大学物理 简谐振动
大学物理-11第十一讲简谐振动、振动能量、旋转矢量法
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
力使 减小.
mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A
Ox
17
例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2
大学物理简谐振动
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
大学物理 第9章 简谐振动
9.2 简谐振动的规律 9.3 简谐振动的合成
9.1 简谐振动的定义
9.1.1 弹簧振子的振动
9.1.2 简谐振动的定义
9.1.3 单摆的运动规律
9.1.4 LC振荡回路中电容器 上电量的变化规律
振动是与人类生活和科学技术密切相关的一种 基本运动形式。
广义的振动 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
下面我们重点对合振动的振幅进行讨论
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 2
t 2 t 1 2 1
讨论：两种特殊情况
(1) 21=2k (k=0,1,2,…) 两分振动同相
A A1 A 2
o
考虑方向 F mg 简谐振动！
mg
0
F ma mg
t 0
l
又 a
l d
2
dv dt
l
d
2
dt
2
T
F
O
dt
2
g
即
d 2 g 0 2 l dt
d （v l ） dt
mg
g l
2 T 2
2
x
A x A y cos t
2 2
（2）相位差 y x ，轨迹方程为
x Ax y Ay 0
x
2 2
y
2 2
2
xy Ax Ay
cos(
Ax
Ay
y
x ) sin (
2
y
大学物理：简谐振动及其表述
简谐振动的运动学方程
证明一个运动是简谐振动的三个判据。
f kx
d x dt
2 2
x 0
2
x A co s t
2
第六章
机械振动
大学 物理
6-1 简谐振动 振幅A： 即振子偏离平衡位置的最大值。 x A co s t
速度：
v dx dt A sin t ;
当物体运动至某点x时，
l
v0
mg k x l m
d x dt
2
2
m m
o
x
整理可得
d x dt
2
2
k m
x0
由此可知物体作简谐振动。
第六章 机械振动
X
11
大学 物理
6-1 简谐振动
d x dt
2 2
k m
x0
k m
10(rad s
1
)
振动方程为
x A co s t ， 速 度 方 程 为
T 2
T
2
1 T
2
2
角频率
3
第六章
机械振动
大学 物理
相位:
t
位相或周相
6-1 简谐振动 x A co s t
v A sin t
确定质点在任一时刻运动状态的物理量 初相位：
为 t 0时 的 相 位 , 称 为 初 相 .
例 . 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧 伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它 具有 1m s 1 的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物 体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
大学物理简谐振动知识点及试题带答案
简谐振动一、基本要求1、掌握简谐振动的定义，描述简谐振动的各物理量及其相互关系，会根据定义来判断一各物体的运动是不是简谐振动。
2、掌握简谐振动的旋转矢量表示法。
3、掌握简谐振动的基本特征，能根据一定的初始条件写出简谐振动的运动方程。
4、掌握同方向频率的两个简谐振动的合成，了解相互垂直同频率的简谐振动的合成。
二、主要内容1、简谐振动的表达式（运动方程） cos()x A t ωϕ=+三个特征量：振幅A ，决定与振动的能量；角频率ω，决定于振动系统的固有属性； 初相位ϕ，决定于振动系统初始时刻的状态。
简谐运动可以用旋转矢量来表示。
2、振动的相位：()t ωϕ+两个振动的相差：同相2k ϕπ∆=，反相(21)k ϕπ∆=+3、简谐振动的运动微粉方程：2220d x x dtω+=4、简谐振动的实例弹簧振子：220,2d x k x T dt m π+==单摆小角度振动：220,2d g T dt l θθ+==LC振荡：2210,2d q q T dt LCπ+== 5、简谐振动的能量：222111()222k P dx E E E m kx kA dt =+=+= 6、两个简谐振动的能量（1）同方向同频率的简谐振动的合成合振动是简谐振动，合振动的振幅和初相位由下式决定A =11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+（2）相互垂直的两个同频率的简谐振动的合成合运动的轨迹一般为椭圆，其具体形状决定于两个分振动的相差和振幅。
当2k ϕπ∆=或(21)k π+时，合运动的轨迹为直线，这时质点在做简谐振动。
三、习题与解答1、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。
第一个质点的振动方程为)cos(1ϕω+=t A x 。
某时刻当第一个质点正在平衡位置向负方向运动时，第二个质点正在最大位移处。
则第二个质点的振动方程为：（ B ）（A ）)2cos(2πϕω++=t A x （B ）)2cos(2πϕω-+=t A x（C ）)23cos(2πϕω-+=t A x （D ）)cos(2πϕω++=t A x 2、一物体做简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A-且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为：（ D ）3、一质点作简谐振动，振动方程)cos(ϕω+=t A x ，当时间 t =T/4 时，质点的速度为：( C )（A ） ϕωsin A - (B) ϕωsin A （C ）ϕωcos A - （D ）ϕωcos A4、一质点作谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为（ A ）（A ）T /6（B ）T /12 （C）T /4 （D ）T /85、有两个沿x 轴做简谐运动的质点，其频率、振幅皆相同，当第一个质点自平衡位置向负方向运动时，第二个质点在处（A 为振幅）也向负方向运动，则两者的相位差（12ϕϕ-）为：（ C ）2Ax -=（A ）2π （B ）32π （C ）6π （D ）65π6、质量为10×10－3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3x t ππ=+(SI)的规律做谐振动，求：(1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)t 2＝5 s 与t 1＝1 s 两个时刻的位相差. 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：3/2,s 412,8,m 1.00πφωππω===∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅2.632==A a m ω2s m -⋅(2) N 63.0==ma F mJ 1016.32122-⨯==m mv E J 1058.1212-⨯===E E E k p当p k E E =时，有p E E 2=， 即)21(212122kA kx ⋅= ∴ m 20222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t7、一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表出.如果t ＝0时质点的状态分别是：(1)x 0＝－A ；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过2Ax =处向负向运动； (4)过x =处向正向运动.试求出相应的初位相，并写出振动方程.解：因为 ⎩⎨⎧-==000sin cos ϕωϕA v A x将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1πππϕ+==t T A x)232cos(232πππϕ+==t T A x)32cos(33πππϕ+==t T A x)452cos(454πππϕ+==t T A x8、一质量为10×10－3 kg 的物体做谐振动，振幅为24 cm ，周期为4.0 s ，当t ＝0时位移为＋24 cm.求：(1)t ＝0.5 s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x ＝12 cm 处所需的最短时间； (3)在x ＝12 cm 处物体的总能量. 解：由题已知 s 0.4,m 10242=⨯=-T A ∴ 1s rad 5.02-⋅==ππωT又，0=t 时，0,00=∴+=ϕA x 故振动方程为m )5.0cos(10242t x π-⨯=(1)将s 5.0=t 代入得0.17m m )5.0cos(102425.0=⨯=-t x πN102.417.0)2(10103232--⨯-=⨯⨯⨯-=-=-=πωxm ma F方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00=ϕ，t t =时 3,0,20πϕ=<+=t v A x 故且 ∴ s 322/3==∆=ππωϕt (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222--⨯=⨯⨯⨯===πωA m kA E9、有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0 g 的物体时，伸长为4.9 cm.用这个弹簧和一个质量为8.0 g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0 cm 后，给予向上的初速度v 0＝5.0 cm·s －1，求振动周期和振动表达式. 解：由题知12311m N 2.0109.48.9100.1---⋅=⨯⨯⨯==x g m k 而0=t 时，-12020s m 100.5m,100.1⋅⨯=⨯-=--v x ( 设向上为正)又 s 26.12,51082.03===⨯==-ωπωT m k 即 m102)5100.5()100.1()(22222220---⨯=⨯+⨯=+=∴ωv x A45,15100.1100.5tan 022000πφωϕ==⨯⨯⨯=-=--即x v ∴ m )455cos(1022π+⨯=-t x10、图为两个谐振动的x －t 曲线，试分别写出其谐振动方程.题10图解：由题10图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-⋅==ππωT故 m )23cos(1.0ππ+=t x a 由题10图(b)∵0=t 时，35,0,2000πϕ=∴>=v A x 01=t 时，35,0,2000πϕ=∴>=v A x又 ππωϕ253511=+⨯=∴ πω65=故 m t x b )3565cos(1.0ππ+=11、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20 m ，位相与第一振动的位相差为6π，已知第一振动的振幅为0.173 m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差.解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知01.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos 222122122=⨯⨯⨯-+=︒-+=A A A A A ∴ m 1.02=A 设角θ为O AA 1，则θcos 22122212A A A A A -+=即 01.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos 2222122221=⨯⨯-+=-+=A A A A A θ 即2πθ=，这说明，1A 与2A 间夹角为2π，即二振动的位相差为2π.12、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1)125cos(3),375cos(3);3x t cm x t cm ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(2)125cos(3),345cos(3).3x t cm x t cm ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解： (1)∵ ,233712πππϕϕϕ=-=-=∆ ∴合振幅 cm 1021=+=A A A (2)∵ ,334πππϕ=-=∆∴合振幅 0=A13、一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为120.4cos(2),650.3cos(2).6x t m x t m ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振幅和初相，并写出谐振动方程. 解：∵ πππϕ=--=∆)65(6 ∴ m 1.021=-=A A A 合3365cos 3.06cos 4.065sin3.06sin4.0cos cos sin sin tan 22122211=+-⨯=++=ππππϕϕϕϕφA A A A ∴ 6πϕ=其振动方程为m )62cos(1.0π+=t x14、若简谐运动方程为0.10cos(200.25)()x t m ππ=+，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）2t s =时的位移、速度和加速度。
大学物理(简谐振动篇)PPT课件
cost 0≤1
x ≤A ——振动的强弱
3. T ——周期
振动状态重复一次所需要的时间,描述振动的快慢.
A c o s [( t T ) 0 ] A c o s (t 0 )
T 2π
T 2π
1 ——振动的频率
T 物体在单位时间内发生完全振动的次数
第11章 机械振动
10
2π ——角频率（圆频率）.
大学物理下册
目录：
第四篇 振动和波动：(12)
第十一章 机械振动(5)
第十二章 机械波(7)
第五篇 光学：(18)
第十三章 几何光学 第十四章 波动光学(6\8\4)
第二篇 热学：(14)
第四章 气体动理论（6） 第五章 热力学（8）
第六篇 近代物理基础：(2)
第十五章 狭义相对论基础
第十六章 从经典物理到量子物理
精选PPT课件 4
第十一章 机械振动
什么是振动？
一个物理量（如位置、电量、电流、电压、温度……） 在某一确定值附近随时间作周期性的变化，则该物理量的 运动形式称为振动。
机械振动 ：位移x 随时间t 的往复变化 电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复变化
微观振动：如晶格点阵上原子的振动
振动分类
振动
受迫振动 自由振动
当t＝0时， x0 1cm, 0 0 , 试写出振动方程。
解 取平衡位置为坐标原点
简谐振动的表达式： xAcos(t0)
由初始条件： x0 1cm, 0 0
x0
Acos0
,cos0
x0 A
1 2
0
3
0Asin00
sin0
0, 0
－ 3
振动方程： x 2cos( k t )
大学物理 9.3简谐振动的合成
三、两个相互垂直、同频率简谐振动的合成
1.分振动 x A1 cos( t 1) y A2 cos( t 2 )
2. 合振动
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
cos( 2
1)
sin 2 (2
1)
讨论 当 = 2 − 1= 0时:
动
A
A 2
2 1
2
A 1
1
x
x
2
x x1x1 x2
讨论:
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
(1)若两分振动同相,即 2 1=2k k 0,1,2
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强，当 A1=A2 时 , A=2A1
9.3 简谐振动的合成
一、两个同方向、同频率简谐振动的合成
1. 分振动 : 2. 合振动 :
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
( A1 cos1 A2 cos2 ) cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 )sin t
(2)若两分振动反相,即 2 1=(2k+1) k 0,1,2
则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱，当 A1=A2 时, A=0
二、两个同方向不同频率简谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
2. 合振动 : x x1 x2
2 A cos(
2
1
t) cos(
大学物理第九章简谐运动
t 确定, 振动状态确定
O
A
O X X
初相位：=/3
判断： t = 0, 振子的初位移、初速度 x0=A/2, v0<0（向x轴负方向运动）
用旋转矢量描述简谐振动：
O
O X 判断： t = 0,
A
X
=/2
振子的初位移、初速度
x0=0, v0<0 （向x轴负方向运动）
用旋转矢量描述简谐振动：
14
讨论
相位差：表示两个相位之差
（1）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）. x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1 )
2 1
15
合成
简谐运动 谐振子 分解 复杂振动
作简谐运动的物体
8
弹簧振子的振动模型
弹簧和一谐振子组成的振动系统。
l0 k
m
x
C
o
B
x xB F FB
x 0 F 0 平衡位置
x xc v 0
9
振动的成因
a 回复力
b 惯性
10
弹簧振子的动力学分析
F
o
F kx ma
2
m
x
解得 x A cos(t )
简谐运动方程
积分常数，根据初始条件确定
12
由 x A cos(t )
简谐运动方程
简谐振动的各 阶导数也都作 简谐振动
dx 得 v A sin(t ) dt A cos t 2 d2 x a 2 A 2 cos(t ) dt
大学物理(一)_ 简谐振动_41运动方程及特征量_
弹簧振子周期
T = 2π m
k
单摆周期
T = 2π l
g
表示一个质点一秒内振动的次数
2π T 表示一个质点2π 秒内振动的次数
简谐振动方程
y = A co s(ω t + ϕ )
三、特征量
1 振幅 A = ym ax
2 周期、频率、角频率
y
A o
−A
y−t 图
T
t
T
2
y = A c o s (ω t + ϕ ) = A cos[ ω ( t + T ) + ϕ ]
压，电磁场中电场强度和磁场强度
合成 3．最简单、最基本的振动是简谐振动
简谐振动 分解 复杂振动
§4-1 简谐振动的运动方程及特征量
一、简谐振动的定义
切向合力：在振动方向上所受合力
F t = − ky
Ft
=
mat
=
d2y m
dt 2
=
−ky
at
=
d 2y dt 2
=
−
k m
y
k =ω2
m
d 2y dt 2
= 2π
l （周期）
g
周期由系统本身性质决定
微振动是谐振动
二、简谐振动的振动表达式
解方程
d2 y dt2
+
ω
2y
=
0
简谐振动的微分方程
解得 y = A c o s ( ω t + ϕ )
简谐振动方程
积分常数，根据初始条件确定
运动速度 加速度
v
=
a
dy = − Aω sin (ω t + ϕ )
大学物理简谐振动
大学物理简谐振动在大学物理的广袤知识海洋中，简谐振动是一个极其重要的概念。
它不仅在物理学的理论体系中占据着关键的地位，而且在实际生活和众多科学技术领域都有着广泛而深刻的应用。
简谐振动，简单来说，是一种理想化的周期性运动。
想象一下一个小球在光滑水平面上连接着一个弹簧，当小球被拉离平衡位置然后松手，它就会在弹簧的作用下做往复运动，这种运动就是简谐振动。
我们先来看看简谐振动的数学描述。
它可以用一个正弦或余弦函数来表示，形如 x ＝A sin(ωt ＋φ) ，其中 x 是位移，A 是振幅，ω 是角频率，t 是时间，φ 是初相位。
振幅 A 决定了振动的最大位移，也就是振动的“幅度”；角频率ω 则反映了振动的快慢；初相位φ 则决定了振动的起始位置。
再深入理解一下简谐振动的特点。
首先，它的加速度与位移成正比，且方向总是指向平衡位置。
这意味着，当物体偏离平衡位置越远，它受到的回复力就越大，加速度也就越大，从而促使它更快地返回平衡位置。
其次，简谐振动的能量是守恒的。
在振动过程中，动能和势能相互转化，但总能量始终保持不变。
那么，简谐振动在实际生活中有哪些例子呢？最常见的莫过于钟摆的运动。
钟摆通过重力和绳子的拉力作用，在一定角度范围内做简谐振动，从而实现准确计时。
此外，乐器中的弦振动也是简谐振动的一种表现。
比如吉他弦，当被拨动时，弦在固定的两个端点之间做简谐振动，产生特定频率的声音。
在工程技术领域，简谐振动也有着重要的应用。
例如，汽车的减震系统就利用了简谐振动的原理。
当汽车行驶在不平坦的路面上时，减震器通过弹簧和阻尼器的作用，使车身的振动尽可能接近简谐振动，从而减少颠簸，提高乘坐的舒适性和稳定性。
对于学习大学物理的同学们来说，理解和掌握简谐振动有着重要的意义。
它是进一步学习波动、光学等知识的基础。
通过研究简谐振动，我们能够培养对物理现象的观察、分析和解决问题的能力。
在解决简谐振动相关的问题时，通常需要运用牛顿第二定律、能量守恒定律等物理定律，并结合数学工具进行计算和分析。
大学物理 简谐振动的运动学
x /cm
2 0
解：设谐振动方程为
p 1
x A c o s (t 0 )
从图中易知A=4cm.
-2 -4
t/s
t=0时，x0=-2cm，代入振动方程，有
1 2 c o s0 0 2 3
dx A s i n 0 0 又 v0 dt
2 因此， 0 3
x /cm
4 2 0 -2 -4
p 1
t/s
2 x 4 c o s ( t )c m 3
10
方法二：用旋转矢量法求解
x
x(cm)
4 2 0 1 p
2 3
t=0
-2
-4
t(s)
5 3
11
1 T 2π
固有（本征）圆频率
3
注意
弹簧振子周期
T 2π
m k
单摆
l T 2π g
复摆
J T 2π mgh
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关
4
3、位相和初位相
x A cos(t 0 )
1） t 0
v A sin(t 0 )
( x, v)
0
an
π t 0 2
A
v a
an A
2
x
x A cos(t 0 )
2
π v A cos( t 0 ) 2
2 2
a A cos(t 0 ) A cos(t 0 ) x
8
例：已知如图所示的谐振动曲线， 试写出振动方程。
§8-2 简谐振动的运动学
简谐振动教案_大学物理
课时：2课时教学目标：1. 理解简谐振动的定义、特点及其产生的原因。
2. 掌握简谐振动的运动规律，能够运用简谐振动方程解决实际问题。
3. 了解简谐振动的能量特征及其守恒规律。
4. 培养学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的科学素养。
教学重点：1. 简谐振动的定义和特点。
2. 简谐振动的运动规律及其方程。
3. 简谐振动的能量特征及其守恒规律。
教学难点：1. 简谐振动的运动方程的推导。
2. 简谐振动的能量特征及其守恒规律的应用。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾机械振动的基本概念，引导学生思考简谐振动的特点。
2. 介绍简谐振动的产生原因，如弹簧振子、单摆等。
二、新课讲授1. 简谐振动的定义：物体在某一位置附近来回做往复运动，称为机械振动。
在所有的振动中，最简单、最基本的振动是简谐振动。
2. 简谐振动的特点：（1）等幅振动：振幅不变；（2）周期振动：振动周期固定；（3）线性恢复力：回复力与位移成正比，方向相反。
三、例题分析1. 以弹簧振子为例，推导简谐振动的运动方程。
2. 分析简谐振动的能量特征及其守恒规律。
四、课堂小结1. 简谐振动的定义、特点及其产生的原因。
2. 简谐振动的运动规律及其方程。
3. 简谐振动的能量特征及其守恒规律。
第二课时一、复习导入1. 复习上节课所学内容，检查学生对简谐振动的理解程度。
2. 引导学生思考简谐振动在实际生活中的应用。
二、新课讲授1. 简谐振动在实际生活中的应用：（1）弹簧振子：质量块在弹簧的弹力作用下做简谐振动；（2）单摆：摆球在重力作用下做简谐振动；（3）振动电路：电路中的电容器和电感器在交流电作用下做简谐振动。
2. 简谐振动的合成：（1）同方向同频率谐振动的合成；（2）不同方向同频率谐振动的合成。
三、例题分析1. 分析同方向同频率谐振动的合成。
2. 分析不同方向同频率谐振动的合成。
四、课堂小结1. 简谐振动在实际生活中的应用。
2. 简谐振动的合成。
五、作业布置1. 完成课后习题，巩固所学知识。
大学物理-简谐振动讲义
t
A
a v
o·
t=0
x· x
v Asin(t )
Acos( t )
2
Av cos( t v )
a 2 Acos( t ) Aa cos( t a )
简谐振动旋转矢量表示法的应用
应用: 可以方便地确定初相位φ和相位
x0 0 x0 0 v0 0 v0 0
b a
a4 b3
F
(dF dr
) r r0
x
a4 b3
x
kx
其中
k
a4 b3
，为等效劲度系数.
➢ 结论: 原子在平衡位置附近的微振动是谐振动.
周期为：
T 2
m 2π k
b3 a4
m
角频率为：
a4 b3m
例题 质量为 m 的比重计，放在密度为 的液体中。
已知比重计圆管的直径为 d 。试证明在竖直方向的 振动为简谐振动，并计算周期。
x
A
= 2
O
t
-A
❖ 相位差
x1 A1 cos(1t 1) x2 A2 cos(2t 2 )
(2t 2 ) (1t 1) 2 1 （当2 1时）
k1
m1
k2 m2
x1
O
x2
若 2 1 2kπ
若 2 1 (2k 1)π
A1 x
x1
A2
o
x2
T
A1 x
A2
x1
x0 0 x0 0
x
v0 0 v0 0
M1 φ1
P φ2
M
2
[例1] 已知某质点作简谐运动, 振动曲线如图. 试根据图中数据
写出振动表达式.
大学物理4-1 简谐振动的动力学特征
a x
积分常数，根据初始条件确定
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T
取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a
an A
2
x
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
第4章 机械振动
第4章 机械振动
用旋转矢量图画简谐运动的
x
A
0
P
2
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当
t t+ 0时 0
0
A
t=t
A
x0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x0 A cos 0
第4章 机械振动
x A cos( t t t
即
2
① ② ③ ④ ⑤ J d x (m 2 ) 2 kx 0 R dt
2
d x k x0 2 2 dt m I / R
所以，此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动
(2) 振动系统的圆频率
k m J / R2
T 2 2 m J / R2 k
大学物理系列之简谐振动PPT课件
同号时为加速 异号时为减速
O
X
A
A
第33页/共66页
振动质点位移、速度与特征点 (t=0时对应的φ)
v
xv x
x0>0时Φ在1,4象限 v0>0时Φ在3,4象限
x
v
x
第34页/共66页
x
x
xv x
例1. 一物体沿 x 轴作简谐振动，A= 12cm, T = 2s
x 当t = 0时, 0= 6cm, 且向x正方向运动。
t 时刻与x轴的夹角
( t﹢ )
相位
A
A
第32页/共66页
11
旋转矢量端续点 上M 作匀速圆周运动
其 速率
A
振子的运动速度（与 X 轴同向为正）
A
t
旋转矢量端点 M 的加速度为
法向加速度，其大小为
A
和
t
A
X O
振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）
A
t
任一时刻的 和 值，
其正负号仅表示方向。
• 任意位置
Fmsgin
悬线的张力和重力的合力沿悬线的垂直方向指向平衡位置。
第16页/共66页
Fmsgin
当θ很小时 sinθ ≈ θ ( θ ＜ 5 °)
恢复力 Fmg
符合简谐振动的动力学定义
由牛顿第二定律
mat mg
d2
ml
mg
dt2
令 2 g l
d2 2 0
dt2
T 2 2
l g
单摆运动学方程： mcots()
弹簧振子 t= 0 时
m = 5×10 -3 kg
例三 k = 2×10 -4 N·m -1
大学物理B(Ⅱ)简谐振动
2
m cos(t )
T 2π l g
转动
A
正向
l
FT m
o
P
J ml2
角简谐振子 如图所示，悬丝的下 端挂质量分布均匀的圆盘, 圆盘从静止位置（ 处）
转一 个0 小角度位移 ,然后
释放它 m，圆盘将在悬丝的
恢复力矩下绕参考位置往 复运动. 这一装置称为角简 谐振子.
悬丝的恢复力矩 M
2）简谐运动的动力学描述
d2x dt 2
2x
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t )
（在无外驱动力的情况下） v A sin(t )
➢ 简谐运动的特征 a 2 x
弹簧振子 k m 单摆 g l
（由振动系统本身性质决定）
四 简谐振动的能量
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t )
➢ 角简谐振子周期 T 2 π J
固定点
悬丝 参考线
m
m
0
（ 为扭转系数）
（ J 为角简谐振
子转动惯量）
例2 图中左边是一根细棒，长度 L 为12.4cm,质
量 m 为135g，一条长金属丝悬在其中点，它的角简
谐运动的周期测出为 2.53s. 有一个无规则形状的物
体 ，也悬挂在同样的一条金属丝上，测得其角简谐
振动学基础
机械振动：
物体位置在某一固定附近来回往复的变化化
该物理量的运动形式称振动
物理量：
r
E
H
Q
i
等等
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
运动形式: 直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体 中原子的振动等.
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
大学物理简谐振动教案手写
一、教学目标1. 知识目标：（1）理解简谐振动的概念和特征；（2）掌握简谐振动的运动规律和数学表达式；（3）了解简谐振动的能量转化和能量守恒。
2. 能力目标：（1）能够运用简谐振动的知识分析实际问题；（2）提高学生运用数学工具解决物理问题的能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对物理现象的好奇心，培养探索精神；（2）培养学生严谨、求实的科学态度。
二、教学内容1. 简谐振动的概念和特征2. 简谐振动的运动规律和数学表达式3. 简谐振动的能量转化和能量守恒4. 简谐振动的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）简谐振动的概念和特征；（2）简谐振动的运动规律和数学表达式；（3）简谐振动的能量转化和能量守恒。
2. 教学难点：（1）简谐振动的数学表达式的推导；（2）简谐振动的能量转化和能量守恒的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解简谐振动的概念、特征、运动规律和能量守恒等基本知识；2. 案例分析法：通过实际案例引导学生运用简谐振动的知识解决实际问题；3. 小组讨论法：分组讨论简谐振动的应用，提高学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程一、导入新课1. 通过展示一些生活中的简谐振动现象（如弹簧振子、单摆等），引导学生思考简谐振动的概念；2. 提出问题：简谐振动有哪些特征？如何描述简谐振动的运动规律？二、讲授新课1. 简谐振动的概念和特征- 定义：简谐振动是指物体在某一位置附近来回做往复运动，其运动规律可以用正弦或余弦函数表示；- 特征：等幅振动、周期振动、正弦（或余弦）规律；- 受力特点：回复力与位移成正比，且方向相反。
2. 简谐振动的运动规律和数学表达式- 运动方程：x = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位；- 速度方程：v = -Aωsin(ωt + φ)；- 加速度方程：a = -Aω^2cos(ωt + φ)。
3. 简谐振动的能量转化和能量守恒- 动能：K = 1/2mv^2；- 势能：U = 1/2kx^2；- 能量守恒：K + U = 常数。
大学物理27简谐振动
讲 授 内 容 备 注第九章 振动 引言 1. 振动的概念（1）机械振动物体在某一确定位置附近作来回往复的运动称为机械振动。
如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动。
（2）广义振动概念 广义地说，一切物理量，包括非机械量的温度、电量、场强等量在一定值附近反复变化的过程均是振动。
例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。
因此振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式，其基本规律是光学、电学、声学、机械、造船、建筑、地震、无线电等工程技术中的重要基础知识。
2. 机械振动的特点（1）有平衡点。
（2）且具有重复性，即具有周期性。
3. 机械振动的分类 （1）按振动规律分： 简谐、非简谐、随机振动。
（2）按产生振动原因分： 自由、受迫、自激、参变振动。
（3）按自由度分： 单自由度系统、多自由度系统振动。
（4）按振动位移分： 角振动、线振动。
（5）按系统参数特征分： 线性、非线性振动。
第一节 机械振动、振幅、周期和相位 一、简谐振动1、概念 在右面的演示中，观察一小球的小角度摆动，小球上的指针在下面沿摆动垂直方向匀速移动的纸条上将划出一条余（正）弦曲线。
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数〕的规律随时间变化，这种运动就叫简谐振动。
简谐振动（simple harmonic vibration ）是一种最简单最基本的振动，一切复杂振动均可看作多个简谐振动的合成，简谐振动是研究振动的基础。
2、简谐振动的动力学特征 (1)线性回复力以弹簧振子为例，它由劲度系数为k ，质量不计的轻弹簧和质量为m 的小球组成，弹簧一端固定，另一端连接小球。
当小球在无摩擦的水平面上受到弹簧弹性限度内的弹性力作用下，小球将作简谐振动，小球受到的弹性力： x k F -=，或 kx F -=这种力与位移成正比而反向，具有这种特征的力称为线性回复力。
可见当物体只在线性回复力或力矩作用下的运动必是简谐振动。
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x A cos( t )
k — 系统属性 m
2
等 价 判 别 式
运动方程
A、 ：积分常数 — 初始条件
注
a. x — 平衡位置 量度
b. k、 — 固有性质 与初始条件无关 c. A、 — 初始条件 与固有性质无关
x A cos( t )
dx v A sin(t ) dt vm
A
v
a
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
2
o
A
a t图
T
A 2
A cos(t π ) A 2
o
t
二.简谐运动的运动学描述
1.振幅 A
2.周期与频率 最大位移 A xmax 表征能量
x A cos( t ) A cos[ (t T ) ] A cos( t 2 )
A
Ax
o
v A sin t
A 2
0.26m s
1
（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 1 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ，求其运动方程 . 解 A＇
0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4 π x A cos(t ) 0.0707 cos( 6.0t )
o
A
x
0 x A cos(t ) 0.05 cos 6.0t m
由旋转矢量图可知
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解
x A cos(t ) A cos(t )
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 t 3
1.1 机械振动
物体在一定位置附近作来回往复的运动。
广义振动：一个物理量随时间t 作周期性变化
二.最基本的振动 —— 简谐运动
简谐运动
叠加
复杂振动
理想模型
分解 一维平动 — 弹簧振子 *一维转动 — 复摆（含单摆）
三.振动的传播
振动 状态 传播 能量
—— 波动 机械波(含声波)
电磁波(含光波)
x/m
o
0.05
（1）把物体从平衡位置向右拉到 后再释放，求简谐运动方程；
x 0.05m处停下
1
k 0.72N m 解 （ 1） m 0.02kg
6.0s
1
v A x x0 0.05m v0 tan 0 x0 0 或 π
2 0
2 0 2
a d2x dt 2 A 2 cos(t ) 2 x
t 或( t + ) 周期性函数
am
d. 推广 — 角谐振动( < 5° )
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t图
T
取 0
o
t
t
v A sin(t )
π π 0.04 0.08 cos( t ) 2 3
t 0.667 s
解法二
t
时刻
π 3
t
o
起始时刻
π 3
0.04 0.08
x/m
0.08 0.04
π t 3
π 1 s 2
t 0.667 s
2 1
为其它
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
π 反相
x
超前
落后
x
x
o
t
o
t
o
t
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 1 簧的劲度系数 k 0.72N m ，物体的质量 m 20g .
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； （3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 1 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ，求其运动方程 .
比较 T 2 A t T 2π o T 即 2 2 T A 2秒内的全振动次数 、T、 — 固有量，取决振动系统动力学特征 m 弹簧振子固有周期 T 2 π k
x
x 由前知 v f [( t )] “ t ”— t 时状态(相) a
3. 相位
第 四 章 机械振动
概述
振动、波动 — 横跨物理学所有领域
一.广义振动 — 物理量在中心值附近作周期性变化
1. 机械振动 位置或位移 运动学— 周期性 动力学— 恢复力 轨迹 — 直线或曲线
特征
形态
形式 — 平动(质点) 或转动(刚体) 2. 非机械振动 电磁振荡、交流电…… 以上具有相似物理规律和研究方法
因为 v 0
v0 t an＇ 1 x0 π 3π ＇ 或 4 4
x
2 0
v
2 0 2
0.0707m
o
π 4
x
A＇
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1） t
(或
2
一般取k= 0 描述 ±2k—重复性
如 t = 0 则 — 初始状态
2
)
4. 常数A 、 的确定( 解析法) t=0
x0 A cos v0 A sin
v0 2 2 A x0 ( ) arctan( v0 ) x 0
t 1.0s 代入上式得
2
x 0.069 m
F kx m x 1.70 103 N
（2）由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要 的最短时间.
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所 需要的最短时间为 t
— 任意角(4个象限)
x0 或 arccos 再结合v0(>0、= 0、<0)判断 A
三 旋转矢量
矢端M
运动性质 匀速率 圆周运动 角速度(逆)
投影点P
简谐振动 角频率 相位 初相位
( t＋ ) t 时角位置
t = 0 角位置
用旋转矢量图画简谐运动的
x
A A
x A cos(t )
波动
4－1 简谐运动 振幅 周期与频率 相位 l 一.简谐运动 k 0 F
弹簧振子(一维平动
A 集中质量＋弹性系统) 以平衡位置为原点、建立图示坐标系
m m
o x
A
x
偏离x
F F kx
动力学方程
k：劲度系数、一般为振动常数
d2 x k 2 x x 运动微分方程 2 dt m
x A cos( t ) t 2k k = 0,1,2,… x = A ,v = 0 t 2k x = 0 ,v < 0
x =－A ,v = 0 t 2k 3 x = 0 ,v > 0 t 2k 2
0.04 0.08cos
A cos(t ) π 3
A
π 3
0.04 π x 0.08 cos( t 2
o
x/m
0.08 π ) 3
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
π π x 0.08 cos( t ) 2 3
*
T * 3T 4 2
x t
* * T
图
π 4
O -A
*
O * T
4
*
-A
*
*
5T 4
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
3）旋转矢量表示：
讨论
相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08
解
A 0.08 m
2π π 1 s T 2
A 0.08 m
t 0, x 0.04m
π v0 0 3
0.08 0.04
代入 x
2π π 1 s T 2
t t 2 t1
x
A
A2
a
b
v
π 3
o
t
A
A
tb x
0 A
π 3 1 t T T 2π 6
2
A
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )