解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理
利用逐次逼近法，来证明微分方程的初值问题的解存在与唯一性定理。
一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程的右端函数在闭矩形区域上满足如下条件：
（1）、在上Hale Waihona Puke Baidu续；
（2）、在上关于变量满足利普希茨条件，即存在常数，使对于上任何一点和
有以下不等式：。
则初值问题在区间上存在唯一解， 其中
二、【证明】 逐步迫近法： 微分方程等价于积分方程。 取，定义 可证明的满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设是微分方程定义于区间上满足初值条件 的解，则是积分方程定义于区间上的连续解。反之亦然。 证： 因是微分方程的解，有 两边从到取定积分，得： 代入初值条件得： 即是积分方程定义于区间上的连续解。 反之，则有 微分得： 且当时有。即是微分方程定义于区间上满足初值条件的解。 现取，代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，再将代入积分 方程的右端，所得函数用表示，则，以上称为1次近似, 称为2次近似。以此类推得
证：只须考虑级数-----（*） 在上一致收敛。 因其部分和为：，因， 设对成立。 则当时有 即对所有，在成立 。 其右端组成正项收敛级数
由魏氏判别法，级数（*）在上一致收敛。即在上一致收敛。命题3得 证。 现设 则在上有定义、连续且
命 题 4： 是积分方程在上的连续解。 证： 由利普希茨条件 及在上一致收敛于，知函数序列在上一致收敛 于。 于是即 是积分方程在上的连续解。
命题5：设是积分方程在上的另一连续解。则。 证： 现证也是序列在上的一致收敛极限函数。由， ， 得：
， 。
设，则 。由数学归纳法，对所有，有 。 因此，对所有，在有成立。但当时。故在上的一致收敛于。由极限的唯 一性，得。
到次近似。
从而构造逐步迫近函数序列为： 命 题 2：对所有,函数序列在上有定义、连续且满足不等式
证：当时， 。显然在上有定义、连续且有 ，即命题2当时成立。 由数学归纳法，设命题2当时成立，则对有： 知在上有定义、连续且有 命题2当时也成立。 由数学归纳法原理得命题2对所有均成立。 命 题 3：函数序列在上一致收敛。