二次函数与分段函数

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二次函数--利润问题-分段函数

22.3（3.3）---利润问题-分段函数一．【知识要点】1.分段求最值，进行比较。

2.销售利润=（售价-成本价）×销售量．3.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。

二．【经典例题】1.九(13)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:已知该商品的进价为每件30元,设销售商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)问该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?22018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）求y2与x之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？3.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．（1）如图，设第x （0＜x ≤20）个生产周期设备售价z 万元/件，z 与x 之间的关系用图中的函数图象表示．求z 关于x 的函数解析式（写出x 的范围）．（2）设第x 个生产周期生产并销售的设备为y 件，y 与x 满足关系式y ＝5x +40（0＜x ≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）4.为喜迎佳节，某食品公司推出一种新年礼盒，每盒成本为20元．在元旦节前30天进行销售后发现，该礼盒在这30天内的日销售量p （盒）与时间x （天）的关系如下表：在这30天内，前20天每天的销售价格1y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为11254y x =+（1≤x ≤20，且x 为整数），后10天每天的销售价格2y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为21402y x =-+（21≤x ≤30，且x 为整数）．（1）直接写出日销售量p （盒）与时间x （天）之间的关系式；（2）请求出这30天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）元旦放假期间，该公司采取降价促销策略．元旦节当天，销售价格（元/盒）比第30天的销售价格降低a%，而日销售量就比第30天提高了4a%，日销售利润比前30天中的最大日销售利润少380元，求a 的值．三．【题库】【A】1.数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程，若前49天销售获得的最大日利润为5408元，求出m的值时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x【B】1.我县云蒙湖被临沂市人民政府定位“饮用水水源地”，为净化水源，某水产养殖企业在净化水源的同时，为谋求养殖利润最大化，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y＝﹣x+36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．“五•一”之前，月份出售这种品每千克的利润最大．【C】1.（本题满分11分）绵阳经开区“万达广场”开业在即，开发商准备对一楼的40个商铺出租，小王和开发商约定：小王租赁的每个商铺每个月的租金y（元/个.月）与租赁的商铺数量x（个）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点C ）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）已知开发商每个月对每个商铺的投入成本共280元，那么当小王租赁的商铺数量为多少时，开发商在这次租赁中，每个月所获的利润w 最大？最大利润是多少？【D 】1.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商销售单价q （元/件）与x 满足：当1≤x ＜25时q=x+60；当25≤x ≤50时．（1）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式．（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？2.某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

分段函数与二次函数

问题背景：有A 、B 两家水果店，两家的西瓜销售价格如下：提问：买x 斤西瓜应该付多少钱？归纳：在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示．三.分段函数1.概念：在函数的定义域内,对于自变量的不同取值范围,有着不同的解析式, 这样的函数叫做分段函数2.定义域：分段函数的定义域是自变量的各段取值范围的并集3.函数值：求分段函数的函数值()0f x时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．4.函数图像：分段函数的图像是各段上图像的和（一）、分段函数——例题讲解：例1.如图所示，是某分段函数y=f （x ）的图像，试求其定义域、值域。

思考：画出函数2y x =+的图像，并求f （2）、f （-2）（二）、分段函数的应用——生活中的分段函数出租车计价问题某市出租汽车收费标准如下：在3km 已内（含3km 已内）路程按起步价12元收费，超过3km 以外的路程按2.1元／km 收费．试写出收费额y 关于路程x 的函数解析式．小结：1. 分段函数的概念2. 分段函数的函数值3. 分段函数图像的作法4. 分段函数的解析式的一般步骤：确定自变量和它的取值范围。

对自变量的取值范围进行分段。

分段写出函数解析式。

（从前到后）1、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（） A.0 B.1 C.2 D.32、(2009山东卷)定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则)3(f 的值为（）A ．1- B. 2- C. 1 D. 22643、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （）A.823-B. 111C. 191 D. 241 4、函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若()()21=+a f f ,则a 的所有可能值为（）A.1B.2-C.1，- D.15、（2009天津卷）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞6、设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（） A ．)1,1(- B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞ 7、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)78、（2010天津卷）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()(log )0(log )(212x x x xx f ，若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是（）A ．)1,0()0,1( -B ．),1()1,(+∞--∞C ．),1()0,1(+∞-D ．)1,0()1,( --∞9、（2010全国卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,621)100(,lg )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则实数abc 的取值范围是（）A ．)10,1(B ．)6,5(C ．)12,10(D ．)24,20( 10、（2010天津卷）设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（）A ．),1(]0,49[+∞-B ．),0[+∞C ．),49[+∞- D ．),2(]0,49[+∞-11、设⎩⎨⎧>-≤-=-)0)(1()0(3)(x x f x a x f x ，若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（）A ．]2,1[B ．()2,∞-C ．[)+∞,1D ．(]1,∞-12、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．313.函数2441()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（） A ．4 B ．3C ．2D ．114、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝。

初中所有函数归纳总结大全

初中所有函数归纳总结大全初中数学学习过程中，函数是一个重要的概念和工具。

函数是描述两个变量之间关系的一种方法，它在数学以及实际问题中有着广泛应用。

本文将对初中阶段所学的各种函数进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和掌握函数的基本概念、性质和应用。

一、常见的函数类型1. 线性函数线性函数是一种最简单的函数形式，其表达式为 y = kx + b，其中k 和 b 是常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率 k 决定了直线的斜率和倾斜的方向，常数 b 决定了直线与 y 轴的截距位置。

2. 幂函数幂函数的表达式一般为 y = ax^n，其中 a 和 n 是常数。

幂函数的图像通常是曲线，根据指数 n 的不同，可以分为增函数和减函数。

指数 n 的大小决定函数图像的陡峭程度。

3. 指数函数指数函数的表达式一般为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是幂指数。

指数函数的图像通常是曲线，底数a 的大小决定函数图像的增长速度。

4. 对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般表达式为y = logₐx，其中 a 是底数，x 是函数的值。

对数函数的图像是指数函数图像关于直线 y = x 的对称图像。

5. 二次函数二次函数的表达式一般为 y = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是抛物线，开口方向由 a 的符号决定，开口向上为正，开口向下为负。

6. 分段函数分段函数是由多个函数段构成的函数，每个函数段在不同的区间内有不同的表达式。

分段函数的图像通常是由几个不同形状的函数图像拼接而成。

二、函数的性质及应用1. 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的所有可能值，值域是函数输出的所有可能值。

在解题过程中，要注意确定函数的定义域和值域，以避免出现无意义的结果。

2. 奇偶性若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的任意 x 值，有 f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数。

专题08二次函数的图象与性质(讲)-2019年中考数学二轮复习

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08 二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质(1)a 决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2bx a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标24()24b ac b a a --，．(5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值．（7）242a b a b c a b c ±±+±+、、的符号的判定：x yO-112a-b 2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定；当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定；当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定；当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定；简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负；对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； 1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。

二次函数

§2.5二次函数1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝______________________.②顶点式：f(x)＝________________________.③零点式：f(x)＝________________________.2.二次函数的图象和性质a<03.二次函数f(x)M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|.[难点正本疑点清源]1.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 2.二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置. 在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.1.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.2.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________.3.若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________.4.已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________.5.若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞题型一求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数.探究提高二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简捷.设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分.(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域.题型二二次函数的图象与性质例2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间.探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值.题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.2.分类讨论在二次函数中的应用试题：(14分)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集.审题视角 (1)求a 的取值范围，是寻求关于a 的不等式，解不等式即可.(2)求f (x )的最小值，由于f (x )可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起.(3)对a 讨论时，要找到恰当的分类标准. 规范解答解 (1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0，即a <0，由a 2≥1知a ≤－1，因此，a 的取值范围为(－∞，－1].[3分] (2)记f (x )的最小值为g (a )，则有 f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎨⎧3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋2a 23，x >a ① (x ＋a )2－2a 2，x ≤a ② [5分] (ⅰ)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2. [7分] (ⅱ)当a <0时，f ⎝⎛⎭⎫a 3＝23a 2，若x >a ，则由①知f (x )≥23a 2. 若x ≤a ，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23a 2，综上，得g (a )＝⎩⎨⎧－2a 2，a ≥0 2a 23，a <0.[10分](3)(ⅰ)当a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－62∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)； (ⅱ)当a ∈⎣⎡⎭⎫－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞； (ⅲ)当a ∈⎝⎛⎭⎫－62，－22时，解集为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.[14分]批阅笔记分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a 的值时，讨论的过程中没注意a 自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论. 除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分： 1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2.分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；3.解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.方法与技巧1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等.3.关于二次函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数).(3)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x ＋2a )＝f (x )，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数).注意：(2)(3)中，f (a ＋x )＝f (a －x )与f (x ＋2a )＝f (x )是等价的.(4)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)对称轴方程为x ＝－b 2a；(5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数y ＝f (x )对应方程f (x )＝0的两根为x 1、x 2，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.失误与防范1.求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法.2.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c 要认为它是二次函数，就必须认定a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.3.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1，k2]时，利用配方法求函数的最值4ac－b24a是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：①－b2a<k1；②k1≤－b2a<k1＋k22；③k1＋k22≤－b2a<k2；④－b2a≥k2.对于这种情况，也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值.这两种方法运算量相当.4.注意判别式作用，正确利用判别式.§2.5二次函数(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.(2010·安徽)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()2.(2010·四川)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A.m＝－2B.m＝2C.m＝－1D.m＝13.已知函数f(x)＝ax2＋(b＋c)x＋1 (a≠0)是偶函数，其定义域为[a－c，b]，则点(a，b)的轨迹是() A.线段 B.直线的一部分C.点D.圆锥曲线二、填空题4.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________.5.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________.6.若函数f(x)＝ax＋b (a≠0)的一个零点是1，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.三、解答题7.是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.8.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx (a，b为常数，且a≠0)，满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n (m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.B组专项能力提升题组一、选择题1.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A.(－∞，0]B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞)D.[0,2]2.已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(－∞，0)3.函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( ) A.a >23B.12<a <32 C.a >12D.a <12二、填空题4.方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m 的取值范围是_________________.5.若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________.6.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为_________.7.已知函数f (x )的自变量的取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间.函数f (x )＝x 2形如[n ，＋∞) (n ∈(0，＋∞))的保值区间是__________. 三、解答题8.已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12上各有一个实根.答案要点梳理1．(2)①ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②a (x －m )2＋n (a ≠0) ③a (x －x 1)(x －x 2) (a ≠0) 基础自测1．2 2.[1,2] 3.6 4.(－∞，－2] 5.B 题型分类·深度剖析例1 解方法一设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二设f (x )＝a (x －m )2＋n ，a ≠0. ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解之，得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三依题意知：f (x )＋1＝0的两根为 x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)． ∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.变式训练1 解 (1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y ＝a (x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2， ∴y ＝－2(x －3)2＋4，即x >2时，f (x )＝－2x 2＋12x －14. 当x <－2时，即－x >2.又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝－2×(－x )2－12x －14，即f (x )＝－2x 2－12x －14.∴函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式为 f (x )＝－2x 2－12x －14. (2)函数f (x )的图象如图：(3)由图象可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．例2 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．变式训练2 解 f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a2，顶点为⎝⎛⎭⎫a 2，－4a . ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增．∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5， ∴a ＝±1<2(舍去)．②当0<a 2<1，即0<a <2时， y max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)． ③当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减，此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2. 令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5. 例3 解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．变式训练3 解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1，f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1.又f (－1＋x )＝f (－1－x )，∴m －2＝2－m ，即m ＝2.又f (x )的图象过点(1,3)，∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2，∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称，∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )， ∴g (x )＝－x 2＋2x .(2)∵F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋(2－2λ)x ，当λ＋1≠0时，F (x )的对称轴为x ＝2－2λ2(1＋λ)＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ>01－λ1＋λ≥1.∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．课时规范训练A 组1.D2.A3.B4.y ＝12(x －2)2－1 5．0≤m ≤14 6．0或－17.解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1；当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝－2⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.8.解 (1)∵f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称．而二次函数f (x )的对称轴为x ＝－b2a ，∴－b2a ＝1.① 又f (x )＝x 有等根，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，∴Δ＝(b －1)2＝0.②由①②得b ＝1，a ＝－12. ∴f (x )＝－12x 2＋x . (2)∵f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12. 如果存在满足要求的m ，n ，则必需3n ≤12，∴n ≤16. 从而m <n ≤16<1，而x ≤1，f (x )单调递增，∴⎩⎨⎧ f (m )＝－12m 2＋m ＝3m f (n )＝－12n 2＋n ＝3n ，可解得m ＝－4，n ＝0满足要求．∴存在m ＝－4，n ＝0满足要求．B 组1.D2.B3.C4.⎝⎛⎭⎫2，525.0<a ≤146.⎣⎡⎦⎤1，31277.[1，＋∞)8.证明 (1)由于f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .∴f (x )＝1⇔(x ＋2t )(x －1)＝0，(*) ∴x ＝1是方程(*)的根，即f (1)＝1.因此x ＝1是f (x )＝1的实根，即f (x )必有实根．(2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t >0. f (0)＝1－2t ＝2⎝⎛⎭⎫12－t <0.f ⎝⎛⎭⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t＝34－t >0. 又函数f (x )的图象连续不间断．因此f (x )＝0在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12上各有一个实根．。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点梳理(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点梳理单选题1、已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=−2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y3<y2B．y1<y2<y3C．y2<y1<y3D．y3<y1<y2答案：D分析：分别计算出自变量为-2、-1和3的函数值，然后比较函数值的大小．解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，∴y3＜y1＜y2．故选：D．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．2、已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．−5或2B．−5C．2D．−2答案：B分析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．解：函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2；再向上平移1个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴0=(0−3)2+k(0−3)−k2+1即k2+3k−10=0解得：k=−5或k=2∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧∴x=−k＞02∴k＜0∴k=−5故选：B．小提示：此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y＝ax＋b的图象不可能是( )A．B．C．D．答案：D分析：根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合；当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意；当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意；当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；只有选项D的两图象的交点不经过x轴，故选D.小提示：本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．4、在平面直角坐标系中，若抛物线y=2(x+5)(x−3)经一次变换后得到抛物线y=2(x+3)(x−5)，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移8个单位D．向下平移8个单位答案：B分析：先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．小提示：本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．5、如图，已知抛物线y=ax2+bx−2的对称轴是x=−1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，下列结论错误．．的是（）A．b2>−8a B．若实数m≠−1，则a−b<am2+bmC．3a−2>0D．当y>−2时，x1⋅x2<0答案：C分析：先根据抛物线对称轴求出b=2a，再由抛物线开口向上，得到a>0，则b2+8a=4a2+8a>0由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当x=1时，y=a+b−2<0，即可判断C；根据y>−2时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D．解：∵抛物线y=ax2+bx−2的对称轴是x=−1，∴−b=−1，2a∴b=2a，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴b2+8a=4a2+8a>0，∴b2>−8a，故A说法正确，不符合题意；∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，y=a−b−2，最小值∴当实数m≠−1，则a−b−2<am2+bm−2，∴当实数m≠−1时，a−b<am2+bm，故B说法正确，不符合题意；∵当x=1时，y=a+b−2<0，∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；∵y>−2，∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，∴x1⋅x2<0，故D说法正确，不符合题意；故选C．小提示：本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．6、二次函数y=x2+2x+2的图象的对称轴是（）A．x=−1B．x=−2C．x=1D．x=2答案：A分析：将二次函数y=x2+2x+2写成顶点式，进而可得对称轴．解：∵y=x2+2x+2=(x+1)2+1．∴二次函数y=x2+2x+2的图象的对称轴是x=−1．故选A．小提示：本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．7、某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元答案：D分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．小提示：此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．8、抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，则当x=2时，y的值为（）A．−5B．−3C．−1D．5答案：A分析：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，∴{c=−5a−b+c=09a+3b+c=0，解方程组得{c=−5 a=53b=−103，∴抛物线解析式为y=53x2−103x−5，当x=2时，y=53×4−103×2−5=−5．故选择A．小提示：本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．9、如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．答案：B分析：根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x≤4时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．过点C作CM⊥AB于N，DG=3，在等腰Rt△ABC中，AB=2，∴CN=1，①当0≤x<1时，如图，CM=x，∴PQ=2x，∴y=12⋅PQ⋅CM=12×2x⋅x=x2，∴0≤x<1，y随x的增大而增大；②当1≤x<3时，如图，∴y=S△ABC=12×2×1=1，∴当1≤x<3时，y是一个定值为1；③当3≤x≤4时，如图，CM=x−3，∴PQ=2(x−3)，∴y=12AB⋅CN−12PQ⋅CM=12×2×1−12×2×(x−3)2=1−(x−3)2,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．小提示：本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．10、如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P从点A出发沿路径A→B→C向终点C运动，连接DP，作DP的垂直平分线MN与正方形ABCD的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，△PMN的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．答案：A分析：分点P在AB和BC上两种情况，分别求出MN和PF长，利用面积公式求解．解：（1）如图，当0≤x≤4时，点P在AB上，过点N作NE⊥AD于点E，设MN与PD交于点F，∴NE=DC=AD，则PD=√PA2+AD2=√x2+42=√x2+16，又∵MN垂直平分PD，∴PF=12PD=12√x2+16，∴∠MDF+∠FMD=∠MNE+∠FME=90°，∴∠MNE=∠PDA，在△MNE和△PDA中，{∠A=∠NEMAD=EN∠PDA=∠MNE∴△APD≌△EMN，∴PD=MN=√x2+16，∴y=12MN⋅PF=12√x2+16⋅12√x2+16=14x2+4 ,（2）如图，当4＜x≤8时，点P在BC上，过点N作NE⊥CD于点E，设MN交PD于点F，则PD=√PC2+CD2=√(8−x)2+16 ,∴PF=12√(8−x)2+16用（1）的方法得MN=√(8−x)2+16,y=12√(8−x)2+16⋅12√(8−x)2+16=14(x−8)2+4，故y={14x2+4(0≤x≤4)14(x−8)2+4(4＜x≤8)故选择A．小提示：本题考查分段函数，解决问题的关键是根据点P的位置确定自变量的取值范围得出函数解析式．填空题11、抛物线y=3−x2位于y轴左侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”）答案：上升分析：根据二次函数图象的性质解答即可．解：∵二次项系数-1<0，∴抛物线开口向下，∵对称轴是直线y=0，∴抛物线y=3−x2位于y轴左侧的部分是上升的．所以答案是：上升．小提示：本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．12、如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．答案：y=−2x2+16x−24分析：根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为(4,8)，进而得到A点坐标为(2,0)，B点坐标为(6,0)，利用待定系数法即可求得函数解析式．∵四边形ABCD为平行四边形∴CD=AB=4∴C点坐标为(4,8)∴A点坐标为(2,0)，B点坐标为(6,0)设函数解析式为y=a(x−2)(x−6)，代入C点坐标有8=a(4−2)(4−6)解得a=−2∴函数解析式为y=−2(x−2)(x−6)，即y=−2x2+16x−24故答案为y=−2x2+16x−24．小提示：本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．13、如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．答案：①②④分析：由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，a−b+c<0，即可判断③．解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c=3，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b=1，即2a+b=0，故②正确；2a∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确；∵抛物线开口向下，∴a<0，∵当x=-1时，a−b+c<0，∴a−b+c+7a<0即8a−b+c<0，故③错误，所以答案是：①②④．小提示：本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质．14、如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_________m．答案：4分析：将y=3.05代入y=−0.2x2+x+2.25中可求出x，结合图形可知x=4，即可求出OH．解：当y=3.05时，−0.2x2+x+2.25=3.05，解得：x=1或x=4，结合图形可知：OH=4m，所以答案是：4小提示：本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．15、如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面53米时，足球飞行的水平距离为__________米．答案：10分析：设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3，代入原点，确定解析式为y=−112x2+x，当y=53米时，求得x的值即可．设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3，代入原点，得：0=a(0−6)2+3，解得a=−112，∴抛物线的解析式为y=−112x2+x，当y=53米时，−112x2+x=53，解得x=10，x=2（舍去），足球飞行的水平距离为10米，所以答案是：10．小提示：本题考查了抛物线的解析式，已知函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．解答题16、李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？答案：(1)y=−0.2x+8.4(1≤x≤10且x为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．分析：（1）根据题意列出y=8.2−0.2(x−1)，得到结果．（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．（1）解：由题意得y=8.2−0.2(x−1)=−0.2x+8.4∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是y=−0.2x+8.4(1≤x≤10，且x为整数)．（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元则w=[12−0.5(x−1)−y]⋅10x=[12−0.5(x−1)−(−0.2x+8.4)]⋅10x=−3x2+41x∵a=−3<0∴抛物线开口向下∵对称轴是直线x=416∴当1≤x≤41时，w的值随x值的增大而增大6∵x为正整数，∴此时，当x=6时，w=138最大当41≤x≤10时，w的值随x值的增大而减小6∵x为正整数，∴此时，当x=7时，w=140最大∵140>138∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．小提示：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．17、某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？答案：（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元分析：（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x的值，从而得到答案．（1）由题意列方程得：（x＋40-30）（300-10x）＝3360解得：x1＝2，x2＝18∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，故舍去∴T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝−10(x −10)2+4000 ∴当x ＝10时，M 最大值＝4000元 ∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．小提示：本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．18、在平面直角坐标系中，设二次函数y =−12(x −2m )2+3−m （m 是实数）． (1)当m =2时，若点A (8,n )在该函数图象上，求n 的值．(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y =−12x +3上，你认为他的说法对吗？为什么？(3)已知点P(a +1,c)，Q(4m −5+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c ≤138．答案：(1)-7 (2)对，理由见解析 (3)见解析分析：（1）把m =2，点A （8，n ）代入解析式即可求解；（2）由抛物线解析式，得顶点是（2m ，3-m ），把x ＝2m 代入y =−12x +3，求出y 值与3-m 比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误；（3）由点P （a +1，c ），Q （4m -5+a ，c ）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x =a+1+4m−5+a2=a +2m -2，即可得出a +2m -2=2m ，求得a =2，得到P （3，c ），代入解析式即可得到 c =-12（3-2m ）2+3-m ＝-2m 2+5m -32＝-2(m -54)2+138，根据二次函数的性质即可证得结论．(1)解：当m ＝2时，y =-12（x -4）2+1 ∵A （8，n ）在函数图象上， ∴n =-12（8-4）2+1=-7(2)解：由题意得，顶点是（2m，3-m）当x＝2m时，y=-12×2m+3=-m+3∴顶点（2m，3-m）在直线y=-12x+3上(3)证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上∴对称轴是直线x=a+1+4m-5+a2=a+2m-2∴a+2m-2＝2m，∴a＝2，∴P（3，c），把P（3，c）代入抛物线解析式，得∴c=-12（3-2m）2+3-m＝-2m2+5m-32＝-2(m-54)2+138，∵-2<0，∴c有最大值为138，∴c≤138．小提示：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

初升高衔接课四(二次函数的应用、分段函数)

初升高衔接课四（二次函数的应用、分段函数）2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：2．对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x ＝－1；（2）直线y ＝1．解：（1）如图2．2－7，xy O x ＝－1 A (1,－1) A 1(－3,－1) 图2.2－7（2）如图2．2－8，二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x 的函数．这个函数的解析式为80,(0,20]160(20,40]240,940,80]320(60,80]400,(80,100]x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩ 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．xyOy ＝1A (1,－1)B (1，3)图2.2－8例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔP AC 的面积为y ．（1）求函数y 的解析式；（2）画出函数y 的图像；（3）求函数y 的取值范围．分析：要对点P 所在的位置进行分类讨论．解：三、二次函数的最值问题【知识点】1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：A CBD P图2.2－10[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

二次函数的图象和性质备战2023年中考数学考点微专题

考向3.5 二次函数的图象和性质例1、（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y 21213x 583x 8x ≤⎧=⎨-+≤≤⎩（＜）（）（）的图象如图所示，若直线y ＝kx ﹣3与该图象有公共点，则k 的最大值与最小值的和为 _____．解：当直线经过点（1，12）时，12=k -3，解得k =15；当直线与抛物线只有一个交点时，（x -5）2+8=kx -3，整理得x 2-（10+k ）x +36=0，∴10+k =±12，解得k =2或k =-22（舍去）， ∴k 的最大值是15，最小值是2， ∴k 的最大值与最小值的和为15+2=17．故答案为：17．1、二次函数抛物线位置与a ，b ，c 的关系：（1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨⎧⇔<⇔>开口向下开口向上00a a（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方；（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。

对称轴在y 轴右侧；1、本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k 的最大值和最小值是解题的关键；2、二次函数的性质是中考必考点，熟悉并运用二次函数性质解决问题是考前学生必须掌握的内容；例 2、（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴a ＜0，c ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣2ba=1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b +c =0，故②正确；根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误；由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣，根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点， ∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．理解并熟练运用二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键。

【高中数学】函数模型及其应用

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

2023安徽中考数学专题《二次函数利润问题的四种题型》原卷

第05讲二次函数利润问题的四种题型题型一：“每每”的利润问题商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，“每每”问题的做题步骤①找出原来的销量：30件，原来的每件盈利：50元；②确定每件产品降价（或涨价）后的利润：（50-x）元；③计算出降价（或涨价）后销量的变化量：2x件；④找出降价（或涨价）后的销量，本题里有明确的“多出”字样，即为：（30+2x）件；⑤利润=每件利润×数量：y=(50−x)(30+2x)计算注意事项①若题中要求价格为整数，而二次函数的对称轴不是整数，要用二次函数的性质取适当的整数求最值；②结果可能不唯一，例如题中要求结果为整数，而对称轴是51.5，那么51和52都可以；③看清楚题中是否有“最优惠”等条件，算出多个结果需要舍根。

【例1】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？1.（2022·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为4元/件的产品，若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值2．（2022·辽宁朝阳·模拟预测）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？3．（贵州遵义·统考一模）某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为10元/千克．经市场调查发现：若售价为12元/千克时，每天的销售量为180千克；若售价每千克提高1元，每天的销售量就会减少10千克．设每天的销售量为y千克，每千克的售价为x元．请解答以下问题：(1)为让利给顾客，当这种优质水果售价为多少时，每天可获得利润960元．(2)当售价定为多少时，每天可获得最大利润，并求最大利润是多少？4．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．5．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？6．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？题型二：二次函数和一次函数综合的利润问题当题中明确出现了“成一次函数关系”，或给了一次函数的图像，或给了一次函数表格时，先求出相关的一次函数解析式；然后根据利润的相关公式表示利润。

二次函数（分段函数）

⼆次函数（分段函数）⼆次函数（分段函数）⼀、根据⽂字表达式获取分段函数信息例1 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．试建⽴销售价y 与周次x 之间的函数关系式．分析：本题要善于从⽂字信息中提炼出函数关系，可先采⽤列表法找出周次x 和销售解：依题意，可建⽴的函数关系式为：()()()()()≤≤--≤≤≤≤-+=16121123011630611220x x x x x y ；即()()()≤≤+-≤≤≤≤+=16125221163061182x x x x x y ⼆、根据已知分段函数解析式求解例2 ⼼理学家研究发现，⼀般情况下，学⽣的注意⼒随着教师讲课时间的变化⽽变化，讲课开始时，学⽣的注意⼒逐步增强，中间有⼀段时间学⽣的注意⼒保持较为理想的状态，随后学⽣的注意⼒开始分散，经过实验分析可知，学⽣的注意⼒y 随时间t 的变化规律有如下关系式：≤+-≤≤++-=)4020(3807)2010(240)100(100242t t t t t t y （1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时⽐较，何时学⽣的注意⼒更集中？（2）⼀道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学⽣的注意⼒最低达到180，那么经过适当安排，⽼师能否在学⽣注意⼒达到所需的状态下讲解完这道题⽬？解：（1）当x=5时，代⼊y=－t 2+24t+100中，得y=195；当x=25时，代⼊y=－7t+24t+100中，得y=205．∴讲课开始后第25分钟时学⽣的注意⼒⽐讲课开始后第5分钟时更集中．（2）当0＜t≤10时，令y=－t 2+24t+100=180，得t=4；当10＜t≤20时，y=240；当20＜t≤40时，y=－7t+380=180，得t=28.57．所以学⽣注意⼒在180以上的持续时间为28.57-4=24.57（分钟）．∴⽼师可以经过适当安排，能在学⽣注意⼒达到所需的状态下讲解完这道题⽬． 4⼀蔬菜基地种植的某种绿⾊蔬菜，根据今年的市场⾏情，预计从五⽉⼀⽇起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可⽤图1的⼀条线段表⽰：它的种植成本y 2与上市时间x 的关系，可⽤图2中抛物线的⼀部分来表⽰。

二次函数的简单应用- 初升高数学衔接(解析版)

二次函数的简单应用- 初升高数学衔接（解析版）高中必备知识点1：平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．典型考题【典型例题】如图，抛物线经过两点，顶点为D．求a和b的值；将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．求平移后所得图象的函数解析式；若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．【答案】将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．【解析】代入，得：，解得：．，抛物线顶点D的坐标为．将抛物线沿y轴平移后，顶点D落在x轴上，平移后的抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线为，即．若将抛物线向左平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，新抛物线必过点，，解得：舍去；若将抛物线向右平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，新抛物线必过点．，解得：舍去．将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．【变式训练】已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？【答案】向上平移3个单位．【解析】由题意知，必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为，则，代入抛物线方程得：，舍去．所以向上平移3个单位．【能力提升】已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．【答案】（1）y＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．【解析】（1）y=x（x﹣2）+2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）∵将抛物线y=x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：y=（x﹣1）2．高中必备知识点2：对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．典型考题【典型例题】如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B 的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．【解析】(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴D(1，﹣9)．(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B(4，0)．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E(1，0)．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°．设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，∴x=．∴y=．∴P()．【变式训练】已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.(1)求函数的解析式;(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.【答案】（1）y=(x-3)2-2.（2）m>n.【解析】(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,根据题意得9a-2=解得a=，所以函数解析式是y=(x-3)2-2.(2)因为a=>0,所以抛物线开口向上,又因为二次函数的对称轴是直线x=3.所以当x>3时,y随x增大而增大,因为p>q>5>3,所以m>n.【能力提升】已知抛物线经过点（1，-2）．（1）求的值；（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【答案】（1）a=-1；（2）y1＜y2．【解析】(1)、∵抛物线经过点（1，-2），∴，解得a=-1；(2)、∵函数的对称轴为x=3，∴A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，又∵抛物线开口向下，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∵m＜n＜3，∴y1＜y2．高中必备知识点3：分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．典型考题【典型例题】函数1()01xf xx-⎧⎪=⎨⎪+⎩)0()0()0(<=>xxx，则))1((ff的值是___．【答案】0 【解析】∵函数f（x）100010x xxx x-⎧⎪==⎨⎪+⎩，＞，，＜，∴f （1）＝1﹣1＝0， f （f （1））＝f （0）＝0．故答案为：0．【变式训练】已知函数，若，则_________．【答案】【解析】，故，填．【能力提升】函数__________．【答案】1. 【解析】由题意得．故答案为：1．专题验收测试题1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2，解得，AB=5cm ．下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=;当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数故符合y 与t 的函数图象是B ．故选：B ．2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，DC ＝4cm ，BC ＝6cm ，AD ＝3cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA ﹣AD ﹣DC 运动到点C ，点Q 以1cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发xs 时，△BPQ 的面积为ycm 2．则y 与x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作AE⊥BC于E，根据已知可得，AB2＝42+（6﹣3）2，解得，AB＝5cm．当0≤x≤2.5时：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，且达到最大此时面积＝12×2.5×4＝5cm2．当2.5≤x≤4时，即P点在AD上时，1422y x x=⨯=，且增大值为：21448cm2⨯⨯=；当4≤x≤6时，即P点从D到C时，y＝1(122)2x x⋅-＝﹣x2+6x．故符合y与x的函数图象大致是B．故选B．3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E，设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：如图，连接DE ，∵△PC′D 是△PCD 沿PD 折叠得到， ∴∠CPD ＝∠C′PD ， ∵PE 平分∠BPC′， ∴∠BPE ＝∠C′PE ， ∴∠EPC′+∠DPC′＝12×180°＝90°， ∴△DPE 是直角三角形，∵BP ＝x ，BE ＝y ，AB ＝3，BC ＝5，∴AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣y ，CP ＝BC ﹣BP ＝5﹣x ，在Rt △BEP 中，PE 2＝BP 2+BE 2＝x 2+y 2，在Rt △ADE 中，DE 2＝AE 2+AD 2＝（3﹣y ）2+52，在Rt △PCD 中，PD 2＝PC 2+CD 2＝（5﹣x ）2+32，在Rt △PDE 中，DE 2＝PE 2+PD 2，则（3﹣y ）2+52＝x 2+y 2+（5﹣x ）2+32，整理得，﹣6y ＝2x 2﹣10x ，所以y ＝21533x x -+（0＜x ＜5），纵观各选项，只有D 选项符合．故选：D ．4．某种圆形合金板材的成本y （元）与它的面积（cm 2）成正比，设半径为xcm ，当x ＝3时，y ＝18，那么当半径为6cm 时，成本为（） A ．18元 B ．36元C ．54元D ．72元【答案】D 【解析】解：根据题意设y ＝k πx 2， ∵当x ＝3时，y ＝18， ∴18＝k π•9，则k＝2π，∴y＝kπx2＝2π•π•x2＝2x2，当x＝6时，y＝2×36＝72，故选：D．5．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵a≥0，由题意得方程10t-t2=a有两个不相等的实根∴△=b2-4ac=102+4××a＞0得0≤a＜50又∵0≤t≤14∴当t=14时，a=h=10×14-×142=42所以a的取值范围为：42≤a＜50故选：C．6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s=-6t2+bt（b为常数）．已知t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）A．米B．8米C．米D．10米【答案】C【解析】解：把t=，s=6代入s=-6t2+bt得，6=-6×+b×，解得，b=15∴函数解析式为s=-6t2+15t=-6（t-）2+，∴当t=时，s取得最大值，此时s=，故选：C．7．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（）A．1 B．C．2﹣D．2+【答案】A【解析】设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点A（2，﹣1），AD＝n﹣（﹣1）＝n+1∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，∴（x﹣2）2﹣1＝n，化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，∴BC＝|x1﹣x2|＝，∵点B、C关于对称轴直线AD对称，∴D为线段BC的中点，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝BC，即BC＝2AD＝2（n+1），∴（2+2n）＝（n+1）2，化简，得n2＝1，∴n＝1或﹣1，n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，所以n＝1．故选：A．8．如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．20m C．15m D．22.5m【答案】C【解析】根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则，解得：，所以x=-=15（m）．故选C．9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：由题意，抛物线的解析式为y=at(t-9)，把(1，8)代入可得a=-1，∴y=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③.故选B.10．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S ＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600 B．300 C．40 D．20【答案】D【解析】解：由题意，s＝﹣1.5t2+60t，＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣1.5（t﹣20）2+600，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故选：D．11．如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处双测P处，仰角分别为α、β，且tanα＝12，tanβ＝23，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．P点坐标为_____；若水面上升1m，水面宽为_____m．【答案】33,2⎛⎫⎪⎝⎭； 22 【解析】解：（1）过点P 作PH ⊥OA 于H ，如图．设PH ＝3x ，在Rt △OHP 中， ∵tanα＝PH 1OH 2=， ∴OH ＝6x ．在Rt △AHP 中， ∵tanβ＝32PH AH =， ∴AH ＝2x ，∴OA ＝OH +AH ＝8x ＝4， ∴x ＝12， ∴OH ＝3，PH ＝23， ∴点P 的坐标为（3，23）；故答案是：（3，23）；（2）若水面上升1m 后到达BC 位置，如图，过点O （0，0），A （4，0）的抛物线的解析式可设为y ＝ax （x ﹣4），∵P （3，23）在抛物线y ＝ax （x ﹣4）上， ∴3a （3﹣4）＝23，解得a ＝﹣12，∴抛物线的解析式为y ＝﹣12x （x ﹣4）．当y ＝1时，﹣12x （x ﹣4）＝1，解得x 1＝2+2，x 2＝2﹣2，∴BC ＝（2+2）﹣（2﹣2）＝22．故答案是：22．12．某一房间内A 、B 两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB 之间经过时，将触发报警．现将A 、B 两点放置于平面直角坐标系xOy 中（如图）已知点A ，B 的坐标分别为（0，4），（5，4），小车沿抛物线y =ax 2-2ax -3a 运动．若小车在运动过程中只触发一次报警，则a 的取值范围是______【答案】a ＜-43或a ＞13【解析】解：抛物线y=ax 2-2ax-3a=a （x+1）（x-3），∴其对称轴为：x=1，且图象与x 轴交于（-1，0），（3，0）．当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得4=-3a ， ∴a=43-，由对称轴为x=1及图象与x 轴交于（-1，0），（3，0）可知，当a ＜43-时，抛物线与线段AB 只有一个交点；当抛物线过点（5，4）时，代入解析式得25a-10a-3a=4，∴a=13，同理可知当a ＞13时，抛物线与线段AB 只有一个交点．故答案为：a ＜43-或a ＞13．13．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是___m2．【答案】300．【解析】如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，∵a＝﹣x+10＞0，∴x＜40，则S＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；∵S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．故答案为：300．14．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退_____m，恰好把水喷到F处进行灭火．【答案】5【解析】由图可知：A(0，21.2)，B(0，9.2)，C(0，6.2)，D(0，1.2)，∵点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，∴E(20，9.2)，设AE的直线解析式为y＝kx+b，，∴，∴y＝﹣x+21.2，∵A，E，F在同一直线上．∴F(25，6.2)，设过D，E，F三点的抛物线为y＝ax2+bx+c，∴，∴，水流抛物线向上平移5m，设向左退了m米，∴D(0，6.2)，设平移后的抛物线为，经过点F，∴m＝5或m＝﹣25(舍)，∴向后退了5米．故答案为5．15．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元件/时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件.当销售单价为__________元时，每天获取的利润最大.【答案】50【解析】解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元，则y=（x-30）[100+10（60-x）]=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∴当x=50时，y有最大值，且为4000，故答案为：50．16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为.由此可知，铅球推出的距离是__________m.【答案】10【解析】在中，当，解得（舍去）.即铅球推出的距离是10m．故答案为：1017．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．【解析】解：（1）图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发，图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发；（2）由题意得：5(2060)4(60)m mwm m≤≤⎛=<⎝，函数图象如图所示．由图可知批发量超过60时，价格在4元中，所以资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果；（3）设日最高销售量为xkg（x＞60），日零售价为p，设x＝pk+b，则由图②该函数过点（6，80），（7，40），代入可得：x＝320﹣40p，于是p＝32040x-,销售利润y＝x（32040x-﹣4）＝﹣140（x﹣80）2+160当x＝80时，y最大值＝160，此时p＝6，即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．18．某商品现在的售价为每件30元，每星期可卖出160件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出2件．已知商品的进价为每件10元．（1）在顾客得到实惠的情况下，如何定价商家才能获得4200元的利润？（2）如何定价才能使利润最大？【答案】（1）在顾客得到实惠的情况下，售价为40（80舍）元时商家才能获得4200元的利润；（2）售价为60元时利润最大为5000元．【解析】（1）设商品的涨价x元，由题意得：（30+x-10）（160-2x）=4200，整理得：x2-60x+500=0，解得：x=10或50，故为尽可能让利于顾客并使每周利润为4200元，取x的值为10，所以，在顾客得到实惠的情况下，售价为40元时商家才能获得4200元的利润；（2）由题意得：y=（30+x-10）（160-2x）=-2x2+120x+3200，=-2（x-30）2+5000∵-2＜0，∴当x=30时，y取得最大值，此时y=5000（元），即当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为5000元．19．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．【答案】（1）花园的面积为192m 2，x 的值为12m 或16m ；（2）x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2；（3）当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，y=﹣（14﹣a ）2+196．【解析】解：（1）依题意得 S ＝x （28﹣x ），当S ＝192时，有S ＝x （28﹣x ）＝192，即x 2﹣28x +192＝0，解得：x 1＝12，x 2＝16，答：花园的面积为192m 2，x 的值为12m 或16m ；（2）由题意可得出：S ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2+28x＝﹣（x ﹣14）2+196，答：x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2；（3）依题意得：286x a x -≥⎧⎨≥⎩，解得：6≤x ≤28﹣a ，S ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2+28x ＝﹣（x ﹣14）2+196，∵a ＝﹣1＜0，当x ≤14，y 随x 的增大而增大，又6≤x ≤28﹣a ，∴当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，∴y ＝﹣（28﹣a ﹣14）2+196＝﹣（14﹣a ）2+196．20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣2x+80；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【解析】试题分析：（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.(2)列一元二次方程求解.(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.试题解析：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.把(22，36)与(24，32)代入，得解得∴y＝－2x＋80.(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.解得x1＝25，x2＝35(舍去)．答：每本纪念册的销售单价是25元．(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．21．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题，你能做到吗？（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（2）写出平均每天销售利润W（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（3）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？（4）你认为每天赢利900元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？【答案】（1）y＝﹣3x+240；（2）w＝﹣3x2+360﹣9600；（3）50；（4）不是，理由见解析.【解析】（1）y＝30+3（70﹣x）＝﹣3x+240；（2）w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600；（3）当w＝900时，（x﹣40）（﹣3x+240）＝900整理得：x2﹣120x+3500＝0∴x1＝50，x2＝70，∵要使顾客得到实惠，∴x＝70舍去∴每箱价格定为50元；（4）由w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600得w＝﹣3（x﹣60）2+1200w最大＝1200（元）∴赢利900元不是销售的最大利润．22．（本题满分10分）我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板，其长宽之比为3∶2，每张材料板的成本c与它的面积成正比例。

初中所有函数知识点归纳

初中所有函数知识点归纳函数是数学中的一种基本概念，也是初中数学中非常重要的内容。

在初中阶段，学生主要学习了一次函数、二次函数和分段函数等几种常见类型的函数，下面对这些内容进行归纳。

一、一次函数：1. 函数的定义：一次函数是指函数表达式为 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

2.函数图像：一次函数的图像是一条直线，通过其中两个点就能确定这条直线。

3.函数性质：一次函数是一个线性函数，特点是斜率恒定，即直线的倾斜度保持一致。

4.斜率：斜率是一次函数的重要特征，用来描述函数图像的倾斜程度。

二、二次函数：1. 函数的定义：二次函数是指函数表达式为 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。

2.函数图像：二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负确定。

3.函数性质：二次函数的最高次项是二次的，代表抛物线的弯曲程度。

4.零点和顶点：二次函数的零点即方程的根，顶点是抛物线的顶点，二次函数的顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。

三、分段函数：1.函数的定义：分段函数是指在不同的区间采用不同的函数表达式来定义的函数。

2.函数图像：分段函数的图像是由不同的线段或抛物线拼接而成。

3.区间和定义域：分段函数的定义域是所有给定函数的定义域的并集，区间是定义域的数据范围。

四、函数的运算：1.函数的加减法：两个函数的加减法运算规则是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值，即(f+g)(x)=f(x)±g(x)。

2.函数的乘法：两个函数的乘法运算是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值，即(f*g)(x)=f(x)*g(x)。

3.函数的除法：两个函数的除法运算是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值，即(f/g)(x)=f(x)/g(x)。

五、函数的应用：1.函数的问题解决：函数在数学中有很多实际应用，如利用函数关系解决实际问题，通过函数图像分析问题等。

二次函数实际问题易考题型总结(全)

二次函数实际问题易考题型总结技巧1．二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。

解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示1，我们要用x分别把h，l表示出来。

经济问题：总利润=出来，如三角形S=hl2总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。

解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。

分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。

2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．题型：一、利润最值问题1、某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关系式1336 8y x=-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b，c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?3、某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？二、面积最值问题1.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？2、小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？3.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．三、图形问题1、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是25322y x x =-++，请回答下列问题：（1）花形柱子OA 的高度；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？O 2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．2103335四、图像问题（一）长度最值、平行四边形问题8.如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.O xAMNBPC 题22图（二）周长与面积最值问题9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．（三）等腰三角形问题10.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．（四）直角三角形如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．A CB y x0 1 1（五）圆如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．（六）分段函数、累计二次函数问题11.启优学堂积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x月之间的函数关系（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。

分段函数的几种常见题型及解法

函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩222(10).()2(02)x x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩yx5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）ACD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.9．解分段函数的方程例10．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）v1.0 可编辑可修改A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.3．（2013北京，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．05．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,166．（2012江苏，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．7．（2011江苏，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．函数的概念和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .y x5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）ACD解析：在定义范围讨论，当0<x<1时，11y x x=+-；当x>1时1y =，故选D 6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.x10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >,则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞.(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x-->, 解得01x <-, 当00x >时, 1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()141310f x x ≥⇔⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】xyv1.0 可编辑可修改以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.答案：D2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－23．（2013北京，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2. 答案：B5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15(1)，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.答案：D6．（2012江苏，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－12)，且f (－1)＝f (1)，故f (12)＝f (－12)，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2. ①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a . ②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－107．（2011江苏，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34.答案：－34。

函数的应用(一)

[自主解答] 设生产童装的天数为 x，则生产西服的天数为(30－x)，每月生产童装和西服的套数分别为 200x 和 50(30－x)，每月生产童装和西服的成本分别为 40×200x 元和 150×50×(30 － x) 元，每月生产童装和西服的利润分别为 22×200x 元和 80×50×(30－x)元，则总利润为 y＝22×200x＋80×50×(30－x)，化简得 y＝400x＋120 000.
题型三分段函数模型的应用
某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，当出售的这种产品的数量为 t(单位：百件)时，销售所得的收入约为 5t－12t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为 x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量 x 的函数；
答案 D
题型二二次函数与幂函数模型的应用某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售价不得低于 50 元
且不得高于 55 元．市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱．
(1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[触类旁通]
1．某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间的关系为 y＝6x＋30 000.
而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )

函数在现实生活中的应用

函数在现实生活中的应用杨韬12汽车服务二班学号：201241930213 上课时间：星期一身为大学生的我们在学校学习了许多类型的函数，函数作为高考的一大考点现在已经越来越让人注意起来，那么，各种函数在我们生活中又有什么应用呢？就此问题我们对此进行了研究与调查。

一，不同函数在生活中的运用1，一次函数在生活中的运用一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。

当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。

例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。

这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。

俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。

”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。

下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。

我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。

比如，有一次在美廉美超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，有一次看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。

更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。

其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。

由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。

设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60;用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72.接着比较y1y2的相对大小.设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12.然后便要进行讨论：当d>0时，0.5x-12>0,即x>24;当d=0时，x=24;当d<0时，x<24.综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜.可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！2，二次函数在生活中的运用由于二次函数拥有一个极点，通过这个点可以求出这个函数的最大值或者最小值来解决一些问题。

函数定义域,值域求法以及分段函数

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（二）映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

1．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： B→A是从集合B到集合A的映射吗？（三）函数的表示法常用的函数表示法：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ? ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ? 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于例4 若函数)(x f y =的定义域为[?1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。