【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第2讲
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题四 第1讲
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(2)(2012· 山东)如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1－EDF 的体积为 ________．
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专题四 第1讲
解析 (1)设三棱锥 F－ADE 的高为 h，
1 1 AD· AE · sin ∠ DAE h 3 2 V1 1 则V ＝ ＝24. 1 2 2h22AD2AEsin∠DAE
平面的量是不变的，然后根据翻折前后图形及数量关系的变 化，借助立体与平面几何知识，即可求解．
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专题四 第1讲
如图， 把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起，使 AC＝ 6.
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斜高、 侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形； 侧棱在 底面内的射影、 斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成 一个直角三角形． (3)正棱台的性质 侧面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面 的边心距组成一个直角梯形； 棱台的高、 侧棱和两底面外接圆 的半径组成一个直角梯形； 棱台的斜高、 侧棱和两底面边长的 一半也组成一个直角梯形．
(2)利用三棱锥的体积公式直接求解． 1 1 1 1 VD1 EDF VF DD1F S D1DE AB ＝ × ×1×1×1＝ . 3 2 6 3 1 (2)6 答案 (1)1∶24
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专题四 第1讲
考点三
多面体与球
例 3 直三棱柱 ABC—A1B1C1 的各顶点都在同一球棱柱的侧面积为 2×a×bsin 45° ＋ab＝( 2＋1)ab.
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3 2 3 2 又∵斜三棱柱的底面积为 2× a ＝ a ， 4 2 3 2 ∴斜三棱柱的表面积为( 2＋1)ab＋ 2 a .
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第1讲
所以△ABD 为等腰三角形．
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又∵AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2， AE AC 又 ＝ ⇒AC2＝AE· AD＝4×6＝24，AC＝2 6. AC AD 在△ABC 中，BC＝ AB2－AC2＝ 36－24＝2 3.
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(2)如图，⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于 N，过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. ①求证：PM2＝PA· PC；
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专题七 第1讲
(2013· 课标全国Ⅰ)如图， 直线 AB 为圆 O 的切线， 切点为 B， 点 C 在圆上， ∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE 交圆于点 D.
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(1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为 1， BC＝ 3， 延长 CE 交 AB 于点 F， 求△BCF 外接圆的半径．
主干知识梳理
专题七 第1讲
6．直线与圆位置关系的“四定理” (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段长的积相等．
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(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等． (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
DM DE ∴ BM ＝ BF .
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∵F 是 BC 的中点， ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM， 1 ∴BM＝3DB＝3.
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专题七 第1讲
判定三角形相似的常用方法：
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题四 第2讲
专题四 第2讲
∵MC⊄平面 PAB，AB⊂平面 PAB，
∴MC∥平面 PAB.∵EM∩MC＝M， ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC⊂平面EMC， ∴EC∥平面PAB.
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专题四 第2讲
方法二
如图，延长 DC、AB，
设它们交于点 N，连结 PN.
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∵∠NAC＝∠DAC＝60° ， AC⊥CD，∴C 为 ND 的中点． ∵E 为 PD 的中点，∴EC∥PN. ∵EC⊄平面 PAB，PN⊂平面 PAB， ∴EC∥平面 PAB.
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(2)方法一 如图，取 AD 的中点 M， 连结 EM，CM. 则 EM∥PA. ∵EM⊄平面 PAB，PA⊂平面 PAB，
本 ∴EM∥平面 PAB. 讲 ，MC＝AM， 栏 在 Rt△ACD 中，∠CAD＝60° 目 开 ∴∠ACM＝60° .而∠BAC＝60° ，∴MC∥AB. 关
面面垂直的 性质定理
主干知识梳理
专题四 第2讲
面面平行的 判定定理
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a⊂β b⊂β ⇒α∥β a∩b＝O a∥α，b∥α α∥β α∩γ＝a⇒a∥b β∩γ＝b
面面平行的 性质定理 提醒
使用有关平行、 垂直的判定定理时， 要注意其具备的条
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专题四 第2讲
(2)设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正 确的是________．(填序号) ①若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α
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②若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α ④若 l∥α，m∥α，则 l∥m
③若 l∥α，m⊂α，则 l∥m
解析 (1)对于①，直线 l1 与 l3 可能异面、相交； 对于③，直线 l1、l2、l3 可能构成三棱柱的三条棱而不共面；
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第2讲
第2讲
函数、基本初等函数的图象与性质
【高考考情解读】 1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基
本 础知识为主，难度中等偏下. 讲 栏 目 2．函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容， 开 对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即 关
利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数 性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合 一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形 式考查，且常与新定义问题相结合，难度较大．
3 1 1 － ＝0＋－ ＝－ . 4 2 4
3 1 1 － ＝f ＝－ . 4 2 2
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专题一 第2讲
函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性
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以及函数图象的对称性， 在解题中根据问题的条件通过变换函 数的解析式或者已知的函数关系， 推证函数的性质， 根据函数 的性质解决问题．
讲 栏 解析 根据对任意 t∈R 都有 f(t)＝f(1－t)可得 f(－t)＝f(1＋t)， 目 开 即 f(t＋1)＝－f(t)，进而得到 f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[ －f(t)] ＝ 关
f(t)，得函数 y＝f(x)的一个周期为 2，
故 f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f 所以 f(3)＋f
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专题一 第2讲
(1)(2013· 天津改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的 偶函数， 且在区间[0， ＋∞)上单调递增． 若实数 a 满足 f(log2a)
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＋f( log 1 a )≤2f(1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且当 x>0 时， f(x)＝ex＋a， 若 f(x)在 R 上是单调函数，则实数 a 的最小值是________．
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六 第4讲
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专题六 第4讲
(3)复数运算中常用的结论 ①(1± i)2＝± 2i； 1＋i ② ＝ i； 1－ i 1－i ③ ＝－i； 1＋ i ④－b＋ai＝i(a＋bi)； ⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中 n∈N.
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押题精练
专题六 第4讲
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专题六 第4讲
(2)执行如图所示的流程图，输出的结果 S 的值为________．
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专题六 第4讲
解析
(1)执行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；
a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；
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a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4； a4＝4a3＋1＝85，k4＝k3＋1＝5； a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6. 要使输出的 a＝341，判断框中应为“k<6”，即 n＝6.
2 2 ∴ | z | ＝ － 1 ＋ － 1 ＝ 2， 本 讲 栏 ∴p1 是假命题；
目 2 2 ∵ z ＝ ( － 1 － i) ＝2i， 开 关
∴p2 是真命题；
∵ z ＝－1＋i，∴p3 是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p4 是真命题． 其中的真命题共有 2 个：p2，p4.
答案 (1)6
(2)－1
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专题六 第4讲
考点二 例2
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复数的基本概念
10 (1)(2013· 安徽改编)设 i 是虚数单位， 若复数 a－ (a∈R) 3－i
是纯虚数，则 a 的值为________． (2)(2013· 四川改编)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点 是________．
步步高江苏专用理2014届高三数学大二轮专题复习与增分策略专题五第3讲圆锥曲线中地热点问题
实用标准文档文案大全第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：实用标准文档文案大全|x2－x1|＝?x1＋x2?2－4x1x2，|y2－y1|＝?y1＋y2?2－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一曲线方程的求法及其简单应用例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x－1)2＋y2＝16与点A(－1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB 于点R，点R的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程；(2)曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线x＝t(t为常数，且t≠2)于点E，F，设E，F 的纵坐标分别为y1，y2，求y1·y2的值(用t表示)．解(1)连结RA，由题意得RA＝RP，RP＋RB＝4，所以RA＋RB＝4>AB＝2，实用标准文档文案大全由椭圆定义，得点R的轨迹方程为x24＋y23＝1.(2)设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，QM，QN的斜率分别为k QM，k QN，则k QM＝y0x0－2，k NQ＝y0x0＋2，所以直线QM的方程为y＝y0x0－2(x－2)，直线QN的方程为y＝y0x0＋2(x－2)．令x＝t(t≠2)，则y1＝y0x0－2(t－2)，y2＝y0x0＋2(t－2)，又点M(x0，y0)在椭圆x24＋y23＝1上，所以y20＝3－34x20.所以y1·y2＝y20x20－4(t－2)2＝????3－34x20?t－2?2x20－4＝－34(t－2)2，其中t为常数且t≠ 2.(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的点，且|AF→|，|BF→|，|DF→|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求B点坐标．解(1)设N(x，y)，则由MN→＝2MP→，得P为MN的中点，所以M(－x,0)，P(0，y2)．又PM→⊥PF→得PM→·PF→＝0，PM→＝(－x，－y2)，PF→＝(1，－y2)，所以y2＝4x(x≠0)．(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P0(x0，y0)到F的距离等于其到准线的距离，即P0F＝x0＋p2，所以|AF→|＝x1＋p2，|BF→|＝x2＋p2，|DF→|＝x3＋p2，根据|AF→|，|BF→|，|DF→|成等差数列，得x1＋x3＝2x2，实用标准文档文案大全直线AD的斜率为y3－y1x3－x1＝y3－y1y234－y214＝4y1＋y3，所以AD中垂线方程为y＝－y1＋y34(x－3)，又AD中点(x1＋x32，y1＋y32)在直线上，代入上式得x1＋x32＝1，即x2＝1，所以点B(1，±2)．考点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E. (1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且MA→＝λAF→，MB→＝μBF→，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连结AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA→＝λAF→，MB→＝μBF→把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果直线AE，BD相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．解(1)依题意得b＝3，e＝ca＝12，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，又F坐标为(1,0)，设l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?????y＝k?x－1?，x24＋y23＝1，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，实用标准文档文案大全又由MA→＝λAF→，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝x11－x1，同理μ＝x21－x2，∴λ＋μ＝x11－x1＋x21－x2＝x1＋x2－2x1x21－?x1＋x2?＋x1x2＝8k23＋4k2－2?4k2－12?3＋4k21－8k23＋4k2＋4k2－123＋4k2＝－83. 所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD 相交于FK的中点N????52，0，猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N????52，0，证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点????52，0，∵l AE：y－y2＝y2－y14－x1(x－4)，当x＝52时，y＝y2＋y2－y14－x1·????－32＝2?4－x1?·y2－3?y2－y1?2?4－x1?＝2?4－x1?·k?x2－1?－3k?x2－x1?2?4－x1?＝－8k－2kx1x2＋5k?x1＋x2?2?4－x1?＝－8k?3＋4k2?－2k?4k2－12?＋5k·8k22?4－x1?·?3＋4k2?＝0.∴点N????52，0在直线l AE上．同理可证，点N????52，0也在直线l BD上．∴当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点????52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要实用标准文档文案大全解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x 轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得O1A＝O1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴O1M＝x2＋42，又O1A＝?x－4?2＋y2，∴?x－4?2＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝8－2bkk2，①x1x2＝b2k2，②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以y1x1＋1＝－y2x2＋1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k(x －1)，即直线l 过定点(1,0)．考点三 圆锥曲线中的最值范围问题实用标准文档文案大全 例3 (2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C 1：x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0) 的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D. (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得?????b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 2 4＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋ 1，所以AB ＝24－d 2＝ 24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由????? x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k 2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB ·PD＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝32 4 k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，实用标准文档文案大全当且仅当k＝±102时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x 3 y－3 0 －6 1(1)求C1，C2的标准方程；(2)过点A(m,0)作倾斜角为π6的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围．解(1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C1的方程为x26＋y22＝1，抛物线C2的方程为y2＝9x.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝33(x－m)，由???y＝33?x－m?x26＋y22＝1，消去y整理得2x2－2mx＋m2－6＝0，由Δ>0得Δ＝4m2－8(m2－6)>0，即－23<m<23，①而x1x2＝m2－62，x1＋x2＝m，故y1y2＝33(x1－m)·33(x2－m) ＝13[x1x2－m(x1＋x2)＋m2]＝m2－66.欲使左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，则FC→·FD→>0，实用标准文档文案大全又F(－2,0)，即FC→·FD→＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2＋4>0. 整理得m(m＋3)>0，即m<－3或m>0.②由①②可得m的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1．求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0) 的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF2的周长为42. 实用标准文档文案大全 (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝ca ＝22， ∴ e 2＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长42，即4a42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k(x －2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y)， 由????? y ＝k ? x －2?x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8 k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2 －21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t(x ，y)，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t ?1＋2k 2?，y＝y 1＋y 2t ＝1t[k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt ?1＋2k 2?. ∵点P 在椭圆C 上，∴?8k 2?2[t ?1 ＋2k 2?]2＋2?－4k ?2[t ?1 ＋2k 2?]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|PA →－PB →|< 253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209， ∴(1＋k 2)[64k 4? 1＋2k 2?2－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.实用标准文档 文案大全 ∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2，又32<1＋2k2<2，∴83<t2＝8－81＋2k2<4，∴－2<t<－263或263<t<2，∴实数t的取值范围为(－2，－263)∪(26，2)．(推荐时间：70分钟)一、填空题1．已知方程x2k＋1＋y23－k＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是________．．答案1<k<3解析若椭圆焦点在x轴上，则 k＋1>03－k>0k＋1>3－k，解得1<k<3.2．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________答案x29－y216＝1(x>3)解析如图AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x>3)．3．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为________．．答案6解析设P(x0，y0)，则实用标准文档文案大全x204＋y203＝1，即y20＝3－3x204，又因为F(－1,0)，所以OP→·FP→＝x0·(x0＋1)＋y20＝14x20＋x0＋3 ＝14(x0＋2)2＋2，又x0∈[－2,2]，即OP→·FP→∈[2,6]，所以(OP→·FP→)max＝6.4．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．．答案m≥1且m≠5解析∵方程x25＋y2m＝1表示椭圆，∴m>0且m≠5.∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m≥1，∴m的取值范围是m≥1且m≠5.5．设F1、F2为椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，PF→1·PF→2的值等于________．．答案－2解析易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．此时，F1(－3，0)，F2(3，0)，不妨设P(0,1)，∴PF→1＝(－3，－1)，PF→2＝(3，－1)，∴PF→1·PF→2＝－2.6．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则AB CD的值为________．．答案116解析由?????3x－4y＋4＝0，x2＝4y得x2－3x－4＝0，∴x A＝－1，y A＝14，x D＝4，y D＝4，实用标准文档文案大全直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)，且该圆圆心为F(0,1)，∴AF＝y A＋1＝54，DF＝y D＋1＝5，∴AB CD＝AF－1DF－1＝116. 7．已知双曲线x2－y23＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．．答案0或－8解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则?????x21－y213＝1，①x22－y223＝1，②x1＋x2＝2x0，③y1＋y2＝2y0，④由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝13(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.∴y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝3，即k MN·y0x0＝3，∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴k MN＝－1，∴y0＝－3x0，又∵y0＝x0＋m，∴P????－m4，3m4，代入抛物线方程得916m2＝18·????－m4，解得m＝0或－8，经检验都符合．8．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是________．．答案(13，＋∞)解析设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1＝r1，PF2＝r2. 由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1，∴2c<10,2c＋2c>10，实用标准文档文案大全∴52<c<5?1<25c2<4，∴e2＝2c2a双＝2cr1－r2＝2c10－2c＝c5－c；e1＝2c2a椭＝2cr1＋r2＝2c10＋2c＝c5＋ c. ∴e1·e2＝c225－c2＝125c2－1>13. 9．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．．答案522－1 解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y2＝4x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x＝－1，则由抛物线的定义可得d1＋d2＝PA－AB＋d2＝PF－1＋d2，PF＋d2大于或等于焦点F点P到直线l，即PF＋d2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d1＋d2的最小值为522－1.二、解答题10．已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝103分别交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值．解(1)如图，由题意得椭圆C的左顶点为A(－2,0)，上顶点为D(0,1)，即a＝2，b＝1. 故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0，设直线AS的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，解得M(103，16k3)，且将直线方程代入椭圆C的方程，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.实用标准文档文案大全设S(x1，y1)，由根与系数的关系得(－2)·x1＝16k2－41＋4k2. 由此得x1＝2－8k21＋4k2，y1＝4k1＋4k2，即S(2－8k21＋4k2，4k1＋4k2)．又B(2,0)，则直线BS的方程为y＝－14k(x－2)，联立直线BS与l的方程解得N(103，－13k)．∴MN＝????16k3＋13k＝16k3＋13k≥216k3·13k＝83. 当且仅当16k3＝13k，即k＝14时等号成立，故当k＝14时，线段MN 的长度的最小值为83.11．在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(2，0)，B(－2，0)，直线PA与PB的斜率之积为－12.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一定点．(1)解由题意知：yx＋2·yx－2＝－12.化简得x22＋y2＝1(y≠0)．(2)证明方法一设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：x＝my＋1，代入x22＋y2＝1(y≠0)整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0. y1＋y2＝－2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2，MQ的方程为y－y1＝y1＋y2x1－x2(x－x1)，令y＝0，得x＝x1＋y1?x2－x1?y1＋y2＝my1＋1＋my1?y2－y1?y1＋y2＝2my1y2y1＋y2＋1＝2. ∴直线MQ过定点(2,0)．方法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：y＝k(x－1)，代入x22＋y2＝1(y≠0)整理得实用标准文档文案大全(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2，MQ的方程为y－y1＝y1＋y2x1－x2(x－x1)，令y＝0，得x＝x1＋y1?x2－x1?y1＋y2＝x1＋k?x1－1??x2－x1?k?x1＋x2－2?＝2x1x2－?x1＋x2?x1＋x2－2＝2.∴直线MQ过定点(2,0)．12．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，左顶点M到直线x a＋yb＝1的距离d＝45，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．(1)解由e＝32，得c＝32a，又b2＝a2－c2，所以b＝12a，即a＝2b.由左顶点M(－a,0)到直线xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0的距离d＝455，得|b?－a?－ab|a2＋b2＝455，即2aba2＋b2＝455，把a＝2b代入上式，得4b25b＝455，解得b＝1.所以a＝2b＝2，c＝3. 所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2. 因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故OA→·OB→＝0，即x1x2＋y1y2＝0，也就是x21－y21＝0，又点A在椭圆C上，所以x214－y21＝1，解得|x1|＝|y1|＝255.实用标准文档文案大全此时点O到直线AB的距离d1＝|x1|＝255. ②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立有?????y＝kx＋m，x24＋y2＝1，消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－41＋4k2.因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB. 所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝0. 所以(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0. 所以(1＋k2)·4m2－41＋4k2－8k2m21＋4k2＋m2＝0. 整理得5m2＝4(k2＋1)，所以点O到直线AB的距离d1＝|m|k2＋1＝255.综上所述，点O到直线AB的距离为定值255.(3)解设直线OA的斜率为k0. 当k0≠0时，则OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝－1k0x，???x21＝41＋4k20，联立?????y＝k0x，x24＋y2＝1，得y21＝4k201＋4k20.同理可求得???x22＝4k20k20＋4，y22＝4k20＋4.故△AOB的面积为S＝121＋k20·|x1|·1＋1k20·|x2|＝2?1＋k20?2?1＋4k20??k20＋4?. 令1＋k20＝t(t>1)，则S＝2t24t2＋9t－9＝21－9t2＋9t＋4，实用标准文档文案大全令g(t)＝－9t2＋9t＋4＝－9(1t－12)2＋254(t>1)，所以4<g(t)≤25 4.所以45≤S<1.当k0＝0时，可求得S＝1，故45≤S≤1，故S的最小值为4 5.。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第3讲
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专题三 第3讲
考点一 例1
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归纳推理
(2013· 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种
多边形数，如三角形数1,3,6,10，„，第n个三角形数为 nn＋1 1 2 1 ＝ n ＋ n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以 2 2 2 下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 1 2 1 三角形数 N(n,3)＝ n ＋ n， 2 2 正方形数 五边形数 N(n,4)＝n2， 3 2 1 N(n,5)＝ n － n， 2 2
答案 a3 (1) 8
(2)内角平分线 a
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考点三 直接证明与间接证明
专题三 第3讲
1 31＋an＋1 21＋an 例 3 已知数列{an}满足：a1＝ ， ＝ ， 2 1－an 1－an＋1
2 anan＋1<0 (n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a2 － a n＋1 n (n≥1)．
x ＝x1＋x2， 2 0 则有 y1＋y2 y0＝ . 2
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2 2 x2 y2 1－x2 1－y2 两式相减得 2 ＝ 2 ， a b
专题三 第3讲
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x1－x2x1＋x2 y1－y2y1＋y2 即 ＝ ， a2 b2 y1－y2y1＋y2 b2 即 ＝a2， x1－x2x1＋x2
24－2 4－24 ∴N(10,24)＝ 2 ×100＋ 2 ×10 ＝1 100－100＝1 000.
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专题三 第3讲
归纳推理的一般步骤是： (1)通过观察个别事物发
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现某些相同的性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表 述的一般性命题． 并且在一般情况下， 如果归纳的个别事物越 多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八 第2讲
热点分类突破解 方法一 Nhomakorabea专题八 第2讲
从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x＋4y
＋8＝0 向左上方或向右下方无穷远处运动时， 1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC＝2PA· AC＝2PA 越来越大， 从而
思想方法概述
专题八 第2讲
第2讲
数形结合思想
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1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的 生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段， 数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性 质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些 属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质．
2
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∴(S四边形PACB)min＝ 9－1＝2 2. 方法三 利用函数思想，将方法二中 S
四 边 形
PACB
＝
x－12＋y－12－1中的 y 由 3x＋4y＋8＝0 解出， 代入转化为关于 x 的一元二次函数，进而用配方法求最值，也 可得(S 四边形 PACB)min＝2 2.
本 讲 栏 当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB 变小， 目 开 显然，当点 P 到达一个最特殊的位置， 关
S 四边形 PACB 也越来越大；
即 CP 垂直直线时，S |3×1＋4×1＋8| ＝3， 2 2 3 ＋4
四边形 PACB
应有唯一的最小值，此时 PC＝
江苏专用理2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三第1讲-课件
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专题三 第1讲
考点一 与等差数列有关的问题
例1
本
在等差数列{an}中，满足 3a5＝5a8，Sn 是数列{an}的前 n
讲 项和．
栏
目 开 关
(1)若 a1>0，当 Sn 取得最大值时，求 n 的值； (2)若 a1＝－46，记 bn＝Sn－n an，求 bn 的最小值．
热点分类突}有最大项；
栏 目
②若数列{Sn}有最大项，则 d<0；
开 关
③若数列{Sn}是递增数列，则对任意 n∈N*，均有 Sn>0；
④若对任意 n∈N*，均有 Sn>0，则数列{Sn}是递增数列．
(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
(2)由(1)及 a1＝－46，得 d＝－223×(－46)＝4，
∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50，
Sn＝－46n＋nn－ 2 1×4＝2n2－48n.
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专题三 第1讲
∴bn＝Sn－n an＝2n2－5n2n＋50
本 ＝2n＋5n0－52≥2 2n×5n0－52＝－32，
讲 栏 目
等差数列
(4){an} 为 等 差 数 列 ⇔
(5){an}为等比数列，an>0⇔ {a an } 为 等 比 数 列 (a>0
{logaan}为等差数列
且 a≠1)
主干知识梳理
专题三 第1讲
(1)若m、n、p、
(1)若m、n、p、
q∈N*，且m＋n＝p＋ q∈N*，且m＋n＝p
本 讲
性质
q，则am＋an＝ap＋aq (2)an＝am＋(n－m)d
本 故 a1＝－m－2 1，
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六 第1讲
专题六 第1讲
第1讲
【高考考情解读】
排列与组合、二项式定理
本 组合往往通过实际问题进行综 讲 高考中对两个计数原理、排列、 栏 经常与概率问题相结合， 出现在解答题中， 难度中等； 目 合考查， 开 关 对于二项式定理的考查，难度较小．
主干知识梳理
专题六 第1讲
1．分类计数原理和分步计数原理
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如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类计数原 理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事 件完成，则要用分步计数原理将各步的方法种数相乘．
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2．排列与组合
专题六 第1讲
(1)排列：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数
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专题六 第1讲
1 2 (1)无重复的三位数有：A3 ＋ A 9 2A9＝648 个．
当中间数为 4 时，有 3×4＝12 种； 当中间数为 5 时，有 4×5＝20 种； 当中间数为 6 时，有 5×6＝30 种； 当中间数为 7 时，有 6×7＝42 种； 当中间数为 8 时，有 7×8＝56 种； 当中间数为9时，有8×9＝72种． 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．
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C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________ 种． (2)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好 数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的重复数字的四位数 中，“好数”共有________个．
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专题六 第1讲
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第1讲
14 即 a ＋c －4＝ ac. 9
2 2
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7 ②在△ABC 中，cos B＝ ， 9
专题二 第1讲
∴sin B＝ 1－cos B＝
2
7 4 2 2 1－9 ＝ 9 .
a b 由正弦定理得： ＝ ， sin A sin B 本
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4 2 3× 9 asin B 2 2 ∴sin A＝ ＝ ＝ . b 2 3 π 1 2 又 A＝C，∴0<A< ，∴cos A＝ 1－sin A＝ ， 2 3
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2．三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x
专题二 第1讲
y＝tan x
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图象
π π π 在 [ － π ＋ 2 k π ， 在 [ － ＋ 2kπ ， ＋ 在(－ ＋ 2 2 2 2kπ](k∈Z) 上 单 π 单调 2kπ](k∈Z)上单调递增； kπ ， ＋ 2 调递增； 在[2kπ， π 3π 性 在 [ ＋ 2kπ ， ＋ 2 2 π ＋ 2kπ](k∈Z) kπ)(k∈Z)上 2kπ](k∈Z)上单调递减 上单调递减 单调递增
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间．
先化简函数解析式，再求函数的性质．
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专题二 第1讲
解
(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z)，
故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
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sin x－cos xsin 2x 因为 f(x)＝ sin x
主干知识梳理
专题二 第1讲
1．三角函数定义、同角关系与诱导公式
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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲矩阵与变换
第2讲 矩阵与变换【高考考情解读】 本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分．1． 矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a 11，a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11，a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy . For personal use only in study and research; not for commercial use说明：矩阵乘法MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 2． 几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换． 3． 矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B . (2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd (ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. ②已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C . (4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n (ad －bc ≠0)，若将X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 看成是原先的向量，而将B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 看成是经过系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd (ad －bc ≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX ＝B ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则X ＝A －1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .4． 二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量． (3)特征多项式 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*)由特征向量的定义知α≠0，因此x ，y 不全为0，此时D x ＝0，D y ＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D ＝0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.定义：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc . 称为A 的特征多项式． (4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是，非 零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量.考点一 常见矩阵变换的应用 例1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤023 2.(1)求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)， 则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎨⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1，得(x ′2)2＋(y ′3)2＝1.∴曲线C ′的方程是x 24＋y 29＝1.求曲线经过二阶矩阵变换的方法步骤曲线f (x ，y )＝0经过二阶矩阵变换，得曲线g (x ，y )＝0，求曲线g (x ，y )的一般步骤为： (1)取曲线f (x ，y )＝0上的任意一点A (x ，y )； (2)A (x ，y )通过二阶矩阵变换得A ′(x ′，y ′)；(3)用x 表示x ′，y 表示y ′代入f (x ，y )＝0，得g (x ′，y ′)＝0； (4)g (x ′，y ′)＝0用x 代替x ′，y 代替y ′，得g (x ，y )＝0，即为所求．(2013·福建)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标． 解 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)． 考点二 求二阶矩阵的逆矩阵 例2 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1； (2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0 0 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.求逆矩阵的常见方法(1)待定系数法设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |， 当且仅当|A |≠0；(3)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1.(2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6，求矩阵A －1B .解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.考点三 求矩阵的特征值与特征向量例3 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4， 故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.求特征值和特征向量的方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .(2)求特征向量和特征值的步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值； ②解⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3652的特征值与属于每个特征值的一个特征向量．解 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －6－5 λ－2，令f (λ)＝0得，λ2－5λ－24＝0，∴λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A 的两个特征值．①当λ1＝8时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，可任取一解如⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，得λ＝8的特征向量ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65.②当λ2＝－3时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0.可任取一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得λ＝－3的特征向量ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.1． 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．2． 对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换．3． 对于常见的变换，要能够根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵． 4． 对于二阶矩阵A 而言，至多有两个特征值，将特征值λ代入Aα＝λα，即可求得对应的特征向量α.5． 关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系，或说是所学知识的一个综合运用.1． 已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标． 解 变换T 对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－3，a ＋2b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A (－2,3)．2． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1.(1)求(AB )－1.(2)求直线2x ＋y －5＝0在(AB )－1对应变换作用下的直线方程．解 (1)AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －3－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－1 －3， 又|AB |＝－3－1＝－4，∴(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14－14. (2)设P (x 0，y 0)是直线2x ＋y －5＝0上任一点，P ′(x ，y )是在变换作用下点P 的象，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(AB )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14 －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0.∴⎩⎨⎧x ＝34x 0－14y 0，y ＝－14x 0－14y 0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝－x －3y .代入直线方程2x ＋y －5＝0，得2(x －y )－(x ＋3y )－5＝0，即x －5y －5＝0，即为所求的直线方程．(推荐时间：60分钟)1． 求满足X ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－11的二阶矩阵X .解 设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋b 3a ＋2b 2c ＋d 3c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝2，2c ＋d ＝－1，3c ＋2d ＝1得a ＝4，b ＝－5，c ＝－3，d ＝5，故X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －5－3 5. 2． 双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为F ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 3，求点F 在矩阵BA 对应的变换作用下的象F ′.解 BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0，∴(BA )⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤09. 即F ′的坐标为(0,9)．3． 求函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14变换作用下的结果．解 任选曲线y ＝x 2上一点(x ，y )，它在变换T M 作用下变为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 14y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′， y ＝4y ′，代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 4． (2012·江苏)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解 因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1， 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.5． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 6． 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0，3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ， 则S ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1；S ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1d ＝－3，综上可知，T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 7． 已知曲线C ：xy ＝1，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程．解 设P (x 0，y 0)是曲线C ：xy ＝1上的任一点，点P (x 0，y 0)在旋转变换后对应的点为P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x 0－22y 022x 0＋22y 0 ∴⎩⎨⎧ x ′0＝22x 0－22y 0，y ′0＝22x 0＋22y 0，∴⎩⎨⎧ x 0＝22(x ′0＋y ′0)，y 0＝22(y ′0－x ′0).又x 0y 0＝1，∴22(y ′0＋x ′0)×22(y ′0－x ′0)＝1. ∴y ′20－x ′20＝2，即曲线C ：xy ＝1旋转后所得到的曲线C ′的方程为：y 2－x 2＝2.8． 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)、B (1,1)、C (0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 解 由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0作用下，一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，因此，△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形与△ABC 全等，从而其面积等于△ABC 的面积，即为1.9． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3， 所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－4 1， 令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0. 解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＝04x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. 10．(2012·福建)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八 第3讲
思想方法概述
专题八 第3讲
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置 需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系 等．
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(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如 含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结 果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方 法． (6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在 解决排列、组合中的计数问题时常用．
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专题八 第3讲
已知圆的方程 x2＋y2＝1， 则过点 P(1,2)的圆的切线
x＝1 或 3x－4y＋5＝0 ． 方程为_______________________
解析 当 k 不存在时，直线为 x＝1，也是切线，
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当 k 存在时，设直线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0. |2－k| ∴圆心(0,0)到直线的距离 d＝ 2 ＝1， k ＋1 3 解得 k＝4. ∴直线方程为 3x－4y＋5＝0. ∴切线方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
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专题八 第3讲
1 2 综上，当0<a<1时，f(x)的极大值是－ a ＋aln a，极小值 2 1 是－ ； 2
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当 a＝1 时，f(x)无极值； 1 1 2 当 a>1 时，f(x)的极大值是－2，极小值是－2a ＋aln a.
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专题八 第3讲
分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨
在 [0,1] 上的最大值只能在区间端点取得 ( 由于此处不涉及 最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八 第1讲
专题八 第1讲
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1 2 ＝4x(7x －32x＋25)<0. 因此 h(x)在(1,3)内单调递减． 又 h(1)＝0，所以 h(x)<0， 9x－1 即 f(x)< . x＋5
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专题八 第1讲
根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研
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究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的 工具性以及函数、方程的数学思想．
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1 (2)设数列{bn}的通项 bn＝ ， 记 Sn 是数列{bn}的前 n 项和， anan＋1 若 n≥3 时，有 Sn≥m 恒成立，求 m 的最大值．
解 (1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋„＋a10＝144， 10a1＋a10 ∴S10＝145，∴S10＝ ， 2 ∴a10＝28，∴公差d＝3. ∴an＝3n－2(n∈N*)．
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专题八 第1讲
(1) 函数 f(x) ＝ (2x － 1)2 ， g(x) ＝ ax2 (a>0) ，满足 f(x)<g(x) 的 整 数 x 恰有 4 个 ， 则实 数 a 的 取 值范 围是 __________． (2)f(x)＝ax3－3x＋1 对于 x∈[－1,1]总有 f(x)≥0 成立，则 a
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过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未 知量的方程来解． (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系 问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程 与二次函数的有关理论． (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要 运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
程的思想是对方程概念的本质认识， 用于指导解题就是善于
【步步高江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五第3讲圆锥曲线中地热点问题
第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一 曲线方程的求法及其简单应用例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：(x －1)2＋y 2＝16与点A (－1,0)，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M ，N ，连结QM ，QN ，分别交直线x ＝t (t 为常数，且t ≠2)于点E ，F ，设E ，F 的纵坐标分别为y 1，y 2，求y 1·y 2的值(用t 表示)． 解 (1)连结RA ，由题意得RA ＝RP ，RP ＋RB ＝4， 所以RA ＋RB ＝4>AB ＝2，由椭圆定义，得点R 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，－y 0)，QM ，QN 的斜率分别为k QM ，k QN ， 则k QM ＝y 0x 0－2，k NQ ＝y 0x 0＋2， 所以直线QM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线QN 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x －2)．令x ＝t (t ≠2)，则y 1＝y 0x 0－2(t －2)，y 2＝y 0x 0＋2(t －2)，又点M (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以y 20＝3－34x 20.所以y 1·y 2＝y 20x 20－4(t －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－34x 20t －22x 20－4＝－34(t －2)2，其中t 为常数且t ≠2.(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上的点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求B 点坐标．解 (1)设N (x ，y )，则由MN →＝2MP →，得P 为MN 的中点，所以M (－x,0)，P (0，y2)．又PM →⊥PF →得PM →·PF →＝0，PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(1，－y 2)，所以y 2＝4x (x ≠0)．(2)由(1)知F (1,0)为曲线C 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P 0(x 0，y 0)到F 的距离等于其到准线的距离，即P 0F ＝x 0＋p2，所以|AF →|＝x 1＋p2，|BF →|＝x 2＋p2，|DF →|＝x 3＋p2，根据|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，得x 1＋x 3＝2x 2，直线AD 的斜率为y 3－y 1x 3－x 1＝y 3－y 1y 234－y 214＝4y 1＋y 3，所以AD 中垂线方程为y ＝－y 1＋y 34(x －3)，又AD 中点(x 1＋x 32，y 1＋y 32)在直线上，代入上式得x 1＋x 32＝1，即x 2＝1，所以点B (1，±2)． 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连结AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点． 解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2， ∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－x 1＋x 2＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－24k 2－123＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83.所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，猜想，当直线l 的倾斜角变化时，AE 与BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线AE 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝24－x 1·y 2－3y 2－y 124－x 1＝24－x 1·k x 2－1－3k x 2－x 124－x 1＝－8k －2kx 1x 2＋5k x 1＋x 224－x 1＝－8k 3＋4k 2－2k 4k 2－12＋5k ·8k 224－x 1·3＋4k 2＝0.∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0在直线l AE 上．同理可证，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0也在直线l BD 上．∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．(2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得O 1A ＝O 1M ， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝x 2＋42， 又O 1A ＝x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，①x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题例3 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以AB ＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB ·PD＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x 1 －6 4 3 y－3－61(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围． 解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x .(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －m x 26＋y 22＝1，消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0， 由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0， 即－23<m <23，①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m )·33(x 2－m )＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]＝m2－6 6.欲使左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部，则FC→·FD→>0，又F(－2,0)，即FC→·FD→＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2＋4>0.整理得m(m＋3)>0，即m<－3或m>0.②由①②可得m的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1．求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝ca＝22， ∴e 2＝c 2a2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2. 又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2x22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t＝8k 2t 1＋2k 2，y ＝y 1＋y 2t＝1t[k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt 1＋2k 2.∵点P 在椭圆C 上， ∴8k 22[t1＋2k 2]2＋2－4k 2[t1＋2k 2]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)． ∵|PA →－PB →|<253，∴1＋k 2|x1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)[64k 41＋2k 22－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0， ∴k 2>14. ∴14<k 2<12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4，∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：70分钟)一、填空题 1． 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．答案 1<k <3解析若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k，解得1<k <3.2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________________． 答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线 的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．3． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.4． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12m≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.5． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________． 答案 －2解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)，∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)，∴PF →1·PF →2＝－2.6． 直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则ABCD的值为________．答案116 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，y A ＝14，x D ＝4，y D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)， 且该圆圆心为F (0,1)，∴AF ＝y A ＋1＝54，DF ＝y D ＋1＝5，∴ABCD ＝AF －1DF －1＝116.7． 已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________． 答案 0或－8解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1， ①x 22－y223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0，又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合．8． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是________． 答案 (13，＋∞)解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52<c <5⇒1<25c2<4， ∴e 2＝2c2a 双＝2cr 1－r 2＝2c10－2c ＝c5－c；e 1＝2c2a 椭＝2cr 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c2－1>13. 9． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案522－1解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得d 1＋d 2＝PA －AB ＋d 2＝PF －1＋d 2， PF ＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ，即PF ＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d 1＋d 2的最小值为522－1.二、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k3)，且将直线方程代入椭圆C的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k (x －2)，联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k)．∴MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83.11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线PA与PB 的斜率之积为－12.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点． (1)解 由题意知：yx ＋2·yx －2＝－12.化简得x 22＋y 2＝1(y ≠0)．(2)证明 方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0， 得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝my 1＋1＋my 1y 2－y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋1＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝x 1＋k x 1－1x 2－x 1k x 1＋x 2－2＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－2＝2.∴直线MQ 过定点(2,0)． 12．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋yb＝1的距离d＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值． (1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b －a －ab |a 2＋b 2＝455，即2aba 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b ＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2. 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255.此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255.②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB . 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.(3)解 设直线OA 的斜率为k 0. 当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x24＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝41＋4k 2，y 21＝4k 201＋4k 20.同理可求得⎩⎪⎨⎪⎧x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝21＋k 2021＋4k 20k 20＋4.令1＋k 20＝t (t >1)， 则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1.当k0＝0时，可求得S＝1，故45≤S≤1，故S的最小值为45.。
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主干知识梳理
(3)倒序相加法
专题三 第2讲
这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法， 也就是将一 个数列倒过来排列 (反序 )，当它与原数列相加时若有公式可 提， 并且剩余项的和易于求得， 则这样的数列可用倒序相加法
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求和． (4)裂项相消法 利用通项变形， 将通项分裂成两项或 n 项的差， 通过相加过程 中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求 1 通项为 的数列的前 n 项和，其中{an}若为等差数列，则 anan＋1 1 1 1 1 ＝da －a . anan＋1 n n＋1
专题三 第2讲
第2讲
数列求和及数列的综合应用
【高考考情解读】
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高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题： 1．以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学 生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属 中档题. 2． 通过分组、 错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题， 考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用， 属中档题．
专题三 第2讲
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(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该 模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．
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专题三 第2讲
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的
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1－3n n 当n为偶数时，Sn＝2× ＋ ln 3 1－3 2 n n ＝3 ＋ ln 3－1； 2 n－1 1－3n 当 n 为奇数时，Sn＝2× －(ln 2－ln 3)＋ －nln 3 1－3 2 n－1 n ＝3 － ln 3－ln 2－1. 2 n n n为偶数， 3 ＋2ln 3－1， 综上所述，Sn＝ 3n－n－1ln 3－ln 2－1， n为奇数. 2
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专题三 第2讲
考点一 例 1
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分组转化求和法 等比数列{an}中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三
行中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的 同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 2 4 8 10 14 18
2n 1 5 － 3 －n－3n为奇数 综上，Tn＝ 22n－1＋nn为偶数 3
＋
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.
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考点二 例2 错位相减求和法
专题三 第2讲
(2013· 山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 S4＝4S2，
a2n＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式；
再验证是否可以合并为一个公式．
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专题三 第2讲
已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝2an＋n2－ 3n－2，n＝1,2,3，„ (1)求证：数列{an－2n}为等比数列；
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(2)设 bn＝an· cos nπ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
(1)证明 ∵a1＝S1＝2a1＋1－3×1－2， ∴a1＝4， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2an＋n2－3n－2－2an－1－(n－1)2＋3(n－1)＋2， 整理得 an＝2an－1－2n＋4，
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专题三 第2讲
1．数列求和的方法技巧
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(1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列 通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的 数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分 别是等差数列和等比数列．
本 1 1 讲 1 1 1 1 1 栏 ＝1＋ ＋2－3＋3－4＋„＋n－1－n 4 目 开 关 5 1 1 7 1 7
＝ ＋ － ＝ － < ， 4 2 n 4 n 4
1 1 1 7 所以对一切正整数 n，有 ＋ ＋„＋ < . a1 a2 an 4
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专题三 第2讲
在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，
本 哪些项构成等比数 讲 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列， 栏 目 列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的 开 关 各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后
1 的等差数列，
an 所以 n ＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*.
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专题三 第2讲
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3)证明 ＋ ＋ ＋„＋ a ＝1＋ ＋ 2 ＋ 2 ＋„＋ 2 <1＋ a1 a2 a3 4 3 4 n 4 n 1 1 1 ＋ ＋ ＋„＋ 2×3 3×4 nn－1
3n＋1 1 ＝ 1－ n ， 3 4
3n＋1 3n＋1 4 1 ∴Rn＝91－ n ＝94－ n－1 . 4 4
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专题三 第2讲
错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法．在
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应用这种方法时， 一定要抓住数列的特征， 即数列的项可以看 作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的 求和问题．
1 ＋ 即 Sn＝ [(3n－1)22n 1＋2] ． 9
②
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考点三 裂项相消求和法
专题三 第2讲
2Sn 例 3 (2013· 广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知 a1＝1，n 1 2 2 ＝an＋1－ n －n－ ，n∈N*. 3 3
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(1)求 a2 的值； (2)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 7 (3)证明：对一切正整数 n，有 ＋ ＋„＋a < . a1 a2 n 4 1 2 (1)解 2S1＝a2－ －1－ ，又 S1＝a1＝1，所以 a2＝4. 3 3 1 3 2 2 (2)解 当 n≥2 时，2Sn＝nan＋1－ n －n － n， 3 3 1 2 3 2 2Sn－1＝(n－1)an－ (n－1) －(n－1) － (n－1)， 3 3
∴an－2n＝2[ an－1－2(n－1)] ，
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an－2n ∴ ＝2， an－1－2n－1
专题三 第2讲
∴{an－2n}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列． (2)由(1)得 a1－2×1＝4－2＝2，∴an－2n＝2n，
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∴an＝2n＋2n.
当 n 为偶数时，Tn＝b1＋b2＋„＋bn ＝－a1＋a2－a3＋„＋an
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an＋1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且 Tn＋ n ＝λ(λ 为常 2 数)．令 cn＝b2n，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和 Rn.
解 (1)设公差为 d，令 n＝1， 则 a2＝2a1＋1，a1＝d－1， 又 S4＝4S2，即 2a1＝d， 由①②得：a1＝1，d＝2，所以 an＝2n－1(n∈N*)． ① ②
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专题三 第2讲
1 2 两式相减得 2an＝nan＋1－(n－1)an－ (3n －3n＋1)－(2n－1) 3 2 － ， 3
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整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)， an＋1 an a2 a1 即 － n ＝1，又 2 － 1 ＝1， n＋1
a1 an 故数列 n 是首项为 1 ＝1，公差为
① ②
①－②得： n－1 3 1 1 1 4Rn＝4＋42＋„＋4n－1－ 4n
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专题三 第2讲
1 1 1 － － n 1 4 1 4 n－1 1 n－ 1 ＝ － n ＝ 1－4n－1－ n 1 4 3 4 1－ 4
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＝2· 3n－1＋(－1)n[ ln 2＋(n－1)ln 3]
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＝2· 3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
专题三 第2讲
所以 Sn＝2(1＋3＋„＋3n－1)＋[ －1＋1－1＋…＋(－1)n] · (ln 2－ ln 3)＋[ －1＋2－3＋…＋(－1)nn] ln 3.
而 a1＝2，符合上式， 所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
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专题三 第2讲
(2)由 bn＝nan＝n· 22n－1 知 Sn＝1· 2＋2· 23＋3· 25＋„＋n· 22n－1.
本 讲 栏 目 开 关
①
从而 22· Sn＝1· 23＋2· 25＋3· 27＋„＋n· 22n＋1. ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋„＋22n－1－n· 22n＋1，
＝－ (2 ＋ 2×1) ＋ (22 ＋ 2×2) － (23 ＋ 2×3) ＋ (24 ＋ 2×4) ＋ „ ＋ (2n＋2n)
＝(－2＋22－23＋„＋2n)＋2[(－1)＋2－3＋4＋…－(n－1)＋n]
2 n ＝3(2 －1)＋n
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专题三 第2讲
当n为奇数时Tn＝Tn－1＋bn 2 n－1 ＝3(2 －1)＋n－1－(2n＋2n) 2n＋1 5 ＝－ 3 －n－3.
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专题三 第2讲
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前 n 项 和 Sn.
解 (1)当 a1＝3 时，不合题意；