2019年高考数学二轮复习专题四数列4.2.2数列中的证明及存在性问题课件文

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解 (1)由条件可得 an+1=2(���������+��� 1)an.
将 n=1 代入得,a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4.
将 n=2 代入得,a3=3a2,所以 a3=12.
从而 b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列.
由条件可得������������+1
(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:������21-������1 + ������31-������2+…+������������+11-������������<1.
(1)解 设等差数列{log2(an-1)}的公差为d.
由a1=3,a3=9,得log22+2d=log28,即d=1.
∴log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.
(2)证明
∵1
������������+1-������������
=
1 2������+1-2������
=
21������,
∴1
������2-������1
+
������31-������2+…+������������+11-������������
4.2.2 数列中的证明及存
在性问题
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等差(比)数列的判断与证明
设例bn=1(���2���������������0.18全国Ⅰ,文17)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.
(1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式.
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(1)解 4Sn=an(an+2),①
当 n=1 时,4a1=������12+2a1,即 a1=2;
当 n≥2 时,4Sn-1=an-1(an-1+2).②
由①-②得 4an=���������2��� − ���������2���-1+2an-2an-n-an-1).
解 (1)设{an}的公比为 q.
由题设可得
������1(1 ������1(1
+ +
������) = 2, ������ + ������2)
=
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解得 q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为 an=(-2)n.
(2)由(1)可得 Sn=������1(11--������������������)=-23+(-1)n2���3���+1.
或 ������������+1
������������
为同一常
数.
(2)通项公式法:若an=kn+b(n∈N*),则{an}为等差数列;若 an=pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列.
(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列; 若���������2��� =an-1·an+1 (n∈N*,n≥2),则{an}为等比数列.
由于
Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2������+33-2������+2=2
-
2 3
+ (-1)������
2������+1 3
=2Sn,
故 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列.
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数列型不等式的证明 例2设Sn是数列{an}的前n项和,an>0,且4Sn=an(an+2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(������������-1)1(������������+1),Tn=b1+b2+…+bn,求证:Tn<12.
������+1
=
2������������ ������
,即
bn+1=2bn,又
b1=1,
所以{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. (3)由(2)可得������������������=2n-1,
所以 an=n·2n-1.
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解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法.
(1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an
∵an>0,
∴an-an-1=2,
∴an=2+2(n-1)=2n.
(2)证明
∵bn=(������������-1)1(������������+1)
=
1 (2������-1)(2������+1)
=
1 2
1 2������-1
-
1 2������+1
,
∴Tn=b1+b2+…+bn=12
1-
1 3
=211
+
1 22
+
213+…+21������
=12-211���-���12×
1
2=1-21������<1.
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数列中的存在性问题
例3已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为 常数.
(1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. (1)证明 由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1. 因为an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)解 由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4. 由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n} 是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
+
1 3
−
15+…+2���1���-1
−
1 2������+1
=
1 2
1-
1 2������+1
< 12.
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解题心得要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种 思路:一是先求和,再对和式放缩;二是先对数列的通项放缩,再求数 列的和,必要时对其和再放缩.
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对点训练2已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.
2.对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题, 解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相 减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.
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对点训练1设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.