高一物理必修2竖直平面内的圆周运动的临界问题

运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为
v1 和 v2 ，
细线所受拉力分别为 F1 、 F2 ，则 （
）
A ． v1= 5gL
B． v2 = 0
C． F1 = 5mg
D． F2 = 0
解析：小球恰能通过最高点，细线拉力
2
F2 = 0，有 mg m v2 ，得 v2 = gL ；由机械能守 L
a
b
图 6-11-1
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用
v2 mg = m
R
v临界 = Rg
（ 2）小球能过最高点条件： v ≥ Rg
（当 v > Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（ 3）不能过最高点条件： v < Rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
Rg
C ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反
图 6-11-3
D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力
解析：小球用轻杆支持过最高点时， v临 0 ，故 B 不正确；当 v Rg 时， F = 0 故 A
正确。当 0< v < Rg 时， mg > F > 0 ，F 为支持力故 D 正确。当 v > Rg 时， F >0，F 为拉力，
D． a 处为推力， b 处为推力
a 图 6-11-6
解析：小球到最低点时， 向心力向上， 此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，
细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当
0 v Rg 时， F向 mg ，
此时为推力，当 v Rg ， F向 mg ，此时为拉力。故选： A 、 B
下列说法中正确的是 （ ）
A ．球过最高点时，速度为零
C．开始运动时，绳的拉力为
v2 m
L
解析：开始运动时，由小球受的重力
B．球过最高点时，绳的拉力为 mg
D ．球过最高点时，速度大小为
Lg
mg 和绳的拉力 F 的合力提供向心力，即
F mg m v0 2 ， F m v02 mg ，可见 C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为
高一物理必修 2 竖直平面内的圆周运动的临界问题
【 学习目标 】
1．了解竖直平面内的圆周运动特点。
2．掌握物体在竖直平面内做圆周运动过最高点的运动情况及受力情况分析方法。
3．掌握物体在竖直平面内做圆周运动时临界问题的分析方法。 【 教材解读 】
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。 一般情况下， 只讨论最高点和最低点的情
m v22 L
解得： v2
Lg FL m
Lg
可见 vA Lg 是杆对小球 m 的作用力 F 在推力和拉力之间突变的临界速度 .
(3) 杆长 L = 0.5m 时，临界速度 v临
Lg
0.5 10 m/s =2.2 m/s ， vA = 0.4m/s < v临 ,
杆对小球有推力 FA 。由 mg F A m
0，
L
L
v2 mg m ， v
L
Lg ，所以， A 、B 、 C 均不正确。故选： D
例 2：如图 6-11-3 所示，一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端
O 为圆心，使小球做半径为 R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）
A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零
O
B ．球过最高点时，最小速度为
用力各是多大 ? 是推力还是拉力 ? 解析： (1) 若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆
A
vA
周运动的向心力由重力
mg 提供， mg
mvA 2 L
解得： vA
Lg
O
(2) 若小球 m 在最高点 A 时受拉力 F，则
图 6-11-8
F
mg
m
v
2 1
L
解得 v1
FL gL
m
Lg
若小球 m 在最高点 A 时受推力 F，则 mg F
图 6-11-4
面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度
大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员 与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压
力是多少？他这时可能有什么感觉？（ g 取 10m/ s２ ）
【目标达成 】
1．如图 6-11-5 所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端
（）
A ． v ≥ 2gL B． v ≥ 3gL C． v ≥ 2 gL D． v ≥ 5gL
解析：小球到最高点速度
v1 ≥ 0，由机械能守恒得： 1 mv 2
2
mg 2L
1 2
mv
2 1
，解得：
v
≥2 gL 。故选： C
7．如图 6-11-7 所示，一个高为 h 的斜面，与半径为 R 的圆形轨道平滑地连接在一起。现
mg
m v02 ，则最小速率 R
v0
Rg
0.4 10 m/s = 2m/s
（ 2）水在最高点速率大于 v0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下
v2 的压力，设为 F，由牛顿第二定律有 F + mg = m ， F =
R
律知，水对桶底的作用力 F/ ＝F = 6.25N ，方向竖直向上。
有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端
B 而不落下，则斜面
的高度 h 应为多大？
解析：小球到达顶端 B 速度为 v，则： mg m v2 2
B
R
h
解得： v≥ Rg ，由机械能守恒得：
mgh mg 2R 1 mv 2 2
解得： h
5 R
2
图 6-11-7
8．如图 6-11-8 所示，杆长为 L，杆的一端固定一质量为 m 的小球，杆的质量忽略不计，
圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终
通过最高点 D，则小球在通过 D 点后
（
）
D
h
A ．会落到水平面 AE 上 B ．一定会再次落到圆轨道上 C．可能会落到水平面 AE 上 D ．可能会再次落到圆轨道上
解析：小球刚好能过最高点时速度
C
AE
B 图 6-11-9
v = Rg ，离开 D 后作平抛运动，下落高度为 R 时间
3．长为 L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速
度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为
v，则下列叙述正确的是
（）
A ． v 的最小值为 gL
B ． v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C． v 由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大
D ． v 由 gL 逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大
为 t = 2R ，水平位移 x = vt = 2 R >R，所以，小球一定落在 AE 上。故选： A
g
10．如图 6-9-10 所示，半径为 R，内径很小的光滑半圆管竖直放
C
置， AB 段平直，质量为 m 的小球以水平初速度 v0 射入圆管。
（ 1）若要小球能从 C 端出来，初速度 v0 多大？
R
【拓展提高 】
4 10 0.5 m/s = 4.5m/s ，在最低点 B，小球 m 受拉力 FB ，由
mg m vB2 L
2
(0.5 10 0.5 4.5 ) N = 25.3N 0.5
9．如图 6-11-9 所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道
ABCD ，其 A 点与圆心等高，
D 点为轨道最高点， DB 为竖直线， AC 为水平线， AE 为水 平面，今使小球自 A 点正上方某处由静止释放，且从 A 点进入
界速度为 v，当小球以 2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是
Байду номын сангаас
（）
A．0
B ． mg
C． 3mg
D ．5mg
解析： 到最高点临界速度为 v，则： mg
m v 2 ；当速度为 2v 时，则： F
mg
(2 v) 2 m
R
R
（F 为压力）；由上两式解得： F = 3mg。故选： C
5．长为 L 的细绳一端拴一质量为 m 的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周
（ 3）当 v = Rg 时， F=0
（ 4）当 v > Rg 时， F 随 v 增大而增大，且 F >0 （ F 为拉力）
【案例剖析 】
例 1．长为 L 的细绳，一端系一质量为 m 的小球，另一端固定于某点， 当绳竖直时小球静
止，再给小球一水平初速度 v0 ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则
解析：这是“杆模型” ，小球到最高点速度 v 0 ， A 错；由 F向
v2 m
得， v 增大，
F向
L
增大， B 对；当 0< v < Lg 时，弹力 F 随 v 减小而增大（ F 为支持力），当 v > Lg 时， F 随
v 增大而增大（ F 为拉力） , C 错， D 对。故选： B、 D
4．质量为 m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临
２．“杆模型”如图 6-11-2 所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况
（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）
杆 O
a
b
图 6-11-2
（ 1）小球能最高点的临界条件： v = 0 ，F = mg（ F 为支持力）
（ 2）当 0< v < Rg 时， F 随 v 增大而减小，且 mg > F > 0 （ F 为支持力）