高中数学2.1.2椭圆的简单性质同步练习含解析北师大版选修1-1

椭圆的简单性质
课时目标
1.掌握椭圆上点的集合范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.
2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.
3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．
1．椭圆的简单几何性质
焦点的 位置
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
图形
标准 方程
范围
顶点
轴长 短轴长＝______，长轴长＝______
焦点
焦距
对称性 对称轴是__________，对称中心是
______ 离心率
2.直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2
a 2＋y
2
b 2＝1 (a>b>0)的位置关系：
直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y
2
b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y
2
b
2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y
2
b
2＝1________实数解，即Δ______0.
一、选择题
1．椭圆25x 2＋9y 2
＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A ．5,3，45
B ．10,6，4
5
C ．5,3，35
D ．10,6，3
5
2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) ＋y 216＝1 ＋y
236＝1 ＋y 24＝1 ＋x
24
＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1
2
，则m 等于( )
4．如图所示，A 、B 、C 分别
为椭圆x 2a 2＋y
2
b
2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )
B ．1－22
－1
5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 2
9＋
y
2
4
＝1的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2
C ．1
D ．0
6.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足MF 1→·MF 2→
＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5
5
，且过点P(－5,4)，则椭圆的
方程为______________．
8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y
2b
2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的
离心率等于_________________________________．
9．椭圆E ：x 216＋y
24
＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为
____________． 三、解答题 10.
如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y
2
b
2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，
O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点， H 是直线x ＝－a
2c
(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交
点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.
11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
能力提升
12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
13．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，
0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．
1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．
2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭
圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．
3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
椭圆的简单性质
知识梳理 焦点的
位置
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
图形
标准 方程 x 2
a 2＋y
2
b
2＝1 (a>b>0) y 2a 2＋x
2
b
2＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a)
轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a
焦点 (±c,0) (0，±c)
焦距 2c ＝2a 2
－b 2
对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率
e ＝c
a
，0<e<1 作业设计 1．B 2．A 4．A 5．B 6. C
＋y
236
＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y
2b 2＝1 (a>b>0)，
将点(－5,4)代入得25a 2＋16
b 2＝1，
又离心率e ＝c a ＝55，即e 2
＝c 2
a 2＝a 2
－b 2
a 2＝15
，
解之得a 2
＝45，b 2
＝36，故椭圆的方程为x 2
45＋y
2
36
＝1.
解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为
(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c
a
＝
25
5
. 9．x ＋2y －4＝0
解析 设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 2116＋y 2
1
4
＝1x 2
2
16＋y 22
4＝1
，
两式相减，得
x 1＋x 2
x 1－x 2
16
＋
y 1＋y 2
y 1－y 2
4
＝0.
又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2
x 1－x 2
，
∴k MN ＝－1
2，由点斜式可得弦所在直线的方程为
y ＝－1
2
(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.
10．解 依题意知H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2c ，0，F(c,0)，B(0，b)． 设P(x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程，
得y P ＝b 2
a .∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，b 2a .
∵HB∥OP，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋
a 2c
＝b
2a
c .
∴ab＝c 2
.
∴e＝c a ＝b c ，∴e 2＝a 2－c 2
c 2＝e －2
－1.
∴e 4
＋e 2
－1＝0.∵0<e<1，∴e＝
5－1
2
. 11．解 (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x 2
＋y 2
＝1，y ＝x ＋m ，
得5x 2
＋2mx ＋m 2
－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m 2－20(m 2
－1)≥0.
解得－52≤m≤5
2
.
(2)设直线与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，
由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2
－1＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m
5，
x 1x 2＝15
(m 2
－1)．
设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m)－(x 2＋m) ＝x 1－x 2，
∴d＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2x 1－x 22
＝2[x 1＋x 22
－4x 1x 2]
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 2
25－45m 2－1 ＝25
10－8m 2. ∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x. 12．B
13．解 (1)∵a＝2，c ＝3，∴b＝a 2－c 2
＝1.
∴椭圆的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，由中点坐标公式，
得⎩⎨⎧
x ＝
x 0＋1
2
，y ＝y 0
＋
1
2
2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －1，y 0＝2y －1
2.
又∵x 2
04＋y 20＝1，∴
2x －1
2
4＋⎝
⎛⎭⎪⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．。