第三章 第五节 半无限大的物体
《传热学》第三章 非稳态热传导
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条 件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题 的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中 温度分布的影响
Bi =
δ λ δh = 1h λ
1）毕渥数的定义：
δ λ δh Bi = = 1h λ
毕渥数属特征数（准则数）。 2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小 反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规 律。 3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过 程特征的无量纲数。 4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺 度。 毕渥数
∂t Φ = ∂τ ρ c
⋅
φ可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边 界（零维无任何边界） 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源， 即： − ΦV = Ah(t − t )
∞
物体被冷却，∴φ应为负值
dt ρ cV = − Ah(t − t∞ ) dτ
适用于本问题的导 热微分方程式
方法二
温度分布主要 受初始温度分 布控制 温度分布主要 取决于边界条 件及物性
非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 两个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变； 正规状况阶段： Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
半无限大物体的概念
半无限大物体的概念
半无限大物体是指一个物体在某一维度上的尺寸无限大，而在其他维度上尺寸有限。
换句话说，物体在某一方向上延伸至无穷远，但在其他方向上有限。
这个概念常在物理学和工程学中使用，用于描述一些近似无限大的物体。
例如，在天文学中，我们可以将宇宙看作一个半无限大物体。
宇宙在观测范围内的尺寸是有限的，即我们能够观测到的宇宙是有限的，但宇宙的扩展可能是无限的。
另一个例子是电子器件中的半无限大导体。
在电路中，我们通常假设电路中的导体是半无限大的，即电流只在导体中的一个尺寸方向上流动，而在其他方向上导体尺寸有限。
这个假设在许多电路分析中是有用的，因为它简化了计算和分析过程。
综上所述，半无限大物体是指其中一个尺寸无限大，而其他尺寸有限的物体。
这个概念在不同领域中有不同的应用，用于简化问题和模型。
传热学第三章答案
第三章思考题1. 试说明集中参数法的物理概念及数学处理的特点答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。
而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。
2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性?答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数hA cvc ρτ=,形状上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。
3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。
如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。
4. 什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什么特点?答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x )和边界条件(Bi 数) 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。
这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。
5. 有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由是： 这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi 有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。
你是否同意这种看法,说明你的理由。
答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。
这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。
第3章-导热的计算与分析
为tw2。如将两层保温材料的位置对调，其他条件 不变，保温情况变化如何？由此能得出什么结论？
解： 设两层保温层直径分别为d2、d3和d4，则 d3/d2=2，d4/d3=3/2。导热系数大的在里面：
0
圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管 长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的温度 时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维导热问 题。
一维、稳态、无内热源、常物性：
d (r dt ) 0 (a)
dr dr
第一类边界条件：
r r
r1时 r2时
t tw1 t tw2
热流 密度
q dt tw1 tw2
dr r ln(r2 r1)
W m2
dt tw1 tw2 1 dr ln(r2 r1) r
虽然是稳态情况， 但热流密度 q 与半
径 r 成反比！
热流 量
Φ 2 rlq
2 l(tw1 tw2 )
ln(r2 r1)
q
tw1 tw4
1 2 3
1259W/m2
1 2 3
tw2
tw1
q 1 1
700℃
tw3
tw2
q 2 2
289℃
硅藻土层的平均温度为 tw1 r1
tw1
tw2
tw
3
q
tw4
tw2 r2 tw3 r3 tw4
tw2 tw3 499℃ 2
两种情况散热量之比为：
ql 0.1426 1.19或 ql 0.84
第三章 第五节 半无限大的物体
t = tw t = t0
x=0 τ =0
t0 x
引入过余温度
问题的解为：
θ = t − tw
误差函数
∫ e θ = 2
x 4 aτ
θ0
π0
− y 2dy = erf ( x
无量纲变量 4aτ )
第五节 半无限大的物体
误差函数：
erf (x) =
无量纲
2 π
∫0xe−v2 dv
坐标
令η =
x 4aτ
⎧x → ∞ erf (x) → 1 ⎩⎨x有限大小时， erf (x) < 1
⇒ θ = erf (η ) θ0
说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 η 有关
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经 历多么短的时间无论x有多么大，该处总能感受到温 度的化。？
(3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度 传播的，这是因为，当温度变化很小时，我们就认 为没有变化。
qw = −λ
θ0 π aτ
[0,τ]内累计传热量
q = ∫0τ q w dz = − 2
τ π
ρcλ ⋅θ0
吸热系数
第五节 半无限大的物体
思考题：
１非稳态导热的分类及各类型的特点。 ２Bi 准则数, Fo准则数的定义及物理意义。 ３Bi→0 和Bi →∞ 各代表什么样的换热条件? ４集总参数法的物理意义及应用条件。 ５使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方
即可作为半无限大物体来处理
时间 若
y ≥ 2 ⇒ 2 ≤ x2 16a
对于有限大的实际物体，半无限大物体
的概念只适用于物体的非稳态导热的初始
阶段，
那在惰性时间以内
传热学第3章非稳态导热
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
传热学总复习
一、热量传递的三种基本方式－－导热、对流、热辐射： 1、概念：1）基本概念：ⅰ）、导热的概念：物体各部分之间不发生相对位移，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递。
ⅱ）、对流的概念：指由于流体的宏观运动，从而流体各部分之间发生相对位移、冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程 ⅲ）、热辐射：物体因热的原因发出辐射能的现象2）、传热的机理：ⅰ）导热依靠微观粒子的热运动：分子、原子的相互碰撞、晶格的振动等ⅱ）对流依靠流动的宏观运动：流体的相互位移或掺混ⅲ）热辐射：发射电磁波 2、热量传递的三个基本公式 1）导热的傅里叶定律（一维）：Φ－热流量（单位时间通过某一给定面积的热量),单位W q —单位时间内通过单位面积的热流量，单位W/m2 2) 对流换热的牛顿冷却定律： Ⅰ、对流换热：对流伴随有导热的现象 Ⅱ、牛顿冷却定律流体被加热时： 流体被冷却时： h —表面传热系数，与过程有关。
单位W/m2.K 3、热辐射（斯忒藩－玻尔兹曼定律)： （σ-斯忒藩－玻尔兹曼常量（黑体辐射常数）σ=5.67×10-8 W/(m2.K4) 实际物体热辐射量： 二、传热过程：1、 传热过程的概念：热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过程。
2、传热过程热流量的计算：3、传热系数（单位W/m2.K)：三、热阻：串联环节的总热阻等于各分热阻之和，且稳态时， 各环节的热流量相等。
第二章 导热基本定律及稳态导热一、温度场、等温面、等温线、温度梯度的意义等温线的特点：物体中的任一条等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止在物体表面上，而不会与另一条等温线相交。
温度梯度：空间某点的温度的变化率。
二、导热的基本定律、意义 1)(1dxdt λAΦ--=dxdt A q λ-=Φ=t Ah t t Ah f w ∆=-=Φ)(t Ah t t Ah w f ∆=-=Φ)(4T A σ=Φ4T A σε=ΦtAk h h t t A f f ∆=++-=Φ212111λδ21111h h k ++=λδ2121222*********Ah A Ah t t Ah t t A t t Ah t t f f f w w w w f ++-=-=-=-=Φλδλδn nt gradt ∂∂=∂t1、导热基本定律（傅里叶定律）：2、傅里叶定律的意义：揭示了连续温度场内每一点的温度梯度与热流量间的联系。
传热学
h, t∞
h, t∞
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、数学描述 、 由于平板对称， 因此只取平板的一半进行研究， 由于平板对称 ， 因此只取平板的一半进行研究 ， 以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。 以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
τ = 0, t = t0
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传热学 Heat Transfer
二、非稳态导热的正规状况阶段
计算表明，当傅里叶数Fo≥0.2后，对于公式 计算表明，当傅里叶数 ≥ 后 ），只取级数的第一项计算和完整计算误差 （3-19），只取级数的第一项计算和完整计算误差 ）， 很小。 很小。并且平板中任一点的过余温度与平板中心的 过余温度之比只与几何位置和边界条件有关，而与 过余温度之比只与几何位置和边界条件有关， 时间无关。这表明，初始条件的影响已消失， 时间无关。这表明，初始条件的影响已消失，通常 将这一阶段定义为非稳态导热过程的正规状况阶段。 将这一阶段定义为非稳态导热过程的正规状况阶段。 正规状况阶段 Fo<0.2则是瞬态温度变化的初始阶段或非正规状况 则是瞬态温度变化的初始阶段或非正规状况 阶段。 阶段。
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传热学 Heat Transfer
3-1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热的分类
周期性 非稳态导热 非周期性 非周期性非稳态导热： 非周期性非稳态导热：物体的温度随时间不断地升 加热过程）或降低（冷却过程）， ），在经历相当 高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度。 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度。
Q0−τ = ∫ Φ(τ )dτ = ρVc(t 0 − t)
传热学教案——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initial 在此阶段物体温度分布受regime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）t影响，主要取决于边界条件及物性。
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
传热学知识点
传热学主要知识点1.热量传递的三种基本方式。
热量传递的三种基本方式：导热(热传导)、对流(热对流)和热辐射。
2．导热的特点。
a 必须有温差；b 物体直接接触；c 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而传递热量；d 在引力场下单纯的导热一般只发生在密实的固体中。
3.对流（热对流）(Convection)的概念。
流体中（气体或液体）温度不同的各部分之间，由于发生相对的宏观运动而把热量由一处传递到另一处的现象。
4对流换热的特点。
当流体流过一个物体表面时的热量传递过程，它与单纯的对流不同，具有如下特点：a 导热与热对流同时存在的复杂热传递过程b 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差c 壁面处会形成速度梯度很大的边界层 5.牛顿冷却公式的基本表达式及其中各物理量的定义。
[]W )(∞-=t t hA Φw []2m W )( f w t t h AΦq -==6. 热辐射的特点。
a 任何物体，只要温度高于0 K，就会不停地向周围空间发出热辐射；b 可以在真空中传播；c 伴随能量形式的转变；d 具有强烈的方向性；e 辐射能与温度和波长均有关；f 发射辐射取决于温度的4次方。
7.导热系数, 表面传热系数和传热系数之间的区别。
导热系数：表征材料导热能力的大小，是一种物性参数，与材料种类和温度关。
表面传热系数：当流体与壁面温度相差1度时、每单位壁面面积上、单位时间内所传递的热量。
影响h因素：流速、流体物性、壁面形状大小等。
传热系数：是表征传热过程强烈程度的标尺，不是物性参数，与过程有关。
常温下部分物质导热系数：银：427；纯铜：398；纯铝：236；普通钢：30-50；水：；空气：；保温材料：<；水垢：1-3；烟垢：。
8.实际热量传递过程：常常表现为三种基本方式的相互串联/并联作用。
9.复杂传热过程Upside surface: adiabaticDownside surface: adiabatic xai LL2L A/A/A/第一章导热理论基础1傅立叶定律的基本表达式及其中各物理量的意义。
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
方程求解
dt cV hA t t d
一阶非齐次方程
0时，t =t0
令： t t — 过余温度，则有
d -hA Vc d 0时， t t 0 0
一阶齐次方程
方程式改写为：
d hA d Vc
3 拟合线1: t 12.7 79.4 exp 79.4 0.216 3 拟合线2 : t 11.1 80.0 exp 80.0 第三章 非稳态导热 1.252
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。
Q Q＝ Q 0 Q0
3.2 正规热状况的实用计算方法－近似拟合公式法（了解） 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
第三章 非稳态导热 11
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件 理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。 在实际应用中，可以适当放宽适用条件： h(V A) Bi 0.1 (V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱 对半径为R 的球
V A A A V R2 R A 2 R 2 4 R3 R V 3 2 A 4 R 3
第3章-非稳态导热分析解法3
任一点的热流密度：
1 0 qx x a
0 a
e
x
2
4 a
令 x 0 即得边界面上的热流密度
qw
[0,]内累计传热量
q
0
q w d 2
c 0
吸热系数
导热理论分析方法的基本思路
1、根据几何条件、物理条件简化导 热微分方程式 几何条件：导热体的 几何形状和大小，
f (Bi,
x
), f (Bi, Fo)
Bi<0.1，集中参数法
( x, ) (Bi, ) m ( )
x
P130：图3-8
( x, ) ( x, ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
f (Bi,
x
) f (Bi, Fo)
m ( ) (Bi, Fo) 0
Q f 3 Bi , Fo Q0
特征尺寸R为圆柱体或球体的半径， r为圆柱体或球体的径向方向。
§3-4 半无限大的物体
• 半无限大系统：一个半无限大 的空间，也就是一个从其表面可 以向其深度方向无限延展的物体 系统。
• 很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以 视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程。
Bi h Bi hR
F0 a F0 a
2
R2
此处的A，B及函数 f(μ1,η) 见P127表3-1
3、 非稳态导热正规状况的工程计算法 （1）拟合公式法
( , ) A exp( 12 Fo) f ( 1 ) 0
Q 1 A exp( 12 Fo) B Q0
x 2 4 a
erf ( 2 ) 0 . 9953 0
传热学 知识点 概念 总结
一、参考书目:传热学A 《传热学》杨世铭、陶文铨，高等教育出版社，2006年二、基本要求1. 掌握热量传递的三种方式(导热、对流和辐射)的基本概念和基本定律；2. 能够对常见的导热、对流、辐射换热及传热过程进行定量的计算，并了解其物理机理和特点，进行定性分析；3. 对典型的传热现象能进行分析，建立合适的数学模型并求解；4. 能够用差分法建立导热问题的数值离散方程，并了解其计算机求解过程。
三、主要知识点第一章绪论：热量传递的三种基本方式；导热、对流和热辐射的基本概念和初步计算公式；热阻；传热过程和传热系数。
第二章导热基本定律和稳态导热：温度场、温度梯度；傅里叶定律和导热系数；导热微分方程、初始条件与边界条件；单层及多层平壁的导热；单层及多层圆筒壁的导热；通过肋端绝热的等截面直肋的导热；肋效率；一维变截面导热；有内热源的一维稳态导热。
第三章非稳态导热：非稳态导热的基本概念；集总参数法；描述非稳态导热问题的数学模型（方程和定解条件）；第四章导热问题的数值解法：导热问题数值解法的基本思想；用差分法建立稳态导热问题的数值离散方程。
第五章对流换热：对流换热的主要影响因素和基本分类、牛顿冷却公式和对流换热系数的主要影响因素；速度边界层和热边界层的概念；横掠平板层流换热边界层的微分方程组；横掠平板层流换热边界层积分方程组；动量传递和热量传递比拟的概念；相似的概念及相似准则；管槽内强制对流换热特征及用实验关联式计算；绕流单管、管束对流换热特征及用实验关联式计算；大空间自然对流换热特征及对流换热特征及用实验关联式计算。
第六章凝结与沸腾换热：凝结与沸腾换热的基本概念；珠状凝结与膜状凝结特点；膜状凝结换热计算；影响膜状凝结的因素；大容器饱和沸腾曲线；影响沸腾换热的因素。
第七章热辐射基本定律及物体的辐射特性：热辐射的基本概念；黑体、白体、透明体；辐射力与光谱辐射力；定向辐射强度；黑体辐射基本定律：普朗克定律，维恩定律，斯忒藩-玻尔兹曼定律，兰贝特定律；实际固体和液体的辐射特性、黑度；灰体、基尔霍夫定律。
非稳态传热
m (1) 据（3-25）先画出曲线 f ( Fo, Bi ) 0
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第三章 非稳态导热
5.分析解应用范围的推广
对于无限大平板的分析解，教材中是以平板被加热为例，上 述推导是以平板被冷却为例，结果相同。 从无限大平板的数学描述来看，分析解（3-21）也适用于一 侧绝热、另一侧为第三类边界条件、厚为 的平板情形。
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) （3-21） 0 1 sin 1 cos 1
和
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
则，Fo 0.2 以后，任一点的过余温度与平板中心的过 余温度比值：
( x, ) cos(1 ) m ( )
与时间无关 与边界条件有关
t t dV 1 V t0 t 0
12
第三章 非稳态导热
--时刻 的平均过余温度。
1 V
2 2sin 1 ( 1 F0 ) sin 1 V dv 0 1 sin 1 cos 1 e 1
把平均过余温度代入上式可得：
平板中心处（x=0，即η=0）的无量纲过余温度：
x
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
2014-12-9
9
第三章 非稳态导热
3.4 半无限大物体的瞬态导热
ierfc (u )
erfc (u ) du
1
exp( u 2 ) u erfc ( u )
u
当
u0
ierfc (u ) 1
结果分析：
在表面热流密度qw的作用下， 半无限大物体的表面温度tw随而。
w
2qw
a
THANKS
qx
t x
tw t0
π a
e
x
p
x2
4 a
表面（x=0 )在 时刻的热流密度为
qw
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
tw t0
π a
(tw
t0 )
c π
在0~ 时间间隔内，流过单位表面积的热量为
Q
0
qwd
2(tw
t0 )
c
/π
可见，在温差一定的情况下， c 越大，通过表面的热量越多，
c 称为吸热系数，反映物体从与其接触的高温物体的吸热能力
0
u erf (u) 1 u有限大小时， erf (u) 1
5
从误差函数表可查出
当 x 2 时， 2 a
= erf 0.9953 1 0
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说明以下两点：
（1） 若
x 2
2 a
x 4 a
则t时x处的温度未发生变化，即t仍
为t0，δ称为渗透厚度。
（） 4 a
对有限厚度1的物体，在所考虑的内，
2
若 ( ) 1,
则可把该物体当作半无限大物体处理。
(2)
x
1
说明以下两点：
（2）当 x 2 / 16a 时，深度x
处的温度保持不变，时间 x 2 / 1 6 a 称为深度x 处的惰性时间。
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第五节 半无限大的物体
作业：
3-2，3-5，3-12，3-16，3-21，3-24， 3-32，3-42，3-48，3-54，3-59
2
t = tw t = t0
x=0 τ =0
t0 x
引入过余温度
问题的解为：
θ = t − tw
误差函数
∫ e θ = 2
x 4 aτ
θ0
π0
− y 2dy = erf ( x
无量纲变量 4aτ )
第五节 半无限大的物体
误差函数：
erf (x) =
无量纲
2 π
∫0xe−v2 dv
坐标
令η =
x 4aτ
⎧x → ∞ erf (x) → 1 ⎩⎨x有限大小时， erf (x) < 1
⇒ θ = erf (η ) θ0
说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 η 有关
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经 历多么短的时间无论x有多么大，该处总能感受到温 度的化。？
(3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度 传播的，这是因为，当温度变化很小时，我们就认 为没有变化。
法。时间常数的定义及物理意义. ６非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特
点。 ７非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。 ８无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的
概念如何应用在实际工程问题中。
第五节 半无限大的物体
８如何用查图法计算无限大平板非稳态导热正规状况 阶段的换热问题?
９如何用近似拟合公式法计算无限大平板非稳态导热 问题?
即可作为半无限大物体来处理
时间 若
y ≥ 2 ⇒ 2 ≤ x2 16a
对于有限大的实际物体，半无限大物体
பைடு நூலகம்
的概念只适用于物体的非稳态导热的初始
阶段，
那在惰性时间以内
1
第五节 半无限大的物体
e 即任一点的热流通量：qx
=
−λ
∂θ ∂x
=
−λθ0
1 π aτ
− x2 4 aτ
令 x=0 即得边界面上的热流通量
传热学
（Heat Transfer）
材料成型教研室
第三章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 集总参数法的简化分析 §3-3 一维非稳态导热的分析解 §3-4 二维及三维问题的求解 §3-5 半无限大的物体
第五节 半无限大的物体
半无限大物体的概念
t
∂t = a ∂ 2t
tw
∂τ
∂x 2
第五节 半无限大的物体
令 y = x 4aτ 若 y = 2 erf ( 2 ) = 0.9953 即 θ θ0 = 0.9953 可认为该处温度没有变化
erf ( y )
y= x 4aτ
第五节 半无限大的物体
两个重要参数:
几何位置
若 y ≥ 2 ⇒ x ≥ 4 aτ 对一原为2δ的平板，若δ ≥4 aτ
qw = −λ
θ0 π aτ
[0,τ]内累计传热量
q = ∫0τ q w dz = − 2
τ π
ρcλ ⋅θ0
吸热系数
第五节 半无限大的物体
思考题：
１非稳态导热的分类及各类型的特点。 ２Bi 准则数, Fo准则数的定义及物理意义。 ３Bi→0 和Bi →∞ 各代表什么样的换热条件? ４集总参数法的物理意义及应用条件。 ５使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方