【精英新课堂】2016春九年级数学下册 2.2 二次函数的图像与性质课件4 (新版)北师大版
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北师大版九年级数学下2.2二次函数的图像与性质(4)公开课教学课件共21张PPT
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
独立思考 小组交流 总结方法
你能想到方法得到下列二次函数的对称轴和顶点坐标吗？ 先独立思考，然后在小组内交流，总结方法。
例y、 3x26x7
顶点坐标是（： 1， 1）
三、生活观察室——用数学
生活中的数学问题
篮球教练在对某球员投篮路径分析时，得出了篮球的高度与时
间的函数关系式： y1x28x20 9 99
你能帮助教练分析该二次函数的对称轴与顶点坐标吗？
生活中的数学问题
现在你能帮助篮球教练分析该二次函数的对称轴与顶点
坐标吗？
方法一：解： y1x28x20 9 99
对称轴： 直线 x1
对称轴： 直线 x3
顶点坐标： ( 1, 2 )
顶点坐标： (3, 5)
思 你有办法解决下列二次函数的顶点坐标吗？
考 1、 y3x26x7 2、 y2x212 x13
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 10:30:47 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
•
独立思考 小组交流 总结方法
你能想到方法得到下列二次函数的对称轴和顶点坐标吗？ 先独立思考，然后在小组内交流，总结方法。
例y、 3x26x7
顶点坐标是（： 1， 1）
三、生活观察室——用数学
生活中的数学问题
篮球教练在对某球员投篮路径分析时，得出了篮球的高度与时
间的函数关系式： y1x28x20 9 99
你能帮助教练分析该二次函数的对称轴与顶点坐标吗？
生活中的数学问题
现在你能帮助篮球教练分析该二次函数的对称轴与顶点
坐标吗？
方法一：解： y1x28x20 9 99
对称轴： 直线 x1
对称轴： 直线 x3
顶点坐标： ( 1, 2 )
顶点坐标： (3, 5)
思 你有办法解决下列二次函数的顶点坐标吗？
考 1、 y3x26x7 2、 y2x212 x13
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 10:30:47 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共21张PPT)
【答案】选B.
故障车，此时刹车
有危险（填“会”或
“不会”）.
【答案】会
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
拓展提升：
1.（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
3.抛物线y =3x2+5的开口___向__上__，对称轴是_y__轴___， 顶点坐标是____(0__，__5_)___.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口_____向__下___，对称轴是 _直_线__x__=__－__1_，顶点坐标是___(_－__1_，__0_)___.
探究二：
y
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象， 并与二次函数y=3x2的图象进行比较， 说明它们之间的关系.
探究一：
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
思考：它们的图象之间有 什么关系？
y
o
x
函数
的图象
向上平移2个单位
函数
的图象
函数
向右平移1个单位 的图象
y
o
x
【小组竞赛】
1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的__形__状___相同，
____位__置___不同. 2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的__形__状__相同， ___位__置____不同.
达式为____________．
【答案】
或
4．（宁夏·中考）把抛物线
九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质第4课时课件湘教版
－ －19－b3b
c
c
0，解得 0，
b c
2， 3，
∴抛物线的解析式为y=－x2+2x+3. 方法二：抛物线的解析式为y=－(x－3)(x+1)，即 y=－x2+2x+3． (2)抛物线的顶点坐标为(1,4)．
题组二:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系 1.(2013·聊城中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,那么一 次函数y=ax+b的图象大致是 ( )
2.2 二次函数的图象与性质 第4课时
1.会用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象.(重点) 2.会将一般形式的二次函数y=ax2+bx+c通过配方转化为 y=a(x-h)2+k的形式,并会确定对称轴及顶点坐标.(重点、难点)
用配方法把y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x+h)2+k的形式.
3
(0，3)之间(包含端点)，故2≤c≤3,所以 －1 －c －2，
33
即－1≤a≤ －故2，③正确；抛物线的顶点的纵坐标为n=
3
4ac－b2 4ac－－2a 2 4ac－4a2 c－a c－(－c) 4 c.
4a
4a
4a
33
因为2≤c≤3，所以 4 2 4 c 4 3,即8 n 4，
【总结提升】在y=ax2+bx+c(a≠0)中a,b,c的作用 1.a决定抛物线的开口方向和开口大小. a>0⇔抛物线开口向上 a<0⇔抛物线开口向下 |a|越大,抛物线开口越小
2.b和a一起决定抛物线的对称轴. b=0⇔抛物线的对称轴为y轴 a,b同号⇔抛物线的对称轴在y轴左侧 a,b异号⇔抛物线的对称轴在y轴右侧 3.c决定抛物线与y轴交点. c>0⇔抛物线与y轴正半轴相交 c<0⇔抛物线与y轴负半轴相交 c=0⇔抛物线过原点
北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共23张PPT)
（2）y=-3x2与y=-0.5x2 （3）y=-2x2+2与y=-4x2+2
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经 过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2 （2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象 在同一坐标系中可能是（ ）
北师大版数学九年级下册第二章
2.2二次函数的图象与性质
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？
形状 开口方向 对称轴
顶点
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？ 问题3：接下来，研究什么类型的二 次函数呢？
同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D． 3、利用图形计算器将函数 y = x2的图象左右 平移，猜测函数表达式如何变化？为什么？
谢谢大家！
函数
y=ax2
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点
（0,0）
（0,0）
a决定了图象的开口大小
函数
图象
开口 对称轴
顶点
y=ax2+c
a>0 向上 y轴 （0,c）
2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何 变化，利用图形计算器验证自己的想法， 比较异同，思考原因，总结共性. 3. 思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关 系？
动态验证
函数
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经 过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2 （2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象 在同一坐标系中可能是（ ）
北师大版数学九年级下册第二章
2.2二次函数的图象与性质
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？
形状 开口方向 对称轴
顶点
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？ 问题3：接下来，研究什么类型的二 次函数呢？
同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D． 3、利用图形计算器将函数 y = x2的图象左右 平移，猜测函数表达式如何变化？为什么？
谢谢大家！
函数
y=ax2
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点
（0,0）
（0,0）
a决定了图象的开口大小
函数
图象
开口 对称轴
顶点
y=ax2+c
a>0 向上 y轴 （0,c）
2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何 变化，利用图形计算器验证自己的想法， 比较异同，思考原因，总结共性. 3. 思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关 系？
动态验证
函数
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图像与性质课件
二次函数性质总结
二次函数的增减性
当 $a > 0$ 时，在对称轴左侧，函数值随 $x$ 的增大而 减小；在对称轴右侧，函数值随 $x$ 的增大而增大。当 $a < 0$ 时，情况相反。
二次函数的最大值和最小值
当 $a > 0$ 时，二次函数有最小值，且最小值为顶点的纵 坐标；当 $a < 0$ 时，二次函数有最大值，且最大值为顶 点的纵坐标。
THANKS
感谢观看
$B(2,0)$ 和 $C(3,4)$，求该二次 函数的解析式。
例题2
已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ ，求该函数图像的顶点坐标和对称 轴方程。
例题3
已知二次函数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ ，判断该函数图像与 $x$ 轴的交点 情况。
解题思路与方法总结
01
对于已知图像上三个点的二次函数求解析式问题，可以通过设一般式或交点式 进行求解，利用待定系数法确定系数。
02
当函数图像沿y轴向上（下）平移 h个单位时，函数表达式中的y替 换为y+h（y-h）。
对称变换规律
当函数图像关于x轴 对称时，函数表达式 中的y替换为-y。
当函数图像关于原点 对称时，函数表达式 中的x和y分别替换为 -x和-y。
当函数图像关于y轴 对称时，函数表达式 中的x替换为-x。
伸缩变换规律
二次函数的顶点坐标 $(- frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$ 与一元二次方程的解有密切关系，当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，顶点在x轴下方，方程有两个不相等的实根；当 $Delta = 0$ 时，顶 点在x轴上，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，顶点在x轴上方，方程无实根。
九年级下册数学课件：2.2二次函数的图象与性质
于是我们在画 y ax2 a 0 的图象时，可以先画出图
象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、 连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性 质）．
画二次函数 y x2 的图象．
解 列表：
x
0
0.5
1
1.5
2
3
y x2
当a<0时，y ax2 的图象也具有上述性质，于是今后画 y ax2 (a 0)的 图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线” 三个步骤就可以了.
画二次函数 y 1 x2 的图象. 4
解 列 表：
的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线
－4 －2 －2 －4
2
4
以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向 水平向右，y 轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是
形式为 y ax2 a 0 的图象的一段，由此受到启发，我们引进下述
概念：
一般地，二次函数 y ax2 的图象叫做抛物线
1 2
的图象．
2 8
描点
连线
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2
0
1
1
9
4
4
4
4
描点 连线
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
我们已经画出了 y 1 x2 的图象，能不能从它得出二次函数 y 1 x2 的图
2
2
象呢？
1在
象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、 连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性 质）．
画二次函数 y x2 的图象．
解 列表：
x
0
0.5
1
1.5
2
3
y x2
当a<0时，y ax2 的图象也具有上述性质，于是今后画 y ax2 (a 0)的 图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线” 三个步骤就可以了.
画二次函数 y 1 x2 的图象. 4
解 列 表：
的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线
－4 －2 －2 －4
2
4
以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向 水平向右，y 轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是
形式为 y ax2 a 0 的图象的一段，由此受到启发，我们引进下述
概念：
一般地，二次函数 y ax2 的图象叫做抛物线
1 2
的图象．
2 8
描点
连线
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2
0
1
1
9
4
4
4
4
描点 连线
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
我们已经画出了 y 1 x2 的图象，能不能从它得出二次函数 y 1 x2 的图
2
2
象呢？
1在
北师大版九年级数学下册第二章《 二次函数的图象与性质(4)》公开课课件
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/222021/7/222021/7/227/22/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/222021/7/22July 22, 2021
北师大版 九年级（下）
2 二次函数的图象与性质（4）
想一想
函数y=ax²+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经 作过的二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们可以作二次函 数3(x-1)2+2的图象．
y0.02x2 25 0.9x1.0
因此 ,其顶点坐 :2标 0,1. 为
两条钢缆最距 低离 点 2为 之 02间 04的 0m.
⑶你还有其他方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距 离以及两条钢缆最低点之间的距离．
y0.02x2 25 0.9x10 y0.02x2 25 0.9x1
同理 ,右边抛物线的为 顶:2点0,1.坐标
两条钢缆最距 低离 点 2为 之 02间 04的 0m.
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图 象之间的关系是什么？
2.2.2二次函数的图像和性质(共25张PPT)-九年级数学下册同步精品课堂(北师大版)
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下 所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开 口方向、对称轴m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向
上,求m的值和函数解析式
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
当堂检测
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2. 向下平移1个单位. （2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大 而减小；当x =0 时，函数y有最大值，最大 值y是 1 ，其图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x 轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0). （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐 标. 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
谢谢~
问题：在抛物线y=2x2+1 ，y=2x2-1的开口方向、顶 点坐标和对称轴各是什么？
9y
y=2x2+1 二次函数 y=2x2+1 y=2x2-1
6
开口方向 向上 向上
3
y=2x2-1
-3 -2 -1 O 1 2 3
顶点坐标 对称轴
（0,1） （0,-1）
y轴
y轴
x
讲授新课
练一练：二次函数y=-2x2+3的图象大致为( C )
当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 +k（a＜0），开口向下，
对称轴轴为 y轴，顶点坐标为（0，k）， 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大.
上,求m的值和函数解析式
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
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5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2. 向下平移1个单位. （2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大 而减小；当x =0 时，函数y有最大值，最大 值y是 1 ，其图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x 轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0). （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐 标. 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
谢谢~
问题：在抛物线y=2x2+1 ，y=2x2-1的开口方向、顶 点坐标和对称轴各是什么？
9y
y=2x2+1 二次函数 y=2x2+1 y=2x2-1
6
开口方向 向上 向上
3
y=2x2-1
-3 -2 -1 O 1 2 3
顶点坐标 对称轴
（0,1） （0,-1）
y轴
y轴
x
讲授新课
练一练：二次函数y=-2x2+3的图象大致为( C )
当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 +k（a＜0），开口向下，
对称轴轴为 y轴，顶点坐标为（0，k）， 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大.