《图形的相似》测试题
《图形的相似》达标测试卷
《图形的相似》达标测试卷（时间：80分钟 满分100分）一、选择题（每道3分，共18分）1.如图，把其中的一个小正方形看作是基本图形，这个图形 中不包含的变换是（ ）A .对称B .平移C .相似（相似比不为1）D .旋转2.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与A B C △相似的是（ ）3.如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ ） A .A D A E A BA C=B .A E A DB CB D=C .ACAD BCDE = D .ACAE BCDE =4.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）A .B .C .D .EABCD A . B .C .D .5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于点D .则△BCD 与△ABC 的周 长之比为（ ）A ．1︰2B ．1︰3C ．1︰4D ．1︰56.如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（-1,0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ） A .12a - B .1(3)2a -+C .1(1)2a --D .1(1)2a -+二、填空题（每道4分，共24分）7.若32=b a ，则：=+b b a ，=-ab a .8.三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得cm OA 20=，cm A O 50='，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．9.如图，平行四边形ABCD 中，CD=10，F 是AB 边上一点，DF 交AC 于点E ，且ECAE =52,则：的面积的面积CDE AEF ∆∆= ，BF= .DBCA 第8题图E BAC D F10.如图，A B C △与A E F △中，A B A E B C E F B E A B ==∠=∠，，，交E F 于D ．给出下列结论：①A F C C ∠=∠；②D F C F =；③A D E F D B △∽△；④BF D C A F ∠=∠．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．11.锐角△ABC 中，BC ＝6,,12=∆ABC S 两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y （y ＞0）,当x ＝，公共部分面积y 最大，y 最大值 ＝ .12.如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为34，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出3 4＋3 42＋3 43＋…＋34n ＝________．A BCA 1A 2A 3B 1 B 2 B 3 第12题图第11题图第10题图三、解答题（6道题，共58分）13.（本题8分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B . （1）求证：△ADF ∽△DEC .（2）若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.14．（本题8分）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件. （1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”．类似地，你可以得到“满足____________ ____ 或___________ ______，两个直角三角形相似”； （2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足__________的两个直角三角形相似”．请你结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．已知：如图，___________________________ ______． 求证：Rt △ABC ∽Rt △A ’B ’C ’ ．15.（本题10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；（2）P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D ，F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个EBACDFA'BC C'B'A点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．16.（本题10分）正方形A B C D 边长为4，M 、N 分别是B C 、C D 上的两个动点，当M 点在B C 上运动时，保持A M 和M N 垂直， （1）证明：R t R t A B M M C N △∽△；（2）设B M x ，梯形A B C N 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形A B C N 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时R t R t A B M A M N △∽△，求此时x 的值．17.（本题10分）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，其示意图如图2.当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到达点B 时，伞张得最开。
图形的相似经典测试题及答案解析
∵四边形 ABCD 是正方形
∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B= 90
∴△ADE≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB= 90 ，∠FAB+∠BFA= 90 ，
∴∠DAO=∠BFA，
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD∽△EAD
∴ AO AE 1 DO AD 2
故选：D
A．1.5cm 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
B．1.2cm
C．1.8cm
D．2cm
由图 2 知，点 P 在 AC、CB 上的运动时间时间分别是 3 秒和 4 秒，
∵点 P 的运动速度是每秒 1cm ，
∴AC=3，BC=4．
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，
∴根据勾股定理得：AB=5．
AE / / AB，
DAE DAB ，
则
AD 2 AD
SADE SABD
，即
AD 2 AD 1
2
9 8
9 16
，
解得 AD 3 或 AD 3 （舍）， 7
故选： B ． 【点睛】 本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
3．如图，将 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 ABC 的位置．已知 ABC 的面积为 16，阴影部分三角形的面积 9．若 AA 1，则 AD 等于（ ）
A．2
【答案】B 【解析】
B．3
C．4
D． 3 2
【分析】
由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9 且 AD 为 BC 边的中线知
SADE
解得：{
5．
九年级数学上学期第三章《图形的相似》综合测试题(含答案)
九年级数学上学期第三章《图形的相似》综合测试题（含答案）一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分) 1.已知5a=6b (a ≠0),则下列变形正确的是 ( )A .b 6=5aB .b 5=6a C .ab =56D .a -b b=152.如图1,已知AB ∥CD ∥EF ,BD ∶DF=1∶2,那么下列结论中正确的是 ( )图1A .AC ∶AE=1∶3B .CE ∶EA=1∶3C .CD ∶EF=1∶2 D .AB ∶EF=1∶2 3.C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=6cm,则BC 的长为 ( ) A .(3√5-3)cm B .(9-3√5)cmC .(3√5-3)cm 或(9-3√5)cmD .(9-3√5)cm 或(6√5-6)cm4.如图2,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC ,BD 相交于点O ,AD=1,BC=4,则△AOD 与△BOC 的面积之比为( )A.12 B.14 C.18D.116图2 图35.如图3,已知△ABC 与△BDE 都是等边三角形,点D 在边AC 上(不与点A ,C 重合),DE 与AB 相交于点F ,那么与△BFD 相似的三角形是 ( )A .△BFEB .△BDCC .△BDAD .△AFD6.已知△ABC 与△A 1B 1C 1是关于原点为中心的位似图形,且点A 的坐标为(2,1),△ABC 与△A 1B 1C 1的位似比为12,则点A 的对应点A 1的坐标是 ( )A .(4,2)B .(-4,-2)C .(4,2)或(-4,-2)D .(6,3)7.如图4,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连接AD ,点G 在线段AD 上,GE ∥BD ,且交AB 于点E ,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()A.ABAE =AGADB.DFCF=DGADC.FGAC=EGBDD.AEBE=CFDF图4 图58.如图5,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,有下列结论:①DEBC =12;②S△DOES△COB=12;③AD AB =OEOB;④S△DOES△ADE=13.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)9.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应周长的比值是.10.在比例尺为1∶40000的地图上,某条道路的长为7cm,则该道路的实际长度是_______km.11.若a,b,c,d是成比例线段,其中a=2cm,b=6cm,c=5cm,则线段d= cm.12.如图6,在△ABC中,MN∥BC分别交AB,AC于点M,N.若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为.图613.在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE= 时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.14.如图7,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高m.(杆的宽度忽略不计)图7三、解答题(本大题共5小题,共44分)15.(6分)如图8所示,AD,BE分别是钝角三角形ABC的边BC,AC上的高.求证:ADBE =AC BC.图816.(6分)如图9,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=12CD.(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.图917.(6分)如图10,在10×10的正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,以点A为位似中心画四边形AB'C'D',使它与四边形ABCD位似,且位似比为2.(1)在图中画出四边形AB'C'D';(2)试说明△AC'D'是等腰直角三角形.图1018.(12分)为测量操场上旗杆的高度,设计的测量方案如图11所示,标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛距地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,E,C,A三点共线,求旗杆AB的高度.图1119.(14分)如图12,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于点M,连接CM 交DB于点N.(1)求证:BD2=AD·CD;(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.图12参考答案1.D [解析] 选项A,b 6=5a ⇒ab=30,故此选项错误;选项B,b 5=6a ⇒ab=30,故此选项错误;选项C,ab =56⇒6a=5b ,故此选项错误;选项D,a -b b=15⇒5(a-b )=b ,即5a=6b ,故此选项正确.故选D .2.A [解析]∵AB ∥CD ∥EF ,BD ∶DF=1∶2,∴AC ∶AE=1∶3,故A 选项正确;CE ∶EA=2∶3,故B 选项错误;CD ∶EF 的值无法确定,故C 选项错误;AB ∶EF 的值无法确定,故D 选项错误.故选A .3.C [解析]∵C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=6cm,∴BC=√5-12AB=(3√5-3)cm 或BC=3−√52AB=(9-3√5)cm .故选C .4.D [解析] 在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,所以△AOD ∽△COB.又由AD=1,BC=4,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△AOD 与△BOC 的面积之比.5.C [解析]∵△ABC 与△BDE 都是等边三角形,∴∠A=∠BDF=60°.又∵∠ABD=∠DBF ,∴△BFD ∽△BDA ,∴与△BFD 相似的三角形是△BDA.6.A [解析]∵△ABC 与△A 1B 1C 1是关于原点为中心的位似图形,A (2,1),△ABC 与△A 1B 1C 1的位似比为12,∴点A 的对应点A 1的坐标是(2×2,1×2),即(4,2). 7.D8.C [解析] 由BE ,CD 均为△ABC 的中线可知,DE 为△ABC 的中位线,所以DE=12BC ,DE ∥BC ,所以DE BC =12,故①正确;由DE ∥BC 可得△DOE ∽△COB ,所以S △DOE S △COB=DE BC2=14,故②错误;由DE ∥BC 可得△ADE ∽△ABC ,△DOE ∽△COB ,所以AD AB =DE BC ,DE BC =OEOB ,所以AD AB =OEOB ,故③正确; 因为DE ∥BC ,所以△ADE ∽△ABC ,所以S △ADE S △ABC=DE BC2=14,设△DOE 的高为h ,DE=a ,则BC=2a ,△BOC 的高为2h ,所以△ABC 的高为6h ,所以△ADE 的高为3h ,所以S △DOES△ADE =12a ℎ12·a ·3ℎ=13,故④正确.故选C .9.3∶2 [解析] 根据相似三角形的周长比等于相似比求解.10.2.8 [解析] 设这条道路的实际长度为x cm,则140000=7x ,解得x=280000,280000cm =2.8km .11.15 [解析]∵a ,b ,c ,d 是成比例线段,∴a b=c d.∵a=2cm,b=6cm,c=5cm,∴26=5d,解得d=15(cm).12.1 [解析]∵MN ∥BC ,∴△AMN ∽△ABC ,∴AM AB =MNBC ,即11+2=MN 3,∴MN=1.13.125或53 [解析] 当AE AD =ABAC 时,∵∠A=∠A ,∴△AED ∽△ABC ,此时AE=AB ·AD AC=6×25=125;当AD AE =ABAC 时,∵∠A=∠A ,∴△ADE ∽△ABC ,此时AE=AC ·AD AB =5×26=53.故答案为125或53. 14.815.证明:∵AD ,BE 是钝角三角形ABC 的高,∴∠ADC=∠BEC=90°.又∵∠DCA=∠BCE ,∴△DAC ∽△EBC , ∴AD BE =ACBC .16.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C ,AB ∥CD ,∴∠ABF=∠CEB ,∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,AB ∥CD ,AB=CD , ∴△DEF ∽△CEB ,△DEF ∽△ABF. ∵DE=12CD ,∴EC=3DE ,AB=2DE ,∴S △DEFS△CEB=DE EC2=19,S △DEF S △ABF=DE AB2=14.∵S △DEF =2,∴S △CEB =18,S △ABF =8, ∴S 四边形BCDF =S △CEB -S △DEF =16,∴S 平行四边形ABCD =S 四边形BCDF +S △ABF =16+8=24.17.解:(1)如图,四边形AB'C'D'即为所求作图形.(2)根据网格的特点,利用勾股定理可以求出AD'=C'D'=2√10,AC'=4√5.利用勾股定理的逆定理可以得出∠AD'C'=90°, 故△AC'D'是等腰直角三角形.18.解:如图,过点E 作EH ⊥AB 于点H ,交CD 于点G ,则EF=DG=BH=1.6m,GH=BD=15m,EG=DF=2m,∴CG=CD-DG=3-1.6=1.4(m). ∵CG ∥AH , ∴△ECG ∽△EAH , ∴CG AH =EGEH ,即1.4AH =22+15,解得AH=11.9(m),∴AB=AH+BH=11.9+1.6=13.5(m).答:旗杆AB 的高度为13.5m . 19.解:(1)证明:∵DB 平分∠ADC ,∴∠ADB=∠BDC.又∵∠ABD=∠BCD=90°, ∴△ABD∽△BCD,∴ADBD =BD CD,∴BD2=AD·CD.(2)∵BM∥CD,∴∠MBD=∠BDC, ∴∠ADB=∠MBD,∴BM=MD.∵∠ABD=90°,∴∠MAB+∠ADB=90°,∠MBA+∠MBD=90°,∴∠MAB=∠MBA,∴BM=AM,∴AM=BM=MD=4.∵BD2=AD·CD,且CD=6,AD=8, ∴BD2=48,∴BC2=BD2-CD2=12,∴MC2=BM2+BC2=28,∴MC=2√7.∵BM∥CD,∴△MNB∽△CND,∴BMCD =MNCN=23,∴MN=4√75.。
《图形的相似》达标测试卷
333
3
＋ ＋ ＋…＋ ＝________．
4 42 43
4n
A
A1 A2 A3
B
B1
B2 B3 C
第 12 题图
三、解答题（6 道题，共 58 分）
13.（本题 8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，
连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B.
A. 1 a 2
B. 1 (a 3) 2
C. 1 (a 1) 2
D. 1 (a 1) 2
二、填空题（每道 4 分，共 24 分）
7.若 a 2 ，则： a b
，ab
.
b3
b
a
8.三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得 OA 20cm ，OA 50cm ，则这个
A.
B.
C.
3.如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（
D. ）
A. AD AE AB AC
B. AE AD BC BD
C. DE AD BC AC
D. DE AE BC AC
4.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心
不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个
《图形的相似》达标测试卷
一、选择题（每道 3 分，共 18 分）
（时间：80 分钟
满分 100 分）
1.如图，把其中的一个小正方形看作是基本图形，这个图形中不包含的变换是（ ）
A.对称
B.平移
C.相似（相似比不为 1）
D.旋转
2.如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 △ABC 相似的是（ ）
九年级数学上册图形的相似测试题
九年级数学上册第四章《图形的相似》检测题班级 姓名 得分一、选择题（每小题3分，共36分） 1．如图所示，给出下列条件：其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE= B ．BC DFCE AD= C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 3. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4. 若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．１∶25. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6与8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3与4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个6. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）A ．△AOM 与△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 与四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 与四边形NDCO 都是等腰梯形7. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ）A ．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm8. 小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米， AA ′=0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为 （ ）A ．3米B ．0.3米C ．0.03米D ．0.2米9．如图一，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是（ ）A 、3︰2；B 、3︰5；C 、9︰16；D 、9︰4．10．如图三，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是DBCA NM OB C AD E(图（图D B C AE F第 - 2 - 页（ ）A 、EB AE ＝FC BF ； B 、EB AE ＝FB CF ； C 、BCDE＝DCAD； D 、BC DE ＝ABDF． 11. 如图3，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ）A ．12mB ．10mC ．8mD ．7m12. 一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张 C.第6张 D ．第7张二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知：).0(,52≠+==d b d c ba 则=++dbc a 。
《图形的相似》专题练习含答案
图形的相似1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．B．C．D．2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．544．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．6．计算：|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°．7．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．8．计算：|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°．9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．）12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．13．我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．（精确到0.1米）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）求AD的长．15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E（，2），连接AE，ED．（1）求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；（3）经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．16．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）D，F两点间的距离是；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．18．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．图形的相似参考答案与试题解析1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．【解答】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，又S=MN•AC=AM•MC，△AMC∴MN==．故选：C．【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N【考点】位似变换．【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选A．【点评】位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．考查位似图形的概念．3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【考点】相似三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：1∵△ABC的周长为18∴△DEF的周长为6．故选C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：∠B=∠1或，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；开放型．【分析】此题属于开放题，答案不唯一．注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可．【解答】解：此题答案不唯一，如∠C=∠2或∠B=∠1或．【点评】此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似．要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题．5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；（2）根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．【解答】解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位线，∴BP=PR，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵点R是DE中点，∴DR=RE．，∴QR=2PQ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，∴BP：PQ：QR=3：1：2【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．6．计算：|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的有关运算法则计算．【解答】解：原式==﹣．【点评】本题考查实数的基本运算，难度适中．7．（2012•遂宁）计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式==．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．8．计算：|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=﹣3+1﹣=﹣2．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答．【解答】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10又DE=AB=1.5，∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用．10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形Rt△BCD、Rt△ACD，应利用其公共边DC构造方程关系式，进而可解即可求出答案．【解答】解：在Rt△BCD中，tan45°==1，∴CD=BC．在Rt△ACD中，tan30°=，∴．∴．∴3CD=CD+10．∴CD=+5≈13.66（米）∴条幅顶端D点距离地面的高度为13.66+1.44=15.1（米）．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：皮尺，标杆；（2）请在图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．【考点】相似三角形的应用．【专题】方案型；开放型．【分析】树比较高不易直接到达，因而可以利用三角形相似解决，利用树在阳光下出现的影子来解决．【解答】解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．【点评】本题运用相似三角形的知识测量高度及考查学生的实践操作能力，应用所学知识解决问题的能力．本题答案有多种，测量方案也有多种，如（1）皮尺、标杆、平面镜；（2）皮尺、三角尺、标杆．13．我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．（精确到0.1米）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：作BD⊥AC于D．在Rt△ADB中，sin∠ABD=．∴AD=AB•sin∠ABD=15×sin21°≈5.38米．（3分）∵cos∠ABD=．∴BD=AB•cos∠ABD=15×cos21°≈14.00米．（5分）在Rt△BDC中，tan∠CBD=．∴CD=BD•tan∠CBD≈14.00×tan38°≈10.94米．（8分）∵cos∠CBD=．∴BC=≈≈17.77米（10分）∴AD+CD+BC≈5.38+10.94+17.77=34.09≈34.1米（11分）答：折断前发射塔的高约为34.1米．（12分）注意：按以下方法进行近似计算视为正确，请相应评分．①若到最后再进行近似计算结果为：AD+CD+BC=34.1；②若解题过程中所有三角函数值均先精确到0.01，则近似计算的结果为：AD+CD+BC≈5.40+10.88+17.66=33.94≈33.9．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）求AD的长．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED 全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由三角形ABC为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论AE=AC，用AB﹣AE可求出EB的长，再由（1）∠AED=90°，得到DE与AB 垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，用CB﹣CD表示出BD=12﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；（2）∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==．【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，本题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的．灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E（，2），连接AE，ED．（1）求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；（3）经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．【考点】作图﹣位似变换；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质．【专题】压轴题；网格型．【分析】（1）A，E，D三点坐标已知，可用一般式来求解；（2）延长OA到A′，使OA′=3OA，同理可得到其余各点；（3）根据二次项系数是否相同即可判断两个函数是否由平移得到．【解答】解：（1）设经过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c∵A（1，），E（，2），D（2，）（1分）∴，解之，得∴过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=﹣2x2+6x﹣．（4分）（2）如图．（7分）（3）不能，理由如下：（8分）设经过A′，E′，D′三点的抛物线的表达式为y=a′x2+b′x+c′∵A′（3，），E′（，6），D′（6，）∴，解之，得a=﹣2，，∴a≠a′∴经过A′，E′，D′三点的抛物线不能由（1）中的抛物线平移得到．（8分）【点评】一般用待定系数法来求函数解析式；位似变化的方法应熟练掌握；抛物线平移不改变a的值．16．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）由题意可得，供水站建在点M处，根据垂线段最短、两点之间线段最短，可知铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值为MB+MD，求值即可；（2）作点M关于射线OE的对称点M'，则MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，且证明P点与D点重合，即AM'过D点．求出AM'的值即是铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的值；（3）作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM'，可证得N，D两点重合，即M'N过D点．求GM+GD=M'D的值就是最小值．【解答】解：方案一：由题意可得：∵A在M的正西方向，∴AM∥OE，∠BAM=∠BOE=30°，又∵∠BMA=60°∴MB⊥OB，∴点M到甲村的最短距离为MB，（1分）∵点M到乙村的最短距离为MD，∴将供水站建在点M处时，管道沿MD，MB线路铺设的长度之和最小，即最小值为MB+MD=3+（km）；（3分）方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M'，则MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，PE∥AM，PE=AM，∵AM=2BM=6，∴PE=3，（4分）在Rt△DME中，∵DE=DM•sin60°=×=3，ME=DM=×，∴PE=DE，∴P点与D点重合，即AM'过D点，（6分）在线段CD上任取一点P'，连接P'A，P′M，P'M'，则P'M=P′M'，∵AP'+P'M'＞AM'，∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA，DM线路铺设的长度之和最小，即最小值为AD+DM=AM'=；（7分）方案三：作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM'，∴M'N为点M'到OE的最短距离，即M'N=GM+GN在Rt△M'HM中，∠MM'N=30°，MM'=6，∴MH=3，∴NE=MH=3，∵DE=3，∴N，D两点重合，即M'N过D点，在Rt△M'DM中，DM=，∴M'D=（10分）在线段AB上任取一点G'，过G'作G'N'⊥OE于N'点，连接G'M'，G'M，显然G'M+G'N'=G'M'+G'N'＞M'D，∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM，GD线路铺设的长度之和最小，即最小值为GM+GD=M'D=，（11分）综上，∵3+＜，∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短．（12分）【点评】此题主要考查线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）D，F两点间的距离是25 ；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）由中位线定理即可求出DF的长；（2）连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；（3）①当点P在EF上（2≤t≤5时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；②当点P在FC上（5≤t≤7）时，PB=PF+BF就可以得到；（4）当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，∵D，F是AC，BC的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴DF=AB=25故答案为：25．（2）能．如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，∵D，F是AC，BC的中点，∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，∴QK过DF的中点O时，即过矩形CDEF的中点，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．故t==．（3）①当点P在EF上（2≤t≤5）时，如图2，QB=4t，DE+EP=7t，由△PQE∽△BCA，得．∴t=4；②当点P在FC上（5≤t≤7）时，如图3，已知QB=4t，从而PB===5t，由PF=7t﹣35，BF=20，得5t=7t﹣35+20．解得t=7；（4）如图4，t=1；如图5，t=7．（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）【点评】本题主要运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键．18．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．【解答】解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）【点评】考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理．。
图形的相似检测题及答案
图形的相似一、填空题(每小题6分，本题满分30分)1.如图，D、E是三角形ABC中边AB、AC上的点，DE∥BC，已知AB=8cm，AC=12cm，BD=3cm，则AE= ，EC= .2.两个相似三角形的一组对应边长分别为15和27，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 .3.相距1000km的两市在比例尺为1:30000000的地图上的距离约是cm(精确到0.1)；某市规划筹建一个开发区，这个开发区在1:50000的地图上面积是30cm2,实际占地面积约为km24.如图，E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE、BD，交于点O.如果已知△ADE的面积是6，试写出能求出的图形面积(要求写出四个以上图形的面积).5.已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(0，2)、B(3，3)、C(2，1).以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 .二、选择题(每小题5分，本题满分25分)6.语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有边长相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有( ).(A)4句 (B)3句 (C)2句 (D)1句7.D、E分别是△ABC中边AB、AC上的点，若DE∥BC，且S△ADE =S梯形DBCE，则AD:DB=( ).8.如图，AB、CD都是BD的垂线，AB=4，CD=6，BD=14.P是BD上一点，连结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是( ).(A)2 (B)5.6(C)12 (D)上述各个值都有可能9.我们已经学习和掌握了不少在平地上测量建筑物高度的方法，如果在同一个斜坡上，在同一时刻,测得在斜坡上自己的影子和一幢大楼的影子长，那么由自己的身高( ).(A)也能够求出楼高(B)还须知道斜坡的角度，才能求出楼高(C)不能求出楼高(D)只有在光线垂直于斜坡时，才能求出楼高10.相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面( ).(A)2.4米 (B)2.8米(C)3米 (D)高度不能确定三、解答题(每小题9分，本题满分45分)11.一个直立的油桶高0.8米，在顶部的一个开口中将一根长1米的木杆斜着插入桶内，上端正好与桶面相平，抽出后看到杆上油浸到部分长0.8米，求油桶内油面的高度.12.一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD=1米，如图. 要利用它裁剪一个长宽比是3:2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH 和宽EF的长.13.学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示.两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的.小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到.请你动手试一试，说一说你的看法.14.如图，正方形MNPQ的顶点在三角形ABC的边上，当边BC=a与高AD=h满足什么条件时，正方形MNPQ的面积是三角形ABC面积的一半？15.已知两个不相似的直角三角形ABC和A′B′C′中∠C=∠C′ =90°，能否将这两个三角形各分割成两个小三角形，使它们分别相似？你能想出几种分割方法？能否将这个问题推广到有一个角相等的两个任意三角形？答案2.45.3.3.3；7.5.5.（-6，0）、（3，3）、（0，-3）.6.B.7.D.8.D、9.A. 10.A. 11.0.64米．15.①若考虑保持两个直角不变，可以从∠A和∠B′中较大的∠A中作∠BAD=∠B′，一边交BC于D，同理在∠B′A′C′中作∠B′A′D′=∠B，一边交B′C′于D′，则所得两对小三角形对应相似；②也可以在直角∠C内作∠ACD=∠A′，一边交AB于D，在直角∠内作∠B′C′D′=∠B，一边交A′B′于D′，所得两对小三角形对应相似. 对有一个内角相等的任意两个三角形也能作这样的分割，但第二种方法不一定可行.。
图形的相似单元测试(含答案)
图形的相似单元测试一、选择题1、【基础题】在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25 cm ，则甲、乙两地的实际距离是 ( ) A. 1250千米 B. 125千米 C. 12.5千米 D. 1.25千米2、【基础题】已知135＝ab ，则ba b a ＋－的值是（ ） ★ A. 32 B. 23 C. 49 D. 943、【基础题】如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( ) A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm4、【基础题】如右图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（ ） A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:45、【基础题】如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( ) ★★★6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正八边形都相似7、【基础题】下列说法中正确的是( ) ★A. 位似图形可以通过平移而相互得到；B. 位似图形的对应边平行且相等C. 位似图形的位似中心不只有一个D. 位似中心到对应点的距离之比都相等8、【综合题Ⅰ】如右上图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ） ★★★A. ∠APB ＝∠EPC ；B. ∠APE ＝90°C. P 是BC 的中点D. BP ︰BC ＝2︰3 9、【综合题Ⅱ】如右上图,Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =3， AC =4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP ＝x ，则PD+PE ＝（ ） A.35x + B. 45x -C.72D.21212525x x -10、【综合题Ⅲ】如图，在Rt ABC △内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）AB CA. b a c =+B. b ac =C. 222b a c =+D. 22b a c == 二、填空题11、【基础题】在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上影长为50m ，那么古塔的高为 ．12、【基础题】两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是 ． 13、【综合题Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，AB ＝5，D 、E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，那么AD·BC ＝ .14、【基础题】如右上图，在△ABC 和△DEF 中，G 、H 分别是边BC 和EF 的中点，已知AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC ＝∠EDF . 那么AG ：DH ＝ ，△ABC 与△DEF 的面积比是 .15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，边长应缩小到原来的____倍. 16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt △ABC 中, ∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于D ，若AD ＝1，BD ＝4，则CD ＝ .17、【基础题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为 .18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm.（结果保留根号） 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝__ 20、【提高题】如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △、323A B B △的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．（第20题图）OA 1 A 2A 3A 4 AB B 1 B 2 B 3 14三、解答题21、【基础题】（2008无锡）如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．22、【综合Ⅰ】如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm ，OB=6 cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （单位：秒） 表示移动的时间（06t ≤≤），那么： （1）当t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？（2）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。
图形的相似经典测试题
图形的相似经典测试题一、选择题1．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C 为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出2()COFAOES OCS OA∆∆=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2()COFAOES OCS OA∆∆=＝25144，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OCS OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12，∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0，∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，故可得242CD x x =-+,又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 即222342,2342yx x x x --+=-+ 故可得： 23343.633y x x =-++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结论正确的是（ ）A ．AD DE DB BC= B ．BF EF BC AB = C ．AE EC FC DE = D ．EF BF AB BC= 【答案】C【解析】【分析】 根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.【详解】解：如图所示：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE AD AD BC AB DB=≠， ∴答案A 错舍去；∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C=≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠CFE ，又∵∠AED ＝∠C ，∴△ADE ～△EFC ， ∴AE DE EC FC=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠， ∴答案D 错舍去；故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．4．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+=故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．5．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【解析】【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x =上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x=∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥∴90BEO OFA ∠=∠=︒∴90OAF AOF ∠+∠=︒∴BOE OAF ∠=∠∴BOE OAF V V ∽∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∵点A 在反比例函数k y x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．6．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.8．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSSVV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°3∴13 BCOAODSSVV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．9．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）A．1：2 B．1：5 C．1：100 D．1：10【答案】C【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．10．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．故选D考点：位似变换11．把Rt ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．考点：相似多边形的性质．13．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（）.A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．14．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DGCF=（）A．23B．2C．33D．32【答案】B 【解析】【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得DGCF的值．【详解】连接AC和AF，则2 AD AGAC AF==∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴2 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．15．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C 为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．16．已知线段MN＝4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等于（）A．（25+2）cm B．（25﹣2）cm C．（5+1）cm D．（5﹣1）cm 【答案】B【解析】【分析】根据黄金分割的定义进行作答.【详解】由黄金分割的定义知，51MPMN-=，又MN=4，所以，MP=25- 2. 所以答案选B.【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.17．如图，某河的同侧有A，B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km=，3BD km=，这两条小路相距5km．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A．距C点1km处B．距C点2km处C．距C点3km处D．CD的中点处【答案】B【解析】【分析】作出点A关于江边的对称点E，连接EB交CD于P，则PA PB PE PB EB+=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆:，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得 PC CE PD BD =，即253x x =-， 解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.18．如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）A ．∠AED ＝∠BB ．∠BDE +∠C ＝180° C ．AD •BC ＝AC •DED ．AD •AB ＝AE •AC【答案】C【解析】【分析】 A 、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；B ：根据题意可得到∠ADE=∠C ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；D 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．【详解】解：A 、由∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；B 、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；C 、由AD•BC=AC•DE ，得不能判断△ADE ∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.D 、由AD•AB=AE•AC 得，∠A=∠A ，故能确定△ADE ∽△ACB ，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）； 有两组角对应相等的两个三角形相似．19．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）．A ．()2,4-B ．()1,4-C ．()1,4-D ．()4,2-【答案】A【解析】【分析】 设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．【详解】设位似图形的位似比例为k则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB ===△AOB Q 和11A OB △的周长之比为1:2111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k =又Q 点B 的坐标为(1,2)-∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯=Q 点1B 位于第四象限∴点1B 的坐标为(2,4)-故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．20．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．。
图形的相似经典测试题附答案解析
图形的相似经典测试题附答案解析一、选择题1．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：5设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，x2x2255-，，解得：()52x 5BF ?x CM 2-==，． ∴BF+CM=5．故选A ．2．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )A ．2∶3B ．4∶9C ．2∶3D ．3∶2【答案】B【解析】【分析】 根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S ==V V ． 【详解】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．3．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：1【答案】B【解析】【分析】 可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=3：1，∴DE ：DC=3：4，∴DE ：AB=3：4，∴S △DFE ：S △BFA =9：16．故选B ．4．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变【答案】D【解析】【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=22为定值，即可解决问题． 【详解】解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ，则△BEO ∽△OFA ，∴BE OE OF AF=， 设点B 为（a ，1a -），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即222a b =， 根据勾股定理可得：22221OE EB a a +=+22224OF AF b b +=+∴tan∠OAB=2 222222212244baOB a bOAb bb b++==++=222214()24bbbb++=22∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．5．如图，已知////AB CD EF，:3:5AD AF=，6BC=，CE的长为（）A．2B．4C．3D．5【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD：AF=3：5，∴AD：DF=3：2，∵AB∥CD∥EF，∴AD BCDF CE=，即362CE=，解得，CE=4，【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 由平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，可知△ADE 与△ABC 相似，且面积比为，则相似比为，的值为．【详解】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，∴S △ADE ＝S 四边形DBCE ， ∴＝， ∴＝ ＝， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．7．如图，点E 是ABCD Y 的边AD 上一点，2DE AE =，连接BE ，交AC 边于点F ，下列结论中错误的是（ ）A ．3BC AE =B ．4AC AF = C ．3BF EF =D ．2BC DE =【答案】D【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．【详解】解：∵在ABCD Y 中，//AD BC ，AD BC =，∴AEF CBF V :V , ∴AE AF EF CB CF BF ==, ∵2DE AE = ∴332BC DE AE ==，选项A 正确，选项D 错误， ∴133AF AE AE CF CB AE ===，即：3CF AF =， ∴4AC AF =，∴选项B 正确，∴133EF AE AE BF CB AE ===，即：3BF EF =， ∴选项C 正确，故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．8．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】 证明△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可推导得出AC 2=AD•AB ，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AC AD AB AC=， ∴AC 2=AD•AB=2×8=16，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．32B．92C．33D．33【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∵AC=3，AB=6，∴AD=32．故选A．考点：相似三角形的判定与性质．10．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC 的值为（）A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4【解析】【分析】根据题意，易证△DEF ∽△CBF ，同理可证△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S △EFC ＝3S △DEF ，∴DF ：FC ＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DE ：BC ＝DF ：FC ＝1：3同理△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ：S △ABC ＝1：9，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．11．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30 【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V ∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15 ∴44152033S CBA S ACD ==⨯=VV 故答案为：A ．本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．12．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S ，若S=2，则1S +2S =（ ）.A ．4B ．6C ．8D ．不能确定 【答案】C【解析】 试题分析：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，所以△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF ∥BC ，EF=12BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以PBC CQP QPB PDC ABP S S S S S =+=+V V V V V =1S +2S =8.故选C ．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．13．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【分析】 通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x=上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x =∵90AOB ∠=︒∴90AOD BOD ∠+∠=︒∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥∴90BEO OFA ∠=∠=︒∴90OAF AOF ∠+∠=︒∴BOE OAF ∠=∠∴BOE OAF V V ∽∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∵点A 在反比例函数k y x =上∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．14．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ，∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ．∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）．设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b=+=+，解得：3k 5{21b 5=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+． ∴当x 5=时，()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==． 故选B ．15．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ，解得45x=或1x=-（舍去），125EH BN∴==，65CG CD DG EN=-==．1BF DM==Q175FN BF BN∴=+=．在Rt EFN△中，由勾股定理得，2213EF EN FN=+=，17cos1365FNEFCEF∴∠==．故选：A．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．16．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x（x ＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°=3，∴13BCOAODSSVV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．17．如图，三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2∶3，若三角尺的一边长为8 cm，则这条边在投影中的对应边长为()A．8 cmB．12 cmC．16 cmD．24 cm【答案】B【解析】试题分析：利用相似比为2：3，可得出其对应边的比值为2：3，进而求出即可．解：∵三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，三角尺的一边长为8cm，∴设这条边在投影中的对应边长为：x，则=，解得：x=12．考点：位似变换．18．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于( )A ．103B ．203C ．52D ．152【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到3AD BC DF CE ==，得到BC=3CE ，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE 的长，即可．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ，∴3AD BC DF CE==， ∴BC=3CE ，∵BC+CE=BE ，∴3CE+CE=10，∴CE=52． 故选C ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.19．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 长为（ ）A ．1B ．1.2C ．2D ．2.5【答案】B【分析】由AB ∥GH ∥CD 可得：△CGH ∽△CAB 、△BGH ∽△BDC ，进而得：GH CH AB BC =、GH BH CD BC =，然后两式相加即可． 【详解】 解：∵AB ∥GH ，∴△CGH ∽△CAB ，∴GH CH AB BC =，即2GH CH BC =①， ∵CD ∥GH ，∴△BGH ∽△BDC ，∴GH BH CD BC =，即3GH BH BC =②， ①+②，得：123GH GH CH BH BC BC +=+=，解得：6 1.25GH ==． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结论正确的是（ ）A ．AD DE DB BC= B ．BF EF BC AB = C ．AE EC FC DE = D ．EF BF AB BC= 【答案】C【解析】【分析】 根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF ∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.【详解】解：如图所示：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE AD AD BC AB DB=≠， ∴答案A 错舍去；∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C=≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠CFE ，又∵∠AED ＝∠C ，∴△ADE ～△EFC ， ∴AE DE EC FC=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠， ∴答案D 错舍去；故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．。
图形的相似练习题
图形的相似练习题一、选择题1. 若两个图形的对应角相等，对应边成比例，则这两个图形是相似的。
这种说法是正确的吗？A. 正确B. 错误2. 相似图形的面积比等于它们对应边长的平方比，这种说法正确吗？A. 正确B. 错误3. 在相似三角形中，对应高的长度之比等于：A. 对应边长之比B. 对应角的正弦值之比C. 对应角的余弦值之比D. 对应边长的平方比4. 如果两个三角形的三组对应边长之比分别为2:3，3:4，4:5，那么这两个三角形是相似的吗？A. 是B. 不是5. 相似多边形的周长比等于它们对应边长的比，这种说法正确吗？A. 正确B. 错误二、填空题6. 相似三角形的判定定理包括AA定理、SAS定理和______定理。
7. 若两个图形的对应角相等，对应边成比例，且它们的面积比为4，则它们的周长比为______。
8. 在一个相似三角形中，如果最长边长为10，最短边长为5，那么第三边的长度可能为______（假设第三边长度为整数）。
9. 如果两个三角形的对应角相等，但对应边长之比为3:5，那么这两个三角形是______的。
10. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例，且它们的面积比为9:16，则它们的周长比为______。
三、简答题11. 解释为什么相似三角形的对应角相等。
12. 描述如何使用相似三角形的性质来解决实际问题。
13. 给出一个例子，说明在什么情况下两个图形不能被判定为相似。
四、计算题14. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，BC:EF=1:2，求AC:DF的比值。
15. 如果一个矩形的长是宽的2倍，且其面积为24平方厘米，求矩形的周长。
五、证明题16. 证明：如果两个三角形的三组对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
17. 证明：相似三角形的对应角的正弦值之比等于它们的对应边长之比。
六、应用题18. 一个摄影师正在拍摄一座塔，他站在距离塔基30米的地方，拍摄到塔的高度为10米。
中考数学《图形的相似》真题汇编含解析
图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。
人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试(含答案及解析)
人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）1 / 11图形的相似测试时间：60 总分：100一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1. 下列四组图形中，一定相似的图形是A. 各有一个角是 的两个等腰三角形B. 有两边之比都等于2：3的两个三角形C. 各有一个角是 的两个等腰三角形D. 各有一个角是直角的两个三角形2. 下列说法正确的是A. 矩形都是相似图形B. 各角对应相等的两个五边形相似C. 等边三角形都是相似三角形D. 各边对应成比例的两个六边形相似3. 下列结论中，错误的有：所有的菱形都相似；放大镜下的图形与原图形不一定相似；等边三角形都相似；有一个角为110度的两个等腰三角形；所有的矩形不一定相似．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 下列图形一定是相似图形的是A. 任意两个菱形B. 任意两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个矩形5. 在下面的图形中，相似的一组是A.B.C.D.6. 如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 7. 下列图形一定相似的是A. 两个矩形B. 两个等腰梯形C. 对应边成比例的两个四边形D. 有一个内角相等的菱形8.在下列命题中，正确的是A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 有一个角是两个等腰三角形一定相似C. 两个直角三角形一定相似D. 有一个角是的两个菱形一定相似9.用放大镜将图形放大，应该属于A. 平移变换B. 相似变换C. 对称变换D. 旋转变换二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）10.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的______倍11.如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，选择格点为顶点画，使得 ∽ 如果相似比，那么k的值可以是______ ．12.如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形请在如图所示的网格中网格的边长为中，用直尺作出这个大正方形．13.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是______ ．14.如图，______ 与______ 相似．15.如图，请在方格图中画出一个与相似且相似比不为1的、E、F必须在方格图的交叉点．人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）3 / 1116. 已知 在坐标平面内三顶点的坐标分别为 、、 以B 为位似中心，画出与 相似 与图形同向 ，且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是______ ．17. 如图中的等腰梯形 是公园中儿童游乐场的示意图 为满足市民的需求，计划扩建该游乐场 要求新游乐场以MN 为对称轴，且新游乐场与原游乐场相似，相似比为2： 又新游乐场的一条边在直线BC 上，请你在图中画出新游乐场的示意图．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18. 如图，在坐标系的第一象限建立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点的顶点坐标分别为 、 、 ．若 外接圆的圆心为P ，则点P 的坐标为______ ．以点D 为顶点，在网格中画一个格点 ，使 ∽ ，且相似比为1： 画出符合要求的一个三角形即可19.已知，如图，中，，，D为BC边上一点，．求证： ∽ ；在原图上作交AC与点E，请直接写出另一个与相似的三角形，并求出DE的长．20.如图，已知，，请用尺规过点A作一条直线，使其将分成两个相似的三角形保留作图痕迹，不写作法21.已知：如图，在菱形ABCD中，垂足为E，对角线，，求边AB的长；的值．人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）5 / 1122. 如图，已知 ， ，请用尺规过点A 作一条直线，使其将 分成两个相似的三角形 保留作图痕迹，不写作法答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. B10. 511. 2，，412. 解：如图所示：所画正方形即为所求．13. 1：414. ；15. 解：所画图形如下：就是所求的相似三角形．16. 、、17. 解：如图所示：18.19. 证明：，，，，，，，∽ ；解：，∽ ，∽ ，．人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）7 / 1120. 解：如图，AD 为所作．21. 解： 连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，四边形ABCD 是菱形，， ，中， ，，；，菱形 ，，，，，．22. 解：如图所示：AD 即为所求．【解析】1. 解：A 、各有一顶角或底角是 的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；B 、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；C 、各有一个角是 的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D 、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；故选C ．利用相似图形的定义逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了相似图形的知识，能够了解相似图形的定义是解答本题的关键，难度不大． 2. 解： 矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；C . 等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确； 各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；故选：C．根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边与角两个方面考虑解答．3. 解：：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项错误．：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项错误．：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项正确：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似因为它们的顶角均为，两锐角均为，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定故：选项正确．：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项正确故：选B利用相似的定义逐一的对五个选项进行判定．本题考查了相似图形的判定，解题的关键是要掌握相似图形的概念与判定方法．4. 解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选：B．根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．5. 解：A、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项错误；B、两图形不是相似图形，故本选项错误；C、，两三角形相似，故本选项正确；D、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误．故选C．根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了相似图形的判定，是基础题，准确识图是解题的关键．6. 解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．故选C．根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．7. 解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；B、两个等腰梯形不一定相似，故错误；C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故错误；D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故正确，故选D．根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）9 / 11 8. 解：A 、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A 选项错误；B 、有一个角是 两个等腰三角形不一定相似，所以B 选项错误；C 、两个直角三角形不一定相似，所以C 选项错误；D 、有一个角是 的两个菱形一定相似，所以D 选项正确．故选：D ．根据四边形相似要有对应角相等，对应边的比相等可对A 、D 进行判断；根据 的角可能为顶角，也可能为底角可以对B 进行判断；根据三角形判定方法对C 进行判断． 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题 许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果 那么 ”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 9. 解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B ．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．10. 解： 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，扩大后的三角形与原三角形相似，相似三角形的周长的比等于相似比，这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为：5．由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．11.解：的边长分别为1，，2为直角三角形， ， ，根据等边三角形的三线合一，可作三边比为1： ：2的三角形，故相似比 ，k 可取2， ，4．故答案为：2， ，4．根据题意可得：在正六边形网格找与 相似的三角形；即找三边的比值为1： ：2的直角三角形；分析图形可得：共三种情况得出答案即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合各边长得出符合题意的图形是解题关键． 12. 直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案．此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．13. 解：因为原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形， 所以放大前后的两个三角形的面积比为5： ：4，故答案为：1：4．根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答．14. 解：利用相似图形对应角相等，对应边成比例，只有，图形全等，符合题意．故答案为：，．根据相似图形的定义直接判断得出即可．本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．15. 利用勾股定理计算出三角形的三边长，再让它的各边都乘以2，得到新三角形的三边长，从网格中画出即可．本题主要考查了作图中的相似变换问题，难度不大，注意看清题意是关键．16. 解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：、、．故答案为：、、．根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变大小可变即可得出答案．本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大或缩小相同的倍数．17. 先作轴对称图形，再把它利用位似变换放大为相似比为2：1的等腰梯形．考查了作图相似变换，作位似变换的图形的依据是相似的性质画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．18. 解：如图，点P即为所求，其坐标为，故答案为：；如图，即为所求三角形．分别作AC、AB的中垂线，两直线的交点即为所求点P；根据相似比为1：2可得，，，据此可得．本题主要考查三角形的外心和相似图形，熟练掌握三角形的外心到三顶点的距离相等及相似三角形的性质是解题的关键．19. 在与中，有，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；由知 ∽ ，又，易证 ∽ ，则： ∽ ，然人教版数学九年级下27.1《图形的相似》测试（含答案及解析）后根据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．本题主要考查了相似三角形的判定及性质平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．20. 过点A作于D，利用等角的余角相等可得到，则可判断与相似．本题考查了作图相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似．21. 首先连接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得，，又由，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；由，利用菱形，即可求得AE的长，在中可求得BE，则可求得的余弦值．本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法、数形结合思想的应用．22. 直接利用直角三角形的性质过点A作，即可得出答案．此题主要考查了相似变换，正确应用直角三角形的性质是解题关键．11 / 11。
图形的相似经典测试题及答案
A．4B．8C．16D．24
【答案】C
【解析】
【分析】
延长根据相似三角形得到 ，再过点 作垂线，利用相似三角形的性质求出 、 ，进而确定点 的坐标，确定 的值．
【详解】
解：过点 作 ，垂足为 ，
是正方形，
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B之间的距离为（ ）
A．1B． C．1或3D． 或5
【答案】D
【解析】
【分析】
分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得 ，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．
故选：C．
点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
13．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则 ＝（）
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，BC＝DA，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，
∴AG∶CG＝EG∶BG＝AE∶CB，CH∶AH＝CF∶AD，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
图形的相似经典测试题含答案
【详解】
解： BCE BDA， CEB DEA
ADE∽B查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的
圆周角相等．
2．如果两个相似正五边形的边长比为 1：10，则它们的面积比为（ ）
A．1：2
B．1：5
C．1：100
D．1：10
【答案】C
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在 Rt△ADG 和 Rt△FDG 中，
AD＝DF DG＝DG
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；
设正方形 ABCD 的边长为 a，AG＝FG＝x，BG＝a−x，
∵BE＝EC，
∴EF＝CE＝BE＝ 1 a 2
∴GE= 1 a+x 2
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：( 1 a+x)2=( 1 a)2+(a-x)2 解得：x＝ 1
2
2
3
∴BG＝2AG，
故②正确； ∵BE＝EF，
∴△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，
∴△EBF 与△DEG 不相似，
故③错误； 连接 CF， ∵BE＝CE，
∴BE＝ 1 BC， 2
∴S△BFC＝2S△BEF． 故④错误， 综上可知正确的结论的是 2 个． 故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，如果 AC=3，AB=6，那么 AD 的值为 （）
A． 3 2
B． 9 2
C． 3 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
第23章 图形的相似 达标测试卷(含答案)
第23章图形的相似达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．如图是某种汽车的标志示意图，下面选项的图形中与其相似的是()2．在△ABC中，D和E分别是BC和BA的中点，已知AC＝4，则DE的长为() A．1 B．2 C．4 D．83．已知线段a，b，c，d是成比例线段，a＝2，b＝5，c＝2 3，则d＝()A. 153 B.4 155C．2 5 D.154．如图，AB∥CD∥EF，若ACCE＝32，BD＝12，则DF的长为()A．2 B．4 C．6 D．8(第4题)(第6题)(第7题)(第8题)5．若两个相似三角形的面积比是1∶9，则它们对应边的中线之比为() A．1∶9 B．3∶1 C．1∶3 D．1∶816．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是()A．2∶3 B．3∶2 C．2∶5 D．5∶27．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，下列条件中，不能判定△CAB∽△CBD的是()A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDBC．AB·CD＝BD·BC D．BC2＝AC·CD8．如图，在平行四边形ABCD中，DE∶EC＝3∶1，AE与BD交于点F，则S△DEF∶S四边形BCEF＝()A ．3∶5B ．4∶7C ．7∶15D ．9∶19二、填空题(每题3分，共18分)9．在一幅比例尺是1∶6 000 000的图纸上，量得两地的图上距离是2 cm ，则两地的实际距离是________ km.10．如图，已知线段AB 和线段CD 是第一象限内以原点O 为位似中心的位似图形，点A 的坐标为(8，12)，点C 的坐标为(2，3)，则线段AB 和线段CD 的数量关系为________．(第10题) (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 11．如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连结DE ，CD ，如果DE ＝2.5，那么△ACD 的周长为________．12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上．设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则 C 1C2的值为________．13．图①，图②分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液面宽度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图②中AB ＝__________cm.14．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，P 为边AB 上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 有________个．三、解答题(第19～21题每题12分，第22题14分，其余每题7分，共78分) 15．已知a b ＝29，求2a －3b a ＋b 的值．16．王霞和爸爸妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出坐标原点O和x轴，y 轴，只知道游乐园D的坐标为(1，－2)(图中每个小正方形的边长均为1)．(第16题)(1)请画出x轴，y轴，并标出坐标原点O；(2)写出其他各景点的坐标．17.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，DEBC＝14.(第17题)(1)若AB＝12，求AD的长；(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．318．图①，图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；(2)在图②中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1∶2.(第18题)19．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.(第19题)(1)求证：△HCD∽△HDB；(2)求DH的长．20.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3.(第20题) (1)求CE的长；(2)若点Q在BC上，AQ交DE于点P.小明认为DPBQ＝PECQ，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝8 cm.点P从点C出发，5以2 cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．(第21题)(1)经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC的面积的2 5(2)经过几秒后，△PCQ与△ABC相似？22.【基础问题】(1)如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，BE⊥FE，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求DF的长；【拓展延伸】(2)如图②，在等边△ABC中，D为边BC上一点，E为边AB上一点，且∠ADE＝60°，CD＝3，BE＝2，则BC的长为________；(3)如图③，在四边形ABCD中，DE∥BC，交AB于点E，CF∥AD，交AB于点F，∠DEC＝∠A＝∠B，FB＝4，EB＝6，则DEAE＝________．(第22题)7 答案一、1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.D二、9.120 10.AB ＝4CD 11.18 12.22 13.83 14.3三、15.解：∵a b ＝29，∴a 2＝b 9. 设a 2＝b9＝k ，则a ＝2k ，b ＝9k ，∴2a －3b a ＋b ＝4k －27k 2k ＋9k＝－23k 11k ＝－2311.(第16题)16．解：(1)x 轴，y 轴和原点O 如图所示．(2)音乐台A 的坐标为(－1，4)，湖心亭B 的坐标为(－4，2)，望春亭C 的坐标为(－3，－1)，牡丹亭E 的坐标为(2，3)．17．解：(1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE ∥BF ，即DE ∥BC ，∴△ADE∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ＝14. ∵AB ＝12，∴AD ＝3.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116.∵△ADE 的面积为1，∴△ABC 的面积为16.∵四边形BFED 是平行四边形，∴EF ∥AB ，DE ＝BF ，∴△EFC ∽△ABC ，∴S △EFC S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫FC BC 2＝⎝⎛⎭⎪⎫BC －BF BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC －DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916，∴△EFC 的面积为9， ∴平行四边形BFED 的面积为16－9－1＝6. 18．解：(1)如图①，点E 即为所求．(2)如图②，点P ，点Q 即为所求．(第18题)19．(1)证明：∵DH ∥AB ，∴∠A ＝∠HDC .∵∠CBD ＝∠A .∴∠HDC ＝∠CBD .又∵∠H ＝∠H ，∴△HCD ∽△HDB .(2)解：∵DH ∥AB ，∴△HCD ∽△BCA ，∴CD AC ＝CHBC . ∵AC ＝3CD ，BC ＝3，∴13＝CH3，∴CH ＝1， ∴BH ＝BC ＋CH ＝3＋1＝4.由(1)知△HCD ∽△HDB ，∴DH BH ＝CHDH ，∴DH 2＝4×1＝4， ∴DH ＝2(负值舍去)．20．解：(1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AD ＋BD ＝AEAE ＋EC.∵AD ＝5，BD＝10，AE ＝3，∴CE ＝6.(2)结论正确．理由：在△ABQ 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ ＝AP AQ .同理可得PE CQ ＝AP AQ ，∴DP BQ ＝PE CQ .21．解：(1)设经过x s 后，△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的25.根据题意，得12×2x ×(8－x )＝8×10×12×25.解得x 1＝x 2＝4.所以经过4 s 后，△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的25.(2)设经过t s 后，△PCQ 与△ABC 相似，因为∠C ＝∠C ，所以分为两种情况：① PC BC ＝CQ CA ，即2t 8＝8－t 10，解得t ＝167.②PC AC ＝CQ CB ，即 2t 10＝8－t 8，解得t ＝4013.综上所述，经过167 s 或4013 s 后，△PCQ 与△ABC 相似．22．解：(1)∵BE ⊥FE ，∴∠BEF ＝90°.∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AEB ＋∠ABE ＝∠AEB ＋∠DEF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DEF ，∴△ABE ∽△DEF ，∴AB DE ＝AE DF ，∴62＝9DF ，解得DF ＝3.(2)9(3)62点拨：∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∠B＝∠DEA.∵AD∥CF，∴∠A＝∠CFB.∵∠DEC＝∠A＝∠B，∴∠DEC＝∠A＝∠B＝∠BCE＝∠CFB＝∠DEA，∴△DAE∽△CFB∽△ECB，∴EBBC＝BCFB，DEBE＝AEBC，即6BC＝BC4，DE AE＝EBBC，解得BC＝24＝2 6(负值舍去)，∴DEAE＝EBBC＝62 6＝62.9。
图形的相似基础测试题含答案解析
图形的相似基础测试题含答案解析一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，问CE 为多少时A 、C 、F 在一条直线上（ ）A ．35B ．43C ．53D ．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC ，做FN ⊥BC ，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt △FNE ∽Rt △ECD ，再利用相似比得出1 2.52NE CD ==，运用正方形性质,得出△CNF 是等腰直角三角形，从而求出CE ．【详解】解：过F 作BC 的垂线，交BC 延长线于N 点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ，∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF ，1 2.52NE CD == ∵AC 平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF 是等腰直角三角形，∴CN=NF ， ∴2255.3323CE NE ==⨯= 故选C ．【点睛】 此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.2．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）A．2B．4C．3D．5【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD：AF=3：5，∴AD：DF=3：2，∵AB∥CD∥EF，∴AD BCDF CE=，即362CE=，解得，CE=4，故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．4．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.5．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4【答案】C【解析】【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC 上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为（）A．1 B．54C．1或 3 D．54或5【答案】D【解析】【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得12BD BE DEAB BC AC===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【详解】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=225AC BC+=∵点D是AB的中点，∴BD=12BA=52∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC∴12 BD BE DEAB BC AC===∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32∵折叠∴B1D=BD=52，B1P=BP∴B1E=B1D-DE=1∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，∴BP=5 4如图，若点B1在BC右侧，∵B1E=DE+B1D=32+52，∴B1E=4在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，∴BP 2=16+（BP-2）2，∴BP=5故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．7．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )A ．2B 3C 15±D ．152【答案】D【解析】【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】解：∵1AB =，设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF AD DF AB=，即111x x =-， 解得：1152x +=，2152x -=（不合题意，舍去） 经检验152x +=，是原方程的解． ∴15AD +=． 故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．8．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．9．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）A ．1：2B ．1：5C ．1：100D ．1：10 【答案】C【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C ．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．10．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ，∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b=+=+， 解得：3k 5{21b 5=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+． ∴当x 5=时，()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==． 故选B ．11．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）．A ．()2,4-B ．()1,4-C ．()1,4-D ．()4,2-【答案】A【解析】【分析】 设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．【详解】设位似图形的位似比例为k则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB ===△AOB Q 和11A OB △的周长之比为1:2111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k =又Q 点B 的坐标为(1,2)-∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯= Q 点1B 位于第四象限∴点1B 的坐标为(2,4)-故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．12．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x （x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°3∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S △AOD =2是解题关键．13．如图，点A ，B 是双曲线18y x=图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k y x=在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB =时，k 的值为（ ）．A ．2516-B ．258-C ．254-D ．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．首先证明△CFO ∽△OEA ，推出2()COF AOE S OC S OA∆∆=，因为CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，推出CA ：OA ＝13：12，推出CO ：OA ＝5：12，可得出2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144，因为S △AOE ＝9，可得S △COF ＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．∵A 、B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，∴△AEG∽△BFE，∴AE AG BF BE，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，∴AE=2（舍负），∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，∴GF 的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．16．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）A ．22B ．12C ．14D 3【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ，∴2 OBOA，故选A．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解17．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C 为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选A．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．19．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）A ．AD AE BD EC =B ．AF DF AE BE =C ．AE AF EC FE =D ．DE AF BC FE = 【答案】D【解析】【分析】 由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断. 【详解】∵DE //BC ，∴AD AE BD EC= ，故A 正确； ∵DF //BE ，∴△ADF ∽△ABF , ∴AF DF AE BE =，故B 正确； ∵DF //BE ，∴ AD AF BD FE =，∵AD AE BD EC= ，∴AE AF EC FE =，故C 正确； ∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ,∴DE AD BC AB =，∵DF //BE ，∴AF AD AE AB =，∴DE AF BC AE =，故D 错误.故选D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.20．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S ，若S=2，则1S +2S =（ ）.A ．4B ．6C ．8D ．不能确定 【答案】C【解析】 试题分析：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，所以△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF ∥BC ，EF=12BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以PBC CQP QPB PDC ABP S S S S S =+=+V V V V V =1S +2S =8. 故选C ．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．。
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图形的相似单元测试题
班别：_____________ 姓名：_______________ 学号：_________ 成绩：_________
一．选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A 对应边都成比例的多边形相似
B 对应角都相等的多边形相似
C 边数相同的正多边形相似
D 矩形都相似 2.已知6、15、c 、10四条线段成比例，则线段c=( ) A.4 B.25 C.3.6 D.12
3. 如图所示,△ABC ∽△ADE,AE=30cm,EC=15cm,BC=60cm,则DE 的长为( )
A.40cm
B.50cm
C.45cm
D.35cm
4. 如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 交BE 于点O ，下列条件中，不能使△ABE 和△ACD 相似的是（ ） A.∠C=∠B B. ∠ADC=∠AEB C.AD:AE=CD:BE D. AD:AC=AE:AB
5. 如果
23=b a ，那么
b
a a
+ =（ ） A 3：2 B 2：3 C 3：5 D 5：3
6. 两个相似三角形的相似比是2：3，其中较小的三角形的面积是12，则另一个三角形的面积是（ ） A ．8 B.16 C.24 D.27
7.在相同的时刻，若高为1.5米的竹竿的影长为2.5米，则影长为30米的旗杆的高度为（ ）
A.20米
B.18米
C.16米
D.15米
8.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=
90，则一定有（ ） A. △ADE ∽△AEF B. △ECF ∽△AEF C. △ADE ∽△ECF D. △AEF ∽△ABF
9.如图，平面直角坐标系中，有一条“鱼”，它有六个顶点，若以原点为位似中学把这条“鱼”放大到原来的2倍，则（ ）
A. 将各个顶点的横坐标乘以2，纵坐标不变。
B. 将各个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以2。
C. 将各个顶点的横、纵坐标都乘以-2。
D. 将各个顶点的横坐标乘以2，纵坐标乘以-2。
10. 如图所示，在长为8cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩 形相似，那么剩下矩形的面积是 （ ）
A 28cm 2
B 27cm 2
C 21cm 2
D 20cm 2
二．填空题(每小题3分，共18分)：
11. 在比例尺为1：10000的地图上，量得两点之间的直线距离是2cm ，则这两地的实际距离为 米。
12. 如图所示的两个三角形是相似的,则x=_________
13.如图，DE 与BC 不平行，当
=AC
AB
_________时，△ABC ∽△ADE 14. 如图,已知∠ACB=∠ADC=90°,AB ∥CD ，若AC=4,AB=6,则CD=_________
15. 如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，连接AF 交BC 于点E ，
则BE ：EC=________
16. 如图所示，已知第一个三角形周长为1，依次取三角形三边中点画三角形，在第n 个图形中，最小三角形的周长是 。
三．解答题：
17. 如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，证：△ABF ∽△CEB
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
18.如图,在△ABC 中，∠ACB= 90，CD ⊥BC 于D ，若BC=3,AB=5，求BD 的长。
19.已知，如图，O 是坐标原点，B 、C 的坐标分别为（3，-1）、（2，1）
（1）以O 为位似中学，在为位似中学，在轴的左侧，将△OBC 放大到2倍，画出放大后的图形。
（2）B 、C 的对应点B ’、C ’的坐标分别为B ’(____，____)，C ’(____，____)
（3）若△OBC 内部一点P 的坐标为（x ，y ）,则P 点的对应点P ’的坐标为(____，____)
20．如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ，求证：.MN CN DN AN ∙=∙
21.如图，某测量工作人员小王与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知小王的眼睛距离地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高。
22. 如图,已知，在△ABC 中,BA=BC=20㎝，AC=30㎝,点P 从A 点出发,沿AB 以4㎝/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从C 点出发,沿CA 以3㎝/s 的速度向A 点运动,设运动时间为x ， （1）当x 为何值时,PQ ∥BC ；
（2）△APQ 能否与△CQB 相似,若能,求出x 的值,若不能,请说明理由.。