高一数学必修2 3.1直线倾斜角和斜率

x
o
o
a
B
y
a
o
x
a
注: (1)倾斜角的取值范围是
0 180
o
o
(2)倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向 的倾斜程度。
(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，
直线的纵截距是直线与 y 轴交点的纵坐标。
由此我们得到直线倾斜角α的范围为：
[0 ,180 )
o o
y o y
α=90o
k tan
倾斜角相同的直线，斜率相同
倾斜角
倾斜角和斜率
直线的斜率
k tan
当 0 90 时
0 0 0 0
直线的斜率是正数
当 90 180 时 直线的斜率是负数
当 0 时
0
直线的斜率是零
0 90 时 直线的斜率是不存在 当
牛刀小试
已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
升 高 量 前进量
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
升 高 量 前进量
二、直线的的斜 率
如上面例子图中，我们经常用“升高量与前进量的比” 表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
升高量 坡度 前进量
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A

前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan ,0 180
0
0
例如： 3 a 30 k tan30 3

a 45 k tan45 1 a 60 k tan60 3

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直 线的斜率为：
y2 y1 k x2 x1
( x1 x2 )
(1)公式与P1.P2两点坐标的顺序有关吗？ (2)公式与P1.P2两点的位置有关吗？ (3)当直线与x轴平行或重合时,该公式还 成立吗？ 倾斜角
倾斜角与斜率
温故知新：
这些图像你还认得吗？ y o 直线 x
y
o
y x
o
x
平面直角坐标系 双曲线 抛物线
倾斜角
Y
O
X
在直角坐标 系中，过一点可 以作无数条直线 ，它们的共同点 是经过同一点， 不同点是倾斜程 度不同。
倾斜角和斜率
直线的倾斜角
y
l
α x
o
我们取x轴为 基准，x轴正向 与直线L向上的 方向之间所成的 角α叫做直线L 的倾斜角。
(1) 300
0
(2) 450
(3) 1200
2 ( 2) k tan45 2
0
3 (1) k tan30 3
0
(3) k tan120 tan( 180 60 ) 3
0 0
想一想 我们知道，两点也可以唯一确定 一条直线。 所以我们的问题是： 如果知道直线上的两点，怎么 样来求直线的斜率(倾斜角)呢？
倾斜角相同能确 定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3
y
l 2 l1
o
x
4、如何才能确定直线位置？
y

0
x
过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线？
能
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
Y
p

O
.
X
Y K>0 O
p
.
K<0

X
（2）
（1）
Y
p
.
K不存在
Y
90
X
o
p 0o
X （4）
.
K=0
O （3）
O
牛刀小试
例1：已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直 线AB 、BC、CA的斜率，并判断直线 直线的倾斜角是锐角还是钝角。
例2：在平面坐标系中画出过原点且斜 率分别为2，－3的直线L1，L2
倾斜角
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
当直线 L 与X轴相交时，我们取X轴作为 基准，X轴正向与直线L 向上方向之间所成的 角叫做直线的倾斜角
y

0
x
注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。
练习巩固倾斜角的概念：
例1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是 (A )
y y
A
y
a
C D
x x o
k tan
思考：为什么用 的正切来表示斜率？
y
C
0
A B
2

x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾 斜程度。
想一想 你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。 2、每一个倾斜角都对应于唯一的 一条直线。
倾斜角和斜率
直线的斜率
当倾斜角不是90o时，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率。用k表示，即：
y o

p
l
x
y
l
y o p
y
p o
x
x
p
o
l x
l
由此我们得到直线倾斜角α的范围为：
o o [ 0 ,180 )
Y
p

O
. .
Y
p
0 90
0 0
.
900 1800

X
X （1）
O
（2）
Y
Y
p
90
X
o
p 0o
X （4）
.
O （3）
O
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相 交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时 针方向旋转到与直线重合时所转的最小 正角就叫做直线的倾斜角。
y
l
B
x
直线与x轴平 行或重合时，规 定其倾斜角为00。
想一想 你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜
角与它对应。
对
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
错
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
倾斜程度 倾斜角
α
o
x
α=0o
x
看看这三条直线，它们倾斜角 的大小关系是什么？
l1 y
想一想
o
l2
l3
x
例2.看看这三条直线，它们倾斜角的 大小关系是什么？设 l1 、 l 2 、 l3
3 分别为 1、 2、
l1 y
想一想
o
l2
l3
x
1 3 2
2、直线的倾斜角范围的探索
规定：当直线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°
180 120 ) a 120 k tan120 tan( tan60 3




180 135 ) a 135 k tan135 tan( tan45 1




180 150 ) a 150 k tan150 tan(