奥数-分式1学
奥数-分式1师
分式1一、分式基本概念及性质分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下两点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷（0m≠）．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．【例 1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例 2】⑴x为何值时，分式1111x++有意义？⑵要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值．【解析】⑴1101x+≠+且10x+≠，则2x≠-且1x≠-⑵根据题意可得13102aa++=或20a=，所以15a=-或0a=【变式】 （中考网题库）求下列分式有意义的条件：⑴ 1x ⑵33x + ⑶2a b a b +-- ⑷21n m + ⑸22x y x y ++ ⑹2128x x -- ⑺293x x -+【例 3】 （中考网题库）当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴ 1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +-- ⑹2242x x x -+【解析】 ⑴ 101x x +=⇒=-，此时分母不为0，故当1x =-时，原式的值为0；⑵ 2101x x -=⇒=或者1x =-，但当1x =-时，分母为0，故1x =时，原式的值为0； ⑶ 由303x x -=⇒=±，又303x x -≠⇒≠，故3x =-；⑷ 由2330x +≥>可知，无论x 为何值，分式的值都不为0；⑸ 由22301x x x +-=⇒=或者3x =-，又101x x -≠⇒≠，故3x =-； ⑹ 由2402x x -=⇒=±，又2200x x x +≠⇒≠且2x ≠-，故2x =．【变式】 （中考网题库）当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴ 213x x -+ 根据题意可得：21030x x -=⎧⎨+≠⎩，则12x =⑵ 223(1)(2)x x x x --++ 根据题意可得：2230(1)(2)0x x x x ⎧--=⎨++≠⎩，则3112x x x x ==-⎧⎨≠-≠-⎩或且，所以3x =⑶2656x x x --- 根据题意可得：260560x x x ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，则6x =- ⑷ 221634x x x -+- 根据题意可得：22160340x x x ⎧-=⎪⎨+-≠⎪⎩，则4x =⑸ 288xx + 根据题意可得：28080x x =⎧⎨+≠⎩，则0x =⑹ 2225(5)x x -- 根据题意可得：22250(5)0x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，则5x =- ⑺ (8)(1)1x x x -+- 根据题意可得：(8)(1)010x x x -+=⎧⎪⎨-≠⎪⎩，则8x =【例 4】 （中考网题库）若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴ x y x y +- ⑵xyx y- ⑶22x y x y -+【解析】 ⑴ 333()333()x y x y x yx y x y x y +++==---，不发生变化 ⑵ 3393333()x y xy xy x y x y x y ⋅==⋅---，是原来的3倍 ⑶ 222222333()1(3)(3)9()3x y x y x y x y x y x y ---==⋅+++，是原来的13倍【例 5】 （中考网题库）约分：⑴23326a a a -- ⑵22222m mn n m n -+-通分：⑶1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+ ⑷2n m mn -，2m n mn -，221m n -【解析】 当分式的分子和分母都是单项式或乘积的形式时，可直接约分；当分式的分子或分母有多项式时，约分的主要步骤是：先把分式的分子和分母分别进行因式分解，然后再约去公因式．在约分的过程中，要注意符号的处理，一般的，可以根据分式的符号法则，把负号放到分式的最前面，再进行约分计算．⑴ 原式22312(3)2a a a a -==⋅-；⑵原式2()()()m n m nm n m n m n--==-++ ⑶ 先分解因式，而后找公分母为2(1)(1)x x x +-221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-=-+-，222(1)1(1)(1)x x x x x x x -=-+-，2222(1)21(1)(1)x x x x x x x +=-++- ⑷ 先分解因式，而后找公分母为()()mn m n m n +-22()()()n n m n m mn mn m n m n +=-+-，22()()()m m m n n mn mn m n m n +=--+-，221()()mn m n mn m n m n =-+-【变式】 （中考网题库）约分：⑴ 232222221535320454a b c a b b c a b b c c b c c--⋅==-⋅ ⑵224(4)16(4)(4)4x x x x x x x x x --==-+-+ ⑶ 2(2)22x y y x y x -=--⑷22()()()mx my m x y m x y x y x y x y++==--+- ⑸ 2222249(23)(23)234129(23)23x y x y x y x y x xy y x y x y--+-==++++ ⑹22412(6)(2)6710(2)(5)5x x x x x x x x x x ---+-==+++++ ⑺ 22222222222()()()2()()()a b c bc a b c a b c a b c a b c c a b ab c a b c a b c a b c a b --+---++-+-===--+---++--+ ⑻1122342189m m m m x y y x y x+-+-=【变式】 （中考网题库）化简：232428416n nn n nx x x x x +++-++．【解析】 原式=23422(8)(8164)n n x x x x x x -++-2222(2)(24)(24)(24)n n x x x x x x x x x -++=++-+2(2)24n x x x x -=-+二、分式运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn n n a a aa a aa ab b bb b bb b⋅=⋅=⋅个个n 个＝（n 为正整数） 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=（m 、n 为整数） ⑵()m n mn a a =（m 、n 为整数） ⑶()n n n ab a b =（n 为整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为整数） 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=（0a ≠），即n a -（0a ≠）是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在．【例 6】 （中考网题库）计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a-⋅-÷-⑶32231(4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【解析】 ⑴ 22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---； ⑵ 2342()()()b a b a b a-⋅-÷-23423452642648()b a b b a a a a a a a b b b =⋅-÷=-⋅⋅=-⑶ 4932231(4)()2128m nmn m n ---÷-=-⑷ 32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++3232423(21)1(21)(1)(21)(1)1x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+-=-÷÷⎢⎥-+-++⎣⎦22(21)(23)11(21)(1)1x x x x x x x--+=⨯⨯-+23x =-．① 分子分母有些可以因式分解，先进行因式分解，再计算；②如果运算结果不是最简分式，一 定要进行约分，使运算结果化成最简分式；③有幂的运算时，先算乘方，后算乘除．【例 7】 （中考网题库）求2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++的值，其中3a = 【解析】 222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【例 8】 （中考网题库）先化简，再求值：224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =【解析】 原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯-- 分式的四则混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【例 9】 （中考网题库）已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值． 【解析】 2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+---【变式】 （中考网题库）计算：2482112482111111nnx x x x x x++++++-+++++（n 为自然数） 【解析】 原式11224822222248222211111111n n n n nn n n x x x x x x x x++=+++++=+=-++++-+-【例 10】 （06年宁波市重点中学提前考试招生试题）已知2a x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b ．【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例 11】 （中考网题库）若对于3±以外的一切数，28339m n xx x x -=+--均成立，求mn ． 【解析】 22()3()83399m n m n x m n xx x x x --+-==+--- 所以80m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得44m n =⎧⎨=-⎩，所以16mn =-【变式】 （中考网题库）若关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx Nx x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N ．【解析】 222(2)(2)2()Mx N c c x b ac x x x a x b x a b x ab +-+-=-=+-+++++，所以1222a b cab c M b ac N+==⎧⎪=-⎪⎨-=⎪⎪-=⎩，利用配方思想解得：12a b =-⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，∵a b >，∴21a b =⎧⎨=-⎩，∴4N =- 【变式】 （第10届华罗庚金杯决赛）下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B ．【解析】 2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-，故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =．三 分式方程1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.正确判别一个方程是否为分式方程，关键要看这个方程是否有分母，并且分母中是否有未知数. 目前所学的方程，主要有有理方程及无理方程两类。
奥数-分式恒等变形师
分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。
例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
（1/8） 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。
（3）例3. 求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz>0 因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x ，y ，z 全正，所以不可能1正2负（证明略）所以三个括号内均为正数，所以x ，y ，z 是某个三角形的三边长例5. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值． 【解析】 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式()()()()248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++22481622481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816222121481611111a a a a a a a +++=++++++-+44816448161111a a a a =+++-+++1616161611a a =+-+32323232112a ==--例6. 若实数a ，b ，c 满足1111a b c a b c++=++，求证： 7777771111a b c a b c++=++.【证明】：由已知得到()()bc ac ab a b c abc ++++=，有()()()0a b b c a c +++=，则a ，b ，c 中一定有两个数互为相反数。
奥数-分式-第7讲联赛班教师版
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．1.分式的概念:用A ,B 表示两个整式,A B ÷就可以表示成A B 的形式,如果B 中含有字母,式子AB就叫做分式(分式的分子,分母都是整式;分母中必须含有字母；分母的值不能为0；分式是两个整式相除的商,分数线具有括号的作用) 对分式概念的理解：⑴ 分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线起到除号的作用； ⑵ 分式的分子可以含有，也可以不含有字母，但分式的分母必须含有字母；分式的分母与分数的分母一样，绝对不能为零；2.分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，上述性质可以用式子表示为 ,.(0)A AC A A CC B BC B B C÷==≠÷其中A ,B ,C 是整式.对于分式的基本性质的理解：⑴ 基本性质中的A ,B ,C 表示的都是整式，其中B 不等于0是已知条件中的隐含条件，一般在解题过程中不需要单独强调，而C 不等于0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须强调C 不等于0这个条件.⑵ 分式的基本性质中强调分子与分母要“同时”乘以或除以“同一个”非零的数字或整式，避免只乘分子或只乘分母的错误，也要避免只乘分子或分母中部分项的错误.⑶ 分式的基本性质根本要求是“分式的值不变”，它的作用也恰在于此，所以如果题目的要求是在不改变分式值的前提下，对分子进行计算或变形，则通常可以先尝试用分式的基本性质来解题.⑷ 分式的基本性质是对分式进行通分和约分的主要依据.3.分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身三个符号中有两个符号同时发生变化，分式的值不变.4.分式的四则运算法则：分式的四则运算是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，要对多项式的因式分解，项的符号、系数、字母指数以及四则混合运算的顺序等熟练掌握，而换元法是进行巧算的有效方法．⑴ 分式加减法法则：分式加减法包括同分母分式相加减和异分母分式加减法，异分母分式要化为同分母分式，分子合并同类项后，若分子、分母有公因式，要化简为最简分式或整式.7分式⑴⑵ 分式乘法法则：a c acb d bd⋅=⑶分式除法法则：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=⑷ 分式的乘方：()nn n a a n b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭为正整数说明：以上三个法则中,,,a b c d 均为整式，且,,,a b c d 不为0.5.繁分式－⎡⎢⎡⎢⎢⎢⎣⎣定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫繁分式写成分子除以分母的形式，利用除法法则化简化简利用分式的基本性质化简6.分式有意义的条件表示两个整式相除的意义，根据除数不能为零的法则，或对照分数中分母不为零的要求可以得到： 分式有意义的条件是：分式的分母不为零.一般地，若题目中明确给出“分式13x -”，则表示该分式是有意义的，即隐含着条件3x ≠；若目中给出的是“式子13x -”，则它不一定是分式，必须标注当3x ≠时，13x -才是分式．7.分式的值为零的条件分式值为零的条件是：分子为零，同时分母不为零.两个条件缺一不可，必须同时满足，分式值才能为零．8.为了讨论某些用分式表示数的性质，有时要将一个分式表示为：⑴ 一个整式和一个分式的代数和（较简单，在此就不讲了）； ⑵若干个真分式的代数和（称为分式分成部分分式）. 把一个分式分为部分分式的一般步骤是：⑴ 把一个分式化成一个整式与一个真分式的和； ⑵ 把真分式的分母分解因式；⑶ 根据真分式的分母分解因式后的形式，引入待定系数来表示成为部分分式的形式； ⑷ 利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列出关于待定系数的方程或方程组； ⑸ 解方程或方程组，求待定系数的值；⑹ 把待定系数的值代入所设的分式中，写出部分分式。
初中奥数讲义_分式方程(组)附答案
分式方程（组）本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根．解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．例题求解一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程64534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如72175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2．用换元法解分式方程 【例2】解方程081318218111222=--+-++-+x x x x x x ．解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++xy y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解．注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如aa x x 11+=+结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，ax 12=．【例3】解方程 310511522=+++++x x x x ． 解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．11=x ，22=x 均为原方程的解．4．运用整体代换解分式方程组【例4】解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x x x z y y y x x 222222414414414． 解析 若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解． 若x 、y 、z 均不为0，取倒数相加得x=y=z=21故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=21． 二、含字母系数分式方程根的讨论【例5】解关于x 的方程242241)1(2212122x a x x a x x a --=---++． 解析 去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．讨论：（1）当a 2－1≠0时①当a ≠0时，原方程解为x=212a +；②当a=0时，此时21±=x 是增根． (2) 当a 2－1＝0时即a=1±，此时方程的解为x ≠21±的任意数； 综上，当a ≠±1且a ≠0时，原方程解为x=212a +；当a=0时，原方程无解，；当a=1± 时，原方程的解为x ≠21±的任意数． 三、列分式方程解应用题【例6】 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?解析 题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S －27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S —18级的时间．解 (1)设女孩上梯速度为x 级／分，自动扶梯的速度为y 级／分，扶梯露在外面的部分有S 级，则男孩上梯的速度为2x 级／分，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y S xyS x 181827227解得 S=54．所以扶梯露在外面的部分有54级．(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn 遍，走过楼梯n 遍，则女孩走过自动扶梯(m —1)遍、走过楼梯(n —1)遍．由于两人所走的时间相等，所以有xn x y m x n x y m )1(54)1(54254254-++-=++． 由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化简得6n+m=16．无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m 、n 中都一定有一个是正整数，且0≤m —n ≤1．试验知只有m=3，n=612符合要求．所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+612×54=198(级)．注 本题求解时设的未知数x 、y ，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．【例7】 (江苏省初中数学竞赛C 卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中．15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠? 解析 本题涉及A 中原有弹珠，A 、B 中号码数的平均数，故引入三个未知数．解 设原来篮子A 中有弹珠x 个，则篮子B 中有弹珠(25－x)个．又记原来A 中弹珠号码数的平均数为a ，B 中弹珠号码数的平均数为b ．则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+-=---=+++=-+412615)25(411153252521)25(b x x b a x ax b x ax ，解得x=9，即原来篮子A 中有9个弹珠．学力训练 （A 级）1．解分式方程16143132121+=-++++x x x x ． 2．若关于x 的方程1151222--=+-+-x k x x k xx 有增根x=1，求k 的值．3．解分式方程52)10)(9(1)2)(1(1101=++++++++x x x x x ． 4．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=-++-1042113312111y x x y x x ．5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？（B 级）1．关于x 的方程cda x xb =--有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( ) A ． a ≠b B ．c ≠d C ．c+d ≠0 D ．bc+ad ≠02．某队伍长6km ，以每小时5km 的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h ，则通信员骑马的速度为每小时 km ．3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m 倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n 倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k 倍，则111+++++k kn n m m = ． 4．m 为何值时，关于x 、y 的方程组： ⎩⎨⎧=-+=++241)1(y x m my x m 的解，满足1511<x ，32≥y ？5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由． 6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg ，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x 元／kg ，第二次单价为y 元／kg ．(1)用含x 、y 的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 kg 粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q l 元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q 2元则Q 1= ；Q 2= ．(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．分式方程（组）分式方程（组）。
分式奥数题
分式奥数题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2当a=2时的值时,求分式分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+ 2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以(a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。
初二奥数精讲——第5讲分式（一）
初二奥数精讲——第5讲分式（一）本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。
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一、知识点解析分式是初中数学学习中一类重要知识类型，是贯穿初中、高中乃至大学学习的重要知识点。
因此，分式历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。
分式在数学竞赛中，除了常规的基本方法，还需要掌握和运用一些特殊方法，让我们来开始学习吧。
1. 基本知识分式是有理式，它的运算与分数的计算相似，不过在运算中要特别注意：对含有分式的等式而言，可对等式两边同时乘以各分式的分母的公倍式，以去掉分母。
但对若干分式的和而言，则“不能去分母”，只能利用分式的基本性质（分子、分母同时乘以或除以同一个代数式，其值不变），将各分式的分母化的相同。
符号法则：分式的基本性质：将一个分式的分子和分母同时乘以一个不为零的代数式，分式的值不变。
部分分式：将一个真分式（分子的次数小于分母的次数）分解为若干个真分式的和，叫做将分式化为部分分式。
真分式：如果一个分式分子的次数低于分母的次数，则称之为真分式，否则称为假分式。
真分式具有如下一些性质：（1）几个真分式的和或差仍为真分式，或为零。
（2）如果是真分式，且P(x)与Q(x)是互质的整式，则这个分式可表示成分别以P(x)、Q(x)为分母的两个真分式的和，并且这样的表达式是唯一的（此结论可以推广到分母是多个整式的积的情形）。
（3）如果一个真分式的分母可分解为若干个互不相同的一次因式a i x+b i与若干个互不相同的二次因式的积，则原分式可分解为一些形如的分式的代数和。
如果一真分式的分母含有一次因式的幂：(ax+b)r，则它的部分分式中含有这样一些分式的代数和，按这种方式分解的部分分式都称为最简部分分式。
【初中】初中数学奥赛专题复习 知识梳理例题精讲 第一讲 分式的运算(基础篇,适合八年级使用,无答案)
分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。
【例题精讲】【例1】（1）当=m ___________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零；（2）要使分式xx-11有意义，则x 的取值范围是_______________________。
思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。
【巩固】1、若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________；2、若使分式aa a 231142++-没有意义，则a 的值为________________；【拓展】当x 取何值时，分式6522+--x x x 有意义？【例2】化简下列分式：（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x（3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
初二奥数辅导分式方程的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程 求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行 有效的变形•变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根.
例1解方程
解令y=X+2x-8，那么原方程为
111,
+_*=a
y+9y y y亠15k
分析与解形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故
可考虑用合分比定理化简•原方程变形为
(3x2+4x~1)+(3x2-4x -1)(x2++1) +(x2-4x+1)
去分母得
y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0，
y2-4xy-45x2=0,
(y+或y=-5x .
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以Xi=-1 ,X2=8;由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2+7x-8=0，所以X3=-8，X4=1.
经检验，它们都是原方程的根.
例2解方程
x2+72x~72
——+_-18 =0・'
X2+4x
解设厂则原方費化为
整理得
\3茎一2
黑十！x+2x2+3x+2
去分母、整理得
x+ 9=0,x=-9 .
经检验知，x=-9是原方程的根.
例4解方程x+ 1 X +6x+ 2x+5
+=+
黑 +2x+ 7x+3x+ 6
奥数数学知识点总结初中
奥数数学知识点总结初中一、数与代数1. 整数s- 质数与合数- 完全数、亲和数、阿姆斯特朗数- 整数的性质与运算技巧- 方程与不等式的解法- 二次方程的求解与韦达定理- 不等式的解集表示与基本性质2. 有理数与无理数- 有理数的性质与运算- 无理数的概念与常见类型- 实数的四则运算与性质3. 代数表达式- 整式的加减乘除- 因式分解的技巧- 分式的运算与方程- 二次根式的化简与运算4. 多项式- 多项式的基本概念与运算- 多项式的因式分解- 多项式函数与最值问题5. 等差数列与等比数列- 数列的概念与表示- 等差数列的性质与求和公式 - 等比数列的性质与求和公式 - 数列的实际应用问题二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 三角形的分类与性质- 四边形的分类与性质- 圆的性质与圆的方程- 相似与全等的判定与应用2. 空间几何- 空间图形的基本概念- 立体图形的表面积与体积计算 - 空间直线与平面的位置关系 - 空间几何体的构造与切割3. 解析几何- 坐标系的建立与应用- 直线与圆的解析表达式- 圆锥曲线的性质与方程- 曲线与方程的综合问题三、组合与概率1. 组合数学- 排列组合的基本概念与公式 - 二进制数与应用- 容斥原理与应用- 图论的初步知识与问题解决2. 概率论- 概率的基本概念与计算方法 - 条件概率与独立事件- 随机事件的概率分布- 期望值与方差的计算四、数论1. 素数与整数的性质- 素数的分布与筛法- 整数的可除性与素因数分解 - 最大公约数与最小公倍数2. 同余与模运算- 同余的定义与性质- 费马小定理与欧拉定理- 同余方程的解法3. 整数的分解与组合- 分解质因数的应用- 整数的组合与排列问题五、逻辑与证明1. 证明方法- 直接证明与间接证明- 归纳法与反证法- 证明题的常见类型与解题技巧2. 逻辑推理- 命题逻辑的基本概念- 逻辑运算与逻辑公式- 逻辑推理题的解法六、数学思想与方法1. 数学思想- 数学归纳法的思想与应用- 转化与化归的思想方法- 数学建模与问题解决2. 解题策略- 题目的分析与理解- 策略的选择与运用- 常见错误与误区的避免以上是对初中奥数数学知识点的一个总结，每个部分都包含了该领域的核心概念和解题技巧。
初中奥数分式方程应用题及解析
初中奥数分式方程应用题及解析【篇一】1、A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。
【提示】设共交车速度为x，小汽车速度为3x，列方程得：80/(3x)+3=80/x+20/602、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。
如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。
问原来规定修好这条公路需多长时间？【提示】设时间为x个月，列方程得：[1/x+1/(x+6)]*4+(x-4)/(x+6)=13、某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了五小时，问原计划每小时加工多少个零件？【提示】设原计划每小时加工x个零件，列方程得：1500/2x+5=1500/x4、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的1/3，求步行和骑自行车的速度各是多少？【提示】设步行的速度是每小时x千米，列方程得：4.5/3x+0.5=4.5/x5、某质检部门抽取甲、乙两个相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂合格率比乙厂高5%，求抽取检验的产品数量及甲厂的合格率。
【提示】设抽取检验的产品数量为x，列方程得：(48/x-45/x)*100％=5％6、某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效提高50%，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每小时分别加工多少个零件？【篇二】1、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程求解。
初中奥数系列：.分式C级.第01讲.学生版
【巩固】化简：
1 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x 3x 2 x 5x 6 x 7 x 12 x 9x 20
2
【例4】 化简：
a 2 bc b 2 ac c 2 ab . (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c N 的值. 2 a 1 a 1 a 1
【巩固】(06 年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知
a b 4x 与 的和等于 2 ，求 a ， b . x2 x2 x 4
分式恒等证明
2a3 2 2a3 2 2 2 2 2 【例9】 求证： a 2 ab b2 a ab b a ab b a ab b a b ab
）
1 3
C.
1 3
D.
1 2
b， c 都不为 0，且 a b c 0 ， 【巩固】 （1996 年武汉市初中数学竞赛试题）设有理数 a ， 1 1 1 则 2 的值为___________。 2 2 2 2 2 2 b c a c a b a b2 c 2
分式与数论
☞一元一次分式方程的应用 【例13】 为响应低碳号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．李老师家距学校 10 千米，由 于汽车的速度是自行车速度的 4 倍，所以李老师每天比原来提前 30 分钟出发，才能按原来的时 间到校，求李老师骑自行车的速度．
【巩固】为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现 有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信 息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
分式奥数题
分式奥数题式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+1 0=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。
(完整版)八年级奥数：分式的运算
八年级奥数：分式的运算解读课标．分式是表示具体情境中数量关系的工具，由于分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的，类比分数学分式是学习分式的重要方法．分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础，以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算中的重点与难点，怎样合理地通分是化解这一难点的关键，恰当通分的基本策略与技巧有： 1．分步通分； 2．分组通分；3．先约分后再通分； 4．换元后通分等． 问题解决例1 （1）若分式的值为0，则x 的值为____________．（2）如果整数a （a ≠1）使得关于x 的一元一次方程：的解是整数，则该方程所有整数解的和为____________．例2 已知实数a 、b 、c 满足那么的值（ ）． A ．是正数 B ．是零 C ．是负数 D ．可正可负例3 计算 （1）; （2）；4412322++-x x x x a a ax ++=-232.4.0==++abc c b a cb a 111++4214121111x x x x ++++++-)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++x x x x x x x x Λ例4 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式，请证明．例5 A 、B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同．其中A 家庭每次购买25千克，B 家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问谁的购买方式合算？数学冲浪． 知识技能广场1． 埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识．整个埃及数学最特异之处，是一切分数都化为单分数，即分子为1的分数．在一部记录古埃及数学的《赖因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“”型分数分解成单分数的结果，如，则．更一般地，有 取大于2的自然数）． 2．（1）要使分式没有意义，则a 的值为___________．（2）当m =__________时，分式的值为零．3．已知的和等于，则 a =__________，b =__________． 4．化简__________． ⎪⎩⎪⎨⎧=++===--+--+--.3211,00))(())(())((时）（时）（时）（r c b a r r b c a c c a b c b b c a b a a rrr2n 4515192,2814172,1513152+=+=+=)(1)(1112+=n n ()(1)(1122+=-aa231142++-α23)3)(1(2+---m m m m 22-+x b x a 与442-x x =+--÷-+-22229631y xy x y x yx y x5．若分式的值为零，则x 的值为（ ）．A ．±1B ．-1C ．8D ．-1或8 6．已知，则的值等于（ ）． A ．6 B ．-6 C ．D ． 7．化简，其结果是（ ）．8．方程的整数解有（ ）组． A ．1 8．2 C ．3 D ．49．若a 满足请你选取一个合适的数a ，使得代数式的值为一个奇数．10．计算： （1）； （2）．1||)1)(8(-+-x x x 411=-b a bb a b ab a α7222+---215272)22444(22-÷+-++--x x x x x x x 28.28.28.28.++----x D x C x B x A 013=-++y x x 33≤≤-a )11(12aa a -÷-443)2111(2+++÷++-+-x x x x x x x 2]244)2)(1([22-÷--+--+a aa a a a a a a11．试说明下列等式成立： （1）； （2）．思想方法天地 12．已知x 为整数，且为整数，则所有符合条件的x 值的和为_____． 13．已知abc =1，则关于x 的方程的解是___．14．设正整数m ,n ，靠满足m <n ，且则m +n 的值是______________． 15．已知则x =______________． 16．代数式的化简结果是（ ）． 17．设有理数a 、b 、c 都不为零，且． 则的值是（ ）．A ．正数B 负数C ．零D ．不能确定18．甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以a 千米／时的2222)(1)(1)(1)111(a c c b b a a c c b b a -+-+-=-+-+-ac c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+-+-=---+---+---222))(())(())((918232322-++-++x x x x 2004111=++++++++cac xbc b x ab a x ⋅=++++++++2311)1()1(11222nn m m mm Λ3,2,1=+=+=+xz zxz y yz y x xy 14121111432++++++-x x x x x x 18.65-x x A 18.84-x x B 14.87-x x C 18.87-x x D 0=++c b a 222222222111c b a b a c a c b -++-++-+速度行走，另一半时间以b 千米／时的速度行走；而乙用a 千米／时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米／时的速度行走（a ，b 均大于0，且a ≠b ），则（ ）． A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．甲乙谁先到达B 地不确定 19．存在这样的有理数a 、b 、c 满足a <b <c ，使得分式的值等于（ ）． A ．-2003 B ．0 C ．2003 D ．20．太平盛世，吉祥如意，神舟“五号”，豪气冲天．若能被n +5整除（n 为正整数），则称n 为995的吉祥数．据说，中国载人飞船首飞日期恰好与995的吉祥数有关，试求n 的最大值．21．已知求下式的值： ．应用探究乐园22．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用x （x ≥1）单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为． ‘现有a （a ≥2）单位的水，可以一次清洗也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少?说明理由．ac c b b -+-+-111α2995n +xxx f +=1)(.)2004()2003()2()1()0()1()21()20031()20041(f f f f f f f f f +++++++++ΛΛ11x +23．一分为二 任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（n ，p ，q 都是正整数）．显然，这里的p ，q 都大于n ． 如果设p =n +a ，q =，n +b ，那么有． （1）探索上式中的正整数a ，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）；（2）写出等于两个单位分数之和的所有可能情况．1n qp n 111+=bn a n n +++=11116。
小升初奥数：分式方程应用题
小升初奥数：分式方程应用题【篇一】1、小明7：20分离家上学去,走到距离家500米的商店时,买学习用品用了5分钟从商店出来,小明发现按原来的速度还要30分钟才能到学校,为了8：00之前赶到学校，小明加快了速度每分钟比原来多走25米，求小明从商店到学校的速度。
2、甲、乙两车从A、B两地相向而行，甲车比乙车早开出15分钟，甲、乙两车的速度之比为2：3，相遇时，甲比乙少走6千米，已知乙走这条路要1.5小时，求甲乙两车的速度及A、B的距离。
3、某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元：（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售完后，商店共盈利多少元？4、某商店经销一种商品，因为进货价降低了6.4℅，使得利润率提升了8℅，那么原来经销这种商品的利润率是多少？5、六(1)班同学周末乘汽车到游览区游览,游览区距学校120千米,一部分学生乘慢车先行,出发后1小时后,另一部分学生乘快车前往,结果他们同时到达游览区,已知快车的速度是快车的速度的1.5倍,求快车的速度.【篇二】1、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲乙两班每小时各种多少棵树？2、某市为了缓解交通拥堵现象，决定修建一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提升12℅，问原计划完成这项工程需用多个月？3、某项工程在工程招标时，接到甲、乙两个工程队投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元,乙工程队工程款0.5万元,工程领导小组根据甲乙两的投标书预算,有如下方案：(1)甲队单独完成这项工程刚好如期成完成;(2)乙队单独完成这项工程要比规定的日期多用6天;(3)若甲乙两合做3天,余下的的工程由乙队单独做也正好如期完成.那么在不耽误工期的前提下,你觉得那一种施工方案最节省工程款?请说明理由.4、据林业专家分析，树叶在光合作用下产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若每年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年平均滞尘量。
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分式1一、分式基本概念及性质分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下两点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷（0m≠）．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．【例 1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例 2】⑴x为何值时，分式1111x++有意义？⑵要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值．【例 3】当x为何值时，下列分式的值为0？⑴1xx+⑵211xx-+⑶33xx--⑷237xx++⑸2231x xx+--⑹2242xx x-+【例 4】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴ x y x y +- ⑵xyx y- ⑶22x y x y -+【例 5】 约分：⑴23326a a a -- ⑵22222m mn n m n -+-通分：⑶1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+ ⑷2n m mn -，2m n mn -，221m n -二、分式运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝（n 为正整数） 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=（m 、n 为整数） ⑵()m n mn a a =（m 、n 为整数） ⑶()n n n ab a b =（n 为整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为整数） 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=（0a ≠），即n a -（0a ≠）是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在．【例 6】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a-⋅-÷-⑵ 32231(4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【例 7】 求2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++的值，其中3a =【例 8】 先化简，再求值：224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =【例 9】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值．【例 10】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b ．【例 11】 若对于3±以外的一切数，28339m n xx x x -=+--均成立，求mn ．三 分式方程1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.正确判别一个方程是否为分式方程，关键要看这个方程是否有分母，并且分母中是否有未知数. 目前所学的方程，主要有有理方程及无理方程两类。
有理方程中包括整式方程和分式方程. 2、解分式方程的一般步骤首先要找到所有分母的最小公分母，去分母后化为整式方程，按照解整式方程的方法解出适合整式方程的解，最后也是最一步，就是检验，看是否有增根. 3、对于分式方程的增根，可以从以下几个方面理解： （1）增根一定适合分式方程转化后的整式方程；（2）增根不适合原分式方程，即使原分式方程至少有一个分母为0；（3）为了简便，验根时通常只需要把求得的根代入所乘的最简公分母，使最简公分母为0的根就是原方程的增根.【例 12】 解方程：10030=7x x -【例 13】 解方程21622=422x x x x x -++-+-【例 14】 解方程2216124x x x --=+-【例 15】 解方程22252571061268x x x x x x x x x --+=+----+【例 16】 解方程22281622(1)4422x x xx x x x -+++=-+--【例 17】 解方程2227361x x x x x +=+--【例 18】 解方程224233101232x x x xx x x x ++++=++++【例 19】 （1）如果分式方程113=22x x x -+--有增根，则求它的增根 （2）如果分式方程81=877x x x----有增根，则求它的增根【例 20】 关于x 的方程2221511k k x x x x x --+=-+-有增根x ＝1，求k 的值。
【例 21】 解方程组661283310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ① ②【例 22】 解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+)2.....(03y 3y 4x x )1.......(0y 5x 4【例 23】 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=--+3y x 22y x 61y x 33y x【例 24】 某校文艺演出队到离校15千米的某地慰问演出.先遣队与演出队同时出发，行进速度是演出队的1.2倍，以便提前到达半小时做好准备工作.求先遣队与演出队的行进速度.【例 25】 某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班学生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？【例 26】 要定期完成一件工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做要超期3天才能完成，现甲乙合作2天，余下的由乙单独做，刚好按期完成，求甲乙单独做全部工程所需天数。
【例 27】 打印一份稿件，甲打30分钟后由乙继续再打25分钟就完成。
第二次再打这份稿件，乙打30分钟后由甲继续再打24分钟就完成。
问甲、乙二人单独打这份稿件各需多少分钟。
练习习题1. ⑴ x 为何值时，分式2141x x ++无意义？ ⑵ x 为何值时，分式2132x x -+有意义？⑶ x 为何值时，分式211x x -+有意义？习题2. 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值．习题3. 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴ 2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-习题4. 若213111a M Na a a -=+--+是关于a 的恒等式，求M 、N 的值．习题5. 当a ＝ 时，方程202x ax -=-无解习题6. 若去分母时，解关于y 的方程2403y y ay -+=-时有增根，a ＝ 习题7. 去分母，解方程133x mx x -=--时有增根，则m 的值是 （ ） A.3 B.2 C.1 D.-1 习题8. 解方程：36501(1)x x x x x ++-=--习题9. 解方程： 34133xx x -+=--习题10. 解方程：22212356x x x x x x x -=+---+本章测试填空题：1、约分：2332510x y x y c -=-2yxc ；22121x x x --＝＝ . 2、计算：2422a a a +=-- ； ()()32a b b a a -÷-=3、方程：12235x x =-+的解是 . 4、如果关于x 的方程2233x ax x -=--有增根，那么a 的值是 .5、已知：11332,x xy yx y x xy y -++=-+则的值是 .6、已知21(3)(4)34x A Bx x x x +=+-+-+，则A 、B 的值为（ ）A 、A ＝1,B ＝-1 B 、A ＝1,B ＝-1C 、A ＝-1,B ＝1D 、A ＝2,B ＝-27、若11q p q -=+，那么q 等于（ ） A 、11p p -+ B 、11p p +- C 、11P p -+- D 、－18、若a b ab -=，则11a b-的值为（ ）A 、1a b+ B 、1ab C 、b a - D 、－19、使分式2222x x x ---的值为0的x 的值为（ ） A 、－1 B 、2或－1 C 、2 D 、110、解方程：21421242x x x x x x +-=---+11、当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值.。