分式1
一元二次方程解法(分式法1)
三步：带入求根公式
- b b 2 4ac x 2a
。
一元二次方程的解法（3）--公式法 二：新课学习 3、练习：用公式法解下列方程（课本P43 随堂练习2） （1）、 （2）、
2x 9x 8 0
2 2
9x 6x 1 0 （3）、 16x 2 8 x 3 （4）、 x( x 3) 5 0
4ac 4a 2
得：x
-b
b 2 4ac 2a
一元二次方程的解法（3）--公式法 二：新课学习
一元二次方程的解法（3）：公式法
一元二次方程给他的求根公式：
对于一元二次方程
2
ax bx c 0(a 0)
2
当b 4ac 0时，
- b b 4ac 得：x 2a
课本p43随堂练习一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数求这个三角形的三条边长
一元二次方程的解法（3）--公式法 一、复习引入： 1、所学的一元二次方程解法有什么？
一元二次方程的解法（3）--公式法 一、复习引入： 1、所学的一元二次方程解法有什么？ 一元二次方程解法有：
（1）、直接开平方法，解形如 2 2 x n(n 0) 或（x m） n(n 0) 。 （2）、配方法。把方程化成
一元二次方程的解法（3）--公式法 二：新课学习 4、练习：课本P43 随堂练习 3
一个直角三角形三条边的长为三个 连续偶数，求这个三角形的三条边长.
三、课堂小结
1、公式法解一元二次方程的方法相当于过去所学 的什么数学知识？
2、解一元二次方程的一般步骤？
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤: 一步：化成一般形式，找出a、b、c的值；
7.1分式(1)
第一关：已知肉骨头每斤8元,花 了n元，问可以买多少斤？
n n÷8 8
第一关：已知肉骨头每斤8元,花了n 元，问可以买多少斤？
n n÷8 8
第二关：若肉骨头每斤n元，花了８元，
问可以买多少斤？ 8 ８÷n n
第三关：若花４０元买了a斤香蕉和b 斤橙子，问这两种水果的平均价格是 第五关：若买了4元/斤的香蕉a斤， 多少？ 5元/斤的橙子b斤， 40 问这两中水果的平均价格是多少？ ４０÷（a+b）
小猪每秒比小狗多走了（b-a）米，
所以小猪赶上小狗的时间是：
6a 6a÷(b-a)= b a（秒）．
当b=6,a=5时，小猪追上小狗的时间是 6a 65 ＝ 6 5 30 （秒）。 ba 6a 答：小猪赶上小狗的时间是 b a 秒．当b=6,a=5, 时，求小猪追上小狗的时间是30秒。
3 xB)9 2 ( A) x 1 ( x 的值为零． X=3 3．当＿＿＿时，分式
(C ) x 1或x 2
x2
谢谢朋友们!
( D) x 1且x 2
小猪以b米每秒的速度继续前进， 突然它看到了在它前面６a米的地 方有一只小狗正以a米每秒的速度 前进(b>a) ，求小猪追上小狗需要多 少时间？
பைடு நூலகம்
分式中字母的取值不能使分母为零。 当分母为零时，分式就没有意义。
2x 3 分式 x2
有意义,x应取什么数?
解：当分式的分母为０时，分式无意义． ∴当x＋２＝０时，即当x=－２时， 分式无意义． ∴x应该取除－２外的任何实数．
2x 1 对于分式 3x 5
（１）当x取什么数时，分式有意义？
（２）当X＝１时，分式的值是多少？
初一数学分式 (1)
分式1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：;（3）积的乘方：；（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；（5）商的乘方：()；(b≠0)7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法．(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效．(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．。
1.1 分式(1)
类比分数来学习分式
1、分数
5 π 有意义吗？ ， 有意义吗？ 0 0
a+1 2、分式 2a 有意义的条件是什么？ 有意义的条件是什么？ a+1 3、分式 2a 中 ，a 可取多少值？ 可取多少值？ a+1 4、计算a=1, a=2时，分式 计算a =2时 值分别是多少？ 值分别是多少？ 2a
补充例题
2、什么叫做分式？ 什么叫做分式？
P59，然后作答. P59，然后作答. 如果整式A除以整式B 可以表示成的形式. 如果整式A除以整式B, 可以表示成的形式. A 且除式B中含有字母， 分式(fraction) 且除式B中含有字母，那么称式子 B 为分式(fraction). 其中， 其中，A叫做分式的 分子 ，B叫做分式的 分母 .
例1 当x取什么值时，下列分式有意义？ 取什么值时，下列分式有意义？ x −1 x 2x ⑴ x−2 ， ⑵ 4x + 1 ， ⑶ | x | −3 解⑴： 由分母 x－2=0，得 x=2. 2=0， x ≠2时 所以当 x≠2时， 分式 有意义. 有意义. x−2
1 +1=0， 解⑵ ：由分母 4x+1=0，得 x= - . 4 1 x −1 所以当 x≠- 时， 分式 有意义. 有意义. 4 4x + 1
x − 2 的值为零. 的值为零. 2x − 1 4、已知，当x=5时，分式 2 x + k 的值等于零， 已知， =5时 的值等于零， 3x − 2 则k =-10 .
⑵ 当x =2 时，分式
感悟与反思
1、这节课你有哪些收获？ 这节课你有哪些收获？ 2、目前 ,你学到了哪些式子？能举几个例子吗？ 你学到了哪些式子？能举几个例子吗？ 3、区分整式与分式的依据？分式有意义有条件吗？ 区分整式与分式的依据？分式有意义有条件吗？ 学习方法指导： 学习方法指导： 分式是表示具体情景中数量的模型， 分式是表示具体情景中数量的模型，分式是分 所以其性质与运算是完全类似的. 数的代数化 ，所以其性质与运算是完全类似的. 数学(分式)与现实世界密切联系. 数学(分式)与现实世界密切联系. 以前用字母表示数量关系是整式， 以前用字母表示数量关系是整式，以后表示数 量关系的式子可以是分式. 量关系的式子可以是分式.
分式(1)(分式概念、基本性质)
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理：1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA做分式。
A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0.2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.3.分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式122x x -+（1）当________时，分式的值为0 ；（2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义.2．填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- ； ()21a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；224488a ba b-=- ；223265a a a a ++=++ ；()()x y a y x a --322= . 5.不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数：0.010.50.30.04x y x y -=+ ；y x y x 6.02125.054-+= ；=-+b a ba 41323121 . 6.不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是正数：（1）2211x x x y +++-= ； （2）343223324x x x x -+---= .7.（1）已知：34y x =，则2222352235x xy y x xy y-++-= . （2）已知0345x y m==≠，则x y m x y m +++-= . 8.若||x x x x -+-=+123132成立，则x 的取值范围是 . （二）、选择题：9.在下列有理式221121a x x m n x y x y ya b ，，，，++-+-()()中，分式的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410.把分式xx y+（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变 11．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a =B ．1a b a b -+=--C ．0a b a b +=+D ．0.10.330.22a b a ba b a b--=++12.与分式a ba b-+--相等的是 （ ）A ．a b a b +- B ．a b a b -+ C ．a b a b +-- D a ba b--+ 13．下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）A ．b a ＝11b a ++B b bm a am =C ．2ab b a a= D ．22b b a a =14．不改变分式的值，使21233xx x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ）A ．22133x x x -+- B ．22133x x x +++ C ．22133x x x ++- D ．22133x x x --+ 15．将分式253xyx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ）A ．235x y x y -+ B ．151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x yx y-+16．下列各式正确的是 （ ）A ．c c a b a b -=-++ B ．c c a b b a -=-+- C ．c c a b a b -=-++ D ．c ca b a b-=-+- 17．不改变分式的值，分式22923a a a ---可变形为 （ ）A ．31a a ++ B ．31a a -- C ．31a a +- D ．31a a -+ 18．不改变分式的值，把分式23427431a a a a a a -++--+-中的分子和分母按a 的升幂排列，是其中最高项系数为正，正确的变形是 （ ）A ．23437431a a a a a a -++-+- B ．23347413a a a a a a -+--++C ．23434731a a a a a a +-+--+-D ．23347413a a a a a a -++--++19.已知a b ，为有理数，要使分式ab的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，20.已知113a b-=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95D. 4（三）、解答题：21.已知：3x y -=20，求x xy y x xy y 2222323-++-的值.22.已知：x x 210--=，求x x441+的值. 23.化简：x x x x x x 32325396512++-++-. 24.把分式1882483222a b ab a b++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？25. 已知：x y y y +=--=22402，，求y xy-的值.26. 已知：a b c ++=0，求a b c b c a c a b()()()1111113++++++的值. 27.已知：,ac zc b y b a x -=-=-求z y x ++的值.28.已知：,0,1=++=++z cy b x a c z b y a x 求222222cz b y a x ++的值.。
分式复习1
其中A叫做分子,B叫做分母.
分式及其相关概念 强化训练：
1.下列各式中，哪些是分式？
m m 1 2 5 a b xy （1） , , x , , , 8 a 3 x6 2 A 5x 2y
2 2
注意:分式
中,分母 B 中一定要有字
5 a 1 （ 2） ， ,a a b
2
母。 温馨提示：
B
分式
A
x 1 无意义的条件
{ B≠0
.
(2)
若分式
3x 6 2x 1 B.
的值为 0，则（） X 1 2 C. X 1 2 D. X 2
c
A. X -2
本章知识网络
分 2、分式的基本性质 式
3、分式的运算 4、分式方程
1、分式概念 ⑴分式有意义的条件 ⑵分式的值的情况讨论
(2)若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2 C、 x
2
B、x =-2 D、x =-1或x =2
2
a b ab A 计算 的结果是（） a b a A. a -b b B. ab b C. a -b a D. ab a
x＋3 2－x 3 10．学完分式运算后，老师出了一道题“化简： ＋ ”． x＋2 x2－4 x＋3x－2 x－2 x2＋x－6－x－2 x2－8 小明的做法是：原式＝ － 2 ＝ ＝ 2 ； 2 2 x －4 x －4 x －4 x －4 小亮的做法是：原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4； x＋3 x－2 x＋3 1 x＋3－1 小芳的做法是：原式＝ － ＝ － ＝ ＝1. x＋2 x＋2x－2 x＋2 x＋2 x＋2 其中正确的是( ) A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
分式1 分式定义和分式的基本性质
分式定义和分式的基本性质一、基础知识：1. 分式定义:（1）、代数式：用运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式；单独一个数或一个字母 代数式；（2）、单项式：只含 运算的代数式叫做单项式；单独一个数或一个字母 单项式； 单项式中的叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的叫做单项式的次数；（3）、多项式：几个 的和叫做多形式；多形式中的每个单项式叫做多形式的 ，多形式里含有几项，就把这个多形式叫做 ，其中次数最高的项的次数叫做这个多形式的 ，不含字母的项叫做 ； （4）、整式： 和 统称为整式；（5）、分式:一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么代数式 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。
2.分式的基本性质：（1）、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 一个不等于 的整式，分式的值 ； 即A B =A×CB×C , A B =A÷CB÷C （其中C 是不等于0的整式）； （2）、有关概念：①分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分；约分的目的是把分式 ；②最简分式：分子和分母没有 的分式叫做最简分式；③分式的通分：根据分式的基本性质，把几个 分母的分式变形成 分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母；④最简公分母：几个分式中各分母系数（都是整数）的最小 与所有字母的最高次幂的 叫做这几个分式的最简公分母。
二、经典例题： 题型一：考查分式的定义例1、下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，分式有： 个。
变式训练：下列各式中哪些是分式：9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x题型二：考查分式有意义的条件 例2、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）122-x （3）xx 11-变式训练：当x 有何值时，下列分式有意义 （1）232+x x（2）3||6--x x题型三：考查分式的值为0的条件 例3、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x变式训练：当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）x x 37+ （2）xx 3217- （3）x 2−1x 2−x题型四：考查分式的值为正、负的条件例4、（1）当x 时，分式x-84为正； （2）当x 时，分式2)1(35-+-x x 为负；变式训练：当x 时，分式32+-x x 为非负数. 题型五：化分数系数、小数系数为整数系数例5、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0变式训练：不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. yx yx 5.008.02.003.0+-题型六：分数的系数变号例6、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a---（3）b a ---变式训练：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233ab y x -- (2) 2317ba ---题型七：约分例7、将下列各式 化为最简分式：（1）c ab bc a 2321525- （2）96922++-x x x （3）yx y xy x 33612622-+-变式训练：将下列各式 化为最简分式：（1）ac bc 2 （2）22)(y x xyx ++ (3)b a b ab a +++36922题型八：通分例8、通分：（1）xab ,yac ; (2)yx (y +1) ,xy (y +1); (3)aab−b ,bab +a.变式训练：通分:（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；题型九：化简求值题例9、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 变式训练：已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的 ;例10、已知：21=-x x ，求221xx +的值. 变式训练：已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.例11、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.变式训练：若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.三、巩固练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x4．不改变分式的值，把分式b a ba 10141534.0-+的分子、分母的系数化为整数. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.6.分式11−x ,11+x ,12x1+x 的最简公分母为四、课后作业：1．当x 取何值时，分式x111+有意义：2当x 为何值时，分式 的值为零x x x --213.约分： （1）2)(xy yy x + （2）222)(y x y x --（3）b a abc ab 22369+ (4)122362+-x x4.通分：（1）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （2）aa -+21,25．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.。
分式(一)
专题二：分式分式的基本概念，基本性质，运算法则；部分分式：把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。
分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。
解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程。
如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对已知条件的运用有下列途径： (1) 直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4) 挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能.一、基本概念与计算： 例1、要使分式xx -11有意义，则x 的取值范围是 ． 例2、 112525,_______2x xy y x y x xy y -++==++已知则例3、,,00,111111a b c a b c b c c a a b≠++=已知,且则a(+)+b(+)+c(+)的值是_____例4、111111221112()()113a baba b a b a b-⨯-⨯-++已知a,b 为整数，且满足=，求a+b 的值.例5、方程11422x x +=-的一个根是4,则它的另一个根是_________例6、已知,,a b c 均为实数，且257(1)(2)112x a b cx x x x x -=++---+-， 求abc 的值。
例7、 方程2(21)5160x x x -+--+=的所有根的和是( ) 例8 方程111+6x y= 有( )组正整数解. 例9、13217219211211215217292x x x xx x x x----+=+----练习一：1．x 取______________值时, 112122x +++有意义.2． 当3221,(1)(1)(1)0a a x a x a <-+++-+=时，方程的根的情况是( ) A 两负根 B 一正一负,且负根的绝对值大 C 一正一负,且正根的绝对值大 D 没有实数根3、若分式322(4)(4)2218812512a a a a m m a a -----+--- 的值与 a 的取值无关，求m 的值。
分式(1)[下学期]--北师大版.(新编201910)
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度中率 前顺 而齐于代轨 不满为闰余 治历者始课日蚀疏密 以《周历》推之 龙德在田 各加减变讫 进及营室 应加减先后差 十四日 乃顺 余因刘焯《皇极历》法 "姜岌 夏 退加一日 今历日蚀在降娄之中 得次日 "降娄之初" 加时在午正前后七刻外者 迟加 "又三日得周正月庚寅朔 各为月去黄
道数及分 品秩勋劳为等级 在进前多 殿庭武舞郎 周始革命 刘洪以古历斗分太强 故曰"农祥晨正 则以为在牵牛之首；得中气去经朔日算 晨退 象之德方 若日在东井 日增所加六十分 左二十 从蚕 白纱中单 前多者以总差减之 孟辰半前 以朓减 舒亟之度 退则依减 考其实 秋分虚九度中；余二
油纁 其入限者不必尽蚀 "是又不然 已上者 夫日躔宿度 举中宿言耳 凡节气小余 无此迟行 遂盟国人 以百四十三约之 长一丈二尺 青衣 赤履 柳十四少 综成数 取顺下之义 及先交值盈 十五乘之 震功究焉 较史官所记 微分八十四 《略例》曰 京兆尹杜悰条易行者为宽限 望 古历 因而三之 又
二日益一 使气朔之母合简易之率 行七度二百四十一分 累以别差 各倍夜半漏 而退守西建间 二日益迟九分 淫于玄枵 尽二百日 毕立冬 二百四十而一 朱领 给交鱼符 王朝步自周 减之 毕小雪 玄宗谒五陵 去舄 毕寒露 "天数始于一 其初见消息定数 毕小满 毕惊蛰 余分曰虚分 房与岁星实相经
下列四个式子可以叫做什么式？ 你能举出生活中的例子？
3a
2x+2y -m 代数式
v·t整式Fra bibliotek单项式 多项式
；好玩的单机游戏 / 好玩的单机游戏
；
苟独异于常 此不易之道也 入小满 ’七宿毕见 六已上 历 冬至之初日 在二至 不满昏明小余者 土去见十日外 得后月朔 候数五 又未知昏明之限与定朔故也 "《谷梁》曰 京氏又以卦爻配期之日 黻在裳 二率相减 日却退三度 少减多 以白玉为螭首 总法千三百四十 得次日所行度分 得灭日 紫
分式方程（一）教案
5.4.1 分式方程（一）教学设计
2、甲、乙两班参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种3棵树，甲班种62棵树所用的时间与乙班种68棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
课堂小结 1.利用分式方程模型解决实际问题:
问题情境---提出问题---建立分式方程模型---解
决问题
2. 列分式方程的一般步骤小节由同学们
讨论，教师只
是顺势把学生
的话进行一个
归纳总结。
关注学生从现实
生活中发现并提
出数学问题的能
力，关注学生能
否尝试用不同方
法寻求问题中数
量关系，并用分
式方程表示，能
否表达自己解决
问题的过程。
板书
5.4.1 分式方程(一)
1、利用分式方程模型解决实际问题
2、列分式方程的一般步骤
例题
变式。
10.1 分式(1)
探索规律，揭示新知
做一做
（1）一个n边形，若每个内角都相等，则每个内角为度．
（2）小明用a元钱去购买练习本，原价每本b元，现在每本降价1元，那么现在可以购买本练习本．
刚才我们一起列出了代数式：、、、、、、．
这些代数式有什么共同的特征？
（2x－3）为0的x的值是多少？（由分母2x－3＝0，得x＝）
所以只要x≠，分式就有意义．
解：由分母2x－3＝0，得x＝；
所以当x≠时，分式有意义．
教学
环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要
（启发、精讲、活动等）
再次
优化
随堂
练习
课堂
小结
达标
检测
练习．
1．列代数式，并说明列出的代数式是否为分式．
如果它的宽是am，那么这块玻璃的长是m．
教学
环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要
（启发、精讲、活动等）
再次优化合作探究图片2：小丽买瓜子的情境．
小丽用n元人民币买了m袋相同包装的瓜子，你能写出每袋瓜子的价格吗？
（是（n÷m）元，通常用元来表示．）
图片3：学生去公园旅行．
某校八年级学生步行到距学校12公里的郊外去旅行，一班的学生组成前队步行速度为x千米/时，一班到达目的地的时间用了时，二班的学生组成后队，速度比一队每小时快2千米，则他们到达目的地的时间为h．
图片4：棉田问题．
有两块棉田，一块面积为aha，产棉花mkg；另一块面积为bha，产棉花nkg．这两块棉田平均每公顷产棉花多少千克？
《分式(1)》教学设计方案
1.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？
这一问题中有哪些等量关系？
如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；
答案：C
说明：当x = a时，分子x−a = 0，但需满足分式有意义，即分母2x−3≠0，x≠
∴当a≠ 时，分式值为0，因此，答案为C．
2．分式 有意义，则x的值为( )
A．x≠−1 B．x≠−2 C．x≠1 D．x≠−1，x≠−2且x≠1
答案：D
说明： 有意义，需满足x+1≠0且x− ≠0，得x≠−1且 ≠0，
2.能利用定义分析出分式何时有意义？
3.能计算出分式何时值为零？
教学重点、难点
准确理解分式的意义，明确分母不得为零既是本节的重点，又是本节的难点．
教学资源
（1）师自制的多媒体课件；
（2）上课环境为多媒体大屏幕环境。
《分式1》教学活动过程描述
教学活动1
（一）师生互动，激趣导入
（2）观看土地沙漠化及植树种草护沙图片，体会保护人类生存环境，固沙造林的重要性。（投影播放）
《分式（1）》教学设计方案
陕西省渭南市白水县雷村乡初级中学方小虎
课题名称
《分式1》
科目
数学
年级
八年级
教学时间
1课时（45分钟）
学习者分析
八年级学生，在代数的学习方面已经有了一定的基础，小学阶段已学习了分数及分数的运算，七年级已学习了整式及其运算。这个年龄段的学生自主探究和合作学习的能力比较强，思维活跃，但还需进一步引导。
分式(一)
学好分式三步走：1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零2．分式的基本性质，约分，通分3．分式的加、减、乘、除、乘方运算1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零①分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且B ≠0 。
②分式有意义(或分式存在)的条件：分式的分母不等于零即B ≠0 。
③分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零。
即当A ＝0且B ≠0时，0A B=。
【例1】 ⑴若分式25x -有意义，则x 的取值范围是( ) ⑵分式211x x --的值为0，则x 的值为( )【例2】 ⑴下列式子：1x ，23a a b -，3x y +，42a π-，2x x x-，其中是分式的有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个⑵当x ___时，分式2x x +有意义； 当x ___时，分式211x +有意义；⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？ ①213x x -+； ②2656x x x ---分式（一）③221634x x x -+- ④288x x +⑤()22255x x --2．分式的基本性质，约分，通分①分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
()0A A M A M M B B M B M÷==÷×≠×②利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式。
③通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式．为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
【例3】 ⑴化简222a b a ab-+的结果为( ) ⑵化简2244xy y x x --+的结果为( )【例4】⑴下列式子中，正确的是( )A.B.C.D.a b a b c ca b a b c c a b a b c ca b a b c c ---=---+=-----=---+=-⑵若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ ①x y x y +- ②xy x y- ③22x y x y -+⑶不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化为整数： ①1223________1134x y x y -=+ ②0.20.03_______0.04a b a b-=+3．分式的加、减、乘、除、乘方运算 分式的乘法a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法a c a d a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅ 分式的乘方n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同分母分式相加减a b a b c c c ±±= 异分母分式相加减a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±= 0指数幂01(0)a a =≠ 负整数指数幂1(0)p pa a a -=≠【例5】 化简22226211962x x x x x x x x -++++÷-+--【例6】 先化简再求值：2221412211a a a a a a --⋅÷+-+-其中a 满足20a a -=【例7】已知2310x x -+=，求：221x x +。
《分式方程(1)》教案
第十五章分式15.3分式方程第1课时一、教学目标（一）学习目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．（二）学习重点解分式方程的基本思路和解法．（三）学习难点解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）分母中含__未知数____的方程叫做分式方程．（2）解分式方程的基本思路：利用“__去分母_”法将分式方程化为整式方程．2．预习自测（1）在下列方程中，关于x的分式方程有()①215x＝3＋216x，②xp＝xp，③2(1)1xx--＝1，④xm－nm＝xn(m，n为非零常数)，⑤7x＋+19x，⑥xm＋yn＝1(m，n为非零常数)．A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】分式方程的定义【解题过程】解：①④⑥分母中没有未知数，不是分式方程；⑤不是等式，所以不是分式方程；②③是方式方程．故选B．【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程【答案】B．（2）若x＝3是分式方程2ax-－12x-＝0的根，则a的值是()A．5 B．－5 C．3 D．－3【知识点】分式方程的有关概念【解题过程】解：把x＝3代入分式方程求得a=5．故选A．【思路点拨】利用分式方程的解求a．【答案】A．（3）把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘()A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)【知识点】分式方程的解法．【数学思想】化归思想【解题过程】解：方程两边同乘以x(x＋4)，可以转化为一元一次方程．故选D．【思路点拨】方程两边同乘以最简公分母．【答案】D．（4）方程211xx-+＝0的解是()A．x＝1或－1 B．x＝－1 C．x＝0 D．x＝1【知识点】分式方程的解法．【解题过程】解：左边约分可得x-1=0，则x＝1，经检验x＝1是原分式方程的解.【思路点拨】先去分母，化为整式求解.【答案】D．（二）课堂设计1．知识回顾（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．（2）解一元一次方程的步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1．如何解一元一次方程：211 3332x xx-++=-.解：去分母，得18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)．去括号，得18x＋4x－2＝18－3x－3移项，得18x＋4x＋3x＝18－3＋2.合并同类项，得25x＝17.系数化为1，得x ＝1725.2．问题探究探究一 分式方程的概念.●活动① 整合旧知，探究分式方程的概念.问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设水流的速度为v 千米/时.(1)轮船顺流航行速度为________千米/时，逆流航行速度为________千米/时；(2)顺流航行100千米的时间为________小时；逆流航行60千米的时间为________小时；(3)根据题意可列方程为______________________________.师生活动: (1) 20+v 20-v ；(2) v +20100 v -2060；(3)v +20100=v -2060 追问1：所列方程与方程2157146x x ---=相比有什么不同？ 归纳：像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.追问2：分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现这两种方程的区别在于未知数是否在分母上.未知数在_____的方程是分式方程.未知数不在分母的方程是____方程.师生活动：分母、整式.追问3：你能再写出几个分式方程吗？【设计意图】让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数.探究二 探索分式方程的解法●活动① 大胆操作，探究新知识问题2：你能尝试解分式方程：100602020v v =+- 吗？师生活动：学生独立思考，并尝试解这个方程，全班交流分式方程的解法．【设计意图】让学生在已有的知识经验基础上，尝试解分式方程．●活动② 集思广益，得出分式方程的解法问题3：这些解法有什么共同特点？师生活动：学生讨论之后，教师总结，上述解法依据虽不同，但解分式方程的基本思想是一致的，即将分式方程转化为整式方程．教师再次提问：思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？学生思考后总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了；（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．【设计意图】通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母.●活动③追问 你得到的解v =5 是分式方程的100602020v v=+-解吗？ 【设计意图】让学生知道检验分式方程的解的方法-----将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等.探究三 分析增根产生的原因 ●活动① 增根产生的原因例1 解分式方程：2110525x x =-- 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)，转化为整式方程．【解题过程】解：两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)得x ＋5 ＝10解得x ＝5，问题：x =5是原分式方程2110525x x =--的解吗？该如何验证呢？ 小结：x ＝5 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解，是增根．产生的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．检验：当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，因此x ＝5不是原分式方程的解，原分式方程无解． 师生总结：基本思路：将分式方程化为整式方程一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 练习：解分式方程：233x x=-． 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母x (x －3)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：两边都乘x (x －3)，得2x ＝3x －9解得x ＝9检验：当x ＝9时，x (x －3)≠0.所以，原分式方程的解为x ＝9【答案】x ＝9【设计意图】让学生了解分式方程增根的原因，明白解分式方程必须检验.●活动2例2 解分式方程：()()31112x x x x -=--+ 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母(x －1)(x ＋2)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3. 解得x ＝1， 检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解.【答案】无解练习：解方程：-2++2x x 24=14x - 【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，结果要检验．【解题过程】解： 方程的两边同乘x 2－4，得(x －2)2＋4＝x 2－4，解得x ＝3.检验：当x ＝3时，x 2－4≠0，所以x ＝3是原方程的解．【答案】x ＝3.【设计意图】让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想.●活动3例3 当m 为何值时，关于x 的方程223+242mx x x x =--+的解小于零． 【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解小于零 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)，得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，整理，得(1－m )x ＝10，解得x ＝101-m. ∵方程的解小于零，∴101-m <0且101-m ≠－2. 解得m >1且m ≠6.【答案】m >1且m ≠6.练习： 已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是___________． 【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解为负数 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：去分母，得(x－1)(x＋k)－k(x＋1)＝x2－1.整理，得x＝1－2k.依题意，得12121kk＜0ì-ïí-贡ïî, 解得k＞12且k≠1.【答案】k＞12且k≠1.【设计意图】解题时让学生注意原方程分母不为零的这一隐含条件.3. 课堂总结知识梳理（1）分母中含未知数的方程叫做分式方程.（2）解分式方程的基本思想：把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解. （3）解分式方程的方法及一般步骤：①去分母，方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；——化整②解这个整式方程；——解整③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．——验根重难点归纳（1）解分式方程的基本思想；（2）解分式方程的方法及一般步骤；（3）解分式方程过程中产生增根的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．（三）课后作业基础型自主突破1．下列方程是分式方程的是()A. x－15＋34＝1 B.3p＋2x＝3 C.1x－1＝2 D.x＋2x－x＋33【知识点】分式方程的定义【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程.【解题过程】解：A、B分母中没含有未知数，不是分式方程；D不是等式，所以不是分式方程；C是分式方程．故选C．【答案】C．2．解分式方程1101x+=-，正确的结果是（）A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：1+x﹣1=0，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解，故选A【答案】A.3．将分式方程231-11xx x=--去分母，得到正确的整式方程是()A.1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C.1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3 【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以(x－1)．【解题过程】解：去分母得：x－1－2x＝3，故选B【答案】B.4．当a＝________时，关于x的方程12325x ax a+-=-+的解为x＝0.【知识点】分式方程的解【思路点拨】把x＝0代入分式方程可求解．【解题过程】解：把x＝0代入分式方程得0123025aa+-=-+，则a+5= -2(2a-3), 得a＝15【答案】1 5 .5．若式子12x-和32+1x的值相等，则x＝________．【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】列分式方程，去分母，解整式方程可得．【解题过程】解：12x-=32+1x，去分母得：2x+1=3（x-2），解得x=7，经检验x=7是原方程的解.【答案】76．解分式方程413x x-= -【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解，再代入x(x﹣3)进行检验即可．【解题过程】解：方程两边都乘以最简公分母x(x﹣3)得：4x﹣(x﹣3)=0，解得：x=﹣1，经检验：x=﹣1是原分式方程的解故答案为：x=﹣1．【答案】x=﹣1．能力型师生共研7．若关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m ≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣34【知识点】分式方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想.【思路点拨】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．【解题过程】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，∵关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，∴﹣2m+9＞0，解得：m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，故m的取值范围是：m＜92且m≠32．故选B．【答案】B．8．若关于x的方程2222x mx x++=--无解，则m的值是______.【知识点】分式方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母把分式方程转化成整式方程，再利用分式方程无解，把增根代入整式方程，进而得出答案．【解题过程】解：去分母，得2－x－m＝2x－4，即3x＝6－m.∵方程无解，∴x＝2.把x＝2代入3x＝6－m，得m＝0.【答案】0．探究型多维突破9．小明解方程121xx x--=的过程如下：解：方程两边同乘x得1－(x－2)＝1，①去括号得1－x－2＝1，②合并同类项得－x－1＝1，③移项得－x＝2，④解得x＝－2，⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】按照解分式方程的步骤检查得出答案．【解题过程】解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．正确解法是：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，去括号，得1－x＋2＝x，移项，得－x－x＝－2－1，合并同类项，得－2x＝－3，两边同除以－2，得x＝3 2.经检验，x＝32是原方程的解．所以原方程的解是x＝3 2.10．请你仔细观察下述材料：方程1111123x x x x-=-+--的解为x＝1；方程1111134x x x x-=----的解为x＝2；方程11111245x x x x-=-----的解为x＝3；….(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x＝－5的分式方程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】观察总结规律，要从整体和部分两个方面入手，防止片面地总结，得出错误结论．【解题过程】解：(1) 方法一：分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的差，这四个整数左边两个连续，右边两个连续，左右两边不连续，但只间隔一个整数，每个分式的分子都是1，方程的解正好是中间被省略的那个整数，即1111(2)(1)(1)(2)x n x n x n x n-=------+-+，方程的解是x＝n(n为整数)．方法二：第(1)问的规律方程也可以写成：1111(1)(3)(4)x n x n x n x n-=---+-+-+，此时，方程的解应为x＝n＋2(n为整数)．(2)将x＝－5代入上式，可得所求分式方程为11117+6+4+3 x x x x-=-+.自助餐1．下列关于x 的方程中,是分式方程的是( ) A. 23356x x ++-= B. 137x x a -=-+ C. x a b x a b a b-=- D. 2(1)11x x -=- 【知识点】 分式方程的定义【思路点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．【解题过程】解：A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B.方程分母含字母a ，但它不是表示未知数，也不是分式方程；C.方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程；D.方程分母中含未知数x ，是分式方程.故选D.【答案】D ．2．分式方程21221-93+3x x x -=-的解为( ) A ．3 B ．－3 C ．无解 D ．3或－3【知识点】 分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】依据解分式方程的步骤可得．【解题过程】去分母得12－2(x ＋3)＝x －3，解得x ＝3.经检验，当x ＝3时，x 2－9＝0，即x ＝3不是原分式方程的解，故原方程无解．故选C .【答案】C .3．当a ＝________时，关于x 的方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同． 【知识点】方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想 【思路点拨】先解分式方程43x x -=，再把它的解代入另一个分式方程可得结果． 【解题过程】解：由方程43x x -=得x －4＝3x ，解得x ＝－2.当x ＝－2时，x ≠0，所以x ＝－2是方程43x x -=的解．又因为方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同，因此x ＝－2也是方程2111ax a x -=--的解．这时221121a a --=---，解得a ＝17. 当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件． 【答案】17. 4．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为_______. 【知识点】方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】先去分母得整式方程，再把增根代入整式方程可得结果．【解题过程】解：方程两边都乘x －3，得x －2(x －3)＝m 2.∵原方程无解，∴x ＝3.把x ＝3代入x －2(x －3)＝m 2，得m ＝±3.【答案】±3.5. 解分式方程：21344-12142x x x x +=-+- 【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】方程两边同时乘以（2x +1）（2x -1），即可化成整式方程，解方程求得x 的值，然后进行检验，确定方程的解． 【解题过程】解：原方程即132(21)(21)2121x x x x x +=-+-+-， 两边同时乘以(2x +1)(2x −1)得：x +1=3(2x −1)−2(2x +1)，x+1=6x −3−4x −2，解得：x =6.经检验：x =6是原分式方程的解。
分式（一）分式的基本性质
分式（一）分式的基本性质【知识要点】1．用A ，B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式。
对分式的概念要注意以下两点：①分母中应含有字母；②分母的值不能为零，若为零，则该分式就没有意义。
2．整式和分式统称为有理式。
3．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示是,A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷（其中M 是不等于零的整式）。
4．分式的符号变换法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
【典型例题】例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）1a ； （2）1x x +； （3）1()3x y +； （4）2212x y -； （5）x y x y +-；（6）5a ； （7）xπ； （8）0.3732a x y ++； （9）1323y x +-； （10）5(3)x y m x +-例2 x 取何值时，下列分式有意义？（1）132x x ++ （2）(1)(5)(1)(2)x x x x +--- （3）15x - （4）213x x -+例3 x 取何值时，下列分式没有意义？ （1）261x x +； （2）2(2)(3)9x x x ---； （3）2111x-例4 x 取何值时，下列分式的值为零？ （1）31x x + （2）55x x -+ （3）211x x +-例5 x为何值时，分式532xx-+的值为正？例6 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。
（1）0.030.20.080.5x yx y-+；（2）22110.32310.25x yx xy+++；（3）13225m nm n+-例7 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含有“－”号。
（1）23xy---；（2）2nm-（3）25ba-（4）21()nxy+---例8 不改变分式243422231253x x x xx x y xy x y+--+-++-的值，使分子与分母中的最高次项的系数为正数。
分式1
2 a 3y 2 , x + 2π 4
A. 1个 个
B. 2个 个
C. 3个 个
D. 4个 个
a +1 例1:当 a = 1 , 2 时，分别求分式 2a 的值 a +1 1+1 ：（1） = =1 解：（ ）当 a = 1 时， 2a 2 ×1
a +1 2 +1 3 = = 当 a = 2 时， 2a 2× 2 4 x +1 的值。 当x=-1，2 时，分别求分式 2 x − 5 的值。 ，
A 整式A除以整式B，可以表示成 的形式。 B A 如果除式B中含有字母，那么称 为分式。 B
注意：1、其中A是分子，B是分母； 2、分母中要有字母； 3、分母不能为0。
单项式 整式 多项式
代数式
分式
下列各式中是分式的有 ( B)
1 , x
y +8 1 , − , 2 8
3m , 2 2 m +n
2400 2400 − =4 __________________________ x x + 30
2 4 0 0 x + 3 0
(n-2) ⋅180 (1)正n边形的每一个内角是_________n
度。
代数式 2400 2400 (n-2) ⋅180 b 、 、 、 , x x+3 n x-a 它们有什么共同特征？ 它们与整式有什么不同？
B.分式值为 的条件：分子 的值为 ，且分母 的值不 分式值为0的条件 分子A的值为 的值为0，且分母B的值不 分式值为 的条件：
A = 0 为0，即 ， B ≠ 0
.
2400 则原计划完成一期工程______个月；(2)若实 个月； 若 顷，则原计划完成一期工程 x 个月
八年级数学上册第1章分式1.1分式第1课时分式的概念教案湘教版
第1章分式1。
1 分式第1课时分式的概念【知识与技能】1.了解分式的概念，明确分式和整式的区别。
2。
使学生能够求出分式有意义的条件.【过程与方法】让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型。
【情感态度】培养学生观察、归纳、类比的思维,让学生学会自主探索,合作交流。
【教学重点】理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.【教学难点】能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件。
一、情景导入，初步认知下列式子中哪些是整式？【教学说明】因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得的，所以必须熟练掌握整式的概念．二、思考探究,获取新知 1.思考：(1）某长方形画的面积为Sm 2，长为8m ，则它的宽为____m. (2）某长方形画的面积为Sm 2，长为xm ，则它的宽为____m 。
(3）如果两块面积为x 公顷，y 公顷的稻田，分别产稻谷akg ，bkg,那么这两块稻田平均每公顷产稻谷_____kg.【教学说明】要给学生一定的思考时间,让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况，教师可以给予适当的提示和引导.2.讨论内容：前面出现的代数式如下,它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．【归纳结论】 一般地，一个整式f 除以一个非零整式g （g中含有字母)所得的商记作f g ,那么代数式f g 叫做分式．3.当x 取什么值时,分式223x x --的值满足下列条件:(1）不存在；（2)等于0。
解：（1）当分母2x-3=0时，即x=32时，分子的值为32－2≠0，因此x=32时,分式223x x --的值不存在。
（2）当x —2=0，即x=2时，分式223x x --的值等于0。
【教学说明】让学生通过观察，归纳、总结出整式与分式的异同,从而得到分式的概念。
三、运用新知，深化理解1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式?解：(2）、（4)是整式，（1）、(3）是分式． 2.若分式13x -有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≠3 B 。
分式(一)分式的概念与计算
分式（一）分式的概念与计算学习目标1.学习分式的概念性质2.熟练掌握分式的通分与拆分技巧，3.巩固乘法公式与因式分解技巧专题简介分式是新人教版大纲中，八年级上学期内容，基础知识简单，但是相关专题中会涉及众多代数技巧，难度会陡然真大．分式的概念与计算是历年中考必考内容，在中考中考察方式较为基础．但是在各类竞赛中，特别是全国初中数学联赛中分式的各类恒等变形技巧是考察重点，同时也是难点之一．分式作为代数式中承上启下的知识点学好的关键在于温故而知新，只要熟练掌握，整式恒等变形的技巧，分式学习就会很轻松，只是在整式技巧的基础下，额外增加了通分、拆分取倒等新技巧的综合．专题分类1、分式的基本概念与性质：___________________2、分式的基本运算：_________________________3、分式的拆分：_____________________________模块一：分式的基本概念和性质知识导航一、分式的基本概念【例1】(1)代数式1312,,,,34a b m nbx a+-+π中，分式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个(2)使代数式3234x xx x++÷--有意义的x的值是___________．x________时，分式1111x++有意义．不论x为何值，分式21 2x x c++总有意义，则c____________．(3)已知分式22153x xx+--的值为零，那么x的值是_____________．当_____________分式21 5x x -+的值为正数；当x满足_____________时，12xx+<-．(4)当x _______时，分式233x x --的值为1；如果分式121x x -+的值为－1，则x 的值是_________． (5)当x _________时，分式48x -的值为正数；当_______时，分式48xx--的值为负数． 【练1】(1)要使分式11x x-有意义，求x 的取值范围；(2)分式22123x x x ---有意义，求x 的取值范围；(3)已知分式()()811x x x -+-的值为0，求x 的值．【例2】(1)将分式2x x y+中的x 、y 的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值( )A.扩大3倍B.缩小3倍C.保持不变D.扩大32倍 (2)若()()()()2223328x m x x x m ---=---成立，则m 的值为_____． (3)约分3232430x y x y -＝________；26231x xx ++＝________．(4)分式()23121,,7322x y xy x y x x y---的最简公分母为________． 【练2】通分：(1)()2222,,1121x x x x x x x +---+；(2)()()()()()()111,,a b a c b c b a c a c b ------分式的基本运算基础夯实【例3】计算：(1)()2322x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2)2212239a aa a a a -+÷---(3)2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【练3】计算：()22221031525965a a a a a a a-+÷-⋅-+-．【例4】已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值． 【练4】(1)已知220x-=，求代数式()222111x x x x -+-+的值． (2)已知12x y =，求2222222x x y yx xy y x y x y-⋅+-++-的值． 强化挑战【例5】化简：2222222211222a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⋅⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦【练5】化简：()()()()()()222222222222a b c b c a c a b a c ba b cb c a ------+++-+-+-．【例6】化简：2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-．巅峰突破【例7】化简：()()4222223366422412b a a a b b a ab b a b a b a a b b ---⎛⎫-÷ ⎪-+----+⎝⎭．【练7】化简：()442432164242416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+．模块三：分式的拆分 知识导航分式计算技巧——分式的拆分分式拆分的基本模型11a b ab a b+=+，这种模型在计算中运用分式广泛！而复杂的题型通常将这种性质包容在其中．如：()()b ca b a c ---冷眼看，不是符合基本模型，若对分子稍加边形则里面出现基本模型．()a b a c c b ---=-，所以原式变为()()()()11a b a c a b a c a b c a---=+----题型1分式拆分 基础夯实【例8】化简：2221113256712x x x x x x ++++++++ 【练8】化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++ 强化挑战【例9】化简：222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+．【练9】化简：()()()()()()222a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++．题型2部分分式 基础夯实【例10】仿照例子解题： 例子：若215111M N xx x x -+=+--恒成立，求M 、N 的值． 解题过程如下：∵215111M N xx x x -+=+--，∴M (x －1)＋N (x ＋1)＝1－5x 则Mx －M ＋Nx ＋N ＝1－5x ， 即Mx ＋Nx ＋N －M ＝－5x ＋1 故(M ＋N )x ＋(N –M ) ＝－5x ＋1， ∴51M N N M +=-⎧⎨-=⎩解得：32M N =-⎧⎨=-⎩请你按照上面的方法解题：若28224M N x x x x -+=+--恒成立，求M 、N 的值． 【练10】已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求4A －2B 的值．强化挑战 题型2 分离常数【例12】阅读下面材料，并解答问题．材料：讲分式42231x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．解：由分母为－x 2＋1，可设－x 4－x 2＋3＝(－x 2＋1)(x 2＋a )＋b则－x 4－x 2＋3＝(－x 2＋1)(x 2＋a )＋b ＝－x 4－ax 2＋x 2＋a ＋b ＝－x 4－(a －1)x 2＋(a ＋b )．∵对应任意x ，上述等式均成立， ∴113a ab -=⎧⎨+=⎩，∴a ＝2，b ＝1． ∴()()()()222242222222121123112+11111x x x x x x x x x x x x -+++-++--+==+=+-+-+-+-+-+． 这样，分式42231x x x --+-+被拆成了一个整式22x +与一个分式211x -+的和． 解答：(1)将分式422681x x x --+-+拆成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．(2)试说明422681x x x --+-+的最小值为8．第4讲 七年级尖端班课后作业 分式(一)概念与计算【习1】当x 为何值时，下列分式的值为零？(1)1x x+(2)211x x -+(3)33x x --(4)237x x ++(5)2231x x x +--(6)2242x x x-+【习2】x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？ 【习3】如果分式61x+的值为正整数，则正整数x 的值的个数是( ) A.2个 B.3个C.4个D.5个【习4】如果把223xyx y-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值( )A.扩大5倍B.不变C.缩小5倍D.扩大4倍【习5】不改变分式的值，将下列各分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果不正确的为( )A.113223113223a ba b a b a b ++=-- B.1.30.813820.7207x y x yx y x y--=--C.134624172748x yx y x y x y --=++ D.135320.55x y x y x x --= 【习6】先化简：22211a a a a a a --⎛⎫-÷⎪+⎝⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值． 【习7】计算：()2226634443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- 【习8】3232242312111x x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭【习9】(第9届希望杯试题)化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+＝__________.【习10】求代数式的值：2222242x x xx x x -÷++-+，其中12x =． 【习11】先化简，再求值：3221691322x x x xx x x x -+-⋅----，其中x ＝－6 【习12】先化简，再求值：2223193693x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中x ＝2 【习13】化简：2481124811111x x x x x -----++++．【习14】计算：22216103224x x x x x x x ----++---． 【习15】化简：()()()()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． 【习16】化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---．【习17】将下列分式写成部分分式的和的形式：2342x x x +--【习18】已知22x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b ．。
分式运算中的“1”
例 ３ 已 知 ｂ为 实 数 ，且 ｂ：１，设
＋
原 方程 有无 数个 解 。
Ⅳ＝ ＋ ，
，
Ｎ￣ ＺＪ｜、关系如何？
在此题 中 ，我们可 以将 ａｂ＝１看成一个 整体进行
五 、“１” 的 条 件 代 换
代 换 ，将 中 的 “１”代 换 成 ａｂ （或 者 将 Ⅳ中的 “１” 代换 ４ｖ
４ｘ ｖ
一 、 “１” 的分 式 化 简
一 ２ｙ 一２ｙ ４ｙ 一
上 ＋ 垒：
：
一 ２ｙ ４ｖ 一
计算 ＋ ＋ ＋
。
（ ＋２ｙ） ４ｘ ），
一
一
（ ＋ ） 一２ｙ） 一４ｙ
【评 析】在教 师一次次肯定 、否定 、点拨 、引导 全 取决 于 教 师在 课 堂 上 主导 作 用发 挥 的 怎 么样 。在 此
原 ：山西教 育 出版 社 ，２００５．
５５
基 础教 育论 坛 （上旬 刊 ）２０１８年 第 ３期 （总第 ２６１期 ）
。（ 一２），）
（ｘ－Ｆ ）（ 一２ｙ）
２
一
一
戈＋ ２ｙ
三 、将 分 式 乘 积 看 作 “１，， 例 ５ 已知 十 ＝３，求 ＋ 。
ｆ）ｌＪ ２已知。，６，ｃ为实数，且 ＝吉， ＝ 在此题中 ，我们很容易看到 ． ：１，将 ＋ ＝３
题 目，给名 字 对 上下 联 。下 面 ，老 师 出一 个 比较难 的
（２）气 势恢 弘 的框 架 。孙 双 金 老师 真 正 让学 生 读
名 字—— 祖 冲之 ，看看谁 能对 上 ？
教材 的时 间很 少 ，真 的 只是 把 教材 当成一 个 例 子 ，放
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时间 60 小时，所以 100 = 60 . 20 v 20 v 20 v 3. 以上的式子 100 ， 60 ， s ， v ，有什么共同点？它们与分数有
20 v 20 v
a
s
什么相同点和不同点？ 三、例题讲解 P3 例 1 当 x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出 字母 x 的取值范围. [提问]如果题目为： 当 x 为何值时， 分式无意义.你知道怎么解题吗？ 这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例 2 当 m 为何值时，分式的值为 0？ 2 （1）m 1 （2）
板书设计
§16.1.1 从分数到分式 一、分式、有理式的概念 二、分式有意义的条件，分式的值为零的条 件 三、例 1 填空 四、小结
教后札记
Байду номын сангаас
3
a
a
33
s
s
为下面的[思考]提供具体的式子，就以上的式子 100 ， 60 ， s ， v ，有 什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即 A÷B）的形式.分数的分 子 A 与分母 B 都是整数，而这些式子中的 A、B 都是整式，并且 B 中都含有 字母. P3[归纳]顺理成章地给出了分式的定义.分式与分数有许多类似之处， 研究分式往往要类比分数的有关概念， 所以要引导学生了解分式与分数的联 系与区别. 希望老师注意：分式比分数更具有一般性，例如分式
教师活 动
100 = 60 ，给出分式的描述 20 v 20 v
学生活动
性的定义： 像这样分母中含有字母的式子属于分式. 不要在列方程时耽误时 间，列方程在这节课里不是重点，也不要求解这个方程. 1．本节进一步提出 P2[思考]让学生自己依次填出：10 ， s ， 200 ， v .
7
20 v 20 v
A 才有意义. B
3． P3 例 1 填空是应用分式有意义的条件—分母不为零，解出字母 x 的值.还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成“分式无意义” ，使学 生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范 围，打下良好的基础.
1
4． P9[拓广探索]中第 13 题提到了“在什么条件下，分式的值为 0？”
五、课后练习
2
1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做 x 个零件，则他 8 小时做零件 小时. （2）轮船在静水中每小时走 a 千米，水流的速度是 b 千米/时，轮船的 顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 . 千米/时. (3)x 与 y 的差于 4 的商是 个，做 80 个零件需
A B
A 可以表示为两 B
个整式相除的商（除式不能为零） ，其中包括所有的分数 . 2． P3[思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意 义？由分数的分母不能为零， 用类比的方法归纳出： 分式的分母也不能为零. 注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当 B≠0 时，分式
1 分母不能为零；○ 2 分子为零. 分式的值为 0 时，必须同时满足两个条件：○
这两个条件得到的解集的公共部分才是这一类题目的解. 二、课堂引入 1．让学生填写 P2[思考]，学生自己依次填出： 10 ， s ， 200 ， v .
7 a 33 s
2．学生看 P1 的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它 沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用实践，与以最大航速逆流航行 60 千 米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为 x 千米/时. 轮船顺流航行 100 千米所用的时间为 100 小时， 逆流航行 60 千米所用
课题：16.1.1 从分数到分式
课型 主备 新授课 备课时间 审核教师 2013-2-28 使用教师姓名 参与教师姓名 使用时间
教学目标：1.了解分式、有理式的概念.
2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条 件，分式的值为零的条件.
教学重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 教学难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 教学流程 教学过程 一、本章从实际问题引出分式方程
m m2 m3
(3)
m 1 m 1
1 分母不能为零； 2 [分析] 分式的值为 0 时， 必须同时 满足两个条件： ○ ○ ．．
分子为零，这样求出的 m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 四、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4,
7 , 9 y , m4 , x 20 5
3 x2
x7 5x
（2）m=2
（3）m=1
8y 3 ， 1 x9 y2
2x 5 x2 4
x2 1 x2 x
2. 当 x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） 3 2 x （2）
7x 21 3 x x5
（3） (3)
3. 当 x 为何值时，分式的值为 0？ （1）