二次函数和分段函数
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6．(2014·浙江卷)设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．(－∞， ]
7.(2015·山东卷)设函数f(x)＝ 则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是()
A. B.[0，1]C. D.[1，＋∞)
8.【2015高考北京，理14】设函数
①若 ，则 的最小值为；1
即f(x)＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－ 或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
则c<0，或a<c，二次函数f(x)在(0,1)内只有一个零点．
②若f(0)＝c>0，f(1)＝a－c>0，则a>c>0.
因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴是x＝ .
而f ＝ <0，
所以函数f(x)在区间 和 内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)
内有两个零点．
(2)当f(3)＝0时，a＝－ ，此时f(x)＝x2－ x－ .令f(x)＝0，即x2－ x－ ＝0，
解得x＝－ 或x＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－ .
综上所述，a的取值范围是 ∪(1，＋∞)．
2．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．则有f(1)＜0，(－2，1)
3．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．
解 法一(换元法)设t＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有实根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
①若方程(*)有两个正实根t1，t2，则 解得－1<a≤2－2 ；
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；③当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．
5．已知函数 ，其中 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
解析：（1）由 ，故当 时， 在 和 上递增，
又∵ ，∴ 在 上递增，
当 时， 在 和 上递增，在 上递减；
（2）由题意只需 ，首先，由（1）可知， 在 上恒递增，则 ，解得 或 ，其次，当 时， 在 上递增，故 ，解得 ，当 时， 在 上递增，故 ，解得 ，
综上 或 ．
即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
5．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
解f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x
＝－ .
①当－ ≤－1，即0≤a≤ 时，
解∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，
2．设函数 是定义域为 的奇函数．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，且 在 上的最小值为 ，求 的值．
解析：（Ⅰ）由题意，对任意 ，， ，即 ， 因为 为任意实数所以 ．
（Ⅱ）由（1） ，因为 ，所以 ，解得 故 ， ，令 ，
则由 ，得 ， ， 当 时， 在 上是增函数，则 ， ，解得 （舍去）．当 时，则 ， ，
记 ，易知 在上 递增，在
上递减，∴ ，∴ 即可
（2）①ⅰ） 时，方程 化为 ， 时，无解； 时， ；
ⅱ） 时，方程 化为 ， ，而其中 ，故 在区间 内至多有一解 ；
综合ⅰ）ⅱ）可知， ，且 时，方程 有一解 ，故 ； 时，方程 也仅有一解 ，令 ，得 ，所以实数 的取值范围是 ；9分
②方程 的两解分别为 ， ，
②若 恰有2个零点，则实数 的取值范围是． 或 .
9．函数 ，则函数 的零点个数是. .
10．已知函数 ，其中 .若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立，则 的取值范围为
A． B． C． D． 或
11．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m
得2a>a＋c，故 < ＝ <1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛
物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．
若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，
得c2－c<0，所以0<c<1.
(2)①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)<0，
A.3B.6C.9D.12
3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．(－∞，8]
4．(2014·上海卷)设f(x)＝ 若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()
A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1，2]D．[0，2]
5.(2015·福建卷)若函数f(x)＝ (a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.(1，2]
须使 即
∴a的解集பைடு நூலகம்∅.
②当－1<－ <0，即a> 时，
须使 即
解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．
第三部分：解答题
1．已知函数 ．
（1）若对于区间 内的任意 ，总有 成立，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在区间 内有两个不同的零点 ，求：
①实数 的取值范围；② 的取值范围．
试题解析：（1） ，
即 <0，从而－2< <－1.
(2)解x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ ，
那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝ ＋4× ＝ · ＋ ＋ ＝ ＋ .
∵－2< <－1，∴ ≤(x1－x2)2< ，∴ ≤|x1－x2|< ，即|x1－x2|的取值范围是 .
第六讲：分段函数与二次函数
第一部分：分段函数
6．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝
则f(x)的值域是__________．
答案[－ ，0]∪(2，＋∞)
1．(2014·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ 则f(3)的值为()
A．1 B．2 C．－2D．－3
2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ 则f(－2)＋f(log212)＝()
的取值范围是________.(－∞，1]
第二部分：二次函数
1．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解 令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9 ＋ ＞0恒成立，
综上，a的取值范围是(－∞，2－2 ]．
法二(分离变量法)由方程，解得a＝－ ，设t＝2x(t>0)，
则a＝－ ＝－ ＝2－ ，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋ ≥2 ，当且仅当t＝ －1时取等号，故a≤2－2 .
综上，a的取值范围是(－∞，2－2 ]．
4．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解得 ，或 （舍去）．
4．(2015·雅安模拟)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0.
(1)求证：－2< <－1；(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求|x1－x2|的取值范围．
(1)证明 当a＝0时，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，则f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0与已知矛盾，因而a≠0，则f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0
7．设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a>0，a，c∈R)．
(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；
(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？
解(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝ ，由条件a>c>0，
7.(2015·山东卷)设函数f(x)＝ 则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是()
A. B.[0，1]C. D.[1，＋∞)
8.【2015高考北京，理14】设函数
①若 ，则 的最小值为；1
即f(x)＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－ 或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
则c<0，或a<c，二次函数f(x)在(0,1)内只有一个零点．
②若f(0)＝c>0，f(1)＝a－c>0，则a>c>0.
因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴是x＝ .
而f ＝ <0，
所以函数f(x)在区间 和 内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)
内有两个零点．
(2)当f(3)＝0时，a＝－ ，此时f(x)＝x2－ x－ .令f(x)＝0，即x2－ x－ ＝0，
解得x＝－ 或x＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－ .
综上所述，a的取值范围是 ∪(1，＋∞)．
2．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．则有f(1)＜0，(－2，1)
3．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．
解 法一(换元法)设t＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有实根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
①若方程(*)有两个正实根t1，t2，则 解得－1<a≤2－2 ；
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；③当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．
5．已知函数 ，其中 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
解析：（1）由 ，故当 时， 在 和 上递增，
又∵ ，∴ 在 上递增，
当 时， 在 和 上递增，在 上递减；
（2）由题意只需 ，首先，由（1）可知， 在 上恒递增，则 ，解得 或 ，其次，当 时， 在 上递增，故 ，解得 ，当 时， 在 上递增，故 ，解得 ，
综上 或 ．
即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
5．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
解f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x
＝－ .
①当－ ≤－1，即0≤a≤ 时，
解∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，
2．设函数 是定义域为 的奇函数．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，且 在 上的最小值为 ，求 的值．
解析：（Ⅰ）由题意，对任意 ，， ，即 ， 因为 为任意实数所以 ．
（Ⅱ）由（1） ，因为 ，所以 ，解得 故 ， ，令 ，
则由 ，得 ， ， 当 时， 在 上是增函数，则 ， ，解得 （舍去）．当 时，则 ， ，
记 ，易知 在上 递增，在
上递减，∴ ，∴ 即可
（2）①ⅰ） 时，方程 化为 ， 时，无解； 时， ；
ⅱ） 时，方程 化为 ， ，而其中 ，故 在区间 内至多有一解 ；
综合ⅰ）ⅱ）可知， ，且 时，方程 有一解 ，故 ； 时，方程 也仅有一解 ，令 ，得 ，所以实数 的取值范围是 ；9分
②方程 的两解分别为 ， ，
②若 恰有2个零点，则实数 的取值范围是． 或 .
9．函数 ，则函数 的零点个数是. .
10．已知函数 ，其中 .若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立，则 的取值范围为
A． B． C． D． 或
11．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m
得2a>a＋c，故 < ＝ <1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛
物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．
若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，
得c2－c<0，所以0<c<1.
(2)①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)<0，
A.3B.6C.9D.12
3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．(－∞，8]
4．(2014·上海卷)设f(x)＝ 若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()
A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1，2]D．[0，2]
5.(2015·福建卷)若函数f(x)＝ (a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.(1，2]
须使 即
∴a的解集பைடு நூலகம்∅.
②当－1<－ <0，即a> 时，
须使 即
解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．
第三部分：解答题
1．已知函数 ．
（1）若对于区间 内的任意 ，总有 成立，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在区间 内有两个不同的零点 ，求：
①实数 的取值范围；② 的取值范围．
试题解析：（1） ，
即 <0，从而－2< <－1.
(2)解x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ ，
那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝ ＋4× ＝ · ＋ ＋ ＝ ＋ .
∵－2< <－1，∴ ≤(x1－x2)2< ，∴ ≤|x1－x2|< ，即|x1－x2|的取值范围是 .
第六讲：分段函数与二次函数
第一部分：分段函数
6．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝
则f(x)的值域是__________．
答案[－ ，0]∪(2，＋∞)
1．(2014·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ 则f(3)的值为()
A．1 B．2 C．－2D．－3
2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ 则f(－2)＋f(log212)＝()
的取值范围是________.(－∞，1]
第二部分：二次函数
1．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解 令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9 ＋ ＞0恒成立，
综上，a的取值范围是(－∞，2－2 ]．
法二(分离变量法)由方程，解得a＝－ ，设t＝2x(t>0)，
则a＝－ ＝－ ＝2－ ，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋ ≥2 ，当且仅当t＝ －1时取等号，故a≤2－2 .
综上，a的取值范围是(－∞，2－2 ]．
4．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解得 ，或 （舍去）．
4．(2015·雅安模拟)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0.
(1)求证：－2< <－1；(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求|x1－x2|的取值范围．
(1)证明 当a＝0时，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，则f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0与已知矛盾，因而a≠0，则f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0
7．设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a>0，a，c∈R)．
(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；
(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？
解(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝ ，由条件a>c>0，