二次函数和分段函数

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二次函数与分段函数.doc

第六讲：分段函数与二次函数第一部分：分段函数6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是__________．答案 [－94，0]∪(2，＋∞)1．(2014·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（8－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－32.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.123．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(－∞，8]4．(2014·上海卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]5.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.(1，2]6．(2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．(－∞，2]7.(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B.[0，1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.[1，＋∞)8.【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；1②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．112a ≤<或2a ≥. 9，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .7.10．已知函数222(1)(0)()4(3)(0)x k a x f x x x a x ⎧+-≥=⎨-+-<⎩，其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为 A ．0k ≤ B ．8k ≥ C ．08k ≤≤ D ．0k ≤或8k ≥11．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是________.(－∞，1] 第二部分：二次函数1．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝⎛⎭⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可． f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－15∪(1，＋∞)． 2．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．则有f (1)＜0，(－2，1)7．设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0，所以0<c <1. (2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0. 因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c的图象的对称轴是x ＝a ＋c3a.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a <0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1) 内有两个零点．3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．解法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意．综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．4．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.5．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x＝－12a .①当－12a ≤－1，即0≤a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12a )≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．第三部分：解答题1．已知函数kx x x x f ++-=221)(．（1）若对于区间()0,+∞内的任意x ，总有()0f x ≥成立，求实数k 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间()2,0内有两个不同的零点21,x x ，求： ①实数k 的取值范围； ②2111x x +的取值范围．试题解析：（1，易知()g x 在上(]0,1递增，在 ()1,+∞上递减，∴()max ()11g x g ==-，∴1k ≥-即可（2）①ⅰ）10≤<x 时，方程0)(=x f 化为01=+kx ，0=k 时，无解；0≠k 时， ⅱ）21<<x 时，方程0)(=x f 化为0122=-+kx x而其中，故0)(=x f 在区间()2,1内至多有一解综合ⅰ）ⅱ）可知，0≠k ，且10≤<x 时，方程0)(=x f 有一解故1-≤k ；21<<x 时，方程0)(=x f 也仅有一解，令，得，所以实数k 的取值范围是 9分 ②方程0)(=x f 的两解分别为2．设函数）且10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx 是定义域为R 的奇函数．（Ⅱ）且)(2)(22x mf a a x g xx -+=-在[)+∞,1上的最小值为2-，求m 的值．解析：（Ⅰ）由题意，对任意R x ∈，，)()(x f x f -=-，即x x x xa k a a k a ---+-=--)1()1(，0))(2(=+--x x a a k 因为x 为任意实数所以2=k ．（Ⅱ）由（1）xx a a x f --=)(，因所解得2=a 故x x x f --=22)(，)22(222)(22x x x x m x g ----+=，令x x t --=22，则由[)+∞∈,1x ，得2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，时，)(t h 在时，则2)(-=m f ，222-=-m ，4．(2015·雅安模拟)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0. (1)求证：－2<ba <－1；(2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围．(1)证明当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0，则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0 即⎝⎛⎭⎫b a ＋1⎝⎛⎭⎫b a ＋2<0，从而－2<ba<－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－2b 3a 2＋4×a ＋b 3a ＝49·⎝⎛⎭⎫b a 2＋4b 3a ＋43＝49⎝⎛⎭⎫b a ＋322＋13. ∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49，∴33≤|x 1－x 2|<23，即|x 1－x 2|的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，23.5，其中a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()416f x ≤≤在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围．解析：（1）故当0a ≥时，()f x 在(),a -∞和(),a +∞上递增，又∵()2f a a =，∴()f x 在R 上递增，当0a <时，()f x 在(),a -∞和（2）由题意只需()()min max 4,16f x f x ≥≤，首先，由（1）可知，()fx 在[]1,2x∈上恒递增，其次，时，()f xf x在时，()。

二次函数--利润问题-分段函数

22.3（3.3）---利润问题-分段函数一．【知识要点】1.分段求最值，进行比较。

2.销售利润=（售价-成本价）×销售量．3.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。

二．【经典例题】1.九(13)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:已知该商品的进价为每件30元,设销售商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)问该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?22018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）求y2与x之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？3.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．（1）如图，设第x （0＜x ≤20）个生产周期设备售价z 万元/件，z 与x 之间的关系用图中的函数图象表示．求z 关于x 的函数解析式（写出x 的范围）．（2）设第x 个生产周期生产并销售的设备为y 件，y 与x 满足关系式y ＝5x +40（0＜x ≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）4.为喜迎佳节，某食品公司推出一种新年礼盒，每盒成本为20元．在元旦节前30天进行销售后发现，该礼盒在这30天内的日销售量p （盒）与时间x （天）的关系如下表：在这30天内，前20天每天的销售价格1y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为11254y x =+（1≤x ≤20，且x 为整数），后10天每天的销售价格2y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为21402y x =-+（21≤x ≤30，且x 为整数）．（1）直接写出日销售量p （盒）与时间x （天）之间的关系式；（2）请求出这30天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）元旦放假期间，该公司采取降价促销策略．元旦节当天，销售价格（元/盒）比第30天的销售价格降低a%，而日销售量就比第30天提高了4a%，日销售利润比前30天中的最大日销售利润少380元，求a 的值．三．【题库】【A】1.数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程，若前49天销售获得的最大日利润为5408元，求出m的值时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x【B】1.我县云蒙湖被临沂市人民政府定位“饮用水水源地”，为净化水源，某水产养殖企业在净化水源的同时，为谋求养殖利润最大化，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y＝﹣x+36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．“五•一”之前，月份出售这种品每千克的利润最大．【C】1.（本题满分11分）绵阳经开区“万达广场”开业在即，开发商准备对一楼的40个商铺出租，小王和开发商约定：小王租赁的每个商铺每个月的租金y（元/个.月）与租赁的商铺数量x（个）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点C ）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）已知开发商每个月对每个商铺的投入成本共280元，那么当小王租赁的商铺数量为多少时，开发商在这次租赁中，每个月所获的利润w 最大？最大利润是多少？【D 】1.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商销售单价q （元/件）与x 满足：当1≤x ＜25时q=x+60；当25≤x ≤50时．（1）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式．（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？2.某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

分段函数与二次函数

问题背景：有A 、B 两家水果店，两家的西瓜销售价格如下：提问：买x 斤西瓜应该付多少钱？归纳：在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示．三.分段函数1.概念：在函数的定义域内,对于自变量的不同取值范围,有着不同的解析式, 这样的函数叫做分段函数2.定义域：分段函数的定义域是自变量的各段取值范围的并集3.函数值：求分段函数的函数值()0f x时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．4.函数图像：分段函数的图像是各段上图像的和（一）、分段函数——例题讲解：例1.如图所示，是某分段函数y=f （x ）的图像，试求其定义域、值域。

思考：画出函数2y x =+的图像，并求f （2）、f （-2）（二）、分段函数的应用——生活中的分段函数出租车计价问题某市出租汽车收费标准如下：在3km 已内（含3km 已内）路程按起步价12元收费，超过3km 以外的路程按2.1元／km 收费．试写出收费额y 关于路程x 的函数解析式．小结：1. 分段函数的概念2. 分段函数的函数值3. 分段函数图像的作法4. 分段函数的解析式的一般步骤：确定自变量和它的取值范围。

对自变量的取值范围进行分段。

分段写出函数解析式。

（从前到后）1、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（） A.0 B.1 C.2 D.32、(2009山东卷)定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则)3(f 的值为（）A ．1- B. 2- C. 1 D. 22643、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （）A.823-B. 111C. 191 D. 241 4、函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为（）A.1B.2-C.1，- D.15、（2009天津卷）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞6、设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞ 7、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)78、（2010天津卷）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()(log )0(log )(212x x x xx f ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是（）A ．)1,0()0,1( -B ．),1()1,(+∞--∞C ．),1()0,1(+∞-D ．)1,0()1,( --∞9、（2010全国卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,621)100(,lg )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则实数abc 的取值范围是（）A ．)10,1(B ．)6,5(C ．)12,10(D ．)24,20( 10、（2010天津卷）设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（）A ．),1(]0,49[+∞-B ．),0[+∞C ．),49[+∞- D ．),2(]0,49[+∞-11、设⎩⎨⎧>-≤-=-)0)(1()0(3)(x x f x a x f x ，若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（）A ．]2,1[B ．()2,∞-C ．[)+∞,1D ．(]1,∞-12、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．313.函数2441()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（） A ．4 B ．3C ．2D ．114、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝。

3.4.2.1一次函数、二次函数、分段函数模型的应用举例作业含答案高中数学苏教版必修一

课后巩固·提能一、填空题1.某型号的手机，经两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机平均降价的百分率是_______.2.将进价为8元的商品，按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应为每个_______元．3.我国计划GDP从2000年至2010年翻一番，则平均每年的增长率是_______.4.用长度为24的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙(隔墙也需使用材料),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为_______.5.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是_______.6.国家规定个人稿费纳税办法为：不高于800元的不纳税；高于800元而低于4 000元的按超过部分的14%纳税；等于或高于4 000元的按全稿费的11%纳税.某人出版一本书共纳税420元，这个人的稿费为_______.7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x =_______，y=_______.二、解答题8．某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆.本年度为节能减排，对产品进行升级换代.若每辆),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时车投入成本增加的比例为x(0<x≤12预计年销售量增加的比例为0.5x.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)当投入成本增加的比例x为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？9．某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0．04元，但最低批发价不能低于102元．求下列问题：(1)当一次订购量为多少个时,每件商品的实际批发价为102元?(2)当一次订购量为x个, 每件商品的实际批发价为P元时,写出函数P=f(x)的表达式.(3)根据市场调查发现,经销商一次最大订购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时,该批发公司可获得最大利润．10.心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定.分析结果和实验表明，设提出和讲述概念的时间为x(单位：分)，学生的接受能力为f(x),(f(x)值越大，表示接受能力越强),()20.1x 2.6x 44,0x 1060,10x 15f x 3x 105,15x 2530,25x 40.⎧-++ <≤⎪ <≤⎪=⎨-+ <≤⎪⎪ <≤⎩，，，(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？(2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小.(3)若一个数学难题，需要56的接受能力以及12分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？答案解析1.【解析】设平均降价的百分率为x,则由题意知2 000(1-x)2=1 280,解得x=20%. 答案：20%【误区警示】学生误以为平均降价的百分率为x,则2 000(1-2x)=1 280而错得答案18%.2.【解析】设每个上涨了x 元，利润为y 元，则y ＝(10＋x －8)(100－10x)＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360，当x ＝4时，y 有最大值360，即每个售价为10＋4＝14(元)．答案：143.【解析】设平均每年的增长率是x,则(1+x)10=2,解得x=1.答案：14.【解析】设隔墙的长度为x,则矩形的另一边长为244x 122x.2-=-所以矩形面积S=x(12-2x)=-2x 2+12x=-2(x-3)2+18.当x=3时,S 有最大值18.答案:3【举一反三】若把题干“中间加两道隔墙”改为“中间加一道隔墙”,其他条件不变,则结论如何?【解析】设隔墙的长度为x,则矩形的另一边长为243x ,2-所以矩形的面积为 ()22243x 33S x x 12x x 424.222-==-+=--+g ∴当x=4时，S max =24. 5.【解析】应分三段建立函数关系，当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，离开A 地的距离不变是150；当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．答案：60t 0t 2.5x 1502.5t 3.515050(t 3.5)3.5t 6.5≤≤⎧⎪<≤⎨⎪<≤⎩，，＝，，－－，6.【解析】由题意可知纳税y(元)与稿费x(元)之间的关系式为()x 80014%800x 4 000,y x 11%,x 4 000.-⨯<⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩，＜若(x-800)×14%=420，解得x=3 800且800<3 800＜4 000.若x ×11%=420,则x=42 00011<4 000(舍去). 故这个人的稿费为3 800元.答案：3 800元7.【解题指南】先根据图形中的比例关系找出x ，y 之间的关系，再将面积表示为含有一个变量的函数关系求解.【解析】依题意知：20x y 85x (24y)x 24y 4---＝，即＝－，∴阴影部分的面积255S xy (24y)y (y 24y)44＝＝－＝－＋，∴当y ＝12时，S 有最大值．此时x ＝15.答案：15 128．【解析】(1)由题可知，本年度每辆车的利润为10(1+0.75x)-8(1+x).本年度的销售量是12(1+0.5x),故年利润y=12(1+0.5x)［10(1+0.75x)-8(1+x)］=-3x 2+6x+24,x ∈(0,12］.(2)设本年度比上年度利润增加f(x),则f(x)=(-3x 2+6x+24)-24=-3(x-1)2+3,因为x ∈(0,12］,在区间(0,12］上f(x)为增函数，所以当x=12时，函数y=f(x)有最大值为94. 故当x=12时，本年度比上年度利润增加最多，最多为2.25亿元. 9．【解析】(1)设一次订购量为100+n(n ∈N +)，则批发价为120－0.04n ，令120－0.04n=102，∴120－102=0.04n,∴n=450，所以当一次订购量为550个时,每件商品的实际批发价为102元．(2)由题意知()1200x 100,x N f x 1200.04(x 100)100x 550,x N 102x 550,x N .+++ ≤≤ ∈⎧⎪= <≤∈⎨⎪ >∈⎩，－－，， (3)当经销商一次批发x 个零件时,该批发公司可获得利润为y ，根据题意知： 40x,0x 100x N y 400.04(x 100)x,100x 500x N ,++ ≤≤∈⎧=⎨ <≤∈⎩，［－－］，。

初中所有函数归纳总结大全

初中所有函数归纳总结大全初中数学学习过程中，函数是一个重要的概念和工具。

函数是描述两个变量之间关系的一种方法，它在数学以及实际问题中有着广泛应用。

本文将对初中阶段所学的各种函数进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和掌握函数的基本概念、性质和应用。

一、常见的函数类型1. 线性函数线性函数是一种最简单的函数形式，其表达式为 y = kx + b，其中k 和 b 是常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率 k 决定了直线的斜率和倾斜的方向，常数 b 决定了直线与 y 轴的截距位置。

2. 幂函数幂函数的表达式一般为 y = ax^n，其中 a 和 n 是常数。

幂函数的图像通常是曲线，根据指数 n 的不同，可以分为增函数和减函数。

指数 n 的大小决定函数图像的陡峭程度。

3. 指数函数指数函数的表达式一般为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是幂指数。

指数函数的图像通常是曲线，底数a 的大小决定函数图像的增长速度。

4. 对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般表达式为y = logₐx，其中 a 是底数，x 是函数的值。

对数函数的图像是指数函数图像关于直线 y = x 的对称图像。

5. 二次函数二次函数的表达式一般为 y = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是抛物线，开口方向由 a 的符号决定，开口向上为正，开口向下为负。

6. 分段函数分段函数是由多个函数段构成的函数，每个函数段在不同的区间内有不同的表达式。

分段函数的图像通常是由几个不同形状的函数图像拼接而成。

二、函数的性质及应用1. 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的所有可能值，值域是函数输出的所有可能值。

在解题过程中，要注意确定函数的定义域和值域，以避免出现无意义的结果。

2. 奇偶性若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数。

专题08二次函数的图象与性质(讲)-2019年中考数学二轮复习

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08 二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质(1)a 决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2bx a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标24()24b ac b a a --，．(5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值．（7）242a b a b c a b c ±±+±+、、的符号的判定：x yO-112a-b 2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定；当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定；当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定；当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定；简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负；对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； 1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。

二次函数综合之分段函数与动态交点问题

二次函数专题复习之分段函数与动态交点问题目标：1.进一步巩固二次函数的图像性质2.了解分段函数及图像的画法3.会运用二次函数的知识解决动态交点问题4.培养综合分析问题的能力、动态观察分析能力、画图能力及分类讨论的意识重点：运用二次函数的知识解决动态交点问题难点：动态图形的观察与分析活动一：热身练习例1：如图，已知抛物线2y ax bx =+经过点A （3，0），B （4，4）两点，将直线OB 向下平移m 个单位长度得到直线l.（1）若直线l 与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标。

（2）若直线l 与抛物线至少有一个公共点，直接写出m 的取值范围.活动二：小试牛刀例2：已知抛物线C 1：y ＝－x 2＋4x －3，把抛物线C 1先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线C 2，将抛物线C 1和抛物线C 2这两个图象在x 轴及其上方的部分记作图象M ．若直线21+=kx y 与图象M 至少有2个不同的交点，则k 的取值范围是__________活动三：学以致用练习1.将函数22y x x =--的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的图形是函数22y x x =--的图象.已知经过点D (0, 4)的直线4y kx =+恰好与22y x x =--的图象只有三个交点，则k 的值是活动四：勇攀高峰例3：我们把b a ,两个数中较大的数记作{}b a D ,，直线 12y kx =+ 与函数{}21,1y D x x =-+的图像有且只有两个交点，则k 的取值范围是。

活动五：超越自我练习2．我们把 a ，b ，c 三个数的中位数记作 Z {},,a b c ，直线 y ＝kx ＋12（k ＞0）与函数 y ＝Z {}21,1,1x x x -+-+的图象有且只有2个交点，则k 的取值为__________．作业:认真完成学案，要求写出解析过程。

初升高衔接课四(二次函数的应用、分段函数)

初升高衔接课四（二次函数的应用、分段函数）2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：2．对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x ＝－1；（2）直线y ＝1．解：（1）如图2．2－7，xy O x ＝－1 A (1,－1) A 1(－3,－1) 图2.2－7（2）如图2．2－8，二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x 的函数．这个函数的解析式为80,(0,20]160(20,40]240,940,80]320(60,80]400,(80,100]x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩ 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．xyOy ＝1A (1,－1)B (1，3)图2.2－8例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔP AC 的面积为y ．（1）求函数y 的解析式；（2）画出函数y 的图像；（3）求函数y 的取值范围．分析：要对点P 所在的位置进行分类讨论．解：三、二次函数的最值问题【知识点】1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：A CBD P图2.2－10[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

【高中数学】函数模型及其应用

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

2023安徽中考数学专题《二次函数利润问题的四种题型》原卷

第05讲二次函数利润问题的四种题型题型一：“每每”的利润问题商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，“每每”问题的做题步骤①找出原来的销量：30件，原来的每件盈利：50元；②确定每件产品降价（或涨价）后的利润：（50-x）元；③计算出降价（或涨价）后销量的变化量：2x件；④找出降价（或涨价）后的销量，本题里有明确的“多出”字样，即为：（30+2x）件；⑤利润=每件利润×数量：y=(50−x)(30+2x)计算注意事项①若题中要求价格为整数，而二次函数的对称轴不是整数，要用二次函数的性质取适当的整数求最值；②结果可能不唯一，例如题中要求结果为整数，而对称轴是51.5，那么51和52都可以；③看清楚题中是否有“最优惠”等条件，算出多个结果需要舍根。

【例1】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？1.（2022·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为4元/件的产品，若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值2．（2022·辽宁朝阳·模拟预测）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？3．（贵州遵义·统考一模）某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为10元/千克．经市场调查发现：若售价为12元/千克时，每天的销售量为180千克；若售价每千克提高1元，每天的销售量就会减少10千克．设每天的销售量为y千克，每千克的售价为x元．请解答以下问题：(1)为让利给顾客，当这种优质水果售价为多少时，每天可获得利润960元．(2)当售价定为多少时，每天可获得最大利润，并求最大利润是多少？4．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．5．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？6．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？题型二：二次函数和一次函数综合的利润问题当题中明确出现了“成一次函数关系”，或给了一次函数的图像，或给了一次函数表格时，先求出相关的一次函数解析式；然后根据利润的相关公式表示利润。

二次函数（分段函数）

⼆次函数（分段函数）⼆次函数（分段函数）⼀、根据⽂字表达式获取分段函数信息例1 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．试建⽴销售价y 与周次x 之间的函数关系式．分析：本题要善于从⽂字信息中提炼出函数关系，可先采⽤列表法找出周次x 和销售解：依题意，可建⽴的函数关系式为：()()()()()≤≤--≤≤≤≤-+=16121123011630611220x x x x x y ；即()()()≤≤+-≤≤≤≤+=16125221163061182x x x x x y ⼆、根据已知分段函数解析式求解例2 ⼼理学家研究发现，⼀般情况下，学⽣的注意⼒随着教师讲课时间的变化⽽变化，讲课开始时，学⽣的注意⼒逐步增强，中间有⼀段时间学⽣的注意⼒保持较为理想的状态，随后学⽣的注意⼒开始分散，经过实验分析可知，学⽣的注意⼒y 随时间t 的变化规律有如下关系式：≤+-≤≤++-=)4020(3807)2010(240)100(100242t t t t t t y （1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时⽐较，何时学⽣的注意⼒更集中？（2）⼀道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学⽣的注意⼒最低达到180，那么经过适当安排，⽼师能否在学⽣注意⼒达到所需的状态下讲解完这道题⽬？解：（1）当x=5时，代⼊y=－t 2+24t+100中，得y=195；当x=25时，代⼊y=－7t+24t+100中，得y=205．∴讲课开始后第25分钟时学⽣的注意⼒⽐讲课开始后第5分钟时更集中．（2）当0＜t≤10时，令y=－t 2+24t+100=180，得t=4；当10＜t≤20时，y=240；当20＜t≤40时，y=－7t+380=180，得t=28.57．所以学⽣注意⼒在180以上的持续时间为28.57-4=24.57（分钟）．∴⽼师可以经过适当安排，能在学⽣注意⼒达到所需的状态下讲解完这道题⽬． 4⼀蔬菜基地种植的某种绿⾊蔬菜，根据今年的市场⾏情，预计从五⽉⼀⽇起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可⽤图1的⼀条线段表⽰：它的种植成本y 2与上市时间x 的关系，可⽤图2中抛物线的⼀部分来表⽰。

二次函数的简单应用- 初升高数学衔接(解析版)

二次函数的简单应用- 初升高数学衔接（解析版）高中必备知识点1：平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．典型考题【典型例题】如图，抛物线经过两点，顶点为D．求a和b的值；将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．求平移后所得图象的函数解析式；若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．【答案】将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．【解析】代入，得：，解得：．，抛物线顶点D的坐标为．将抛物线沿y轴平移后，顶点D落在x轴上，平移后的抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线为，即．若将抛物线向左平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，新抛物线必过点，，解得：舍去；若将抛物线向右平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，新抛物线必过点．，解得：舍去．将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．【变式训练】已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？【答案】向上平移3个单位．【解析】由题意知，必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为，则，代入抛物线方程得：，舍去．所以向上平移3个单位．【能力提升】已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．【答案】（1）y＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．【解析】（1）y=x（x﹣2）+2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）∵将抛物线y=x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：y=（x﹣1）2．高中必备知识点2：对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．典型考题【典型例题】如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B 的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．【解析】(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴D(1，﹣9)．(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B(4，0)．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E(1，0)．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°．设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，∴x=．∴y=．∴P()．【变式训练】已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.(1)求函数的解析式;(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.【答案】（1）y=(x-3)2-2.（2）m>n.【解析】(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,根据题意得9a-2=解得a=，所以函数解析式是y=(x-3)2-2.(2)因为a=>0,所以抛物线开口向上,又因为二次函数的对称轴是直线x=3.所以当x>3时,y随x增大而增大,因为p>q>5>3,所以m>n.【能力提升】已知抛物线经过点（1，-2）．（1）求的值；（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【答案】（1）a=-1；（2）y1＜y2．【解析】(1)、∵抛物线经过点（1，-2），∴，解得a=-1；(2)、∵函数的对称轴为x=3，∴A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，又∵抛物线开口向下，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∵m＜n＜3，∴y1＜y2．高中必备知识点3：分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．典型考题【典型例题】函数1()01xf xx-⎧⎪=⎨⎪+⎩)0()0()0(<=>xxx，则))1((ff的值是___．【答案】0 【解析】∵函数f（x）100010x xxx x-⎧⎪==⎨⎪+⎩，＞，，＜，∴f （1）＝1﹣1＝0， f （f （1））＝f （0）＝0．故答案为：0．【变式训练】已知函数，若，则_________．【答案】【解析】，故，填．【能力提升】函数__________．【答案】1. 【解析】由题意得．故答案为：1．专题验收测试题1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2，解得，AB=5cm ．下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=;当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数故符合y 与t 的函数图象是B ．故选：B ．2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，DC ＝4cm ，BC ＝6cm ，AD ＝3cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA ﹣AD ﹣DC 运动到点C ，点Q 以1cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发xs 时，△BPQ 的面积为ycm 2．则y 与x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作AE⊥BC于E，根据已知可得，AB2＝42+（6﹣3）2，解得，AB＝5cm．当0≤x≤2.5时：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，且达到最大此时面积＝12×2.5×4＝5cm2．当2.5≤x≤4时，即P点在AD上时，1422y x x=⨯=，且增大值为：21448cm2⨯⨯=；当4≤x≤6时，即P点从D到C时，y＝1(122)2x x⋅-＝﹣x2+6x．故符合y与x的函数图象大致是B．故选B．3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E，设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：如图，连接DE ，∵△PC′D 是△PCD 沿PD 折叠得到， ∴∠CPD ＝∠C′PD ， ∵PE 平分∠BPC′， ∴∠BPE ＝∠C′PE ， ∴∠EPC′+∠DPC′＝12×180°＝90°， ∴△DPE 是直角三角形，∵BP ＝x ，BE ＝y ，AB ＝3，BC ＝5，∴AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣y ，CP ＝BC ﹣BP ＝5﹣x ，在Rt △BEP 中，PE 2＝BP 2+BE 2＝x 2+y 2，在Rt △ADE 中，DE 2＝AE 2+AD 2＝（3﹣y ）2+52，在Rt △PCD 中，PD 2＝PC 2+CD 2＝（5﹣x ）2+32，在Rt △PDE 中，DE 2＝PE 2+PD 2，则（3﹣y ）2+52＝x 2+y 2+（5﹣x ）2+32，整理得，﹣6y ＝2x 2﹣10x ，所以y ＝21533x x -+（0＜x ＜5），纵观各选项，只有D 选项符合．故选：D ．4．某种圆形合金板材的成本y （元）与它的面积（cm 2）成正比，设半径为xcm ，当x ＝3时，y ＝18，那么当半径为6cm 时，成本为（） A ．18元 B ．36元C ．54元D ．72元【答案】D 【解析】解：根据题意设y ＝k πx 2， ∵当x ＝3时，y ＝18， ∴18＝k π•9，则k＝2π，∴y＝kπx2＝2π•π•x2＝2x2，当x＝6时，y＝2×36＝72，故选：D．5．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵a≥0，由题意得方程10t-t2=a有两个不相等的实根∴△=b2-4ac=102+4××a＞0得0≤a＜50又∵0≤t≤14∴当t=14时，a=h=10×14-×142=42所以a的取值范围为：42≤a＜50故选：C．6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s=-6t2+bt（b为常数）．已知t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）A．米B．8米C．米D．10米【答案】C【解析】解：把t=，s=6代入s=-6t2+bt得，6=-6×+b×，解得，b=15∴函数解析式为s=-6t2+15t=-6（t-）2+，∴当t=时，s取得最大值，此时s=，故选：C．7．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（）A．1 B．C．2﹣D．2+【答案】A【解析】设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点A（2，﹣1），AD＝n﹣（﹣1）＝n+1∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，∴（x﹣2）2﹣1＝n，化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，∴BC＝|x1﹣x2|＝，∵点B、C关于对称轴直线AD对称，∴D为线段BC的中点，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝BC，即BC＝2AD＝2（n+1），∴（2+2n）＝（n+1）2，化简，得n2＝1，∴n＝1或﹣1，n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，所以n＝1．故选：A．8．如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．20m C．15m D．22.5m【答案】C【解析】根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则，解得：，所以x=-=15（m）．故选C．9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：由题意，抛物线的解析式为y=at(t-9)，把(1，8)代入可得a=-1，∴y=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③.故选B.10．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S ＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600 B．300 C．40 D．20【答案】D【解析】解：由题意，s＝﹣1.5t2+60t，＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣1.5（t﹣20）2+600，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故选：D．11．如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处双测P处，仰角分别为α、β，且tanα＝12，tanβ＝23，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．P点坐标为_____；若水面上升1m，水面宽为_____m．【答案】33,2⎛⎫⎪⎝⎭； 22 【解析】解：（1）过点P 作PH ⊥OA 于H ，如图．设PH ＝3x ，在Rt △OHP 中， ∵tanα＝PH 1OH 2=， ∴OH ＝6x ．在Rt △AHP 中， ∵tanβ＝32PH AH =， ∴AH ＝2x ，∴OA ＝OH +AH ＝8x ＝4， ∴x ＝12， ∴OH ＝3，PH ＝23， ∴点P 的坐标为（3，23）；故答案是：（3，23）；（2）若水面上升1m 后到达BC 位置，如图，过点O （0，0），A （4，0）的抛物线的解析式可设为y ＝ax （x ﹣4），∵P （3，23）在抛物线y ＝ax （x ﹣4）上， ∴3a （3﹣4）＝23，解得a ＝﹣12，∴抛物线的解析式为y ＝﹣12x （x ﹣4）．当y ＝1时，﹣12x （x ﹣4）＝1，解得x 1＝2+2，x 2＝2﹣2，∴BC ＝（2+2）﹣（2﹣2）＝22．故答案是：22．12．某一房间内A 、B 两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB 之间经过时，将触发报警．现将A 、B 两点放置于平面直角坐标系xOy 中（如图）已知点A ，B 的坐标分别为（0，4），（5，4），小车沿抛物线y =ax 2-2ax -3a 运动．若小车在运动过程中只触发一次报警，则a 的取值范围是______【答案】a ＜-43或a ＞13【解析】解：抛物线y=ax 2-2ax-3a=a （x+1）（x-3），∴其对称轴为：x=1，且图象与x 轴交于（-1，0），（3，0）．当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得4=-3a ， ∴a=43-，由对称轴为x=1及图象与x 轴交于（-1，0），（3，0）可知，当a ＜43-时，抛物线与线段AB 只有一个交点；当抛物线过点（5，4）时，代入解析式得25a-10a-3a=4，∴a=13，同理可知当a ＞13时，抛物线与线段AB 只有一个交点．故答案为：a ＜43-或a ＞13．13．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是___m2．【答案】300．【解析】如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，∵a＝﹣x+10＞0，∴x＜40，则S＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；∵S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．故答案为：300．14．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退_____m，恰好把水喷到F处进行灭火．【答案】5【解析】由图可知：A(0，21.2)，B(0，9.2)，C(0，6.2)，D(0，1.2)，∵点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，∴E(20，9.2)，设AE的直线解析式为y＝kx+b，，∴，∴y＝﹣x+21.2，∵A，E，F在同一直线上．∴F(25，6.2)，设过D，E，F三点的抛物线为y＝ax2+bx+c，∴，∴，水流抛物线向上平移5m，设向左退了m米，∴D(0，6.2)，设平移后的抛物线为，经过点F，∴m＝5或m＝﹣25(舍)，∴向后退了5米．故答案为5．15．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元件/时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件.当销售单价为__________元时，每天获取的利润最大.【答案】50【解析】解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元，则y=（x-30）[100+10（60-x）]=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∴当x=50时，y有最大值，且为4000，故答案为：50．16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为.由此可知，铅球推出的距离是__________m.【答案】10【解析】在中，当，解得（舍去）.即铅球推出的距离是10m．故答案为：1017．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．【解析】解：（1）图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发，图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发；（2）由题意得：5(2060)4(60)m mwm m≤≤⎛=<⎝，函数图象如图所示．由图可知批发量超过60时，价格在4元中，所以资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果；（3）设日最高销售量为xkg（x＞60），日零售价为p，设x＝pk+b，则由图②该函数过点（6，80），（7，40），代入可得：x＝320﹣40p，于是p＝32040x-,销售利润y＝x（32040x-﹣4）＝﹣140（x﹣80）2+160当x＝80时，y最大值＝160，此时p＝6，即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．18．某商品现在的售价为每件30元，每星期可卖出160件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出2件．已知商品的进价为每件10元．（1）在顾客得到实惠的情况下，如何定价商家才能获得4200元的利润？（2）如何定价才能使利润最大？【答案】（1）在顾客得到实惠的情况下，售价为40（80舍）元时商家才能获得4200元的利润；（2）售价为60元时利润最大为5000元．【解析】（1）设商品的涨价x元，由题意得：（30+x-10）（160-2x）=4200，整理得：x2-60x+500=0，解得：x=10或50，故为尽可能让利于顾客并使每周利润为4200元，取x的值为10，所以，在顾客得到实惠的情况下，售价为40元时商家才能获得4200元的利润；（2）由题意得：y=（30+x-10）（160-2x）=-2x2+120x+3200，=-2（x-30）2+5000∵-2＜0，∴当x=30时，y取得最大值，此时y=5000（元），即当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为5000元．19．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．【答案】（1）花园的面积为192m 2，x 的值为12m 或16m ；（2）x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2；（3）当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，y=﹣（14﹣a ）2+196．【解析】解：（1）依题意得 S ＝x （28﹣x ），当S ＝192时，有S ＝x （28﹣x ）＝192，即x 2﹣28x +192＝0，解得：x 1＝12，x 2＝16，答：花园的面积为192m 2，x 的值为12m 或16m ；（2）由题意可得出：S ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2+28x＝﹣（x ﹣14）2+196，答：x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2；（3）依题意得：286x a x -≥⎧⎨≥⎩，解得：6≤x ≤28﹣a ，S ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2+28x ＝﹣（x ﹣14）2+196，∵a ＝﹣1＜0，当x ≤14，y 随x 的增大而增大，又6≤x ≤28﹣a ，∴当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，∴y ＝﹣（28﹣a ﹣14）2+196＝﹣（14﹣a ）2+196．20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣2x+80；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【解析】试题分析：（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.(2)列一元二次方程求解.(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.试题解析：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.把(22，36)与(24，32)代入，得解得∴y＝－2x＋80.(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.解得x1＝25，x2＝35(舍去)．答：每本纪念册的销售单价是25元．(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．21．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题，你能做到吗？（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（2）写出平均每天销售利润W（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（3）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？（4）你认为每天赢利900元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？【答案】（1）y＝﹣3x+240；（2）w＝﹣3x2+360﹣9600；（3）50；（4）不是，理由见解析.【解析】（1）y＝30+3（70﹣x）＝﹣3x+240；（2）w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600；（3）当w＝900时，（x﹣40）（﹣3x+240）＝900整理得：x2﹣120x+3500＝0∴x1＝50，x2＝70，∵要使顾客得到实惠，∴x＝70舍去∴每箱价格定为50元；（4）由w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600得w＝﹣3（x﹣60）2+1200w最大＝1200（元）∴赢利900元不是销售的最大利润．22．（本题满分10分）我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板，其长宽之比为3∶2，每张材料板的成本c与它的面积成正比例。

高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义

高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ；2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。

若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为()()224 044 04ac b y a aac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2bx a=-与区间[],m n 的位置关系（1）若[],2b m n a -∈,则当0a >时，()2bf a-是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中较大者；当0a <时，()2bf a-是函数的最大值，最大值为(),()f m f n 中较小者。

（2）若[],2bm n a-∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。

特别提醒：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1：已知 ()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。

例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为 ()1,17 。

高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1

高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。

而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。

1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

其图像的画法是按定义域的划分分别作图。

高中数学二次函数与分段函数学案新人教版必修1

课题：二次函数与分段函数目标要求1．了解简单的分段函数，并能简单应用．2．利用二次函数图象及性质解决一元二次方程和一元二次不等式的问题．知识原理1．二次函数的解析式通常有如下形式：（1）一般式：y =ax 2＋bx ＋c ；（2）顶点式：y =a (x －h )2＋k （3）零点式：y =a (x －x 1)(x －x 2) 上述各式中均有a ≠0．2．二次函数的零点是对应的一元二次方程的根，也是对应的一元二次不等式的解的“界”． 3．当二次函数的解析式为上述的一般式时，（1）对称轴为x =－ab 2 （2）顶点为(－a b 2，ab ac 442-)（3）当a ＞0时，y min =a b ac 442-，当a ＜0时，y max =ab ac 442-．4．一个分若干种运动变化状态的现象，或不连续变化事物的性质的描述，通常采用分段函数这个数学模型．例题分析例1 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A ，B ，C ，D 四个维修点某种配件50件．在使用前发现需要将A ，B ，C ，D 四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，求最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）．例2 在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P 沿着折线BCDA ，由点B （起点）向点A （终点）移动，设点P 移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ．（1）求△ABP 的面积与点P 移动的路程间的函数关系式y =f (x )；x PDBA（2）作出函数的图象．例3 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=),(32),1(961N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数）注：次品率P=次品数生产量=，如P=0.1表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？例4 设函数y =f (x )满足对任意的正实数x ，f (3x )=3f (x ),且f (x )=1－|x －2|,1≤x ≤3.求最小的实数x ，使得f (x )=f (2004)．巩固练习一、选择题1.函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--0,01),sin(12x e x x x π，若f (1)＋f (a )=2，则a 的所有可能值为（）A ．1B ．－22 C ．1, －22 D ．1, 22 2.若函数f (x )=x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋1]上的最大值为4,则a 的值为（）A ．0或1B ．1或2C ．－1或2D ．1或－13.设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-1,21,122x x x x x ，则f ( 1 f (2) )的值为（）A ．1516B ．－2716C ．89D ．18 4. 设二次函数f (x )=x 2－x ＋a ，若f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值是（）A ．正数B 负数．C ．非负数D ．与m 有关5. 对于二次函数f (x )=ax 2－bx ＋c ，若函数f (x ＋1)是偶函数，则 ba的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．－2 二、填空题6.f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ＜0)，f (－1)=0，f (2) ＞0，有下列结论：①a ＋b ＞0；②a ＋c ＞0；③a －b －c ＜0；其中正确的结论序号为． 7.设函数f (x )=⎩⎨⎧≤++>0,0,22x c bx x x ，若f (－4)=f (0)，f (－2)=－2，则f (x )的解析式为，关于x的方程f (x )=x 的解的个数为．三、解答题8.设a 为实数，函数f (x )=x 2＋|x －a |＋1(x ∈R) （1）讨论f (x )的奇偶性；（2）求f (x )的最小值．9.若函数f(x )=－12 x 2＋132在区间[a ，b]上的最小值为2a ,最大值为2b ,求[a ，b ].10.设f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程f (x )=x 的两个根是x 1和x 2，且x 1＞0，x 2－x 1＞1a．又若0＜t ＜x 1，试比较f (t )与x 1的大小．11.设二次函数f (x )=ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c ∈R ，a ≠0）满足条件：（1）当x ∈R 时，f (x －4)=f (2－x )且f (x )≥x ；（2）当x ∈（0,2）时，f (x )≤221⎪⎭⎫⎝⎛+x ；（3）f (x )在R 上的最小值为0.求最大的m (m ＞1)，使得存在t ∈R，只要x ∈[1,m ]，就有f (x ＋t ) ≤x ．。

函数在现实生活中的应用

函数在现实生活中的应用杨韬12汽车服务二班学号：201241930213 上课时间：星期一身为大学生的我们在学校学习了许多类型的函数，函数作为高考的一大考点现在已经越来越让人注意起来，那么，各种函数在我们生活中又有什么应用呢？就此问题我们对此进行了研究与调查。

一，不同函数在生活中的运用1，一次函数在生活中的运用一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。

当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。

例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。

这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。

俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。

”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。

下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。

我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。

比如，有一次在美廉美超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，有一次看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。

更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。

其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。

由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。

设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60;用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72.接着比较y1y2的相对大小.设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12.然后便要进行讨论：当d>0时，0.5x-12>0,即x>24;当d=0时，x=24;当d<0时，x<24.综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜.可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！2，二次函数在生活中的运用由于二次函数拥有一个极点，通过这个点可以求出这个函数的最大值或者最小值来解决一些问题。

函数定义域,值域求法以及分段函数

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（二）映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

1．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： B→A是从集合B到集合A的映射吗？（三）函数的表示法常用的函数表示法：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ? ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ? 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于例4 若函数)(x f y =的定义域为[?1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

初中数学中的函数与函数的变化规律

初中数学中的函数与函数的变化规律函数是数学中重要的概念之一，它可以描述输入和输出之间的关系。

而函数的变化规律则是研究函数随着自变量的变化而产生的规律。

本文将介绍初中数学中函数的定义和性质，并分析了函数的变化规律。

一、函数的定义和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。

用数学符号表示，函数可以用f(x)表示，其中f为函数名，x为自变量。

1.2 函数的性质函数有以下几个重要的性质：（1）定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围，它决定了函数的有效输入。

（2）值域：函数的值域是指函数能够取到的所有可能输出的值。

（3）单调性：函数在定义域内的变化规律可以分为单调递增和单调递减两种情况。

（4）奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的定义式来确定。

如果f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。

二、函数的变化规律函数的变化规律可以通过函数图像或者函数表来观察和分析。

下面将从两个方面来分析函数的变化规律。

2.1 函数图像的变化规律函数的图像是函数关系的直观表示，通过观察函数图像，我们可以得到函数的变化规律。

（1）线性函数：线性函数的图像是一条直线，斜率代表了函数在直角坐标系中的变化速率。

（2）二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，根据二次函数的开口方向和顶点位置可以判断函数的增减性。

（3）分段函数：分段函数的图像由多个线段组成，每个线段代表了函数在相应区间上的变化规律。

2.2 函数表的变化规律函数表是用来列举函数的自变量和对应的函数值的表格，通过观察函数表，我们可以得到函数的变化规律。

（1）等差数列：等差数列是指两个相邻项之间的差值相等的数列，它可以用函数表示。

通过观察等差数列的函数表，可以发现函数值之间的差值是相等的。

（2）等比数列：等比数列是指两个相邻项之间的比值相等的数列，它也可以用函数表示。

通过观察等比数列的函数表，可以发现函数值之间的比值是相等的。