多元随机变量函数的分布

我们已讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量X 1, X 2, …,X n 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Y i =g i (X 1, X 2, …,X n ), i =1,2,…,m 的联合分布?一、离散型分布的情形例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数.解:)()(r Y X P r Z P =+=={X +Y =r }{X =1, X +Y =r }∪{X =2, X +Y =r }∪{X =r , X +Y =r }……且诸{X =i , X +Y =r },i =1,2, …,r 互不相容例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数.于是有: )()(r Y X P r Z P =+==∑=-===ri i r Y P i X P 0)()(=a 0b r +a 1b r -1+…+a r b 0∑=-===ri i r Y i X P 0),(由独立性此即离散卷积公式r =0,1,2, …解：依题意∑=-====r i i r Y P i X P r Z P 0)(()(）例2若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布, 证明Z =X +Y 服从参数为21,λλ21λλ+的泊松分布.由卷积公式i =0,1,2,…j =0,1,2,…!)(i ei X P i 11λλ-==!)(j e j Y P j 22λλ-==∑=-====ri i r Y P i X P r Z P 0)()(（）由卷积公式∑=⋅=ri 0i -r 2-i 1-i)!-(r ei!e21λλλλ∑=+-=ri r e0i-r 2i 1)(i)!-(r i!r!!21λλλλ,)(!21)(21rr eλλλλ+=+-即Z 服从参数为的泊松分布.21λλ+r =0,1，…例3 设X 和Y 相互独立，X ~B (n 1,p ),Y ~B (n 2,p ),求Z =X +Y 的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y 是在n 2次独立重复试验中事件A 出现的次数,每次试验中A 出现的概率为p .若X ~ B (n 1,p ),则X 是在n 1次独立重复试验中事件A 出现的次数,每次试验中A 出现的概率都为p .故Z=X+Y 是在n+n2次独立重复试验1中事件A出现的次数，每次试验中A出现+n2，p）为参的概率为p，于是Z是以（n1+n2, p).数的二项随机变量，即Z~ B(n1例4 设X和Y的联合密度为f (x,y),求Z=X+Y的密度.解: Z=X+Y的分布函数是:F Z(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)⎰⎰= Ddxdyyxf),(这里积分区域D={(x, y): x+y≤z}是直线x+y=z 左下方的半平面.一、连续型分布的情形化成累次积分,得⎰⎰≤+=zy x Z dxdyy x f z F ),()(⎰⎰∞∞--∞-=yz Z dydx y x f z F ]),([)(固定z 和y ,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y ,得⎰⎰∞∞-∞--=zZ dydu y y u f z F ]),([)(⎰⎰∞-∞∞--=zdudy y y u f ]),([变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系, 即得Z =X +Y 的概率密度为:由X 和Y 的对称性, f Z (z )又可写成⎰∞∞--==dyy y z f z F z f ZZ ),()()('以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.⎰∞∞--==dxx z x f z F z f ZZ ),()()('⎰⎰∞-∞∞--=z Z dudy y y u f z F ]),([)(特别，当X 和Y 独立，设(X ,Y )关于X ,Y 的边缘密度分别为f X (x ) , f Y (y ) , 则上述两式化为:⎰∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(这两个公式称为卷积公式.⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(下面我们用卷积公式来求Z =X +Y 的概率密度为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例5 若X 和Y 独立,具有共同的概率密度求Z =X +Y 的概率密度.⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f ⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(解: 由卷积公式⎩⎨⎧≤-≤≤≤1010x z x 也即⎩⎨⎧≤≤-≤≤zx z x 110为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-=<≤==⎰⎰-其它,021,210,)(110z z Z z z dx z z dx z f 如图示:⎩⎨⎧≤-≤≤≤1010x z x 也即⎩⎨⎧≤≤-≤≤z x z x 110于是⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(用类似的方法可以证明:),(~222121σσμμ+++=N Y X Z 若X 和Y 独立,),,(~),,(~222211σμσμN Y N X 结论又如何呢?此结论可以推广到n 个独立正态随机变量之和的情形,请自行写出结论.若X 和Y 独立,具有相同的分布N (0,1),则Z=X+Y 服从正态分布N (0,2).更一般地, 可以证明:有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则3X+4Y+1也具有正态分布.从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.若每一个问题都这样求，是很麻烦的.下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函数的分布的定理.对二维情形,表述如下：2.假定变换和它的逆都是连续的;3. 假定偏导数iiy h ∂∂1. 设y 1=g 1(x 1,x 2), y 2=g 2 (x 1,x 2)是到自身的一对一的映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换: x 1=h 1(y 1, y 2), x 2=h 2(y 1, y 2)2ℜ（i =1,2, j =1,2 ）存在且连续;定理设(X 1,X 2)是具有密度函数f (x 1,x 2)的连续型二维随机变量,4．假定逆变换的雅可比行列式则Y 1,Y 2具有联合密度w (y 1,y 2)=|J |f (h 1(y 1,y 2), h 2(y 1,y 2))（*）0),(2212211121≠∂∂∂∂∂∂∂∂=y h y h y h y h y y J 即J (y 1,y 2)对于在变换的值域中的(y 1,y 2)是不为0的.例6 设(X 1,X 2)具有密度函数f (x 1,x 2). 令Y 1=X 1+X 2，Y 2=X 1-X 2试用f 表示Y 1和Y 2的联合密度函数.故由(*)式,所求密度函数为解: 令y 1= x 1+x 2, y 2= x 1-x 2，则逆变换为,2211y y x +=,2212y y x -=02/12/12/12/12/1),(21≠-=-=y y J )2,2(21),(212121y y y y f y y w -+=有时，我们所求的只是一个函数Y 1= g 1(X 1,X 2)的分布. 一个办法是：对任意y , 找出{Y 1≤ y }在(x 1,x 2)平面上对应的区域{g 1(X 1,X 2) ≤ y }，记为D .求出Y 1的分布函数. Ddx dx x x f 2121),(P {Y 1 ≤y }=然后由另一个办法是配上另一个函数g 2(X 1,X 2)，使(X 1,X 2)到(Y 1,Y 2)成一一对应变换,2211),()(1dy y y w y f Y ⎰∞∞-=下面我们用一例来说明.找出(Y 1,Y 2 )的联合密度函数w (y 1, y 2), 最后, Y 1的密度函数由对w (y 1, y 2)求边缘密度得到：w (y 1,y 2)=|J |f (h 1(y 1,y 2), h 2(y 1,y 2)) (*) 然后利用定理, 按例7 设(X 1,X 2)具有密度函数f (x 1, x 2),求Y =X 1X 2的概率密度.按(*)式得Y 和Z 的联合密度为解: 令Y = X 1X 2, Z = X 1，它们构成(x 1,x 2)到(y ,z )的一对一的变换, 逆变换为: x 1=z , x 2=y /z 雅可比行列式为:0/1//110),(2≠-=-=z zy z z y J ||1),(z z y z f 所配函数dz z z y z f y f Y ||1),()(⎰∞∞-=按(*)式得Y 和Z 的联合密度为||1),(z z y z f 再求Y 的概率密度此即求两个r.v 乘积的密度函数公式将定理推广到n 维随机变量，我们可求得n 维随机变量函数的分布，见教材124页.三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它(x)和F Y(y),我们来们的分布函数分别为FX求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.又由于X 和Y 相互独立,于是得到M=max(X ,Y )的分布函数为:即有F M (z )= F X (z )F Y (z )F M (z )=P (M ≤z )=P (X ≤z )P (Y ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )由于M=max(X ,Y )不大于z 等价于X 和Y 都不大于z ，故有分析：P (M ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )类似地，可得N=min(X ,Y )的分布函数是下面进行推广即有F N (z)= 1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]=1-P (X >z ,Y >z )F N (z )=P (N ≤z )=1-P (N >z )=1-P (X >z )P (Y >z )设X 1,…,X n 是n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为我们来求M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数.)(x F i X (i =0,1，…, n )用与二维时完全类似的方法，可得特别，当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有N=min(X 1,…,X n )的分布函数是M=max(X 1,…,X n )的分布函数为: F M (z )=[F (z )]n )](1[1)(1z F z F X N --=…)](1[z F n X -)()(1z F z F X M =)(z F n X …F N (z )=1-[1-F (z )]n若X 1,…,X n 是连续型随机变量，在求得M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数后，不难求得M 和N 的密度函数.留作课下练习.当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有F M (z )=[F (z )]n F N (z )=1-[1-F (z )] n需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称M=max(X1,…,X n)，N=min(X1,…,X n)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.下面我们再举一例，说明当X,X2为离散1,X2)的分布.型r.v时，如何求Y=max(X1解一: P (Y =n )= P (max(X 1,X 2)=n )=P (X 1=n , X 2≤n )+P ( X 2 =n , X 1<n )∑=--=n k k n pqpq 111∑-=--+1111n k k n pq pq q qq p n n --=-1112q q qp n n --+--11112)2(11----=n nn q q pq 记1-p =q 例8设随机变量X 1,X 2相互独立,并且有相同的几何分布:P (X i =k )=p (1-p )k -1,k =1,2,…(i =1,2)求Y=max(X 1,X 2)的分布.n =1,2,…解二: P (Y =n )=P (Y ≤n )-P (Y ≤n -1)211][∑=-=nk k pq=P (max(X 1,X 2) ≤ n )-P (max(X 1,X 2) ≤n -1)=P (X 1≤ n , X 2≤n )-P ( X 1 ≤ n -1, X 2≤ n -1)2111][∑-=--n k k pq 22]11[q q p n --=2)1(n q -=212]11[q q p n ----21)1(---n q )2(11----=n n n q q pq n =1,2,…那么要问，若我们需要求Y=min(X,X2)1的分布，应如何分析？留作课下思考我们介绍了如何求r.v 函数的分布.但有时我们无法精确求出此分布.当这个积分无法精确求出时，一个可取的方法是采用计算机模拟.例如，想求两个独立连续型r.v 之和X +Y 的分布函数. X 的分布函数为F ，Y 的分布函数为G ，在理论上，可以求得：dxx f x X t Y X P t Y X P ⎰∞∞-=≤+=≤+)()|()(dx x f x t G ⎰∞∞--=)()(其中f (x )是X 的密度函数.我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布．请通过练习熟练掌握.。