广东省中山市高一级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试题
中山市2014届高三上学期期末统一考试试题(文数)
中山市2014届高三上学期期末统一考试数学（文科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x =-≤≤,{}2430N x x x =-+>,则M N ⋂=（ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=A ．36B ．42C ．45D ．635．在某次测量中得到的A 样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ） A.m 2225B ．m 225C ．m 250D ．m 3507．如图，定义某种运算a S b =⊗，运算原理如右图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ） A ．11 B ．13 C ．8D ．48．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱 的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ）A．B．C．D ．69．已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当(0,10]x ∈时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．11B ．10C ．9D ．810．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ．⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
2013-2014学年高一上学期期末考试数学试卷
2013-2014学年高一上学期期末数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时150分钟。
参考公式：台体的体积公式12(3hV S S =+第一部分 选择题(共50分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数ln(1)y x =-的定义域为A ，函数2x y =的值域为B ，则 A B = ( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1) 2．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 则原图形的面积是（ ）A .22B .1C .2 D)3．下列的哪一个条件可以得到平面α∥平面β （ ） A ．存在一条直线a ，a a αβ∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 4．下列四种说法，不正确．．．的是 （ ）A ．每一条直线都有倾斜角B ．过点(,)P a b 平行于直线0Ax ByC ++=的直线方程为0)()(=-+-b x B a x A C ．过点M （0，1）斜率为1的直线仅有1条D ．经过点Q （0，b ）的直线都可以表示为y kx b =+5．直线y=x+m 与圆22220x y x y +-+=相切，则m 是 （ ） A ．–4 B ．–4或0 C ．0或4 D ． 46．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ． ),1[),,0[+∞+∞1A 第7题7．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1=45 ， ∠CDC 1=30 ，那么异面直线AD 1与DC 1所成角的 余弦值是 （ ）A B C D8．函数f(x)=2x +3x －6的零点所在的区间是 （ ）A ．[0，1)B ． [ 1，2 )C ． [2，3 )D ．[3，4)9．在30︒的二面角α-l-β中，P ∈α，PQ ⊥β，垂足为Q ，PQ=2a ，则点Q 到平面α的 距离为 （ ） A ．3a B ． 32 a C ． a D ．332 a 10．奇函数)(x f 在区间[]a b --,上单调递减，且)0(0)(b a x f <<>，那么)(x f 在区间[]b a ,上 （ ）A ．单调递减B ．单调递增C ．先增后减D ．先减后增第二部分非选择题(共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．直线320x +=的倾斜角α= ；12. 两圆C 221:4470x y x y ++-+=，C 222:410130x y x y +--+=的公切线 有 条；13．计算：3239641932log 4log 5-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= ；14．已知两条直线1l ：80ax y b ++=和2l ：210x ay +-= (0b <) 若12l l ⊥且直线1l 的纵截距为1时， a = ，b = ；15．用棱长为1个单位的立方块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图 如右图所示，则它的体积的最小值为 ，最大值为 .主视图三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） （1）求过点P （－1，2）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于12的直线方程； （2）求圆心在y 轴上且经过点M （-2，3）， N （2，1）的圆的方程. 17．（本小题满分12分）已知函数)1(log -=xa a y （1,0≠>a a 且） （1）求此函数的定义域；（2）已知),(),,(2211y x B y x A 为函数)1(log -=xa a y 图象上任意不同的两点，若1>a ,求证：直线AB 的斜率大于0.18．（本小题满分12分）如图，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB ，AB ⊥BC ，AF ⊥PC,PA=AB=BC=2. （1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ； （2）求三棱锥P —AEF 的体积.19．（本小题满分12分）已知方程22242(3)2(14)1690()x y t x t y t t R +-++-++=∈表示的图形是一个圆 （1）求t 的取值范围；（2）当实数t 变化时，求其中面积最大的圆的方程。
广东省中山市2014届高三上学期期末数学文试卷Word版含答案
中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x =-≤≤,{}2430N x x x =-+>,则M N ⋂=（ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=A ．36B ．42C ．45D ．635．在某次测量中得到的A 样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后， 就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ） A.m 2225B ．m 225C ．m 250D ．m 3507．如图，定义某种运算a S b =⊗，运算原理如右图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．11B ．13C ．8D ．48．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱 的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．69．已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当(0,10]x ∈时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．11B ．10C ．9D ．810．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ．⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
广东省中山市2014届高三上学期期末数学理试题Word版含答案
中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+> 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ， 则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．135．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）（第2题图）（第4题图）A B C D ． 6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”；③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．13B ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分9．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f 10．如图，一不规则区域内，有一边长为1区域内随机地撒1000（含边界）的黄豆数为 375 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos . 13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 16．（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC . E 是PD 的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 18．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；PBEDCA（Ⅲ）若1n n n b c b =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <53． 19．（本小题满分14分）已知函数()x f x e kx =-，.（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n nF F F n e n N +*+++>+∈20．（本题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.14 ; 10. 8311. 10;12.； 13. 45； 14. 4[,4]3三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，)21,23(=b ，函数1)(+⋅=b a x f 。
___2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题
___2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题2013-2014年高一年级上学期期末考试（时间120分钟，满分150分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1、方程$x^2-px+6$的解集为M，方程$x^2+6x-q$的解集为N，且$M\cap N=\{2\}$，那么$p+q=$（。
）。
A 21.B 8.C 6.D 72．若集合$M=\{a,b,c\}$中的元素是$\triangle ABC$的三边长，则$\triangle ABC$一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．设$f(x)=\begin{cases}x-2,&(x\geq10)\\f[f(x+6)],&(x<10)\end{cases}$，则$f(5)$的值为（）A．10B．11C．12D．134．已知函数$y=f(x+1)$定义域是$[-2,3]$，则$y=f(2x-1)$的定义域是（）A．$[,\,]$B.$[-1,4]$C.$[-5,5]$D.$[-3,7]$5．函数$y=3\cos(5\pi x-\frac{\pi}{2})$的最小正周期是（）A．$\frac{2}{5}$B．$\frac{2}{\pi}$C．$2\pi$D．$\frac{5}{2} $6．已知$y=x^2+2(a-2)x+5$在区间$(4,+\infty)$上是增函数，则$a$的范围是（）A.$a\leq-2$B.$a\geq-2$C.$a\geq-6$D.$a\leq-6$7．如果二次函数$y=x^2+mx+(m+3)$有两个不同的零点，则$m$的取值范围是（）A.$(-2,6)$B.$[-2,6]$C.$\{-2,6\}$D.$(-\infty,-2)\cup(6,+\infty)$8．将函数$y=\sin(x-\frac{\pi}{3})$的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移$\frac{11}{\pi}$个单位，得到的图象对应的解析式是（）A.$y=\sin x$B.$y=\sin(x-\frac{\pi}{3})$C.$y=\sin(x-\frac{\pi}{6})$D.$y=\sin(2x-\frac{5\pi}{3})$9．函数$f(x)=\lg(\sin x-\cos x)$的定义域是（）A.$\begin{cases}x2k\pi+\frac{\pi}{4},&k\inZ\end{cases}$B.$2k\pi-\frac{\pi}{3}\frac{3\pi}{4}+k\pi,&k\in Z\end{cases}$D.$k\pi+\frac{\pi}{4}<x<k\pi+\frac{3\pi}{4},k\in Z$10．在$\triangle ABC$中，$\cos A\cos B>\sin A\sin B$，则$\triangle ABC$为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判定11.若$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，$-\pi<\beta<\pi$，且$\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}$，则$\beta$的取值范围是（）A.$(-\frac{5\pi}{6},-\frac{2\pi}{3})\cup(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$B.$(-\frac{2\pi}{3},-\frac{\pi}{2})\cup(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$C.$(-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{2})\cup(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$D.$(-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{2})\cup(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$二．填空题：13．-114．f(x)=-x2-|x|+115．[k-/6,k+/6],k∈Z16．f(x)=2sin(2x-π/3)三．解答题：17．解：由xm+1≤x≤2m-1可得x-1≤xm≤2m-x，又x-2≤x-1，所以x-2≤xm，即xm-2≤0，解得m≤2.又由x≤5可得xm+1≤6，即2m-1≤6，解得m≥3.综上所述，m∈[3,2]，即m∈[3,2]∩R=∅，无解。
2013-2014学年度第一学期中山市高三期末统一考试(理数)
中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+> 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ， 则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．135．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD，形成三（第2题图）（第4题图）棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）A B C D ．6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”；③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．13B ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分9．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f 10．如图，一不规则区域内，有一边长为1区域内随机地撒1000（含边界）的黄豆数为 375 积为 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos . 13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量(cos ,sin )a x x = ，1)2b = ，函数()1f x a b =⋅+ . （Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 16．（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC . E 是PD 的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 18．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若1n n n b c b =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <53． 19．（本小题满分14分）已知函数()xf x e kx =-，.（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n nF F F n e n N +*+++>+∈20．（本题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．PBEDCA中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.14 ; 10. 8311. 10;12.410+； 13. 45； 14. 4[,4]3三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，)21,23(=b ，函数1)(+⋅=b a x f 。
中山市2013—2014学年高三上学期期末统一考试数学(理)
中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+> 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x < 3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ， 则a +b 等于( ) A ．()2,1-- B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．13 5．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ） ABCD ．6①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”；③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b ac <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③（第2题图）（第4题图）7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a a b b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ）⑴a b a b a b =+⊗+⊕⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶ B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = .10．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos .13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+， 15．（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界）时16．，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，1)2b = ，函数()1f x a b =⋅+ . （Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;（Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值.某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC . E 是PD 的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值18．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若1n n n b c b =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <53．P B E D C A已知函数()xf x e kx =-，.（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n nF F F n e n N +*+++>+∈20．（本题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.14 ; 10. 8311. 10;12.； 13. 45； 14. 4[,4]3三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos xx 11)1sin 122x x +=++………（2分） sin()13x π=++ ………………………………………………（4分）（Ⅰ） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分）令πππππk x k 22322+≤+≤+-，解得52266k x k ππππ-+≤≤+………………（7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-++∈.……………………（8分） （Ⅱ）由9()sin()1,35f παα=++=得4sin()35πα+=,因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35πα+=-,………………………（10分）2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 2425=-……………………………………………………………………（12分）16. 解：（I ）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分） 众数的估计值为75分 ……………（5分） 所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II ）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是2615C =， 有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是246C =，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率62.155P == ……………（8分） 随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有．∴3323()()(),0,1,2,355k k k P k C k ξ-===∴变量ξ的分布列为：…………（10分）E ξ8365454601231251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯=…………（12分） 解法二. 随机变量ξ满足独立重复试验,所以为二项分布, 即2~(3,)5B ξ………（10分）26355E np ξ==⨯= …………（12分）17．解法一：（Ⅰ）ABCD PA 平面⊥ ，ABC CD 平面⊂，CD PA ⊥∴. ---------------------------------------------------------------------------------（2分） 是矩形ABCD , CD AD ⊥∴.而A AD PA =⋂, ,PA AD ⊂平面PADPAD CD 平面⊥∴. ………………………（4分） PDC CD 平面⊂PDC PAD ∴⊥平面平面.………………………（5分） （Ⅱ）连结AC 、EC ，取AD 中点O ， 连结EO ， 则PA EO //, ∵⊥PA 平面ABCD ， ∴⊥EO 平面ABCD . 过O 作AC OF ⊥交AC 于F ，连结EF ，则 EFO ∠就是二面角D AC E --所成平面角. ………………………（7分） 由2=PA ，则1=EO .在ADC Rt ∆中，h AC CD AD ⨯=⨯ 解得=h 554.因为O 是AD 的中点，所以552=OF . ………………………（8分）而1=EO ，由勾股定理可得553=EO . ………………………（9分）32553552cos ===∠EF OF EFO . ………………………（10分）（Ⅲ）延长AE ，过D 作DG 垂直AE 于G ，连结CG ，又∵AE CD ⊥，∴AE ⊥平面CDG ， 过D 作DH 垂直CG 于H ， 则DH AE ⊥, 所以⊥DH 平面AGC , 即⊥DH 平面AEC ，所以CD 在平面ACE 内的射影是CH ，DCH ∠是直线与平面所成的角.………………………（12分）554514sin sin =⨯=⋅=∠⋅=∠⋅=AE OE AD OAE AD DAG AD DG . 2=CD 556425516=+⨯=∴CG . 32556554sin ===∠∴CG DG DCG .……………（14分）解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0) , B (2，0，0), C (2，4，0) , D (0，4，0) ，E (0，2，1) , P (0，0，2) . ……………………（2分）∴AB ＝(2，0，0) , AD ＝(0，4，0) , AP＝(0，0，2) , CD ＝(－2，0，0) , AE＝(0，2，1) , AC ＝(2，4，0) . ……………………（3分）PB EDC AOFGH（Ⅰ）0=⋅AD CD , AD CD ⊥∴.又0=⋅AP CD , AP CD ⊥∴ .………………………（5分）A AD AP =⋂ , PAD CD 平面⊥∴,而PDC CD 平面⊂,∴平面PDC ⊥平面PAD . ………（7分） （Ⅱ）设平面AEC 的法向量=()z y x ,,,令1=z ，则()1,,y x =.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n 即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅21104201200,4,21,,01,2,01,,y x y x y y x y x∴=⎪⎭⎫⎝⎛-1,21,1. ………………………（9分） 平面ABC 的法向量AP ＝(0，0，2) , 322232,cos =⨯==〉〈AP n .所以二面角D AC E --所成平面角的余弦值是32. ……………………（11分）（Ⅲ）因为平面的法向量是n =⎪⎭⎫⎝⎛-1,21,1，而CD ＝(－2，0，0) .所以322232cos -=⨯-==θ . ………………………（13分）直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 32. ………………………（14分）18．【解析】（I ）因为213122n n a S n n +=--+，所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则112a =-， ………………………………（1分）② 当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --+=----+，……………………（2分）所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，所以11(2)2n n b b n -=≥，而11112b a =+=， ……………………（3分）所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………（4分）（II ）由(1)得2n n nnb =．所以 ①n n n n n T 221..........242322211432+-+++++=-， ②1232221..........24232212--+-+++++=n n n nn T ， ……………（5分）②-①得：n n n nT 221......2121112-++++=-， ……………（7分）n n nn n n T 2222211211+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.……………（9分） （III ）由(I)知121n nc =-……………（10分）（1）当1n =时，11151213c ==<-成立； ……………（11分）（2）当2n ≥时，2221(32)210n n n ----⋅=-≥ ，2112132nn n c -∴=≤-⋅， ………………（13分）所以221111212511[1()]1[1()]113232323312nn n n n k T -=≤+=+⋅-=+-<+=⋅-∑. ………（14分） （本题放缩方法不唯一,请酌情给分）19. 解:（Ⅰ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．………（1分） 由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．…（3分） ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当变化时'的变化情况如下表： ……………………（4分）依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． ………………（7分） （Ⅱ）()()()e e0xxF x f x f x -=+-=+> ，112212ln ()ln ()ln[()()]x x x x F x F x e e e e --∴+=++又1122()()xxxxe e e e --++=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x xx x x xx xx xx x x x+-+--++-+++++>++>+， ……………………（10分）1ln (1)ln ()ln(e 2)n F F n +∴+>+，11l n (2)l n (1)l n (e2)l n ()l n (1)l n (e2).n n F F n F n F +++->++>+……………………（12分）由此得:12[ln (1)ln (2)ln ()][ln (1)ln ()][ln (2)ln (1)][ln ()ln (1)]ln(e 2)n F F F n F F n F F n F n F n ++++=+++-+++>+故1ln (1)ln (2)ln ()ln(e 2)2n n F F F n n +*+++>+∈N ，成立. ………………（14分）20．解：（I ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=，得x a =或3a ，而()g x 在12a x -=处有极大值，∴112a a a -=⇒=-，或1323a aa -=⇒=；综上：3a =或1a =-． ………………………………（3分） （II ）假设存在，即存在(1,)3a x ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3ax ∈-，使得2(1)10x a x +-+<， ………………………………（4分）1当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>； ………………………………（5分）2当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，………（6分） a ∴无解；综上：3a >． ………………………………（7分）（III ）据题意有()10f x -=有3个不同的实根，()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或； ………………………………（8分）（ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，1 当3aa >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； ………………………………（9分）2 当3aa =即0a =时，不符合题意，舍；3当3a a <即0a >时，()f x 在3a x =处取得极大值，()13a f a >⇒>a > ………………………………（10分）因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故a >（注：343>a 也对）…………………（11分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同时成立；若存在0x 使得00()()1f x g x ==，由00()()f x g x =，即220000(1)x x ax a x a -=-+-+（），得20000(1)0x a x ax x --++=（），当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①；又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②； 联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当2a >时，函数()y H x =有5个不同的零点． ………………………（14分）。
广东省中山市高一级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试题
中山市高一级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间100分钟。
注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.5、参考公式：球的体积公式34,3V R π=球，其中R 是球半径． 锥体的体积公式V锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式V台体1()3h S S '=+，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1．已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 2．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ）A ．x y =B ．x y -=3C ．xy 1=D ．42+-=x y3．在同一坐标系中，函数y ＝x-2与y ＝log 2 x 的图象是( )．ABCD4．如左图是一个物体的三视图，则 此三视图所描述的物体是下列几何 体中的（ ）5．已知lg 2,lg3,a b ==则lg 45的值用a ，b 表示为 （ ） A ．21b a +-B ．12b a +-C ．3a b +D ．2a b b ++6．若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，得到如下参考数据：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为 A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.57．若213211()(),22a a +-<则实数a 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．1(,)2+∞C ．(,1)-∞D ．1(,)2-∞8．已知直线b kx y +=经过一、二、三象限，则有（ ）A ．k<0，b <0B ．k<0，b>0C ．k>0，b>0D ．k>0，b<09．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③10．若()21231log log log 0a a a x x x ++==>，则123,,x x x 之间的大小关系为（ ）.A ．3x <2x <1xB ．2x <1x <3xC ．1x <3x <2xD ．2x <3x <1x第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 11．点(1,1) 到直线:3430l x y ++=的距离为 .ABCD12．某同学利用TI-Nspire 图形计算器作图作出幂函数34()f x x =的图象如右图所示. 结合图象，可得到34()f x x =在区间[1,4]上的最大值为 .（结果用最简根式表示）13．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .14．过点P （3，0）的直线m ，夹在两条直线03:1=++y x l 与022:2=--y x l 之间的线段恰被点P 平分，那么直线m 的方程为三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分） （Ｉ）求值：022*******log 9log 3log 3log --+；（Ⅱ）设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且)2()(-=x f x f ，当x ∈[0，1]时，1)(+=x x f ，求)23(f 的值.16．（本小题满分14分）（Ｉ）求两条平行直线01243=-+y x 与068=++y mx 之间的距离； （Ⅱ）求两条垂直直线022=++y x 与024=-+y nx 的交点坐标.17．（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（Ｉ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.B 1 BDC 1A 118．（本小题满分13分）A 、B 两城相距100km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B两城供电，为保证城市安全.核电站距市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数25.0=λ.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月. （Ｉ）把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域； （Ⅱ）核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小.19．（本小题满分14分）已知函数2()21x f x a =-+，其中a 为常数. （Ｉ）当1a =时，讨论函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅲ）当3a =时，求函数()f x 的值域.20．（本小题满分14分）已知函数121()log 1kxf x x -=-为奇函数． （Ｉ）求常数k 的值；（Ⅱ）若1a b >>，试比较()f a 与()f b 的大小；（Ⅲ）若函数1()()()2x g x f x m =-+，且()g x 在区间[]3,4上没有零点，求实数m 的取值范围．中山市高一级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学科试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．B 2．A 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C 9．C 10．D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．2 12． 13．3- 14．248-=x y 三、解答题（本大题共5小题，共80分）15．解：（Ｉ）0; ………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）23121)21()21()223()23(=+==-=-=f f f f . ……………………（12分） 16．解： （Ｉ由平行知斜率相等，得6=m ； ……………………………………（3分）再由平行线的距离公式求得3=d ………………………………………………（7分） （Ⅱ）由垂直，得2-=n ；…………………………………………………………（10分） 交点为（-1，0） ………………………………………………………………（14分） 17．(Ｉ)证明：由题知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC=C ， 所以BC ⊥平面AC C 1A 1，又DC 1⊂平面AC C 1A 1，所以DC 1⊥BC. ………………………………………………………（3分）由题知∠A 1 DC 1=∠A DC=45o ,所以∠CDC 1=90 o ，即DC 1⊥DC ， …………………（5分） 又DC∩BC=C ，所以DC 1⊥平面BDC ，又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC. ……………………………………………………………………………………（7分） （Ⅱ）解：设棱锥B —DACC 1的体积为V 1，AC=1，由题意得 V 1 =211122131=⨯⨯+⨯…………………………（10分）又三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V=1，所以（V-V 1）:V 1=1:1,故平面BDC 1分此棱柱为两部分体积的比为1:1. …………………………（13分） 18．解. (Ｉ)y =5x 2+25(100—x )2=152x 2－500x +25000 （10≤x ≤90）； …………（6分）（Ⅱ）由y =152x 2－500x +25000＝15221003x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋500003. ……………………（10分） 则当x ＝1003米时，y 最小. …………………………………………（12分） 故当核电站建在距A 城1003米时，才能使供电费用最小. …………………………（13分）19．解：（Ｉ）1a =时，2()121x f x =-+，函数的定义域为R . ……………………（1分） 22()()(1)(1)2121x x f x f x --+=-+-++ …………………………………………（2分）=2222(21)221x x x x ---++ =2(21)221x x +-+=0 ……………………………………………………………（5分）∴ 1a =时，函数()f x 为奇函数. ………………………………………………（6分） （Ⅱ）设12x x <,则121222()()()()2121x x f x f x a a -=---++=12122(22)(21)(21)x x x x -++, …………（8分） 12x x < , 1212220,(21)(21)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<即12()()f x f x <. ……………………………（10分）所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. ……………………………（11分）（Ⅲ）3a =时，211x +> ,20221x ∴<<+, 22021x ∴-<-<+，213321x ∴<-<+.∴ 3a =时，函数()f x 的值域为(1,3). ………………………………………（14分） 20. 解：（Ｉ）∵ 121()log 1kxf x x -=-为奇函数∴ ()()f x f x -=-， ………………………………………………………………（1分） 即111222111log log log 111kx kx x x x kx+--=-=---- ………………………………………（2分） ∴1111kx x x kx+-=---，即22211k x x -=-，整理得21k =. ………………………（3分）∴ 1k =- （1k =使()f x 无意义而舍去） …………………………………（4分） （Ⅱ）121()log 1xf x x +=-. 1112221111()()log log log 1111a a ba f a fb b a b b +++--=-=+--- ……………………………………（5分）1122(1)(1)1log log (1)(1)1a b ab a b a b ab a b +--+-==-++-- ………………………………………（6分） 当1a b >>时，110ab a b ab a b +-->-+->， ……………………………………（7分） 所以1011ab a b ab a b -+-<<+--，从而11221log log 101ab a b ab a b -+->=+--， ………………………（8分） 即()()0f a f b ->.所以()()f a f b >. ………………………………………………（9分） （Ⅲ）由（2）知，()f x 在(1,)+∞递增， …………………………………………（10分） 所以1()()()2x g x f x m =-+在[]3,4递增. …………………………………（11分） ∵ ()g x 在区间[]3,4上没有零点， ∴ 3121119(3)log ()03128g m m +=-+=-+>- …………………………………（12分） 或4112214151(4)log ()log 0412316g m m +=-+=-+<-， ……………………（13分） ∴ 98m >或1215log 163m <-. ……………………………………………………（14分）。
广东省中山一中等六校2014届高三上学期第一次联考数学理试题
仲元中学 中山一中 南海中学2013—2014学年 高三第一次联考潮阳一中 宝安中学 普宁二中理 科 数 学本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第一部分 （选择题 满分40分）一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22 （ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -12．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)AB =+∞B ．(](),0UC A B =-∞C ．(){2,1,0}U C A B =--D ．(){1,2}U C A B =3．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a =（ ）A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－24. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =；④()21f x x +．其中“同簇函数”的是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④ 5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ）A ．16B ．163C ．64+163D ． 16+334正视图俯视图侧视图A 1C 6．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]7．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=( ) A .98 B .913 C ．98- D ．913- 8．定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-，其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合，则椭圆的方程为（ ） A ． 13822=+y x B ． 14922=+y x C ．18922=+y x D ．191622=+y x第二部分 （非选择题 满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9~13题）9．已知数列{}n a 的首项11=a ，若N n *∀∈，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．10．执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ．11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种(用数字作答) ．12．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内 （含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅的概率=p ．13.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k ，已知函数(),()(),()k f x f x k f x k f x k ≤⎧=⎨>⎩，取函数()f x =xe x ---3．若对任意的x ∈（-∞，+∞），恒有()kf x =()f x ，则k 的最小值为 ．（二）选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点π4⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分)设(6cos ,a x =, (cos ,sin 2)b x x =,()f x a b =⋅（1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合； （2）若锐角α满足()3f α=-4tan 5α的值．17．(本小题满分12分) 某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查． （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．第15题图18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ．F 、G 分别是CE 、AD 的中点．现将ADE ∆沿 AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为0135．（1）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ； （2）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．19．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量+与共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有(1)n n S m ma =+-（m 为正常数）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）数列{}n b 满足11112,,(2,)1n n n b b a b n n N b -+-==≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21. (本小题满分14分)设函数21()ln .2f x x ax bx =--(Ⅰ)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ)令21()()2a F x f x ax bx x =+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．2013-2014学年度高三第一次教学质量检测试题（理科数学）评分参考一、选择题 D C C C D D C B二、填空题 9．⎩⎨⎧-=是正偶数是正奇数 ， 2 , 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a ； 10．4； 11． 30；12．43； 13． 2； 14. cos 2ρθ= 15. 30º16．解：（1）解：2()6cos 2f x a b x x =⋅= …………………1分1cos 2622x x +=⨯3cos23x x =+ 1sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭…3分236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……4分 最小正周期22T π==π ……5分当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x 有最大值3，此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈．………7分（2）由()32f α=- c o s 2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭…9分又由02απ<<得 2666απππ<+<π+， 故26απ+=π，解得512α=π．……11分从而4tan tan 53απ== ………………12分17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分 来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分∴3502()12257P M ==． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分（3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分∴ξ的分布列为： … 12分18．（1）证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，,DECE E DE CE CDE =⊂，平面，∴ AE ⊥平面CDE ， ……3分AE ⊂平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ．……5分（2）（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系……6分 DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135，……7分1=AB ，2=BC ，21+=CD ，∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1）．……9分F 、G 分别是CE 、AD 的中点，∴F 1002（，，），G 11122-（，，） ……10分∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-，……11分由（1）知AE 是平面DCE 的法向量， ……12分设直线FG 与面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin ||||33||||22FG AE FG AE α⋅-===⋅⨯，故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为23． ……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分由（1）知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，22=EH ……8分因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135…9分在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 222211152(4224=+-⨯=（或25=FH ）……11分（列式1分，计算1分） ⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中， 2322=+=FH GH GF ……13分 所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为32sin ==∠GF GH GFH ……14分 19．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， ……1分离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ，∴2c c a ==∴2a =，21b =…… 3分 故椭圆C 的方程为2214x y +=．…… 4分 （2）假设椭圆C 上存在点P （00,x y ），使得向量+与共线，……5分00(,1)OP OA x y +=+，(FA =，∴001)x y =+ （1） ……6分又点P （00,x y ）在椭圆2214x y +=上，∴220014x y += （2） ……8分 由（1）、（2）组成方程组解得：(0,1)P -，或1()7P ， ……11分 当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =， 当点P的坐标为1()77P -时，直线AP440y -+=， 故直线AP 的方程为0y =440y -+=． ……14分20．解：（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．…………………1分当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．…………………2分 又m 为常数，且0m >，∴1(2)1n n a mn a m-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．……………………4分（2）解：1122b a ==…5分 ∵111n n n b b b --=+，∴1111n n b b -=+，即1111(2)n n n b b --=≥．…7分∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………8分∴1121(1)122n n n b -=+-⋅=，即2()21n b n N n *=∈-．……………………………9分（3）解：由（2）知221n b n =-，则122(21)n n nn b +=-．所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， …10分 即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ……11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ②………12分②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------，……………………13分故31112(12)2(21)22(23)612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分21.解：（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a b ==时，211()ln 42f x x x x =--，111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=……………………2分 令，解得 1.(0)x x =>因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减。
广东省中山一中2013-2014学年高一上学期第一次段考数学试题Word版含答案
中山一中2013学年度上学期第一次段考高 一 数 学 试 卷满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在答案卷指定的位置上。
） 1．设集合{}2,3,4A =，{}1,3B =，则A B =A. {}1B.{}2 C. {}3 D. {}1,2,3,42．函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像大致为3．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．x y lg =B ．2y x =- C ．1y x = D ．||y x x =4．下列各组函数中)(x f 和)(x g 相同的是A.0)(,1)(x x g x f == B. 2(),()(0)x f x g x x x x==≠ C 、⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈==)0,(,),0(,)(|,|)(x x x x x g x x f D. x xx g x f ==)(,1)(5．已知函数2(5)()(4)(5)x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(6)f 的值为A. 3-B. 1-C. 1D. 2-6（式中0a >）的分数指数幂形式为 A ．34a - B ．34aC ．43a -D ．43a7．已知a>0，且a≠1，则下述结论正确的是A ．8.0log log 23<πB ．1.33.09.07.1>C ．27.0a a <D ．6log 7log a a >8. 方程2x-1+x=5的解所在区间是A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)9. 函数y =的定义域是( )A.[1,)+∞B.2(,)3+∞C.(,1]-∞D.2(,1]310. 如果一个函数()f x 在其定义区间内对任意实数,x y 都满足 ()()()22x y f x f y f ++≤,则称这个函数是下凸函数,下列函数 (1) ()2;xf x = (2) 3();f x x = (3) 2()log (0);f x x x => (4) ,()2,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩中是下凸函数的有 A . (1),(2) B . (2),(3) C .(3),(4) D . (1),(4)二、填空题：(本题共4小题，每题5分共20分，答案填在答案卷指定的位置上)11．已知幂函数()y f x =的图像过点，则函数()f x =____________.12. 函数y =的定义域是 .13．若f (x)=(m-2)2x +mx+4 (x ∈R)是偶函数，则f (x)的单调递减区间为_______。
广东省中山市2013-2014学年高二数学上学期期末统一考试试题 理 新人教A版
中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．“1a >且2b >”是“3a b +>”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．焦点在y 轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是（ ）.A ．2216436y x -= B ．2213664y x -= C ．221169y x -= D ． 221916y x -= 3．如果函数y=ax 2+bx+a 的图象与x 轴有两个交点，则点（a,b ）在aOb 平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含y 轴）（ ）.A B C D4．已知1,1x y >>且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，则xy 有（ ）. A ．最大值e B ．最小值 e C e D e 5．设有一个质点位于A (1，1，–2)处, 在力F 2) 的作用下，该质点由A 位移到(3,4,22)B -时，力F 所作的功（S F W ·=）的大小为（ ）.A ．16B ．14C ．12D ．106．方程20mx ny +=与221(0)mx ny mn +=≠在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）.A B C D7．某同学对教材《选修2-2》上所研究函数31()443f x x x =-+的性质进行变式研究，并结合TI-Nspire 图形计算器作图进行直观验证（如右图所示），根据你所学的知识，指出下列错误的结论是（ ）.A ．()f x 的极大值为28(2)3f -= B ．()f x 的极小值为4(2)3f =- C. ()f x 的单调递减区间为(2,2)-D. ()f x 在区间[3,3]-上的最大值为(3)7f -=8．P 是以12,F F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ ）.A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．双曲线的一支第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）9．在等差数列{}n a 中，若3456790a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前9项的和为 .10．若命题“0x R ∃∈，200(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 .11．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于 ．12．在△ABC 中，有等式：① asinA=bsinB；② bsinC =csinB ；③ acosB=bcosA； ④sin sin sin a b c A B C+=+. 其中恒成立的等式序号为________. 13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 km . 14．已知下列命题：① 若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC +CD +DA =0；② ||||||a b a b +=+是a 、b 共线的充要条件；③ 若,,a b c 是空间三向量，则||||||a b a c c b -≤-+-；Ａ Ｏ Ｅ ＣＢ ④ 对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面.其中不正确的命题的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分） 如图，在树丛中为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C . 并测量得到图中的一些数据，此外，60CDA CEB ∠=∠=︒.（1）求ABC ∆的面积；（2）求A 、B 两点之间的距离.16．（13分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S .（1）若131,,a a 成等比数列，求1a ；（2）若519S a a >，求1a 的取值范围.17．（13分）人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪. 1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？最低花费是多少？18. （13分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；（2）求直线BE 与平面ABC 所成角的正弦值.19. （14分）已知直线:2l y x =与抛物线21:4C y x =交于(,)A A A x y 、(0,0)O 两点，过点O 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于点(,)B B B x y . 如右图所示.（1）求抛物线C 的焦点坐标；（2）求经过A 、B 两点的直线与y 轴交点M 的坐标；（3）过抛物线22x py =的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A 、B 的直线AB 是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由.20．（14分）已知函数2()sin cos f x x x x x =++.（1）求()f x 的最小值；（2）若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切，求a 与b 的值.（3）若曲线()y f x =与直线y b = 有两个不同的交点，求b 的取值范围.中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：ADCB BADB二、填空题：9．162； 10．[1,3]-； 11．8； 12．②④； 13．5； 14．②④.三、解答题：15．解：（1）Rt ACD∆中，16tan60AC=︒=2分）Rt BCE∆中，16tan60BC=︒=4分）ABC∆的面积为1sin301922ABCS∆=⨯︒=2()m. ………（6分）（2）ABC∆中，AB=………（9分）==…………………………………（11分）==13分）16．解：（1）因为数列{}na的公差1d=，且131,,a a成等比数列，所以2111(2)a a=⨯+，………………………………（3分）即21120a a--=，解得11a=-或12a=. ……………………………（6分）（2）因为数列{}na的公差1d=，且519S a a>,所以21115108a a a+>+，………………………………（9分）即2113100a a+-<，解得152a-<<.………………………（13分）17．解：设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总花费为z元，则目标函数为2821z x y=+，且,x y满足约束条件0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.060,0x yx yx yx y+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩，…………………………………………………………（3分）整理为775714614760,0x yx yx yx y+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩，……（5分）作出约束条件所表示的可行域，如右图所示. ………（7分）将目标函数2821z x y =+变形为4321z y x =-+. 如图，作直线0:28210l x y +=，当直线0l 平移经过可行域，在过点M 处时，y 轴上截距21z 最小，即此时z 有最小值. ……（9分）解方程组7751476x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点M 的坐标为14,77x y ==. …………………………………………………………………（11分） ∴ min 282116z x y =+= ……………………………………………（12分）∴ 每天需要同时食用食物A 约17kg （或0.143 kg ），食物B 约47kg （或0.571 kg ），能够满足日常饮食要求，且花费最低16元. ………………………………………（13分）18. 解：（1）以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……………………（2分）(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-=- ………（4分）cos <,EB AC >22,555-==-⋅ ………………………（6分） 所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25. ……………（7分） （2）设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知 ……………………………………（9分）取1(1,1,2)n =， …………………………………………（10分）cos <1,EB n >30306512=⋅-， …………………………………（12分） 所以直线BE 与平面ABC 所成角的正弦值为3030. …………………（13分） 19．解：（1）抛物线21:4C y x =的方程化为24x y =，所以24p =，2p =. ………（2分） ∴ 抛物线C 的焦点坐标为(0,1). ………………………………………（4分）（2）联立方程组2142y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得点A 坐标为(8,16). ……………………（6分）联立方程组21412y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点B 坐标为(2,1)-. ……………………（7分） 所以直线AB 的方程为1611(2)8(2)y x --=⨯+--， ……………………（8分） 令0x =，解得4y =. ∴ 点M 的坐标为(0,4). ……………………………………………（9分）（3）结论：过抛物线22x py =的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB 恒过定点(0,2)p . ……………………………（10分） 证明如下：设过抛物线22x py =的顶点的一条直线为y kx = （0k ≠），则另一条为1y x k=- 联立方程组22x py y kx⎧=⎨=⎩，解得点A 坐标为2(2,2)pk pk . …………………………（11分） 联立方程组221x py y x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得点B 坐标为222(,)p p k k -. ……………………………（12分） 所以直线AB 的方程为2222222()22()ppk p p k y x p k k pk k --=⨯+--， …………………………（13分） 令0x =，解得2y p =.∴ 直线AB 恒过定点(0,2)p . ………………………………………………………（14分）20. 解：（1）由2()sin cos f x x x x x =++，得()(2cos )f x x x '=+. …………………（1分）令()0f x '=，得0x =. ………………………………………………（2分） ()f x 与()f x '随x 的变化情况如下:……………………………………………………（4分）所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增，(0)1f =是()f x 的最小值. ………………………………………………………（5分）（2）因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，所以()(2cos )0f a a a '=+=，()b f a =， ……………………………（7分） 解得0a =，(0)1b f ==. ………………………………………………（9分）（3）当1b ≤时，曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点；当1b >时，2(2)(2)421f b f b b b -=≥-->421b b b -->，(0)1f b =<， 所以存在1(2,0)x b ∈-，2(0,2)x b ∈，使得12()()f x f x b ==. ………（12分） 由于函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞上均单调，所以当1b >时曲线()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点. ………………………………（13分） 综上可知，如果曲线()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点,那么b 的取值范围是(1,)+∞. ……………………………………………………（14分）。
广东省中山市高二数学上学期期末试题 文 新人教A版
中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．“1a>且2b>”是“3a b+>”的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．焦点在x轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是（）.A．2216436x y-=B．2213664x y-=C．221169x y-=D．221916x y-=3．曲线34y x x=-在点(1,3)-处的切线倾斜角为（）.A．34πB．2πC．4πD．6π4．如果函数y=ax2+bx+a的图像与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含y轴）（）.A B C D5．海上有,A B两个小岛相距2，从A岛望C岛和B岛所成的视角为60︒，从B岛望C 岛和A 岛所成的视角为75︒，则B 岛和C 岛之间的距离BC =（ ）km ． A ．10B ．103C ．20D ．1026．已知1,1x y >>且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，则xy 有（ ）.A ．最大值eB ．最大值eC ．最小值 eD ．最小值e7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（ ）. A ．4 kmB ．5 kmC ．6 kmD ．7 km8．方程20mx ny +=与221(0)mx ny mn +=≠在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）.A B C D9．椭圆2214x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则P 到F 2 的距离为（ ）. A ．3 B ．3 C ．72D ．410．某同学对教材《选修1-1》上所研究函数31()443f x x x =-+的性质进行变式研究，并结合TI -Nspire 图形计算器作图进行直观验证（如右图所示），根据你所学的知识，指出下列错误的结论是（ ）.A ．()f x 的极大值为28(2)3f -=B ．()f x 的极小值为4(2)3f =-C. ()f x 的单调递减区间为(2,2)-D. ()f x 在区间[3,3]-上的最大值为(3)7f -=第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上） 11．在等差数列{}n a 中，若3456790a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前9项的和为 . 12. 若命题“x R ∀∈，210x ax ++≥”是真命题，则实数a 的取值范围为 .13．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于 ．14．在△ABC 中，有等式：① asinA=bsinB ；② bsinC=csinB ；③ acosB=bcosA ；④sin sin sin a b cA B C+=+. 其中恒成立的等式序号为________. 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（13分）已知函数y =x 3－3x 2. （1）求函数的极小值； （2）求函数的递增区间. 16．（13分） 如图，在树丛中为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C . 并测量得到图中的一些数据，此外，60CDA CEB ∠=∠=︒. （1）求ABC ∆的面积；（2）求A 、B 两点之间的距离. 17．（13分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S .（1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围.18．（13分）人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪. 1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？19．（14分）已知函数2()sin cos f x x x x x =++. （1）求()f x 的最小值；（2）若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切，求a 与b 的值.20．（14分）已知直线:2l y x =与抛物线21:4C y x =交于(,)A A A x y 、(0,0)O 两点，过点O 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于点(,)B B B x y .如右图所示.（1）求抛物线C 的焦点坐标；（2）求经过A 、B 两点的直线与y 轴交点M 的坐标；（3）过抛物线214y x =的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A 、B 的直线AB 是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由.中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（文科）答案一、选择题：ADACB CBACD二、填空题：11. 162； 12. [2,2]-； 13. 8； 14. ②④.三、解答题： 15. 解：（1） ∵ y=x 3－3x 2， ∴ 'y =3x 2－6x 3(2)x x =-，……………………………（3分）当02x <<时，'0y <；当2x >时，'0y >. …………………………………（6分） ∴ 当x =2时，函数有极小值-4. …………………………………………………（8分） （2）由'y =3x 2-6x >0，解得x <0或x >2， …………………………………………（11分）∴ 递增区间是(,0)-∞，(2,)+∞. ………………………………………………（13分） 16. 解：（1）Rt ACD ∆中，16tan 60AC =︒=g . ………………………………（2分）Rt BCE ∆中，16tan 60BC =︒=g ………………………………………………（4分）∴ ABC ∆的面积为1sin301922ABC S ∆=⨯︒= 2()m . ………………（6分）（2）ABC ∆中，AB ……………（9分）== ………………………………………（11分）== ……………………………………………………………………（13分） 17. 解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列，所以2111(2)a a =⨯+， …………………………………………（3分） 即21120a a --=，解得11a =-或12a =. ………………………………………（6分） （2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >,所以21115108a a a +>+， …………………………………………（9分） 即2113100a a +-<，解得152a -<<.………………………………（13分）18. 解：设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总花费为z 元，则目标函数为2821z x y =+，且,x y 满足约束条件0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.060,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩， ………（3分）整理为775714614760,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩， ………（5分）作出约束条件所表示的可行域， 如右图所示. ………………（7分） 将目标函数2821z x y =+变形为4321zy x =-+. 如图，作直线0:28210l x y +=，当直线0l 平移经过可行域，在过点M 处时，y 轴上截距21z最小，即此时z 有最小值. ………………………………（9分）解方程组7751476x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点M 的坐标为14,77x y ==. ……………………（12分）∴ 每天需要同时食用食物A 约17kg ，食物B 约47kg. ……………（13分） 19. 解：（1）由2()sin cos f x x x x x =++，得()(2cos )f x x x '=+. …………………（2分） 令()0f x '=，得0x =. ………………………………………………………………（4分）()f x 与()f x '随x 的变化情况如下:(,0)0(0,)()0()1x f x f x -∞+∞'-+]Z……………………………………………………（6分） 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增，(0)1f =是()f x 的最小值. ……………………………………………………………………………………（7分） （2）因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，所以()(2cos )0f a a a '=+=，()b f a =， ……………………………………（10分） 解得0a =，(0)1b f ==. ……………………………………………………………（14分） 20. 解：（1）抛物线21:4C y x =的方程化为24x y =，所以24p =，2p =. ………（2分） ∴ 抛物线C 的焦点坐标为(0,1). ……………………………………………………（4分） （2）联立方程组2142y xy x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得点A 坐标为(8,16). ………………………………（6分）联立方程组21412y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点B 坐标为(2,1)-. ……………………………………（7分）所以直线AB 的方程为1611(2)8(2)y x --=⨯+--， ……………………………………（8分）令0x =，解得4y =. ∴ 点M 的坐标为(0,4). …………………………………（9分）（3）结论：过抛物线214y x =的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB 恒过定点(0,4). ………………………………………（10分） 证明如下： 设过抛物线214y x =的顶点的一条直线为y kx = （0k ≠），则另一条为1y x k=- 联立方程组214y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得点A 坐标为2(4,4)k k . ………………………………（11分）联立方程组2141y x y xk ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点B 坐标为244(,)k k -. ………………………………（12分）所以直线AB 的方程为2224444()44()k k y x k k k k--=⨯+--， ………………………………（13分） 令0x =，解得4y =. ∴ 直线AB 恒过定点(0,4). ………………………（14分）。
广东省中山一中2013-2014学年高一上学期第一次段考数学试题 含答案
中山一中2013学年度上学期第一次段考高 一 数 学 试 卷 满分150分,时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母填在答案卷指定的位置上。
) 1．设集合{}2,3,4A =,{}1,3B =，则AB =A 。
{}1 B. {}2 C 。
{}3 D. {}1,2,3,42．函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像大致为3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．x y lg =B ．2y x =- C ．1y x =D ．||y x x =4．下列各组函数中)(x f 和)(x g 相同的是ks5uA 。
0)(,1)(x x g x f == B 。
2(),()(0)x f x g x x x x ==≠C 、⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈==)0,(,),0(,)(|,|)(x x x x x g x x f D 。
xx x g x f ==)(,1)(5．已知函数2(5)()(4)(5)x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(6)f 的值为 A 。
3- B.1-C 。
1D 。
2-611a a(式中0a >）的分数指数幂形式为A ．34a -B ．34aC ．43a -D ．43a7．已知a 〉0，且a≠1，则下述结论正确的是 A ．8.0log log 23<π B ．1.33.09.07.1> C ．27.0a a < D ．6log 7log aa >8。
方程2x —1+x=5的解所在区间是ks5uA. (0,1) B 。
（1,2) C 。
（2，3） D 。
（3,4） 9. 函数y =的定义域是( ）A 。
[1,)+∞ B.2(,)3+∞ C.(,1]-∞ D 。
2(,1]310。
如果一个函数()f x 在其定义区间内对任意实数,x y 都满 足()()()22x y f x f y f ++≤,则称这个函数是下凸函数,下列函数 （1) ()2;x f x = （2) 3();f x x = （3） 2()log (0);f x x x =>(4),0()2,0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩中是下凸函数的有 A 。
广东省中山一中2013-2014学年高二数学上学期第一次段考试题 理 新人教A版
中山市第一中学2013-2014学年度上学期第一次段考高二数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第一部分 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在ABC △中，45B =，60C =，1c =，则边长b = （ ）A ．12 D ．2．已知ABC △中，6AB =，30A =，120B =，则ABC △的面积为( )A ．9B ．18C ．93D ．1833．若一元二次不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于 （ ） A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．104．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14611,6a a a =-+=-，则当n S 取最小值时，n 等于 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．6或75．对于任意实数,,,a b c d ，①22,a b a b >>若则；②22,bc ac b a >>则若；③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．以上结论正确的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．下列函数中，最小值为2的是 （ ）A ．3(,0)3x y x R x x =+∈≠B ．1lg (110)lg y x x x=+<< C ．33x x y -=+ D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 7．在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意 实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A. 20<<a ；B. 11<<-a ；C. 2123<<-a ； D. 2321<<-a . 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12n n S S S T n +++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（ ）A ．2002B ．2004C ．2006D ．2008第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9．函数()2lg 441y x x =-+的定义域为 ． 10．若3x >，则函数13y x x =+-的最小值为 ． 11．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则 公比q =__________．12．数列{}n a 中，),()1(2,211*+∈++==N n n n a a a n n 则}{n a 通项公式为 ． 13．已知锐角三角形的三边长分别为1、3、a ，则实数a 的取值范围是 ．14．若数列{}()为常数满足d N n d a a a n n n ,111*+∈=-，则称数列{}n a 为“调和数列”． 已知正项数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“调和数列”，且90921=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++b b b ，则46b b ⋅的 最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
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中山市高一级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间100分钟。
注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.5、参考公式：球的体积公式34,3V R π=球，其中R 是球半径． 锥体的体积公式V锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式V台体1()3h S S '=，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1．已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 2．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ）A ．x y =B ．x y -=3C ．xy 1=D ．42+-=x y3．在同一坐标系中，函数y ＝x-2与y ＝log 2 x 的图象是( )．ABCD4．如左图是一个物体的三视图，则 此三视图所描述的物体是下列几何 体中的（ ）5．已知lg 2,lg3,a b ==则lg45的值用a ，b 表示为 （ ） A ．21b a +-B ．12b a +-C ．3a b +D ．2a b b ++6．若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，得到如下参考数据：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.57．若213211()(),22a a +-<则实数a 的取值范围是 A ．(1,)+∞B ．1(,)2+∞C ．(,1)-∞D ．1(,)2-∞8．已知直线b kx y +=经过一、二、三象限，则有（ ）A ．k<0，b <0B ．k<0，b>0C ．k>0，b>0D ．k>0，b<09．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③10．若()21231log log log 0a a a x x x ++==>，则123,,x x x 之间的大小关系为（ ）.A ．3x <2x <1xB ．2x <1x <3xC ．1x <3x <2xD ．2x <3x <1x第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 11．点(1,1) 到直线:3430l x y ++=的距离为 .ABCD12．某同学利用TI-Nspire 图形计算器作图作出幂函数34()f x x =的图象如右图所示. 结合图象，可得到34()f x x =在区间[1,4]上的最大值为 .（结果用最简根式表示）13．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .14．过点P （3，0）的直线m ，夹在两条直线03:1=++y x l 与022:2=--y x l 之间的线段恰被点P 平分，那么直线m 的方程为三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分） （Ｉ）求值：222220133log 9log 3log 3log --+； （Ⅱ）设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且)2()(-=x f x f ，当x ∈[0，1]时，1)(+=x x f ，求)23(f 的值.16．（本小题满分14分）（Ｉ）求两条平行直线01243=-+y x 与068=++y mx 之间的距离； （Ⅱ）求两条垂直直线022=++y x 与024=-+y nx 的交点坐标. 17．（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（Ｉ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.B 1 BDC 1A 118．（本小题满分13分）A 、B 两城相距100km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B两城供电，为保证城市安全.核电站距市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数25.0=λ.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月. （Ｉ）把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域； （Ⅱ）核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小.19．（本小题满分14分）已知函数2()21x f x a =-+，其中a 为常数. （Ｉ）当1a =时，讨论函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅲ）当3a =时，求函数()f x 的值域.20．（本小题满分14分）已知函数121()log 1kxf x x -=-为奇函数．（Ｉ）求常数k 的值；（Ⅱ）若1a b >>，试比较()f a 与()f b 的大小；（Ⅲ）若函数1()()()2xg x f x m =-+，且()g x 在区间[]3,4上没有零点，求实数m 的取值范围．中山市高一级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学科试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．B 2．A 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C 9．C 10．D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．2 12． 13．3- 14．248-=x y 三、解答题（本大题共5小题，共80分）15．解：（Ｉ）0; ………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）23121)21()21()223()23(=+==-=-=f f f f . ……………………（12分） 16．解： （Ｉ由平行知斜率相等，得6=m ； ……………………………………（3分）再由平行线的距离公式求得3=d ………………………………………………（7分） （Ⅱ）由垂直，得2-=n ；…………………………………………………………（10分） 交点为（-1，0） ………………………………………………………………（14分） 17．(Ｉ)证明：由题知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC=C ， 所以BC ⊥平面AC C 1A 1，又DC 1⊂平面AC C 1A 1，所以DC 1⊥BC. ………………………………………………………（3分）由题知∠A 1 DC 1=∠A DC=45o ,所以∠CDC 1=90 o ，即DC 1⊥DC ， …………………（5分） 又DC∩BC=C ，所以DC 1⊥平面BDC ，又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC. ……………………………………………………………………………………（7分） （Ⅱ）解：设棱锥B —DACC 1的体积为V 1，AC=1，由题意得 V 1 =211122131=⨯⨯+⨯…………………………（10分）又三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V=1，所以（V-V 1）:V 1=1:1,故平面BDC 1分此棱柱为两部分体积的比为1:1. …………………………（13分） 18．解. (Ｉ)y =5x 2+25(100—x )2=152x 2－500x +25000 （10≤x ≤90）； …………（6分）（Ⅱ）由y =152x 2－500x +25000＝15221003x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋500003. ……………………（10分） 则当x ＝1003米时，y 最小. …………………………………………（12分） 故当核电站建在距A 城1003米时，才能使供电费用最小. …………………………（13分）19．解：（Ｉ）1a =时，2()121x f x =-+，函数的定义域为R . ……………………（1分）22()()(1)(1)2121x x f x f x --+=-+-++ …………………………………………（2分）=2222(21)221x x x x ---++=2(21)221x x +-+=0 ……………………………………………………………（5分）∴ 1a =时，函数()f x 为奇函数. ………………………………………………（6分） （Ⅱ）设12x x <,则121222()()()()2121x x f x f x a a -=---++=12122(22)(21)(21)x x x x -++, …………（8分） 12x x <, 1212220,(21)(21)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<即12()()f x f x <. ……………………………（10分）所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. ……………………………（11分）（Ⅲ）3a =时，211x +>,20221x ∴<<+, 22021x ∴-<-<+，213321x∴<-<+. ∴ 3a =时，函数()f x 的值域为(1,3). ………………………………………（14分） 20. 解：（Ｉ）∵ 121()log 1kxf x x -=-为奇函数 ∴ ()()f x f x -=-， ………………………………………………………………（1分） 即111222111log log log 111kx kx x x x kx +--=-=---- ………………………………………（2分） ∴1111kx x x kx+-=---，即22211k x x -=-，整理得21k =. ………………………（3分）∴ 1k =- （1k =使()f x 无意义而舍去） …………………………………（4分） （Ⅱ）121()log 1xf x x +=-. 1112221111()()log log log 1111aa ba f a fb b a b b +++--=-=+--- ……………………………………（5分）1122(1)(1)1log log (1)(1)1a b ab a b a b ab a b +--+-==-++-- ………………………………………（6分）当1a b >>时，110ab a b ab a b +-->-+->， ……………………………………（7分） 所以1011ab a b ab a b -+-<<+--，从而11221log log 101ab a b ab a b -+->=+--， ………………………（8分） 即()()0f a f b ->.所以()()f a f b >. ………………………………………………（9分） （Ⅲ）由（2）知，()f x 在(1,)+∞递增， …………………………………………（10分）所以1()()()2xg x f x m =-+在[]3,4递增. …………………………………（11分）∵ ()g x 在区间[]3,4上没有零点， ∴ 3121119(3)log ()03128g m m +=-+=-+>- …………………………………（12分） 或4112214151(4)log ()log 0412316g m m +=-+=-+<-， ……………………（13分） ∴ 98m >或1215log 163m <-. ……………………………………………………（14分）。