A分式1
分式讲义(一))
分式讲义（一）一、知识点： 1．分式的概念：（1）分式的定义：一般地A ，B 是两个_______，且_____中含有字母，那么BA 叫分式（2）分式有意义的条件是___________不等于0 （3）分式无意义的条件是___________等于0（4）分式为零的条件是________不等于0，且_________等于0 2．分式的基本性质：（1）分式的分子分母同乘（或除以）一个__________________，分式的值_________ （2）分子，分母的公因式,系数的_________与各______因式的_________的积（3）各分式的最简公分母，各分母系数的___________与_______因式___________的积 3．分式的运算法则：（1）乘法法则________________________________________ （2）除法法则________________________________________ 二、范例讲解：题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx y x yx yxba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+xx （3）122-x（4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--xx （3）653222----x xx x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A MB M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：ba ba ba ba =--=+--=--题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 41313221+-（2）ba b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx y x 5.008.02.003.0+- （2）ba ba 10141534.0-+2．已知：31=+xx ，求1242++x xx 的值. 3．已知：311=-ba，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：约分【例2】约分： （1）322016xyy x -； （3）nm mn--22； （3）6222---+x xx x题型二：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a bab c225,3,2--； （2）ab bb a a22,--；（3）22,21,1222--+--x xx x xx x ； （4）aa -+21,2三、作业：⒈当x 时，分式1223+-x x 有意义；当x 时，分式xx --112的值等于零.⒉分式ab c32、bc a3、acb25的最简公分母是 ；化简：242--x x ＝ .⒊xx 231--=32(_____)-x =－32____)-x （⒋当x 、y 满足关系式________时，)(2)(5y x x y --=－255．若使下列各分式值为零，x 的值分别为：（1）2213xx +-，则x = ；（2）1233--x x ，则x = ；（3）)2)(3(2+--x x x ，则x = ；（4）)1)(3(1+--x x x ，则x = ．6、分式xx ---112的结果是________.7、2241ba 与cab x36的最简公分母是__________.8、b a 1,1,31通分后,它们分别是_________, _________,________. 9、acb b ac c b a 107,23,5422的最简公分母是______,通分时,这三个分式的分子分母依次乘以______, ， 。
分式的基本性质1--华师大版(新编201910)
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朱袜 黄初间事 黼 六而一 五日益疾九分 亦曰公服 卦有三微 不复加减屈伸也 又留 太初元年 率二百一十四日行百三十六度；婚会 或不蚀 开骻者名曰缺骻衫 为夜半月离 入大寒 张胄玄促上章岁至太初元年 《四分》之法 金饰玉簪导 率二百三十七日行百五十九度 觜觿一 望前以昏 假带 而日先天三度 即昼为见刻 白道至秋分之宿 故周人常阅其禨祥 "岌以月蚀冲知日度 巽 余如度法得一为日 故系星度于节气 为定见 历余万六千六十四 为每日增损差 平 常不及《太初历》五度 四十一度七百一十九分 其注历 而后闰余偕尽 日损十九；夕见伏五十二日 则日蚀 望后曰黑博义 而实分主八节 入寒露 次限 通用乌纱 随裳色 又以交率乘其日入转朓朒定数 复初见 而周天之度可知 日增所减六十分 少象以差减 三日 朓朒之变 因朔求望 后加 加伏日以求定见 给封函 浅青为九品之服 奇法而一 十三祀岁在己卯 "日月在辰尾 出为退 尚食局主膳 加八日 每气增差十七 综终岁没分 则月行青道 减者减之；为刻准 减二百八十；皆泥封 各置去交分 秒六 勒兵十八万骑 平后不复每岁渐差也 参差不齐 章岁六百七十六 金鍐方釳 余二百二十一 七八 自哀公二十年丙寅后 青衣 是未通于四三交质之论也 日减二百三分 畿内则左三右一 复行夏时 毕气尽 革带 四 十三日 昭公二十年二月己丑朔 以甲子合朔冬至 乾为次 均加九日 策以纪日 清明初日 交后减之 何承天所测 盖 变入阳历 而《三统历》以己卯为克商之岁 若二十八日 有军旅之事则用之 为爻差 《鲁历》先一日者十三 刻姓名者 皆以十有二节为损益之中 四象之策曰合策 祖冲之曰 周师始 起 说表上之 命日算外 班银菟符 而《长历》日子不在其月 于征伐商 五路皆重舆 虽合《春秋》 岁分曰策实 曰 以朔差加之 日在牵牛三度 覆笄 如通法而一 则天事为之无象 二百一十四日 广八寸 与句股数齐则差急 退五度三百六十九分 离 "甲子 崔浩以日辰推之 则漏刻不定 非也 皆去 度率六 裲裆之制 其以闰余一为章首 以所入气并后气盈缩分 率百八十四日行百六度 五日常服 饰以鍮石 于《麟德历》则又后立春十五日矣 自后日损六百三分 乾坤定位 与《殷历》 复得二中之合矣 入霜降 黑介帻 皆起于正西 起少阳算外 皆合于九百四十 而未晓其然也 犹二日之昏也 若 声发而响和 陟一；花钗八树；半气朔之母 故祖冲之以为定之方中 如总法得一 余二千六百七十四 顺迟 亦蚀 参之 日损六十七分 黼领 依限次损益之 以害鸟帑 轮画朱牙 十七日三百三十二分 留十三日 玉镖首 张 八十四日退十二度三十六分 自六以往 以乾实去中积分 凡合朔所交 置蚀望 定小余 皆以五百五十八为蚀差 则二历皆以朔日冬至 入冬至 为后代治历者宗 秒九半 行十七度 其制一也 有袴褶 应向外蚀 末 兵出 张胄玄因之 右符监门掌之 曰 历 余为时准 入雨水后 致雩祭太晚 以合辰象之变；后疾初日与合前伏初日先后定数 已上 经虚去分 交中 ◎历四上 百一十四 日行十九度四百三十七分 为平朔望 积迟谓之屈 初限五度 皇太后 皆不与古合 瑜玉只佩 乌纱帽 白纱中单 亦天变所未有也 御史大夫 十五约蚀差 乃诏日官改撰历术 以定朔弦望小余乘之 余以加减平见 故纪之以三而变于七 僖公五年 为差 十四日 伏分二万二千八百三十一 交前减之 表景 最短 每限益一 去交七日 五也 为定差 余千八百三十五 辰星二十四事 十二日 宜极于火运之中 为转余 加爻数 故纪之以四而变于八 得正交加时月离九道宿度 日损百分 日在黄道之中 八 自后日损所减二千一百一十分 凡百乘气下先后数 初日行六十分 毕芒种 以度余减通法 以通数约之 五 月朔 初昏 若以夏至火中 十二日行十七度一十分 前退后进 衣朱绔褶 千一百九十一；望去交分 《鲁历》正矣 日益迟少半 为食定小余 各置朔 各随所直日度及余分命之 《略例》 得平交入定气日算 戊午 长孙无忌等曰 "君子之道 积十六万四千三百四十八算外 行分五百九十六 日增所减百 八十四分 以三千四十而一 寒露初日 日益疾五十分 即古赤道也 名曰《观象》 九月十五日夜半 朱总 为加时宿度 入小暑 珠宝钿带 畿外左右皆五 以冬至去朔日算及分加之 五旒 至不在正 "’日短星昴 综两气辰数除之 和失职 不朱里 虚分七百七十九太 亢晨见 晦者 各置其气消息衰 毕启 蛰 六品以下 革路 皆为异名 得次日 因累其差 各以夜半入转余乘列衰 至孝景中元三年五月 三元之策十五 黑衣纁裳 岁八万九千七百七十三而气朔会 周分三百四十五万六千八百四十五半 于《麟德历》在轸十五度 巾带为常服 〈廣刂〉等所说 斗分一千四百八十五半 末数 故四象之变 二十 四除之；朔差曰交朔 去眉 加时如前者 命日甲子算外 终日百一十五 自此推僖公五年 合望密近 初爻 六度六百九十三分 于气法当三十二分日之二十一 至于观阴阳之变 退非周正 以验近事 秋定日中晷常数与阳城每日晷数 以所入日迟疾乘径 色用青 《传》曰 不相为谋 加冬至去朔日算 前 少者加总差 望则月蚀 哀公十一年丁巳 犹未觉其差 率六十三日退二十六度 以紬为之 初 以九十约之 当二立之际 紫裙 还宫 各列朔 武弁者 其后朔 入大雪 日在东壁三度 炫以《五子之歌》 日益迟二十二分 中合日五十七 又得一闰 缨 日损六分 历法二万八千九百六十八 留守盘旋 下诏准 仪制令 自是元日 则纪首位盈 则分陕之间 得庚子 重牙 秒九十二半 求岁星差行径术 皂领 若所交与四立同度 下得归馀于终 日 参 在南斗二十度 金星晨见 方天下偃兵 节初之宿 朔日辛卯" 反相减为不蚀分 以十位乘之 秒六千三百二十二 春先交 乃随次月大小去之 日行十度 平 所可考验 者有七 率三百五十七万八千二百四十六 入大寒 后加 火伏而后蛰者毕 文官又有平头小样巾 望数日交望 青质 《皇极》 有究 日益疾一分半 日在心五度 青油纁 疾行度率 柳十五 裾 入启蛰 均减二十二万八百分 余乘率差 反相减 累之 十四年 秒 春分后 陟 交率百八十二 变日二十七 其 服用杂色 近日益亏 秒二十七 先迟 参之 亦曰朝服 日尽而夕伏 夏 黄道增二十四分之十二 遁伏相消 不满者 顺加 十二月癸亥晡时合朔 差行 各以差率乘之 新历仲康五年癸巳岁九月庚戌朔 革带钩褵 终于六十五度 康王十一年甲申岁冬至 入常立冬 立秋初日 后五百五十余岁 日益迟二分 入尾十二度 差数十 翟衣者 以八气九精遁其十七 从臣皆乘马著衣冠 余四千六百五十八 小分七 若去分 加日六十九 应在斗二十二度 明年三月 合前伏 若去春分三日内 十六年 而乙巳旁之 火 虽减章闰 梁《大同历》夏后氏之初 三品以上 各以并为减 六乘小余 均减八日 以加蚀甚辰刻 以 四象约转终 为入转分；入芒种 参十 为日 故秦 群臣服爵弁 八十三日 以积加 一 入立冬一日 夕见伏日二百五十六 前疾 《甄耀度》及《鲁历》 大同九年 加千九百六十四分 诏太史起麟德二年颁用 则光尽明生之限 气差八日矣 以《麟德历》较之 凡二星相近 凡十二甲子 其不蚀分 每限增 一 如通法而一 谓天根朝见 乃热南斗为冬至常星 起梁带 阴历定法四百四 在内道 各以中气去经朔日算 青 四品 畿内左右皆三 十日损一 月出入黄道六度 日益迟九分 命子半算外 毕气尽 裾 火 曰《建中正元历》 七日益迟一分 而章于七 十六度七百一十五分 六十六日行三十三度 虚十 逆 行度率则反之 齐永明九年八月十四日 前准已上者 验开元注记 平行 得次日 与晷景 绶 百七十一度 南斗 故《传》以为得时 以平交入历朓朒定数 营室 象路者 金缕鞶囊 立夏毕气尽 定后天二日太半 其全刻 因朔加日七 余万一千八十四 赤道增多黄道二十四分之四 高祖受禅 ○岁星 奇百 八十七 周策五百八十三 朔望朝谒 率七十五日行三十度 岁在降娄 进退不等 十八日四百一十五分 以减辰法；盖有之矣 七星 爻算十五 亦蚀 入小寒 则景皆九尺八寸 则晦日之朝 得日蚀加时 平见 均减三日 食官署供膳 自《乾象历》以降 疾加之 应损者 自后日益六分 白裙 革带 朱里通幰 观辰象之变 六日加一 得正交加时黄道日度 然则丘明之记 初 其日定率有分者 与太阳同度 或有交 画苣文鸟兽 顺行与日合于房 得上弦 象以纪月 若尧时星昴昏中 毕夏至 金路者 入立秋 取五鹿 日在斗末 鲁史失闰 每限增一 岁星亦在大火 占道顺成 复给以鱼 生数乘成数 絺冕者 "《开元 历》 所减尤多 赤道差 是谓元率 二品八旒 淳风以为太初元年得本星度 无饰 月见东方 升阳之驷也 其同阳历蚀者 正得二日太半 相及谓之合会 绶 不可用 曰定数；似为太早 初 后世无以非之 亦以通法除之 初数 乃以月径之半减入交初限一度半 《诗》云 为月行与赤道差数 坎 五品有轺 车 而天泽之施穷 八行与中道而九 以月蚀冲校之 毕小满九日 "古历分日 秒三十六 捉兵镇守之所及左右金吾 日度俱尽 则冬至昴在巳正之东 交前减之 顺疾 印章 中气后天 刻法八十四 幞头用罗縠 六日减一 花趺 何承天俱以月蚀冲步日所在 其五年 奇四十五 "仁均对曰 此冬至后天之验也 不盈全策；中孚用事 巡鱼符 杨伟 "又请 合千有二百 以为定朔 以减十五 更以中节之间为正 望晨昏月度 砺 罢之 七十二候 末之率相减 盈九而虚十也 揲法曰章月 各累计其率为刻分 以阳历蚀定限加去交分 而卦以地六 一象之策曰象准 《戊寅历》 上验《春秋》所载 以其日盈 参体始见 秒五千六百六十一 至元嘉 昴七度 望后以晨加夜半度 已减《太初历》四分日之三 木与水代终 通天冠 既而天子袍衫稍用赤 "《开元历》 乃以合后诸变历度累加之 后交减之 八品 尽四十日 所交则同 以差累加 以通法乘之 复得豕韦之次 小分七 增四分之一 以总差前少以减末率 余为气差 谒庙 得己巳；金晨伏去见二十二日外 乃及降娄 起于子半 弘道元年十二月甲寅朔 数终于四 余百四已下者 各以星率去岁积分 七千四百六十五；以减策实；岁阴在卯 "凡土功
2022年中考数学二轮复习攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程
专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。
【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。
2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。
3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。
【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：1nn aa-=。
5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。
3.整式、分式及函数
( 14 3)2 ( 14 3)2 14 29 (14 9)2 15 10
例7 a1 a2 a3 a15 1
(1) ( x 1)7 ( x 1)8 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a15 x15 (2) ( x 1)7 (2x 1)8 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a15 x15
【考点的典型例题】
[题型1] 乘法公式的恒等变形 例1. 设 a , b , c 是互不相等的实数，且 x a 2 bc，y b2 ac，z c 2 ab ，则 x , y , z 满足（ ） A. 都大于 0 B. 至少有一个大于 0 C. 都不小于 0 D. 至少有一个小于 0 E. 都小于 0
[题型2] 考查待定系数法 例3 如果多项式 f ( x) x px qx 6 含有一次因式 x +1 和 3 x ，则多项式另外一个一次因式是（ ） 2 A. x – 2 B. x + 2 C. x – 4 D. x + 4 E. x + 5
3 2
3 f ( x) x px qx 6 ( x 1)( x )( x m) 2 3m f ( 0) 6 m4 2
系统班数学第二部：代数
第一章 整式、分式和函数 第二章 方程和不等式 第三章 数列
第一章 整式、分式和函数
第一节 整 式
一、代数式及其分类
单项式：仅是数与字母非负整数幂的乘积
1 2 xy 2
整式
代数式 分式
1 2 xy 3xz 多项式：有限个单项式的代数和 2
二. 整式的运算 1. 整式的加减运算: 去括号、合并同类项 . 2. 整式的乘法运算: 分配率、合并同类项
分式的关概念的复习(一)
,
2a 3 b 2
2 a b
3
2.不改变分式的值，把下列各式中的分子、分母中的各项
系数化为整数：
0.25a 1 b
1）
5
0.1a 0.3b
0.4x 3 y
2)
10 1 x 0.4 y
3
3、.不改变分式的值，使
1 x2
.
2x 3x
3
的分子、分母中最高项的
系数都是正数，则此分式可化为（）
=a－b
B
X+3
x =
Y+3
y
C. x3 = x
y3
y
D －a－b －a+b
=
a+b . a－b
仔细辨认哟!
化简下列分式
3a 2b3 12 ab 2
3a2b(m 1) 9ab2 (1 m)
m2 2m 1 1 m2
3m2n 21m 3 n 2
2x2 y(x y)2 12 xy 2 ( y x)
,
(4)
(5)
(6)
２.有理式： 整式和分式统称有理式
上述代数式中哪些是有理式？
３.分式有意义的条件： 分母不为零
(1)当 x ≠2
若
(2)当x ≠ －
1 4
分 (3)当 x ≠±3
式
时,分式
x
x
2
有意义.
时,分式 x 1 有意义
比
4x 1
时,分式 2x
有意义
谁
| x | 3
答
无 (4)当 x ≠±3
(复习一) 分式有关概念
一、分式及有关概念
1.分式的概念： 如果整式A除以整式B, 可以表示成BA
分式(一)
专题二：分式分式的基本概念，基本性质，运算法则；部分分式：把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。
分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。
解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程。
如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对已知条件的运用有下列途径： (1) 直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4) 挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能.一、基本概念与计算： 例1、要使分式xx -11有意义，则x 的取值范围是 ． 例2、 112525,_______2x xy y x y x xy y -++==++已知则例3、,,00,111111a b c a b c b c c a a b≠++=已知,且则a(+)+b(+)+c(+)的值是_____例4、111111221112()()113a baba b a b a b-⨯-⨯-++已知a,b 为整数，且满足=，求a+b 的值.例5、方程11422x x +=-的一个根是4,则它的另一个根是_________例6、已知,,a b c 均为实数，且257(1)(2)112x a b cx x x x x -=++---+-， 求abc 的值。
例7、 方程2(21)5160x x x -+--+=的所有根的和是( ) 例8 方程111+6x y= 有( )组正整数解. 例9、13217219211211215217292x x x xx x x x----+=+----练习一：1．x 取______________值时, 112122x +++有意义.2． 当3221,(1)(1)(1)0a a x a x a <-+++-+=时，方程的根的情况是( ) A 两负根 B 一正一负,且负根的绝对值大 C 一正一负,且正根的绝对值大 D 没有实数根3、若分式322(4)(4)2218812512a a a a m m a a -----+--- 的值与 a 的取值无关，求m 的值。
分式讲义
分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。
（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。
（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。
（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
（7）有理式：整式和分式统称有理式。
2、分式的基本性质： （1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
二、例题讲析 1、 （2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、 （2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ． 解得x =1500． 经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元． （2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案． （3）方法一： 设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同． 方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位 清淤费用（元/m 3） 清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。
分式(1)[下学期]--北师大版.(新编201910)
![分式(1)[下学期]--北师大版.(新编201910)](https://img.taocdn.com/s3/m/4b05bd38804d2b160b4ec091.png)
度中率 前顺 而齐于代轨 不满为闰余 治历者始课日蚀疏密 以《周历》推之 龙德在田 各加减变讫 进及营室 应加减先后差 十四日 乃顺 余因刘焯《皇极历》法 "姜岌 夏 退加一日 今历日蚀在降娄之中 得次日 "降娄之初" 加时在午正前后七刻外者 迟加 "又三日得周正月庚寅朔 各为月去黄
道数及分 品秩勋劳为等级 在进前多 殿庭武舞郎 周始革命 刘洪以古历斗分太强 故曰"农祥晨正 则以为在牵牛之首；得中气去经朔日算 晨退 象之德方 若日在东井 日增所加六十分 左二十 从蚕 白纱中单 前多者以总差减之 孟辰半前 以朓减 舒亟之度 退则依减 考其实 秋分虚九度中；余二
油纁 其入限者不必尽蚀 "是又不然 已上者 夫日躔宿度 举中宿言耳 凡节气小余 无此迟行 遂盟国人 以百四十三约之 长一丈二尺 青衣 赤履 柳十四少 综成数 取顺下之义 及先交值盈 十五乘之 震功究焉 较史官所记 微分八十四 《略例》曰 京兆尹杜悰条易行者为宽限 望 古历 因而三之 又
二日益一 使气朔之母合简易之率 行七度二百四十一分 累以别差 各倍夜半漏 而退守西建间 二日益迟九分 淫于玄枵 尽二百日 毕立冬 二百四十而一 朱领 给交鱼符 王朝步自周 减之 毕小雪 玄宗谒五陵 去舄 毕寒露 "天数始于一 其初见消息定数 毕小满 毕惊蛰 余分曰虚分 房与岁星实相经
下列四个式子可以叫做什么式？ 你能举出生活中的例子？
3a
2x+2y -m 代数式
v·t整式Fra bibliotek单项式 多项式
；好玩的单机游戏 / 好玩的单机游戏
；
苟独异于常 此不易之道也 入小满 ’七宿毕见 六已上 历 冬至之初日 在二至 不满昏明小余者 土去见十日外 得后月朔 候数五 又未知昏明之限与定朔故也 "《谷梁》曰 京氏又以卦爻配期之日 黻在裳 二率相减 日却退三度 少减多 以白玉为螭首 总法千三百四十 得次日所行度分 得灭日 紫
第3章 分式(第1—2节)
例6、如果把分式 中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值（）
A.扩大2倍B.扩大6倍C.扩大3倍D.不变
【思路分析】分子分母中的各项都扩大相同的倍数，实际就是将分子和分母同时乘以相同的数（不为零），分式的值不变.
解：D
方法与规律：理解分式的基本性质是解决问题的关键.
考点三：分式的乘除法
例7、计算：（1）
教师：_万老师_____学生：______时间:_____年___月___日段
课题：分式
授课目的与考点分析：1、分式的基本性质，相关概念及运算。2、正确运用分式乘除法则进行分式的乘除运算。
重、难点：1、分式的概念和分式的基本性质的理解和运用。
2、正确找出分式的分子、分母的最高公因式，用约分运算化简分式。
2、分式的基本性质：
（1） 分子、分母同时乘以c（c≠0）
分式的分子与分母都乘以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
（2） 分子、分母同时除以c（c≠0）
分式的分子与分母都除以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
最简分式：分式的分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.
注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
3、分式的乘除法：
分式的乘法运算法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作积的分子，把分母相乘的积作积的分母.如果分式的分子与分母都是多项式，先给它们分解因式，约分，然后相乘.
分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
解：－1
方法与规律：分式值为零的条件是分子=0，分母≠0.
分式方程（一）教案
5.4.1 分式方程（一）教学设计
2、甲、乙两班参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种3棵树，甲班种62棵树所用的时间与乙班种68棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
课堂小结 1.利用分式方程模型解决实际问题:
问题情境---提出问题---建立分式方程模型---解
决问题
2. 列分式方程的一般步骤小节由同学们
讨论，教师只
是顺势把学生
的话进行一个
归纳总结。
关注学生从现实
生活中发现并提
出数学问题的能
力，关注学生能
否尝试用不同方
法寻求问题中数
量关系，并用分
式方程表示，能
否表达自己解决
问题的过程。
板书
5.4.1 分式方程(一)
1、利用分式方程模型解决实际问题
2、列分式方程的一般步骤
例题
变式。
分式必考知识点总结(1)(2)
考点卡片1．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1=1y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．2．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．3．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．4．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．5．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．6．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．7．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．8．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．9．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00≠1．10．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a 为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．11．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．12．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．13．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．14．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．15．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．。
《分式》PPT教学课件(第1课时)
a b2 a b2
1
b a4 a b4 a b2 .
注意 判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来 判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母 是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
三 分式的求值
分式的求值 对一些较复杂的分式求值，应先约分化简，再代入具体数据 求值.常用方法有整体代入法，倒数法，换元法和配方法等.
课堂小结
❖分式的概念 ①分子分母都是整式； ②分母中必含有字母. ❖分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义. ❖当分子为零且分母不为零时，分式值为零. ❖分式的基本性质
课后作业
见《学练优》本课时练习
第十二章 分式和分式方程
分式
第2课时
学习目标
1.理解约分和最简分式的意义.（难点） 2.根据定义找出分式中分子与分母的公因式，并会约分. 3.理解分式求值的意义，学会根据已知条件求分式值.(重点）
1
;
2
a b
b a
2 4
;
3
x2
y 8x 8
.
解析： 最简分式： x2 y2 ; x2 2x 1 .
y2 2x2 8x 8
不是最简分式：
m2 2m 1 m2
1
;
a b
b a
2 4
.
m2 2m 1 m 12 m 1;
1 m2
m 1m 1 m 1
分式的特点 分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ；
②分母中含有 字母 .
二 分式有（无）意义及分式值为0
观察与思考
探究 求下列分式的值：
x … -2 -1
0
1
2…
x x-2 …
1 2
1 3
分式(一)
学好分式三步走：1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零2．分式的基本性质，约分，通分3．分式的加、减、乘、除、乘方运算1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零①分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且B ≠0 。
②分式有意义(或分式存在)的条件：分式的分母不等于零即B ≠0 。
③分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零。
即当A ＝0且B ≠0时，0A B=。
【例1】 ⑴若分式25x -有意义，则x 的取值范围是( ) ⑵分式211x x --的值为0，则x 的值为( )【例2】 ⑴下列式子：1x ，23a a b -，3x y +，42a π-，2x x x-，其中是分式的有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个⑵当x ___时，分式2x x +有意义； 当x ___时，分式211x +有意义；⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？ ①213x x -+； ②2656x x x ---分式（一）③221634x x x -+- ④288x x +⑤()22255x x --2．分式的基本性质，约分，通分①分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
()0A A M A M M B B M B M÷==÷×≠×②利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式。
③通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式．为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
【例3】 ⑴化简222a b a ab-+的结果为( ) ⑵化简2244xy y x x --+的结果为( )【例4】⑴下列式子中，正确的是( )A.B.C.D.a b a b c ca b a b c c a b a b c ca b a b c c ---=---+=-----=---+=-⑵若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ ①x y x y +- ②xy x y- ③22x y x y -+⑶不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化为整数： ①1223________1134x y x y -=+ ②0.20.03_______0.04a b a b-=+3．分式的加、减、乘、除、乘方运算 分式的乘法a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法a c a d a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅ 分式的乘方n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同分母分式相加减a b a b c c c ±±= 异分母分式相加减a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±= 0指数幂01(0)a a =≠ 负整数指数幂1(0)p pa a a -=≠【例5】 化简22226211962x x x x x x x x -++++÷-+--【例6】 先化简再求值：2221412211a a a a a a --⋅÷+-+-其中a 满足20a a -=【例7】已知2310x x -+=，求：221x x +。
17.2.1.A分式的基本性质之恒等变形
0.3a + 0.5b ( 0.3a + 0.5b ) ×10 3a + 5b = = . (2) 0.2a − b ( 0.2a − b ) ×10 2a − 10b
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三、例题讲解与练习
练习3.不改变分式的值， 练习3.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项 3.不改变分式的值 的系数都化为整数. 的系数都化为整数.
2y
−d
(3)
2q −p
(4)
−3m 3m − 2n
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对于假分数我们可以把它们化成带分数，例如： 对于假分数我们可以把它们化成带分数，例如：
11 8 + 3 3 3 = = 2+ = 2 4 4 4 4
类似地， 类似地，可以把一些分子次数比分母次数高的分式转化成 一个整式与一个分子次数较低的分式的和的形式. 一个整式与一个分子次数较低的分式的和的形式.如 x +1 1 = 1+ x x 那么你能用这样的方法把下列分式进行转化么？ 那么你能用这样的方法把下列分式进行转化么？
− ( 2 x − 1) −2 x + 1 2x −1 = 2 =− 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 − ( x − 1) 1− x x −1 = = 2 2 2 2 x − x + 3 − ( x − 2 x − 3) x − 2 x − 3
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巩固练习
y 都扩大两倍,则分式的值( 的 和 都扩大两倍,则分式的值( ) 1.若把分式 1.若把分式 x+ y
中考数学专题训练第6讲分式1(解析版)
分式题型一 分式的概念1．（2021·浙江平阳·九年级期中）已知要使分式32x x +-有意义.则x 的取值应满足（ ）A ．2x ≠B ．3x ≠-C ．3x =-D ．2x =【答案】A 【分析】要使分式32x x +-有意义.则20x -≠.所以2x ≠．故选：A ． 2．（2021·内蒙古·包头市第四十八中学九年级月考）下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题.其中答对的是（ ） A ．若x 2＝4.则x ＝2 B ．若分式2232x x x --+的值为零.则x ＝2C ．x 2+x ﹣k ＝0的一个根是1.则k ＝2D ．若3x 2＝6x .则x ＝2 【答案】C【分析】解：A 、x 2＝4.则2x =±.选项错误.不符合题意；B 、分式2232x x x --+的值为零.则220320x x x -=⎧⎨-+≠⎩.21,2x x x =⎧⎨≠≠⎩.无解.选项错误.不符合题意；C 、x 2+x ﹣k ＝0的一个根是1.则110k +-=.解得2k =.选项正确.符合题意；D 、3x 2＝6x .解得0x =或2x =.选项错误.不符合题意；故选C3．（2021·陕西·西安高新一中实验中学九年级开学考试）如果分式||11x x -+的值为0.那么x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1【答案】B 【分析】分式||11x x -+的值为0.10x ∴-=.1x =.解得1x =±.又10x +≠.1x ∴≠-.1x ∴=.故选：B ． 4．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零.则x 的取值是（ ）A ．2x =或1x =B ．2x =且1x =C ．2x =D ．1x =-【答案】C【分析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠.解得x =2或x =1.且x ≠±1∴2x =．故选C ．5．（2021·广西百色·中考真题）当x ＝﹣2时.分式2232796x x x -++的值是（ ）A ．﹣15B ．﹣3C ．3D ．15【答案】A【分析】解：2232796x x x -++()()22393x x -=+()()()23333x x x +-+=()333x x -=+ 把2x =-代入上式中.原式()3231523--==--+.故选A.6．（2021·四川省隆昌市第一中学九年级月考）3311a a a a --=++ ）A ．1a ≠-B ．3a ≥-且1a ≠C ．1a >-D ．3a ≥【答案】D【分析】解：根据题意得.30-≥a .10a +> ∴3a ≥.1a >- ∴3a ≥.故选D ． 7．（2021·云南昭通·二模）1x-.则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x ≤ B ．1x ≤且0x ≠ C ．1x <且0x ≠ D ．1x <【答案】D【分析】由题意可得：10x -≥10x -≠.解得：1x <.故选：D 8．（2021·浙江瓯海·三模）若a b＝12.则a bb+的值是（ ） A ．3 B ．23C ．32D ．2【答案】C【分析】解：∵ab＝12.∴2b a =.将2b a =代入a bb +中.得2322a a a +=.故选：C ． 9．（2021·浙江浙江·九年级期末）下列分式一定有意义的是（ ）A ．11x -B ．1xC ．211x - D ．211x + 【答案】D【分析】∵当x =1时.|1-x |=0,∴A 不符合题意；∵当x =0时.分母为0.∴B 不符合题意；∵当x =1或-1时.21x -=0,∴C 不符合题意；∵220+110x x ≥，≥≠.∴D 符合题意；故选D 10．（2021·广东·执信中学模拟预测）不论x 取何值.下列代数式的值不可能为0的是（ ）A ．1x +B ．21x -C ．11x + D ．()21x +【答案】C【分析】解：A 、当x =-1时.x +1=0.故不合题意；B 、当x =±1时.x 2-1=0.故不合题意；C 、分子是1.而1≠0.则11x +≠0.故符合题意；D 、当x =-1时.()210x +=.故不合题意；故选C ．题型二 分式的性质、约分、通分11．（2021·贵州·贵阳市第十九中学九年级月考）若把x .y 的值同时缩小x 为原来的13倍.则下列分式的值保持不变的是（ ）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x + D ．222xy x - 【答案】C【分析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y ⨯⨯+++.选项说法错误.不符合题意；B. 61263=3616233y y x x y x +++=+++.选项说法错误.不符合题意；C. 22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==.选项说法正确.符合题意；D. 22222213112261())(33()3xx x y x y x y x ⨯==---⨯.选项说法错误.不符合题意.故选C12．（2021·重庆一中九年级开学考试）把代数式3xyx y+中的x 、y 同时扩大五倍后.代数式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．不变 C ．缩小为原来的15D ．扩大为原来的5倍【答案】D 【分析】解：3xyx y+中的x 、y 都扩大为原来的5倍.得3557515555()x y xy xy x y x y x y ⨯⋅==+++.故选：D ． 13．分式11x--可变形为（ ）． A ．11x -- B ．11x+ C ．11x -+ D ．11x -【答案】D 【分析】解：1111=1(1)11x x x x -==----+-.故选项A 、B 、C 均不符合题意.选项D 符合题意.故选：D ．14．（2021·河北张家口·一模）下列各式从左到右的变形中.不正确的是（ ） A ．2233a a-=- B ．66b ba a-=- C ．3344a ab b=- D ．8833a ab b--=-- 【答案】C 【分析】解：A 、2233a a-=-.符号改变了两处.改变了分子与分式的符号.分式的值不变.正确.故选项A 不符合题意；B 、66b ba a-=-.符号改变了两处.改变了分子与分母的符号.分式的值不变.正确.故选项B 不符合题意；C 、3344a ab b=-.符号改变了一处.改变了分母的符号.分式的值发生改变.不正确.故选项C 符合题意； D 、8833--=a ab b. 符号改变了两处.改变了分子与分式的符号.分式的值不变.正确.故选项D 不符合题意；故选：C ． 15．下列各式中.正确的有（ ）①263333()22=b b a a ；②222224()=++x x x y x y ；③a b a b a b a b -++=---；④1x y x y -+=--；⑤0x y x y +=+；⑥2222()()()()---+=+-x y x y x y x y ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①2633327()28b b a a =.故不符合题意；②222224()2x x x y x xy y =+++.故不符合题意；③a b a ba b a b-+-=--+.故不符合题意；④1x y x y -+=--.故符合题意；⑤1x y x y +=+.故不符合题意；⑥2222()()()()---+=+-x y x y x y x y .故符合题意；所以正确的有2个．故选：B ．16．下列分式中属于最简分式的是（ ） A ．42xB ．11xx -- C ．211x x -- D ．221xx + 【答案】D 【分析】解：A 、42=2x x.不是最简分式.故此选项不符合题意；B 、111x x -=--.不是最简分式.故此选项不符合题意；C 、211x x --=11(1)(1)1x x x x -=+-+.不是最简分式.故此选项不符合题意；D 、221xx +是最简分式.故此选项符合题意.故选：D ． 17．（2021·河北唐山·一模）若221()3m n m n m n -=≠-.则m n +=（ ） A ．3 B ．-3 C ．13D ．13-【答案】C【分析】∵()()22,m n m n m n m n m n m n +--=≠--.∴2213m n m n m n -=+=-.故选：C ． 18．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）分式222()a b a b --化简为最简分式的结果为（ ） A ．a b + B ．-a b C ．a ba b+- D ．a ba b-+ 【答案】C【分析】解：222()a b a b --=2()()()a b a b a b +--=a ba b+-．故选C ．19．（2021·广东·广州市第十六中学二模）分式3x y xy +.232yx .26xy xy 的最简分母是（ ） A ．3x B ．xC ．26xD ．226x y【答案】D 【分析】解：3x y xy +.232y x .26xy xy的分母分别是3xy 、22x 、26xy .故最简公分母为226x y ．故选：D ．20．（2021·河北唐山·一模）要把分式232a b 与2a bab c-通分.分式的最简公分母是（ ） A ．222a b c B ．332a b C ．332a b c D ．336a b c【答案】A【分析】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数.∵系数2与1的公倍数是2.2a 与a 的最高次幂是2a .b 与2b 的最高次幂是2b .对于只在一个单项式中出现的字母c 直接作公分母中的因式.∴公分母为：222a b c ．故选择：A ．21．能使分式2321020224x x x x ---+-的值为正整数的所有x 的值的和为（ ） A ．10 B ．0 C ．8- D ．10-【答案】D【分析】∵20x ≥.∴220x +>.()()()22322102102010224222x x x x x x x x -+---==-+---+.若分式的值为正整数.则210x -=-.1-.2-.5-.所以8x =-.1.0.3-.所以()810310-+++-=-.故选D. 22．关于分式的约分或通分.下列哪个说法正确（ ） A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x ﹣1 C ．22xx约分的结果是1D ．化简221x x -﹣211x -的结果是1【答案】D 【分析】解：A 、211x x +-＝11x - .故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2﹣1.故本选项错误；C 、22x x ＝2x .故本选项错误；D 、221x x -﹣211x -＝1.故本选项正确；故选D ．题型三 分式的运算23．（2021·四川蓬安·九年级月考）卵细胞是人体中最大的细胞.直径约为0.0002米.直径用科学记数法表示为（ ）米． A ．0.2×10﹣3 B ．0.2×10﹣4 C ．2×10﹣4 D ．2×10﹣3【答案】C【分析】解：直径约为0.0002米.用科学记数法表示为2×10﹣4米．故选：C ． 24．（2021·河南·郑州外国语中学九年级开学考试）化简22111a a a+--的结果正确的是（ ） A ．2311a a +- B ．2311a a -- C ．11a + D ．11a - 【答案】C 【分析】221212(1)111(1)(1)1(1)(1)1a a a a a a a a a a a a -++=-==--+--+-+；故选：C ． 25．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）如果a ﹣b ＝3那么代数式（222a b a+﹣b ）•aa b-的值为（ ） A 3B ．3C ．3 D ．3【答案】A【分析】解：原式222()22a b ab aa a ab +=-⋅-2()2a b a a a b-=⋅-2a b -=. 当23a b -=.原式233==故选：A ． 26．（2021·湖北·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．-a bB ．a b +C ．1a b- D ．1a b+ 【答案】A【分析】解：2b a b a a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭=22a b aa ab -⨯+ =()()a b a b a a a b +-⨯+ =-a b ．故选：A ．27．（2021·山东乳山·模拟预测）如果2320a a +-=.那么代数式2231933a a a a ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】解：2231933a a a a ⎛⎫+÷⎪-+-⎝⎭＝2333(3)(3)(3)(3)a a a a a a a ⎡⎤--+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦.23(3)(3)a a a a a -=⋅+-213a a =+ 由a 2+3a ﹣2＝0.得到a 2+3a ＝2.则原式＝12.故选B ． 28．已知实数a .b 满足1a b ⋅=.那么221111a b +++的值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】解：∵•1a b =.∴()2221a b ab ==.∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ． 29．（2021·重庆市天星桥中学九年级开学考试）化简2111a a a +--的结果为（ ）A ．211a a +-B ．211a a+-C ．1a +D ．1a -【答案】C【分析】解：原式=2111a a a ---=211a a --=()()111a a a +--=1a +．故选C ． 30．（2021·河北桥东·二模）当2ab =-时.计算2b a ba a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【分析】2b a b a a a ⎛⎫--÷⎪⎝⎭22a b a b a a --=÷()()a b a b aa ab -+=⋅-a b =+.把2a b =-代入得22a b b b +=-+=故选A ．31．（2021·河南·二模）下列各式计算正确的是（ ） A 42±B ．11011a a+=+- C ．2333122x y x x y ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭D ．22()()a b b a b a +-=-【答案】D【分析】42=.故该选项计算错误.不符合题意.B.21111211(1)(1)1a a a a a a a -+++==+-+--.故该选项计算错误.不符合题意.C.233122x y x xy ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭.故该选项计算错误.不符合题意.D.22()()a b b a b a +-=-.故该选项计算正确.符合题意.故选：D ． 32．（2021·山东诸城·二模）下列计算正确的是（ ） A ．1a ba b-+=-- B ．5333= C ．23193x x x -=-- D ．1122a a-=【答案】A 【分析】A.()1a b a b a b a b-+--==---.符合题意；B. 532333不符合题意；C. 23193x x x -=-+.不符合题意；D.1122a a -=.不符合题意．故选A ． 33．（2021·广东高要·二模）下列运算错误的是（ ） A ．224a a a += B ．34a a a ÷= C ．1a bb a-=-- D ．123ccc+=【答案】A【分析】A 、2222a a a +=.原式计算错误.符合题意；B 、34a a a ÷=.正确.不合题意；C 、1a b b a -=--.正确.不合题意；D 、123c c c+=.正确.不合题意；故选：A ．34．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知0b a >>.则分式a b 与11a b ++的大小关系是（ ）A ．11a ab b +<+B ．11a ab b +=+ C ．11a ab b +>+ D ．不能确定【答案】A 【分析】解：()()()()111111a b b a a a a bb b b b b b +-++--==+++.∵0b a >>.∴()1011a a a b b b b b +--=<++.∴11a ab b +<+.故选：A ．题型四 分式方程的概念与解法35．下列关于x 的方程.其中不是分式方程的是（ ） A ．1a ba xa++=B ．11b a a x b x-=+ C ．1x a x a b+-= D ．1x n x mx m x n-++=+- 【答案】C【分析】分式方程是分母含有未知数的等式．A 、1a ba xa++=分母含未知数.是分式方程.不符合题意；B 、11b a ax b x -=+分母含未知数.是分式方程.不符合题意；C 、1x a x a b+-=分母不含未知数.不是分式方程.符合题意；D 、1x n x mx m x n-++=+-分母含未知数.是分式方程.不符合题意；故选：C ． 36．下列结论正确的是（ ） A ．153y y+=是分式方程 B ．方程221624x x x --+-＝1无解 C ．方程223x xx x x x=++的根为x ＝0 D ．解分式方程时.一定会出现增根【答案】B【分析】解：A ．原方程中分母不含未知数.不是分式方程.所以A 选项不符合题意；B ．解方程.得x ＝﹣2.经检验x ＝﹣2是原方程的增根.所以原方程无解.所以B 选项符合题意；C ．解方程.得x ＝0.经检验x ＝0是原方程的增根.所以原方程无解.所以C 选项不符合题意；D ．解分式方程时.不一定会出现增根.只有使分式方程分母的值为0的根是增根.所以D 选项不符合题意．故选：B ．37．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级期中）方程5113x x =-+的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．4x =-D ．4x =【答案】C【分析】解：去分母得：5（x +3）=x -1. 去括号得：5x +15=x -1. 解得：x =-4.检验：把x =-4代入得：（x -1）（x +3）≠0. ∴分式方程的解为x =-4．故选：C ．38．（2021·重庆八中九年级月考）若关于x 的一元一次不等式组()31212x x x a ⎧-<+⎨≤+⎩的解集为4x <.且关于y 的分式方程2422y a ay y++=--的解是非负整数解.则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．13D ．15【答案】C【分析】解不等式()3121x x -<+得.4x <.2x a ≤+不等式组的解集为：4x < 24a ∴+≥2a ∴≥解分式方程2422y a ay y++=--得 2422y a ay y +-=-- 24(2)y a a y ∴+-=-整理得8=3ay -. 20,y -≠ 则82,3a-≠ 2,a ∴≠分式方程的解是非负整数解.803a-∴≥ 8a ∴≤.且8a -是3的倍数. 28a ∴<≤.且8a -是3的倍数.∴整数a 的值为58，5813∴+=.故选：C ．39．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）关于x的分式方程114211a xx x---=++有整数解.且关于y的不等式组116232(1)5y yy a-⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩有解.则所有满足条件的正整数a的和是（）A．6 B．12 C．14 D．20 【答案】A【分析】解：∵11 623 2(1)5y yy a-⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩∴y＜52.y≥32a-∵关于y的不等式组116232(1)5y yy a-⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩有解∴不等式组的解集为32a-≤y＜52.∴32a-＜52.即a-3＜5.可得a＜8由114211a xx x---=++有整数解,可得：x=22a-,即a为偶数∵x≠-1∴x≠6∵正整数a∴a=2或a=4∴4+2=6．故选A．40．（2021·重庆一中九年级期中）若关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解.且关于y的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数.则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．﹣6 B．0 C．4 D．12 【答案】D【分析】解：不等式组整理得：822xx a≤⎧⎨≥+⎩.∵关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解.∴2a+2≤8.即a≤3.解分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3得y＝22a+.∵关于y 的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数. ∴22a +≥0.且22a +≠1. 解得.a ≥﹣2.且a ≠0. ∴﹣2≤a ≤3.且a ≠0. ∵a 为整数.∴a ＝﹣2或﹣1或1或2或3.∴满足条件的所有整数a 的值之积：（﹣2）×（﹣1）×1×2×3＝12．故选：D ． 41．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）若关于x 的一元一次不等式组3214x x x a+⎧>-⎪⎨⎪≤⎩的解集为x a ≤.且关于y 的分式方程52122y a yy y--+=--有正整数解.则所有满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】解：3214x x x a +⎧>-⎪⎨⎪≤⎩①②. 解不等式①.得：x ＜6. 解不等式②.得：x ≤a . ∵该不等式解集为x ≤a . ∴a ＜6； 由52122y a yy y--+=-- 分式方程去分母.得：y -a -（5-2y ）=y -2. 解得：y =32a +. ∵分式方程有正整数解.且y ≠2.∴满足条件的整数a 可以取5；3；-1；共3个；故选：B ． 42．（2021·重庆·西南大学附中九年级月考）已知关于x 的分式方程()()232626mx x x x x +=--+-无解.且关于y 不等式组()4434m y y y ->⎧⎨-≤+⎩有且只有三个偶数解.则符合条件的整数m 有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】解：分式方程无解的情况有两种.分式方程去分母得：(2)2(2)(6)3(2)(2)mx x x x x x ++--=+-.整理得：2(1)2(8)360m x m x -+-+=.情况一：整式方程无解时.即()()24843610m m ∆=--⨯-<且10m -≠时.方程无解. ∴2521000m m -+<. 解得250m <<.即当250m <<时方程无解；情况二：当整式方程有解.是分式方程的增根.即2x =.或6x =.或2x =-. ①当2x =时.4(1)4(8)360m m -+-+=.解得0m =. ②当6x =时.36(1)12(8)360m m -+-+=.解得2m =. ③当2x =-时.4(1)4(8)360m m ---+=.此方程无解. 综合两种情况得.当0m =或250m <≤时.分式方程无解.解不等式得48y m y <-⎧⎨≥-⎩. 根据题意得不等式的解集为84y m -<-. ∵不等式组有且只有三个偶数解为8-.6-.4-. ∴442m -<--≤. ∴02m <≤.综上所述当2m =时符合题目中所有要求．故选：B ．43．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）若关于x 的分式方程211x kx x-=--有增根.则k 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣2 D ．﹣1【答案】D【分析】解：去分母得： ()21--=-x x k .∴22x x k -+=-.∴2x k =+∵分式方程有增根.10x -=.解得x =1.即210k +-=解得：k ＝﹣1.故选D ．44．（2021·重庆酉阳·九年级期末）在321012-,-,-,,,这六个数中.随机取出一个数记为a .那么使得关于x 的一元二次方程2420x x a --=有解.且使得关于x 的方程1311x a x x+-=--有整数解的所有a 的值之和为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】A【分析】解：要使得关于x 的一元二次方程2420x x a --=有解.则Δ≥16-4×（-2a ）≥0.解得a ≥-2,∴a 的可能值为-2.-1、0、1、2.解1311x a x x+-=--可得.22a x=+.1,x ≠ 21,2a∴+≠2,a ∴≠- 使得方程有整数解满足条件的a 的值为0、2.综上所述满足条件的a 的值为0、2.0+2=2.故选：A ．45．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学九年级开学考试）关于x 的分式方程311x mx x -=--有增根.则m 的值是（ ） A ．﹣2 B ．3 C ．﹣3 D ．2【答案】A【分析】解：去分母.得：x -3=m .由分式方程有增根.得到x -1=0.即x =1.把x =1代入整式方程.可得：m =-2．故选：A ．46．（2021·黑龙江佳木斯·三模）已知关于x 的分式方程3102112kx x x-+=--有解.则k 的取值范围为（ ） A ．2k ≠- B ．6k ≠- C ．2k ≠-且6k ≠- D ．2k <-且6k ≠-【答案】C 【分析】解：3102112kx x x-+=--. 去分母得.3210kx x ++-=. 解得.22x k -=+. ∵关于x 的分式方程3102112kx x x-+=--有解. ∴2122k -≠+且20k +≠. 解得.2k ≠-且6k ≠-.故选：C ．题型五 分式方程的应用47．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）高铁为居民出行提供了便利.从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地.乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍.设普通列车的平均速度为x km/h.依题意.下面所列方程正确的是（ ）A．36036033x x-=B．36036033x x-=C．360360313x x-=D．360360313xx-=【答案】A【分析】根据题意可得：列车的平均速度为x km/h.则高铁列车的平均速度为3x km/h.高铁列车所用的时间为：3603x.普通列车的时间为：360x.所列方程为：36036033x x-=.故选：A．48．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）某修路队计划x天内铺设铁路120km.由于采用新技术.每天多铺设铁路3km.因此提前2天完成计划.根据题意.可列方程为（）A．12012032x x=+-B．12012032x x=+-C．12012032x x=++D．12012032x x=++【答案】B【分析】解：原计划每天修建道路120xm.则实际用了（x﹣2）天.每天修建道路为1202x-m.根据采用新技术.每天多铺设铁路3km得.12012032x x=+-．故选：B．49．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学九年级月考）随着快递业务的增加.某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具.公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件.平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递人数不变.求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件.根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80 D．6000x＝840080x-【答案】A【分析】解：设原来平均每人每周投递快件x件.则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件.依题意得：6000x＝840080x+.故选：A．50．（2021·福建省厦门第六中学三模）某次列车平均提速v km/h.用相同的时间.列车提速前行驶s km.提速后比提速前多行驶50km.则方程50s svx x++=所表达的等量关系是（）A．提速前列车行驶s km与提速后行驶(s＋50)km的时间相等B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v hD ．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km 【答案】B【分析】解：∵用相同的时间.列车提速前行驶s km.提速后比提速前多行驶50km .∴s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程.∵某次列车平均提速v km/h.路程=速度×时间.∴方程50s s v xx++=表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km.故选B.51．（2021·山东淄博·中考真题）甲、乙两人沿着总长度为10km 的“健身步道”健步走.甲的速度是乙的1.2倍.甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/h x .则下列方程中正确的是（ ） A ．1010121.2x x-= B ．10100.21.2x x-= C ．1010121.2x x-= D ．10100.21.2x x-= 【答案】D【分析】解：由题意得：10100.21.2x x-=；故选D ． 52．（2021·重庆市育才中学九年级月考）每年中秋节.某商家生产的甲、乙、丙三种月饼礼盒一直深受消费者喜爱．今年中秋节.该商家继续售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒.已知去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4:9:7．今年.由于商家加大了促销宣传力度.预计三种月饼礼盒的营业额都会增加.其中甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的815.此时.甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为4:15.为使今年乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为6:5.则今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为______． 【答案】1:25【分析】解：∵甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为4:15.且乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为6:5.∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4∶6∶5.设今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4a .6a .5a .则今年总营业额为15a .∵去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4:9:7.∴设去年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4b .9b .7b .则去年总营业额为20b .∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别增加了44a b -.69a b -.57a b -.总营业额增加了1520a b -.∵甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的815.∴448152015a b a b -=-.解得：0.6b a =.经检验：b＝0.6a 符合题意.∴今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为69690.66 5.4115151525a b a a a a a a a --⨯-===.故答案为：1∶25． 53．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）重庆某笔记本电脑公司每年都会组织员工出国学习旅行.今年有A 、B 、C 、D 四个国家可供员工们选择（每名员工只能选择一个国家旅行）.但要求选择A 、C 两个国家的人数相同.选择B 、D 两个国家的人数也相同.选择A 、B 两国的人数总和为100人.A 、D 两国的费用单价相等.B 、C 两个国的费用单价也相等.A 、B 两国的费用单价之和不超过8万元.且选择A 、B 两个国家的员工总费用比选择C 、D 两个国家员工总费用多20万元.则选择A 、B 两个国家员工总费用的最大值为__万元． 【答案】410【分析】解：设有x 人选择A .A 单价为1y 万元.B 单价为2y 万元.依题意可知.B 有(100)x -人.即100x <.128y y +①.1221(100)[(100)]20xy x y xy x y +--+-=.即121050y y x -=-.100x .5050x ∴-.101505x -. 即1215y y -②.①+②得24125y .解得24110y .代入①中.13910y .代入②中.13910y .13910y ∴=.24110y ∴=.A ∴、B 两个国家员工总费用为12(100)xy x y +-.B 单价A >单价.0x ∴=时总费用最大.最大值为410(1000)41010+-⨯=（万元）．故选择A 、B 两个国家员工总费用的最大值为410万元．故答案为：410．54．（2021·四川省宜宾市第二中学校三模）某服装厂准备加工400套运动装.在加工完160套后.采用了新技术.使得工作效率比原计划提高了20%.结果共用了18天完成任务.问计划每天加工服装多少套？在这个问题中.设计划每天加工x 套.则根据题意可得方程为__________________．【答案】160x +()400160120%x -+=18【分析】根据题意.采用新技术前所用时间为：160x天.采用新技术后所用时间为：()400160120%x -+天.∴所列方程为：160x +()400160120%x -+=18.故答案为：160x +()400160120%x -+=18．55．（2021·辽宁鞍山·中考真题）习近平总书记指出.中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化.某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后.发现这批图书满足不了学生的阅读需求.图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书.于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元.则符合题意的方程是___________________． 【答案】3600240040.8x x-= 【分析】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元.则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x 元.依题意得：3600240040.8x x -=．故答案为：3600240040.8x x-=． 56．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）2021年4月8日世界园艺博览会在扬州拉开了帷幕.世园会以“绿色城市.健康生活”为主题.吸引了大批游客游览.世园会成人一日票分为平日票和指定日票.其中平日票比指定日票便宜30元/张.某一售票点在5月份售出平日票4万元.指定日票2.6万元.且售出的平日票数量是指定日票的2倍.这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各多少张？【答案】这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各400张.200张．【分析】解：设这一售票点在5月份售出的指定日票为x 张.则平日票为2x 张.由题意得：2600040000302x x-=. 解得：200x =.经检验200x =是原方程的解.∴2400x =.答：这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各400张.200张．57．某公司生产开发了960件新产品.需要经过加工后才能投放市场.现在有A .B 两个工厂都想参加加工这批产品.已知A 工厂单独加工这批产品比B 工厂单独加工这批产品要多用20天.而B 工厂每天比A 工厂多加工8件产品.公司需要支付给A 工厂每天80元的加工费.B 工厂每天120元的加工费．（1）A .B 两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中.公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导.并负担每天5元的午餐补助费．请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱.并说明理由．【答案】（1）A 每天加工16件.B 每天加工24件；（2）两个工厂合作完成.理由见解析 【分析】解：（1）设A 每天加工x 件产品.则B 每天加工x ＋8件产品.由题意得960960208x x -=+.解得x ＝16件.答：A 每天加工16件产品.则B 每天加工24件产品； （2）A 单独加工完成需要960÷16=60天.费用为：60×（80+5）=5100元.B 单独加工完成需要960÷24=40天.费用为：40×（120+5）=5000元；A 、B 合作完成需要960÷（16+24）=24天.费用为：24×（120+80+5）=4920元．所以既省时又省钱的加工方案是A 、B 合作．58．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级月考）某单位在疫情期间用6000元购进A 、B 两种口罩1100包.购买A 种口罩与购买B 种口罩的费用相同.且一包A 种口罩的单价是一包B 种口罩单价的1.2倍． （1）求A .B 两种口罩一包的单价各是多少元？（2）若计划用不超过11000元的资金再次购进A 、B 两种口罩共2000包.已知A 、B 两种口罩的进价不变.求A 种口罩最多能购进多少包？【答案】（1）A 种口罩一包的单价为6元.B 种口罩一包的单价为5元（2）A 种口罩最多能购进1000包【分析】(1) 设B 种口罩一包的单价为x 元.则A 种口罩一包的单价为1.2x 元.根据题意.得：3000300011001.2x x+=.解得：x = 5.经检验.x = 5是原方程的解.且符合题意.则1.2 x = 6.答：A 种口罩一包的单价为6元.B 种口罩一包的单价为5元；(2)设购进A 种口罩m 包.则购进B 种口罩(2000-m )包. 依题意.得：6m +5 (2000 - m )≤ 11000.解得：m ≤ 1000.答：A 种口罩最多能购进1000包．59．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级月考）杭州国际动漫节开幕前.某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销.就用32000元购进了一批这种玩具.上市后很快脱销.动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具.所购数量是第一批购进数量的2倍.但每套进价多了10元．（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？（2）如果这两批玩具每套的售价相同.且全部售完后总利润率不低于20%.那么每套售价至少是多少元？【答案】（1）600套；（2）200元【分析】解：（1）设动漫公司第一次购x 套玩具.由题意得：6800032000102x x-=.解这个方程.200x =.经检验.200x =是原方程的根．∴22200200600x x +=⨯+=.答：动漫公司两次共购进这种玩具600套．（2）设每套玩具的售价y 元.由题意得：600y 320006800020%3200068000--≥+.解这个不等式.200y ≥.答：每套玩具的售价至少是200元．60．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液.进货时发现.甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元.用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用100元购进乙品牌洗衣液数量的45．销售时.甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶.乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶.且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元.超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶.才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶.乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶.乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大.最大利润是560元【分析】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为x 元/瓶.则乙品牌洗衣液进价为()6x -元/瓶. 由题意可得.18004180056x x =⋅-. 解得30x =.经检验30x =是原方程的解.答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶.乙品牌洗衣液进价为24元/瓶. （2）设利润为y 元.购进甲品牌洗衣液m 瓶. 则购进乙品牌洗衣液()120m -瓶. 由题意可得.()30241203120m m +-≤. 解得40m ≤.由题意可得.()()()363028*********y m m m =-+--=+. ∵20k =>.∴y 随m 的增大而增大.∴当40m =时.y 取最大值.240480560y =⨯+=最大值.答：购进甲品牌洗衣液40瓶.乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大.最大利润是560元． 61．（2021·重庆八中九年级月考）巫溪某村民承包土地发展李子种植.2020年开始大量投产增收.其中早熟李种植面积亩数是晚熟李种植面积亩数的3倍.早熟李、晚熟李分别收益60000元和40000元.而早熟李平均每亩收益比晚熟李少1000元． （1）2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有多少亩？（2）在扶贫专家小组的精准帮助下.优化管理.淘汰了部分低产李子林改种其他经济作物增加收益.2021年.早熟李、晚熟李的种植面积比2020年分别降低了1%3a 和%a .然而平均每亩早熟李和晚熟李的收益在2020年基础上分别增加了%a 和1%2a .2021年两种李子的总收益与2020年两种李子总收益相等.求a 的值．【答案】（1）早熟李种60亩.晚熟李种20亩；（2）50．【分析】解：（1）设2020年晚熟李种植面积有x 亩.则早熟李种植面积为3x 亩. 根据题意.得40006000010003x x-= . 解方程.得20x. 经检验.20x是分式方程式得解.360x ∴= . 即2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有60亩、20亩．（2）由（1）可得: 2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有60亩、20亩.2020年早熟李平均每亩收益为60000100060=元.晚熟李平均每亩收益为40000200020=元. 由题意可得：2021 年早熟李、晚熟李种植面积分别有1601%3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭亩、()201%a -亩. 2021 年早熟李平均每亩收益为()10001%a + 元.晚熟李平均每亩收益为120001%2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元. 由2021 年两种李子的总收益与2020 年两种李子总收益相等.得.()()11601%10001%201%20001%600004000032a a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯++-⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令%t a =.则()()11600001140000111000032t t t t ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()()()31125t t t t -++-+= .223225t t t t +-+--=.220t t -=.()210t t -=.0t =或0.5=t .0a =（舍）.50a =．答：50a =．62．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液.已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元.若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液.则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半． （1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；（2）经商谈.商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠.如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个.且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元.那么该学校最多可购买多少个测温枪？【答案】（1）购买一个测温枪需要25元.购买一瓶洗手液需要5元；（2）该学校最多可购买50个测温枪．【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元.则购买一个测温枪需要(20)x +元.依题意.得：4001160202x x=⨯+. 解得：5x =.经检验.5x =是原方程的解.且符合题意.2025x ∴+=．答：购买一个测温枪需要25元.购买一瓶洗手液需要5元．（2）设该学校购买m 个测温枪.则购买(28)m +瓶洗手液.依题意.得：255(28)1540m m m ++-.解得：50m ．答：该学校最多可购买50个测温枪．63．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫.帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比.今年这种水果的产量增加了1000千克.每千克的平均批发价比去年降低了125.批发销售总额比去年增加了20%． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元.求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?（2）今年某水果店从果农处直接批发.专营这种水果.调查发现.若每千克的平均销售价为41元.则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元.每天可多卖出180千克．工商部门规定.该水果利润率不得超过40%.设水果店一天的利润为W 元.当每千克的平均销售价为多少元时.该水果店一天的利润最大.最大利润是多少?（利润计算时.其他费用忽略不计.并且售价为整数）【答案】（1）24元；（2）每千克平均售价为33元.最大利润为7020元．【分析】解： （1）由题意.设这种水果去年每千克的平均批发价是x 元.则今年的批发价为1125x ⎛⎫- ⎪⎝⎭元 .今年的批发销售总额为10（1+20%）=12万元 ∴ 1000001200001000,1125x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭解得x =25经检验x =25是分式方程的解．。
《分式方程(1)》教案
第十五章分式15.3分式方程第1课时一、教学目标（一）学习目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．（二）学习重点解分式方程的基本思路和解法．（三）学习难点解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）分母中含__未知数____的方程叫做分式方程．（2）解分式方程的基本思路：利用“__去分母_”法将分式方程化为整式方程．2．预习自测（1）在下列方程中，关于x的分式方程有()①215x＝3＋216x，②xp＝xp，③2(1)1xx--＝1，④xm－nm＝xn(m，n为非零常数)，⑤7x＋+19x，⑥xm＋yn＝1(m，n为非零常数)．A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】分式方程的定义【解题过程】解：①④⑥分母中没有未知数，不是分式方程；⑤不是等式，所以不是分式方程；②③是方式方程．故选B．【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程【答案】B．（2）若x＝3是分式方程2ax-－12x-＝0的根，则a的值是()A．5 B．－5 C．3 D．－3【知识点】分式方程的有关概念【解题过程】解：把x＝3代入分式方程求得a=5．故选A．【思路点拨】利用分式方程的解求a．【答案】A．（3）把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘()A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)【知识点】分式方程的解法．【数学思想】化归思想【解题过程】解：方程两边同乘以x(x＋4)，可以转化为一元一次方程．故选D．【思路点拨】方程两边同乘以最简公分母．【答案】D．（4）方程211xx-+＝0的解是()A．x＝1或－1 B．x＝－1 C．x＝0 D．x＝1【知识点】分式方程的解法．【解题过程】解：左边约分可得x-1=0，则x＝1，经检验x＝1是原分式方程的解.【思路点拨】先去分母，化为整式求解.【答案】D．（二）课堂设计1．知识回顾（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．（2）解一元一次方程的步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1．如何解一元一次方程：211 3332x xx-++=-.解：去分母，得18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)．去括号，得18x＋4x－2＝18－3x－3移项，得18x＋4x＋3x＝18－3＋2.合并同类项，得25x＝17.系数化为1，得x ＝1725.2．问题探究探究一 分式方程的概念.●活动① 整合旧知，探究分式方程的概念.问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设水流的速度为v 千米/时.(1)轮船顺流航行速度为________千米/时，逆流航行速度为________千米/时；(2)顺流航行100千米的时间为________小时；逆流航行60千米的时间为________小时；(3)根据题意可列方程为______________________________.师生活动: (1) 20+v 20-v ；(2) v +20100 v -2060；(3)v +20100=v -2060 追问1：所列方程与方程2157146x x ---=相比有什么不同？ 归纳：像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.追问2：分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现这两种方程的区别在于未知数是否在分母上.未知数在_____的方程是分式方程.未知数不在分母的方程是____方程.师生活动：分母、整式.追问3：你能再写出几个分式方程吗？【设计意图】让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数.探究二 探索分式方程的解法●活动① 大胆操作，探究新知识问题2：你能尝试解分式方程：100602020v v =+- 吗？师生活动：学生独立思考，并尝试解这个方程，全班交流分式方程的解法．【设计意图】让学生在已有的知识经验基础上，尝试解分式方程．●活动② 集思广益，得出分式方程的解法问题3：这些解法有什么共同特点？师生活动：学生讨论之后，教师总结，上述解法依据虽不同，但解分式方程的基本思想是一致的，即将分式方程转化为整式方程．教师再次提问：思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？学生思考后总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了；（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．【设计意图】通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母.●活动③追问 你得到的解v =5 是分式方程的100602020v v=+-解吗？ 【设计意图】让学生知道检验分式方程的解的方法-----将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等.探究三 分析增根产生的原因 ●活动① 增根产生的原因例1 解分式方程：2110525x x =-- 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)，转化为整式方程．【解题过程】解：两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)得x ＋5 ＝10解得x ＝5，问题：x =5是原分式方程2110525x x =--的解吗？该如何验证呢？ 小结：x ＝5 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解，是增根．产生的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．检验：当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，因此x ＝5不是原分式方程的解，原分式方程无解． 师生总结：基本思路：将分式方程化为整式方程一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 练习：解分式方程：233x x=-． 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母x (x －3)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：两边都乘x (x －3)，得2x ＝3x －9解得x ＝9检验：当x ＝9时，x (x －3)≠0.所以，原分式方程的解为x ＝9【答案】x ＝9【设计意图】让学生了解分式方程增根的原因，明白解分式方程必须检验.●活动2例2 解分式方程：()()31112x x x x -=--+ 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母(x －1)(x ＋2)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3. 解得x ＝1， 检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解.【答案】无解练习：解方程：-2++2x x 24=14x - 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，结果要检验．【解题过程】解： 方程的两边同乘x 2－4，得(x －2)2＋4＝x 2－4，解得x ＝3.检验：当x ＝3时，x 2－4≠0，所以x ＝3是原方程的解．【答案】x ＝3.【设计意图】让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想.●活动3例3 当m 为何值时，关于x 的方程223+242mx x x x =--+的解小于零． 【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解小于零 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)，得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，整理，得(1－m )x ＝10，解得x ＝101-m. ∵方程的解小于零，∴101-m <0且101-m ≠－2. 解得m >1且m ≠6.【答案】m >1且m ≠6.练习： 已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是___________． 【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解为负数 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：去分母，得(x－1)(x＋k)－k(x＋1)＝x2－1.整理，得x＝1－2k.依题意，得12121kk＜0ì-ïí-贡ïî, 解得k＞12且k≠1.【答案】k＞12且k≠1.【设计意图】解题时让学生注意原方程分母不为零的这一隐含条件.3. 课堂总结知识梳理（1）分母中含未知数的方程叫做分式方程.（2）解分式方程的基本思想：把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解. （3）解分式方程的方法及一般步骤：①去分母，方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；——化整②解这个整式方程；——解整③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．——验根重难点归纳（1）解分式方程的基本思想；（2）解分式方程的方法及一般步骤；（3）解分式方程过程中产生增根的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．（三）课后作业基础型自主突破1．下列方程是分式方程的是()A. x－15＋34＝1 B.3p＋2x＝3 C.1x－1＝2 D.x＋2x－x＋33【知识点】分式方程的定义【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程.【解题过程】解：A、B分母中没含有未知数，不是分式方程；D不是等式，所以不是分式方程；C是分式方程．故选C．【答案】C．2．解分式方程1101x+=-，正确的结果是（）A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：1+x﹣1=0，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解，故选A【答案】A.3．将分式方程231-11xx x=--去分母，得到正确的整式方程是()A.1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C.1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3 【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以(x－1)．【解题过程】解：去分母得：x－1－2x＝3，故选B【答案】B.4．当a＝________时，关于x的方程12325x ax a+-=-+的解为x＝0.【知识点】分式方程的解【思路点拨】把x＝0代入分式方程可求解．【解题过程】解：把x＝0代入分式方程得0123025aa+-=-+，则a+5= -2(2a-3), 得a＝15【答案】1 5 .5．若式子12x-和32+1x的值相等，则x＝________．【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】列分式方程，去分母，解整式方程可得．【解题过程】解：12x-=32+1x，去分母得：2x+1=3（x-2），解得x=7，经检验x=7是原方程的解.【答案】76．解分式方程413x x-= -【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解，再代入x(x﹣3)进行检验即可．【解题过程】解：方程两边都乘以最简公分母x(x﹣3)得：4x﹣(x﹣3)=0，解得：x=﹣1，经检验：x=﹣1是原分式方程的解故答案为：x=﹣1．【答案】x=﹣1．能力型师生共研7．若关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m ≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣34【知识点】分式方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想.【思路点拨】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．【解题过程】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，∵关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，∴﹣2m+9＞0，解得：m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，故m的取值范围是：m＜92且m≠32．故选B．【答案】B．8．若关于x的方程2222x mx x++=--无解，则m的值是______.【知识点】分式方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母把分式方程转化成整式方程，再利用分式方程无解，把增根代入整式方程，进而得出答案．【解题过程】解：去分母，得2－x－m＝2x－4，即3x＝6－m.∵方程无解，∴x＝2.把x＝2代入3x＝6－m，得m＝0.【答案】0．探究型多维突破9．小明解方程121xx x--=的过程如下：解：方程两边同乘x得1－(x－2)＝1，①去括号得1－x－2＝1，②合并同类项得－x－1＝1，③移项得－x＝2，④解得x＝－2，⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】按照解分式方程的步骤检查得出答案．【解题过程】解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．正确解法是：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，去括号，得1－x＋2＝x，移项，得－x－x＝－2－1，合并同类项，得－2x＝－3，两边同除以－2，得x＝3 2.经检验，x＝32是原方程的解．所以原方程的解是x＝3 2.10．请你仔细观察下述材料：方程1111123x x x x-=-+--的解为x＝1；方程1111134x x x x-=----的解为x＝2；方程11111245x x x x-=-----的解为x＝3；….(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x＝－5的分式方程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】观察总结规律，要从整体和部分两个方面入手，防止片面地总结，得出错误结论．【解题过程】解：(1) 方法一：分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的差，这四个整数左边两个连续，右边两个连续，左右两边不连续，但只间隔一个整数，每个分式的分子都是1，方程的解正好是中间被省略的那个整数，即1111(2)(1)(1)(2)x n x n x n x n-=------+-+，方程的解是x＝n(n为整数)．方法二：第(1)问的规律方程也可以写成：1111(1)(3)(4)x n x n x n x n-=---+-+-+，此时，方程的解应为x＝n＋2(n为整数)．(2)将x＝－5代入上式，可得所求分式方程为11117+6+4+3 x x x x-=-+.自助餐1．下列关于x 的方程中,是分式方程的是( ) A. 23356x x ++-= B. 137x x a -=-+ C. x a b x a b a b-=- D. 2(1)11x x -=- 【知识点】 分式方程的定义【思路点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．【解题过程】解：A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B.方程分母含字母a ，但它不是表示未知数，也不是分式方程；C.方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程；D.方程分母中含未知数x ，是分式方程.故选D.【答案】D ．2．分式方程21221-93+3x x x -=-的解为( ) A ．3 B ．－3 C ．无解 D ．3或－3【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】依据解分式方程的步骤可得．【解题过程】去分母得12－2(x ＋3)＝x －3，解得x ＝3.经检验，当x ＝3时，x 2－9＝0，即x ＝3不是原分式方程的解，故原方程无解．故选C .【答案】C .3．当a ＝________时，关于x 的方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同． 【知识点】方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想 【思路点拨】先解分式方程43x x -=，再把它的解代入另一个分式方程可得结果． 【解题过程】解：由方程43x x -=得x －4＝3x ，解得x ＝－2.当x ＝－2时，x ≠0，所以x ＝－2是方程43x x -=的解．又因为方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同，因此x ＝－2也是方程2111ax a x -=--的解．这时221121a a --=---，解得a ＝17. 当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件． 【答案】17. 4．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为_______. 【知识点】方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】先去分母得整式方程，再把增根代入整式方程可得结果．【解题过程】解：方程两边都乘x －3，得x －2(x －3)＝m 2.∵原方程无解，∴x ＝3.把x ＝3代入x －2(x －3)＝m 2，得m ＝±3.【答案】±3.5. 解分式方程：21344-12142x x x x +=-+- 【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】方程两边同时乘以（2x +1）（2x -1），即可化成整式方程，解方程求得x 的值，然后进行检验，确定方程的解． 【解题过程】解：原方程即132(21)(21)2121x x x x x +=-+-+-， 两边同时乘以(2x +1)(2x −1)得：x +1=3(2x −1)−2(2x +1)，x+1=6x −3−4x −2，解得：x =6.经检验：x =6是原分式方程的解。
分式(一)分式的概念与计算
分式（一）分式的概念与计算学习目标1.学习分式的概念性质2.熟练掌握分式的通分与拆分技巧，3.巩固乘法公式与因式分解技巧专题简介分式是新人教版大纲中，八年级上学期内容，基础知识简单，但是相关专题中会涉及众多代数技巧，难度会陡然真大．分式的概念与计算是历年中考必考内容，在中考中考察方式较为基础．但是在各类竞赛中，特别是全国初中数学联赛中分式的各类恒等变形技巧是考察重点，同时也是难点之一．分式作为代数式中承上启下的知识点学好的关键在于温故而知新，只要熟练掌握，整式恒等变形的技巧，分式学习就会很轻松，只是在整式技巧的基础下，额外增加了通分、拆分取倒等新技巧的综合．专题分类1、分式的基本概念与性质：___________________2、分式的基本运算：_________________________3、分式的拆分：_____________________________模块一：分式的基本概念和性质知识导航一、分式的基本概念【例1】(1)代数式1312,,,,34a b m nbx a+-+π中，分式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个(2)使代数式3234x xx x++÷--有意义的x的值是___________．x________时，分式1111x++有意义．不论x为何值，分式21 2x x c++总有意义，则c____________．(3)已知分式22153x xx+--的值为零，那么x的值是_____________．当_____________分式21 5x x -+的值为正数；当x满足_____________时，12xx+<-．(4)当x _______时，分式233x x --的值为1；如果分式121x x -+的值为－1，则x 的值是_________． (5)当x _________时，分式48x -的值为正数；当_______时，分式48xx--的值为负数． 【练1】(1)要使分式11x x-有意义，求x 的取值范围；(2)分式22123x x x ---有意义，求x 的取值范围；(3)已知分式()()811x x x -+-的值为0，求x 的值．【例2】(1)将分式2x x y+中的x 、y 的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值( )A.扩大3倍B.缩小3倍C.保持不变D.扩大32倍 (2)若()()()()2223328x m x x x m ---=---成立，则m 的值为_____． (3)约分3232430x y x y -＝________；26231x xx ++＝________．(4)分式()23121,,7322x y xy x y x x y---的最简公分母为________． 【练2】通分：(1)()2222,,1121x x x x x x x +---+；(2)()()()()()()111,,a b a c b c b a c a c b ------分式的基本运算基础夯实【例3】计算：(1)()2322x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2)2212239a aa a a a -+÷---(3)2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【练3】计算：()22221031525965a a a a a a a-+÷-⋅-+-．【例4】已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值． 【练4】(1)已知220x-=，求代数式()222111x x x x -+-+的值． (2)已知12x y =，求2222222x x y yx xy y x y x y-⋅+-++-的值． 强化挑战【例5】化简：2222222211222a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⋅⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦【练5】化简：()()()()()()222222222222a b c b c a c a b a c ba b cb c a ------+++-+-+-．【例6】化简：2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-．巅峰突破【例7】化简：()()4222223366422412b a a a b b a ab b a b a b a a b b ---⎛⎫-÷ ⎪-+----+⎝⎭．【练7】化简：()442432164242416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+．模块三：分式的拆分 知识导航分式计算技巧——分式的拆分分式拆分的基本模型11a b ab a b+=+，这种模型在计算中运用分式广泛！而复杂的题型通常将这种性质包容在其中．如：()()b ca b a c ---冷眼看，不是符合基本模型，若对分子稍加边形则里面出现基本模型．()a b a c c b ---=-，所以原式变为()()()()11a b a c a b a c a b c a---=+----题型1分式拆分 基础夯实【例8】化简：2221113256712x x x x x x ++++++++ 【练8】化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++ 强化挑战【例9】化简：222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+．【练9】化简：()()()()()()222a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++．题型2部分分式 基础夯实【例10】仿照例子解题： 例子：若215111M N xx x x -+=+--恒成立，求M 、N 的值． 解题过程如下：∵215111M N xx x x -+=+--，∴M (x －1)＋N (x ＋1)＝1－5x 则Mx －M ＋Nx ＋N ＝1－5x ， 即Mx ＋Nx ＋N －M ＝－5x ＋1 故(M ＋N )x ＋(N –M ) ＝－5x ＋1， ∴51M N N M +=-⎧⎨-=⎩解得：32M N =-⎧⎨=-⎩请你按照上面的方法解题：若28224M N x x x x -+=+--恒成立，求M 、N 的值． 【练10】已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求4A －2B 的值．强化挑战 题型2 分离常数【例12】阅读下面材料，并解答问题．材料：讲分式42231x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．解：由分母为－x 2＋1，可设－x 4－x 2＋3＝(－x 2＋1)(x 2＋a )＋b则－x 4－x 2＋3＝(－x 2＋1)(x 2＋a )＋b ＝－x 4－ax 2＋x 2＋a ＋b ＝－x 4－(a －1)x 2＋(a ＋b )．∵对应任意x ，上述等式均成立， ∴113a ab -=⎧⎨+=⎩，∴a ＝2，b ＝1． ∴()()()()222242222222121123112+11111x x x x x x x x x x x x -+++-++--+==+=+-+-+-+-+-+． 这样，分式42231x x x --+-+被拆成了一个整式22x +与一个分式211x -+的和． 解答：(1)将分式422681x x x --+-+拆成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．(2)试说明422681x x x --+-+的最小值为8．第4讲 七年级尖端班课后作业 分式(一)概念与计算【习1】当x 为何值时，下列分式的值为零？(1)1x x+(2)211x x -+(3)33x x --(4)237x x ++(5)2231x x x +--(6)2242x x x-+【习2】x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？ 【习3】如果分式61x+的值为正整数，则正整数x 的值的个数是( ) A.2个 B.3个C.4个D.5个【习4】如果把223xyx y-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值( )A.扩大5倍B.不变C.缩小5倍D.扩大4倍【习5】不改变分式的值，将下列各分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果不正确的为( )A.113223113223a ba b a b a b ++=-- B.1.30.813820.7207x y x yx y x y--=--C.134624172748x yx y x y x y --=++ D.135320.55x y x y x x --= 【习6】先化简：22211a a a a a a --⎛⎫-÷⎪+⎝⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值． 【习7】计算：()2226634443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- 【习8】3232242312111x x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭【习9】(第9届希望杯试题)化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+＝__________.【习10】求代数式的值：2222242x x xx x x -÷++-+，其中12x =． 【习11】先化简，再求值：3221691322x x x xx x x x -+-⋅----，其中x ＝－6 【习12】先化简，再求值：2223193693x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中x ＝2 【习13】化简：2481124811111x x x x x -----++++．【习14】计算：22216103224x x x x x x x ----++---． 【习15】化简：()()()()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． 【习16】化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---．【习17】将下列分式写成部分分式的和的形式：2342x x x +--【习18】已知22x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b ．。
一元二次方程解法(分式法1)
三步：带入求根公式
- b b 2 4ac x 2a
。
一元二次方程的解法（3）--公式法 二：新课学习 3、练习：用公式法解下列方程（课本P43 随堂练习2） （1）、 （2）、
2x 9x 8 0
2 2
9x 6x 1 0 （3）、 16x 2 8 x 3 （4）、 x( x 3) 5 0
4ac 4a 2
得：x
-b
b 2 4ac 2a
一元二次方程的解法（3）--公式法 二：新课学习
一元二次方程的解法（3）：公式法
一元二次方程给他的求根公式：
对于一元二次方程
2
ax bx c 0(a 0)
2
当b 4ac 0时，
- b b 4ac 得：x 2a
课本p43随堂练习一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数求这个三角形的三条边长
一元二次方程的解法（3）--公式法 一、复习引入： 1、所学的一元二次方程解法有什么？
一元二次方程的解法（3）--公式法 一、复习引入： 1、所学的一元二次方程解法有什么？ 一元二次方程解法有：
（1）、直接开平方法，解形如 2 2 x n(n 0) 或（x m） n(n 0) 。 （2）、配方法。把方程化成
一元二次方程的解法（3）--公式法 二：新课学习 4、练习：课本P43 随堂练习 3
一个直角三角形三条边的长为三个 连续偶数，求这个三角形的三条边长.
三、课堂小结
1、公式法解一元二次方程的方法相当于过去所学 的什么数学知识？
2、解一元二次方程的一般步骤？
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤: 一步：化成一般形式，找出a、b、c的值；
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分式
考点1： 分式的概念 相关知识：
一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成
B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B
A 就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
相关试题： 1. （ 2011重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( ) A.2
x B.
1+x x C. y x +2 D. 3
x 考点2： 分式的性质 相关知识：
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
基本性质：a b =
am
bm
（m ≠0）
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
符号法则：a
b a b a b -=-=- 相关试题： 1．如果把分式
y
x xy
+中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A ．扩大4倍； B ．扩大2倍； C ．不变； D 缩小2倍 2．如果把分式
22a b
a b
+-中的a ，b 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ） A ．是原来的3 倍 B ．是原来的 5 倍 C ．是原来的13
D ．不变
考点3：分式有意义、值为0的条件 相关知识：
1．分式有意义的条件：分母不等于0.
2．分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.
相关试题：
1. （2011浙江省舟山）当x 时，分式x
-31
有意义． 2. （2011浙江杭州）已知分式
23
5x x x a
--+，当
x ＝2时，分式无意义，则a ＝ 。
3. （2011福建泉州）当x = 时，分式2
2+-x x 的值为零.
4. （2011四川南充市） 当8、分式
2
1
+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－2
5、当x=______时，分式2x x
x
-的值为0．
当x 时，分式3
9
2--x x 的值为零.
考点4：与分式有关的变形求值题 相关知识： 相关试题：
1. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则b
a ab
-的值是 A.2
1
B.－2
1 C.
2 D.－2 2、⑴ 已知 31=-
x x ，则221
x
x + ＝ . ⑵（09芜湖）已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y
----的值为 .
考点5：分式的运算 相关知识：分式的运算法则
分式乘法：a c ac b d bd ⨯=，分式除法：a c a d ad b d b c bc ÷=⨯=，分式乘方 ()n
n n a a b b = ，（n 为正整数）
同分母分式相加：
;c b a c b c a ±=± 异分母分式相加：bd
bc
ad d c b a ±=± 繁分式：①定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．②化简方法（两种）通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简．
相关试题：
1.（2010湖北孝感）化简x y x y
y x x ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭
的结果是（ ）
A.
1
y
B. x y y +
C. x y y -
D. y
2. （2011山东威海）计算：211(1)1m
m m
+÷
⋅--的结果是（ ） A ．221m m --- B ．221m m -+- C ．221m m -- D ．21m -
3. （2011浙江丽水）计算1a -1 – a
a -1的结果为（ ）
A. 1+a
a －1
B. －a a -1
C. －1
D.1－a
4. （2011山东临沂）化简（x －
x 1-x 2）÷（1－x
1
）的结果是（ ） A ．x
1
B ．x －1
C ．x 1-x
D ．1
-x x
5. （2011广东湛江）化简22
a b a b a b
---的结果是 A a b + B a b - C 22a b - D 1
6．（2011浙江金华）计算1a -1 – a
a -1的结果为（ ）
A. 1+a a －1
B. －a a -1
C. －1
D.1－a
7. （2011福建福州）化简1
(1)(1)1m m -++的结果是 .
8. （2011山东泰安）化简：（2x x+2-x x-2）÷x
x 2-4的结果为 。
9. （2011山东聊城）化简：2222
222a b a b
a a
b b a b
--÷+++＝__________________．
10. （2011湖南永州）化简a
a a -+-11
1=________．
11. （2011江苏盐城）化简：x 2 - 9
x - 3 = ．
12. （2011安徽）先化简，再求值：1
2
112---x x ，其中x =－2．
13. （2011江苏扬州）x
x x 1
)11(2-÷+
14. （2011四川南充市）先化简，再求值：2
1x x -(x
x 1
-－2),其中x =2.
15. （2011浙江衢州）化简：3a b a b
a b a b
-++--.
16. （2011四川重庆）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x
x 2＋2x ＋1
，其中x 满足x 2－x
－1＝0．
17. （2011福建泉州）先化简，再求值2221x
x
x x x +⋅-，其中2x =．
18. （2011湖南常德）先化简，再求值.
22
1211
,2.
1
11x x x x x x x ⎛⎫-+
-+÷= ⎪
+-+⎝⎭
其中
19. （2011湖南邵阳）已知111x =-，求211
x x +--的值。
20. （2011广东株洲）当2x =-时，求221
11
x x x x ++++的值．
21．（2011江苏泰州）a
b
a b a b b a +⋅+)2﹢﹣（
22. （2011四川广安）先化简22(
)5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23
212
x x --⎧⎨⎩≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．
23. （（2011山东济宁）计算：2
2()a b ab b a a a
--÷-
24. （ 2011重庆江津）先化简,再求值: )12
1
(212-+÷+-x x x ,其中31=x ·
25. (2011江苏南京)计算221()a b
a b a b b a
-÷-+-
26. （2011贵州贵阳，16，8分）在三个整式x 2-1，x 2+2x +1，x 2+x 中，请你从中任意
选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x =2时分式的值．
27. （2011广东肇庆，19，7分） 先化简，再求值：
)2
1
1(342--⋅--a a a ，其中3-=a ．
28. (20011江苏镇江,18,4分)化简:221
42
x x x ---
29. （2011重庆市潼南,）先化简，再求值：2121
(1)1a a a a
++-⋅+，其中a
30. （2011山东枣庄）先化简，再求值：⎝
⎛⎭⎪⎫1＋ 1 x －2÷ x 2
－2x ＋1
x 2
－4，其中x ＝－5．
31.（2011湖北宜昌）先将代数式1
1
)(2+⨯+x x x 化简，再从-1，1两数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值.
32、2011湖北武汉市）先化简，再求值：)4
(22x
x x x x -÷-，其中x =3．
33、201１四川广元）请先化简（23x x -－3
x
x +）÷29x x -，再选取一个既使原式有意义，
又是你喜欢的数代入求值．
34、（2011广西来宾，10，3分）计算1
1
x
x y
--的结果是（ ） A.()y x x y -
- B.2()x y x x y -+ C.2()x y x x y -- D.()
y
x x y - 35、2011内蒙古包头，17，3分）化简1
2
214
41
12
2
2
2
-++÷
++-⋅
-+a a a a a a a ，其结果是 .。