切函数的性质：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中:二.合作探究：例1.画出函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的图像并讨论其性质变式.求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期.例2． 2tan ,3αα=若借助三角函数定义求角的正弦函数值和余弦函数值例3. tan 135tan 138︒︒比较与的大小三、反思总结：1、数学知识：2、数学思想方法：四．训练检测1. 1317tan()tan()45ππ--比较与的大小2. 函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增, (2)以2π为周期, (3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)xy 21tan = (D)x y tan -=4. 若tan 0x ≤,则（ ）.A ．22,2k x k k Zπππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Zπππ+≤<+∈C ．,2k x k k Zπππ-<≤∈ D ．,2k x k k Zπππ-≤≤∈5.tan 315tan 570tan(60)tan 675︒+︒-︒-︒求的值.（能力提升）6. 求出函数y =.7. 求函数y=lg(1-tanx)的定义域8.已知0cos 〉x ，且0tan 〈x ，求 （1）角x 的集合； （2）判断2x tan ，2cos x ，的符号.。
《正切函数的图像与性质》教学设计
§1.4.3 《正切函数的图像与性质》教学设计一、教材分析《正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修二中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材的安排是先研究正切函数的性质，再根据性质来画出图像。
但是我对这节课进行了调整，先由正切线和正切函数部分性质来画出图像，再更加直观的研究正切函数的其他性质。
正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把问题留给学生思考，采用让学生自己选择周期，并比较得出最优区间，激发学生的思考能力。
二、教学目标 1．知识与技能体会类比方法在画正切函数图像发挥的作用，会画正切函数的草图。
通过图像观察性质，培养观察分析、归纳总结的能力。
在对性质进行归纳总结后，还要能对性质进行简单的应用。
2. 过程与方法 引导学生分析正切函数的周期性和在（2,2ππ-）的奇偶性，简化用正切线画正切函数图像的方法，让学生学会思考从本身函数性质入手简化问题，再反过来由图像归纳其性质的研究方法。
3. 情感态度与价值观在画图像过程中，感受其对称美。
三、教学重点与难点 1. 教学重点画正切函数的图像，归纳其性质，会简单应用性质。
2. 教学难点分析并用正切线画出正切函数的图像。
四、教学流程设计 （一）复习引入如何用正弦线作正弦函数图像的呢？引导学生用同样的方法作正切函数图像。
（二）探究用正切线作正切函数图像 师生活动：回顾：正切线的作法师生活动：分析：正切函数x y tan =是否为周期函数？（教师作适当引导，得出正切函数的最小正周期为π，大部分学生会认为是π2）学生活动：思考问题：先作正切函数哪个区间上的图像呢？（可以是()π,0吗？（图像会间断）引发学生思考）[设计意图] 引导学生用类比的思维方法得到先画出正切函数一个周期内的图像，并放手让学生自己去选择区间，从而自然地解释选择的最优区间为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ。
北师大版高中数学高一必修4学案第一章7.1-7.2正切函数的定义正切函数的图像
正切函数7．1&7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质预习课本P36～38，思考并完成以下问题1．正切函数的定义是什么？2．正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？3．正切值在各象限的符号是什么？4．正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性分别是什么？[新知初探]1．正切函数的定义(1)任意角的正切函数如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z.(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负．(4)正切线在单位圆中令A (1,0)，过A 作x 轴的垂线与角α的终边或终边的延长线相交于T ，称线段AT 为角α的正切线．[点睛] (1)若α＝π2＋k π(k ∈Z)，则角α的终边落在y 轴上，此时P (0，b )，比值b a 无意义，因此正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α∈R ，且α≠π2＋k π，k ∈Z . (2)正切函数tan α＝ba 是一个比值，这个比值的大小与在角α终边上所取的点的位置无关．2．正切函数的图像及特征(1)y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像(正切曲线)．(2)正切曲线的特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．[点睛] 正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正弦、余弦函数的有界性．3．正切函数的性质 函数y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R周期性 周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z)上是增加的[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ( ) (2)正切函数在其定义域内为增函数( ) (3)若角α的终边在y ＝x 上则tan α＝1( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2 B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关解析：选B 由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π. 3．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________． 答案：[0,1]4．函数f (x )＝1－2cos x ＋|tan x |是________函数(填“奇”或“偶”)．解析：f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 且f (－x )＝1－2cos(－x )＋|tan(－x )|＝1－2cos x ＋|tan x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数． 答案：偶利用定义求正切值[典例] 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AO Q ＝α，α∈[0，π)．(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ； (2)若已知Q ⎝⎛⎭⎫35，45，试求tan α.[解] (1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P ⎝⎛⎭⎫32，12，故θ的终边与单位圆交于P ′⎝⎛⎭⎫32，－12，则tan θ＝－1232＝－33.(2)∵∠AO Q ＝α且Q ⎝⎛⎭⎫35，45，∴tan α＝4535＝43.利用定义求任意角的正切函数值的方法由正切函数的定义知：若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点P 的纵坐标与横坐标的比值；若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)上的任意一点(除坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点P 的纵坐标与横坐标的比值．[活学活用] 已知P ⎝⎛⎭⎫x ，－32是角α终边上一点，且tan α＝－3，求x 的值． 解：由题意得tan α＝－32x ＝－3，解得x ＝12，故x 的值是12.正切函数的定义域、值域[典例] (1)求函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4；②y ＝tan 2x ＋4tan x －1.[解] (1)由题意知，2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，∴x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，(2)①∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4，∴－π4≤x －π4＜π2， y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎭⎫0，34π上为增函数，且y ≥－1， ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，34π的值域为[)－1，＋∞. ②令t ＝tan x ，则t ∈R ，y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5， ∴函数y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[)－5，＋∞.(1)求由正切函数构成的函数的定义域时，要特别注意使三角函数有意义．例如，若函数含有tan x ，需x ≠k π＋π2，k ∈Z.(2)求正切函数的值域常用的方法有：直接法、配方法、反解函数法、单调性法、分离常数法、换元法．[活学活用]1．函数y ＝3x －x 2tan x的定义域是A ．(0,3]B ．(0，π) C.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3 D.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3 解析：选C根据函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 2≥0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ≠k π，x ≠k π＋π2，故0＜x ＜π2或π2＜x ≤3，即函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3， 故选C.2．已知π4≤x ≤π3，函数f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1，求函数f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 的值． 解：设tan x ＝t ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， ∴t ∈[1，3]，∴f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1 ＝－(t －5)2＋24.∴当t ＝1，即x ＝π4时，f (x )min ＝8；当t ＝3，即x ＝π3时，f (x )max ＝103－4.正切函数的图像及其单调性题点一：正切函数图像的识别1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像大致是( )解析：选D 法一：由题意，得y ＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，2sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫π，3π2，作出该函数的大致图像，故选D.法二：当x 从右边无限接近π2时，tan x 趋向于－∞，故|tan x －sin x |趋向于＋∞，∴y 趋向于－∞.故选D. 题点二：利用正切函数图像求解不等式 2．解不等式：tan x ≥－1.解：作出函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的大致图像，如图． ∵tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1， ∴在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内满足tan x ≥－1的x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－π4，π2. 由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .题点三：求单调区间3．写出下列函数的单调区间．(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6； (2)y ＝|tan x |.解：(1)当k π－π2＜x 2－π6＜k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3(k ∈Z)时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6单调递增．∴函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3(k ∈Z)． (2)y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，k ∈Z.可作出其图像(如下图)，由图像知函数y ＝|tan x |的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．解含有正切函数的简单三角不等式时，可先画出正切函数的一个周期的图像，由图像得到在一个周期内满足条件的x 的取值范围，然后加上周期的整数倍，即可得到满足不等式的解．正切函数的奇偶性与周期性[典例] 已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)． (1)判断f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的奇偶性； (2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间．[解] (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， ∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )． 又定义域⎣⎡⎦⎤－π3，π3关于原点对称， ∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减， 当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增．(1)判断与正切函数有关的奇偶性问题时要注意其定义域是否关于原点对称．(2)注意正切函数的最小正周期为π. [活学活用]1．函数y ＝tan xa 的最小正周期是( )A ．πaB ．π|a | C.π aD.π |a |解析：选B T ＝π⎪⎪⎪⎪1a ＝π|a |. 2．下列函数中，同时满足条件①在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，②是奇函数，③是以π为最小正周期的函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |解析：选A 验证知A 符合①②③.层级一 学业水平达标1．若tan x ≥0，则( )A ．2k π－π2＜x ＜2k π(k ∈Z)B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z)C ．k π－π2＜x ≤k π(k ∈Z)D ．k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)解析：选D 结合正切函数的图像知， k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)．2．当－π2＜x ＜π2时，函数y ＝tan |x |的图像( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形解析：选C 由题意得定义域关于原点对称，又tan|－x |＝tan |x |，故原函数是偶函数，其图像关于y 轴对称．3．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则tan α的值是( )A ．2B ．±2 C.25D ．±25解析：选A 在角α的终边上取一点(k,2k )(k ≠0)，则tan α＝2k k＝2. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：选D 由题意得π4－x ≠k ′π＋π2(k ′∈Z)，所以x ≠－k ′π－π4(k ′∈Z)，即x ≠k π＋3π4(k ∈Z)．5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：选B ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为__________． 解析：由－π2＋k π＜－3x －π3＜π2＋k π，得－k π3－5π18＜x ＜－k π3＋π18(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z) 7．tan 2与tan 3的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：因为π2＜2＜3＜π，函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以tan 2＜tan 3. 答案：tan 2＜tan 38．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________. 解析：由T ＝x |ω|＝π2，∴ω＝±2. 答案：±29．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.因为y ＝tan x 的周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，所以所求x 的范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)． 即原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．10．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)∵由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )|cos (－x )|＝－sin x |cos x |＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，－π2＜x ＜π2，－tan x ，－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤π.故f (x )(x ∈[－π，π])的图像如图所示．(4)由图像可知f (x )的最小正周期为2π，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增加的；在⎝⎛⎭⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上是减少的．层级二 应试能力达标1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3D. 3解析：选D 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝tan π3＝ 3. 2．在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像交点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 在同一坐标系中分别作出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)．3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选B 由于正切函数f (x )＝tan x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tanωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，所以ωπ6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)，因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3.4．函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x ＜3π2，x ≠π2的图像大致是( )解析：选C 函数y ＝cos x |tan x |可化简为y ＝⎩⎨⎧ sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫π，3π2，－sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，在直角坐标系中作出该函数的图像，只有C 符合．5．已知P (1，y )为角α终边上的一点，且cos α＝13，则tan α＝________. 解析：∵r ＝|OP |＝1＋y 2， ∴cos α＝13＝11＋y 2；得y ＝±2 2. ∴tan α＝y ＝±2 2.答案：±2 26．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数，则ω的范围是________． 解析：∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω＜0且T ＝π|ω|≥π，∴ω＜0且|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案：[－1,0)7．试讨论函数y ＝log a tan x 的单调性．解：①当a ＞1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的． ②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的． 故当a ＞1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的；当0＜a ＜1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．8．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)若函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，求θ的取值范围．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43. ∵x ∈[－1， 3 ]，∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43， 当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。
高中数学必修四：1.4.3正切函数的图像与性质(教、学案
§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。
正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。
在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。
【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。
教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
高中数学必修4教案 1.4.3正切函数的性质与图象
④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？
你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？
2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.
情感态度价值观
3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.
教材分析
重难点
教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.
教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
可知,正切函1)tan138°与tan143°；(2)tan( )与tan( ).
解:(1)∵y=tanx在90°<x<180°上为增函数,
∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.
(2)∵tan( )=-tan =-tan(3π+ )=-tan ,
计
一周期性 三 单调性
二奇偶性四值域
教学反思
教学设想
教法
引导探究
学法
自学探究
教具
多媒体直尺,圆规
课堂设计
一、目标展示
.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.
二.预习检测
①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？
【北师大版】高中数学必修4第一章：1.5.1正弦函数的图像 教学设计
【北师大版】高中数学必修四 正弦函数的图像教学设计 教学设计一、教材分析《正弦函数的图像与性质》是数学必修四（北师大版）第一章三角函数第五节部分内容，其主要内容是正弦函数的图像与性质。
过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数的图像与性质，为今后余弦函数、正切函数的图像与性质、函数的图像的研究打好基础。
因此，本节的学习有着极其重要的地位。
本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出x y sin =，[]π2,0∈x 的图像，考察图像的特点，介绍“五点作图法”，再利用图像研究正弦函数的主要性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性） 二、设计思想 教法分析（1）教学模式：建构式教学法本节课应用这种教学模式的具体操作程序是：创设问题情景——小组协作探索——猜想尝试整理——动手画图验证——知识巩固应用——方法归纳整合。
这种教学模式的特点是：学生在一定的情境背景（已具备函数基础知识和三角函数线知识）下，借助老师和学习伙伴的帮助，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的（即在学习过程中帮助学生很好地掌握正弦函数的图像的画法，并对与正弦函数有关的图像平移变换和对称变换达到较深刻的理解）。
（2）教学手段：利用计算机多媒体辅助教学为了给学生认识理解“正弦函数的图像”提供更加形像、直观、清晰的材料，我准备利用电脑动画模拟演示利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像的过程。
运用多媒体教学手段使问题变得形像直观，易于突破难点，借以帮助学生完成对所学知识的过程建构 学法分析引导学生认真观察“正弦函数的几何作图法”教学课件的演示，指导学生进行分组讨论交流，促进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成，注意面向全体学生，培养学生勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。
高一数学北师大版必修4第一章7.1-7.2正切函数的定义、图像与性质
安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 王广青 包级领导签字： 学生： 上课时间： 集体备课个人空间一、课题： 7.1-7.2正切函数的定义、图像与性质二、学习目标（1）了解任意角的正切函数概念；（2）掌握正切线的画法；（3）能熟练掌握正切函数的图像与性质；三、教学过程【自主预习】阅读课本P 35-P 37内容，完成下列学习任务。
1.指出下列各角的正切线：2.对于正切函数tan y x =（1）定义域： ，（2）值域：观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性： （4）奇偶性：（5）单调性：2．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象,称为 __________________________【合作探究】例1．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小例2．讨论函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的性质【检测训练】1．与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ） ()2A x π= ()2B x π=- ()4C x π= ()8D x π=2．函数1tan y x =-的定义域是3．函数2tan tan 1,2y x x x k k Z ππ⎛⎫=++≠+∈ ⎪⎝⎭的值域是 4. 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
反思栏。
高中数学必修4《正切函数的性质与图象》教学设计
《正切函数的图象与性质》教学设计教材分析本节课是在研究完正余弦函数的图象与性质，又一具体的三角函数，教材中研究的方法如正余弦函数利用“描点法”画出正切函数的图象，由图象得出性质，是利用了类比的思想来研究的。
本节课的重点是正切函数的图象与性质，难点是借助正切函数的图象灵活掌握其性质及性质的应用；对渐近线的理解。
学情分析：通过上节课对正余弦函数的研究，学生已经形成了研究函数的主要方法：由函数的图象得性质。
而在实际问题中，函数的图像不是仅靠描有限的几个点就能得到图象的大体特征，还需要通过函数的解析式分析函数某些性质如：定义域，值域，奇偶性等等。
这样画函数的图象也就有了大体方向。
也就是说，研究函数一般会由形及数，由数及形二者是紧密联系的。
为了让学生体会这种研究方法，也是在学生已经学习两个具体三角函数的基础上，这节课，我采用的方法是先让学生从已学正切函数的相关知识的基础上研究函数的主要性质，然后在此基础上画出函数的图象，再由图象完善函数的性质。
最后对性质的应用。
教学目标：知识与技能：（1）理解正切函数的性质，会用正切函数的图象和性质解决相关问题；（2）理解并掌握作正切函数图象的简化作法。
过程与方法：（1）利用所学过的正切函数的知识研究正切函数的性质；（2）讨论交流，深化认识，加强应用。
情感、态度、价值观：培养学生分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合的思想方法；培养学生类比，归纳的数学思想方法；培养学生研究函数的方法；培养学生欣赏数的美，调动学生学习的积极性及情感投入。
教学重、难点重点：能画出正切函数的图像，掌握正切函数的性质难点：掌握正切函数的性质教学过程：一、创设情景复习正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx的图象和性质，我们研究的方法是通过画出函数的图像得到函数的性质，那么我们能否换个角度先研究函数的一些性质，再通过性质画出函数的图像，本节课我们将以正切函数为例来进行研究。
（板书：正切函数y=tanx的图象和性质）。
《正切函数的图像与性质》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《正切函数的图像与性质》教学设计◆教材分析本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。
◆教学目标【知识与能力目标】1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法”2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用【过程与方法目标】1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法；2、培养学生类比、归纳的数学思想；3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。
【情感态度价值观目标】通过本节的学习，使同学们对正切函数有了一个新的认识，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
◆教学重难点【教学重点】正切函数的图象和性质。
【教学难点】体验正切函数基本性质的应用◆课前准备多媒体课件◆教学过程（一）复习导入三角函数线是什么？（二）探究新知提出问题，带领学生共同思考。
问题1、如何用正弦线作正弦函数图象呢？1、用平移正弦线得y=sinx ，x ∈[0,2π]图象。
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
提出如何研究正切函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法。
问题2、如何利用正切线画出函数y=tanx ，x ∈（-π/2，π/2）的图像？根据正弦函数图像的画法总结正切函数图像的画法。
由老师带领学生一起作图；作法：等分：把单位圆右半圆分成8等份——作正切线——平移——连线由老师总结正切曲线的概念正切函数的图像是被相互平行的直线所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。
随后观察曲线，总结正切函数图象的性质。
1．定义域： {}()2x x k k z ππ≠+∈ 2．值域： R『渐进线为x ()2k k z ππ=+∈，当x 从它的左侧接近时，tan y x = →+∞，从它的右侧接近时，tan y x = →-∞』（这一部分内容学生可能会想不到，在学生总结完毕后由老师补充完善）3．奇偶性：图像关于原点对称，是奇函数满足4． 周期性：最小正周期是（补充tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为 T πω= 5．单调性：在开区间,)()22k k k z ππππ-+∈（上是单调递增函数6．对称性： 对称中心：2(,0)()k k z π∈，无对称轴。
正切函数的图像和性质(精品说课稿)
尊敬的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《正切函数的图像和性质》。
下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。
首先来说说教材。
本课是北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修四第一章第7节正切函数第二小节，本节课主要内容是正切函数的图象的画法、根据图象找出正切函数的性质及性质的简单应用。
它是在学生理解了一个角的正切、正切线的作法、周期函数的定义基础上做出的，是对于学生所学知识的容通和运用，是对学生学习函数的规律总结，在一定程度上有承上启下的作用。
同时，也是培养了学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法。
分析完了教材，再来说说学情。
高二年级的学生，已经学习正弦、余弦函数的图像与性质，正切函数定义等，本节课在已有知识的基础上来研究正切函数诱导公式，进一步体现数形结合和化归思想在高中数学中的运用。
但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。
学生在学习三角函数上仍有畏难情绪，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，调动思维，积极探究本节课内容。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个生长点。
基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域、等相关性质。
2、熟练掌握正切函数简图的画法，这是本课教学的重点。
2、经历正切函数图像和性质的探索过程，培养学生作图能力，运用函数图像分析、探究问题的能力。
其中利用正切函数图像研究正切函数的单调性与值域本课教学的难点。
3、通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐，和三角函数图像所蕴涵的对称美、简洁美。
数学课程标准倡导“合作、自主、探究”的学习方法，教学过程应重视学生的实践活动，引导学生主动地获取知识，全面提高学生的数学素养。
所以，本堂课的教学，我准备采用演示法、情境教学法、讨论分析法等。
北师大版高中数学必修4教案备课正切函数的定义正切函数的图像与性质
§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学习目标核心素养1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像．2．掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．(重点)3．注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用．(难点)1.通过借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像，体会数学直观素养．2．通过学习正切函数的性质解决正切函数与正、余弦函数的综合问题，提升数学运算素养．1．正切函数的定义(1)正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值ba叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)正切线如图所示，线段AT为角α的正切线．思考1：设角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么ba 何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？[提示] 当a ≠0时，ba 有意义． tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .2．正切函数的图像与性质 图像性质定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 奇偶性奇函数周期性 周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期为π单调性 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 上是增加的 对称性该图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z[提示] 不能．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．1．若角α的终边上有一点P (2x －1，3)，且tan α＝15，则x 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．45 B [由正切函数的定义知tan α＝32x －1＝15，解得x ＝8.]2．函数y ＝tan x 的对称中心坐标为( ) A ．(k π，0)(k ∈Z ) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )D ．(2k π，0)(k ∈Z )C [y ＝tan x 的图像与x 轴的交点以及x 轴上使y ＝tan x 无意义的点都是对称中心．]3．函数y ＝tan 2x 的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z[由正切函数的定义知，若使y ＝tan 2x 有意义，则2x ≠k π＋π2(k ∈Z ).解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z ).]4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．[0，1] [函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的，所以y max ＝tan π4＝1，y min ＝tan 0＝0.]正切函数的概念【例1】 已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．[解] r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝5|a |， 若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45. tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba .2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．1．角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，求tan α的值． [解] 由题意知cos α＝－b b 2＋42＝－35，∴b ＝±3.又cos α＝－35<0， ∴P 在第二象限，∴b ＝3. ∴tan α＝－43.正切函数的图像【例2】 作出函数y ＝tan |x |的图像，判断函数的奇偶性及周期性． [思路探究] 去掉绝对值号，先作出x ≥0时的图像，再利用图像变换作出x <0时的图像．[解] ∵y ＝tan |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0，k ∈Z ，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0，k ∈Z .∴当x ≥0时，函数y ＝tan |x |在y 轴右侧的图像即为y ＝tan x 在y 轴右侧的图像．当x <0时，y ＝tan |x |在y 轴左侧的图像为y ＝tan x 在y 轴右侧的图像关于y 轴对称的图像，如图所示：由图像知，函数y ＝tan |x |是偶函数，但不是周期函数．1．作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，两线是直线x ＝±π2为渐近线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．2．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图像是图中的________．(填序号)① ② ③ ④(1)A (2)④ [(1)如图，函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是3.(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，π2＜x ≤π，2sin x ，π＜x ＜32π.]正切函数的性质 [探究问题]1．如何判断函数的奇偶性．[提示] 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．2．函数y ＝tan x 的周期是多少？y ＝|tan x |的周期呢？ [提示] y ＝tan x 的周期是π，y ＝|tan x |的周期也是π. 【例3】 已知f (x )＝－a tan x (a ≠0). (1)判断f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的奇偶性；(2)求f (x )的最小正周期．[思路探究] (1)通过f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性；(2)由正切函数图像的特点可判断函数的最小正周期．[解] (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴f (－x )＝－a tan (－x )＝a tan x ＝－f (x ). 又定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3关于原点对称，∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.1．(变条件)若将例3中的函数变为“f (x )＝－a |tan x |”则它的最小正周期是多少？[解] f (x )的最小正周期不变还是π.2．(变结论)例3中的条件不变，求f (x )的单调区间． [解] ∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增，∴当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递减，当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增． 3．(变结论)例3中的条件不变，求f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上的值域．[解] 当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，故x ＝π4时，f (x )max ＝－a ，无最小值． ∴f (x )的值域为(－∞，－a ].当a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，当x ＝π4时，f (x )min ＝－a .无最大值． ∴f (x )的值域为[－a ，＋∞).对于形如y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解．1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x ＝－π2，x ＝π2，然后描出三个点(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1，1]，正切函数是无界函数，值域为R .(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R ，正切函数的图像是不连续的，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增加的．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数为定义域上的增函数．( ) (2)正切函数存在闭区间[a ，b ]，使y ＝tan x 是增函数． ( ) (3)若x 是第一象限的角，则y ＝tan x 是增函数． ( ) (4)正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z . 解得k π－3π4<x <k π＋π4，故选C.]3．若角θ的终边经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，m ，且tan θ＝34，则m ＝________．－35 [由tan θ＝y x ＝m －45＝34.∴m ＝－35.]4．函数y ＝tan (2x ＋θ)图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若－π2<θ<π2，求θ的值．[解] 因为函数y ＝tan (2x ＋θ)的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴2·π3＋θ＝k π2，k ∈Z .∴θ＝k π2－23π，k ∈Z . 又∵－π2<θ<π2， ∴当k ＝2时，θ＝π3； 当k ＝1时，θ＝－π6. ∴满足题意的θ为π3或－π6.。
高中数学 第一章 正切函数的图像与性质教案 北师大版必修4
正切函数的图像与性质一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板第一课时 正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P35。
【探究新知】1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋kπ(k ∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tanα，其中α∈R ，α≠2π＋kπ，k ∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋kπ，k ∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
高中数学北师大版必修4《第1章77.2正切函数的图像与性质》课件
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思考 2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？ [提示] 不能．正切函数 y＝tan x 在每段区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈ Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．
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1．若角 α 的终边上有一点 P(2x－1,3)，且 tan α＝15，则 x 的值为
的点都是对称中心．]
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3．函数 y＝tan 2x 的定义域为________．
xx≠k2π＋π4，k∈Z
[由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x 有
意义，则 2x≠kπ＋2π(k∈Z)．解得 x≠k2π＋π4(k∈Z)．]
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4．函数 y＝tan x，x∈0，4π的值域是________． [0,1] [函数 y＝tan x 在0，π4上是增加的，所以 ymax＝tanπ4＝1， ymin＝tan 0＝0.]
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2．函数 f(x)＝tanx＋4π的单调递增区间 为( )
A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z D．kπ－π4，kπ＋34π，k∈Z
C [由 kπ－π2<x
＋π4<kπ＋2π，k∈Z.
解得
kπ
－
3π 4
<x<kπ＋π4，故选 C.]
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∴当 k＝2 时，θ＝π3； 当 k＝1 时，θ＝－π6. ∴满足题意的 θ 为π3或－π6.
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谢谢大家
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1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即 tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点 M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值， 或者已知角 α 的正切值，求角 α 终边上一点的坐标，都应紧扣正切函 数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
高中数学 1.13正切函数的定义、图像与性质教学案 北师大版必修4
学科数学
课题
正切函数的定义、图像与性质
授课时间
撰写人
学习重点
掌握正切函数的图像与性质
学习难点
利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能
学习目标
（1）了解任意角的正切函数概念；
（2）掌握正切线的画法；
（3）能熟练掌握正切函数的图像与性质；
（4）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
教学过程
一自主学习
1.对于正切函数
（1）定义域：，
（2）值域：
观察：当 从小于 ， 时，
当 从大于 ， 时， 。
（3）周期性：
（4）奇偶性：
（5）单调性：
2．作 ， 的图象
二师生互动
例1．比较 与 的大小
例2．讨论函数 的性质
例3.观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
三巩固练习
1．与函数 的图象不相交的一条直线是（）
2．函数 的定义域是
3．函数 的值域是
4．函数 的奇偶性是，周期是
5.求函数 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
四课后反思
五课后巩固练习
1.以下函数中，不是奇函数的是( )
A.y＝sinx＋tanxＢ．y＝xtanx－1Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg
2.下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数sin｜x｜是周期为2π的偶函数
3.用图象求函数 的定义域。
4.不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
高中数学第一章三角函数1.7.2正切函数的图像与性质学案北师大版必修4
1.7.2 正切函数图像与性质1．任意角正切函数 (1)正切函数定义：在直角坐标系中(如图)，如果角α满足：α∈R 且α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α终边与单位圆交于点P (a ，b )，比值ba是角α函数，叫作角α________，记作______，其中α∈R ，且α≠π2＋k π(k ∈Z )．(2)正切函数与正弦、余弦函数关系sin αcos α＝____⎝⎛⎭⎪⎪⎫α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z . (3)正切函数值在各象限符号当角在第一与第三象限时，其正切函数值为________；当角在第二与第四象限时，其正切函数值为______．预习交流1在上图中，如何定义角α余切函数？预习交流2任意角α终边与单位圆交点为P，请作出角α正弦线、余弦线、正切线．2．正切函数图像及性质(1)正切函数图像：(2)正切函数性质：①定义域：__________________；②值域：________；③周期性：周期是______________，最小正周期是__；④奇偶性：__函数；⑤单调性：在__________________内是增加．预习交流3如何作出正切函数图像？预习交流4正切函数在定义域内是增函数吗？答案：1．(1)正切函数y＝tan α(2)tan α(3)正负预习交流1：提示：比值ab叫作角α余切函数，记作y＝cot α，其中α∈R，α≠kπ，k∈Z.预习交流2：提示：上述各图中，线段MP为角α正弦线；线段OM为角α余弦线；线段AT为角α正切线．2．(2)①⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z ②R ③k π(k ∈Z ，且k ≠0) π ④奇⑤⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) 预习交流3：提示：(1)几何法利用单位圆中正切线来作出正切函数图像，该方法作图较为准确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线〞法“三点〞是指⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4，1；“两线〞是指x ＝－π2与x ＝π2.在“三点〞、“两线〞确定情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上简图，然后向右、向左延伸即可得到正切曲线．预习交流4：提示：不是．正切函数在每个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数，但在整个定义域内不具有增减性，比方180°＞30°，但tan 180°＝0＜tan 30°＝33.1．正切函数定义及应用假设tan α＝34，借助三角函数定义求角α正弦函数值与余弦函数值．思路分析：由tan α＞0可判断出角α所在象限，然后利用三角函数定义求sin α与cos α.角α终边经过点P (1，－2)，求2tan α1－tan 2α值．(1)角α终边上一点P (x ，y )，点P 到原点O 距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.(2)角α正切值，在求它正弦值与余弦值时，要注意对α角所在象限分类讨论．2．正切函数定义域、值域问题 求函数y ＝tan x －1tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6定义域．思路分析：此类问题一般是根据求函数定义域要求，列出使函数有意义不等式或不等式组，进而求解．求函数y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x －π6定义域、值域． 求与正切函数有关函数定义域、值域方法及应注意问题．(1)求与正切函数有关函数定义域时，除了求函数定义域一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠k π＋π2(k ∈Z )．而对于构建三角不等式，常利用三角函数图像求解．(2)求解与正切函数有关函数值域时，要注意函数定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成函数值域时，常利用换元法，但要注意新“元〞范围．3．与正切函数有关函数单调性问题求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4单调区间． 思路分析：利用整体代换，将12x －π4看作一个整体进一步求解．求函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2x ＋π3定义域、值域与单调区间．正切函数单调性解读(1)正切函数在每一个单调区间内都是增函数，在整个定义域内不是增函数，另外正切函数不存在减区间．(2)对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数)单调区间问题，可先由诱导公式把x 系数化为正值，再利用“整体代换〞思想，由k π－π2＜x ＜k π＋π2(k ∈Z )，求得x 范围即可． (3)运用正切函数单调性比拟大小步骤：①运用下节要学习诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比拟大小关系． 4．利用函数图像研究函数性质利用正切函数图像作出y ＝tan x ＋|tan x |图像，并根据图像研究其性质．思路分析：先化成分段函数，再借助正切函数图像作图． 直线y ＝m (m 为实数)与正切函数y ＝tan x 图像相交相邻两点间距离是________．(1)作函数y ＝|f (x )|图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：①保存函数y ＝f (x )图像在x 轴上方局部；②将函数y ＝f (x )图像在x 轴下方局部沿x 轴向上翻折． (2)假设函数为周期函数，可先研究其一个周期上图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可．答案：活动与探究1：解：因为tan α＝34＞0，所以，α是第一或第三象限角．(1)如果α是第一象限角，那么由tan α＝34可知，角α终边上必有一点P (4,3)，所以x ＝4，y ＝3.因为r ＝|OP |＝42＋32＝5，所以sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝45.(2)如果α是第三象限角，那么由tan α＝34可知，角α终边上必有一点P (－4，－3)，所以x ＝－4，y ＝－3.可知r ＝|OP |＝(－4)2＋(－3)2＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝－45.迁移与应用：解：∵x ＝1，y ＝－2，∴tan α＝－21＝－2.∴2tan α1－tan 2α＝－4－3＝43. 活动与探究2：解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6≠0，x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，x ＋π6≠k π，k ∈Z ，x ≠k π＋π3，k ∈Z ，⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，x ≠k π－π6，k ∈Z ，x ≠k π＋π3，k ∈Z .所以该函数定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫k π＋π4，k π＋π3∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z )．迁移与应用：解：由12x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋4π3(k ∈Z )．∴所求函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≠2k π＋4π3，k ∈Z ，值域为R .活动与探究3：解：由k π－π2＜12x －π4＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴该函数单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z . 迁移与应用：解：y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2x ＋π3 ＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3， 由2x －π3≠k π＋π2，得x ≠k π2＋5π12(k ∈Z )，∴所求函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≠k π2＋5π12，k ∈Z ，值域为R .由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6＜2x ＜k π＋5π6，k ∈Z .∴k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12，k ∈Z .又函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3单调递增区间即为y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2x ＋π3单调递减区间，∴所求函数单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．活动与探究4：解：∵当x ∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )时，y ＝tan x ≤0， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝tan x ＞0， ∴y ＝tan x＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ，2tan x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .如下图．性质：定义域：⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )， 值域：[0，＋∞)，单调性：增函数，递增区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 奇偶性：非奇非偶函数，周期性：以π为周期周期函数．迁移与应用：π 解析：正切函数y ＝tan x 图像与直线y ＝m 相交相邻两点之间距离为一个周期π.1．函数y ＝tan 2x 最小正周期是( )． A.π4B.π2C ．πD ．2π2．以下命题中，正确是( )． A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3定义域是( )． A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ∈R ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≠k π＋π6，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ∈R ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≠k π－π6，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ∈R ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≠2k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ≠2k π－π6，k ∈Z4．假设sin θ＜0，且tan θ＜0，那么θ是第__________象限角．5．(1)函数y ＝3tan x －3定义域是__________；(2)函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2值域是__________． 答案：1．B2．C 解析：对于选项A ，例如x 1＝0，x 2＝3π4，x 1＜x 2，但tan 0＝0，tan 3π4＝－1，tan x 1＞tan x 2，故A 不对．对于选项B ，例如x 1＝π4，x 2＝2π＋π4，x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2，故B 不对．对于选项C ，由正切函数性质知是正确．选项D 不正确．3．A 解析：由x ＋π3≠k π＋π2，得x ≠k π＋π6，k ∈Z .4．四 解析：∵sin θ＜0，∴θ终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上．第 11 页 又tan θ＜0，∴θ是第二或第四象限角．∴θ是第四象限角．5．(1)⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫k π＋π6，k π＋π2(k ∈Z ) (2)(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：(1)由3tan x －3≥0，得tan x ≥33， 利用正切函数图像知，x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫k π＋π6，k π＋π2 (k ∈Z )．(2)利用正切函数图像知，y ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．。
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正切函数的图像与性质
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念；
（2）理解正切函数中的自变量取值范围；
（3）掌握正切线的画法；
（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；
（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；
（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；
（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、
余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。
今天我们类比正弦、余弦
函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学
习课本P35。
【探究新知】
1．
正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2
π＋kπ(k ∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值a
b 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tanα，其中α∈R ，α≠2
π＋kπ，k ∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝
ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋kπ，k ∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，
我们统称为三角函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A （1 ,0），任意角α
的终边与单位圆交于点P ，过点A （1 ,0）作x 轴的垂线，与角
的终边或终边的延长线相交于T 点。
从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方； 当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT 的值相等。
因此，
我们称有向线段AT 为角α的正切线。
2．正切函数的图象
（1）首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2π
π
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：
()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且 ∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+≠∈=z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T （最小正周期） （3）因此我们可选择⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ
2的图像，称“正切曲线”
从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x ＝2
π＋kπ(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。
3．正切函数y ＝tanx 的性质
引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， （2）值域：R
观察：当x 从小于()z k k ∈+
2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于
()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性：π=T
（4）奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思。