8-4粒子波8-7不确定关系

§8.5 概率波与概率幅
1、光的衍射
•根据光的波动性，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处波 的强度大，暗处波的强度小。而波的强度与振幅的平方成正 比，所以衍射图样中，亮处的波的振幅的平方大，暗处的波 的振幅平方小。 •根据光的粒子性：某处光的强度大，表示单位时间内到达该 处的光子数多；某处光的强度小，表示单位时间内到达该处 的光子数少。 •从统计的观点来看：相当于光子到达亮处的概率要远大于光 子到达暗处的概率。因此可以说，粒子在某处附近出现的概 率是与该处波的强度成正比的，而波的强度与波的振幅的平 方成正比，所以也可以说，粒子在某处附近出现的概率是与 该处的波的振幅的平方成正比的。
单 缝
双 缝
三 缝
四缝
，m mv m
宏观粒子 m 大， 0，表现不出波动性。
三、应用举例 1、电子显微镜
•由于电子波长比可见光波长小 10-310-5数量级，从而可大大 提高电子显微镜的分辨率。 •1932年，德国的鲁斯卡研制成功 •我国已制成80万倍的电子显微镜， 分辨率为14.4nm， 能分辨大个分子
2、扫描隧道显微镜
1981年，德国的宾尼希和瑞士的罗雷尔制成了扫描隧道 显微镜，他们两人因此与鲁斯卡共获1986年的诺贝尔物 理学奖金。其横向分辨率可得0.1nm，纵向分辨率可得 0.001nm ，它在纳米材料、生命科学和微电子学中起着 不可估量的作用。
微观粒子在某些 条件下表现出粒子 性，在另一些条件 下表现出波动性， 而两种性质虽寓于 同一客体体中，却 不能同时表现出来。 少女？ 老妇？ 两种图象不会同时 出现在你的视觉中。
在空间各处出现的概率呢？
玻恩对 的统计解释(1926) ：波函数 是描 其模方 述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。
代表 t 时刻，在坐标 r 附近单位体积中发现一个 粒子的概率， 称为“概率密度”。
z
* 2 Ψ(r ,t ) Ψ(r , t ) Ψ(r , t )

在t 时刻，在 r 附近dV
无论是大量电子同时入射，还是电子一个一 个地长时间地入射，都只是让单个电子干涉的 效果在底片上积累并显现出来而已。
一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：
7个电子
100个电子
3000
20000
70000
底片上出现一个个的点子 电子具有粒子性。 随着电子增多，逐渐形成衍射图样 来源于 而不是电子间相 “一个电子”所具有的波动性， 互作用的结果。 电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数： 有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮 条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有 电子到达，显示“暗条纹”。
1924.11.29德布罗意把题为“量子理论的研究”的博士 论文提交给了巴黎大学。
他在论文中指出： 一个能量为E、动量为 p 的实物粒子，同时 也具有波动性， 它的波长、频率 和 E、p的 关系与光子一样：
E h 德布罗意关系 h h p p 与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，
§8.4 粒子的波动性
光(波)具有粒子性，那么实物粒子具有波动性吗?
法国物理学家德布罗意
（Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 )
思想方法 自然界在许多方 面都是明显地对称的，他采用类 比的方法提出物质波的假设 .
“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来， 是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物理论上，是否发生 了相反的错误呢 ？ 是不是我们关于‘粒子’的图象想得太 多 ，而过分地忽略了波的图象呢？”
是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒 子波函数随时间演化规律。 是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理 若 1 ( r , t ) 和 2 ( r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c1 1 ( r , t ) c2 2 ( r , t ) 也是薛定谔方程的解。 方程中含有虚数 i 它的解 是复函数，复数不能直接测量。 而 的模方代表概率密度，可测量。
2．德布罗意波统计解释
•从粒子的观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地射 向照相底片各处形成的，有些地方电子密集，有些地方电子 稀疏，表示电子射到各处的概率是不同的，电子密集的地方 概率大，电子稀疏的地方概率小。 •从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的强度大，电子 稀疏的地方表示波的强度小，所以，某处附近电子出现的概 率就反映了在该处德布罗意波的强度。对电子是如此，对其 它粒子也是如此。 •普遍地说，在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处出 现的概率成正比的。这就是德布罗意波的统计解释。
dV 内发现粒子的概率为： x
r
y
2 Ψ r ,t ) dV (
2 在空间 发现粒子的概率为： Ψ r ,t dV
Ω
Ψ ( r , t ) 不同于经典波的波函数， 它无直接的
有意义的是 Ψ 和波函数的位相。 物理意义，
2
对单个粒子：Ψ 给出粒子概率密度分布；
对大量粒子： Ψ 给出粒子数的分布； N
2
2
三、波函数应满足的条件
统计诠释对波函数提出的要求
1. 有限:
根据波函数的统计诠释，要求在空间任何 有限体积元中找到粒子的概率为有限值*
三、波函数应满足的条件 2. 归一化条件
粒子出现在dV 体积内的几率为：
2 ( r , t ) d V ( r , t ) dV
粒子在空间各点的概率总和应为 l，

(r , t ) (r , t )dV 1
*
(x,t)
— ( 全空间 )
x
三、波函数应满足的条件
3. 单值
从而保证概率密度——|ψ (r)|2在任意时刻t 都是确定的单值
4. 连续
波函数满足的微分方程为二阶的，要求波函数 的一阶导数连续，波函数本身必须连续。 总之，波函数应满足的条件： 单值、有限、连续和归一
对于非相对论性自由粒子： 算符对应关系：
p2 E x 2m
2 2 i t 2m x 2
作用于波函数，得自由粒子薛定谔方程
2 2 i ( x, t ) ( x, t ) 2 t 2m x
设粒子在势场U(x,t)中运动，能量关系为
p2 E U ( x, t ) 2m
引入拉普拉斯算符：
2 2 2 2 2 2 2 x y z
薛定谔方程：
2 2 i U ( r , t ) t 2m
2 2 i U ( r , t ) t 2m
3．德布罗意波与经典波的不同
•机械波——机械振动在空间的传播 •德布罗意波——是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅 的平方表示粒子出现的概率，故是概率波。
粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之间相互 作用的结果。 为防止电子间发生作用，让电子一个一个地入射， 发现时间足够长后的干涉图样和大量电子同时入射时 完全相同。 这说明，电子的波动性并不是很多电子在空间聚集 在一起时相互作用的结果，而是单个电子就具有波动 性。换言之，干涉是电子“自己和自己”的干涉。
8.67 10 nm
2
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当. 宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度， 因此宏观物体仅表现出粒子性 .
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。 在论文答辩会上，佩林问：
“这种波怎样用实验来证实呢？” 德布罗意答道： “用电子在晶体上的衍射实验可以做到。”
h h 电子的波长： （电子v << c） p 2m0 E h h 设加速电压为U 1.225 (nm ) p 2m0eU （单位为伏特） U
U=150V 时， =0.1nm — X 射线波段
二、物质波的实验验证
1. 戴维逊—革末实验（ C．J．Davisson，1881－1958； L．H．Germer，1895－1971 ） 贝耳电话公司实验室的戴维 逊和革末研究电子在镍单晶 上的衍射（1927） 。
玻恩（M.Born）：德布罗意波并不像经典 波那样是代表实在物理量的波动， 而是描述粒
子在空间的概率分布的“概率波”。
二、波函数及其统计解释 1、波函数（wave function）
量子力学假定：微观粒子的状态用波函数 表示。
平面简谐波函数： y = Acos( t-kx) i ( t kx ) 复数表示： y Ae 概率波波函数： 一维 Ψ（x , t ) ， 三维 Ψ( r , t ) 2、波函数的统计解释 物质波是“概率波”，它是怎样描述粒子
( x,t ) p i x ( x, t ) i px x x 2 2 ( x,t ) p2 2 2 x ( x, t ) 2 p x 2 x x2
算符(operator) 对波函数的运算、变换 或操作。例如
( x, t ) ：算符 t 代表对波函数关于 t 求导 t ( x, t ) ：算符 x 代表对波函数关于 x 求导 x
ˆ x ( x, t ) x ( x, t ) ：算符 x 代表用 x 乘波函数 ˆ
*( x, t ) ：对波函数取复共轭
算符是通过对波函数的作用关系来定义的
算符和力学量的对应关系：
2 2 i E , i p x , 2 2 px x x t
E h
— 德布罗意波长（de Broglie wavelength）
例 在一束电子中，电子的动能为 200eV ， 求此电子的德布罗意波长 ？
1 2 解 v c, Ek m0 v 2
19
v
2 Ek m0
2 200 1.6 10 1 6 -1 v m s 8.4 10 m s 31 9.110 34 h 6.63 10 nm v c 31 6 m0 v 9.1 10 8.4 10