九年级数学中考压轴题同步练习2.5《一元二次方程根与系数的关系》
北师大版九年级上册 2.5 一元二次方程的跟和系数的关系(含答案及解析)
初中数学北师大版九年级上学期第二章 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系一、单选题1.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A. 4B. 2C. 1D. ﹣22.若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（）A. ﹣2B. ﹣3C. 2D. 33.若，，则以，为根的一元二次方程是（）A. B. C. D.4.已知，是方程的两个实数根，则的值是( )A. 2023B. 2021C. 2020D. 20195.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别是( )A. b=-1，C=2B. b=1，C=-2C. b=1，c=2D. b=-1，c=-26.兰兰和笑笑分别解一道关于X的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（）A. x2+7x-12=0B. x2-7x-12=0C. x2+7x+12=0D. x2-7x+12=0二、填空题7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________.8.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则方程的另一个根为________.9.若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0<m≤32)的两根，则矩形的周长为________三、计算题10.已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．四、解答题11.阅读材料：已知方程a22a 1=0，1 2b b2=0且ab≠1，求的值.解：由a22a 1=0及1 2b b2=0，可知a≠0，b≠0，又∵ab≠1，.1 2b b2=0可变形为，根据a22a 1=0和的特征.、是方程x22x 1=0的两个不相等的实数根，则，即.根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：3m27m 2=0，2n2+7n 3=0且mn≠1，求的值.五、综合题12.如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，且OC=x1+x2，OA=x1x2（1）求B点的坐标.（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BD的解析式．（3）在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平形四边形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.答案：A解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系同步训练(含解析)
数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系同步训练（含解析）6.已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A.7B.11C.12D.167.关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（）A.B.C.4D.﹣48.关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题9.已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为________．10.已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则________.11.若x1， x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是________．12.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=________13.关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．14.通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1•x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1， x2，且x12+x22=1，则k的值为________．三、解答题15.已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2-2m＝0有一个实根为-1，求m的值及方程的另一个实根. 16.已知关于x的方程（的两根之和为，两根之差为1，•其中a,b,c是△ABC的三边长．（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．17.关于x的一元二次方程有两个不等实根（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根满足，求k的值．18.已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）19.设x1， x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．（1）x12＋x22；（2）；（3）x12＋x22－3x1x2.20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1， x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．21.已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2， k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．答案解析部分一、选择题1.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】解答: 设一元二次方程的另一根为，则根据一元二次方程根与系数的关系，得-1+ =-3，解得：=-2．故选A．分析: 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根2.【答案】C【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2019=0的根，∴a2+a﹣2019=0，∴a2=﹣a+2019，∴a2+2a+b=﹣a+2019+2a+b=2019+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2019﹣1=2019．故选C．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=﹣a+2019，则a2+2a+b=2019+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算．3.【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；B．两根之和=－1，故不符合题意；C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；D．两根之和=1，故符合题意．故答案为：D．【分析】根据根与系数的关系和根的判别式可求解。
根与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(人教版)
根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。
分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。
一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若|x1|+|x2|=k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=―1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形21xx，abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0，即为(x +m )2=m 2―m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0，∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1，x 2，∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk，分两种情况：①若两根同号，由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号，由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8，∴――4×1―2kk=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±（2）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k，若x 1，x 2均为整数，则x 1+x 2=―2k 为整数，∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x 1x 2=1―2kk不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x 2+2x ―1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =―1时，此时方程为―x 2+2x +3=0，方程的两个根为x 1=―1,x 2=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取―1时，x 1，x 2均为整数；（3）显然，当k =―1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数，∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m(m≠0)，m为整数，则方程kx2+2x+1―2k=0即为x2+2mx+m―2=0，配方得：(x+m)2=m2―m+2，即x=―m±当m=2即k=12时，方程的两根为x1=0,x2=―4，都是整数，符合题意；当m≠2时，m2―m+2=(m―12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；综上，k=―1或12．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且1<x1<2< x2<4，那么方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为( )A．12<x3<1B．―4<x3<―2C．―12<x3<―14D．―1<x3<―12【思路点拨】由根与系数的关系得出x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，再设方程cx2―bx+a=0的为m，n，根据根与系数的关系得出m+n=―(1x2+1x1)，mn=x1⋅x2，从而得出方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，然后由1<x1<2<x2<4，求出―1x1，―1x2的取值范围，从而得出结论．【解题过程】解：∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，∴x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，设方程cx2―bx+a=0的两根为m，n，则m+n=bc ，mn=ac，∵m+n=bc =―ba⋅(―ac)，mn=1x1⋅x2，∴m+n=―(x1+x2)⋅1x1⋅x2=―x1+x2x1⋅x2=―(1x2+1x1)，∴方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，∵1<x1<2，2<x2<4，∴12<1x1<1，14<1x2<12，∴―1<―1x1<―12，―12<―1x2<―14，∵―1x1<―1x2，∴方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为―1<x3<―12．故选：D．2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x2+2px―3p―2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4―(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．―34C．―1D．―54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，进而推出x13=3px1+2x1―2px12，则x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1―2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=―2p，x12+x22=(x1+x2)2―4p 得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px―3p―2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，x1x2=―3p―2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1―2px12，∴x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，∵x12＋x13=4―(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1―2px12+x12+3px2+2x2―2px22+x22=4，∴(3p+2)(x+x)+(1―2p)(x2+x2)=4，∴(3p+2)(―2p)+(1―2p)(―2p)2―2(―3p―2)=4，∴―6p2―4p+(1―2p)4p2+6p+4=4，∴―6p2―4p+4p2+6p+4―2p4p2+6p+4=4，∴―2p2+2p―2p4p2+6p+4=0，∴―2p4p2+6p+4+p―1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=―1，p3=―34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=―1不符合题意，∴p1+p3=―34∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2―2x+a2+b2+ab=0的两个根为x1=m，x2=n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（ ）①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程(x+1)2+a2―a=0的两个根为x1=m―2，x2=n―2．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a2―a+1=a+34 >0，从而即可对①进行判断；由于x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ=4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，则可对③进行判断；利用a2+b2+ab=a2―a+1把方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，由于方程(x―1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．【解题过程】解：根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，∵a+b=1，∴b=1―a，>0，所以①正确；∴mn=a2+(1―a)2+a(1―a)=a2―a+1=a―+34∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0，∴4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，∴a≥a2，所以③错误；∵a2+b2+ab=a2―a+1，∴方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，即(x―1)2+a2―a=0，∵方程(x+1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，∴x+2=m或x+2=n，解得x1=m―2，x2=n―2，所以④正确．故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2―8cx―9d=0的解，c、d是方程x2―8ax―9b=0的解，则a+b+c+d的值为．【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a2―8ac―9d=0，代入可得a2―72a+9c―8ac=0，同理可得c2―72c+9a―8ac=0，两式相减即可得a+c 的值，进而可得a+b+c+d的值．【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．因为a是方程x2―8cx―9d=0的根，所以a2―8ac―9d=0，又d=8a―c，所以a2―72a+9c―8ac=0①同理可得c2―72c+9a―8ac=0②①-②得(a―c)(a+c―81)=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a|+|b|+|c|的最小值【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2―a，bc=4，a=0的两实根，于是b，c是一元二次方程x2―(2―a)x+4a≥0，即(a2+4)(a―4)≥0，∴Δ=(2―a)2―4×4a所以a≥4．又当a=4，b=c=―1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则|a|+|b|+|c|=a―b―c=a―(2―a)=2a―2，∵a≥4，故2a―2≥6，当a=4，b=c=―1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝，ax1+x1x2+ax2的最大值是．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a―2，即可求出b―2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=―2，x1x2=a―2，进而得出ax1+x1x2+ax2=―2a=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，根据方程a2―t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2a+1，设a+1a―4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2―2=0，∴a(x+1)2―2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a―2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a―2，∴b―2c=2a―2(a―2)=4；∵x1+x2=―2，x1x2=a―2，a=―2a++1，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=―2a+a―2a∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2―4ac=(2a)2―4a(a―2)8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2―t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2―4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=―2a+1≤―3．故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn，则m、n为t2―44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x3+y3变形后将m=n=22代入计算即可．【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x2y+xy2=xy(x+y)=mn，∴m、n为t2―44t+484=0的根，∴m=n=22，∴x3+y3=(x+y)x2+y2―xy=(x+y)(x+y)2―3xy=n[n2―3m]=n3―3mn=9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1―1+1x2―1的值；（2）求3x21+6x1+x22的值．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x1⋅x2=ca，x1+x2=―ba时，需要弄清楚a、b、c的意义．（1）利用根与系数的关系求得求1x1―1+1x2―1的值的值；（2）由一元二次方程的解可得x21+3x1―5=0,再利用根与系数的关系求解即可．【解题过程】（1）∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴1x1―1+1x2―1=x2―1+x1―1 (x1―1)(x2―1)=x1+x2―2x1x2―(x1+x2)+1=―3―2―5―(―3)+1=5；（2）∵x1是一元二次方程x2+3x―5=0的根，∴x21+3x1―5=0,∴x21+3x1=5，又∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴3x21+6x1+x22=2x21+3x1+(x1+x2)2―2x1x2=29．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca．（1）根据方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(―2m)2―4(m2―n)>0，解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x1、x2，且x1>x2，∴x1+x2=2m，x1⋅x2=m2―n，由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x1=3x2，∴4x2=2m，3x22=m2―1，∴3×m24=m2―1，解得：m1=―2，m2=2．当m=2时，x2=1，则x1=3x2=3，符合题意，当m=―2时，x2=―1，则x1=3x2=―3<x2，与x1>x2不符，舍去，∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=―2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca可得：1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=2m2+m，进一步可寻找1α2024+1β2024的规律，即可求解．【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0，α和β分别是该方程的两个根，∴αβ=―m2―m∵αβ=―2，∴―2=―m2―m∴m=1或m=―2；（2）解：设方程x2+2x―m2―m=0的两个根为：x1,x2则x1+x2=―ba =―2,x1⋅x2=ca=―m2―m，∴1 x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m=2m(m+1)∴1α1+1β1=21×2，1α2+1β2=22×3，1α3+1β3=23×4…．．1α2024+1β2024=22024×2025∴1+1+1+1+⋯+1+1=2×+1+...+=2×1―12+12―13+...+12024=2×1―=4048202511．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m 的取值范围（2）若满足1α+1β=―1，求m 的值．（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，因为1α+1β=―1，所以2m+3m 2=1，解得m 1=3，m 2=―1，结合m >―34，即可作答；（3）因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，结合α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，得m 2+2(2m +3)+4=(m +2)2+6，则(α―2)(β―2)≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2+(3)x +m 2=0的两个不相等的实数根∴Δ=b 2―4ac =(2m +3)2―4×1×m 2=4m 2+12m +9―4m 2=12m +9>0，即m >―34；（2）解：∵1α+1β=βαβ+ααβ=α+βαβ=―1，且α+β=―b a =―(2m +3)，αβ=ca =m 2∴2m+3m 2=1整理得m 2―2m ―3=0，解得：m 1=3，m 2=―1∵由（1）知m >―34，∴m =3检验：当m =3时，m 2≠0，即m =3；（3）证明：因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，把α+β=―(2m+3)和αβ=m2代入上式，得m2+2(2m+3)+4=m2+4m+10=(m+2)2+6，∵(m+2)2≥0，∴(m+2)2+6≥6∴(α―2)(β―2)≥6>0∵α>2，∴α―2>0，∴β―2>0，即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α―β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y) x2+y2―xy．【思路点拨】（1α+β=―4,αβ=1，再求得(α―β)2的值，进而求得|α―β|的值．++α+β=―4,αβ=1代（2入计算即可；（3+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β∴α+β=―4,αβ=1∴(α―β)2=(α+β)2―4αβ=12∴|α―β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵+=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2―2αβαβ+2=16，=4（负值舍去）；（3+=(1α+1β)+―=α+βαβ=α+βαβ=―411=―52==1所以新的一元二次方程x2+52x+1=0．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=―2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0可有x=m为整数，则Δ=m2―10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[―(m―1)]2―4m×2=m2―10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=――(m―1)m =m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，∵m―1m =1―1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1―10+1=―8<0，不符合题意；当m=―1时，Δ=1+10+1=12>0，m―1m =―1―1―1=2，为整数，符合题意；∴m的值为―1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=―2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0的根为：x=若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2―10m+1为完全平方数，设m2―10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n―k)=24，∴k+n=12n―k=2或k+n=6n―k=4或k+n=8n―k=3或k+n=24n―k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=11（不合题意，舍去）或k=232n=25（不合题意，舍去）∴m 2―10m +1=12=1或m 2―10m +1=52=25；当m 2―10m +1=1时，解得m =10或m =0（舍去）；当m 2―10m +1=25时，解得m =―2或m =12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m 的值为0或10或―2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m 为整数，关于x 的方程(m 2+m ―2)x 2―(7m +2)x +12=0有两个整数实根．（1）求m 的值．（2）设△ABC 的三边长a,b,c 满足c =2+a 2m ―12a =0,m 2+b 2m ―12b =0．求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x 1,x 2，根据两个整数实根，则x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，进而分类讨论，即可求解；（2）由（1）得出的m 的值，然后代入将m 2+a 2m ―12a =0，m 2+b 2m ―12b =0进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．【解题过程】（1）解：∵m 2+m ―2≠0，∴m ≠―2或m =1，∵方程有两个实数根，∴Δ=b 2―4ac =[―(7m +2)]2―4×12×(m 2+m ―12)=m 2―20m +580=(m ―10)2+480>0设原方程的两个解分别为x 1,x 2∴x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，∴m 2+m ―2=1,2,3,4,6,12m 2+m ―2=1，解得：m =m 2+m ―2=2，解得：m =m 2+m ―2=3，解得：m =m 2+m ―2=4，解得：m =―3或m =2m 2+m ―2=6，解得：m =m2+m―2=12，解得：m=当m=―3时，7m+2m2+m―2=―21+24=―194不是整数，舍去当m=2时，7m+2m2+m―2=14+24=4符合题意，综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2―6a+2=0，b2―6b+2=0，当a=b时，a=b=3当a≠b时，a、b是方程x2―6x+2=0的两根，而Δ>0，根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=a2+b2=(a+b)2―2ab=36―4=32=c2，故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，SΔABC=12ab=1；②a=b=3c=2(3―<故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3c=2(3+>SΔABC=12×=综上，△ABC的面积为1或15．（22-23九年级上·湖南常德·材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=―1，则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2= ___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2―3s―1=0，t2―3t―1=0，且s≠t，求1s ―1t的值．【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m +n =―ba =3，mn =ca =―1，再根据nm +mn=m 2+n 2mn=(m+n )2―2mnmn，最后代入求值即可；（3）由题意可将s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，即得出s +t =―b a =3，s ⋅t =ca =―1，从而可求出(t ―s )2=(t +s )2―4st =13，即t ―s =t ―s =―【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=―ba =――31=3，x 1⋅x 2=c a =―11=―1．故答案为：3，―1；（2）∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两根分别为m 、n ，∴m +n =―ba =3，mn =ca =―1，∴nm +m n=m 2+n 2mn=(m +n )2―2mn mn =32―2×(―1)―1=―11；（3）∵实数s 、t 满足s 2―3s ―1=0，t 2―3t ―1=0，∴s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，∴s +t =―ba =3，st =ca =―1，∵(t ―s )2=(t +s )2―4st =32―4×(―1)=13∴t ―s =t ―s =―当t ―s =1s―1t =t―s st==―当t ―s =―1s―1t =t―s st==综上分析可知，1s ―1t 的值为16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx +n =0或px +q =0时，多项式A =(mx +n )(px +q )=mpx 2+(mq +np )x +nq 的值为0，把此时x 的值称为多项式A 的零点．（1）已知多项式(3x +1)(x ―2)，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，求多项式B 的另一个零点；（3）小聪继续研究(x ―3)(x ―1)，x (x ―4)及x ――x 轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x =2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M =(2ax +b )(cx ―5c )=bx 2―4cx ―2a ―4是“2系多项式”，求a 与c 的值．【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，求得a =2，再解一元二次方程即可求解；（3）令cx ―5c =0，求得M 的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx 2―4cx ―2a ―4=0的两个根为x 1=―1，x 2=5，再利用根与系数的关系即可求解．【解题过程】（1）解：令(3x +1)(x ―2)=0，∴3x +1=0或x ―2=0，∴x =―13或x =2，则此多项式的零点为―13或2；故答案为：―13或2；（2）解：∵多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，∴将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，得a ―(a ―1)―a2=0，解得a =2，∴B=2x2―x―1=(x―1)(2x+1)，令2x+1=0，解得x=―12，∴多项式B的另一个零点为―12；（3）解：∵M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”，令cx―5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则y+52=2，解得y=―1，即2ax+b=0时，x=―1，则―2a+b=0①，令M=bx2―4cx―2a―4=0，根据题意，方程bx2―4cx―2a―4=0的两个根为x1=―1，x2=5，∴x1+x2=――4cb =5+(―1)=4，x1⋅x2=―2a―4b=5×(―1)=―5，∴c=b②，5b―2a―4=0③，解①②③得c=b=1，a=12，∴a=12，c=1．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)x2―x―1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，s n=αn+βn．根据根的定义，有α2―α―1=0，β2―β―1=0，将两式相加，得α2+β2―(α+β)―2=0，于是，得s2―s1―2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想s n，s n―1，s n―2之间满足的数量关系，并给出证明．【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=2(k+1)，x1x2=k2+2．由(x1+1)(x2+1)=8，可得x1x2+(x1+x2)+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，进而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，再由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0．最后结合题意即可得出s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．【解题过程】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，∴x1+x2=―ba =――2(k+1)1=2(k+1)，x1x2=ca=k2+21=k2+2，∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=k2+2+2(k+1)+1=8，整理，得：k2+2k―3=0，解得：k1=―3，k2=1．当k=―3时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2(―3+1)]2―4(―32)+2=―28<0，∴此时原方程没有实数根，∴k=―3不符合题意；当k=1时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2×(1+1)]2―4(12+2)=4>0，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1；（2）①∵x2―x―1=0，∴a=1，b=―1，c=―1．∵α，β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，∴α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，∴s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=12―2×(―1)=3；②猜想：s n=s n―1+s n―2．证明：根据一元二次方程根的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，∵s=α+β，s=α+β，s=α+β，∴s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1<x2．（1）若m=―1，求x12+x22的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB=m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x2，求该直角三角形的面积．【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b2―4ac”，根与系数关系“x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；（1）将m=―1代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，将x12+x22转化即可求解；（2）根据点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数图像上，得出A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，再根据根与系数关系得到x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，根据AB=（3）根据直角三角形两直角边x1,x2为整数，得出Δ=b2―4ac=m2―12m+4，令m2―12m+4=k2(k为正整数)，得出(m+k―6)(m―k―6)=32，又m+k―6>m―k―6，然后分三种情况取值即可解答；【解题过程】（1）当m=―1时，方程为x2―x―4=0，Δ=b2―4ac=(―1)2―4×1×(―4)=17>0，∴x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，即x21+x22=(x1+x2)2―2x1x2=12―2×(―4)=9；（2）将A(x1,y1),B(x2,y2)代入y=3x+1可得A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，又Δ=(m+2)2―4×4m>0，故x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，AB2=(x1―x2)2+(y1―y2)2=10(x1―x2)2，即10(x1―x2)2=10，(x1―x2)2=1，(x1―x2)2=(x1+x2)2―4x1x2=1，(m+2)2―4×4m=1，(m―6)2=33，m1=6+2=6―（3）∵直角三角形两直角边x1,x2为整数，∴Δ=b2―4ac=(m+2)2―4×4m=m2―12m+4为平方数，不妨令m2―12m+4=k2(k为正整数)，(m―6)2―32=k2，(m+k―6)(m―k―6)=32，m+k―6>m―k―6，当①∴m+k―6=32,m―k―6=1，解得m=452（不合题意舍去）；当②m+k―6=16,m―k―6=2，解得m=15，∴方程x2―17x+60=0，x1=12,x2=5，则斜边为13，即S=x1⋅x22=30；当③m+k―6=8,m―k―6=4，解得m=12，∴方程x2―14x+48=0，x1=6,x2=8，则斜边为10，即S=x1⋅x22=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=―p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab +ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x =x 1y =y 1 和x =x 2y =y 2是关于x ，y 的方程组x 2―y +k =0x ―y =1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，求出a +b ，ab 的值，即可求出ab +ba 的值；（2）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =―c ，ab =16c，a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，再根据c 2―4×16c≥0，即可求出c 的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x 1+x 2=1，x 1x 2=k +1，再解y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2，即可求出k 的值．【解题过程】（1）解：∵a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，∴a +b =―15，ab =5，∴ab +ba =(a+b )2―2abab=(―15)2―2×55=43，∴ab +b a =43；（2）∵a +b +c =0，abc =16，∴a +b =―c ，ab =16c ，∴a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，∴c 2―4×16c≥0，∴c 2―43c≥0，∵c 是正数，∴c 3―43≥0，∴c 3≥43，∴c ≥4，∴正数c 的最小值是4；（3）存在，当k =―2时，y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2．理由如下：∵x2―y+k=0①x―y=1②，由①得：y=x2+k，由②得：y=x―1，∴x2+k=x―1，即x2―x+k+1=0，由题意思可知，x1，x2是方程x2―x+k+1=0的两个不相等的实数根，∴(―1)2―4(k+1)>0x1+x2=1x1x2=k+1，则k<―34，∵x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解，∴y1y2=(x1―1)(x2―1)，∴y1y2―x1x2―x2x1=(x1―1)(x2―1)―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴x1x2―(x1+x2)+1―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴k+1―1+1―1―2(k+1)k+1=2，整理得：k2+2k=0，解得：k1=―2，k2=0（舍去），∴k的值为―2．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10，x2=―3，因―10<―3<0，3<―10―3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x 1=―7，x 2=―2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32，代入x 1+x 2+x 1x 2=―1，即可求出k 1=2，k 2=―1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x 1=―1，x 2=m 或x 1=m ，x 2=―1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m <0且m ≠―1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x 2+9x +14=0，(x +2)(x +7)=0，∴x +2=0或x +7=0，∴x 1=―7，x 2=―2．∵―7<―2，3<―7―2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0的两个根分比为x 1、x 2，∴x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32．∵x 1+x 2+x 1x 2=―1，∴―k+72+k 2+32=―1，解得：k 1=2，k 2=―1．分类讨论：①当k =2时，原方程为2x 2+9x +7=0，∴x 1=―72，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，3<x 1x 2=72<4，∴此时方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0是“限根方程”，∴k =2符合题意；②当k =―1时，原方程为2x 2+6x +4=0，∴x 1=―2，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，x 1x 2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=―1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1―m)x―m=0，(x+1)(x―m)=0，∴x+1=0或x―m=0，∴x1=―1，x2=m或x1=m，x2=―1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠―1，∴(1―m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠―1．分类讨论：①当―1<m<0时，∴x1=―1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<―1m<4，解得：―13<m<―14；②当m<―1时，∴x1=m，x2=―1，∵3<x1x2<4，∴3<m―1<4，解得：―4<m<―3．综上所述，m的取值范围为―13<m<―14或―4<m<―3．。
北师大版-数学-九年级上册-2.5 一元二次方程的根与系数的关系 名优练习
一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的一般形式是；2. 一元二次方程的两个根是， .【探究】1. 解下列一元二次方程，完成下列问题：（1），得，，因此，.（2），得，，因此，.（3），得，，因此，.观察你的结果，你能发现，与一元二次方程的系数有什么关系吗？即：※（韦达定理）一元二次方程的两个根若为，则有：， .2. 你能证明你的结论吗？※推论：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是【自主完成】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：（1） （2）（3）练习. 不解方程，求下列方程两根的和与积：（1）(2) （3）【当堂巩固】1.已知方程22=+x x ，则下列说法中，正确的是（ ）A. 方程两根和是1B. 方程两根积是2C. 方程两根和是1-D. 方程两根积比两根和大22．关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝____；c ＝_ _．3.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是__ ____.4.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.【课后训练】1. 已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x .2．已知是方程的两个根，则 _____ _____. 3. 一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于__ __.4. 已知1x ，2x 是方程2630x x++=的两实数根，则2112x xx x+的值为_____.5. 关于x的方程20x px q++=的两根同为负数，则（）A.且B.且C.且D.且6. 若关于x的一元二次方程22430x kx k++-=的两个实数根是12,x x,且.则k的值为（）A. －1或34B. －1C.34D. 不存在7. 若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。
湘教版数学九年级上册_同步练习：一元二次方程根与系数的关系2
2.4 一元二次方程根与系数的关系一、选择题1．若3是关于方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5考点：根与系数的关系．分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x=5，即x=2．故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得．2．已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得出x1x2=ca=﹣2，即可得出另一根的值．解答：解：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴x1x2=ca=﹣2，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．3．关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是（）A．1 B．-1 C．1或-1 D．2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2-8a（a+1）＞0，即a2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴ 3a+1a- 2a+2a=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．故选：B．点评：此题主要考查了根与系数的关系，由x1-x1x2+x2=1-a，得出x1+x2-x1x2=1-a 是解决问题的关键．4．若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣3 B．﹣1C．1 D．3考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）=2，解此方程即可．解答：解：设方程另一个根为x1，∴x1+（﹣1）=2，解得x1=3．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=ba，x1•x2=ca．5．若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=ca来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根，∴由韦达定理，得x1•x2=﹣2，即﹣x2=﹣2，解得，x2=2．即方程的另一个根是2．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=b a 、x1•x2=ca时，要注意等式中的A．B．c所表示的含义．6．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2考点：抛物线与x轴的交点．分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．解答：解：∵x1和x2为方程的两根，∴（x1-a）（x1-b）=1且（x2-a）（x2-b）=1，∴（x1-a）和（x1-b）同号且（x2-a）和（x2-b）同号；∵x1＜x2，∴（x1-a）和（x1-b）同为负号而（x2-a）和（x2-b）同为正号，可得：x1-a＜0且x1-b＜0，x1＜a且x1＜b，∴x1＜a，∴x2-a＞0且x2-b＞0，∴x2＞a且x2＞b，∴x2＞b，∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1＜a＜b＜x2．故选C．点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．7．已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（）A．1 B．2 C．-2 D．-1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得出x1x2=-2，即可得出另一根的值．解答：解：∵x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，∴x1x2=-2，∴1×x2=-2，则方程的另一个根是：-2，故选C．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．8．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=ca解答并作出选择．解答：解：∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，∴x1•x2=ca=3．故选B．点评：此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=ca中的a与c的意义．二、填空题1．已知a．b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，则代数式（a-b）（a+b-2）+ab的值等于____．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵a．b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，∴ab=-1，a+b=2，∴（a-b）（a+b-2）+ab=（a-b）（2-2）+ab=0+ab=-1，故答案为：-1．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．2．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=1，另一个根是﹣3．考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．专题：方程思想．分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣ba解出方程的另一个根．解答：解：根据题意，得4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，解得，m=1；由韦达定理，知x1+x2=﹣m；∴2+x2=﹣1，解得，x2=﹣3．故答案是：1．﹣3．点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣ba．x1•x2=ca来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．3．如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是如：x2﹣5x+1=0．考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：开放型；数形结合．分析：连接AD ，BD ，OD ，由AB 为直径与四边形DCFE 是正方形，即可证得△ACD ∽△DCB ，则可求得AC•BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB 的值，即可得AC+BC=AB ，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一． 解答：解：连接AD ，BD ，OD ，∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，∵四边形DCFE 是正方形，∴DC ⊥AB ，∴∠ACD=∠DCB=90°，∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，∴∠A=∠CDB ，∴△ACD ∽△DCB ， ∴BC DC DC AC ， 又∵正方形CDEF 的边长为1，∵AC•BC=DC 2=1，∵AC+BC=AB ，在Rt △OCD 中，OC2+CD2=OD2，∴OD=52， ∴5以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是x 25．故答案为：此题答案不唯一，如：x 25x+1=0．点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．4．若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根，则x 12+x 22= ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可．解答：解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=﹣ba=﹣1，x1•x2=ca=﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．故答案是：3．点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x1+x2和x1•x2的值．5．已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为﹣1．考点：根与系数的关系．专题：探究型．分析：先根据一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，求出y1+y2及y1•y2的值，再代入（y1﹣1）（y2﹣1）进行计算即可．解答：解：∵一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1．y2，∴y1+y2=3，y1•y2=1，∴（y1﹣1）（y2﹣1），=y1y2﹣y1﹣y2+1，=y1y2﹣（y1+y2）+1，=1﹣3+1，=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca．6．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为．考点：根与系数的关系；解一元二次方程，因式分解法；根的判别式．分析：由题意设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2，得x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2-2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．解答：解：设方程方程x2+（2k+1）x+k2-2=0设其两根为x1，x2，得x1+x2=－（2k+1），x1•x2=k2-2，△=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，∴k＞－94，∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2－2 x1•x2=11，∴（2k+1）2－2（k2－2）=11，解得k=1或－3；∵k＞－94，故答案为k=1．点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．7．若x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22=．考点：根与系数的关系．分析：由于方程x2﹣2x﹣5=0的两个实数根为x1，x2，所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出x12+x1x2+x22的值．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣5，x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=4+5=9．故答案为9．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．8．已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a．b，则1a+1b的值是考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=-5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式，求出代数式的值．答案：解：∵a，b是一元二次方程的两根，∴a+b=6，ab=-5，+ = = =- ．故答案是：- ．解：∵a ，b 是一元二次方程的两根，∴a+b=6，ab=-5， + = = =- ．故答案是：- ．点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．9．已知分式2-3-5+x x x a，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a ＜6时，使分式无意义的x 的值共有 个．考点：分式有意义的条件；根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据分式无意义的条件：分母等于零求解．解答：解：由题意，知当x=2时，分式无意义，∴分母=x 2-5x+a=22-5×2+a=-6+a=0，∴a=6；当x 2-5x+a=0时，△=52-4a=25-4a ，∵a ＜6，∴△＞0，∴方程x 2-5x+a=0有两个不相等的实数根，即x 有两个不同的值使分式2-3-5+x x x a 无意义．故当a ＜6时，使分式无意义的x 的值共有2个．故答案为6，2．点评：本题主要考查了分式无意义的条件及一元二次方程根与系数的关系．（2）中要求当a ＜6时，使分式无意义的x 的值的个数，就是判别当a ＜6时，一元二次方程x2-5x+a=0的根的情况．10．已知一元二次方程220x mx +-=的两个实数根分别是1,2x x ．则12x x =考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=即可得到答案．解答：解：∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1•x2==﹣2．故答案为﹣2．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．。
人教版九年级上册数学同步练习21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
人教版九年级上册数学同步练习21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
◆要点归纳 一元二次方程的根与系数的关系： 结论1：如果ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+ x 2＝－b a ,x 1 x 2＝c
a
如果把ax 2
+bx+c=0（a ≠0）变形为x 2
+ b a x+ c
a
＝0，我
们就可把它写成x 2
+px+q=0的形式，从而得出结论2：如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2=q ．
◆典型例题 已知方程2x 2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k 的值．
◆同步练习 1.已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k 的值为____.
2.
如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1=2,x 2=1,那么p,q 的值分别是_____
3.
若方程x 2
+(m 2
-1)x+m=0的两根互为相反数,则
m= .
4. 已知一元二次方程x 2-3x-1
=0的两个根分别是
x 1 ,x 2 ,
则2
2
12
21x x x
x +的值为 .
5. 设x 1
,x 2
是方程x 2
-3x-3=0的两个实数根,则2
1
1
2
x x x
x
+
的值为 .。
数学九年级上册一元二次方程根与系数的关系同步练习
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系◆随堂检测1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______．2、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______．3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ）A ．0a =B ．2a =或2a =-C ．2a =D ．2a =或0a =4、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值. ◆典例分析已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值． （提示：如果1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，那么有12b x x a +=-，12c x x a=） 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求m 的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方.解:（1）∵一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根, ∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+≥,∴14m ≤. （2）当22120x x -=时，即1212()()0x x x x +-=,∴120x x +=或120x x -=. 当120x x +=时，依据一元二次方程根与系数的关系可得12(21)x x m +=--,∴(21)0m --=,∴12m =. 又∵由（1）一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根时m 的取值范围是14m ≤,∴12m =不成立,故m 无解；当120x x -=时，12x x =,方程有两个相等的实数根,∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+=,∴14m =. 综上所述,当22120x x -=时，14m =.◆课下作业●拓展提高1、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且q >0B ．0p >且q <0C ．0p <且q >0D ．0p <且q <02、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为（ ）A 、－1或34B 、－1C 、34D 、不存在 (注意:k 的值不仅须满足1212x x x x +=,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即k 的值必须使得△0≥才可以.)3、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值. 4、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值.5、已知1x ，2x 是关于x 的方程(2)()(2)()x x m p p m --=--的两个实数根．（1）求1x ，2x 的值；（2）若1x ，2x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．●体验中考1、（2009年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A．3 C ．6 D ．9(提示：如果直接解方程22870x x -+=，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.)2、（2008年，黄石）已知,a b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两个实数根,则式子b a a b+的值是（ ）A ．22n +B ．22n -+C ．22n -D ．22n --。
九年级上册数学解一元二次方程根与系数的关系同步练习及答案
九年级上册数学解一元二次方程根与系数的关系同步练习及答案1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( )A ．1B ．5C ．－5D ．62．设方程x 2－4x －1＝0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )A ．－4B ．－1C ．1D ．03．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是( )A ．x 2＋2x －3＝0B ．2x 2－2x ＋3＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2－2x －3＝04．孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为______．5．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a ＋1b的值是________． 6．求下列方程两根的和与两根的积：(1)3x 2－x ＝3; (2)3x 2－2x ＝x ＋3.7．已知一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0.(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1＋3x 2＝3，求m 的值．8．点(α，β)在反比例函数y ＝k x的图象上，其中α，β是方程x 2－2x －8＝0的两根，则k ＝__________9．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________． 10．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．答案1．B 2.B 3.D 4.25．－65解析：∵a ，b 是一元二次方程的两根， ∴a ＋b ＝6，ab ＝－5.1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝－65. 6．解：(1)原方程化为一般形式为3x 2－x －3＝0.所以x 1＋x 2＝－－13＝13，x 1x 2＝－33＝－1. (2)原方程化为一般形式为3x 2－3x －3＝0，即x 2－x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－－11＝1，x 1x 2＝－11＝－1. 7．解：(1)∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m ≥0.解得m ≤1.(2)由两根关系可知，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m .解方程组121223 3.x x x x ⎧⎨⎩＋＝，＋＝解得123,21.2x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ∴m ＝x 1·x 2＝34. 8．－89．10 解析：x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3, x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝10. 10．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0.解得k ≤12. (2)依据题意，可得x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)＜0，x 1＋x 2＜0.∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1·x 2－1.∴－2(k －1)＝k 2－1.解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3.∴k 的值是－3.。
专题02 一元二次方程根与系数的关系(解析版)21-22年九年级数学上学期专题(苏科版)
2021-2022学年苏科版数学九年级全册压轴题专题精选汇编专题02 一元二次方程根与系数的关系一．选择题1．（2020•汇川区模拟）已知m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则m2+n2的值为（）A．﹣6B．﹣1C．6D．2【思路引导】根据一元二次方程根与系数的关系，求出m+n和mn的值，m2+n2整理得：（m+n）2﹣2mn，代入计算即可．【完整解答】解：根据题意得：m+n＝2，mn＝﹣1，所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝22﹣2×（﹣1）＝6，故选：C．2．（2020秋•红桥区期中）已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝﹣3，则原方程可化为（）A．（x+2）（x+3）＝0B．（x+2）（x﹣3）＝0C．（x﹣2）（x﹣3）＝0D．（x﹣2）（x+3）＝0【思路引导】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝﹣3，∴2﹣3＝﹣p，2×（﹣3）＝q，∴p＝﹣1，q＝﹣6，∴原方程可化为（x﹣2）（x+3）＝0．故选：D．3．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11B．12C．m有无数个解D．13【思路引导】由题意得m≠0，若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有理根，则△≥0，并且△为有理数的平方．而△＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，再由m满足6＜m＜20，确定出△的范围，即可得出结论．【完整解答】解：∵关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵△＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，又∵6＜m＜20，∴25＜4m+1＜81，∵如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，∴△为有理数的平方，∴有无数个有理数m，使（4m+1）是有理数的平方，（如△＝6或7或8或30.25或36或37.21或42.25等），故选：C．4．（2020春•安庆期中）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+b2+ab的值为（）A．3B．4C．5D．6【思路引导】先根据根与系数关系得出a+b＝2，ab＝﹣1，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【完整解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴a+b＝2，ab＝﹣1，∴a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝4+1＝5．故选：C．5．（2020•河北模拟）已知一元二次方程x2+x﹣1＝0，嘉淇在探究该方程时，得到以下结论：①该方程有两个不相等的实数根；②该方程有一个根为1；③该方程的根是整数；④该方程有一个根小于﹣1．则其中正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①④D．②③【思路引导】先求出△＝5＞0，判断出①正确，再求出此方程的两个实数根，即可判断出②③错误，④正确，即可得出结论．【完整解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣1＝0，∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，故①正确；∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴x＝＝，∴x1＝＜﹣1，x2＝＞0，故②③错误，④正确，即正确的有①④，故选：C．二．填空题6．（2021春•周村区期末）设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝3．【思路引导】由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝m，结合x1+x2﹣x1x2＝2可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【完整解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，∴x1+x2＝5，x1x2＝m．∵x1+x2﹣x1x2＝5﹣m＝2，∴m＝3．故答案为：3．7．（2021•吉水县一模）已知α、β是方程x2+x﹣6＝0的两根，则α2β+αβ＝12或﹣18．【思路引导】先利用根与系数的关系得到α+β＝﹣1，αβ＝﹣6，所以α2β+αβ＝αβ（α+1）＝﹣6（α+1），再解方程解方程x2+x﹣6＝0得x1＝﹣3，x2＝2，然后把α＝﹣3和α＝2分别代入计算即可．【完整解答】解：根据题意得α+β＝﹣1，αβ＝﹣6，所以α2β+αβ＝αβ（α+1）＝﹣6（α+1），而解方程x2+x﹣6＝0得x1＝﹣3，x2＝2，当α＝﹣3时，原式＝﹣6（﹣3+1）＝12；当α＝2时，原式＝﹣6（2+1）＝﹣18．故答案为12或﹣18．8．（2020秋•九江期末）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，则m2+2m+n等于0．【思路引导】由于m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣1，mn＝﹣1，而m是方程的一个根，可得m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，那么m2+2m+n＝m2+m+m+n，再把m2+3m、m+n的值整体代入计算即可．【完整解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣1，∵m是x2+x﹣1＝0的一个根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1+（m+n）＝1﹣1＝0．故答案为：0．9．（2020•黔南州）对于实数a，b，定义运算“a*b＝”例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝0．【思路引导】求出x2﹣8x+16＝0的解，代入新定义对应的表达式即可求解．【完整解答】解：x2﹣8x+16＝0，解得：x＝4，即x1＝x2＝4，则x1*x2＝x1•x2﹣x22＝16﹣16＝0，故答案为0．10．（2020秋•澧县月考）已知m、n是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝﹣2．【思路引导】根据根与系数的关系及方程的解的定义得出m+n＝﹣2，mn＝﹣2015，m2+2m＝2015，代入原式＝m2+2m+mn+（m+n）计算可得．【完整解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2015，m2+2m＝2015，∴m2+mn+3m+n＝m2+2m+mn+（m+n）＝2015﹣2015﹣2＝﹣2．故答案是：﹣2．11．（2020秋•杨浦区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2的值是0．【思路引导】根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2＝﹣得到＝﹣1，或＝﹣4，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0．【完整解答】解：∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2＝﹣，∴＝﹣1或＝﹣4，∴m+n＝0，4m+n＝0，∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0，故答案是：0．12．（2018•苍南县校级自主招生）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是0＜a≤8或a＝9．【思路引导】方程有两个根，设x1≤x2，则可以根据求根公式用含a的式子表示x，由x1＞0，x2＞0，则0＜a≤9，再分两种情况讨论，即根据x1＝x2，和x1≠x2，等腰三角形只能作一个，只要较小的根作底，较大的根为腰，再根据三边关系得出不等式求解，再综合得出答案，确定a的取职范围．【完整解答】解：方程x2﹣6x+a＝0的两个根为x＝3±，设x1，x2为方程两根，（1）若x1＝x2，此时a＝9，以x1、x2为两边长的等腰三角形是等边三角形，符合题意；（2）若x1≠x2，设x1＜x2，则x1＝3﹣，x2＝3+，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜a＜9，①以x1为底，x2为腰的等腰三角形必有一个，此时，0＜a＜9，②以x1为腰，以x2为底的等腰三角形不存在，则有2x1≤x2，∴6﹣2≤3+，≥1，∴0＜a≤8，综上所述：当0＜a≤8或a＝9时只有一个等腰三角形．故答案为：0＜a≤8或a＝9．13．（2017•内江）设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝47．【思路引导】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，得到α+β＝3，αβ＝1，根据完全平方公式得到α4+β4＝47，于是得到结论．【完整解答】解：方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5可化为x2﹣3x+1＝0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，∴α+β＝3，αβ＝1，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝7，α4+β4＝（α2+β2）2﹣2α2•β2＝47，∴＝＝47，故答案为：47．14．（2010•合肥校级自主招生）已知α、β是方程x2+x﹣1＝0的两个实根，则α4﹣3β＝5．【思路引导】由方程的根的定义，可知α2+α﹣1＝0，移项，得α2＝1﹣α，两边平方，整理得α4＝2﹣3α①；由一元二次方程根与系数的关系，可知α+β＝﹣1②；将①②两式分别代入α4﹣3β，即可求出其值．【完整解答】解：∵α是方程x2+x﹣1＝0的根，∴α2+α﹣1＝0，∴α2＝1﹣α，∴α4＝1﹣2α+α2＝1﹣2α+（1﹣α）＝2﹣3α．又∵α、β是方程x2+x﹣1＝0的两个实根，∴α+β＝﹣1．∴α4﹣3β＝2﹣3α﹣3β＝2﹣3（α+β）＝2﹣3×（﹣1）＝5．故答案为5．15．（2002•内江）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，那么代数式2m2+4n2﹣4n+1999＝2013．【思路引导】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，可知m，n是x2﹣2x﹣1＝0两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝2，又m2＝2m+1，n2＝2n+1，利用它们可以化简2m2+4n2﹣4n+1999＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+1999＝4m+2+8n+4﹣4n+1999＝4（m+n）+2005，然后就可以求出所求的代数式的值．【完整解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，所以m，n是x2﹣2x﹣1＝0两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n＝2，又m2＝2m+1，n2＝2n+1，则2m2+4n2﹣4n+1999＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+1999＝4m+2+8n+4﹣4n+1999＝4（m+n）+2005＝4×2+2005＝2013．故填空答案：2013．三．解答题（共12小题）16．（2020秋•梁溪区期末）已知关于x的方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0．（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根．【思路引导】（1）把x＝2代入方程，列出关于k的新方程；然后由根与系数的关系解答；（2）证明根的判别式是非负数0即可．【完整解答】解：（1）把x＝2代入方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0，得：4（k﹣2）﹣2k+2＝0．解得：k＝3．由根与系数的关系得x1+x2＝﹣，即2+x2＝﹣＝3，所以x2＝1；（2）证明：当k﹣2＝0即＝2时，该方程是﹣2x+2＝0，此时x＝1，符合题意．当k﹣2≠0，时，△＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4（k﹣2）×2＝（k﹣4）2≥0，该方程总有实数根．综上所述，无论k取何值，该方程总有实数根．17．（2020秋•遂宁期末）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2017的值．【思路引导】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）k＝1．方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2017的值．【完整解答】解：（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0；（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，∴α+β＝1，αβ＝﹣1，∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，∴α2＝α+1，β2＝β+1，∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，∴α3+β2+β+2017＝2α+1+β+1+β+2017＝2（α+β）+2019＝2×1+2019＝2021．18．（2021•薛城区一模）阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．又∵pq≠1，∴p≠．∵1﹣q﹣q2＝0可变形为（）2﹣（）﹣1＝0．根据p2﹣p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p+＝1，即＝1．根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m2﹣5m﹣1＝0，+﹣2＝0且m≠n，求（1）mn的值；（2）+．【思路引导】由+﹣2＝0得到2n2﹣5n﹣1＝0，根据题目所给的方法得到m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到m+n＝，mn＝﹣，利用完全平方公式变形得到原式＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．【完整解答】解：∵+﹣2＝0，∴2n2﹣5n﹣1＝0，根据2m2﹣5m﹣1＝0和2n2﹣5n﹣1＝0的特征，∴m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个不相等的实数根，∴m+n＝，mn＝﹣，（1）mn＝﹣；（2）原式＝＝＝29．19．（2021•南海区一模）如图，已知菱形ABCD的周长是48cm，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C．（1）求∠C的度数；（2）已知DF的长是关于x的方程x2﹣5x﹣a＝0的一个根，求该方程的另一个根．【思路引导】（1）根据垂线的定义可得出∠AFD＝∠AEB，由四边形内角和为360°结合∠EAF＝2∠C，即可求出∠C的度数；（2）根据平行四边形的周长结合两邻边的比例可求出AD的长度，在Rt△ADF中，可求出DF的长度，再利用根与系数的关系即可求出方程x2﹣ax﹣6＝0的另一个根．【完整解答】解：（1）∵ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝48÷4＝12，∠DAB＝∠C，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠E＝∠F＝90°，∵∠EAF＝2∠C．∠EAF+∠E+∠F+∠C＝360°，∴3∠C＝180°，∴∠C＝60°，（2）在Rt△ADF中，∠ADF＝∠C＝60°，∴DF＝cos60°×12＝6，∵DF的长是关于x的方程x2﹣5x﹣a＝0的一个根，设另一个根为x，根据根与系数的关系得，x+6＝5，解得x＝﹣1，答：方程的另一个根为﹣1．20．（2020秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．【思路引导】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，计算即可；（2）根据根与系数的关系求出x2＝2，代入原方程计算即可．【完整解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△＝25﹣4m≥0，解得，m≤；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，∴3x1+3x2﹣5x2＝5，∴﹣5x2＝﹣10，解得，x2＝2，把x＝2代入原方程得，m＝6．21．（2020秋•来宾期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．【思路引导】（1）根据根的判别式判断可得；（2）将x＝1代入原方程求出a的值，将a代入原方程可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【完整解答】解：（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得a＝，将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，即（x﹣1）（2x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣，∴该方程的另一个根﹣．22．（2020•浙江自主招生）关于x的方程：ax2+2（a﹣3）x+a﹣13＝0至少有一个整数根，且a为非负整数，求a的值．【思路引导】先将原方程转化为（x+1）2a＝6x+13，进而得出a＝，再判断出a为大于等于1的整数，求出整数解的可能，依次代入a＝检验，即可得出结论．【完整解答】解：将方程ax2+2（a﹣3）x+a﹣13＝0变形为（x+1）2a＝6x+13，∵a为非负整数，∴a≥0，当a＝0时，6x+13＝0，x＝﹣，不符合题意，∴a是大于等于1的整数，当x+1＝0，即x＝﹣1时，（x+1）2a＝6x+13不成立，不符合题意，∴a＝≥1，∴x2﹣4x﹣12≤0，∴﹣2≤x≤6，∵关于x的方程：ax2+2（a﹣3）x+a﹣13＝0至少有一个整数根，∴x整数解可能为﹣2或0或1或2或3或4或5或6，当x＝﹣2时，a＝＝＝1，符合题意，当x＝0时，a＝＝13，符合题意，当x＝1时，a＝＝，不符合题意，当x＝2时，a＝＝，不符合题意，当x＝3时，a＝＝，不符合题意，当x＝4时，a＝＝，不符合题意，当x＝5时，a＝＝，不符合题意，当x＝6时，a＝＝＝1，符合题意，即a的值为1或13．23．（2020•浙江自主招生）边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．【思路引导】根据方程的根为整数，得到根的判别式为平方数，然后进行讨论求出k值，得到三角形三边的长．【完整解答】解：设直角边为a，b（a＜b），则a+b＝k+2，ab＝4k，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设△＝（k+2）2﹣16k＝n2⇒（k﹣6+n）（k﹣6﹣n）＝1×32＝2×16＝4×8，∵k﹣6+n＞k﹣6﹣n，∴或或，解得k1＝（不是整数，舍去），k2＝15，k3＝12，当k2＝15时，a+b＝17，ab＝60⇒a＝5，b＝12，c＝13，当k3＝12时，a+b＝14，ab＝48⇒a＝6，b＝8，c＝10．∴当k＝15时，三角形三边的长为：5，12，13．当k＝12时，三角形三边的长为：6，8，10．24．（2019秋•寿光市期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【思路引导】（1）将x＝1代入原方程即可求出a值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一根；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此即可证出不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【完整解答】（1）解：将x＝1代入原方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得：a＝，∴方程的另一根为﹣a﹣1＝﹣﹣1＝﹣．答：a的值为，方程的另一根为﹣．（2）证明：△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．25．（2017秋•莒南县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值【思路引导】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，然后求出不等式的解即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，加上k≤，则可判断2k﹣2＜0，所以|x1+x2|＝x1x2﹣1，可化简为：k2+2k﹣3＝0，然后解方程求出k的值．【完整解答】解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，∵k≤，∴2k﹣2＜0，又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣1，可化简为：k2+2k﹣3＝0．解得k＝1（不合题意，舍去）或k＝﹣3，∴k＝﹣3．26．（2018秋•二七区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝5，求实数m的值．【思路引导】（1）当方程有两个不相等的实数根时，△＞0，列式计算出m的值；（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入x1+x2+x1x2＝5中得：m1＝4，m2＝﹣2，再根据△的取值确定其m的值．【完整解答】解：（1）△＝[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣1）＞0，4（m+1）2﹣4m2+4＞0，8m＞﹣8，m＞﹣1，则当m＞﹣1时，方程有两个不相等的实数根；（2）x1+x2＝﹣2（m+1）＝﹣2m﹣2，x1x2＝m2﹣1，x1+x2+x1x2＝5，﹣2m﹣2+m2﹣1＝5，m2﹣2m﹣8＝0，（m﹣4）（m+2）＝0，m1＝4，m2＝﹣2，∵方程两实数根分别为x1，x2，∴△≥0，∴m≥﹣1，∴m＝4．27．（2017秋•繁昌县月考）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2＝0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【思路引导】（1）把方程整理成一般形式，计算其判别式即可证得结论；（2）把x＝2代入即可求得m的值，再解方程即可求得方程的另一根．【完整解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2＝0，∴x2﹣7x+12﹣m2＝0，∴△＝（﹣7）2﹣4（12﹣m2）＝1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2＝0，解得m＝±，∴原方程为x2﹣7x+10＝0，解得x＝2或x＝5，即m的值为±，方程的另一个根是5．。
2023-2024学年数学九年级上册人教版一元二次方程压轴题经典题型(含答案)
2023-2024学年数学九年级上册人教版一元二次方程压轴题经典题型1．一元二次方程m x2−2mx+m−2=0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1−x2|=1，求m．2．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，说明理由．3．已知关于x的一元二次方程x2+(m−3)x−3m=0．（1）证明：无论m取何值，此方程必有实数根；（2）等腰三角形ABC中，AB=1，AC、BC的长是此方程的两个根，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。
当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
5．已知关于x的一元二次方程：x2-（2k+1）x+4（k-12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．6．定义：当x取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”.（1）判断：函数y=x2+2x+2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”y=3|a x2+bx+c|+2①当a>0，c<0时，此时的恒心值为；②若三个整数a、b、c的和为12，且ba =cb，求a的最大值与最小值，并求出此时相应的b、c的值；（3）“恒心函数”y=a x2+bx+c(b>a)的恒心值为0，且a+b+ca+b>m恒成立，求m的取值范围.7．关于x的一元二次方程为mx2-（1+2m）x+m+1＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个不等实数根；（2）若方程的两根为x1、x2，是否存在x12+x22＝x1x2？如果存在，请求m的值；如果不存在，请说明理由．8．已知，α，β是关于x的一元二次方程x2−3x+1−k=0的两个实数根.（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式1α+1β=k+3成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.9．今年以来，某市接待游客人数逐月增加，据统计，八月份和十月份到某景区游玩的游客人数分别为4万人和5.76万人．（1）求八月到十月该景区游客人数平均每月的增长率；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，十一月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万人、3万人和2万人，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600名原计划购买甲种门票的游客和400名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．设十一月份景区门票总收入为W万元，丙种门票下降m元，请写出W与m之间的表达式，并求出要想让十一月份门票总收入达到798万元，丙种门票应该下降多少元？10．已知关于x的方程x2+2(a−1)x+a2=0.（1）若方程有两个实数解，求实数a的取值范围：（2）若方程的两个实数解是x1，x2，满足|x2|−|x1|=|a|，求实数a的值.11．关于x的一元二次方程x2+mx+m-2＝0.（1）若-2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值.12．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=−10，x2=−3，因−10<−3<0，3<−10−3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”.请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+ x2+x1x2=−1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围.13．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．解决问题：（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；（2）若x2-4x+5可配方成（x-m）2+n（m，n为常数），求mn的值；（3）已知S＝x2+4y2+4x-12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．14．定义：若关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2(x1<x2)，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1，x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x2−2x=0，写出该方程的衍生点M的坐标；（2）若关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2−2m=0，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；（3）是否存在b、c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衔生点M始终在直线y=kx−2(k−2)的图象上，若存在请求出b，c的值；若不存在说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程m x2−2mx+m−2=0有两个实数根，∴m≠0且△≥0，即(−2m)2−4⋅m⋅(m−2)≥0，解得m≠0且m≥0，∴m的取值范围为m>0．（2）解：∵方程两实根为x1，x2，∴x1+x2=2，x1⋅x2=m−2，m∵|x1−x2|=1，∴(x1−x2)2=1，∴(x1+x2)2−4x1x2=1，=1，∴22−4×m−2m解得：m=8；经检验m=8是原方程的解．2．【答案】（1）解：设AB=x米，由题意可得：BC=(80−4x)m，∴x(80−4x)=300，解得：x1=15，x2=5，∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，BC=80−4×5=60m，∴x=15，答：边AB的长为15米；（2）解：由（1）可得：x(80−4x)=500，化简得：x2−20x+125=0，∴Δ=202−4×1×125=−100<0，∴羊圈的总面积不能为500平方米．3．【答案】（1）证明：∵Δ=(m−3)2−4×1×(−3m)=m2−6m+9+12m=m2+6m+9=(m+3)2≥0，∴无论m取何值，此方程必有实数根；（2）解：解：①当AB=1为腰时，则AC或BC有一条边为腰，x2+(m−3)x−3m=0的解为1，∴1+(m−3)−3m=0，解得：m=−1，∵m=−1时原方程两根为1和3，此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在，∴m=−1不合题意，应舍去，②当AB=1为底时，则AC，BC为腰，方程x2+(m−3)x−3m=0有两个相等的实数根，Δ=(m+3)2=0，解得m=−3，综上所述，m的值−3．4．【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x= 2k+1±12，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，所以k的值为5或4．5．【答案】（1）证明：Δ=(2k+1)2−4×1×4(k−12)＝4k2-12k+9＝（2k-3）2，∵无论k取什么实数值，（2k-3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k−3)2，∴x1＝2k-1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，故设b=2k-1，c＝2，当a、b为腰，则a=b=4，即2k-1=4，解得：k=52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b、c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，故此种情况不存在；综上所述，△ABC的周长为10．6．【答案】（1）解：y=x2+2x+2=(x+1)2+1≥1∴函数y=x2+2x+2为“恒心函数”，“恒心值”为1.（2）①2②由题可知{a +b +c =12b a =c b}∴{a +c =12−b ac =b 2}∴设a 、c(a ≠c)为方程x 2+(b−12)x +b 2=0的两根 Δ=(b−12)2−4b 2＞0∴b 2+8b−48＜0∴−12＜b ＜4∴b =−11，−10，⋯，3经验证，“b =−8，a =16，c =4”、“a =b =c =4”和“b =−8，a =4，c =16”符合条件综上，a max =16，b =−8，c =4 a min =4，b =4，c =4或a min =4，b =−8，c =16（3）解：由题可知，Δ=b 2−4ac =0即c =b 24a∴a +b +c a +b=1+c a +b =1+b 24a a +b=1+b 24a(a +b)＞1+b 24b(b +b)=98∴m ≤987．【答案】（1）证明：∵Δ＝[-（1+2m ）]2-4m （m+1）＝4m 2+4m+1-4m 2-4m ＝1＞0，∴方程总有两个不等实数根（2）解：不存在，理由如下： 根据题意得x 1+x 2＝1+2m m ，x 1x 2＝ m +1m，若存在x 12+x 22＝x 1x 2，则（x 1+x 2）2-2x 1x 2＝x 1x 2，即（x 1+x 2）2-3x 1x 2＝0，（1+2mm）2-3（m+1m）＝0，整理得m2+m+1＝0，∵Δ＝12-4×1×1＝-3＜0，∴若方程的两根为x1、x2，不存在x12+x22＝x1x2．8．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ=(−3)2−4(1−k)≥0，解得k≥−5 4；（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，α+β=3，αβ=1−k，∵1α+1β=α+βαβ=k+3，∴31−k=k+3，即k2+2k=0，解得，k=−2或0，由（1）知：k≥−5 4，∴k=0.9．【答案】（1）解：设八月到十月该景区游客人数平均每月的增长率为x，依题意得4(1+x)2=5.76，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，舍去）答：平均每月的增长率为20%．（2）解：W=100(2−0.06m)+80(3−0.04m)+(160−m)(2+0.06m+0.04m) =760+4.8m−0.1m2，要想让十一月份门票总收入达到798万元，即W=798∴798=760+4.8m−0.1m2解得x1=38，x2=10经检验，x=38或x=10均符合题意．答：丙种门票应该下降38元或者10元可以让十一月份门票总收入达到798万元. 10．【答案】（1）解：Δ=[2(a−1)]2−4×1×a2=4a2−8a+4−4a2=−8a+4，∵方程有两个实数解，∴−8a+4≥0，∴a≤12即实数a取值范围是a≤12；（2）解：由一元二次方程的根与系数关系得{x1+x2=−2(a−1)x1x2=a2，∵x1x2=a2，∴x1，x2是同号的两个实数或其中一个为零，∴|x2|−|x1|=|x2−x1|=|a|，∵(x2−x1)2=(x2+x1)2−4x2x1，∴4(a−1)2−4a2=a2，∴a2+8a−4=0，∴a=−4±25，∵a≤1 2，∴a=−4±25都符合题意.11．【答案】（1）解：由题意，得：4-2m+m-2＝0，解得：m＝2，∴方程为x2+2x＝0，解得：x1＝-2，x2=0，∴方程的另一个根为0.（2）证明：∵△＝m2-4（m-2）＝m2-4m+8＝（m-2）2+4＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根.（3）解：由根与系数的关系得：x1+x2＝-m，x1x2＝m-2，由x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，得：（x1+x2）2-2x1x2+m（x1+x2）＝m2+1，∴m2-2（m-2）-m2＝m2+1，整理得：m2+2m-3＝0，解得：m＝-3或1.12．【答案】（1）解：x2+9x+14=0，(x+2)(x+7)=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x1=−7，x2=−2.∵−7<−2，3<−7−2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）解：∵方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0的两个根分比为x 1、x 2，∴x 1+x 2=−k +72，x 1x 2=k 2+32.∵x 1+x 2+x 1x 2=−1，∴−k +72+k 2+32=−1，解得：k 1=2，k 2=−1.分类讨论：①当k =2时，原方程为2x 2+9x +7=0，∴x 1=−72，x 2=−1，∴x 1<x 2<0，3<x 1x 2=72<4，∴此时方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0是“限根方程”，∴k =2符合题意；②当k =−1时，原方程为2x 2+6x +4=0，∴x 1=−2，x 2=−1，∴x 1<x 2<0，x 1x 2=2<3，∴此时方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0不是“限根方程”，∴k =−1不符合题意.综上可知k 的值为2；（3）解：x 2+(1−m)x−m =0，(x +1)(x−m )=0，∴x +1=0或x−m =0，∴x 1=−1，x 2=m 或x 1=m ，x 2=−1.∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m <0且m ≠−1，∴(1−m)2+4m >0，即(1+m)2>0，∴m <0且m ≠−1.分类讨论：①当−1<m <0时，∴x 1=−1，x 2=m ，∵3<x 1x 2<4，∴3<−1m<4，解得：−13<m<−14；②当m<−1时，∴x1=m，x2=−1，∵3<x1x2<4，∴3<m−1<4，解得：−4<m<−3.综上所述，m的取值范围为−13<m<−14或−4<m<−3.13．【答案】（1）解：∵29是“完美数”，∴29＝52+22．（2）解：∵x2-4x+5＝（x2-4x+4）+1＝（x-2）2+1=（x-m）2+n，∴m＝2，n＝1，∴mn＝2×1＝2.（3）解：当k＝13时，S是完美数，理由如下：S＝x2+4y2+4x-12y+13＝x2+4x+4+4y2-12y+9＝（x+2）2+（2y-3）2，∵x，y是整数，∴x+2，2y-3也是整数，∴S是一个“完美数”．14．【答案】（1）解：x2−2x=0x(x−2)=0∴x1=0，x2=2∴该方程的衍生点M的坐标为(0，2)（2）解：∵方程为x2−2(m−1)x+m2−2m=0，∴Δ=[−2(m−1)]2−4(m2−2m)=4>0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，x2−2(m−1)x+m2−2m=0(x−m)(x+2−m)=0∴x1=m−2，x2=m，∴该方程的衍生点M的坐标为(m−2，m)；（3）解：存在，理由如下：∵直线y=kx−2(k−2)=k(x−2)+4过定点(2，4)，∴方程x2+bx+c=0的两个根为x1=2，x2=4，∴{4+2b+c=016+4b+c=0解得b=−6，c=8．。
北师大版九年级上册2.5 一元二次方程根与系数的关系典型例题(有答案)
一元二次方程根与系数的关系设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1、x 2，当方程有解时，则x 1+ x 2=-a b ，x 1 x 2=ac，其常见应用有：1、 求方程中字母系数的值例1、 已知方程2x 2+4x+m=0的两根的平方和为34，求m 的值.解：设方程的两根为x 1、x 2，根据题意有 x 12+ x 22=34 ①根据根与系数的关系得x 1+ x 2= -2 ②x 1 x 2 =2m③ 联立①②③可解得 m=-30③ 检验：当m=-30时，△=256＞0 ∴ m=-30注意：当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0。
具体运用时，可先求出字母的值，再来检验△，如例1；也可先由△≥0，求出字母的范围，再来取值.例1中由△=42-8m ≥0得m ≤2.练习1、已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+k+2=0的两根的平方和是13，求k 的值. 【±4】2、已知方程2x 2+bx-2b+1=0的两根的平方和是429，则b 的值是（ ）. 【 A 】 A 、3 B 、-3或11 C 、-11 D 、 3或-112、 求方程两根对称式的值若α、β为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，运用根与系数的关系，可求①α2+β2=（α+β）2-2αβ②（α-β）2=（α+β）2-4αβ③ ∣α-β∣=()2βα-=()αββα42-+④αββαβα+=+11⑤()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+ ⑥()αβαββααββαβααβ2222-+=+=+等对称式的值. 例2、已知α、β为一元二次方程2x2-6x+3=0的两根，求下列各式的值 ①（α-β）2②⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11 ③2211βα+ 解：根据根与系数的关系得3=+βα 23=αβ① （α-β）2=（α+β）2-4αβ=3② ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11=αβαβ111+++=23+1+1+32=625 ③ ()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+=38只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含βα+、αβ的代数式，代入求值即可.练习：1、若α、β是方程2x 2-4x-3=0的两根，则223βαβα+-=【223】 2、已知方程0422=--mx x 的两根为α、β，且211=+βα，则m= 【 -8 】3、 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值例3、已知m 、n 是一元二次方程0132=+-x x 的两根，求下列代数式的值①964222--+n n m ②1142323++n m 解：由根与系数的关系得 m+n=3、mn=1由根的定义得 0132=+-n n 0132=+-m m①964222--+n n m=96222222--++n n n m=()()9324222--+-+n n mn n m=3②由0132=+-m m 得m m m -=233则1142323++n m =()11432322++-n m m =114232922++-n m m =11442321222+++-n m m m =()()118432122+-++-mn n m m m=385此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的.常常需要结合根的定义,将式中的高次降低,直至出现对称式,再利用根与系数的关系求值.如果例3中要求33n m +的值，我们只需要利用根的定义降次即可求出.由根的定义可得132-=m m 132-=n n即 n n n -=233则33n m +=n n m m -+-2233=()()n m nm +-+223 再运用根与系数的关系即可.练习1、已知α、β为方程0722=-+x x 的两个实数根，求ββα4322++的值. 【 32 】2、已知x 1、x 2是方程2x 09=--x 的两个实数根，求代数式663722231-++x x x 的值. 【 16 】4、 判断两根的特殊关系在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当方程有根时，若两根互为相反数，有x 1+ x 2=-ab=0，即b=0；若两根互为倒数，有x 1 x 2 =ac=1，即a=c. 例4、关于x 的方程()042222=-++-m x m x 的两根互为倒数，则m 的值是（ ）A 、5B 、5±C 、-5D 、-2解：设方程两根为x 1、x 2，根据题意得，x 1 x 2=442=-m ①△=()()442422--+m m ≥0 ②由①得m=5±m m m -=233由②得m ≥-2 ∴m=5练习1、方程()01212=-++-m x m x ，当m= 时，方程两根互为相反数；当m= 时，方程两根互为倒数.【 -1， 1 】2、当k 为何值时，方程()0152222=+--+k x k k x 的两根互为相反数. 【 -2 】5、 判断方程两根的符号一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）当△≥0且x 1 x 2＞0时，两根同号；当△≥0且x 1 x 2＜0时，两根异号.若x 1+ x 2＞0 x 1 x 2＞0，则x 1＞0、x 2＞0；若x 1+ x 2＜0 x 1 x 2＞0，则x 1＜0、x 2＜0. 反之，也成立。
人教版九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系同步训练(含答案)
人教版九年级上册数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步训练一、单选题1．已知一元二次方程x 2-4x -2=0的两根分别为x 1，x 2，则1211+x x 的值为（ ） A ．2 B ．-1 C ．12- D ．-2 2．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个解为x ＝－1，则另一个解为( ) A ．3 B ．1 C ．－3 D ．4 3．若关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x +-+=的两个实数根互为倒数，则k =（ ）A ．1B ．-1C ．±1 D．1-4．若 x 1，x 2 是一元二次方程 x 2﹣3x ﹣6＝0 的两个根，则 x 1+x 2 的值是（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．﹣6 D ．6 5．关于x 的一元二次方程x 2＋x －a ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．26．已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．1 7．关于x 的方程230x mx +=+的一个根为1，则方程的另一个根与m 的值分别为（ ）A ．3x =，4m =-B ．3x =，4m =C ．3x =-，4m =-D ．3x =-，4m =8．若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（ ） A ．3或9-B ．3-或9C ．3或6-D ．3-或6 二、填空题9．已知方程（x ﹣1）（x +2）＝2（x +2）的根是x 1，x 2，则x 1+x 2的值是 _____． 10．关于x 的一元二次方程2x 2+4mx +m =0有两个不同的实数根x 1，x 2，且2212316x x +=，则m =__________． 11．已知1x 、2x 是一元二次方程2410x x --=的两实数根，则代数式22124x x +-=_____．12．方程2230x x +-=的两根为1x 、2x 则12x x ⋅的值为______． 13．一元二次方程x 2﹣mx +m ＝0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 1x 2+x 2＝________．（用含m 的代数式表示）14．关于x 的一元二次方程2310170x x --=的两个根分别为1x 和2x ，则1211x x +=_________．15．方程260x x +-=与2240x x -+=的所有根的和为______． 16．一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为 __．三、解答题17．己知：关于x 的方程2380x mx +-=有一个根是－4，求另一个根及m 的值．18．已知关于x 的方程2(21)(1)0x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为12,x x ，且12,x x 分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m 的值．19．已知关于x 的一元二次方程22310x x a ++-=．(1)若1a =-，解这个方程；(2)若该方程有实数根，求a 的取值范围．20．已知关于x 的方程()222110x m x m -+++=．(1)若方程总有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)若两实数根1x ，2x 满足()()12118x x ++=，求m 的值．参考答案：1．D2．A3．B4．A5．C6．A7．A8．A9．110．1 8 -11．1412．-313．2m14．1017-15．-116．2-17．另一个根是23，m的值为10．18．(2)319．(1)11x=-21x=-(2)23 a≤20．(1)m＞0(2)1-+答案第1页，共1页。
中考数学与一元二次方程有关的压轴题
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124x x 23==-，2．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍． （1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50． 【解析】 【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答． 【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人， 依题意得：7.5-x ≤2x ， 解得x ≥2.5．即A 社区居民人口至少有2.5万人； （2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50 答：m 的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．3．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.4．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 【答案】探究一：（3）()a a 12+ ；探究二：（5）3a （a+1）；（6）()()ab a 1b 14++ ；探究三：（8）()()3ab a 1b 12++ ；【结论】：①()()()abc a 1b 1c 18+++ ；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析. 【解析】 【分析】（3）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （5）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （6）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （8）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； (结论)根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； (应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论； (拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB 上共有()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×1×1=()a a 12+ ，故答案为()a a 12+ ；探究二：（5）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×6×1=3a （a+1），故答案为3a （a+1）； （6）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×1=()()ab a 1b 14++，故答案为()()ab a 1b 14++；探究三：（8）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ， 由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．5．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】 【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570, 解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元. （3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610, ∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值, 当x=59时, 利润最大，为3610元. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.6．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值． 【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】 【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围； （2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-； （2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=， ∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=.【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．7．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
新版九年级数学中考题同步试卷：一元二次方程的根与系数的关系
北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（05）一、选择题（共11小题）1．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正．给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1．其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12＝0B．x2+7x+12＝0C．x2+7x﹣12＝0D．x2﹣7x﹣12＝0 3．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣34．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则m+n 的值是（）A．﹣10B．10C．﹣6D．25．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4B．﹣4C．3D．﹣36．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（）A．6B．8C．10D．127．设x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x12+x22的值是（）A．19B．25C．31D．308．若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16＝0的两个根，则x1+x2的值是（）A．﹣10B．10C．﹣16D．169．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2＝0B．x2﹣3x+2＝0C．x2﹣2x+3＝0D．x2+3x+2＝0 10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（）A．﹣4B．﹣1C．1D．411．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣1二、填空题（共17小题）12．若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．13．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2＝．14．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015＝．15．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝3，则k的值是．16．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为．17．已知x1＝3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根x2是．18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（写出所有正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；③若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为．19．若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m＝0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为．20．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于．21．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x12+x22的值为．22．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为．23．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是．24．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5＝0，3n2+6n﹣5＝0，且m≠n，则＝．25．已知x＝4是一元二次方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则另一个根为．26．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝．27．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8＝0，则△ABC的周长是．28．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是．三、解答题（共2小题）29．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，求+的值．30．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（05）参考答案一、选择题（共11小题）1．D；2．A；3．A；4．A；5．D；6．C；7．C；8．A；9．B；10．C；11．C；二、填空题（共17小题）12．0；13．25；14．2026；15．2；16．3；17．1；18．②③；19．16；20．﹣2；21．27；22．﹣1或﹣3；23．3；﹣4；24．﹣；25．﹣1；26．4；27．6或12或10；28．k≤4；三、解答题（共2小题）29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（06）一、选择题（共16小题）1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1•x2的值是（）A．3B．﹣3C．2D．﹣22．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两根，则x1+x2的值是（）A．0B．2C．﹣2D．43．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为（）A．2B．3C．4D．84．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）＝﹣6，则a的值为（）A．﹣10B．4C．﹣4D．105．已知方程x2﹣2x﹣1＝0，则此方程（）A．无实数根B．两根之和为﹣2C．两根之积为﹣1D．有一根为﹣1+6．一元二次方程x2+x﹣2＝0的解为x1、x2，则x1•x2＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2的值为（）A．10B．9C．7D．58．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（）A．﹣10B．10C．﹣6D．﹣19．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则α2+β2＝（）A．﹣8B．32C．16D．4010．x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2＝0的两个实数根，是否存在实数m使+＝0成立？则正确的结论是（）A．m＝0时成立B．m＝2时成立C．m＝0或2时成立D．不存在11．若方程x2+x﹣1＝0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）A．α+β＝﹣1B．αβ＝﹣1C．α2+β2＝3D．+＝﹣112．已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（）A．x2﹣6x+8＝0B．x2+2x﹣3＝0C．x2﹣x﹣6＝0D．x2+x﹣6＝0 13．已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两实数根，则+的值为（）A．﹣1B．﹣C．D．114．已知函数y＝的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2判断正确的是（）A．x1+x2＞1，x1•x2＞0B．x1+x2＜0，x1•x2＞0C．0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0D．x1+x2与x1•x2的符号都不确定15．方程x2﹣（m+6）x+m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1+x2＝x1x2，则m的值是（）A．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或216．关于x的方程x2﹣ax+2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是（）A．﹣1或5B．1C．5D．﹣1二、填空题（共11小题）17．若x1＝﹣1是关于x的方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则方程的另一个根x2＝．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）＝．19．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2＝0的两根互为倒数，则k＝．20．若一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则+＝．21．若α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2＝．22．方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为．23．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝．24．已知关于x的方程x2+6x+k＝0的两个根分别是x1、x2，且+＝3，则k的值为．25．关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝3，则m＝．26．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，则k的值是．27．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．三、解答题（共3小题）28．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．29．已知x1，x2 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2 ﹣1）＝28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．30．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+＝1，求的值；（2）求+﹣m2的最大值．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（06）参考答案一、选择题（共16小题）1．B；2．B；3．C；4．C；5．C；6．D；7．A；8．A；9．C；10．A；11．D；12．D；13．A；14．C；15．C；16．D；二、填空题（共11小题）17．5；18．9；19．﹣1；20．﹣1；21．10；22．1；23．8；24．﹣2；25．0；26．﹣2或﹣；27．；三、解答题（共3小题）28．；29．；30．；北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系同步训练一、选择题1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（）A. -2B. 2C. 4D. -32.设a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A. 2019B. 2019C. 2019D. 20193.下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是( )A. x²+x+2=0B. x²+x-2=0C. x²-x+2=0D. x²-x-2=04.如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=（）A. -3B. 3C. -1D. 15.在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，则m的值是（）A.4B.-1C.4或-1D.-4或16.已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A.7B.11C.12D.167.关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（）A.B.C.4D.﹣48.关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题9.已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为________．10.已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则________.11.若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是________．12.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=________13.关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．14.通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1•x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为________．三、解答题15.已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2-2m＝0有一个实根为-1，求m的值及方程的另一个实根.16.已知关于x的方程（的两根之和为，两根之差为1，•其中a,b,c是△ABC的三边长．（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．17.关于x的一元二次方程有两个不等实根（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根满足，求k的值．18.已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）19.设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．（1）x12＋x22；（2）；（3）x12＋x22－3x1x2.20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．21.已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．答案解析部分一、选择题1.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】解答: 设一元二次方程的另一根为，则根据一元二次方程根与系数的关系，得-1+ =-3，解得：=-2．故选A．分析: 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根2.【答案】C【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2019=0的根，∴a2+a﹣2019=0，∴a2=﹣a+2019，∴a2+2a+b=﹣a+2019+2a+b=2019+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2019﹣1=2019．故选C．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=﹣a+2019，则a2+2a+b=2019+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算．3.【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；B．两根之和=－1，故不符合题意；C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；D．两根之和=1，故符合题意．故答案为：D．【分析】根据根与系数的关系和根的判别式可求解。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习(含答案)
北师大版九年级上册 2.5 一元二次方程 的根与系数的关系 同步练习（含答案）一、选择题：1、已知21,x x 是一元二次方程04722=+-x x 的两根，则21x x +与21x x ⋅的值分别是（ ）A 、2,27-- B 、2,27- C 、2,27 D 、2,27-2、已知一元二次方程0252=+-x x 的两根分别是21,x x ，则2121x x x x ⋅-+的值是（ ）A 、7-B 、3-C 、7D 、33、若关于x 的一元二次方程022=+-m x x 的有一个根是 -1，则另一个根是（ ）A 、1B 、3-C 、3D 、44、已知3是关于x 的方程052=+-c x x 的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）A 、2-=xB 、2=xC 、5=xD 、6=x5、如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两个根分别是1,221==x x ，则p ，q 的值分别是（）A 、2,3-B 、23-，C 、32-，D 、32，6、已知实数21,x x 满足721=+x x ，1221=⋅x x ，则以21,x x 为根的一元二次方程是（ ）A 、012172=+-x xB 、01272=++x xC 、01272=-+x xD 、01272=--x x7、已知一元二次方程0132=--x x 的两根分别是21,x x ，则221221x x x x +的值是（ ）A 、6-B 、6C 、3-D 、38、已知21,x x 是关于x 的一元二次方程032=-+bx x 的两根，且满足532121=-+x x x x ，那么b =（ ）A 、4B 、4-C 、3D 、3-二、填空题：9、关于x 的方程062=-+kx x 的一个根为-3，则另一个根是________；10、已知一元二次方程0562=--x x 的两根分别是b a ,，则=+ba 11_______； 11、已知21,x x 是一元二次方程012=-+x x 的两根，则=+2221x x _______； 12、已知关于x 的一元二次方程032=--x x 的两个实数根分别是βα，，则=++)3)(3(βα_______；三、解答题：13、已知方程0652=-+kx x 的一个根为2，求另一个根的k 的值；14、设21,x x 是一元二次方程05722=+-x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）2221x x +；（2）221)(x x -；15、已知21,x x 是一元二次方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值； （1）)1)(1(21++x x ； （2）1221x x x x +；16、已知关于x 的方程01)4(222=+---a x a x ；（1）当a 为何值时，方程的一根为0？（2）当a 为何值时，两根互为相反数？（3）求证：无论a 为何值，方程的两根不可能互为倒数；参考答案：1~8 CDCBA ACA9、2；10、56-； 11、3；12、9；13、另一根为53-；7-=k ； 14、（1）435；（2）49； 15、（1）2512231)1)(1(212121-=+--=+++=++x x x x x x ； （2）314)(21212212122211221-=-+=+=+x x x x x x x x x x x x x x ； 16、（1）当a=1时，方程的一根为0；（2）当a =2时，两根互为相反数；（3）互为倒数的两个数的积为1， ∴12121-=+-=⋅a x x解得：a =-1这时方程为2x 2+3x +2=0∵△=32-4×2×2=-7<0 方程没有实数根∴方程的两根不可能互为倒数；。
北师大版九年级上册数学 2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步练习(含答案)
2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习一．选择题1．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（）A．无实数根B．有一个实根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根2．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k≤C．k＞D．k≥3．一元二次方程（x﹣1）2＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（）A．3 B．4 C．3或4 D．75．对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x+1）*3＝﹣2的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4．则k的值为（）A．﹣1 B．4 C．﹣4 D．﹣57．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．39．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b＝，关于x的方程（2x+1）★（2x ﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t＜D．t＞二．填空题10．已知x1，x2是方程x2+kx+p＝0的两根，x3，x4是方程x2+qx+p＝0的两根，则（x1﹣x3）（x2﹣x4）（x1﹣x4）（x2﹣x3）＝（用k，p，q表示）．11．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有不相等实数根，则k的取值范围是．12．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为．13．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程．14．设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为．15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列说法：①若a+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；：②若a+b+c＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b2﹣6ac＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和3，则是方cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，其中正确的是（填序号）．三．解答题16．已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若（x12﹣2x1）（x22﹣2x2）＝8，求k的值．17．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．18．已知关于x的方程（k+2）x2+（k﹣1）x﹣3＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个根x1和x2，且，求k的值．19．已知：关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．参考答案1．A2．B3．A4．C5．D6．D7．C8．C9．D10．p（q﹣k）211．k＞﹣112．1313．x2﹣6x+6＝014．15．①②④16．解：（1）∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×k≥0，∴k≤．（2）∵x1，x2是方程x2﹣3x+k＝0的根，∴x1+x2＝3，x1x2＝k，x12﹣3x1＝﹣k，x22﹣3x2＝﹣k．∵（x12﹣2x1）（x22﹣2x2）＝8，即（x1﹣k）（x2﹣k）＝8，∴x1x2﹣k（x1+x2）+k2＝8，∴k2﹣2k﹣8＝0，解得：k＝﹣2或k＝4．又∵k≤，∴k＝﹣2．17．解：（1）由题意可知：△＝9﹣4（m+1）＝5﹣4m＞0，∴m＜．（2）由（1）可知：m＝1，∴x2+3x+2＝0，∴（x+1）（x+2）＝0，∴x＝﹣1或x＝﹣2．18．（1）证明：①当k+2≠0时，∵△＝（k﹣1）2﹣4（k+2）×（﹣3）＝k2﹣2k+1+12k+24＝k2+10k+25＝（k+5）2≥0，∴方程总有实数根；②当k+2＝0时，原方程化为﹣3x﹣3＝0，方程的解为x＝﹣1．∴无论k为何实数，方程总有实数根；（2）依题意有x1+x2＝﹣，x1+x2＝﹣，∵，∴（﹣）2﹣2×（﹣）＝10，解得k1＝﹣1，k1＝﹣3，经检验，k1＝﹣1，k1＝﹣3都是原方程的解．故k的值是﹣1或﹣3．19．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，解得：m≥0．（2）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，解得：m＝9．。
九年级数学上册第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习北师大版
x 1 x 24 35 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 利用根与系数的关系求代数式的值1．若 x 1，x 2 是一元二次方程 x 2＋10x ＋16＝0 的两个根，则 x 1＋x 2 的值是( )A ．－10B ．10C ．－16D ．162．2017·怀化若 x 1，x 2 是一元二次方程 x 2－2x －3＝0 的两个根，则 x 1·x 2 的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－33．设 x 1，x 2 是一元二次方程 x 2－2x －3＝0 的两个根，则 x 12＋x 22 的值为( )A ．6B ．8C ．10D ．121 14．若方程 x 2－3x －4＝0 的两根分别为 x 1 和 x 2，则 ＋ 的值是()3 4A ．1B ．2C ．－D ．－5．若 x 1，x 2 是一元二次方程 2x 2－5x ＋1＝0 的两个根，利用根与系数的关系求下列各 式的值：(1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)(x 1＋1)2＋(x 2＋1)2.14．已知实数 a ，b 满足 a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且 a ≠b ，则 ＋ 的值是________．知识点 2 利用根与系数的关系求方程的根及待定字母的值6．教材习题 2.8 第 3 题变式题若关于 x 的方程 x 2－2x ＋m ＝0 的一个根为－1，则另一个根为()A ．－3B ．－1C ．1D ．37．已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋mx ＋n ＝0 的两个实数根分别为 x 1＝－2，x 2＝4，则m ＋n 的值是()A ．－10B ．10C ．－6D ．28．2017·呼和浩特已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋(a 2－2a )x ＋a －1＝0 的两个实数根互为相反数，则 a 的值为()A ．2B ．0C ．1D ．2 或 09．若关于 x 的方程 x 2＋(k －2)x ＋k 2＝0 的两根互为倒数，则 k ＝________． 10．若方程 3x 2－8x ＋m ＝0 的两根之比为 3∶2，求 m 的值．11．一元二次方程 x 2－3x －1＝0 与 x 2－3x ＋3＝0 的所有实数根的和等于( )A ．－3B ．－6C ．6D ．312．若关于 x 的一元二次方程的两个实数根为 x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝013．2017·仙桃若 α ，β 为方程 2x 2－5x －1＝0 的两个实数根，则 2α 2＋3α β ＋5β的值为()A ．－13B ．12C ．14D ．15b aa bn 15．已知 m ， 是关于 x 的一元二次方程 x 2－2tx ＋t 2－2t ＋4＝0 的两实数根，求(m ＋2)(n＋2)的最小值．16．已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋3x －m ＝0 有实数根．(1)求 m 的取值范围；(2)若两实数根分别为 x 1 和 x 2，且 x 12＋x 22＝11，求 m 的值．17．已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋2x ＋k ＋1＝0 的实数根是 x 1 和 x 2.(1)求 k 的取值范围；(2)如果 x 1＋x 2－x 1x 2＜－1 且 k 为整数，求 k 的值．18．已知关于 x 的一元二次方程 k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0 有两个不相等的实数根 x 1，x 2.(1)求 k 的取值范围；(2)k 为何值时，x 1 与 x 2 互为倒数？19．已知关于 x 的一元二次方程 x 2－(m －3)x －m 2＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为 x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求 m 的值及方程的根．20.已知 x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0 的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求 m 的值；(2)已知等腰三角形 ABC 的一边长为 7，若 x 1，x 2 恰好是△ABC 另外两边的长，求这个三 角形的周长．∴5n ＝ ，6n 2＝ ，∴n ＝ ，∴m ＝18n 2＝18×( )2＝ .1．A 2.D3．C 4．C5 15．解：根据题意，得 x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝2.1 5(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝2－3×2＋9＝2.(2)(x 1＋1)2＋(x 2＋1)2＝x 12＋2x 1＋1＋x 22＋2x 2＋1＝x 12＋x 22＋2(x 1＋x 2)＋2＝(x 1＋x 2)2－ 5 1 5 12x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋2＝(2)2－2×2＋2×2＋2＝124.6．D7．A8．B9．－110．解：设方程的两根分别为 3n ，2n ，8 m 83 3 158 12815 2511．D12．B ．13．B .14．715．解：∵m ，n 是关于 x 的一元二次方程 x 2－2tx ＋t 2－2t ＋4＝0 的两实数根， ∴m ＋n ＝2t ，mn ＝t 2－2t ＋4，∴(m ＋2)(n ＋2)＝mn ＋2(m ＋n )＋4＝t 2－2t ＋4＋2×2t ＋4＝t 2＋2t ＋8＝(t ＋1)2＋7.∵方程有两个实数根，∴Δ＝(－2t )2－4(t 2－2t ＋4)＝8t －16≥0，解得 m ≥－ .解得 k < 且 k ≠0.∴t ≥2，∴(t ＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16. 即(m ＋2)(n ＋2)的最小值是 16.16．解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x 2＋3x －m ＝0 有实数根， ∴Δ＝32＋4m ≥0，94(2)由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝－m ，而 x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11，∴(－3)2＋2m ＝11，解得 m ＝1.17．解：(1)∵方程有实数根，∴b 2－4ac ＝22－4(k ＋1)≥0， 解得 k ≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1，则 x 1＋x 2－x 1x 2＝ －2－(k ＋1)．由已知，得－2－(k ＋1)＜－1，解得 k ＞－2. 又由(1)得 k ≤0， ∴－2＜k ≤0. ∵k 为整数，∴k 的值为－1 或 0.18．解：(1)依题意，得(2k －1)2－4k 2>0，且 k ≠0，141 1(2)由 x 1·x 2＝k 2＝1，得 k ＝±1，而 k <4且 k ≠0，所以 k ＝－1.22222∴b －4ac ＝(3－m ) －4×1×(－m )＝5m －6m ＋9＝5(m － ) ＋ ＞0，19 (1)证明：一元二次方程 x 2－(m －3)x －m 2＝0 中，∵a ＝1，b ＝－(m －3)＝3－m ，c ＝－m 2，3 365 5∴方程总有两个不相等的实数根．c(2)由根与系数的关系，得 x 1·x 2＝a ＝－m 2≤0，x 1＋x 2＝m －3.∵|x 1|＝|x 2|－2，∴|x 1|－|x 2|＝－2.若 x 1≥0，x 2≤0，上式化简得 x 1＋x 2＝－2，∴m －3＝－2，即 m ＝1，方程化为 x 2＋2x －1＝0，解得 x 1＝－1＋ 2，x 2＝－1－ 2；若 x 1≤0，x 2≥0，上式化简得－(x 1＋x 2)＝－2，∴x 1＋x 2＝m －3＝2，即 m ＝5，方程化为 x 2－2x －25＝0，解得 x 1＝1－ 26，x 2＝1＋ 26.20．解：(1)∵x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0 的两个实数根，∴x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2＋5，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28，解得 m ＝－4 或 m ＝6.当 m ＝－4 时，原方程无解， ∴m ＝6.(2)①当 7 为底边长时，此时方程 x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0 有两个相等的实数根， ∴Δ＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)＝0， 解得 m ＝2，∴方程变为 x 2－6x ＋9＝0，解得 x 1＝x 2＝3.∵3＋3＜7，∴不能构成三角形．②当 7 为腰长时，设 x 1＝7，代入方程得 49－14(m ＋1)＋m 2＋5＝0，解得 m ＝10 或 m ＝4.当 m ＝10 时，方程变为 x 2－22x ＋105＝0， 解得 x ＝7 或 x ＝15.∵7＋7＜15，∴不能构成三角形；当 m ＝4 时，方程变为 x 2－10x ＋21＝0， 解得 x ＝3 或 x ＝7.∵3＋7>7，∴能构成三角形．此时三角形的周长为 7＋7＋3＝17.即这个三角形的周长为 17.。
九年级上册(北师大版)数学课时练习：2.5一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一．填空题〔共10小题〕1．关于x的方程x2+〔a﹣6〕x+a=0的两根都是整数 ,那么a的值等于．2．关于x的一元二次方程〔m﹣5〕x2+2x+2=0有实根 ,那么m的最大整数解是．3．假设方程x2+2〔1+a〕x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根 ,那么=4．如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0没有实数根 ,那么符合条件的一组 b ,c的实数值可以是b= ,c= ．5．假设实数a、b、c满足 ,b+c﹣1=0 ,a﹣bc﹣1=0 ,那么a的取值范围是．6．如果关于x的方程〔m﹣2〕x2﹣2x+1=0有实数根 ,那么m的取值范围是．7．假设a＞b＞c＞0 ,一元二次方程〔a﹣b〕x2+〔b﹣c〕x+〔c﹣a〕=0的两个实根中 ,较大的一个实根等于．8．关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2 ,那么〔x1﹣1〕2+〔x2﹣1〕2的最小值是．9．对于一切正整数n ,关于x的一元二次方程x2﹣〔n+3〕x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n,那么++…+= ．10．假设 ,假设x1,x2是一元二次方程kx2+ax+b=0的两个实数根且满足,那么k= ．二．选择题〔共12小题〕11．假设一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0 ,那么这个方程的两根为〔〕A．x1=1 ,x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定12．关于x的方程kx2+〔2k+1〕x+〔k﹣1〕=0有实数根 ,那么k的取值范围为〔〕A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣13．假设关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根 ,那么k的取值范围是〔〕A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠014．关于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2﹣2x+3=0有实数根 ,那么整数a的最大值是〔〕A．2 B．1 C．0 D．﹣115．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根 ,那么k的取值范围是〔〕A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠016．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根 ,那么k的取值范围在数轴上表示正确的选项是〔〕A． B． C． D．17．关于x的方程rx2+〔r+2〕x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有〔〕个．A．1 B．2 C．3 D．不能确定18．假设实数a、b满足a2﹣8a+5=0 ,b2﹣8b+5=0 ,那么的值是〔〕A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．19．以下一元二次方程中 ,只有方程〔〕的根为1与﹣2．A．x2﹣x﹣2=0 B．x2+x﹣2=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2+x+2=020．假设函数y=kx﹣3的图象如下图 ,那么一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是〔〕A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定31．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根 ,那么x13﹣4x22+19的值等于〔〕A．﹣4 B．8 C．6 D．042．α ,β满足α2+2α﹣1=0 ,β2+2β﹣1=0 ,那么的值为〔〕A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6三．解答题〔共6小题〕23．：关于x的一元二次方程x2﹣2〔2m﹣3〕x+4m2﹣14m+8=0 ,〔1〕假设m＞0 ,求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕假设12＜m＜40的整数 ,且方程有两个整数根 ,求m的值．24．关于x的方程〔x﹣1〕〔x﹣4〕=k2 ,k是实数．〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根：〔2〕当k的值取时 ,方程有整数解．〔直接写出3个k的值〕25．关于x的方程〔k﹣1〕x2+〔2k﹣3〕x+k+1=0有两个不相等的实数根．〔1〕求k的取值范围；〔2〕如果k是符合条件的最大整数 ,且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根 ,求此时m的值．26．关于x的方程 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0．〔1〕假设此方程的一个根为﹣1 ,求m的值；〔2〕求证：无论m取何实数 ,此方程都有两个不相等的实数根．27．关于x一元二次方程x2﹣4x+c=0．〔1〕当c=1时 ,试解这个方程；〔2〕假设方程的两个实数根为x1 ,x2 ,且x12﹣2x1x2+x22=0 ,求c的值．28．关于x的方程x2﹣〔k+2〕x+2k=0．①小明同学说：无论k取何实数 ,方程总有实数根 ,你认为他说的有道理吗？②假设等腰三角形的一边a=1 ,另两边b、c恰好是这个方程的两个根 ,求△ABC的周长和面积．参考答案一．填空题1．0或16．2．m=4．3．﹣．4．b=2 ,c=3．答案不唯一．5．a≤．6．m≤3．7．1．8．8．9．﹣10．﹣2或1．二．选择题11．C．12．A．13．B．14．C．15．D．16．C．17．B．18．C．19．B20．A．21．D．22．C．三．解答题23．证明：〔1〕△=b2﹣4ac=[﹣2〔2m﹣3〕]2﹣4〔4m2﹣14m+8〕=8m+4 ,∵m＞0 ,∴8m+4＞0．∴方程有两个不相等的实数根．〔2〕解：由求根公式得：∵方程有两个整数根 ,∴必须使为整数且m为整数．∴2m+1必是奇数 ,∴是奇数又∵12＜m＜40 ,∴25＜2m+1＜81．∴5＜＜9．∴m=24．24．〔1〕证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵△=〔﹣5〕2﹣4×1×〔4﹣k2〕=4k2+9＞0 ,∴不管k为任何实数 ,方程总有两个不相等的实数根；〔2〕解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵方程有整数解 ,∴x=为整数 ,∴k取0 ,2 ,﹣2时 ,方程有整数解．25．解：〔1〕△=〔2k﹣3〕2﹣4×〔k﹣1〕〔k+1〕=4k2﹣12k+9﹣4k2+4=﹣12k+13 ,∵方程〔k﹣1〕x2+〔2k﹣3〕x+k+1=0有两个不相等的实数根 ,∴﹣12k+13＞0 ,解得 ,k＜ ,又k﹣1≠0 ,∴k＜且k≠1时 ,方程有两个不相等的实数根；〔2〕∵k是符合条件的最大整数 ,∴k=0 ,x2﹣4x=0 ,x=0或4 ,当x=0时 ,x2+mx﹣1=0无意义；当x=4时 ,42+4m﹣1=0m=．26．〔1〕解：把x=﹣1代入x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0得1+5﹣m2﹣2m﹣7=0 ,解得m1=m2=﹣1 ,即m的值为1；〔2〕证明：△=〔﹣5〕2﹣4〔﹣m2﹣2m﹣7〕=4〔m+1〕2+49 ,∵4〔m+1〕2≥0∴△＞0 ,∴方程都有两个不相等的实数根．27．解：〔1〕当c=1时 ,原方程为x2﹣4x+1=0 ,解得：x===2± ,∴x1=2+ ,x2=2﹣．〔2〕∵x12﹣2x1x2+x22=0 ,∴〔x1﹣x2〕2=0 ,∴x1=x2 ,∴△=〔﹣4〕2﹣4c=16﹣4c=0 ,解得：c=4．∴c的值为4．28．解：〔1〕∵△=〔k+2〕2﹣4×1×2k=k2+4k+4﹣8k=k2﹣4k+4=〔k﹣2〕2≥0 ,∴方程无论k取何值 ,总有实数根 ,∴小明同学的说法合理；〔2〕①当b=c时 ,那么△=0 ,即〔k﹣2〕2=0 ,∴k=2 ,方程可化为x2﹣4x+4=0 ,∴x1=x2=2 ,而b=c=2 ,∴C△ABC=5 ,S△ABC=；②当b=a=1 ,∵x2﹣〔k+2〕x+2k=0．∴〔x﹣2〕〔x﹣k〕=0 ,∴x=2或x=k ,∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根 ,∴k=1 ,∴c=2 ,∵a+b=c ,∴不满足三角形三边的关系 ,舍去；综上所述 ,△ABC的周长为5．。
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2.4 一元二次方程根与系数的关系
同步练习
一、选择题
1．若1x ，2x 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，则
2
111x x +的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．―1 D ．3
2．若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足
1212x x x x +=.则k 的值为（ ） A ．－1或34 B ．－1 C ．34
D ．不存在
3．方程x 2-3x-6=0与方程x 2-6x+3=0的所有根的乘积为（ ）
A ．-18
B ．18
C ．-3
D ．3
4．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2-3x+1=0的两个根，则x 12+x 22 的值是（ ）
A ．45
B ．49
C ．411
D ．7 5．若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根x 1，x 2，且x 1·x 2＞x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞53-
B ．m≤12
C ．m ＜53-
D ． 53-＜m≤12
5．已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）
A ．3
B ．－3
C ．1
D ．－3或1
6．下列说法中不正确的是（ ）
A ．方程x 2+2x-7=0的两实数根之和为－2
B ．方程x 2-3x-5=0的两实数根之积为-5
C ．方程x 2-2x-7=0的两实数根的平方和为18
D.方程x 2-3x-5=0的两实数根的倒数和为5
3 7．如果x 的方程x 2+kx+1=0的两根的差为1，那么k 的值为（ ）
A ．±2
B ．±3
C ．±5
D ．±6
8．已知关于x 的方程5x 2+kx-6=0的一个根为2，设方程的另一个根为x 1，则有（ ）
A ．x 1=53，k=-7
B ．x 1=-53，k=-7
C ．x 1=-53，k=7
D ．x 1=5
3，k=7 二、填空题
1．已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．
2．如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么21x x ⋅＝ ．
3．已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112
x x x x +的值为______． 4．已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2
x ＝3
1，则21x x ⋅＝ ． 5．设x 1、x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)= ．
6．若方程03422=--x x 的两根为a 、β，则=+-22ββ2a a ．
7．若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则k= ．
8．请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： ．
三、解答题
1．已知关于x 的二次方程x 2+mx-1=0的一个根是12-，求另一个根及m 的值．
2．已知关于x 的方程x 2－（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．
3．α，β是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－x + 1 = 0的两个实数根，且满足(α+1)(β+1) = m +1，求实数m 的值．
4．已知关于x 的方程0)2(222=+--m x m x ，问：是否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
5．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O ．
(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根为x 1、x 2，且满足1x 1+1x 2
=－12，求m 的值．
参考答案
一、选择题
1．B ； 2．C ； 3．A ； 4．A ； 5．D ； 6．D ；
7．B ．〖提示〗令x 1＞x 2，因为x 1+x 2=-k ，x 1x 2=1，所以x 1-x 2=
22)(221221-=-+k x x x x =1，所以k 2-2=1，所以k=±3．
8．B ．提示：因为x 1x 2=-56，所以2x 1=-56，所以x 1=-53，又x 1+x 2=5
k ，所以k=5×（25
3+-）=-7． 二、填空题
1．23； 2．6； 3．10； 4．38-； 5．2
5-； 6．10； 7．3； 8．答案不唯一，如x 2-3x-2=0等；
三、解答题
1．设方程的另一个根为x 1，那么（12-）·x 1=－1，所以x 1=－12121
--=-． 又因为m -=--+-)12()12(，所以m=2．所以方程的另一个根为12--．
2．设方程的两根 x 1、x 2，则x 1+x 2=k+1，x 1x 2=k+2．因为x 12+x 22=(x 1+x 2)2―2x 1x 2=6，即(k+1)2－2（k+2）=6，解之，得k=±3．当k=3时，△=(k+1)2－4（k+2）=42－4×5＜0．当k=－3时，△=(-2)2－4（-1）=8＞0．
所以k=3不合题意，舍去，故k=－3．
3．根据题意，得α+β=
11-m ，αβ=1
1-m ，且m-1≠0． 因为(α+1)(β+1) = m +1，所以αβ+（α+β）=m ，所以11-m +11-m =m ，所以m 2-m-2=0，所以m 1=2，m 2=1（不合题意，舍去）．即实数m 的值为2．
4．设方程0)2(222=+--m x m x 的两实数根是x 1、x 2，假设存在正数m ，使方程
九年级中考压轴
九年级中考压轴
的两个实数根的平方和等于56，则x12+x22=56，所以（x1+x2）2-2x1x2=56，又因为x1+x2=2（m-2），x1x2=m2，所以4(m-2)2-2m2=56，所以m2-8m-20=0，所以m1=-8，m2=10．
因为m为正数，所以m=-8舍去．
当m=10时，原方程变形为x2－16x+100=0，该方程的△=（-16）2-4×100＜0，与该方程有两个实数根相矛盾．
所以不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于56．
5．（1）证明：因为一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O的根的判别式
△=(4m+1)2－4（2m-1）=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5．
因为不m取何值时，m2≥0，所以16m2+5总大于0，即不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）因为方程两根为x1、x2，所以x1+x2=－（4m+1），x1x2=2m－1，
因为1
x1+1
x2=－
1
2，所以2
1
2
1
2
1=
+
x
x
x
x
，所以
2
1
1
2
)1
4(
=
-
+
-
m
m
，所以m=
10
1
-．。