晶体学基础

（2）晶格 将阵点用一系列平行直线连接起来，构成一空间格架叫晶 格。
（3）晶胞
从点阵中取出一个仍能保持点阵特征的最基本单元叫晶胞。 在空间点阵中，能代表空间点阵结构特点的是小平行六面
体。
整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。
图 空间点阵
2.晶胞的选取原则： （1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性； （2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多； （3）当棱间呈直角时，直角数目应最多； （4）满足上述条件，晶胞体积应最小。
极射投影原理（principle） 参考球，极点、极射面、大图、基图 Wulff网（wullf net）经线、 纬线、2º 等分
沿赤道线
沿基圆读数
只有两极点位于吴氏经线或赤道上才能正确度 量晶面、晶向间夹角 标准投影：以某个晶面//投影面作出极射投影图。 （001）
• 五、倒易点阵（Reciprocal lattice）
示，其中t=-(u+v)
采用三轴坐标系时。C轴垂直底面，a1、a2轴在底面上， 其夹角为120o ， [UVW]。
采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列相同的晶向
本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同。
图 六方系晶面指数的标定
u＝[2U－V] v＝[2V－U]/3 t＝[U＋V]/3 w＝W
图 几种晶体结构的点阵分析 (a) γ-Fe (b) NaCl (c) CaF2 (d) ZnS
§2.2.3 晶面指数和晶向指数
在材料科学中，讨论晶体的生长、变形和
固态相变等问题时，常要涉及到晶体的某些 方向（晶向）和某些平面（晶面）。
晶向：空间点阵中各阵点列的方向。
晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平 面。
(xa，yb，zc)； (3)将x，y，z化成最小的简单整数比u，v，w，且 u∶v∶w = x∶y∶z； (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图 晶向指数的标定
图 晶向指数的标定
晶向指数的说明： a.指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b.负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c.晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同
对称性元素 （symmetry elements）
点群（point group）—晶体中所有点对称元素的集合 根据晶体外形对称性，共有32种点群 空间群（space group）—晶体中原子组合所有可能方式 根据宏观、微观对称元素在三维空间的组合，可能存在 230种空间群（分属于32种点群）
四、极射投影 Stereographic projection
思考题
常见的金属基本上都是晶 体,但为什么不显示各向同 性? 多晶中各个晶粒往往取向 不同，所以多个晶粒集合 在一起在任一方向上都显 示不出某一个晶向的特性 来。
§2.2 晶体学基础
§2.2.1 空间点阵和晶胞
1.基本概念 （1）阵点、空间点阵 阵点：为了便于研究晶体中原子(分子或离子)的排列情况， 将晶体看成是无错排的理想晶体，忽略其物质性，抽象为规 则排列于空间的无数几何点。这些点代表原子(分子或离子) 的中心，也可是彼此等同的原子群或分子群的中心，各点的 周围环境相同。 可能在每个结点处恰好有一个原子，也可能围绕每个结点 有一群原子（原子集团）。 空间点阵：阵点的空间排列称为空间点阵。
上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响
立方晶系： fcc 当（hkl）不为全奇、偶数时，有附加面： 1 a d hkl＝ ，如{1 0 0},{1 1 0} 2 2 2 2 h ＋k ＋l
bcc 当h＋k＋l＝奇数时，有附加面：
如{1 0 0},{1 1 1}
六方晶系
当h＋2k＝3n（n＝0， 1， 2， 3， ），l=奇数，有附加面：
国际上通用米勒指数Байду номын сангаас定晶向和晶面。
William H. Miller 矿物学家 （1801-1880，英国）
1.晶向指数的标定
晶体中点阵方向的指数，由晶向上 阵点的坐标值决定。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向 上；
(2)确定该晶向上距原点最近的一个阵点P的三个坐标值
。
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质 点排列的几何学抽象， 用以描述和分析晶体 晶体结构则是晶体中 实际质点（原子、离 子或分子）的具体排
结构的周期性和对称
性，由于各阵点的周 围环境相同，它只能 有14中类型
列情况，它们能组成
各种类型的排列，因 此，实际存在的晶体 结构是无限的。
图 结构相似的不同点阵
图 晶胞的选取
3. 描述晶胞的六参数 晶胞的尺寸和形状可用点阵参数来描述，它包括晶胞的各 边长度和各边之间的夹角。
图 晶胞、晶轴和点阵参数
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.晶系
奥古斯特· 布拉菲（Auguste Bravais，又译布拉伐、布喇菲，1811年 －1863年），法国物理学家，于1845年得出了三维晶体原子排列的所 有14种布拉菲点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理 学做出了奠基性的贡献。除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、 植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。
u=k1l2-k2l1; v=l1h2-l2h1; w=h1k2-h2k1。
（b） 由两晶向[u1v1w1][u2v2w2]求其决定的晶面(hkl)。 h=v1w1-v2w2; k=w1u2-w2u1; l=u1v2-u2v1。
5.晶面间距 一组平行晶面中，相邻两个平行晶面之间的距离。 由晶面指数求面间距dhkl 通常，低指数的面间距较大， 而高指数的晶面间距则较小
(5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，
将h，k，l置于圆括号内，写成(hkl)，则(hkl)就是待标晶面 的晶面指数。
图 晶面指数的标定
图 晶面指数的标定
晶面指数的说明： 晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相 互平行的晶面 a.指数意义：代表一组平行的晶面；
b.0的意义：面与对应的轴平行；
• 布拉格方程： nλ = 2dsinθ • 寻求一种新的点阵（抽象），使其每一阵点对应着实际点阵中的 一定晶面，而且既能反映该晶面的取向，又能反映其晶面间距。 • 晶体点阵（正点阵）三个基矢a、b、c与其相应的倒易点阵的基 矢a*、b*、c*之间的关系如下：
d hkl＝ 1 2 1 4 h ＋hk＋k l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
2 2
，如{0 如{0 00 0}面 0 1}面
通常低指数的晶面间距较大，而高指数的晶面间距则较小
三、晶体的对称性 crystalline symmetry symmetrization of crystals
图 六方晶系的一些晶向指数与晶面指数
4.晶带
相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带， 此直线称为晶带轴 设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数 （hkl）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属 于以[uvw]为晶带轴的晶带。→晶带定律 （a） 由两晶面(h1k1l1) (h2k2l2)求其晶带轴[uvw]：
2.晶面指数的标定
晶体中点阵平面的指数，由晶面与三个坐 标的截距值所决定。
(1)建立一组以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系。 (2)求出待标晶面在a，b，c轴上的截距xa，yb，zc。如 该晶面与某轴平行，则截距为∞。
(3)取截距的倒数1/xa，1/yb，1/zc。
(4)将这些倒数化成最小的简单整数比h，k，l，使 h∶k∶l= 1/xa∶1/yb∶1/zc。
的一组晶向，用<uvw>表示。数字相同，但排列顺序不
同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
eg： 立方晶系中
[111 ], [1 11], [1 1 1], [11 1][11 1], [1 11][1 1 1], [111 ] 八个晶向是立方体中
四个体对角线的方向，其原子排列完全相同，属同一晶向族，故用<111>表示。
晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏。
晶面间距公式的推导
d hkl a b c cos cos cos h k l
d
2 hkl
h 2 k 2 l 2 2 2 2 cos cos cos a b c
c.平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反； d.晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距
完全相同），空间位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。
e.若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0; f.若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。
{110} 晶面族
3.六方系晶面和晶向指数标定
晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均
为120度，这样，其晶面指数就 以(h k i l）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独 立的坐标轴最多不超过三个。
前三个指数中只有两个是独立
的，它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。因此，可以由前两
个指数求得第三个指数 。
六方晶系晶向指数的标定： 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当 晶向通过原点时，把晶向沿四个轴分解成四个分量，晶向 OP可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表
第二章 材料中的晶体结构
主要内容：
一、晶体学基础
二、典型晶体结构及其几何特征
§2.1 晶体与非晶体
1.晶体的定义 物质的质点(分子、原子或离子)在三维空间作有规律的周 期性重复排列所形成的物质叫晶体。
2. 非晶体
非晶体在整体上是无序的 ；近程有序 。
图 材料中原子的排列
3. 晶体的特征 （1）周期性（不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一 定的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离称为周 期 ）液体和气体都是非晶体。 （2）有固定的凝固点和熔点. （3）各向异性（沿着晶体的不同方向所测得的性能通常 是不同的 ：晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强
六方晶系的晶向指数和晶面指
数同样可以应用上述方法标定，
这时取a1，a2，c为晶轴，而 a1轴与a2轴的夹角为120度，c 轴与a1，a2轴相垂直。但这种 方法标定的晶面指数和晶向指 数，不能显示六方晶系的对称 性，同类型 晶面和晶向，其指 数却不相雷同，往往看不出他 们的等同关系。
根据六方晶系的对称特点，对六 方晶系采用a1，a2，a3及c四个
简单晶胞计算公式
正交晶系
dhkl
1 h k l a b c
2 2 2
立方晶系
d hkl
d hkl
a h k l
2 2 2
六方晶系
1 4 h hk k l 2 3 a c
2 2 2 2
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.七个晶系
2. 十四种布拉菲点阵 按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，最先是布拉菲 （A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。通 常人们所说的点阵就是指布拉菲点阵。
图 布拉菲点阵
思考题
体心单斜点阵是不是一个新的点阵？
体心单斜点阵晶胞为ABCD-EFHG。 可以连成底心单斜点阵，其晶胞为JABD-KEFG
若干个相同部分 假想的几何要素，变换 重合复原 对称性——晶体的基本性质
2， 3， 4， 6 回转对称轴（n）1， 对称面（m） 宏观 对称中心（i） 回转 — 反演轴 1 ， 2， 3， 4， 6
滑动面 a，b，c，n，d 微观 螺旋轴 21；31，32；41，43，42；61，65，62，64，63
度、光学性质 ）。
4.晶体与非晶体的区别 a.根本区别：质点是否在三维空间作有规则的周期性重复 排列 b.晶体熔化时具有固定的熔点,而非晶体无明显熔点,只存 在一个软化温度范围 c.晶体具有各向异性，非晶体呈各向同性（多晶体也呈各 向同性，称“伪各向同性”）
5.晶体与非晶体的相互转化 玻璃经高温长时间加热后能形成晶态玻璃 通常呈晶体的物质如果将它从液态快速冷却下来也可能得 到非晶态 获得非晶态的金属和合金（采用特殊的制备方法 ）